• Author / Uploaded
• Orange N

• Categories
• Derivado
• Pendiente
• Tangente
• Objetos matemáticos
• Matemática Elemental

Citation preview

DERIVADAS ´ - David Gonzales ´ Juan Damian Universidad San Martin de Porres

Noviembre del 2017

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

1 / 25

LA DERIVADA

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

2 / 25

LA DERIVADA LA DERIVADA

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

2 / 25

LA DERIVADA LA DERIVADA ´ Definicion: ´ y = f (x) en x esta´ dada por: La derivada de una funcion f (x + h) − f (x) h→0 h Siempre que el l´ımite exista. En este caso diremos que la ´ f es diferenciable (derivable) en x. funcion f 0 (x) = l´ım

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

2 / 25

LA DERIVADA LA DERIVADA ´ Definicion: ´ y = f (x) en x esta´ dada por: La derivada de una funcion f (x + h) − f (x) h→0 h Siempre que el l´ımite exista. En este caso diremos que la ´ f es diferenciable (derivable) en x. funcion f 0 (x) = l´ım

E JEMPLO sea f (x) = 5x + 3.Encuentre f 0 (x)

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

2 / 25

Derivadas

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

3 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 5x + 3.Encuentre f 0 (x)

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

3 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 5x + 3.Encuentre f 0 (x)

´ S OLUCI ON

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

3 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 5x + 3.Encuentre f 0 (x)

´ S OLUCI ON [5(x + h) + 3] − [5x + 3] f (x + h) − f (x) = l´ım h→0 h→0 h h

f 0 (x) = l´ım

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

3 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 5x + 3.Encuentre f 0 (x)

´ S OLUCI ON [5(x + h) + 3] − [5x + 3] f (x + h) − f (x) = l´ım h→0 h→0 h h

f 0 (x) = l´ım

5x + 5h + 3 − 5x − 3 5h = l´ım = l´ım (5) = 5 h→0 h→0 h h→0 h

f 0 (x) = l´ım

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

3 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 5x + 3.Encuentre f 0 (x)

´ S OLUCI ON [5(x + h) + 3] − [5x + 3] f (x + h) − f (x) = l´ım h→0 h→0 h h

f 0 (x) = l´ım

5x + 5h + 3 − 5x − 3 5h = l´ım = l´ım (5) = 5 h→0 h→0 h h→0 h

f 0 (x) = l´ım f 0 (x) = 5.

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

3 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 2x 2 + 5x − 3.Encuentre f 0 (x)

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

4 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 2x 2 + 5x − 3.Encuentre f 0 (x)

´ S OLUCI ON

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

4 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 2x 2 + 5x − 3.Encuentre f 0 (x)

´ S OLUCI ON f (x + h) − f (x) h→0 h

f 0 (x) = l´ım

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

4 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 2x 2 + 5x − 3.Encuentre f 0 (x)

´ S OLUCI ON f (x + h) − f (x) h→0 h

f 0 (x) = l´ım

[2(x + h)2 + 5(x + h) − 3] − [2x 2 + 5x − 3] h→0 h

f 0 (x) = l´ım

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

4 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 2x 2 + 5x − 3.Encuentre f 0 (x)

´ S OLUCI ON f (x + h) − f (x) h→0 h

f 0 (x) = l´ım

[2(x + h)2 + 5(x + h) − 3] − [2x 2 + 5x − 3] h→0 h

f 0 (x) = l´ım

[(2x 2 + 4xh + 2h2 ) + 5x + 5h − 3] − [2x 2 + 5x − 3] h→0 h

f 0 (x) = l´ım

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

4 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 2x 2 + 5x − 3.Encuentre f 0 (x)

´ S OLUCI ON f (x + h) − f (x) h→0 h

f 0 (x) = l´ım

[2(x + h)2 + 5(x + h) − 3] − [2x 2 + 5x − 3] h→0 h

f 0 (x) = l´ım

[(2x 2 + 4xh + 2h2 ) + 5x + 5h − 3] − [2x 2 + 5x − 3] h→0 h

f 0 (x) = l´ım

f 0 (x) = l´ım

h→0

.

(USMP)

h(4x + 2h + 5) = l´ım (4x + 2h + 5) = 4x + 5 h→0 h DERIVADA

Noviembre del 2017

4 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 3x 2 + 5x − 2.Encuentre f 0 (2)

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

5 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 3x 2 + 5x − 2.Encuentre f 0 (2)

´ S OLUCI ON

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

5 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 3x 2 + 5x − 2.Encuentre f 0 (2)

´ S OLUCI ON f (2 + h) − f (2) h→0 h

f 0 (2) = l´ım

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

5 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 3x 2 + 5x − 2.Encuentre f 0 (2)

´ S OLUCI ON f (2 + h) − f (2) h→0 h

f 0 (2) = l´ım

[3(2 + h)2 + 5(2 + h) − 2] − [3(2)2 + 5(2) − 2] h→0 h

f 0 (2) = l´ım

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

5 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 3x 2 + 5x − 2.Encuentre f 0 (2)

´ S OLUCI ON f (2 + h) − f (2) h→0 h

f 0 (2) = l´ım

[3(2 + h)2 + 5(2 + h) − 2] − [3(2)2 + 5(2) − 2] h→0 h

f 0 (2) = l´ım

[(3(2)2 + 3(4)h + 3h2 ) + 5(2) + 5h − 2] − [20] h→0 h

f 0 (2) = l´ım

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

5 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = 3x 2 + 5x − 2.Encuentre f 0 (2)

´ S OLUCI ON f (2 + h) − f (2) h→0 h

f 0 (2) = l´ım

[3(2 + h)2 + 5(2 + h) − 2] − [3(2)2 + 5(2) − 2] h→0 h

f 0 (2) = l´ım

[(3(2)2 + 3(4)h + 3h2 ) + 5(2) + 5h − 2] − [20] h→0 h

f 0 (2) = l´ım

(20 + 17h + 3h2 ) − (20) h(3h + 17) = l´ım = 17 h→0 h→0 h h

f 0 (2) = l´ım .

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

5 / 25

Derivadas

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

6 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = x 2 + 2.Encuentre f 0 (x)

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

6 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = x 2 + 2.Encuentre f 0 (x)

´ S OLUCI ON

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

6 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = x 2 + 2.Encuentre f 0 (x)

´ S OLUCI ON f (x+h)−f (x) h h→0

f 0 (x) = l´ım

(USMP)

[(x+h)2 +2]−[x 2 +2] h h→0

= l´ım

DERIVADA

Noviembre del 2017

6 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = x 2 + 2.Encuentre f 0 (x)

´ S OLUCI ON 2 2 +2] f (x+h)−f (x) = l´ım [(x+h) +2]−[x h h h→0 h→0 2 2 2 l´ım x +2xh+hh +2−x −2 = l´ım h(2x+h) h h→0 h→0

f 0 (x) = l´ım f 0 (x) =

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

6 / 25

Derivadas E JEMPLO sea f (x) = x 2 + 2.Encuentre f 0 (x)

´ S OLUCI ON 2 2 +2] f (x+h)−f (x) = l´ım [(x+h) +2]−[x h h h→0 h→0 2 2 2 l´ım x +2xh+hh +2−x −2 = l´ım h(2x+h) h h→0 h→0

f 0 (x) = l´ım f 0 (x) =

f 0 (x) = l´ım (2x + h) = 2x. h→0

´ Observacion El resultado mtan = 2, se obtiene al evaluar la derivada f 0 (x) = 2x en x = 1, es decir, f 0 (1) = 2 (USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

6 / 25

Derivadas Recta Tangente con pendiente Sea y = f (x) continua en el numero a. Si el l´ımite ´ f (x + h) − f (x) h→0 h

f 0 (x) = l´ım

´ existe, entonces la recta tangente a la grafica de f en (a, f (a)) es la recta que pasa por el punto (a, f (a)) con pendiente mtan 2.7 El problema de la recta tangente 111

Si, como se muestra en la FIGURA 2.7.2, f P, entonces ¿cuál es la ecuación de esta ordenadas de P y la pendiente mtan de L. ad, puesto que un punto sobre la gráfica x en el dominio de f. Así, las coordenaconsecuencia, el problema de encontrar ntrar la pendiente mtan de la recta. Como dientes msec de rectas secantes (del verbo punto P y cualquier otro punto Q sobre (USMP)

y

L Recta tangente en P(a, ƒ(a))

a

x

FIGURA 2.7.2 Recta tangente L a una gráfica en el punto P y

L DERIVADA

Noviembre del 2017

7 / 25

Derivadas E JEMPLO ´ de la recta tangente a la g´rafica de Encuentre una ecuacion 2 f (x) = x + 2 en x = 1

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

8 / 25

Derivadas E JEMPLO ´ de la recta tangente a la g´rafica de Encuentre una ecuacion 2 f (x) = x + 2 en x = 1

´ S OLUCI ON Del ejemplo anterior se conoce el punto de tangencia (1, 3) y la ´ punto pendiente mtan = 2, de modo que por la ecuacion pendiente de una recta se encuentra y − 3 = 2(x − 1)

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

8 / 25

Derivadas E JEMPLO ´ de la recta tangente a la g´rafica de Encuentre √ una ecuacion f (x) = x − 1 en x = 5

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

9 / 25

Derivadas E JEMPLO ´ de la recta tangente a la g´rafica de Encuentre √ una ecuacion f (x) = x − 1 en x = 5

´ S OLUCI ON 1 , de 4 ´ punto pendiente de una recta se modo que por la ecuacion 1 encuentra y − 2 = (x − 5) 4

El punto de tangencia es (5, 2) y la pendiente mtan =

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

9 / 25

Derivadas

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

10 / 25

Derivadas ´ Notacion

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

10 / 25

Derivadas ´ Notacion ´ comun ´ Notacion para denotar ´ usada en la literatura matematica ´ la derivada de una funcion. Si y = f (x), la derivada se puede denotar como:

f 0 (x),

(USMP)

dy , y 0 , Dy , Dx y dx

DERIVADA

Noviembre del 2017

10 / 25

Derivadas Laterales Derivadas Laterales Como la derivada es un l´ımite h tiende a cero, la misma se puede calcular por un solo lado, lo cual en muchos problemas es necesario por diversas razones. f+0 (x) = l´ım+ h→0

f (x + h) − f (x) . . . (Derivada Lateral Derecha) h

f (x + h) − f (x) . . . (Derivada Lateral Izquierda) h→0 h ´ limites, solo en el caso en que ambas Como en los demas ´ ser´ıa derivadas laterales existan y sean iguales, la funcion derivable en el numero analizado. ´ f−0 (x) = l´ım−

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

11 / 25

Derivadas Laterales E JEMPLO ´ f (x) = |x − 1| Es derivable en 1, la funcion

´ S OLUCI ON

y

0

(USMP)

f

1

x

DERIVADA

Noviembre del 2017

12 / 25

Derivadas Laterales

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

13 / 25

Derivadas Laterales E JEMPLO ´ f (x) = |x − 1| Es derivable en 1, la funcion

´ S OLUCI ON

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

13 / 25

Derivadas Laterales E JEMPLO ´ f (x) = |x − 1| Es derivable en 1, la funcion

´ S OLUCI ON f+0 (1) = l´ım+ h→0

(USMP)

|1 + h − 1| − 0 f (1 + h) − f (1) = l´ım+ h→0 h h

DERIVADA

Noviembre del 2017

13 / 25

Derivadas Laterales E JEMPLO ´ f (x) = |x − 1| Es derivable en 1, la funcion

´ S OLUCI ON |1 + h − 1| − 0 f (1 + h) − f (1) = l´ım+ h→0 h h |h| h 0 f+ (1) = l´ım+ = l´ım+ = l´ım+ (1) = 1 h→0 h h→0 h h→0 f+0 (1) = l´ım+ h→0

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

13 / 25

Derivadas Laterales E JEMPLO ´ f (x) = |x − 1| Es derivable en 1, la funcion

´ S OLUCI ON |1 + h − 1| − 0 f (1 + h) − f (1) = l´ım+ h→0 h h |h| h 0 f+ (1) = l´ım+ = l´ım+ = l´ım+ (1) = 1 h→0 h h→0 h h→0 f (1 + h) − f (1) |1 + h − 1| − 0 f−0 (1) = l´ım− = l´ım− h→0 h→0 h h f+0 (1) = l´ım+ h→0

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

13 / 25

Derivadas Laterales E JEMPLO ´ f (x) = |x − 1| Es derivable en 1, la funcion

´ S OLUCI ON |1 + h − 1| − 0 f (1 + h) − f (1) = l´ım+ h→0 h h |h| h 0 f+ (1) = l´ım+ = l´ım+ = l´ım+ (1) = 1 h→0 h h→0 h h→0 f (1 + h) − f (1) |1 + h − 1| − 0 f−0 (1) = l´ım− = l´ım− h→0 h→0 h h −h |h| = l´ım− = l´ım− (−1) = −1 f−0 (1) = l´ım− h→0 h→0 h→0 h h f+0 (1) = l´ım+ h→0

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

13 / 25

Derivadas Laterales E JEMPLO ´ f (x) = |x − 1| Es derivable en 1, la funcion

´ S OLUCI ON |1 + h − 1| − 0 f (1 + h) − f (1) = l´ım+ h→0 h h |h| h 0 f+ (1) = l´ım+ = l´ım+ = l´ım+ (1) = 1 h→0 h h→0 h h→0 f (1 + h) − f (1) |1 + h − 1| − 0 f−0 (1) = l´ım− = l´ım− h→0 h→0 h h −h |h| = l´ım− = l´ım− (−1) = −1 f−0 (1) = l´ım− h→0 h→0 h→0 h h 0 0 Como f+ y f− son diferentes, entonces f no es derivable en 1. f+0 (1) = l´ım+ h→0

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

13 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

14 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS ´ Calculo de derivadas

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

14 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS ´ Calculo de derivadas ´ la definicion ´ En lugar de aplicar en cada problema de derivacion de derivada, es preferible deducir un conjunto de reglas generales que permitan hallar las derivadas de una gran cantidad de funciones. Por ejemplo, si f y g son funciones derivadas, entonces hallaremos mediante estas reglas la derivada de otras funciones como f + g; f − g;f .g y f /g, etc.

T EOREMA

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

14 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS ´ Calculo de derivadas ´ la definicion ´ En lugar de aplicar en cada problema de derivacion de derivada, es preferible deducir un conjunto de reglas generales que permitan hallar las derivadas de una gran cantidad de funciones. Por ejemplo, si f y g son funciones derivadas, entonces hallaremos mediante estas reglas la derivada de otras funciones como f + g; f − g;f .g y f /g, etc.

T EOREMA 1. Sea C es una constante, si f (x) = c, entonces f 0 (x) = 0, ∀x ∈ R

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

14 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS ´ Calculo de derivadas ´ la definicion ´ En lugar de aplicar en cada problema de derivacion de derivada, es preferible deducir un conjunto de reglas generales que permitan hallar las derivadas de una gran cantidad de funciones. Por ejemplo, si f y g son funciones derivadas, entonces hallaremos mediante estas reglas la derivada de otras funciones como f + g; f − g;f .g y f /g, etc.

T EOREMA 1. Sea C es una constante, si f (x) = c, entonces f 0 (x) = 0, ∀x ∈ R 2. Si f (x) = x, entonces f 0 (x) = 1, ∀x ∈ R

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

14 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS ´ Calculo de derivadas ´ la definicion ´ En lugar de aplicar en cada problema de derivacion de derivada, es preferible deducir un conjunto de reglas generales que permitan hallar las derivadas de una gran cantidad de funciones. Por ejemplo, si f y g son funciones derivadas, entonces hallaremos mediante estas reglas la derivada de otras funciones como f + g; f − g;f .g y f /g, etc.

T EOREMA 1. Sea C es una constante, si f (x) = c, entonces f 0 (x) = 0, ∀x ∈ R 2. Si f (x) = x, entonces f 0 (x) = 1, ∀x ∈ R 3. Sea n ∈ N, si f (x) = x n , entonces f 0 (x) = nx n−1 , ∀x ∈ R (USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

14 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

15 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO 1. Si f (x) = 25, entonces f 0 (x) = 0, ∀x ∈ R

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

15 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO 1. Si f (x) = 25, entonces f 0 (x) = 0, ∀x ∈ R 2. Si f (x) = x 6 , entonces f 0 (x) = 6x 5 , ∀x ∈ R

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

15 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO 1. Si f (x) = 25, entonces f 0 (x) = 0, ∀x ∈ R 2. Si f (x) = x 6 , entonces f 0 (x) = 6x 5 , ∀x ∈ R 3. Si f (x) = x 9 , entonces f 0 (x) = 9x 8 , ∀x ∈ R

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

15 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO 1. Si f (x) = 25, entonces f 0 (x) = 0, ∀x ∈ R 2. Si f (x) = x 6 , entonces f 0 (x) = 6x 5 , ∀x ∈ R 3. Si f (x) = x 9 , entonces f 0 (x) = 9x 8 , ∀x ∈ R

T EOREMA Supongamos que f y g son derivables y C constante, Luego:

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

15 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO 1. Si f (x) = 25, entonces f 0 (x) = 0, ∀x ∈ R 2. Si f (x) = x 6 , entonces f 0 (x) = 6x 5 , ∀x ∈ R 3. Si f (x) = x 9 , entonces f 0 (x) = 9x 8 , ∀x ∈ R

T EOREMA Supongamos que f y g son derivables y C constante, Luego: 1. f + g son derivables y (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

15 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO 1. Si f (x) = 25, entonces f 0 (x) = 0, ∀x ∈ R 2. Si f (x) = x 6 , entonces f 0 (x) = 6x 5 , ∀x ∈ R 3. Si f (x) = x 9 , entonces f 0 (x) = 9x 8 , ∀x ∈ R

T EOREMA Supongamos que f y g son derivables y C constante, Luego: 1. f + g son derivables y (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) 2. f − g son derivables y (f − g)0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x)

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

15 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO 1. Si f (x) = 25, entonces f 0 (x) = 0, ∀x ∈ R 2. Si f (x) = x 6 , entonces f 0 (x) = 6x 5 , ∀x ∈ R 3. Si f (x) = x 9 , entonces f 0 (x) = 9x 8 , ∀x ∈ R

T EOREMA Supongamos que f y g son derivables y C constante, Luego: 1. f + g son derivables y (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) 2. f − g son derivables y (f − g)0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x) 3. cf son derivables y (cf )0 (x) = cf 0 (x)

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

15 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO 1. Si f (x) = 25, entonces f 0 (x) = 0, ∀x ∈ R 2. Si f (x) = x 6 , entonces f 0 (x) = 6x 5 , ∀x ∈ R 3. Si f (x) = x 9 , entonces f 0 (x) = 9x 8 , ∀x ∈ R

T EOREMA Supongamos que f y g son derivables y C constante, Luego: 1. f + g son derivables y (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) 2. f − g son derivables y (f − g)0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x) 3. cf son derivables y (cf )0 (x) = cf 0 (x) 4. f .g son derivables y (f .g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x).g 0 (x)

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

15 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO 1. Si f (x) = 25, entonces f 0 (x) = 0, ∀x ∈ R 2. Si f (x) = x 6 , entonces f 0 (x) = 6x 5 , ∀x ∈ R 3. Si f (x) = x 9 , entonces f 0 (x) = 9x 8 , ∀x ∈ R

T EOREMA Supongamos que f y g son derivables y C constante, Luego: 1. f + g son derivables y (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) 2. f − g son derivables y (f − g)0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x) 3. cf son derivables y (cf )0 (x) = cf 0 (x) 4. f .g son derivables y (f .g)!0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x).g 0 (x) 0 f f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) 5. f /g son derivables y (x) = g [g(x)]2 (USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

15 / 25

Propiedades Propiedades

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. (C)0 = 0

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. (C)0 = 0 2. (x)0 = 1

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. (C)0 = 0 2. (x)0 = 1 3. (x n )0 = nx n−1

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. 2. 3. 4.

(C)0 = 0 (x)0 = 1 (x n )0 = nx n−1 (u n )0 = nu n−1 u 0

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. 2. 3. 4. 5.

(C)0 = 0 (x)0 = 1 (x n )0 = nx n−1 (u n )0 = nu n−1 u 0 (au )0 = au u 0 lna

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6.

(C)0 = 0 (x)0 = 1 (x n )0 = nx n−1 (u n )0 = nu n−1 u 0 (au )0 = au u 0 lna (eu )0 = eu u 0

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

(C)0 = 0 (x)0 = 1 (x n )0 = nx n−1 (u n )0 = nu n−1 u 0 (au )0 = au u 0 lna (eu )0 = eu u 0 (u v )0 = vu v −1 u 0 + u v v 0 lnu

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

(C)0 = 0 (x)0 = 1 (x n )0 = nx n−1 (u n )0 = nu n−1 u 0 (au )0 = au u 0 lna (eu )0 = eu u 0 (u v )0 = vu v −1 u 0 + u v v 0 lnu (uv )0 = u 0 v + uv 0

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

(C)0 = 0 (x)0 = 1 (x n )0 = nx n−1 (u n )0 = nu n−1 u 0 (au )0 = au u 0 lna (eu )0 = eu u 0 (u v )0 = vu v −1 u 0 + u v v 0 lnu (uv )0 = u 0 v + uv 0

(USMP)

9.

DERIVADA

 0 u

v

=

u 0 v − uv 0 v2

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

(C)0 = 0 (x)0 = 1 (x n )0 = nx n−1 (u n )0 = nu n−1 u 0 (au )0 = au u 0 lna (eu )0 = eu u 0 (u v )0 = vu v −1 u 0 + u v v 0 lnu (uv )0 = u 0 v + uv 0

(USMP)

u 0 v − uv 0 v v2 0 u 10. (loga u)0 = loga e u 9.

DERIVADA

 0 u

=

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

(C)0 = 0 (x)0 = 1 (x n )0 = nx n−1 (u n )0 = nu n−1 u 0 (au )0 = au u 0 lna (eu )0 = eu u 0 (u v )0 = vu v −1 u 0 + u v v 0 lnu (uv )0 = u 0 v + uv 0

(USMP)

u 0 v − uv 0 v v2 0 u 10. (loga u)0 = loga e u 0 u 11. (lnu)0 = u 9.

DERIVADA

 0 u

=

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

(C)0 = 0 (x)0 = 1 (x n )0 = nx n−1 (u n )0 = nu n−1 u 0 (au )0 = au u 0 lna (eu )0 = eu u 0 (u v )0 = vu v −1 u 0 + u v v 0 lnu (uv )0 = u 0 v + uv 0

(USMP)

u 0 v − uv 0 v v2 0 u 10. (loga u)0 = loga e u 0 u 11. (lnu)0 = u 12. (sen u)0 = u 0 cos u 9.

DERIVADA

 0 u

=

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

(C)0 = 0 (x)0 = 1 (x n )0 = nx n−1 (u n )0 = nu n−1 u 0 (au )0 = au u 0 lna (eu )0 = eu u 0 (u v )0 = vu v −1 u 0 + u v v 0 lnu (uv )0 = u 0 v + uv 0

(USMP)

9. 10. 11. 12. 13.

DERIVADA

u 0 v − uv 0 v v2 0 u (loga u)0 = loga e u 0 u (lnu)0 = u (sen u)0 = u 0 cos u (cos u)0 = −u 0 sen u  0 u

=

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

(C)0 = 0 (x)0 = 1 (x n )0 = nx n−1 (u n )0 = nu n−1 u 0 (au )0 = au u 0 lna (eu )0 = eu u 0 (u v )0 = vu v −1 u 0 + u v v 0 lnu (uv )0 = u 0 v + uv 0

(USMP)

9. 10. 11. 12. 13. 14.

DERIVADA

u 0 v − uv 0 v v2 0 u (loga u)0 = loga e u 0 u (lnu)0 = u (sen u)0 = u 0 cos u (cos u)0 = −u 0 sen u (tan u)0 = u 0 sec2 u  0 u

=

Noviembre del 2017

16 / 25

Propiedades Propiedades

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

17 / 25

Propiedades Propiedades 1. (cot u)0 = −u 0 csc2 u

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

17 / 25

Propiedades Propiedades 1. (cot u)0 = −u 0 csc2 u 2. (sec u)0 = u 0 sec u tan u

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

17 / 25

Propiedades Propiedades 1. (cot u)0 = −u 0 csc2 u 2. (sec u)0 = u 0 sec u tan u 3. (csc u)0 = −u 0 csc u cot u

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

17 / 25

Propiedades Propiedades 1. (cot u)0 = −u 0 csc2 u 2. (sec u)0 = u 0 sec u tan u 3. (csc u)0 = −u 0 csc u cot u u0 4. (arcsin u)0 = √ 1 − u2

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

17 / 25

Propiedades Propiedades 1. (cot u)0 = −u 0 csc2 u 2. (sec u)0 = u 0 sec u tan u 3. (csc u)0 = −u 0 csc u cot u u0 4. (arcsin u)0 = √ 1 − u2 u0 5. (arc cos u)0 = − √ 1 − u2

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

17 / 25

Propiedades Propiedades 1. (cot u)0 = −u 0 csc2 u 2. (sec u)0 = u 0 sec u tan u 3. (csc u)0 = −u 0 csc u cot u u0 4. (arcsin u)0 = √ 1 − u2 u0 5. (arc cos u)0 = − √ 1 − u2

(USMP)

6. (arctan u)0 =

DERIVADA

u0 1 + u2

Noviembre del 2017

17 / 25

Propiedades Propiedades 1. (cot u)0 = −u 0 csc2 u 2. (sec u)0 = u 0 sec u tan u 3. (csc u)0 = −u 0 csc u cot u u0 4. (arcsin u)0 = √ 1 − u2 u0 5. (arc cos u)0 = − √ 1 − u2

(USMP)

u0 1 + u2 7. (ku)0 = ku 0 ; k = cte

6. (arctan u)0 =

DERIVADA

Noviembre del 2017

17 / 25

Propiedades Propiedades 1. (cot u)0 = −u 0 csc2 u 2. (sec u)0 = u 0 sec u tan u 3. (csc u)0 = −u 0 csc u cot u u0 4. (arcsin u)0 = √ 1 − u2 u0 5. (arc cos u)0 = − √ 1 − u2

(USMP)

u0 1 + u2 7. (ku)0 = ku 0 ; k = cte √ u0 8. ( u)0 = √ 2 u 6. (arctan u)0 =

DERIVADA

Noviembre del 2017

17 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

18 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes:

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

18 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes: 1. f (x) = 2x 5 + 35

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

18 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes: 1. f (x) = 2x 5 + 35 2. f (x) = 7x 4 − 5x + 3

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

18 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes: 1. f (x) = 2x 5 + 35 2. f (x) = 7x 4 − 5x + 3 3. f (x) = x 3 + 5x 2 + 7x − 5

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

18 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes: 1. f (x) = 2x 5 + 35 2. f (x) = 7x 4 − 5x + 3 3. f (x) = x 3 + 5x 2 + 7x − 5 4. f (x) = (2x 2 + 5x − 2)(x 2 − 3x)

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

18 / 25

´ CALCULO DE DERIVADAS E JEMPLO Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes: 1. f (x) = 2x 5 + 35 2. f (x) = 7x 4 − 5x + 3 3. f (x) = x 3 + 5x 2 + 7x − 5 4. f (x) = (2x 2 + 5x − 2)(x 2 − 3x) x 2 + 3x + 2 5. f (x) = x 2 − 7x

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

18 / 25

LA REGLA DE LA CADENA

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

19 / 25

LA REGLA DE LA CADENA Regla de la cadena Cuando una variable “y” depende de una variable independiente “x” en una forma muy complicada, es conveniente considerarla ´ compuesta de dos o mas ´ funciones. como una funcion

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

19 / 25

LA REGLA DE LA CADENA Regla de la cadena Cuando una variable “y” depende de una variable independiente “x” en una forma muy complicada, es conveniente considerarla ´ compuesta de dos o mas ´ funciones. como una funcion

E JEMPLO Si y = (3x 2 + x − 7)5 Entonces podemos considerar: y = u 5 , donde u = 3x 2 + x − 7

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

19 / 25

LA REGLA DE LA CADENA Regla de la cadena Cuando una variable “y” depende de una variable independiente “x” en una forma muy complicada, es conveniente considerarla ´ compuesta de dos o mas ´ funciones. como una funcion

E JEMPLO Si y = (3x 2 + x − 7)5 Entonces podemos considerar: y = u 5 , donde u = 3x 2 + x − 7

T EOREMA Si f y g son derivable y: y = f (u), donde u = g(x) [y → u → x] dy dy du Entonces = . = f 0 (u).g 0 (x) dx du dx (USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

19 / 25

LA REGLA DE LA CADENA

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

20 / 25

LA REGLA DE LA CADENA E JEMPLO ´ f (x) = (3x 2 + 2x + 4)5 Hallar la derivada de la funcion

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

20 / 25

LA REGLA DE LA CADENA E JEMPLO ´ f (x) = (3x 2 + 2x + 4)5 Hallar la derivada de la funcion

´ S OLUCI ON

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

20 / 25

LA REGLA DE LA CADENA E JEMPLO ´ f (x) = (3x 2 + 2x + 4)5 Hallar la derivada de la funcion

´ S OLUCI ON Sea y = f (x), luego podemos escribir: y = u 5 , donde u = 3x 2 + 2x + 4 dy du dy dy du = 5u 4 y = 6x + 2, como = . du dx dx du dx dy Entonces: = 5u 4 (6x + 2) = 5(3x 2 + 2x + 4)4 (6x + 2) dx

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

20 / 25

LA REGLA DE LA CADENA E JEMPLO ´ f (x) = (3x 2 + 2x + 4)5 Hallar la derivada de la funcion

´ S OLUCI ON Sea y = f (x), luego podemos escribir: y = u 5 , donde u = 3x 2 + 2x + 4 dy du dy dy du = 5u 4 y = 6x + 2, como = . du dx dx du dx dy Entonces: = 5u 4 (6x + 2) = 5(3x 2 + 2x + 4)4 (6x + 2) dx

C OROLARIO ´ derivable y que n ∈ Z Suponga que g es una funcion n 0 Si f (x) = [g(x)] , entonces f (x) = n[g(x)]n−1 .g 0 (x) (USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

20 / 25

Derivada de Orden Superior

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

21 / 25

Derivada de Orden Superior Derivada de Orden Superior La derivada de Orden superior se puede definir derivada de cualquier orden entero positivo. por ejemplo la segunda derivada es derivada de la primera derivada, la tercera derivada es derivada de la segunda derivada. Las derivadas de orden ´ superior se denotan como se muestran a continuacion. 0 0 Primera derivada y , f (x) Segunda derivada y 00 , f 00 (x) Tercera derivada y 000 , f 000 (x) .. . ´ n-esima derivada y (n) , f (n) (x)

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

21 / 25

APLICACIONES Aplicaciones

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

22 / 25

APLICACIONES Aplicaciones ´ medica ´ 1. Un equipo de investigacion determina que t d´ıas ´ del inicio de despues √ una epidemia. 3 N(t) = 10t + 5t + t ´ infectadas. A que´ razon ´ se incrementa la personas estaran ´ infectada en el noveno d´ıa?. poblacion

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

22 / 25

APLICACIONES Aplicaciones ´ medica ´ 1. Un equipo de investigacion determina que t d´ıas ´ del inicio de despues √ una epidemia. 3 N(t) = 10t + 5t + t ´ infectadas. A que´ razon ´ se incrementa la personas estaran ´ infectada en el noveno d´ıa?. poblacion ´ que sigue la posicion ´ de una part´ıcula 2. La Ecuacion 3 2 s = f (t) = t − 6t + 9t, donde t se mide en segundos y s en metros.

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

22 / 25

APLICACIONES Aplicaciones ´ medica ´ 1. Un equipo de investigacion determina que t d´ıas ´ del inicio de despues √ una epidemia. 3 N(t) = 10t + 5t + t ´ infectadas. A que´ razon ´ se incrementa la personas estaran ´ infectada en el noveno d´ıa?. poblacion ´ que sigue la posicion ´ de una part´ıcula 2. La Ecuacion 3 2 s = f (t) = t − 6t + 9t, donde t se mide en segundos y s en metros. 1) Encuentre la velocidad en el instante t.

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

22 / 25

APLICACIONES Aplicaciones ´ medica ´ 1. Un equipo de investigacion determina que t d´ıas ´ del inicio de despues √ una epidemia. 3 N(t) = 10t + 5t + t ´ infectadas. A que´ razon ´ se incrementa la personas estaran ´ infectada en el noveno d´ıa?. poblacion ´ que sigue la posicion ´ de una part´ıcula 2. La Ecuacion 3 2 s = f (t) = t − 6t + 9t, donde t se mide en segundos y s en metros. 1) Encuentre la velocidad en el instante t. ´ es la velocidad despues ´ de 2 y 4 segundos?. 2) Cual

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

22 / 25

APLICACIONES Aplicaciones ´ medica ´ 1. Un equipo de investigacion determina que t d´ıas ´ del inicio de despues √ una epidemia. 3 N(t) = 10t + 5t + t ´ infectadas. A que´ razon ´ se incrementa la personas estaran ´ infectada en el noveno d´ıa?. poblacion ´ que sigue la posicion ´ de una part´ıcula 2. La Ecuacion 3 2 s = f (t) = t − 6t + 9t, donde t se mide en segundos y s en metros. 1) Encuentre la velocidad en el instante t. ´ es la velocidad despues ´ de 2 y 4 segundos?. 2) Cual ´ 3) Cuando esta´ en reposo la part´ıcula?.

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

22 / 25

APLICACIONES Aplicaciones

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

23 / 25

APLICACIONES Aplicaciones 1. En un estudio relativo a la polilla de invierno en Nueva Escocia, se determino´ que el numero promedio, y, de ´ ´ de su ancho huevos en una polilla hembra en funcion abdominal x (en mil´ımetros); esta´ dado por: y = 14x 3 − 17x 2 − 16x + 34,

(USMP)

DERIVADA

1, 5 ≤ x ≤ 3, 5

Noviembre del 2017

23 / 25

APLICACIONES Aplicaciones 1. En un estudio relativo a la polilla de invierno en Nueva Escocia, se determino´ que el numero promedio, y, de ´ ´ de su ancho huevos en una polilla hembra en funcion abdominal x (en mil´ımetros); esta´ dado por: y = 14x 3 − 17x 2 − 16x + 34,

1, 5 ≤ x ≤ 3, 5

´ cambia el numero ¿A que razon de huevos con respecto al ´ ancho abdominal cuando x = 2?

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

23 / 25

APLICACIONES

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

24 / 25

APLICACIONES ´ S OLUCI ON

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

24 / 25

APLICACIONES ´ S OLUCI ON dN 1 . = 30t 2 + 5 + 2√ t dt ≈ 2435, 16. Esto significa que

´ N es La derivada de la funcion

dN = 14611 6 dt ´ de bacterias esta´ aumentado a pasado 9 d´ıas la poblacion ´ de 141611 razon por d´ıa. 6

En t = 9 se tiene

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

24 / 25

Bibliograf´ıa ´ ´ 1. FIGUEROA ROBERTO,(2004). Matematica Basica.Lima: Editorial San Marcos. ´ ´ ´ 2. LAZARO, M. (2007). Matematica basica. Lima: Editorial Moshera. ´ ´ 3. STEWART, J. (2010). Calculo de una variable. Mexico: Editorial CENGAGE Learning. ´ ´ 4. VENERO B. ARMANDO,(2006). Matematica Basica.Lima: Editorial Gemar. ´ ´ 5. VERA G. CARLOS,(2009). Matematica Basica. Editorial Moshera Lima.

(USMP)

DERIVADA

Noviembre del 2017

25 / 25