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• Eve Begazo

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LOS PATRONES DE

COLOR QUE RESPLANDECEN SOBRE LAS POMPAS DE JABÓN SON UNA DE LAS MANIFESTACIONES DEL FENÓMENO DE INTERFERENCIA.

Primero nos debemos plantear: ¿Qué ocurre cuando dos o más ondas se superponen en el lugar del espacio? ¿Como será la onda resultante en término de las propiedades de las ondas que interfieren? Recordemos que los campo eléctricos y magnéticos satisfacen la ecuación de onda

2 ∂2 E ∇ E − µε 2 = 0 ∂t Nuestra primera superposición?

pregunta

sería

¿obedece

al

principio

de

Si E1(x,t) y E2(x,t) son soluciones ec. ondas, E1(x,t) + E2(x,t) también es solución

∂ 2 ( E1 + E2 ) ∂ 2 E1 ∂ 2 E2 = + 2 2 ∂x ∂x ∂ x2

demostramos que:

∂ 2 ( E1 + E2 ) ∂ 2 E1 ∂ 2 E2 = + 2 2 ∂t ∂t ∂ t2

∂ 2 ( E1 + E2 ) 1 ∂ 2 ( E1 + E2 )  ∂ 2 E1 1 ∂ 2 E1   ∂ 2 E2 1 ∂ 2 E2  − 2 = 2 − 2 + − 2 =0 2 2 2  2 2  ∂x c ∂t c ∂t   ∂ x c ∂t  ∂x

La luz es un fenomeno vectorial. Entonces el campo eléctrico resultante en un punto en el espacio donde dos o más ondas luminosas se superponen es igual a la suma vectorial de las perturbaciones constitutivas individuales. La interferencia óptica se puede decir que es una interacción de dos o más ondas de luz que producen una intensidad resultante, la cual se desvía de la simple suma de las intensidades individuales.

Suma de ondas E1 = E01 sen[k(x - vt) ] E2 = E02 sen[k(x - vt) + δ]

En fase

Supongamos dos ondas LP, de la misma frecuencia y que se propagan en la misma dirección. Decimos que las ondas están desfasadas, si parados en un pto. del espacio podemos observar que estas ondas no alcanzan los máximos en el mismo instante.

En contrafase

Veremos que la combinación de estas ondas se denomina interferencia. Resultado está gobernado por la diferencia de fase δ.

Consideramos el efecto que producen la superposición de ondas que se propagan en el mismo sentido. En general, éstas pueden tener distinto origen y distinta fase inicial.

Interferencia constructiva (coherente)

Ondas que se combinan en fase dan una máxima visibilidad.

= Ondas que se combinan 180° fuera de fase (contrafase) se cancelan y dan una visibilidad nula. Ondas que se combinan con diferentes fases en su mayor parte se cancelan y la resultante presenta una baja visibilidad.

=

=

Interferencia destructiva (coherente)

Suma incoherente

Conideraciones generales: Fuentes monocromáticas Una fuente monocromática es aquella que emite luz con una única frecuencia ó longitud de onda

  E = E0 sen ( kx − wt ) i

ν =

c

λ

k =

2π

λ

Dos fuentes monocromáticas se dicen coherentes cuando emiten luz con la misma frecuencia y tienen una relación de fase definida y constante (δ= δ2- δ1 =cte).

E1 = E01 sen[k(x - vt) + δ1 ] E2 = E02 sen[k(x - vt) + δ2]

Luz coherente (laser)

Luz incoherente (lámparas de filamento, sol)

Ondas que se combinan con diferentes fases en su mayor parte se cancelan y la resultante presenta una baja visibilidad.

= Suma incoherente

ONDAS EN FASE

ONDAS EN CONTRAFASE

Resultante Onda 1

Onda 1

Resultante

Onda 2

Onda 2

δ = 2mπ

INTERFERENCIA CONSTRUCTIVA

δ = (2m + 1)π

INTERFERENCIA DESTRUCTIVA Onda 1 Onda 2 Resultante

En un caso extremo, dos ondas de igual amplitud y frecuencia se encontrarán totalmente desfasadas, dando como resultado una cancelación de ambas.

INTERFERENCIA DESTRUCTIVA TOTAL

Hay tres posibilidades para obtener ondas desfazadas

1. que las ondas recorran materiales con diferente índice de refracción 2. que se refleje en un medio con mayor indice de refracción que el medio incidente 3. que recorra distintas trayectorias

Interferencia - Experimento de Young (1880) Luz monocromática atraviesa dos ranuras separadas una distancia d Las interferencias se recogen en una pantalla situada a una dada distancia de las rendijas.

d

En un punto sobre la pantalla se produce interferencia constructiva si las ondas llegan con un desfase de λ e interferencia destructiva si el desfase es λ/2

De acuerdo al principio superposición el campo eléctrico en un punto P es la suma vectorial de E1 y E2. El campo eléctrico en una onda luminosa varia muy rápidamente con lo cual valores instantáneos son prácticamente indetectables, se mide la intensidad. El vector de Poynting es:

Entonces, la intensidad resultante es:

término de interferencia Para fuentes incoherentes (ej luz blanca), no existe una relación de fase definidad entre E1 y E2 y el término cruzado se anula.

INTERFERENCIA SE OBSERVA UNICAMENTE EN EL CASO DE ONDAS PROCEDENTES DE FUENTES COHERENTES.

Laser

Luz coherente:

Luz incoherente:

La intensidad total es el modulo cuadrado de la suma de los campos individuales.

La intensidad total es la suma de las intensidades individuales.

Etotal = E1 + E2 + … + En

Itotal = I1 + I2 + … + In

En la región de radio frecuencia es posible tener dos fuentes cuyas fases iniciales son gobernables. En cambio en el rango óptico, las fuentes no son fácilmente gobernables.

Consideraremos el método algebraico para analizar la superposición de ondas. CASO GENERAL Tenemos dos ondas de amplitudes diferentes, de la misma frecuencia y que pueden diferir en su fase E1 (r, t) = E 01 sen (k r1 - w t) E2 (r, t) = E 02 sen (k r2 - w t + α) Utilizando el principio de superposición: E (r, t) = E 1 (r, t) + E 2 (r, t)

E (r, t) = E 1 (r, t) + E 2 (r, t) = E 01 sen (α1- w t)+ E 02 sen (α2 - w t) k r1

k r2 + α

Analicemos el termino de interferencia

término de interferencia

Consideremos campo eléctrico esta dado por

2 I = 12 c ε E~ 0

E(r,t) = E0 sen (kr-wt+ε) amplitud

fase

fase inicial

E 1 = E 01 sen (α1- w t) E 2= E 02 sen (α2 - w t) =0 =1/2

E2=E.E =(E1+E2)(E1+E2)=++2

=1/2

sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b

E 02 = E 012+ E 022 + 2 E 01 E 02 (senα1senα2+cosα1 cosα2)= = E 012+ E 022 + 2 E 01 E 02 cos(α1 -α2)=

donde: E 02 = E 012+ E 022 + 2 E 01 E 02 cos δ 1 2 δ 12 = α 2 − α 1 α 1 = k r1

α 2 = k r2 + α

La expresión para la Intensidad será: I α E 02 = E 012+ E 02 2 + 2 E 01 E 02 cos δ 1 2 = I1 + I 2 + 2 (I 1 I 2)1/2 cos δ 1 2

I

= I1 + I 2 + 2 (I 1 I 2)1/2 cos δ 1 2 término de Interferencia.

Si

δ 1 2 = 0, ± 2 m π δ 1 2 = π, ± (2 m+1) π

cos ( ) = 1 cos ( ) = − 1

Máximo (ondas en fase) Mínimo (ondas en contrafase)

Analicemos δ 1 2 = α 2 − α 1 , que puede tener distinto origen: α 2 − α 1 = k r2 - k r1 + α = k ∆ r + α = (2 π / λ) ∆ r + α Dif. fase producida por la dif. camino óptico entre las dos ondas.

Dif. fase producida por dif. fase original, reflexiones, etc.

Expresión general para onda con diferente amplitud

I = I1 + I 2 + 2 (I 1 I 2)1/2 cos δ 1 2 En general consideraremos el caso de ondas de igual amplitud Consideramos E 01 = E 02 , y utilizamos los resultados hallados. E 02 = 2 E 01 2 [ 1 + cos δ 1 2 ] Por identidad Trigonométrica E 02 = 4 E 012 cos2 (δ1 2 / 2)

I = 4 I1 cos2 (δ1 2 / 2)

d

a d sen θ

Dif. fase δ12 esta originada en la dif. camino entre la onda que proviene de S1 y S2

En un dado punto P sobre la pantalla se superponen las dos ondas que llegan desde S1 a S2. δ = α 2 − α 1 = (2 π / λ) ∆ r = (2 π / λ) d sen θ.

Interferencia constructiva δ = 0, ± 2 m π Máximo d sen θ = m λ m=0, 1, 2,... Interferencia destructiva δ = π, ± (2 m+1) π Mínimo d sen θ = (2 m+1) λ /2 m=0, 1, 2,... La diferencia de caminos ópticos entre los rayos procedentes de las dos fuentes causa un desfase

δ = ∆r

2π

λ

= d senθ

2π

λ

Interferencia destructiva

Interferencia constructiva

¿Como se pueden localizar las posiciones de las franjas sobre una pantalla? Si L >> d esto significa que θ es pequeño y es valido aproximar

d sen θ

INTERFERENCIA CONSTRUCTIVA

d sin θ = mλ m = 0,1,2,3... Maximum

d sen θ

m ym +/Posición máximos

0 1 2 3

ym (maximo )

0 Lλ/d 2Lλ/d 3Lλ/d

INTERFERENCIA DESTRUCTIVA

1 d sin θ = (m + )λ m = 0,1,2,3... Minimo 2

ym (minimo )

(m + 1 / 2)λL = d

mλL = d Posición minimos m ym +/0 1 2 3

Lλ/2d 3Lλ/2d 5Lλ/2d 7Lλ/2d

posición franja brillante m-esima

Máx.

Mín.

2

ym = m λ (L/d)

1

∆y

3/2

1/2

Distancia entre máx. sucesivos:

0 -1/2

∆ym (máximos) = ym+1 - ym =λ (L/d)

-1 -3/2 -2

La distancia entre mínimos sucesivos se puede semostrar que también resulta: ∆ym (minimos) = λ (L/d)

∆y =

λL d

¿COMO ES LA INTENSIDAD OBSERVADA SOBRE LA PANTALLA? Si las dos ranuras son iguales y la intensidad luminosa que pasa por ambas es la misma, la distribución de intensidad sobre la pantalla es:

I = 4 I 0 cos2 (δ / 2) δ = (2 π / λ) d sen θ= (2 π / λ) d (y/L)

yd π 2   I = 4 I 0 cos   L λ   (centro brillante)

¿Cambia la distribución sobre una pantalla si cambia la longitud de onda?

Disminuye λ disminuye ∆y

∆y =

λL d

Luz blanca (policromatica)

¿Cambia la distribución sobre una pantalla si cuando cambia la distancia a la pantalla?

RESUMIENDO: Experiencia de Young

Máximos:

δ = d senθ ⇒ senθ =

2π

λ mλ d

L ⇒ y =m λ d

= 2mπ =

y L

δ = d senθ

Mínimos:

⇒ senθ = ⇒y=

2π

λ

= (2m + 1)π

(2m + 1)λ y = 2d L

(2m + 1) L λ 2 d

INTERFERENCIA EN LÁMINAS DELGADAS •Pompas de jabón •Manchas de aceite ¿Dónde tiene origen esta interferencia? Luz

agua

Reflexión:

color aceite

* cambio de fase

Transmisión + reflexión: * cambio de fase * diferencia de camino óptico

Interferencia en películas delgadas por reflexión

n1 n2

lámina n1 Diferencia de caminos ópticos para ángulos pequeños = 2 d n2  la diferencia de fase total entre los rayos reflejados 1 y 2 es

δ=

2π

λ

n2 2d + π

n1 < n2 Si n1 < n2 el desfasaje en π lo produce la reflexión interfase superior

Recordemos ec. de Fresnel para medios dieléctricos. E perpendicular al plano incidencia Reflexión externa ni < nt r ⊥ = (E 0 r / E 0 i) ⊥ < 0 Para todo ángulo θ i Hay una inversión de fase en π para (E 0r )⊥ si n i < n t Reflexión interna n i > n t r ⊥ = (E 0 r / E 0 i) ⊥ > 0 Para todo ángulo θ i En particular para θ i ≥ θ c r⊥ = 1 (E 0r)⊥ está en fase respecto de (E 0i)⊥ si n i > n t

Comp. campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia sufre un corrimiento de fase de π radianes bajo reflexión cuando el medio incidente tiene un índice menor que el medio transmisor ninc < ntrans

Similar cuerda vibrante Bi

Ei Er

Br

Bi

Ei Br

ni

ni

nt

nt n< nt i

n> nt i

Er

Interferencia en películas delgadas por reflexión

Si n1 < n2 el desfasaje en π lo produce la reflexión en la interfase superior n1 n2 n1

Si n1 > n2 el desfasaje en π lo produce la reflexión en interfase inferior

n1 lámina

n2 n1

AMBOS CASOS

δ=

2π

λ

n1

n2 2d + π

n2 n1

Interferencia películas delgadas por reflexión

Si n1< n2 n3 α

aire

n1

película

naire=1 npelicula=1.7 nvidrio=1.5

π n2 n3

0

α 2 = (2 π / λ) 2 npel d (dif. camino óptico) (reflexión nincidente < ntransmisor) 1= π δ = (2 π / λ) 2 npel d + π → δ = 2 m π Máximo → δ = (2 m+1) π Mínimo 2 npel d = (2 m+1) λ/2 Máx. ( brillante) 2 npel d = (m+1) λ

Mínimo ( oscura)

Si la lámina tiene espesor variable y se ilumina con luz blanca, las condiciones valen para cada color (λ). Ej: pompas de jabón, película aceite sobre asfalto.

INTERFERENCIA EN LÁMINAS DELGADAS Rayos interfieren por reflexión

Rayo reflejado 1 Rayo reflejado 2

aire n=1

aire n=1 jabón n=1.3 aire n=1

Cambio de fase 180 grados

Rayos interfieren por transmisión

L

L

jabón n=1.3 aire n=1

Rayo transmitido 4

No se produce cambio de fase por reflexión

No se produce cambio de fase por reflexión

Rayo transmitido 3

Comp. campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia sufre un corrimiento de fase de π radianes bajo reflexión cuando el medio incidente tiene un índice menor que el medio transmisor ninc < ntrans

PELICULAS ANTIRREFLECTANTES Películas que se colocan en la interfase entre dos medios transparentes y minimizan la reflexión en las superficies Ejemplo: “coating” (recubrimiento) en cámaras fotográficas, telescopios, etc. En este caso n 1 < n 2 < n 3 δ= α2−α1 α 2 = (2 π / λ) 2 n2 d + π

(dif. Camino óptico + reflexión)

α1= π

(reflexión medio mas denso)

δ = (2 π / λ) 2 n2 d = (2 m+1) π m=0,1, 2…..

Mínimo

Interferencia destructiva

Imponemos la condición de mínimo porque queremos que se refleje la menor intensidad luminosa posible.

n1 n2

d = λ / 4 n2 (espesor mínimo)

n3

Para cancelar completamente la reflexión, imponemos que las reflectancias en las superficies sean iguales.

Recordemos que a incidencia normal

R=r

2

Reflectancia es el cuadrado del coeficiente de reflexión

 n −n  R =  t i  nt + ni 

(Er / Ei)2(I) = (n2 − n1) / (n2 + n1) (Er / Ei)2(II) = (n3 − n2) / (n3 + n2)

2

1ra. Superficie 2da. Superficie

Igualando y desarrollando:

n2 = (n1 n3)1/2 Para la interfase aire (n1 = 1), vidrio (n3 = 1.5) → n2 = 1.22

INTERFERENCIA Anillos Newton Cuando una superficie curva de vidrio se coloca en contacto con una superficie plana de vidrio, se ve una serie de anillos concéntricos cuando se ilumina. Estos anillos son los patrones de interferencia generados a partir de la delgada capa de un fluido (aire por ejemplo) que queda alojada entre las dos superficies de distinta curvatura.

ANILLOS DE NEWTON Se utiliza para testear elementos ópticos tales como lentes.

Haz reflejado por la superficie superior Haz reflejado por la superficie inferior

em

R

R (radio de curvatura lente)

Haz incidente

Superficie superior Superficie inferior

Se observa una franja brillante cuando se produce una interferencia constructiva.

Haz incidente

ANILLOS DE NEWTON δ = α 2 − α 1 cuando se observa por reflexión α 2 = (2 π / λ) 2 n2 e + π (dif. camino óptico + reflexión) α1= 0 (reflexión)

0

π

Calculamos el espesor película entre placa vidrio-lente en en función de rm (donde rm :radio anillo m-esimo) y R (radio de curvatura de la lente)

n1=nvidrio=1.5 n3=nvidrio=1.5

rm

2 rm e= 2R

R2 = rm2 + (R – e)2 = rm2 + R 2 − 2 R e + e2 Sea R>>e se desprecia el último término y se obtiene: r2  2n2e + π = 2n2  m  + π = 2mπ δ=  2R λ λ   2π

rm =

2π

(m − 1 2)

λR n2

Interferencia constructiva Condición máximo

Radio anillos brillantes

n2=naire=1

anillos de Newton por transmisión

anillos de Newton por reflexión Comp. campo eléctrico sufre un corrimiento de fase de π radianes bajo reflexión cuando ninc < ntrans

r2  δ= 2n2e = 2n2  m   2R λ λ   2π

2π

Haz incidente

n2=naire=1

n1=nvidrio=1.5 n3=nvidrio=1.5

r2  δ= 2n2e + π = 2n2  m  + π  2R λ λ   2π

2π

Haz incidente

n2=naire=1

π π

En el centro de la lente: r=0 δ= 0 Condición máximo interf (centro brillante)

0

π

n1=nvidrio=1.5

n2=naire=1

n3=nvidrio=1.5

En el centro de la lente: r=0 δ= π Condición mínimo interf (centro oscuro)

ANILLOS DE NEWTON

¿Por qué diferentes colores? Considerando el caso que se observe por reflexión

2π

 r 2m   + π δ= 2nt e + π = 2nt  λ λ 2R 2π

Anillos de Newton

rm n1=nvidrio=1.5

rm

n2=1

em

n3=nvidrio=1.5

2 em n2=diferencia de camino óptico

r2  δ12 = 2n2e + π = 2n2  m  + π  2R λ λ   2π

2π

Recordar que λmedio incidente=λvacio/nmedio incidente

INTERFERENCIA - CUÑAS OPTICAS Consideramos el caso una cuña de aire que forma un ángulo θ entre dos vidrios. (na < nv). δ= α2−α1

(cuando se observa por reflexión)

α 2 = (2 π / λ) 2 naire d + π α 1= 0 δ = (2 π / λ) 2 n aire d + π

(dif. fase x camino óptico + reflexión) (dif. fase x reflexión) → →

2mπ (2 m+1) π

Máximo Mínimo

Como d es variable, la cuña produce franjas de interferencia. Para d = 0

δ 12= π

El mínimo siguiente δ = (2 π / λ) 2 naire d + π = 3 π Para el orden m

Mínimo →

δ = λ d/ 2 naire

δm = m λ d/ 2 naire

n1=nvidrio=1.5 n2=naire=1 n3=nvidrio=1.5

Cuñas de Aire Es posible calcular θ conociendo la separación entre franjas tg θ ≅ θ = d / x

δ = (2 π / λ) 2 naire d + π = (2m+1) π td si θ es pequeño θ ≈ x 2d 2t = mλ ⇒ 2 θ x = mλ ó mλ → posición de las franjas 2θ oscuras =1.5

x= d

x

nvidrio naire=1 nvidrio=1.5

Análisis de calidad de componentes ópticos: anillos de Newton (en lentes)

Película de petróleo sobre agua