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Unidad /~utoformativa No.1

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Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercialCompartirIgual 4.0 Internacional.

Servicio Nacional de Aprendizaje SENA Subdirecci6n General de Operaciones División de Programación Didáctica Bogotá - Colombia Noviembre de 1977

M/\TEMATICA S lJr.iA Unidad Autoformativa No. 1

Elaborado por:

C.B.S.:

Nestor Jiménez Carlos Pizarro Pedro Sosa

Colecci6n Básica SENA Materia! en Prueba

"Prohibida la publicación total o parcial de este documento sin la autorizaci6n expresa del SENA". ~ENA REGIONAL DE 113~w:n·• CENTRO COMERW•L CH.\~IPi'-'~< P,! F)¡l

!(·

:io'; . .

1 CODIGO W'l'fllRESIDUO

Dividir 54 entre 7 54

-49

L

2

¡.......t-7_

7

5 --~ RESIDUO

---·-··---------------J

'Al ifectuar una divisi6n

se efectGa el siguiente procedimiento

Se coloca el nG~ero que se va a divtdir como dividendo, fuera del si0no de div1si6n y el ~ivisor derecho de fl. EJE~1PLO:

!

DG4 fJY\IIüiDO

2.

1

Separe en el dividendo un número de cid;~

fras IG!It!J.. al 'ltir.Jer·o

c:if~~ds

r;ue ':')11-

tien~

el divisor. En el ejemplo se separa una cifra por~ue el divisor tiene solame n t e tH'Iil cifra. Para separar la cifra o cifras se e '11 pi e z a por· ·la j z.......r¡.:.. u i e r da . "

•"·

3.

C~lcule

4.

LGego procedemos a probar el cociente

cuántas veces contiene el dividenJo al div~sor, pa~a establecer que cocient~ se va a probar. El 2 est~ 4 veces en el 8~ lo colocamGS en el cociente para probarlo

mu1tin1·icando e1 divisor por e1

cocien--

te de prueba (si hubiese más de una cifra en el divisor, se empieza nor la co·¡umna dP 1a.s UNIDADES)

E1

producto se

coloca debajo del dividendo

2 ¡-------í 4

1

I

~~~~-------------Tr--,--~--~-, __., ! Uf. : (4/4 1

1 '

~ ~-~ ."

5

~···-@

L_ DIVI

Una vez colocado e1 producto hallado al multiplicar el cociente de prueba

.

--·--L-f ~·_· __

1

f

por el divisor, 1o RESTAMOS de la ci-

=O

fra separada en el dividendo. 8 - 8

~

8'64 8

4

1

o Si por el contrario el cociente

¡E

de

·prueba es mayor que la cifra separada en el dividendo y por 1o cual

1 1

no se puede efectuar la resta, debemos cambiar el cociente de prueba por un número menor. EJEMPLO:

1.

9'5 1 .. u

1

¡:;

f-e.;,¿____ 2

l

~

Vemos que 2 x 5 = 10 y de el dividendo 9 no podemos restar 10. Cambiamos el cociente de prueba 2 por un namero inferior. 9'5

5

4

6.

Posteriormente se baja del

dividendo~

M-· 1

la

cifra siguiente a la que se habfa separado para colocarse a la derecha de la cifra que tenemos como residuo. 8'6~

8 06

1

~

1 1

~-

¡

4

1 1

1

'1' .

1 1 .i

1 1

·----------------------------·-----M--~~-~---------~--~

~~-C--~-B___ -S__J___E_X_F-,l~~I-.c-:A_C_I_O__~-,·-----------·-----------~~-R-}:-F..----·-·-·--·1~·~-¡-~~ División de Programacíón

7.

OI VI S I ON

P ROCEDI MI ENTO

Repita, todo el proceso de división hasta que todas las cifras del dividendo se hayan acabado. 8'6'4

·~---_.._ 2_

8

432

oo 6 04

4

o NOTA: En algunos casos~ al bajar la cifra del dividen~o y colocarla a la derecha del residuo~ el número resultante no puede dividirse entre' el divisor; en este caso, se coloca un Cero (O) en el cociente y se baja la cifra siguiente del dividendo. 11

11

3!'2451 1.

Como el divisor tiene dos cifras, separamos dos cifras en el dividendo. 7

31 24 5

2.

Colocamos como cociente de prueba 2 y lo mu~tiplicamos por el divisor 2x15=30 31'245

3.

A las cifras que habíamos separado en el dividendo le restamos el producto ha11ado al multiplicar el cociente de prueba y el divisor, obtenemos l. .J

1

31 245 30 -'1

.l.

r 2

'----·-·-·----------·-·----·-·------------------J

PROCEDIMIENTO 4.

~·

1

Bajamos la cifra siguiente del divisor que es el 2 y nos forma el namero 12. Vemos que 15 es mayor que 12 y por lo tanto no cabe, no puede efectuarse la división, y nos vemos precisados a colocar O en el cociente. 31'2'45 r-15 . 1Q.. ; 20 12

5.

Para formar un número que sea divisible por el divisor, es necesario bajar la cifra siguiente. Bajamos el 4 y nos forma el número 124 que se puede dividir por 15 3 f2'4 75 30

··~

124

6.

Una vez tenemos el número divisible por el divisor, repetimos el proceso de la división hasta que las cifras del dividendo se hallan terminado. 31,2~'5'

30

124

120 0045

45

o

15 2 083

~ .- --""-- .._ f",XPL]C'l\ 1 B~ HoJA o E ExPLicAcroN - . - - , ; ; ; Proqramación ...... Í) -Divíst;¡;"de DI VI S I ON: PRO CEDI MI ENTO

Le

REF.

____________________ ____________ .~.._

EJEMPLO: Dividir 3 920 entre 47 ler Paso:

Separar dos cifras en el dividendo, porque el divisor tiene dos cifras. Observamos que 39 no puede dividirse entre 47, es necesario separar la cifra siguiente en el dividendo. 39 2o

r--4..L. 1

NOTA:

No utilice cero a la izquierda porque carece de valor.

Determinar el cociente de prueba. Calculamos cuántas veces está 4 en 39. (39 -:--4 .::::::::::._ 9) Pruebe con 9 9 X 47 3er Paso:

Cambiar a 8 porque el 9 es demasiado grande

4° Paso:

=

Aproximadamente igual. 3920 1 4 7__ 9 423 423

8 x 47

=

376

Restar. Entonces b§jese la cifra siguiente del dividendo 3920 487_ -376 16

t

5° Paso:

Determinar la cifra siguiente en el cociente de prueba 4 X 47 = 188

(16

4)

4 -4

3920 -376

83

160 -141 19

1

j

1

6° Paso:

Camb·iar a 3 porque e1 4 es demasiado

grande

L_____~

3 x 47 = 141

,_ _ _ _ j

~ EXPUCACION

- ;,.. ; Í.

~·-=-:~:~--'

~..,.·~;,;;;;,·..;,•;;...~~·-;.:MI6l!C;;;.;::;nm:.::";__:._D.;_!V.:...I::...;S...:I...:O.:.N.:..:...:__:P_R,;_:O...:C..:.E.:.D.:..;IM..;.;I::..;;E:.;.N:...:.T.;.O_ _ _ _..~,.I_ _ _ _ _ _~·i

l ~

11

1 1 g

1 ~

1

i 1 ~ ~ ¡

~

r:.

'1 t\

~

~

t 1 1 1¡ .1

i

! 1 1

7°

EN RESUMEN

~

; ~ IT

~

Paso:

~

~

Reste 141 de 160, la diferencia de 19 es e1 residuo. Como ya no hay más números en el dividendo que haya que dividir el cociente es 83 y e1 residuo 19. 3920

-376

~1,.

160

1;~

i'!

1

83

EN RESUMEN Paso:

Reste 141 de 160. la diferencia de 19 es e1 residuo. Como ya no hay más números en el dividendo que haya que dividir el cociente es 83 y el residuo 19. 3920

-376 160 141

r.83

!

19 l

PROBLEMA Si 608 pistones han costado $ 27 360.00. un pistón?

Cuál. será el valor de

ANA LISIS Si 1os $27 360.00 es e1 costo de 608 pistones entonces el costo de un pistón será menor y se obtendr~ dividiendo 27 360 entre 608. 27360 -2432 3040

3040 - O

608 45 (Cociente)

(Residuo)

El costo de un pistón será de $45.00 NOTA:

Cuando se tenga la práctica suficiente e~ esta operación el paso de 1a RESTA, debe efectuarse MENTALMENTE.

' SENA REGIONAL UJ::. t.1~v '""' . CENTRO COMERCIAl CHM'·INtiiO '; SIBLIOTECA

4~. ~[C:-_C--~-J------H,_O-~-A-~EX~-L-I-CA_C_I_O_N--------------:_R-.E~,F-;-.~~~=====~j-~~~-~,..;.;¡;;,_.-_,¡_;_·p;_o.::.;,gr_am_.;a...:.c...:.ión;.;._..:::D:..:I...:V.:.:..I..:::S:..:'I..:::Q4:.:..:N:_.:::_:CO N

DE C I:. :.~1.:.:.A.:. : L:.:E:.:S:. _ _ _ _ _ _--L-_ _ _ __

V1VIS10N VE VECIAtALfS

Cuando efectuamos divisiones con decimales

podemos

encontrar

dos tipos de ellos: l. División con decimales homogeneos 2. División con decimales heterogeneos

l.

VTVTSTON CON DECIMALES HOMOGENEOS: CONCEPTO Hablamos de decimales homogeneos cuando el nanero de ci fras decimales es il)ual en el dividendo y. en el divisor E~1 n~P LO:

5,678-+-

l.

o .546

PROCEVTMTENTO Para divi.dir decimales homog~neos, se elimina el pu~ to decimal y se procede en igual forma que en la división con nOmeros enteros (Recuerde que el cero a la izquierda carece de valor). 5673+ 546

2.

Si la división es inexacta (queda residuo) debe continuarse con cifras decimales. Para elles secoloca un punto decimal en el cociente (10) y se añade un cero al residuo. (218 queda 2180) 5678

546 02180

3.

~

110

Se efectúa todo el proceso de la división. NOTA: Esta operación se debe repetir de acuerdo

al

número de cifras decimales que exija el pro blema.

f' =-

A

¡a¡

¡¡¡;¡::,~~~·'!J!'l'.'!m~;·~~~~~·~~""'"""'''---~~--.$~N>I!'Jo:~--~~-..,-,,-....,__

1 ~~~. . . .=---'~.......~.... ,. '--.., " 1 CBS 1

_._l"'-......,.._ 1

111/4 HOJA DE EXPLICACION

~--· ~flfflackir. DI VI S I ON CON DEC rtv1 Al ES

Dill'ffllf:in •

·-~----,----'

-----------J.--------""'"1

l

¡546 ---

5678

110 .399

546

02180 ~1 8

i

5420

- 4914 5060 4914 ·146

Z.

VZV

TON CON VECI LES HETEROGENEOS CONCEPTO Consideramos que una d1visi6n se efectQa entre aecimales heterogeneos cuando el número de cifras decimales es ma yor que el dividendo o er. el divisor. Es decir, cuando el número de cifras decimales no es igua1 en el dividendo y en el divisor. EJEMPLO:

o • 1 28 4

1.

~_;: _0. .:;._.4.;...__

PROCEVTMIUJTO Para dividir decimales heterogeneos. se igualan las cifras decimales, ya sea en el dividendo o en el divisor~ añadiéndole tantos Cetqos" a la derecha de los decimales como cifras decimales faltan para igu~ larlas. En el ejemplo O 1284 tiene cuatro cifras d! 11

cimales, en tanto que 0.4 tiene solo una cifra decimal. Pat~a igua1ar·!as~ debemos al número 0 .. 4 agrega!_ le los ceros que requiere para que quede con cuatro • .¡: c1, ras decimales asf: 0.,4000. NOTA:

2.

Si a un número decima1 se 1e agregan 11 ceros 11 a la derecha, su valor NO se altera. EJEMPLO: 25$A = 25*40 = 25.400 = 25.4000

Se e·i iminan los puntos decimales y se efectúa la división así:

1284...;-4000

_ _ _ _1

f\éí·----

Di~~mr;~.:i.ó.n. ~.~-T~ S-~-~~l._E~-~-~-!~-~--~) ~-~-L_E_S A_I

12840

1

8400 1

8000 4000 4000 1

4000

¡o.32l

12ooo

o

_RE_F_ ... _ _ _ _ 1

______- - t_ _:_:_

--~..1 12/~

-1

r-----------------------------------··-------------·--~------------~--~ '13/4

VIVISION ENTRE ENTERO Y DECIMAL PROCEV1MIENTO

l. 2.

Se pone punto decimal al entero y se le aRaden tantos "ce ros" como cifras decimales tenga el decimal. Una vez Homogeneos dividendo y divisor, se suprimen puntos decimales y se dividen como enteros.

los

EJEMPLOS 1 .l..

Dividir 56 entre 0.114 Ponga punto decima1 a1 56 y añada 3 "ceros" porque

el

decimal tiene 3 cifras decimales. Y ~ueda 56.000 0.114. Ahora~ suprima el punto decimal y proceda a di vidir como si fueran enteros. 114___ 491.22 ...

56000

-456

1040 -1026 140 -114

260 -228 320

-228 92

1 1 1

i 1

1 1

1

2.

Dividir 56.03 entre 19 Coloque punto decimal a 19 y le agrega 2 "cerosu Queda 56.03 19.00. Ahora suprima los puntos decimales y divida como si fueran enteros. 5603

190_Q __

-3800 113030

2. 94 ...

-17100

··--930(f -7600

-·--r-rrm-

1

L---·---·--·

AUTOCONTROL l.

2.

Efectue las siguientes operaciones: a.

424+8

b. e.

603

f.

415-+7

g•

713-i-22

h.

5005 +32

d.

3200 +40 2 0247 92

i .

16

312+1~·

e.

8

~26

j.

53

204~-123

320

201

Efectuar las siguientes divisiones obtEniendo el resultado con dos cifras decimales: a. b.

3. 1 ·72. 7 30.573.6

e.

0.04+0.07

.

d.

425 304721.247

e.

171.272.3

1 1 1

3.

Efectue las siguientes a. 0.0421-~2 b. e.

202.470.702 323+41. 2

·ctivision~s:

d.

0.7-70.04

e.

423.03+73.1

4.

Una carga de 22 931 vatios~ está distribuida igualmente en 23 ramales. Dé la carga por circuito en vatios.

5.

Cuántas piezas de 13 pulgadas de largo pueden estamparse de un rollo de lámina de latón de 325 pulgadas de largo?

6.

Un lote de piezas de fundición pesa 11 060 kilos. Se sup~ ne que cada una pesa 28 kilos. Cuántas piezas habrá en el lote?

7.

Si e1 árbol del motor de una máquina da 9 730 revoluciones en 35 minutos, cuántas revoluciones dará por minuto?

_j

C@J

EJERCICIOS

Rl~f. ----~

División de Programación

DI VI S I ON,

1 if'/4-

¡

HOJA DE RESPUESTAS RESPUESTA$

l.

a.

53

f.

b.

3 80

9.

e. e.

22 320

a.

d.

2.

3.

1

h. i.

59.28 32.40 lS.G~40

j .

858.52 432.55

l. 14

d•

20.01

b.

3.47

e.

74.43

e.

0.57

a.

0.02

d•

b.

288.31

e.

c.

7.8:

4.

997 vatios por circuito.·

5.

25 piezas.

6.

395 piezas.

7.

273 revoluciones.

1 17. 5 5.7n

. L____ .__-------------------------J

REF. 11--,.~0--~-"!::,::~ D I V I S I O N •

16)4

__.:..:.H.;:.Q.::.,J;..;.f\__;:;.O.=.E_;;;.E..::..J..::.E.:..:.R..::..C..::..I..::..C..::.I.0:;;;..:::..5- - - . . . l - - - - - - - · - - - - 1

l

1 1

HOJA VE EJERCICIOS

1 1

Efectuar las siguientes divisiones:

1

1

1.

5683--.;-z¡

1 1

2,

73654-:-702

3~

8(:06

1

4,

33,92-7·1.6

1:: • ,)

]8"9'·''c'~ • _;¡ o ·.-¿,;¡

1

6. 7.

-:- 8.25 0.438-;-15

1 !

13.

875.45-;-296.63

9.

Hallar la d stancia de centro a centro de los aguj~ ros perforados en la pieza que representa la figu-

1

1

1!

·+ 133

1

r---, . .

1

~-----

q+++

t

-t--+-+++_j

! _. ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

._~

1

1 1 !

1 1

10.

LR di

onal de un cuadrado se obtiene dividiendo el lado por 0.707. Cu~nto mide la diagonal de un cua-

drado que tiene de lado 1.75 pulgadas.

,

•POTEN ClAC ION; Unidad Autoformativa No. 5

S

e lecci n S

Servicio Nacional de Aprendizaje SENA Subdirección Genera1 de Operaciones División de Programación Didáctica Bogotá - Colombia Noviembre de 1977

r~ATEMATICA

POTENCIACION Unidad Autoformativa No. 5

Elaborado por:

C. B. S. :

Néstor Jiménez Carlos Pizarra Pedro Sosa

Colección Básica SENA Material en Prueba

"Prohibida la publicación total ri parcial de este documento sin la autorización expresa del SENA".

li!ENA REGIONAl.. Wt:. tJ•J\on..>~·" CE~ITRO COMERCIAl CH!IPI~~ti'!O ~!SUOTEGA

HOJA DE l 1\ HE A División de Programación

5

POTENCIACION

HEF CODfGO

OBJETIVO 1---'------------'--,------'--'-'"'----'---~-------------"--

Una vez terminada la presente unidad, el trabajadoralumno estará capacitado para encontrar cualquier potencia de cualquier namero y de realizar multiplicaciones o divisiones entre potencias.

2

...

""

TEMA

- HOJA DE

HE

CONCEPTO Y GENERALIDADES DE POTENCIACION.

HE

NOTACION DE.LA POTENCIACION.

HE

MULTIPLICACION

HE

DIVISION DE PQTENCIAS E INTERPRETACION DE EXPONENTES NEGATIVOS.

HEJ

HOJA DE EJERCICIOS SOGRE POTENCIACI0N.

HEJ

HOJA QE RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS.

DE

POTENCIAS.

CODIGO

CONCEPTO V GENERALlVAVES En Matemáticas, muchas veces encontramos

operaciones de este

tipo: 3

X

3

=(D

5 X 5

Cuando tenemos el PROVUCTO

vemos que los factores son iguales. de factores iguales: 9, riOmeros es una POTENC1A

8 X 8 ~

El número 64 es una ,......t ms

,

25

49,

= ~~

etc, cada uno de

estos

=~

POTENCIA.

n•4~~~~~:~-W?~~~~~~~·;¡¡&!

tlfll"

~A P~~~ ~~~~GUALES .•

Ejemplo: 2 X 2

:.
S e'!

ba,5 e. ex po .vt e 11-te

es 1 a

¡a o ::t eJt

e..&

f5

1

1

:.~

-

75 X ?5 X 15 -

.••t

45

J

= 7 (Si re ~uestra exponente al~uno, el exponente es 1)

Todo n

ero tiene como exponente la unidad

(1)

y se so

brent'l ende. C' .:J

·--·

7

l,)

a. ¡~ t.~. l ".-.' e..•..,' ~-

~~·:

~

1, ,.,.;_\ "~~·

"' " '"' ,., ":..;\¡,; (

•·~"..:rV 1"' flENTR!l COME~Al tmAf\fNEI'Itl

se.rv,

í

et.,.,.fQ'te:e•

1

1L__________________

~

1

J

~~

División de Programación

VIV1S10N VE POTENCIAS A.

VE IGUAL BASE

Para dividir potencias de igual ba~e.~ se resta el exp~ nente del divisor del exponente del dividendo y por ba

se, se deja la menor. Veamos el por qu€ de la afirmaci6n anterior: Sabe.mo.é qu.e.: 4--:-- 1 ::: 4 2 --:A_!_ Pvr.o: 16-:-4 " 2 r¡: 24 -: 2 2 = 4 donde 4 (._

2¿"

::::

2 4 -~-')

--

2

2

:::

4

E j errrp.f.o

a. b.

B.

3 3-1 { O • 2 ) +O~a ( O • 2 )

:::

( O, 2 )

2

= O• O4

INTERPRETACION VEL EXPONENTE NEGATIVO Si seguimos el procedimiento. anterior~ en algunos casos

encontramos exprn.en.:te-6

lH'c¡c:ctivo-6

2 ¡:; "5 r.. :::: (.~ -~

? 2 . ·.·

:::

2-3

En este caso, y en todos aquellos en los cuales encontramos una potencia con exponente negativo, se TRAN FORMA la potencia en una FRACCTON, donde el numerador es la unidad~ y el denominador la misma potencia ·con el exponente positivo así: 2-3

=--;::;-J"'-1 = ------1 2

8

EJemplo: a)

10

-4

o. 1 2 5

-

1 ... 1 = ----= ·---4

10

10 000

=

0.0001

b) "1 l''¡' 3

0,.002

a.

d.

Cuatro a l cuarta potenc~a Diez a la septima potencia Un medio a la tercera potencia Tres a la segunda potencia por cuatro a la quinta

e.

potencia. Cuatro a la menos dos

b. e.

L •

4.

d~

vatoh

t)

a.

(15)

b.

84

e.

10- 2

d.

4

X

"l

• '"! 1

2

h~guiente&

exp~e.hione.J.>:

J

10 "'4 1 o~· :2

X•

23

a.,

2

b.

3 ") X 3.3 X 2° X 3L

Halla~

la6

2

X

X 2

4

')

e.l valoA de

la~

aiguie.

a.

10

c. •

5

10 S•

Hall ah ef vaco}[ (i (!, la.& ,..,

i.l.

b.

2j

X

d

--2

X

'5

-4

,(r.Ln u./ ente.&

4 X

4

~

:

5

",-!_,

2

X

e. xpJt e.l> ~.o vL e.'-> X

3

-- 3

o __ L,........ ----

Z

J(..... fj

X

4 t.

c..orno p

6'

va

d• 0 . 0001 n

...,

'·' • 1

4.741 6 2 . o1

el

____j

lREF. '

'18/5

7.

Para calcular la potencia en un circuito el~ctrico se apli 2 ca la fórmula P = I x R, donde P ~ Potencia (vatios), I =Intensidades (amperior), R =Resistencia (Ohmios). Determinar la potencia requerida por cada uno de los tres circuitos el~ctricos que utilizan 12 ?mperior de corriente y tienen una resistencia de 85 x 10 -l ohmios

8.

El área de un cuadrado se calcula multiplicando lado lado (A = L x L = L 2 ) Calcular el metros.

(rea de una lámina

por

cuadrada cuyo lado es 3,5

~

,......---.__ E.n•: RCICIOS

~ ~

REF.

HOJA VE 1•

z.

c. •

4

b.

10

11,

3 375 4 096

b.

('(

'

4

(t,

..

4'

7

c. d.

3

e.

4-2

0.01 0.0004

e..

0.017

1 2 32

·-

X

4

5

'b.

729

c..

1 152

125

b•

216

e.

10 000

b.

0.25

e.

-1 7 x 10 -3 4 741 X 10

e.

6201 X 10- 2

a.

96

6.

a.

3 X 10 10 - 4

b.

ci.

RESPUESTAS

512

S.

~/51

1------------~---~-

HO,J f\ DE RESPUESTA S: POT ENCI ACI b N

Dívisfón de Programación

1

-2

7.

122.4 vat·ios

8.

12.25 m2

d.

POTENCIAC!ON

~ 11 J

Resolver los siguientes e ercicius: •J.

.

2.

f

1

'03 L

J'

10- 4

4'

5

5' 6

4 '6

7.

...,2 .)

?

1 1

2 ,,¡::::

.

"('2 l i

X

42

1..t

X

.X

4

.,

f'¡

-3

'·1'

43

X

~

X

•') •J f ..

X

2

X

2

l!

1 8.

5

9.

2 1 o.

., 4 es un

veces exactamente. 2. 7 es factor de 56 :

lo contiene 8 veces exactas.

3. :3 es divisor de 24. C1 divisor o factor de un n~jmer'o~ está, conteni--

do en un nÚn•ero exacto de veces en dicho número.

/0-:_-i

;0~-2

20l

= = 101

'X'• __ •_ i -· ,J e> 'S

;=?() ...;-5

__

(

=4

2G -;- "10

20 720

¡

5

'-·

Los número2 oue dividen o estan contenidos en nÚmt-::ro exacto de veces en 20 son:

iO y 20 por lo tanto:

= 21 = !__1

L-~----------"-~-~~----·--·-·-·-----·------~··---·

1, 2, 4,

REF.

4/7

Hoja de Explicación HE C,L'--,RACTERES DE DIVISL3ILIDAD

Llamamos ffil..[])) a ciertas características oue tienen los númet~os y aue nos permiten saber por simple i.nspecci.ón, cuando un número es divisible por otro. 1. Un número es divisible por 2 cuando su Última cifra es paró "ce-

46 - 30 - 536 - 700 - 824

2. Un número es divi.sible ~~or 3 cuando al sumar sus ci.fr'as, el resultado obtenido es múltiplo de 3 !:Ejje·mn!lDTI«»:

a •

•

324, al sumar las cifras, (3

+ 2 + 4),

se obtie-

ne un resultado (9) y este es múltiplo de 3 entonces 324 es divisible por 3. b.

357, (3

+

5

+7

= 15) ===::P.

357 es divisible por~

3.

c.

1821 esdtvisiblepor3.

3. Un número es divisible por 5 cuando su Última cift~;::; es 5 ó "cero" 360 - 725 - 400 - 95 4. Pasos a seguir en la divisibilidad por 11

a.

Ordenar las cifras del número en sentido derecha·-izau'ierda 6 izquierda-derecha.

b.

Sun1ar las cifras que ocupan lugar impar.

c.

Sumar las cifras aue ocupan lugar

d.

De la suma obtenida en b. restar la suma ob-

r-~ar.

tenida en e. e.

Si. la diferencia obtenida es "cero11

de 11

ó múltiplo

entonces el n(

2

+2 =4 4=4

o El número 242 sf es divisible por _!2.

1

l__________,____.,___j

1 1 1

REF.

~

16/7.

Hoja de Expl'icac'ión HE FACTORES PRIMOS

Dívislón de Programación

Ya sabemos que un factor o divisor de un número es aquel que lo divide en un número IEX#\CC'l'f"(Q) de veces.

247 1

= 24

24~6

24-7 2

=

24+8 = 3

247 3

=8

24712=2

2474 =6

24724= 1

12

Los factores de 24 son:

= 4

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24

Pero aquÍ nos vamos a referi.r a un ti.po de factores muy específicos

au e

Bi.én,. si. ya conocemos cuales son los factores de 24, tomemos ahora los factores !FPIR·

2

~o~';>

e r e é u e e n 1 '" s f r a e e i o n e s a ! d e n o m-¡ n a d o r e o rn ú~ '%~'é-:;, ·~>,.. "~, ·:~ Es d e e i r : e s n e e e s a r i o mtd t i p 1 i e a r e a d a n :. m~t:~ r á)f~f _.._ por

J

.>.

~

el HISMO ntimero que se multiplicó el denorninadolo~~~ob­ ~o.. ~G>ó;..._ tener e1 m.c.d. 3 ... 3x4 12

7f

ih4

=

7 7x1 T6 -· ¡;

·'

""

P:z-6 ('

5x8 ,_,.

7 -- I-6·

-::::

""

16

3

7

4 + T6-

+-

5

2' =

40

--:;r .. -·

2

Se suman los nuevos numeradores y se deja como denomin3 dor el denominador coman. _:~? +

16

L.. 16

+

:o "' 16

59 ~

¡ ¡ 1

¡,.' ~-

('

·-------~----------J

PR.OCCVIMTENTO Observe las

gr~ficas

y

vea lo que ocurre.

+· 3

?

+

4

+

?

Para poder- decir ex aeta mente e u a 1 es el total de frac ciones que tenemos, se requiere:

+ l

r¡

t.

+

7

40

+

59

podemos contar y deci¡~ cuántos diez y seisavos tenemos. 59

11 3-.--

16

o 4 pos·ib1e.

NOTA:

Cuando se tenga suficiente prártica. el paso No. se efectaa mentalmente.

')

+

+

.)

+

=

5

~rz

5 3 T2 + 3

+

16

G

4

u

3

2

+ 1

41 t .. i

2 2

1

2

¡

0

4

3

1

1

2

3

1

1 ¡! 2

1

3

1

1

1

1.

¡-

,..,::J

2

1

i

X

L

3

=

9G

3

1

1 ¡!

1

EH .t u n c. e 5 :

Jt~-(~7 3 2 x_r)L_~_ . 1LQ_?_:tL2 t~~j__:~:___1t.2.~- ~--ª·1.~}]__~_.1( 9 ~--~ _41~JJ ~ 96

96 15 + 40 ··--·-------9 6-

+

36

·-~·-----···-·

+ 24 --------

115

b)

Sumar: 17 ---6

+

15 --4

+

47 10

2

3

2

5

2

3

1

5

3

1

1

5

5

1 Entone.e./~

170 +

225 +

282

::::

677 ---bü-

=

11

17 60

l. Para medir un espacio se utilizan cuatro calibres dis 3" y 1" tintos cuyos g~uesos respectivos son 5" , 7" g· 32 . 16 64 0u€ anchura tiene el espacio?

__________j

~

HO'-1 A DE EXP l. I CJ\ C I ON SUt·lA DE FRi\CCIONES CON DE-

6/1

REF ·

NOMINADOR DIFERENTE.

Dívisloo de Programación

P;u·a hallar la anchur·a es necesario sumar los cuatro ca libres. l"

+

37

Anchura·-· 53"

6-4

2)

(l)

(1)

t·1edido. en pu1qadas.

eu á 1

será 1 a longitud de una barra de latón para obte

ner

de e 11 a

que

en

4 trozos de

Símbolo

}!;"

--rr "

'

51"~

Tb"

{")

,

11"

32'

cada corte se desperdicia

.

9"

4

-

Sabiendo

1"

8

NGmera de cortes

=3

Des pe rd i e i o t:' n 1 os 3 e o r tes : 1"

1"

1'1

3 11

-g-+rr+8·""s

Longitud de 'los tr·ozos: _1.__5_-_,."+ 51"

n

60+102+11+72

1-b

11"

+ ~~r2· +

9"

4"

=

:;

La longitud de la barra será: Desperdicio+

Lon0itud•Trozos. 12 + 24E)

Respuesta:

1" ·32·

1onsitud de 1a

ban~a.

-------------------------------------------------------------~--------J

r~

-·· - ·-·- - -. ·-· · · ·-· · - · · · ~

··=····-··o.-H·;~J ~~:· 'r)'i~-·E

j

¡

XPLÍ-CP-, e¡·¿·~¡ . ' · · ··-~····--~·..-···--.~·t-.f·:·-.f-.-.··--..·--····--·---r--l'""'1•··--.·

SUMA DE NUMEROS MIXTOS

SUMA VE NUMEROS MIXTOS Para :• ... ectuar una adición entr·e númer·os m.i>üos podemos seguir

dos

PROC

0

ocedimientos:

IMIENTO NO. 1

Pa..6o

1

Se suman separ damente

~~

2 + 1

enteros

Pa..t:.o 2

Se suman $eparadamente los frac-

l

+ 3

~~

3+2

*

5

o 3 A la suma de enteros se afade la serna de fracc onar os y obte emos

1¡

?

e e

+6+?.

1

. . . .------· "·-·-----·"'"" ·-····--·------··-'"·~·-·'"""'""-"'- ···~· -·· ·--..··-·-···-~-~. -···-:··~--···--~--~-- -~··-·-·- J

l1EF.

!IOJA DE EXPLICACION SUMA DE NUMEROS MIXTOS

C§IJ División de Programación

2.

Suma de fraccionarios

i 3•

+

~

+

i=

4+g+l

= ~ =j =1

t

A l a s uma d e en ter o s s e a d i e i o na 1 a s uma de f

ra e

cionar·ios .. 1 14 + 1 3

- . - 15 31

La solución completa es

b)

15. .!. 3

SUMAR .ta.& fligLL(en-te.& long.}

~

5 11 8 + 64!1

11

9"

+

' 11 16 +

n11 :~ +

3"

2 s-rz=

1 1 ) 2 8" + 11" + 2 1 1! + J. 1" + 2 8 ;¡ ::: 9 9 11

2)a)

Sumando directamente

1os que tienen igual denomi-

nador.

r

311

11

11

11

l 0

r

1

11" 111!+(1)+ 11" 9" 3" 32+ 64+ T6 + 64 64 + 16+ 64 + 32 9

t

1 ) - 1

2)

~ 11

11 11

11" 11 11 --· + 64 + 64 + 64 64'

9"

-

16

b)

::

....,_,,

11

+

ga 16

-

18" 16

-

j

44" = 64

·1 l

[ill 6

3)

2_" 8

1 3" . 3"

17·+

n-

6" = 32"

rr ffiJ

Sumando los resultados parciales y la fracción 5" 8

no se habfa incluido anteriormente. 3 11 11 + 9 11 5 11 14 11 14 11_ 7 11 14 11 21 11 I6 + 16 8 + E' = N + 8 =::;>8 + ·s = 8 ~ue 11

21" ' 5" s = 2 ·a....J}'

Long·itud total

5" 101 8

-- 99"+

PROCEVlMIENTO No. 2

-+2

2

tr

"'

+

1

2

6

Se convierten los nümcros mixtos a fraccionarios.

---------.·----..-------·------J

·-----·~¡--·-··-----------r..l-r,/,7

! ··'-~-'-'-?.·~ "~ :.:·

[§}]

SUMA DE NUMEROS MIXTOS

~ ' f\ . . . . '-¡

:f.?

.

r····~",.,.,

....... '" ................... ~,.

'

.. .. ": . ... .... ·'

"·'~

.

l _____-----------..~--

División de Programación

+ 10

PC\:',r;

+

?

.) e: e f 1:· e t ¡j a 1 a s u¡na d e f v· a e e 'i o na r i o s , t en 1i e r. r:l o e n e u e n ta si ~on de iJual o diferente rlenominador.

+ :o 30

TZ

+

, 46 ... t." ,) + I6 ·- 10 '7)' .....

·rz

J. (_

r ¡ c.m¡'.e o Ha 11 ill~ 1 a 1o n ~J i tu d t o t a l de 1 eje en 1 a f i gura s i ~J tli ente

1., " 9 ·~ + h.4~ + 11 -- + " 1fi

1

1 :'

L.

r.: " 1 1 " + 1l + "1 :) +' .:::...:::.. ,_ 15

ó4

11"-L J"/'3"._ 11 11 + -

'

T

}Rt;;H ~;_1 ~-

Q"

1 1 11

')"

+ ~7i" + 2 :3 ~')"" o' ,),,

11 + ]1 • {- 899

.• ¡)

Lo

1 1

1

L___--·-·--- ·----~-~-·-~-----·--·---------~·-_j

--------[~ 1 ¡--------------

HOJA Df rJERCICIOS

SUMA DE FRACCIONES

--TREF.

AUTOCONTROL

Divisfón de Programación

: ·¡;;~

__._l.- -------- ; ! r

AUTOCOVTTWL 1.

Efectuar 1 es s una'; sigtdentes , reduci Número f'l i xto, si es posi h1 e. il

)

,. :) (-~\~

n

b)

7

tí +

+

3

11

J.

_¿

e)

:)

7 7 + f(}" + 11 + ·-16 6

d)

11

f6

+

+ TYHY

rn

+

15 13 ,,.1 61r + -4 +

+

/.

e)

3

+

'48

2.

7

rr

5 2 5 13 -36 + 9 + ff + 1fl

Por el procedimiento ~ue usted crea conveniente, efectOe las siauientes sumas.

{6·

+

~-

~-

+

-~-

+ 3

a)

fi

b)

1 1 1 1 1 8 ;:;- + 6 "3 + 5 + 7 6 + 12

e}

d)

e)

3.

a

11

To

+

1lT

resu1 taro

17

+ n

1

en do el

;r

4 +

11-~:_:¡

3 14 1"6 +

1

l

11

7

+ [f +

n

í)

.-;¡ ·-'

L

7 !

rs-

">)"

+ 6

9

·¿-cr

+ 15 + 12 + 3

Hallar la 1on'.)itud total

17

+ 2 "30

7 8

do

13

1

Se restan los numeradores.

Pa.6o 2

A 1a diferencia

(o sea el

numerador) se le coloca el denominador coman de 1as fracciones.

nuevo

Pa.óo

7

4

8 - 8

:::

3

8

3

Se simplifica si es posibl~ ~n nuestro caso no se puede

3

8

sirnp.lificar.

EJEMPLO 17

17 .. 5

:::

:::

4

9

t

·----····---·-----------·--·}

1

..---~---._,--OP-ERA--C-Ir_r_s.....:T_A_H-~J-EA-F-~-,~-C·~ ~ f~-E-~~-A-~-6-~-N-IG-,U-A-L-~~r-:~-RE-·f-.-~-.----,~"'1'2 -r¡T'""..!tl

~

"

Drv1sión de Programac1011

...

DENOMINADOR.

1 _

·

PROT3LEMA

Hallar la longitud faltante (x) da, dados los siguientes datos: i

de 1a polea

escalona~

¡

:,....-..,'

Longitud A

88" = 32

longitud B

103" = 32

Para halla~ la longitud faltante (x) se hace necesario restar de la longitud B la lon~itud A. 103 11

-32

La longitud faltante es

=

15'·'

32 15"

32

'---------·--------------··---·------,._,_¡¡

l ~ 1 DMs~®.

r

1

HOJA DE EXPLICACION ---......~r-~·F. ~ RESTA DE FRACCIONES DE DIFERENTE ---~-DENOMINADOR. j

OPERACION:

1 [~~

Programación

"~~ !.~~}. "

__

1

"~------------~-~------¡

1

RESTA VE FRACCIONES VE VIFERENTE VENOMINAVOR.

11

PROC;EVIM1 ENTO: Partiendo de1 ejemplo 53" 1"= 64 - 2 ?

!:

1 1 i

seguir el procedimiento para la resta de fracciones de diferente denominador.

1i 1

PaJ.Jo 1

l

-1

1

!

1

64

2

2

32

1

2

16 8 4

2

2

2

1

2

2

26

= 64

2

1

1 ¡

Pa&o 2

~

Se reducen las fracciones a un comdn denominador. (6l', .;..64)x53" -

---------

Pa6o

¡ f

l

! 1

Hallar un denominador común para 1 as fracciones. 53 1

1

!

64

53 10

(64 -:-.-2)xl"":::

-

64

32"

3

~

·se restan los nuevos numeradores dejando como denominador el m.c.d. encontrado.

64 r'~

y

torno~

el resto de

Si la jot·nada

qm!Oo trabaja en 1a

fresador·a. Si s deberá cobra!' por·

e.

Cuántos pernos cJQpletos se puaden cortar de 1 cada uno' de urlr
¿ 0 . 02850-¡- 14=0. 00203

EJEMPLO:

5

2

2

X-

X

3

5 j

X

1 4

8

5

!1_

b

--e:-r-

3

=

5 6 X

85

5

6"

--3"3-

=

4

4

18

""33 4

2

85

=~

X

% TI=

170

29'7

9

PROl3LEMAS l.

Un operario puede tornear 12 pasadores en 15 minutos. Cuánto tiempo tardará en terminar 240 pasadores?·

La proporción puede formarse así: La primera razón: 12 pasadores es a 240 pasadores. La segunda razón: 15 minutos (el tiempo de 12 pasadores) es a X{e1 tiempo de 240 pasadores). Por tanto:

12

240 X

=

15

X

. li_._ = 240 x 15 = 300 minutos .

R= El tiempo que tardar5 en terminar los 240 pasadores será de 2.

300 minutos

=5

horas.

Una rueda dentada de 18 11 de diámetro engrana con otra de 6 de diámetro. Supon-iendo que la rueda menor tenga 24 dientes, cuántos tendr~ la mayor? 11

1

Tf_::J.,•r~1 . [ . . . ~~=~.: J. . ~. .~ ·¡ L · ., -· •' · • :---

\

~·

.

@J División de Programación

HOJA ,O¡E fXPLICACION PROCEDIMIENTO PARA HALLAR UN TERMINO EN UNA PROPORCION

---•~-]

1_RE_F_.

!

Solución: 18 11 =

X

X dientes 24 aientes

= H~~g-a-á-a.s 6

x 24 dientes

putg::a:;LQ

, e:

72 dientes.

1 '

.·.

¡@ ¡1

rREF.

AOJA DE EXPLICACIONd •

!

RAZON · INVERSA ------------------~-------~~---·

División de Programación

1 RAZON INVERSA

1

1

t

PROBLD.íA \ Una 'polea de 60 cm de diámetro y que da 180 revoluciones por miridto, m~eve a otra polea de 35 cm de diimetro. Cuántas revo lu~1ones por minuto darA la polea más pequeHa?

Aplicando el procedimiento de la proporción sería: 60 cm

35 cm

180 R.P.r1.-·~corresponde a la polea de 60

---x~P.M.~corresponde

cm

a la polea de 35 cm

Pero si observa la figura podrá ver que al poner en movimiento las poleas, la. más pequena gira más rápido_que la polea mayor. En consecuencia, entre más peque~a sea la pol~a más r.p.m dará ' . 1 o viceversa~ entre más grand~$ea la polea menos r.p.m dará. En este caso~ decimoi que la razón es INVERSA, porgue: MAS tamaAo ~MENOS velocidad MENOS tamaño -----..¿MAS velocidad. la proporción entre el tamaAo y la velocidad és INVERSA. En e o n e 1u s i ó n ~ p a r a q u e 1 a, re s pu e s t a s e a e o rr e e t a ~ d e b e i n v e r -

tir una de las razones das.

con relaci6n a las anteriormente forma

308 r.p.m.

MAGNITWJ es:~ todo lo que puede 1 CONTARSE

~~~VI RS E 1

6

A menudo hablamos

u oimos hablar de magnitudes directamente proporcionales o inversamente proporcionales; veamos en qu~ consiste cada ~na de ellas.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Decimos que dos m~gnitudes son directamehte proporcionales cuando al aumentar una, la otra aumenta en la misma proporción, o al disminuir la primera,la segunda disminuye en la misma proporción. En las magnitudes directamente propo~cionales al multiplicar una de ellas por un nQmero, la otra queda multiplicada por el MISMO número; o al dividirla 1 la otra queda dividida por ese rn srw número. Ejemplo:

Si 1

pernQ vale

( lx2)~2

t

pernos

valen

V

Ambas magnitudes quedaron multiplicadas por "2u aumentando en igual proporción.

O TAMBIEN:

Si

3

( 3-::- 3 )~1

t

pernos vale n $9° 0 perno

vale

V

Ambas magnitudes quedaron divididas por 3 disminuyeron en igual proporción.

SON MAGNITUDES VIRECTAMENTE PROPORCIONALES - El tiempo y las unidades de trabajo realizadas. - El nOmero de unidades y el precio, cuando se pagan a razón de número. - El peso y e1 precio de un artícu1o, cuando se pa ~la a razón del precio. El tiempo de trabajo y o1 ,. ' sal a do de un oper'ario. ~·-

...,

________

't t:

¡

r

J

EX

C§IJ

CACION

r1AGN I TUD MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE PROPORCIONALES.

Dlvisfón de Programación

El

con la velocidad, si el tiempo no varía. - E1 espacio con el tiempo, si la velocidad no varía. El namero de operarios empleados y la ca~tidad de tra bajo. espacio~

Para distinguir si dos magnitudes

son DIRECTAMENTE prffporcion!

les, efectuamos el análisis. a MAS corresponde MAS 0 MENOS corresponde MENOS

la

Si 1 a s ma g n i tu des 1 o e ump 1 en • de e i mo s TAMENTE PROPORCIONALES.

q ue

so n MA GN1 TU VES VIRE g

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES. Dos magnitudes son INVERSAMENTE proporcionales, si al AUMENTAR una de ellas, la otra DISMINUYE en la ,proporción que la primera aumentó, 6 si al DISMINUIR una de ellas la segunda AUMENTA en igual proporción que la primera disminuyó. En las magnitudes inversamente proporcionales , ai MULTIPLICAR una de ellas por un namero, la otra ~ueda V1V1VIVA por el mismo namero, o al dLvLdi~ia la otra queda MULTIPLICADA por el mismo número, Ej emp.fo:

S .{.'

.

keaiLza un t~abajo en 6 dla~ (lx2) 2 aprendices realizan el mismo trabajo en 3 (6-=-2) días 1

ap~endiz

t

,1'

V la primera magnitud quedó multiplic~da por 2, en tanto que la segunda quedó dividida por 2. Si 3

aprendices realizan un trabajo en 9 días

3

~~~~~~ ~ aprendiz realizará el mismo trabajo en

~dlas.

Una magniutd quedó dividida por 3, la otra multiplicada por 3.

·

S ___D

,

Dlv;slón de Programación

HOJA DE EXPLICACION MAGNITUD MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE

REF.

pR p

t

~ '

Las magnitudes INVERSAMENTE PROPORCIONALES el análisis.

se distinguen por

1 '

MAS corresponde MENOS o a MENOS corresponde MAS 4

SON MAGNITUVES INVERSAMENTE PROPORCIONALES:

- El número de operarios ~mpleados y el tiempo necesa rio para realizar un trabajo. -Los dfas de.trabajo y las horas diarias que se trabajan para efectuar un determinado trabajo. - La velocidad de un móvil con el tiempo empleado en correr un espacio.

r~

El diámetro de una rueda dentada y el número de revoluciones por minuto. El ancho y la profundidad de un cuerpo, si el volumen permanece constante.

_______________________________________________j

~

HO,JA DE t,J.EJCICIOS

1 REF.

~~j ·--~---R-A-zo_A~_~UE_.:·.Js_o_YC.ONP~n.~O~PO~f..-~c_I_o_N_E_s_~___.J¡L_""_·-"--·--~-

Dívistón dé Programación

-·

~

AUTOCONTROL Resuelva los siguientes problemas: ;

:.·,¡

L •.·,"-.

... La menor',

.

~

qe dos poleas unidas por una correa hace

r .. p.m. ,(n} en tanto que la mayor hace 80 r Cuál es la razón de su velocidades?

~P.m

240

.. ( N ) •

2.

El acero para herramientas puede trabajarse en el torno a la velocidad de corte de 6 metros por minuto, en tanto ~ue el hierro fundido puede trabajarse con una velocidad de corte d~ 13.5 metros por minuto. Hallar la razón de las velocidades de corte.

3.

Un metro de alambre de cpbre de 0.025 m.m de diámetr.o

tiene una resistencia de 8.6 ohmios$ en tanto que un metro de alambre de aluminio del mismo diámetro tiene una resistencia de 15 ohmios. Cuál es la razón de sus re

'

sistencias?

4.

Un cuadrado de 3cm de lado ;tiene 9 en/ de superficie. Un cfrculo de 3 cm de diámetro tiene una ~uperficie de 7.0686 cm 2 .

5.

Hállese la razón de esas áreas.

Las longitudes de las láminas rectangulares de esta fig~ ra son proporcionales a sus anchos. ~uál es .la longi tud de la menor de las dos láminas? 12 mfs

l 1

'1.25 mts

6.

Una polea de 35 cm dá 240 r.p.m

mayor

que

dá 210 r.p.m

fl1tima polea?

(N).

(n) y mueve una polea Cuál es el diámetro de la

~

HOJA DE EJERCICIOS

l

REF.

:

!14/h

~ RAZONES Y PROPORCIONES: 1 _o_w._im_ón_d_e_Prog_r_am_a_c_1ó_n_ _ _ _ _ _ _A_u__T_o_c_o_N_T_R_O_L__________L ____________

1

7.

Midiendo una pieza de 37.5 cm de longitudt se halla que en una longitud de 10 cm tiene una conicidad de 0.5 cm Cuál será la conicidad en toda la longitud de la pieza? \ 1

8.

Las áreas de los círculos son proporcionales a los cua drados de sus diámetros. Hállese el área de un círculo de 9 cm de diámetro, si el área de un círculo de 5 cm de diámetro es igual a 19.635 cm 2 •

9

fúerza de un motor de gas aumenta con el área del iém:... bolo. Suponiendo que un motor con una superficie de émbolo de 54 cm 2 desarrolla 25.5 H.P. Cuántos H.P desa rrollará un motor con un émbolo cuya superficie sea de 45.15 'cm 2 ?

10.

Un motor de

La

corriente continua consume una potencia de 1250 vatios. La tensión de la lfriea es de 250 voltios y un amperímetro seHala un paso de corriente de 5 amperio~. En las horas de mayor consumo de flufdo, hay una cafda de tensión que acusa el voltfmetro del tablero, seHalando 230 voltios. Para que el motor siga recibiendo la potencia eléctrica de 1250 vatios, a qué valor debe ' ajustarse la intensidad? NOTA:

Para la solución de éste problema Se debe tener en cuenta que al disminuir la tensión debemos aumentar la intensidad para obtener la misma potencia.

, . . . ,~•

"f C B S

. ·i:::·

1

L.:~

' División de Programación ·

l..

RESPUESTAS _, .·

l.

3

2.

0.44

f

¡ t

3. .4.

lr

o. 57

f

1.273

5.

7.44 m.

6.

40 cm.

7.

l. 8 7 5 cm

8.

63.61 cm

9.

21.32 ll.P

10.

5.43

2

Amperios.

~--------------------------------------··---------- _________________ j

[§}]' ········.,

HOJA DE EJERCICIO~ RAZONES Y PROPORCibNES: EJERCICIOS

División de Progrltmaclón

REF.

EJERCICIOS 1.

Hallar las razones entre: a.

0.01 y 2

b.

~y

e.

400

d.

e.

2.

2

9

4

y

3

10

y

3

1 7 y 1

Ha 1l a r el término desconocido en: a•

8 : X

b.

r

X

=

.. ..

16 : 4 6 "2"

"5"

e.

d.

e.

3. 1

5 2

5

o.-5"

8 1

X

3

=

0.04

b

: 0.06

X

x. 0.04 0.05

Formar una proporción cnn lns siguientes términos: a.

1 "6 '

b.

5,

240 '

1o

y

1 R

1 1

L_

5

4

4,

10

y

2

4

~ -----

División de Programación

HOJA DE EJERCICIOS RAZONES Y PROPORCIONf~ EJERCICIOS.

REF. [

4.

Un alambre de cobre de 120 metros de largo tiene una resistencia de 1.084 ohmios. Cuál será la resistencia de un alambre de 750 metros?

5.

polea de 60 cm de largo que dá 180 r.p.m (N) mueve a otra polea que dá 308 r.p.m (n). Cuál es el diámetro de 1a polea menor?

6.

Dos aprendices arriendan un taller, el primero ocupa los 5 del taller y paga $ '60000 de alqui~er al año. Cuán

Una

rr

to paga de alquiler anual el segundo?

eglade Tres Unidad Autoformativa ~Jo.16

e s e lecci~n

SE

,erv1c1o Nacional de Aprendizaje SENA SJbdirecci6n General de Operaciones División de Programacl6n Didáctica Bogotá - Colombia Noviembre de 1977

i'~.{J.

TEJ1AT I CA

REGLP, DE

TRES

Unidad Autoformativa No. 16

r·iaborado por:

NESTOR JIMENES CARLOS PIZ/\RRO PEORO SOSA

Colección Básica SENA Material en Prueba

'' Pro h i b i da 1 a pub 1 ·i e a e i ó n t o t a 1 o par e i a 1 de este do e umen t o s i n 1 a autorización expresa del SENA".·

~----· HOlA DET-~6-·-- ··:::-:=:=_ ~::ó~:__L"·----~-~~GLA DE- !.RE.:_?_ __________ ' ·- ··-- . -~-·-CODIGO

·------

-----·-·

-

-

--·--

. - - ••

'

"IJ

:_·· 1 •

.J1

.

p

1¡; Una Vez terminado el estudio de la presente unidad y realizado los ejercicios~ el trabajador-alumno e~ tar& en c~pacidad de dis:riminar los p~oblemas de regla de tres simple directa e inversa y dar la solución correcta,

1

1 m

CODIGO

TEMA

---·---.-----·

HE ~

1

HE

!i

liLJ

~-

CONCEPTO SIMPLE DIRECTA:

CONCEPTO Y PROCE-

INVERS~:

CONCEPTO Y PROCE-

REGLA DE TR DTMIENTO. . REGLA DE TRES SIMPLE

i DHHENTO. ~ REGLt-\ 1

'JE

RES:

J\UTOCONTROL

L:~,. .,·......'t.-~""""':·:~~--=:==·0--l----""""""--.........-

\·;:

Cuando de cuatro

t~rminos

co

cernas Gnicamente TRES y

e 1 e u a r t o té rm i no

mos e o no e e r

~

mético conocido como.Regla de

a p 1 i e a mos e·¡

pro e e d i mi en t o a r i t-

t~e~.

empl.o:

15'~ill 60'~ p Un operario elabora 3 pernos en 15 bora en 60 minutos?

En el problema anterior. exi NOS

(3)

Estas

TIE~'lF'O

y

magni

des

(15'

t

minutos~

cuántos pernos ela

2 magnitudes: NUMERO DE PER -

y 6 '}que emplea el operario.

(pernos y

tiempo) son directamente

proporci~

,u.l1es.

a

MAS

tiempo

MAS

cantidad de pernos a ela borar.

blemas los llamamos: problemas de r~gla de tres simple directa~ pero también se nos pueden presentar problemas de r la de tres simple inversa. Veamos en qué consiste cada uno,

E s t e t i p o .d e

!

nécesitl-1

HOJA DE EXPLICACION REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: CONCEPTO Y PROCEDIMIENTO

CM.JCEPTO Un problema lo podemos catalogar como Regla de Tres Simple Directa si! 1.'

Las magnitudes que

intervienen en e1 problema son

vas. 2.

Las magnitudes son

~lRECTAMENTE

D"OPORC10NALES.

Ejemp.to: Un m6vil Cuan~o~

~eeo~~e

6Q

kil6met~o~

km~

en 1 hoka

~eeo~~e~a

MAGNITUDES: { 60 kms \

?

y

en 3

hoka~?

1 hora 3 horas

Son solamente dos maqnitudes: Kilómetros y horas, las cuales son directame.nte proporciona1es 9 porque a MAS kilómetros emple ará AlAS tiempo a emplear.

PROCEVIMI UJTO Para resolver un problema de regla de tres simple directa, pode mo s s e g u i r d o s p ro e e d i mi e. n t :; , l. PROPORCIONES 2. METOVO ABREVIADO AGn cuando las operaciones que se efectOan son las mismas en los dos procedimtentos, ellos difieren en 1a manera de hacer e 1 a ná 1 i si s de 1 pro b1 e ma : l. PROPORCIONES TODO problema de regla de tres simple directa puede resolverse por medio de proporciones. E:{eJnplo:

Si 18 metros de alamhre ofre~en una resistencia de 1.25 ohm·¡os (Jt). Cuál Sf:rá !a resistencia de 274

metros de ese

m~smo

alambre?

f 1

·----~------------------------------------------------J

HOJA DE EXPL ICACIO.N

E

REF.

REGU\ DE TRES SH1PLE o''IRECTf\:

}

CONCEPTO Y PROCEDIMIENTO ----L------------1¡

SOLUCION P a,& o

l

Transcribimos el problema en términos de proporciones.

1 ·'

l t

\Dos magnitudes

18m: 274 m

: : l. 25 :

·

x_rt.ldi rectamente ·

lproporciona1es,. ~t1AS longitud )MAS resistencia.

"18 metros es a 274 metros como 1,.25 oh mios es a X ohmios"

l

1 ~

.f

1

1 !

1

i ¡¡

Pa.¿, o 2

Aplicamos el procedimiento visto para hallar un t€rmino de una proporción. segGn sea: extremo o medio el término desconocido.

i !

f ¡1

i 18

=

227f

19.02

X ::: 19.02

A

1 1

'

¡

.J'L

1

2. METOVO ABREVIADO En este procedimiento no se efectúa un análisis deta llado, sino que se parte de 1a colocación de las maR

nitudes. Ejempf..a

En 6 horas un quemador consume 170 galones de ACPM.

Qu§ cantidad consume en 72 horas? SOLUCION 70 galones ( 1) 6 horas ---. X galones (3) 72 Horas

(2) {4)

Observe el esquema anterior. l.

2.

Las cantidades h MOGHJEAS se encuentran una deba

jo de otra, La cantidad desconocida se coloca como ULTIMO tirmino. Una vez elaborado e esquema. aplica mos el siguientP procedimiento.

1

~ C§IJ

KtULA

~· División de Programación

HOJA DE EXPLICACION DE TRES SIMPLE DIRECTA CONCEPTO Y PROCEDIMIENTO

1 l . ·1/,,~ 1

.·. REF.

----·---·-"'"w"''-''""'·''"".""'!,......:,. • .... · ~

1

-·..

!

---·~

;

Pa.s o 1

El segundo término, o sea la cantidad que está sobre X, se coloca como nume~a or y las otras cantidades asf: La que está como primer término se coloca como denominador. mientras que el tercer término se coloca como factor en e1 numerado,~: 72

X

170

6

Pa6o Z Se efectDa Ja operación indicada. 72 X 170 = 2.040

6

1 ~

1

Galones.

1 í ¡

~

¡• 1,¡ l

~

¡ !

¡

l--··-------......-----·

~

1

.

HOJA DE EXPLICACIÓN REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA:

C§}J

CONCEPTO Y PROCEDIMIENTO

t· o;,I$/M de Prog••maclón

1

'

CONCEPTO Un problema se considera de regla de tres simple INVERSA cuando 1 as magnitudes que intervienen son: l. Solamente VOS 2. INVERSAMENTE PROPORCIONALES

1 1

1

¡·

Eje.mplo:

"Si un operario realiza una labor en 5 días, en cuántos días realizarán la misma labor 2 operarios? operario 5 días MAGNITUDES opf;ra ri os-·- ·- --- X.

t 1

1 Son solamente VOS magnitudes: operarios y dfas, las cuales se pueden considerar como i~versamente proporcionales porque a MENOR __ número de operarios. MAS días en terminar la 1abÓrk Y a MA~ YOR número de operarios ME.f.JOS días en real izar la labor. ______ .

PROCEDIMIENTO los problemas de regla de tres simplet inversa,también pueden resolverse por los métodos de: l. Proporciones 2. Método abreviado. 1.

1 1 1

1 1

1 !

PROPORCIONES: Paó o 1

·Transcribimos el problema en tArminos de proporciones. 1

2

5

X

Dos magnitudes inversamente proporcionales ( A más operarios menos dfas.

1¡ !

1

t¡

1

!1 1

PaJ.Jo Z

Recordemos que cuando ~as magnitudes son inversamente proporcionales, se trabája con 1a razón invertida.

1

l

l

1 ~

1

2

~RAZON

1NVERT1'DA f.

!

--------------------------------------------------------------------1

¡:

HOJ A DE EXP L I CA C I ON

@]] División de Programación

Pa~o

REGLA DE TRES SII'1PLE INVERSA: _______P_R_.O_C_ED_I_M_I_E_NT_O___________j

16f t6

REf.

-1-i

_____________

3

l

Aplicamos el procedimiento reqÚerido para hallar un término de una proporción. 1

2

::::

·1

~- =C>x = 5

1

X

5

·-2---··

5

=

1

1

2.5 días.

1

Ejemplo: El contenido de un gasómetro proporciona luz para 153 lámpara~ durante 16 horas. Cuántas horas suministrarla el contenido pa . ra 90 lámparas? SOLUCION 153 Lámparas :::: X horas RAZON INVERTIVA g(f 16horas 17 M~

X

=

~ f.lÚJ:lj)ll-f!:IX-:5' X 16 h o Jt a..ó -_g.e- 1Jni~ras

·

::::

...&tr-

27 51

horas.

IO 2.

METOVO ABREVIADO No se efectúa el análisis de las proporciones, sino que se parte del esquema asf:

E j e..mp-f..o

Dos ruedas dentadas, están engranadas. La primera tiene 12 dientes y la segunda 28 dientes. Cu&ntas r.p.m. habrá dado la segunda cuando la primera haya dado 112 r.p.m? So.t.u..c.-i6n..

¡ 1

Pa.ó o 1

Se elabora el esquema de tal manera que: a. Las cantidades homog~neas se encuentren unas VEBAJO de otras. b.

La cantidad desconocida se coloca como

1

no.

1

( 1)

l!

( 3)

12 dientes 28 dientes

112 r. p.m. X r.p.m.

ULTTMci térmi ( 2) ( t1)

i

1¡

1

~----~------------------------------------------------------------J

¡·

~l

i ~~ . División de

1

HOJA DE EXPLICACION ,. REF. -~ ~ REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA.; __,.. _I_ Progrm~mac16n_ _ _ _ _..,..,.__' P R OC_ EO MI_E_ NT_ 0 _ _ _ _ _ _ _...__. ____,...,..,...._,_ _ _ _•.¡

·

,:--~.-.:~·.-..---_,¡_IJ}J.'~_,!,

1

Pa..óo 2

Para efectuar la operación: a. El segundo término, o sea la cantidad que está so bre X (112 r.p.m.), se coloca como numerador.

1 1

j ~

1 b•

E1 primer términr numerador.

(12 diente3:

como factor en el

t

1 1 ¡1

e. i

1

El tercer término minador.

(28 dientes) se 'coloca como deno

i J

¡

!

1 X=

48 r"p.m.

' 1

'

~

1

HOJA DE EJERCICIOS

0~;;.emacl6n

REGLA DE TRES:

lcf!r;

REf.

¡ l

AUTOCONTROL

r----=----..........._---~------____...!...----·--1

AUTOCONTRO L

1

'

l.

2.

Un depósito cil{ndrico tiene 120 litros de agua y la altu ra que alcanza desde el f.;ndo hasta la superficie es de 30 cm. Cuántos litros de agua tendrá el depósito cuando alcanza una altura de 48 cm.?

1

R ____ · - - - - El hierro fundido pesa 7.2. kg. por dm 3 , el pi no bl a neo pesa 3 0.4 kg.por dm. Suponiendo qus un modelo hecho con madera de pino pese 2. 25 kg" Cuánto pesará e1 mismo modelo hecho en hierro fundido?

R---------------------------------------3.

La pres1on del agua aumentr cdn la profundidad; si a una p ro fu nd i dad de 1O m, 1a pres i ó n es de ~ n( 1 ) kg por e m'Cuá 1 ser ti 1 a pres i 6 n a un a pro fu ndi dad de 8 4 m? R ')

4.

Si media docena de pernos cuestan $20.50~ r~n 5 docenas de los mismos pernos?

Cuánto costa -

P~

5.

los 2

5

de la capacidad de un depósito son 500 litros.

Cuál será la capa cidad de los 3 8 6.

del mismo depósito?

R --·-------------------Un taller es· de 2 ex-aprendices~ la parte de1 primero, que

es los 5

13

del taller est8 avaluado en $153.000.

Hallar el valor de la parte del otro R 7.

a~~endiz.

'----------

Un grupo de operarios emplean 14 dtas trabajando 8 horas diarias en t~rminar un trabajo. Si se hubiera trabajado un a hora men os a l dí a , en e uá ntos d fas ;, abrí a n te rm i nado la obra? R ---·· ..--------

¡ ¡

1

1 1 1

1 1 t

t ~------------------------------·----------------~-----J

r[§]----· ¡

!

Dívísfón de Programación

;1.-_]~F~.

HOJA DE EJERCICIOS ·:;: REGU\ DE TRES:" AUTOCONTROL

:~:

l•!•g

%-----------~------------·-------------------------1 !

1

8.

!

9.

Una lamina tiene 6 metros de largo y 1.50 metros de anch~ _ 1 Cuánto se debe disminuir la longitud,para que sin variar la superficie, e1 ancho sea de 2 metros? R _ _ __ Un operario demora 12 ;3

d í a s en ha e e r-

7 "IT

d e u n t r a b a j o.

Cuánto tiempo necesitará oara terminar la obra?

R -10.

Los 3. de la producción semanal de un talle¡~ son 8.136 7 piezas. Hallar la producción del ta11er. R _______________________________________

.,-,

11.

Si 36 metros de un conductor ofrecen una r~sistencia de 0.235 ohmios C...J1J. Qué re s·istencia ofrecerán 584 metros del mismo conductor?

R---------------------~---------------12.

Una polea de 35 cm de d1ámetro da 240 r.p.m~ y mueve una polea mayor que da 210 r.p.m. Cu§l es el diámetro de es ta Gltima lea?

1

1! ¡

1

¡ ¡

¡

1 1 ~--···--·---------------------~--·-·. -··--·-----·-1

~-~. División de Programación

REF.

HOJ A OE EJ ERC I CI OS

1 1 .[l_0 /r~j

REGLA DE TRES: RESPUESTAS AUTOCON- 1------....,.,.. 1 TROL. --; 1¡ RESPUESTAS

l.

192 litros

2.

40.5 kg.

3.

8.4 kg por cm 2

i . '

( kg/cm;) 1

4.

1 1

$205.

1 5.

468.75 litros.

6..

$ 244800

7.

16 días

8.

1.5 m

9.

9 días

10.

18984

piezas en la semana.

11.

3.812

Jl.

12.

40 cm de diámetro.

; 1

1 Disminución de la longitud.

fS'I$us

RESPUESTAS FUERON ACERTADAS

1 ~~~~!CE LOS EJERCICIOS Y PASE A LA

1 UNIDAD SIGUIENTE.

j

L.-----------------~

r- r·--_-f--------~--------H

¡ ~_:_~-j

(-')J_A_D_.E-E-.:,J-E-.R-.C_I_C_J_O_S_____,...I_R.E_..,-F-.- -..-...-....-•.,..•,. -, ....,...1.:. .~/-~.'-.~J

Dívisfán de Programación

E-~1.

REGLA OE T R._E_s_:__ [ RCI C1 OS

l ¡--------------

,____...¡·_··"·"_ ....._...................

'

!

1

1 1

¡

EJERCICIOS

1

i

_j

1

1.

t

1

1¡

Si un linqote de meta1 de 3.5 m de longitud pesa 37.45 kg. Cui'into pesa otro del mismo material y de 6.75 m de lon9itud?

i

!

1

")

'-

.

1¡

Si ~n buril recorre 200 cm en 240 minutos. empleará para pulir 1000 cm?

Cuánto tiempo

i 1

Con $62.50 de han comprado 100 m de alambre.

1!

tros (de 1 mismo a 1 ambre) se compran con $ 200 ?

Cuántos me

1 ¡ ~

4.

:)

.

Cierta labor puede ser terminada por 85 operarios en 91 días. En cuántos días harán la misma labor 65 operarios?

Una rueda dentada dá en 27 minutos 2.295 r.p.m. Cuántas r.p.m. dar~ en una hora?

·----·---------------------_,_.)

p centaje

S .

¡¡¡

~s U .. -

SE

Servicio Nacional de Aprendizaje SENA Subdirección General de Operaciones División de Programación Did~ctica 8ogotá - Colombia Noviembre de 1977

iv1A TEr.~ ATI CA PORCEN~T AJ E

Unidad Autoformativa No. 17

Elaborado por:

NESTOR JIMENEZ CARLOS PIZARRO PEDRO SOS!'\

C. B. S: .

Colección Básica SENA. Material e~ Prueba

"Prohibida ·¡a publicación total o parcia1 dl::: este documento sin la

autorización expre'>a de·l SF'I\1f\".

[CBS-]

l

-·

-------------

\REA

.....

l'71

REF

-CODIGO

PORCENTAJE

Dívísfón de Programación m_~ll'!'!

U:lSE

K

e'l!lnH!JB u ze:c. a:o:

OB.JET!VO

Al terminar el estudio de la presente unidad y luego de realizar todos los ejercicios. el trabajador-alumno estará capacitado para resolver cualquier problema de porcenta ~. hallando el elemento que se requiera sea la bas la tasa o el porcentaje.

~":'~~>:.>-~~:·=·=================!

lOR

--~-1

1

COt~

1

-=-$?

32

-=-$?

1

.J TEMA

HE HE

1 ~

HE

HE HEJ HEJ HEJ

PORCENTAJE: CONCEPTO Y NOTACION PORCENTAJE: ELEMENTOS Y PROCEDIMIENTO. SOLUCION DE PROBLCMAS PARA HALLAR LA TASA O LA BASE.

PROMEDIO: CONCEPTC Y PROCEDIMIENTO. PORCENTAJE: AUTOCONTROL PORCENTAJE: PORCENTAJE:

RESPUESTAS AL AUTOCONTROL EJERCICIOS.

COMCEPTO Se dice que una l§mina de lat6n,está constituida en un por ciento de cobre y un treinta por ciento de zinc. ¿OUE SIGNIFYCA fSTO?

~etenta

Esto qu12re decir que de cada 100 kilos de metal oue se utilizan para oroducir el lat6n,70 kilos son de cobre y 30 kilos son de zinc.

r--l 1

100 Kilos

(]{~

1atón

1 1 ":.-

1

30

11

Kilos

cob~~e

\'$!(!';_~~~"

.J

E1 porcentaje es una fl"acción especial, en la cual e1 denomi-

nador es S7lJfP1~f:

10()"

EJ emp.f o: 70

.10 TClG - 30 por ciento

Donde

PO!< Cff,N

" setenta

rcnY

puede

ciento .

sionifica centésireas.

La forma usua1 de representar las "Cf."!TES1MAS 11

quebrados se

fHH'

reemplazar por el sfmbolo

en forma de

(%). 1 '

1

Pb r 1 o ta n hi : Un centésimo de una cantidad 2

rcm

3

como

1

se puede expresar como

Tuo •j

O/

....,

¡

,

JioYctS1

sucesivamente.

1 Como los cent~simos se pueden escribir en forma decimal,cual quier tanto por c"rento se puede expn~sar de tres maneras:

'

1 ! 1 1

-

~ Dlvlt~lón_

PORCENTAJE:

de Programación

,ynJ

REF.

HOJA DE EXPLICACION CONCEPTO y NOTACION \

1

1

roo .=

0.01

"'

5 Too =

0.05

"'

}OO

1%

....

9%

15%

15

0.15

=

CUANDO SE HABLA DEL 100% A TOVA LA CANT1VAV.

DE

UNA CANTIDAD, SE HACE REFERENC.IA ¡,

··-·-·

Ejemplo: 100

"' f.J

de 45

=

45

j

'S

\

!

:

-

.

1

REF ..

Consideremos un ej emp ']o de porcentaje. '' E1 6% de

es

$600

H

Observamos que el ejernplo tiene tres elementos.

1.

Base ó

3 - Porcentaje = $6°

Cantidad incia1 Ó totalidad. Tanto por ciento..

0

1 ovo Pi?.OBLEMA

VE PÓRCENT~JE

1

BASE..._ TASA -PORCENTAJE

Per·o lCómo

un problema de

porc~ntaje?

1

Ejempta: Cu~l

es el 7% de 40 metros de alambre?

Veamos BASE

TAS.A

POR CE

cu~les

40

.,~

= E

·':..; f

:::

son los elementos. metw~os 0/

i