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• Samantha Jaramillo

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FISICA III

CIRCUITOS EN CORRIENTE DIRECTA CONTENIDOS 1. INDUCTANCIA 2. CIRCUITOS RL - ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN 3. CIRCUITOS RL – CÁLCULO DE LA CORRIENTE EN EL INDUCTOR 4. EJEMPLOS

Recordamos que el inductor es un elemento pasivo que no permite variación de corriente abruptamente, y permite por un corto período generar un campo magnético a través de una corriente inducida. Por lo tanto del concepto de FEM inducida de la ley de Faraday podemos afirmar: EC. 1

L= Inductancia de la espira que depende de la forma geométrica = Rapidez de cambio de la corriente en función del tiempo Por otra parte también podemos afirmar que: EC. 2

N= Número de vueltas de una espira = Rapidez de cambio del flujo magnético en función del tiempo

Siguiendo con la explicación de la deducción anterior se puede obtener: EC.1 = EC.2

−𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝜑 = −𝑁 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐿=

𝜑 𝑖

La inductancia representa la variación del flujo magnético en función de la corriente

Si volvemos a la Ec.1, matemáticamente se demuestra que el inductor puede oponerse al paso de la corriente:

ℇ

Similar a la ley de Ohm

𝑖= De la deducción de Faraday se puede calcular el voltaje del inductor: Voltaje del Inductor en un circuito eléctrico

Esto en términos generales, si al inductor le conectamos a una fuente de voltaje seguido por una resistencia, este variaría su corriente en función del tiempo:

Aplicamos la LVK: −𝑉 + 𝑉 + 𝑉 = 0 −𝑉 + 𝑅. 𝑖 + 𝐿

𝑑𝑖 =0 𝑑𝑡

𝐿 𝑑𝑖 + 𝑖 − 𝑉𝑠 = 0 𝑅 𝑑𝑡

Ecuación diferencial de primer orden

Nuevamente aplicamos LVK al circuito eléctrico: −𝑉 + 𝑉 + 𝑉 = 0 𝑉 =𝑉 + 𝑉 𝑉 = 𝑅. 𝑖 + 𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝑡

(𝑉 −𝑅. 𝑖)/𝐿 =

𝑑𝑖 𝑑𝑡

Ecuación diferencial de primer orden

Resolvemos la ecuación diferencial por el método de variables separables

𝑑𝑡 = 𝐿

𝑑𝑖 𝑉 − 𝑅𝑖

Subtituimos:

𝑑𝑡 = 𝐿

−

𝑑𝑢 𝑅𝑢

𝑅 𝑉𝑠 − 𝑅. 𝑖 = 𝐿𝑛( ) 𝐿 𝑉𝑠 − 𝑅𝑖

𝑖 𝑡 =

𝑉𝑠 1−𝑒 𝑅

Cambio de variable: 𝑢 = 𝑉 − 𝑅𝑖 𝑑𝑢 = −𝑅. 𝑑𝑖 𝑑𝑢 𝑑𝑖 = − 𝑅

Dejo al estudiante la resolución de esta integral

𝑒

=

+ 𝑖𝑜 𝑡 𝑒

𝑉𝑠 − 𝑅𝑖(𝑡) 𝑉𝑠 − 𝑅𝑖𝑜

Respuesta completa de un circuito RL

La constante de tiempo de un circuito RL viene dada por la expresión:

𝜏=

𝐿 𝑅

Respuesta completa de un circuito RL en función de la constante de tiempo Respuesta Forzada

Respuesta Natural

Se puede asociar la respuesta completa de la corriente de un circuito RL mediante la expresión:

𝑖 ∞ = corriente final del inductor en estado estable 𝑖 = corriente del inductor en régimen transitorio

La constante de tiempo 𝜏 de nuevo con su unidad expresada en segundos. A menor constante de tiempo de un circuito, más rápida será la velocidad de caída de la respuesta. A mayor constante de tiempo, más lenta será la velocidad de caída de la respuesta. A cualquier velocidad, la respuesta decae a menos de 1% de su valor inicial (es decir, llega al estado estable) después de 5𝜏.

𝜏=

𝐿 𝑅

Con la corriente del resistor se puede hallar la tensión a lo largo del resistor como:

La energía absorbida por el resistor es

La potencia disipada en el resistor es

El interruptor del circuito de la figura ha estado cerrado mucho tiempo. En t = 0, el interruptor se abre. Calcule i(t) para t > 0

Cuando t < 0, el interruptor está cerrado, y el inductor actúa como cortocircuito para la cd. El resistor de 16Ω se pone en cortocircuito; el circuito resultante se presenta en la (figura a). Para obtener i1 en esta última figura, se combinan los resistores de 4 Ω y 12 Ω en paralelo para obtener:

Se obtiene i(t) de i 1 en la figura a) aplicando la división de corriente, y se escribe

Cuando t > 0, el interruptor está abierto y la fuente de tensión se desconecta. Ahora se tiene el circuito RL sin fuente de la figura b). Al combinar los resistores se tiene:

• D., J. , J., A., Lou, B. (2007). Física.(6a. ed.) Pearson Educación. Tomado de http://www.ebooks7-24.com/?il=4679 • Hayt,, W. (2012). Análisis de circuitos en ingeniería. (8a. ed.) McGraw-Hill Interamericana. Tomado de http://www.ebooks7-24.com/?il=381 •

K., C. , N.O., M. (2018). Fundamentos de circuitos eléctricos.(6a. ed.) McGraw-Hill Interamericana. Tomado de http://www.ebooks7-24.com/?il=6249