• Author / Uploaded
• Kevin Lescas

• Categories
• Física Aplicada e Interdisciplinaria
• Mecanica clasica
• Ingeniería mecánica
• Ciencias fisicas
• Ciencia

Citation preview

Apuntes de Comportamiento estructural

FACULTAR DE ARQUITECTURA 5 DE MAYO

APUNTES DE COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL

M. ARQ. JORGE PORRAS ALLENDE

Arq. Jorge A. Porras Allende

Página 1

Apuntes de Comportamiento estructural

CONTENIDO

1. Conceptos básicos .................................................................................................. 3 2. Centroides y centros de gravedad ......................................................................... 6 3. Sistemas de fuerzas................................................................................................. 8 4. Diagrama de momentos y cortantes en vigas ........................................................ 14 5. Cubiertas industrializadas ...................................................................................... 18 6. Losas de concreto armado ...................................................................................... 29 7. Trabes ...................................................................................................................... 37 8. Columnas................................................................................................................. 42 9. Muros de mampostería confinados ........................................................................ 45 10. Cimentación ............................................................................................................ 54

Arq. Jorge A. Porras Allende

Página 2

Apuntes de Comportamiento estructural

1. CONCEPTOS BÁSICOS. La mecánica (Griego Μηχανική y de latín mechanìca o arte de construir una máquina) es la rama de la física que estudia y analiza el movimiento y reposo de los cuerpos, y su evolución en el tiempo, bajo la acción de fuerzas. Modernamente la mecánica incluye la evolución de sistemas físicos más generales que los cuerpos másicos. En ese enfoque la mecánica estudia también las ecuaciones de evolución temporal de sistemas físicos como los campos electromagnéticos o los sistemas cuánticos donde propiamente no es correcto hablar de cuerpos físicos.

MECANICA DE LOS SOLIDOS DEFORMABLES La mecánica de los sólidos deformables forma parte de la mecánica clásica y estudia el comportamiento de los cuerpos sólidos deformables ante diferentes tipos de situaciones como la aplicación de cargas o efectos térmicos. Estos comportamientos, más complejos que el de los sólidos rígidos, se estudian en mecánica de sólidos deformables introduciendo los conceptos de deformación y de tensión mediante sus aplicaciones de deformación.

Una aplicación típica de la mecánica de sólidos deformables es determinar a partir de una cierta geometría original de sólido y unas fuerzas aplicadas sobre el mismo, si el cuerpo cumple ciertos requisitos de resistencia y rigidez. Para resolver ese problema, en general es necesario determinar el campo de tensiones y el campo de deformaciones del sólido. Las ecuaciones necesarias para ello son:

Arq. Jorge A. Porras Allende

Página 3

Apuntes de Comportamiento estructural  Ecuaciones de equilibrio, que relacionan tensiones internas del sólido con las cargas aplicadas. Las ecuaciones de la estática son deducibles de las ecuaciones de equilibrio. 

Ecuaciones constitutivas, que relacionan tensión y deformación, y en las que pueden intervenir también otras magnitudes como temperatura, velocidad de deformación, deformaciones plásticas acumuladas, variables de endurecimiento, etc.



Ecuaciones de compatibilidad, a partir de la cual pueden calcularse los desplazamientos en función de las deformaciones y las condiciones de contorno o enlace con el exterior.

ESTATICA La estática es la rama de la mecánica clásica que analiza las cargas (fuerza, par / momento) y estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas físicos en equilibrio estático, es decir, en un estado en el que las posiciones relativas de los subsistemas no varían con el tiempo. La primera ley de Newton implica que la red de la fuerza y el par neto (también conocido como momento de fuerza) de cada organismo en el sistema es igual a cero. De esta limitación pueden derivarse cantidades como la carga o la presión. La red de fuerzas de igual a cero se conoce como la primera condición de equilibrio, y el par neto igual a cero se conoce como la segunda condición de equilibrio.

SISTEMAS ISOSTATICOS La estática proporciona, mediante el empleo de la mecánica del sólido rígido, solución a los problemas denominados isostáticos. En estos problemas, es suficiente plantear las condiciones básicas de equilibrio, que son: 1.El resultado de la suma de fuerzas es nulo. 2.El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo. Estas dos condiciones, mediante el álgebra vectorial, se convierten en un sistema de ecuaciones; la resolución de este sistema de ecuaciones es la solución de la condición de equilibrio. Existen métodos de resolución de este tipo de problemas estáticos mediante gráficos, heredados de los tiempos en que la complejidad de la resolución de sistemas de ecuaciones se evitaba mediante la geometría, si bien actualmente se tiende al cálculo por ordenador.

Arq. Jorge A. Porras Allende

Página 4

Apuntes de Comportamiento estructural SISTEMAS HIPERESTÁTICOS Para la resolución de problemas hiperestáticos (aquellos en los que el equilibrio se puede alcanzar con distintas combinaciones de esfuerzos) es necesario considerar ecuaciones de compatibilidad. Dichas ecuaciones adicionales de compatibilidad se obtienen mediante la introducción de deformaciones y tensiones internas asociadas a las deformaciones mediante los métodos de la mecánica de sólidos deformables, que es una ampliación de la mecánica del sólido rígido que, además, da cuenta de la deformabilidad de los sólidos y sus efectos internos. Existen varios métodos clásicos basados en la mecánica de sólidos deformables, como los teoremas de Castigliano,las fórmulas de NavierBresse, método de Cross o Cani.

APLICACIÓN DE LA ESTATICA La estática abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto como de sus partes constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material. Uno de los principales objetivos de la estática es la obtención de esfuerzos cortantes, fuerza normal, de torsión y momento flector a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos. Su importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construirá, las dimensiones que deberá tener, límites para un uso seguro, etc., mediante un análisis de materiales. Por tanto, resulta de aplicación en Arquitectura, ingeniería estructural, ingeniería mecánica, construcción, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para el análisis de una estructura en movimiento es necesario considerar la aceleración de las partes y las fuerzas resultantes. RESISTENCIA DE MATERIALES La resistencia de materiales clásica es una disciplina de la ingeniería mecánica y la ingeniería estructural que estudia los sólidos deformables mediante modelos simplificados. La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo. Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Generalmente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.

Arq. Jorge A. Porras Allende

Página 5

Apuntes de Comportamiento estructural

2. CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD. En geometría, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio n -dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente, es el promedio de todos los puntos de X . En la Física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio.

Area= π d 2/ 4

Area= bh

Area= bh/2

h

h h/2

d/2 b

4r/3π

r

h/3

d/2 b/2

Area= π d 2/ 8

r

b/3 d

b

Consideremos un cuerpo material: Para que el centroide del cuerpo coincida con el centro de masa, el cuerpo debe tener densidad uniforme o una distribución de materia que presente ciertas propiedades, tales como la simetría. Para que un centro de masa del cuerpo coincida con el centro de gravedad, el cuerpo debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme. CENTRO DE GRAVEDAD el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo. El C.G. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el C.G. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.

Arq. Jorge A. Porras Allende

Página 6

Apuntes de Comportamiento estructural

El centro de una figura en el eje X y Y son: y ∑ Xi ( Area i) Ẋ = ------------------(∑ Area i)

∑ Yi ( Area i) Ȳ = ------------------(∑ Area i)

1

10

Area 1 = 10 x 7 = 70 Area 2 = 6 x 4 = 24 ∑ Area i = 70 + 24 = 94

4

2

Ȳ = 4.23

x Ẋ = 5.16 6

7 X1 (Area 1 ) + X2 (Área 2) 3.5 x 70 + 10 x 24 Ẋ = ------------------------------------ = --------------------------- = 5.16 ∑ Area i 94 Y1 (Area 1 ) + Y2 (Área 2) 5 x 70 + 2 x 24 Ȳ= ------------------------------------ = --------------------------- = 4.23 ∑ Area i 94

Determinar el centro de gravedad de la figura siguiente: ∑ Xi ( Area i) Ẋ = ------------------(∑ Area i) ∑ Yi ( Area i) Ȳ = ------------------(∑ Area i)

Area 1 = 10 x 8 = 80 Area 2 = 4 x 5 / 2 = -10 Área 3 = 3.14 x 8 2 / 8 = 25.13 ∑ Area i = 70 -10 + 25.13 = 85.13 Y3 = 10 + (4r / 3 π) = 10 +(16/(3 π) 10 Y3 = 11.7

3 Ȳ = 8.0

1 5

2 Ẋ = 4.31

4 8

X1 (Area 1 ) + X2 (Área 2) + X3 (Área3) 4 x 80 - (4+4/3) 10 + 4 (25.13) Ẋ = ------------------------------------------------------- = ----------------------------------------- = 4.31 ∑ Area i 85.13 Y1 (Area 1 ) + Y2 (Área 2) + Y3 (Área3) 5 x 80 - (4/3) 10 + 11.7 (25.13) Ȳ = ------------------------------------------------------- = ----------------------------------------- = 8.0 ∑ Area i 85.13

Arq. Jorge A. Porras Allende

Página 7

Apuntes de Comportamiento estructural

3. SISTEMAS DE FUERZAS TIPOS DE FUERZAS

1. Fuerza de Contacto: La que se genera producto del contacto de dos cuerpos

2. A distancia: gravedad, magnética

3. Concentrada

4. Repartida o distribuida.

TIPOS DE SISTEMAS DE FUERZAS Colineales Concurrentes COPLANARES (Mismo plano)

(de acción en un punto común)

No colineales Paralelas

No concurrentes

No paralelas

Concurrentes NO COPLANARES (En el espacio)

(de acción en un punto comun)

Paralelas No concurrentes

Arq. Jorge A. Porras Allende

No paralelas

Página 8

Apuntes de Comportamiento estructural Sistemas de fuerzas coplanares COPLANARES

No concurrentes paralelas

Concurrentes Colineales

Concurrentes No colineales

No concurrentes No paralelas

Sistemas de fuerzas no coplanares

Concurrentes

No concurrentes No paralelas

No concurrentes paralelas

Arq. Jorge A. Porras Allende

Página 9

Apuntes de Comportamiento estructural 1. Composición de fuerzas: Pasar de un sistema complejo de fuerzas a uno más simple.

R = F1 + F2

F1 F2

Fy

F1

2. Descomposición de fuerzas: Pasar de un sistema más simple a uno con mayor número de fuerzas.

Fx

3. Equilibrio de fuerzas: es cuando un sistema de fuerzas se equilibra manteniendo estático el cuerpo.

F1 E = - (F1 + F2) F2

1 Sistema de fuerzas colineales

(Coplanares-concurrentes- colineales) Las fuerzas están sobre la misma dirección. Pueden estar orientadas para el mismo sentido o en sentido opuesto. Cuando están en el mismo sentido se suman ya que se potencia el efecto de las fuerzas. Por ejemplo, si tenemos dos fuerzas de 45 N y de 60N su resultante será de 105N. Pero si estarían en sentido contrario se restarían. Con estos números nos daría 15N la resultante.

60 N 45 N R= 60 - 45 = 15 N

1. sistemas de fuerzas paralelas (Coplanares - No concurrentes - paralelas) Su nombre lo indica. son paralelas y existen métodos para calcular su Resultante. Pero si van al mismo sentido la Resultante será la suma de ambas. Si van en sentido contrario será la resta entre ellas. Sin embargo lo que lleva más trabajo es encontrar el punto de aplicación.

F1=20 N

F1=40 N F1=15 N

R= - 20 + 40 -15 = 5 N.

Arq. Jorge A. Porras Allende

Página 10

Apuntes de Comportamiento estructural 1 Sistema de fuerzas concurrentes (resultante)

(Coplanares – concurrentes – No colineales) Son aquellos sistemas en los cuales hay fuerzas con direcciones distintas pero que se cruzan en un punto determinado, ya sean sus vectores o sus prolongaciones. Para hallar la resultante en estos casos hay que trabajar con las fórmulas de seno, coseno y Pitágoras.

+ F3 = 70 N. F2 = 30 N.

-

α = 30°

F1 = 40 N.

+

Aquí podemos ver tres fuerzas en distintas direcciones. F1 sobre el eje X, F2 a 30° del eje X y F3 sobre el eje Y. Primero lo que debemos hacer es calcular la sumatoria de las fuerzas en X y luego la sumatoria en Y. Para las fuerzas en X vemos que F1 ya está sobre el eje X y mira a la derecha es decir, es positiva. La F2 es más complicada porque no está sobre ningún eje, sin embargo, se la puede descomponer para obtener su proyección en cada uno de los ejes. Con el coseno se obtiene su componente en X y con el seno su componente en Y. Fx = F1 + F2.cos 30° Fx = 40N + 70N. cos 30° Fx = 40N + 60.62N = 100.62N Para Fy tenemos la F3 que mira para arriba (positiva) y la componente en Y de F2 (F2.sen 30°). Fy = 30N + 70N.sen 30° Fy = 30N + 35N = 65N Tenemos ahora solo dos fuerzas la Fx y la Fy. Entonces podemos usar la fórmula de Pitágoras para hallar la resultante que sería la hipotenusa en el teorema de Pitágoras. R = RAIZ (Fx2 + Fy 2 ) R = RAIZ ( 100.622 + 652 ) R = 119.79 N Este es el valor de la resultante. Es su módulo, pero aún no sabemos su ángulo con respecto al eje x. Lo podemos hallar con la tangente. Sabemos sin hacer cálculos que al ser Fx y Fy positivas la R debe caer en el primer cuadrante de los ejes. Tag α = Fy/Fx Tag α = 65 N / 100.62 N = 0.646 Este es el valor de la función tangente pero no le valor del ángulo. Para el valor del ángulo hacemos la inversa y arroja el valor de: α = 32.86° = 32° 51’ 44”  La resultante es una fuerza de 119.79 N a 32.86 °.

Arq. Jorge A. Porras Allende

Página 11

Apuntes de Comportamiento estructural  La resultante es una fuerza de 119.79 N a 32.86 °.

+ F3 = 70 N. F2 = 30 N.

-

α = 30°

F1 = 40 N.

-+

+ R = 119.79 N

-

α = 32.84°

+

-

Sistema de fuerzas concurrentes (equilibrante)

El cable de la grúa esta unido a un cajón neumático en reposo de masa igual a 300 kg, la tensión en el cable es de 1 kN. Determinar la fuerza normal y de fricción ejercidas sobre el cajón por el suelo.

T = 1000 N

α = 40°

ESTRATEGIA Como el cajón esta en equilibrio podemos determinar las fuerzas normales y de fricción dibujando su diagrama de cuerpo libre y usando las ecuaciones.

W = 300 x 9.81 m/s2 = 2943 N

Arq. Jorge A. Porras Allende

Página 12

Apuntes de Comportamiento estructural Aislamos el cajón de su entorno y luego complementamos el diagrama de cuerpo libre mostrando las fuerzas que actúan sobre él, las fuerzas son; el peso w= 2943 N, la fuerza T = 1000 N ejercida por el cable y la fuerza normal N y la fuerza f de fricción ejercida por el suelo.

T = 1000 N T seno 40° α = 40° T coseno 40°

f

N

W = 2943 N Aplicación de las ecuaciones de equilibrio. Establecemos el sistemas coordenado que se muestra al descomponer la fuerza ejercida por el cable en sus componente X y Y, obteniendo las ecuaciones de equilibrio.

T = 1000 N

Suma Fx = f – Tcos 40° = 0 Suma f y = T seno 40° - W + N = 0 T seno 40°

α = 40°

La fuerza de fricción f es f = T cos 40° = 1000 cos 40° = 766 N

T coseno 40°

f

N La fuerza normal es N = W – T seno 40° = 2943 – 1000 seno 40°

W = 2943 N

N = 2300 N.

Arq. Jorge A. Porras Allende

Página 13

Apuntes de Comportamiento estructural

4. DIAGRAMA DE MOMENTOS Y CORTANTES EN VIGAS

La aplicación de una carga en una viga genera esfuerzos cortante y momentos flexionantes.

Aplicación de carga a una viga

Si dividimos a la mitad una viga

Flexión de una viga sometida a cargas

Encontramos fuerzas que equilibran a la viga

Los momentos flexionantes se componen de esfuerzos a tensión y compresión como se muestra considerando un eje neutro.

Cuando el esfuerzo de flexión deforma la viga en forma cóncava se considera momento positivo, y cuando es convexa se considera Negativo.

Flexión positiva

Flexión Negativa Las fuerzas cortantes consideran una convención de signos analizando una viga libre de carga y aplicando una carga a ambos lados de la viga se obtiene lo siguiente:

Fuerza cortante positiva

Arq. Jorge A. Porras Allende

Fuerza cortante negativa

Página 14

Apuntes de Comportamiento estructural

Procedimiento de calculo del diagrama de fuerza cortante de una viga 1. Determinar las reacciones en los apoyos

+

-

Utilizando las ecuaciones de equilibrio de la estática. ∑MA=0 0 = +10x2 + 15 *2.5 *4.75 – 6 Rb Despejando Rb Rb = ( 20+ 178.13 ) / 6 = 33.0 ∑Fy= 0 0= -10 – (15*2.5) + 33.2 + Ra Ra = +10 +37.5 - 33.02 = 14.5

Ra

Rb

Cálculo de la fuerza cortante y momento flexionante a la distancia x 0