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• Sergio Sanchez

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GU´IA DE COMBINACIONES. TEOR´IA COMBINATORIA 1. Se disponen de 10 jugadores para integrar un equipo de baloncesto. ¿Cu´antos equipos diferentes pueden formarse? 2. En una oficina trabajan 5 hombres y 5 mujeres. De entres estos se van a escoger 4 para formar un equipo que deber´a trabajar el d´ıa Domingo. ¿Cu´antos equipos diferentes pueden formarse si: (a) No existen restricciones? (b) Debe estar formado por dos hombres y dos mujeres? (c) Debe estar formado por dos hombres y dos mujeres; pero una mujer espec´ıfica no debe estar en el equipo de trabajo ? (d) Debe estar formado por dos hombres y dos mujeres; pero un hombre especifico debe estar en el equipo de trabajo? 3. De entre un total de seis ni˜ nas y cuatro ni˜ nos se escogen dos ni˜ nos y tres ni˜ nas ¿De cu´antas maneras puede hacerse la escogitaci´on? 4. De entre 12 trabajadores, uno de los cuales es mujer, se van a elegir tres para que trabajen horas extras ¿De cu´antas formas diferentes se puede hacer la escogitaci´on si (a) No hay restricciones? (b) La mujer debe ser seleccionada? (c) La mujer no debe ser seleccionada? 5. Ocho personas van a ser asignadas a dos salones diferentes. Si cada sal´on debe tener por lo menos 3 personas. ¿De cu´antas maneras diferentes pueden ser asignadas las personas? 6. ¿Cu´antas cantidades de seis cifras, que incluyan tres n´ umeros pares y tres impares, se pueden formar con 1,2,3,4,5,6,7,8 y 9? 7. con 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cu´antas comisiones de 5 personas, con por lo menos tres hombres, pueden formarse? 8. ¿Cu´antos son los anagramas de la palabra BULGARO que no poseen dos vocales adyacentes?1440 9. Se toman tres enteros diferentes del conjunto {1, 2, 3, · · · , 20}. ¿De cu´antas formas se pueden tomar de tal manera que su suma sea divisible por 3? 10. ¿Cu´antos subconjuntos de tres elementos tiene el conjunto{a, b, c, d, f } ? 11. ¿De cu´antas maneras podemos seleccionar un comit´e de tres personas de entre 10 profesores? 120 12. ¿De cu´antas maneras podemos seleccionar un comit´e de siete personas con un presidente de entre veinte personas? 542640 13. ¿De cu´antas maneras podemos seleccionar un comit´e de siete personas con un presidente y un secretario de entre viente personas ? 3255840 14. Una se˜ nora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene. a) ¿Cu´antas maneras tiene de invitarlos? 462 , b)¿Cu´antas maneras tiene si entre ellos est´a una pareja de reci´en casados y asisten el uno sin el otro? 210 , c) ¿cu´antas maneras tiene de invitarlos si Don Vicko y Don Alas no se llevan bien y no van juntos?

15. Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cu´antas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno. 210 16. ¿Cu´antos son los n´ umeros naturales de 7 d´ıgitos en los cuales el d´ıgito cuatro figura exactamente 3 veces y el d´ıgito 8 exactamente 2 veces?13440 17. Se toman tres enteros diferentes del conjunto {1, 2, 3, · · · , 19, 20}. ¿En cu´antas formas se pueden seleccionar de tal manera que su suma sea divisible por 3? 384 Santos 18. Una estanter´ıa contiene 14 libros. ¿De cu´antas maneras podemos seleccionar seis libros, si no seleccionan dos libros que est´en uno junto al otro? 84 cadenas de ceros y unos. 19. ¿De cu´antas formas es posible dividir 15 atletas en tres equipos de 5 atletas, denominados Esporte, Tupi y Minas? C515 C510 20. ¿De cu´antas formas es posible dividir 15 atletas en 3 equipos de 5 atletas? anterior dividida entre 6 21. ¿De cu´antas formas es posible dividir 20 objetos en 4 grupos de 3 y 2 grupos de 4? 67897830000 22. Con los d´ıgitos del 0 al 9. ¿Cu´antas secuencias de longitud 5 pueden ser formadas de forma tal que aparezcan exactamente dos de los diez d´ıgitos?1350 23. En cada subconjunto de 7 elementos del conjunto {1, 2, 3, · · · , 9, 10} se escoje el elemento mayor. ¿Cu´al es la suma de todos los elementos mayores? 24. Determine el total de n´ umeros enteros de cuatro d´ıgitos formados con exactamente dos d´ıgitos distintos. 567 25. ¿Cu´antos enteros positivos de seis d´ıgitos existen cuya suma de sus d´ıgitos sea par? 450000 26. En una escuela , x profesores se distribuyen en 8 jurados de forma que cada profesor participe de exactamente dos jurados y cada dos jurados tienen exactamente un profesor en com´ un. a) Calcule x b) Determine cu´antos profesores hay en cada jurado. 28 y7 27. Un domador de fieras quiere sacar a la arena del circo 5 leones y 4 tigres. Un tigre no puede ir detr´as de otro. ¿De cu´antas maneras se pueden distribuir las fieras? 28. Una persona desea invitar a 2 o m´as de sus amigos para una fiesta. ¿De cu´antas maneras los puede invitar? 247 29. En un estante hay 12 libros. ¿De cu´antas maneras se pueden escoger 5 de ´estos de modo que no haya dos juntos? 56 MIR 30. ¿De cu´antas formas podemos seleccionar p elementos del conjunto {1, 2, 3, · · · , n} sin seleccionar dos n´ umeros consecutivos ? 31. 2n Sillas se colocan alrededor de una mesa redonda. ¿De cu´antas maneras se puede seleccionar r (1 ≤ r ≤ n) sillas tal que no hay dos de ellas que est´an una junto a la otra. estudiar vv springer 32. Determina la cantidad de n´ umeros enteros de seis d´ıgitos formados por 3 n´ umeros pares y tres n´ umeros impares. 281250 33. Determina la cantidad de n´ umeros enteros de 5 d´ıgitos que contienen exactamente tres d´ıgitos impares.

34. Determina la cantidad de n´ umeros enteros de 2n d´ıgitos que contienen exactamente n d´ıgitos impares. 35. En un examen de ciencias, un estudiante debe responder 7 preguntas de 10 dadas ¿De cu´antas maneras diferentes debe seleccionar, si el debe responder por lo menos, 3 de las primeras 5 preguntas? 110 36. ¿De cu´antas maneras se pueden distribuir 3 objetos id´enticos en 4 recipientes diferentes de modo que en cada recipiente no haya m´as de un objeto? 4 37. ¿Cu´antas diagonales tiene un pol´ıgono de n lados? 38. De cu´antas maneras pueden seleccionarse tres enteros positivos diferentes menores o iguales que 30 tal que su suma es un n´ umero par. C215 C115 + C315 39. ¿De cu´antas maneras pueden distribuirse 8 personas en 4 habitaciones, una con 3 camas, dos con 2 camas y una con una sola cama, sin tener en cuenta el orden de las personas dentro de las habitaciones? 1680 40. De cu´antas maneras puede seleccionar tres n´ umeros diferentes de {1, 2, 3, · · · , 98, 99, 100} tal que uno de ellos es media aritm´etica de los otros dos. 2C250 41. Cinco bolas id´enticas se distribuyen entre siete hijos. ¿De cu´antas maneras se puede hacer esto si cada ni˜ no recibe como m´aximo una pelota. 42. Determine el n´ umero de arreglos de m unos y n ceros tal que no hay dos unos adyacentes. 43. Cu´antos anagramas de la palabra LOCOMOTIVE no tienen dos letras O una junto a la otra. 7!C38 44. Averiguar cu´antas guardias de 5 personas se pueden organizar con 14 soldados con la condici´on de que el m´as antiguo participe en todas ellas. 45. En un grupo de 5 hombres y 6 mujeres se ha de formar un comit´e de 4 personas. ¿De cu´antas maneras se podr´a formar dicho comit´e si, a) ha de estar integrado por dos hombres y dos mujeres?, b) tiene que haber m´as mujeres que hombres?, c) tiene que haber por lo menos 3 hombres? 46. Determinar cu´antos productos diferentes con tres factores diferentes podemos obtener con los n´ umeros 13,15,17,19,21 y 23, tomados tres a tres. 47. En un torneo de Ajedr´ez, intervienen 8 jugadores. ¿Cu´antas partidad deben programarse,si cada jugador debe enfrentarse 3 veces con cada uno de los restantes?3C28 48. Se tiene 6 n´ umeros positivos y 8 negativos. Se eligen 4 n´ umeros arbitrariamente sin sustituci´on y se multiplican. ¿De cu´antas formas el producto es un n´ umero positivo? 49. Un estudiante tiene que contestas 8 de 10 preguntas. ¿De cu´antas maneras puede el estudiante contestar las ocho preguntas? 50. ¿Cu´antos grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 qu´ımicos y 7 bi´ologos de manera que en cada uno se encuentren 4 qu´ımicos? 51. En una juguer´ıa se tienen las siguientes frutas: papaya, carambola, pl´atano, pi˜ na,fresa, l´ ucuma, sand´ıa; se puede saber cu´antos tipos diferentes de jugos se puede hacer sabiendo que cada uno debe estar echo a base de tres frutas y que la carambola y la fresa nunca deben combinarse ya que el jugo ser´ıa demasiado a´cido. C37 − C15 52. Seis amigos se encuentran en un centro comercial. ¿Cu´antos saludos de mano intercambian, si cada amigo estrecha la mano de todos los dem´as solo una vez? 15

Figure 1: 53. Cu´antos rect´angulos hay en un rect´angulo de mxn, como se muestra en la figura 1. 54. ¿Cu´antos tri´angulos quedan determinados por 10 puntos, donde 3 puntos cualesquiera nunca est´an en l´ınea recta? 120 55. La Chelita tiene 12 amigos de los cuales 2 no pueden estar a la vez en la misma reuni´on, de cu´antas maneras se podr´a invitar a 7 de ellos. 540 56. ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden distribuir, entre ocho personas, tres medallas de oro, tres de plata y dos de bronce, si a cada persona le toca una medalla? 560 57. En una reuni´on hay 10 varones y 5 mujeres. Si se van a formar grupos de 3 personas, ¿Cu´antos grupos diferentes se formar´ıan? considere que como m´aximo puede haber 2 mujeres en el grupo. 445 58. ¿Cu´antas comisiones de 5 alumnos se pueden obtener de un grupo de 12 estudiantes, si hay 4 que no pueden participar y adem´as el presidente de dicha comisi´on ser´a aquel que obtenga mejores calificaciones? C11 C47 59. ¿De cu´antas maneras se puede seleccionar a 10 personas, de un grupo de 15 personas, si 2 de ellas siempre deben pertenecer a dicha selecci´on? 1287 60. Un estudiante debe contestar 7 de 10 preguntas de un examen. Indique de cu´antas maneras puede escoger en los siguientes casos: (a) Las 7 preguntas (b) Si las dos primeras son obligatorias. (c) Si debe contestar 3 de las 6 primeras. 61. Un examen consta de 12 preguntas, de las cuales el estudiante debe contestar 10. Si de las primeras 6 debe contestar por lo menos 5, ¿cu´antas posibilidades de elegir tiene el estudiante? 62. De un grupo de 9 personas se requiere escoger un grupo de 7 para abordar un bote con 6 remos y con un tim´on. ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden ubicar, sabiendo que de las 9 personas solo 5 pueden llevar el tim´on? 100800

63. De un grupo de 9 personas se deben escoger 7 para abordar un bote de 6 remos y un tim´on. ¿De cu´antas maneras diferentes podr´ıan ubicarse, si se sabe que hay 2 personas que no pueden remar del mismo lado y estas son diferentes a las dos que s´olo pueden llevar el tim´on y no remar? Lumbreras aritm 64. Seis hombres y seis mujeres compiten realizando cierta tarea. si los seis primeros puestos son ocupados por cuatro hombres y dos mujeres. Determine el n´ umero total de casos. 2 225(6!) 65. ¿De cu´antas maneras se pueden elegir 4 parejas entre 30 personas? C230 C228 C226 C224 /4! 66. ¿Cu´al es el n´ umero de cuaternas (a, b, c, d) de n´ umeros enteros que satisfacen 0 < a < 19 b < c < d < 20 ? C4 67. ¿De cu´antas maneras se puede ordenar la palabra EXAMENES si no pueden haber dos ”E” adyacentes? 2400 68. Un ni˜ no toma un l´apiz, y traza al azar, 4 segmentos de recta. Si cada segmento toca solo dos puntos. ¿cuantos segmentos distintos podr´an trazarse? 70

69. ¿Cu´antos caminos de longitud m´ınima hay desde la esquina inferior izquiera hasta la es-

quina superior derecha si los recorridos son hacia la derecha y hacia arriba?

70. ¿Cu´antos caminos de A hacia B pasan por C si los recorridos son s´olo hacia arriba y hacia la derecha?

71. Con los d´ıgitos 1,2,3,4,5,6 y 7 de cu´antas formas podemos permutarlos de modo que los impares queden siempre en orden creciente. 3!C47 72. Con las letras a,e,i,o,b,c,d,f,g cu´antas palabras de 6 letras distintas pueden ser formadas, usando 3 vocales y 3 consonantes.

73. Obtener el n´ umero de maneras en el nueve ceros y seis unos pueden ser colocados en l´ınea de modo que dos unos no aparezcan juntos. 74. Sea P el conjunto compuesto por 4 puntos del espacio: A, B, C, D. Se llama arista a un segmento de recta que une dos puntos de P. (a) ¿Cu´antas aristas existen? (b) ¿Cu´antos tri´angulos hay que tengan por v´ertices los puntos de P? (c) ¿Cu´antos tetraedros hay que tengan por v´ertices los puntos de P? 75. En un baile hay 12 chicos y 15 chicas. En cu´antas maneras pueden ellos formar 4 parejas consistentes de diferente sexo? 16216200 76. ¿Cu´antas l´ıneas quedan determinadas por m puntos en el plano si k puntos de ellos(y s´olo estos) est´an sobre una recta? C2m − C2n + 1 77. ¿De cu´antas maneras pueden distribuirse 3n objetos en 3 cajas distintas, de modo que cada caja reciba n objetos?