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• José Manuel

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COCIENTE INCREMENTAL Se le llama cociente incremental o cociente de incrementos al cociente

∆y ∆x

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se define como la derivada de la función y = f(x) con respecto a x en un punto x0 al límite, si existe, del cociente incremental

∆y ∆x

cuando ∆x tiende a cero.

Se denota por f’(x0). Entonces: f’(x0) = lim

∆y

∆x→0 ∆x

= lim

∆x→0

f(x0 +∆x) − f(x0 ) ∆x

El valor de la derivada de una función depende del punto en donde se calcule.

NOTACIONES La derivada de la función y = f(x) puede escribirse: y’ ó f’(x)

Notación de Lagrange

Dxy ó Dxf(x) Notación de Cauchy dy dx

ó

d

f(x)

dx

ẏ ó ḟ(x)

Notación de Leibniz Notación de Newton

CÁLCULO DE LA DERIVADA A PARTIR DE LA DEFINICIÓN (MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS) Sea y = f(x)

(1)

1er paso.- Se incrementa en ∆x el valor de la variable independiente, resultando incrementada la variable dependiente y, en ∆y. y + ∆y = f(x + ∆x)

(2)

2º paso.- Se calcula el incremento de la variable dependiente, restando la expresión (2) menos (1). ∆y = f(x + ∆x) – f(x)

(3)

3er paso.- Se calcula el cociente de los incrementos, dividiendo (3) entre ∆x. ∆y f(x + ∆x) – f(x) = ∆x ∆x 4º paso.- Se calcula el límite del cociente de los incrementos

∆y ∆x

cuando ∆x tiende a cero.

∆y f(x + ∆x) – f(x) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x lim

Si este límite existe, entonces dicho límite es la derivada deseada: ∆y lim = Dx y ∆x→0 ∆x

DERIVADAS LATERALES La existencia de la derivada, siendo ésta un límite, está relacionada con la existencia de los límites laterales y con la igualdad entre ellos. Dx f(x0 )= lim

f(x0 + ∆x) – f(x0 ) ∆x

∆x→0

lim

∆x→0−

f(x0 + ∆x) – f(x0 ) ∆x

= lim

↔

f(x0 + ∆x) – f(x0 )

∆x→0+

∆x

Estos límites laterales son la derivada lateral por la izquierda y la derivada lateral por la derecha, respectivamente. Se denotan de la siguiente manera: Derivada lateral por la izquierda: f−′ (xo) = lim

∆x→0−

f(x0 + ∆x) – f(x0 ) ∆x

Derivada lateral por la derecha: f+′ (xo) = lim

∆x→0+

f(x0 + ∆x) – f(x0 ) ∆x

Con lo anterior, si f’(xo) existe → f−′ (xo) = f+′ (xo) = f’(xo)

DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO Si la derivada f’(x) existe en todos los puntos de un intervalo abierto (a, b), entonces f(x) es derivable en ese intervalo. Cuando f’(x) no existe en uno o más puntos del intervalo, entonces la función f(x) no es derivable en uno o más puntos de dicho intervalo. Si el dominio de una función continua f(x) es el intervalo cerrado [a, b] no puede hablarse de la derivabilidad de la función en el intervalo, dado que si no existe f−′ (a), implica que no existe f’(a); análogamente, si no existe f+′ (b), entonces no existe f’(b).

DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si la función f(x) es derivable en el punto x = x1, entonces la función es continua en dicho punto. Toda función derivable en un punto, es continua en él, pero no toda función continua en un punto es derivable en el mismo. La continuidad es una condición necesaria para la existencia de la derivada, pero no es condición suficiente. Una función f(x) es derivable en el punto x1 sí y sólo si se cumplen las siguientes dos condiciones: 1) f(x) es continua en x1 2) f−′ (x1) = f+′ (x1) Si cualquiera de ellas no se verifica, entonces no existe f’(x1).

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE FUNCIÓN (REGLA DE LA CADENA) Sean las funciones y = f(u), u = g(x) derivables tales que y = f( g(x)) ∀ x ∈ Dg que hace que g(x) ∈ Df Entonces, la derivada de y con respecto a x está dada por

dy dx

=

dy du du dx

, o bien, Dxy = Duy Dxu

GENERALIZACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA Sea θ(x) = h {g [f (x)]}. Si se cumple que: a) f es derivable en x b) g es derivable en f(x) c) h es derivable en g [f (x)] entonces la función θ(x) es derivable en x y la derivada es: θ′(x) = h’{g [f (x)]} g’[f (x)] f’(x)

o bien, con la notación de Leibniz, si y = h(u), u = g(v), v = f(x) →

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥

o con la notación de Cauchy, Dxy = Duy Dvu Dxv

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Si y = f(x) es una función biunívoca (inyectiva o uno a uno), derivable, f‘(x) ≠ 0, siendo su función inversa x = f-1(y), entonces la derivada de la inversa es: D yx =

1 Dx y

Es decir, es posible obtener la derivada de la función inversa a partir de la derivada de la función dada, sin tener que determinar su inversa.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS Dado que el proceso de derivación por el método de los cuatro pasos puede resultar muy laborioso, existen fórmulas sobre derivación de funciones comunes cuya aplicación permite el cálculo de derivadas, con relativa facilidad.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN CONSTANTE Sea la función constante f(x) = c. Entonces, la derivada de esta función vale cero.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD Sea f(x) la función identidad y = x. La derivada de esta función es igual a la unidad.

DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES La derivada de la suma (o resta) algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma (o resta) algebraica de las derivadas de las funciones.

DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda por la derivada de la primera. Esta fórmula puede aplicarse más de una vez si se trata del producto de n funciones derivables, haciendo uso de la ley asociativa de la multiplicación.

DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN Como corolario de lo anterior, la derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.

DERIVADA DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, y todo dividido entre el cuadrado del denominador.

DERIVADA DEL COCIENTE DE UNA CONSTANTE ENTRE UNA FUNCIÓN Como corolario de lo anterior, la derivada del cociente de una constante entre una función es igual al producto del simétrico de la constante por la derivada de la función, dividida entre el cuadrado de la función.

DERIVADA DEL COCIENTE DE UNA FUNCIÓN ENTRE UNA CONSTANTE También como corolario, la derivada del cociente de una función entre una constante es igual a la derivada de la función entre la constante.

DERIVADA DE LA POTENCIA DE EXPONENTE NATURAL DE UNA FUNCIÓN La derivada de la potencia de una función elevada a un exponente natural, es igual al producto del exponente por la función elevada al exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función.

DERIVADA DE LA RAÍZ CUADRADA DE UNA FUNCIÓN Como corolario de lo anterior, la derivada de la raíz cuadrada de una función es igual al cociente de la derivada del subradical entre el doble de la misma raíz.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES DIRECTAS En lo que sigue, u = f(x) es una función derivable.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO Sea y = sen u → Dx sen u = cos u Dxu

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO Sea y = cos u → Dx cos u = - sen u Dxu

DERIVADA DE LA FUNCIÓN TANGENTE Sea y = tg u → Dx tg u = sec2 u Dxu

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE Sea y = ctg u → Dx ctg u = - csc2 u Dxu

DERIVADA DE LA FUNCIÓN SECANTE Sea y = sec u → Dx sec u = sec u tg u Dxu

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSECANTE Sea y = csc u → Dx csc u = -csc u ctg u Dxu

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA DEL SENO Sea y = ang sen u → Dx ang sen u =

Dx u √1−u2

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA DEL COSENO Sea y = ang cos u → Dx ang cos u = −

Dx u √1−u2

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA DE LA TANGENTE Sea y = ang tg u → Dx ang tg u =

Dx u 1+u2

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA DE LA COTANGENTE Sea y = ang ctg u → Dx ang ctg u = −

Dx u 1+u2

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA DE LA SECANTE Sea y = ang sec u → Dx ang sec u =

Dx u u√u2 −1

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA DE LA COSECANTE Sea y = ang csc u → Dx ang csc u = −

Dx u u√u2 −1

DERIVADA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA En una función presentada en forma implícita la variable dependiente no está despejada. Sin embargo, es posible obtener la derivada de “y” respecto a x usando el proceso conocido como “derivación implícita”.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA Como se vio previamente, existe otra forma de representar una función y = F(x), que es la forma paramétrica: x = f(t) y = g(t) Para calcular la derivada de y con respecto a x de una función expresada en forma paramétrica se usa la siguiente fórmula: Dxy =

Dt y Dt x

=

g′ (t) f′ (t)

LA FUNCIÓN DERIVADA f = {(x, y) / y = f(x), x ϵ Df}

La derivada de la función es

f’ = {(x, y) / y = f’(x) = lim

f(x+∆x) − f(x) ∆x

∆x→0

, x ϵ D f}

donde Df ’ ≤ Df

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada de una función f(x) es f’(x) = lim

f(x+∆x) − f(x)

∆x→0

∆x

Si esta nueva función f’(x) es derivable, entonces al derivarla se obtiene otra función de x, que puede representarse por f’’(x), llamada segunda derivada de f(x). Esto es, f’’(x) = Dx f’(x) = lim

∆x→0

f′ (x+∆x) − f′ (x) ∆x

Las notaciones utilizadas son d2 y dx2

d2

o

dx2

f(x)

Notación de Leibniz

y’’ o f ’’(x)

Notación de Lagrange

Dx2 y o Dx2 f(x) Notación de Cauchy ÿ

Notación de Newton

Si la segunda derivada es una función derivable, al derivarla se obtiene la tercera derivada de la función, que se representa con: d3 y dx3

d3

o

dx3

f(x) ; y ’’’ = f ’’’(x) ; Dx3 y o Dx3 f(x) ; ⃛ y

Si todas las derivadas sucesivas hasta la de orden n-1 son derivables, la enésima (o de orden n) derivada de f(x) se obtiene como: f(n)(x)

=

dn dxn

f(x) =

d

[f(n-1)(x)]

dx

= lim

∆x→0

f(n−1) (x+∆x)−f(n−1) (x) ∆x

Las notaciones que se emplean para la derivada de orden n de la función y = f(x) son: dn y dxn

=

dn dxn

f(x)

y(n) = f(n)(x) Dxn y = Dxfn(x)

Notación de Leibniz Notación de Lagrange Notación de Cauchy

En la notación de Lagrange se emplea un número romano cuando el orden es mayor que 3 y la notación de Newton no se emplea para derivadas sucesivas después de la tercera.

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR DE FUNCIONES IMPLÍCITAS También es posible obtener derivadas de orden superior de funciones implícitas. En algunos casos debe aplicarse la regla de la cadena.

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR DE FUNCIONES PARAMÉTRICAS Como se vio previamente, la derivada de una función expresada de forma paramétrica se obtiene como: Dxy =

Dt y Dt x

Para obtener la segunda derivada de una función paramétrica se usa la siguiente fórmula: D2x y

Dt (Dx y) = Dt x

En forma general, la expresión para obtener la derivada enésima de una función definida en forma paramétrica es: n−1 D (D t x y) n Dx y = Dt x

o bien: n−1 d y d n d y dt dx n−1 = dx dx n dt

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

TANGENTE A UNA CURVA Considérese una curva continua y un punto fijo P en ella. La recta que pasa por el punto P y corta la curva en otro punto Q se llama secante de la curva. Si se mueve el punto Q sobre la curva acercándose al punto P, la secante gira alrededor de P y tiende a una posición límite que es la de la recta PT. Gráficamente: y

T

Q P

x 0

Se considera que la curva PT es el límite de la secante PQ y se define como la tangente a la curva en el punto P.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA La derivada de una función f(x) en un punto, es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

ECUACIONES DE LA TANGENTE Y DE LA NORMAL Sea una curva C de ecuación y = f(x), donde f(x) es una función continua. La pendiente de la tangente PT a la curva C en el punto P(xo, yo) es m = f’ (xo). La ecuación de dicha tangente puede escribirse usando la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta: y – yo = m (x - xo) y – yo = f’ (xo) (x - xo)

Se define como normal a una curva en un punto, a la recta que pasa por dicho punto y es perpendicular a la tangente a la curva en el mismo. Así, la normal a la curva C en el punto P es la recta PN que se muestra en la siguiente figura. y

P

C P

x 0

T

N

Como la condición de perpendicularidad de dos rectas es que sus pendientes sean recíprocas y de signo contrario, la pendiente mN de la normal es: 1

mN = − f′ (x

o)

por lo cual la ecuación de dicha normal es 1

y – yo = − f′ (x

o)

(x - xo)

LONGITUDES DE LA TANGENTE, LA NORMAL, LA SUBTANGENTE Y LA SUBNORMAL La longitud de la tangente se define como la longitud del segmento de la recta tangente comprendido entre el punto de tangencia P y el punto T donde la tangente corta al eje x. La longitud de la proyección de ese segmento sobre el eje x se llama longitud de la subtangente. La longitud de la normal se define como la longitud del segmento de la normal comprendido entre el punto de tangencia P y el punto N donde la normal corta al eje x. La longitud de la proyección de ese segmento sobre el eje x se llama longitud de la subnormal. Gráficamente:

y

P(xo, yo) C ∝ yo ∝ x 0 T x

S

N

Longitud de la subtangente TS y

f’(xo) = tg ∝ = TSo → TS =

yo tg∝

=

yo f′(xo )

=

yo m

de la tangente TP TP = √(TS)2 + yo2

Longitud de la subnormal SN SN

tg ∝ = y

o

→ SN = yo tg ∝ = yo f’(xo) = yo m

Longitud de la normal PN PN = √(SN)2 + yo2

ÁNGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS CURVAS Es el ángulo que forman las tangentes a las curvas C1 y C2 al cortarse en el punto P(xo, yo). Gráficamente:

y 𝑚1 𝑚2 𝑐1 ∅

𝑐2

𝑃(𝑥0 , 𝑦0 ) ∝2 ∝1 x o

En la figura,

∅ = ∝2 - ∝1

pero

∝1 = ang tg f1′ (xo) ∝2 = ang tg f2′ (xo)

por lo que

∅ = ang tg f2′ (xo) - ang tg f1′ (xo)

Otra forma de obtener ∅ es mediante la fórmula: m2 − m1

tg ∅ = 1+ m

2 m1

∅ = ang tg

=

f′2 (xo)− f′1 (xo) 1+f′2 (xo) f′1 (xo)

f′2 (xo)− f′1 (xo) 1+f′2 (xo) f′1 (xo)

LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO La derivada de “y” respecto a x es la razón de cambio de “y” con respecto a x para un valor definido de x. Si en un problema intervienen variables que son funciones del tiempo y dichas variables se pueden relacionar, entonces derivando respecto al tiempo es posible obtener una relación entre la rapidez de variación de las variables consideradas. Para resolver problemas de este tipo se sugieren los siguientes pasos: 1. Enlistar los datos y las magnitudes que se buscan 2. Trazar una figura que represente el enunciado del problema y donde se establezca la convención que indique con qué letra se está representando cada variable involucrada. 3. Escribir la relación que ligue a las variables que intervienen.

4. Derivar con respecto al tiempo. 5. Sustituir en el resultado del paso anterior las magnitudes incluidas en los datos y despejar las que se buscan. Según el caso, pueden combinarse entre sí estos pasos sugeridos.

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Hasta ahora se ha presentado la derivada de una función y = f(x) como: dy

= f’(x) = lim dx

∆y

∆x→0 ∆x

El símbolo

dy dx

no se ha considerado como una fracción con

dy en el numerador y dx en el denominador. Sin embargo, existen muchos problemas en los que es importante presentar a dx y dy separadamente. Por eso en este subtema se introducirá el concepto de diferencial. Una función y = f(x) es diferenciable para un valor de x si para un incremento ∆x, el incremento ∆f(x) puede escribirse de la siguiente forma: Sea

∆f(x) ∆x

− f′(x) = η

→ ∆f(x) = f’(x) ∆x + η ∆x

donde η → 0 cuando ∆x → 0

El término f’(x) ∆x se llama la parte principal del incremento ∆f(x). Por otra parte, que η → 0 cuando ∆x → 0 significa que lim η = 0 ∆x→0

Es necesario que cada uno de los términos del 2º miembro exista, por lo que la existencia de la derivada es condición necesaria y suficiente para que la función sea diferenciable. Se llama diferencial de una función en un punto x a la parte principal del incremento de la función diferenciable y se representa con dy = d f(x) = f’(x) ∆x.

DIFERENCIAL DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE La diferencial de la variable independiente es igual a su incremento, es decir, dx = ∆x. Entonces, la diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente: dy = f’(x) dx

LA DERIVADA COMO COCIENTE DE DIFERENCIALES Como se vio previamente, la diferencial de una función está dada por dy = f’(x) ∆x, pero como el incremento de la variable independiente ∆x es igual a su diferencial dx, entonces

dy = f’(x) dx,

de donde

dy dx

= f’(x),

por lo

que la derivada de una función es igual al cociente de la

diferencial de la variable dependiente entre la diferencial de la variable independiente.

PERMANENCIA DE LA FORMA DE LA DIFERENCIAL PARA UNA FUNCIÓN DE FUNCIÓN Si y = f(u)

y

u = g(x), entonces

dy =

dy dx

dx, o bien,

dy = Dxy dx

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL y

C x

T

Q(x+∆x, f(x+∆x)) P(x, f(x))

dy

∆y

, f(x))

x o

x

x+∆x ∆x=dx

La diferencial dy es el incremento de la ordenada de la tangente T y ∆y es el incremento de la ordenada de la curva C. Se observa que el incremento ∆y es diferente a la diferencial dy. La diferencia entre éstos depende de cuánto se separe la curva de su tangente. También se observa que dy se aproxima más a ∆y a medida que ∆x se hace más pequeño.

RELACIÓN ENTRE LA DIFERENCIAL Y EL INCREMENTO Una función es diferenciable cuando su incremento puede escribirse como ∆y = ∆ f(x) = f’(x) ∆x + η ∆x. La diferencial de la función es de donde

dy = f’(x) ∆x, ∆y = dy + η ∆x,

por lo que la diferencia entre el incremento y la diferencial de la función es ∆y – dy = η ∆x

A la diferencia, en valor absoluto, del incremento ∆y y la diferencial dy de la función se le denomina error absoluto 𝜀. Simbólicamente: | ∆y – dy | = | η ∆x | = 𝜀 ε

A la relación ∆y se le llama error relativo, cuya expresión es ∆y−dy

| A

ε ∆y

(100)

∆y

η ∆x

| = | f’(x) ∆x+ η ∆x|

se le llama porcentaje de error.

Si al calcular y = f(x) se tiene un error dx en la medida de x, esto llevará a un error aproximado dy en la cantidad de “y”; el error relativo es

dy y

y

dy y

(100) es el porcentaje de error.

DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR (SUCESIVAS) Usando notación de Leibniz, las derivadas sucesivas de una función se escriben como dy dx

d

= dx f(x) = f’(x)

d2 y

d

d3 y

d

= f’(x) = f’’(x) dx2 dx = f’’(x) = f’’’(x) dx3 dx

Análogamente, la notación empleada para las diferenciales sucesivas es dy

dy = dx dx 2

d2 y

3

d3 y

diferencial primera de la función

d y = dx2 dx2

diferencial segunda de la función

d y = dx3 dx3

diferencial tercera de la función

Generalizando, la notación de la diferencial de orden n de cualquier función es n

dn y

d y = dxn dxn dny = fn(x) dxn

ó