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• Junior Bonilla

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Circuitos R-L Un inductor en un circuito hace difícil que ocurran cambios rápidos en la corriente, en virtud de los efectos de la fem autoinducida. La ecuación

muestra que cuanto más grande es la tasa de

cambio de la corriente, di/dt, mayor es la fem autoinducida y mayor la diferencia de potencial entre las terminales del inductor. Esta ecuación, junto con las reglas de Kirchhoff, nos da los principios necesarios para analizar los circuitos que contienen inductores.

Crecimiento de la corriente en un circuito R-L A partir del análisis del circuito que se ilustra en la figura (1) podemos aprender varias cosas fundamentales acerca del comportamiento de un inductor. Un circuito que incluye tanto un resistor como un inductor, y tal vez una fuente de fem, se llama circuito R-L. El inductor ayuda a impedir los cambios rápidos en una corriente, lo que puede ser útil si se requiere una corriente estable y la fuente externa tiene una fem fluctuante. El resistor R puede ser un elemento de circuito individual, o ser la resistencia de los devanados del inductor; todo inductor de la vida real tiene cierta resistencia a menos que esté hecho de alambre superconductor. Al cerrar el interruptor S1 se conecta la combinación R-L a una fuente con fem constante (Suponemos que la fuente tiene resistencia interna igual a cero, por lo que el voltaje terminal es igual a la fem.) Suponga que, en un principio, ambos interruptores están abiertos, y luego, en cierto momento inicial t = 0 se cierra el interruptor S1. La corriente no puede cambiar súbitamente de cero a algún valor final porque di/dt y la fem inducida en el inductor serían infinitas. En vez de ello, la corriente comienza a crecer con una tasa que sólo depende del valor de L en el circuito. Sea i la corriente en cierto momento t después de que se cerró el interruptor S1, y sea di/dt su tasa de cambio en ese instante. La diferencia de potencial vab a través del resistor en ese momento es

y la diferencia de potencial vbc a través del inductor es

Note que si la corriente va en el sentido que se indica en la figura (1) y en aumento, entonces tanto

vab como vbc son positivas; a está a una diferencia de potencial mayor que b, que a la vez está a un potencial más elevado que c. Aplicamos la ley de mallas de Kirchhoff, comenzando en la terminal negativa y avanzando en sentido antihorario alrededor del circuito:

…(1)

Se despeja di/dt y se encuentra que la tasa de aumento de la corriente es

……(2)

En el instante en que el interruptor S1 se cierra por primera vez, i = 0 y la caída del potencial a través de R es igual a cero. La tasa de cambio inicial de la corriente es

Como se esperaba, cuanto mayor es la inductancia L, con más lentitud aumenta la corriente. Conforme aumenta la corriente, el término (R/L)i en la ecuación (2) también aumenta, y la tasa de incremento de la corriente dada por la ecuación (2) se hace cada vez más pequeña. Esto significa que la corriente se acerca a un valor final I de estado estable. Cuando la corriente alcanza ese valor, su tasa de incremento es igual a cero. Entonces, la ecuación (2) se convierte en:

La corriente final I no depende de la inductancia L; es la misma que se tendría si sólo se conectara la resistencia R a la fuente con fem ε. La figura (2) muestra el comportamiento de la corriente como función del tiempo. Para obtener la ecuación de esta curva (es decir, una expresión para la corriente como función del tiempo) En primer lugar, se reordena la ecuación (2) para que adopte la forma:

Esto separa las variables, con i en el lado izquierdo y t en el derecho. Después se integran ambos lados, cambiando el nombre de las variables de integración a i’ y t’ para utilizar i y t como límites superiores. (El límite inferior para cada integral es cero, lo que corresponde a una corriente igual a cero en el momento inicial t = 0.) Se obtiene:

A continuación se aplica la función exponencial a ambos lados y se despeja i. Se dejan al lector los detalles de la solución; el resultado final es

……(3)

Ésta es la ecuación de la curva de la figura (2). Derivando la ecuación (3), se obtiene:

……………(4)

En el momento t = 0, i = 0 y di/dt = ε/L. Conforme t→ ∞, i → ε/R, y di/dt → 0, como se había pronosticado.

Como se aprecia en la figura (2), la corriente instantánea i primero aumenta con rapidez, luego con más lentitud, y se acerca al valor final I = ε/R en forma asintótica. En un tiempo igual a L/R la corriente ha subido a (1 – 1/e), o el 63% de su valor final. De esta forma, la cantidad L/R es una medida de la rapidez con que la corriente se aproxima a su valor final; esta cantidad se llama constante de tiempo del circuito, y se denota con t:

…………. (5) En un tiempo igual a 2t, la corriente alcanza el 86% de su valor final; en el tiempo 5t llega al 99.3% y en 10t llega al 99.995%. Las gráficas de i contra t tienen la misma forma general para todos los valores de L. Para un valor dado de R, la constante de tiempo t es mayor para valores más grandes de L. Cuando L es pequeña, la corriente aumenta con rapidez hasta su valor final; cuando L es grande, crece con más lentitud. Por ejemplo, si R = 100 Ω y L = 10 H,

y la corriente se incrementa al 63%, aproximadamente, de su valor final en 0.10 s. (1H = 1Ω.s) Pero si L = 0.010 H, t = 1.0x10-4 s = 0.10 ms, y el crecimiento es mucho más rápido. Las consideraciones acerca de la energía brindan una perspectiva adicional sobre el comportamiento de un circuito R-L. La tasa instantánea con la que la fuente entrega energía al circuito es P = εi. La tasa instantánea con que se disipa energía en el resistor es i2R, y la tasa con que se almacena energía en el inductor es ivbc=Li di/dt Cuando se multiplica la ecuación (1) por i y se reordena, se encuentra que

………. (6) De la potencia Ei suministrada por la fuente, la parte (i2R) se disipa en el resistor, y la parte (Li di/dt) es la energía almacenada en el inductor.

Decaimiento de corriente en un circuito R-L Ahora supongamos que el interruptor S1 en el circuito de la figura (1) ha permanecido cerrado por un tiempo y la corriente ha alcanzado el valor I0. Se reinicia el cronómetro para redefinir el tiempo inicial, se cierra el interruptor S2 en el momento t = 0, con la batería puesta en derivación. (Al mismo tiempo se debe abrir S1 para que no se arruine la batería.) La corriente a través de R y L no se reduce a cero de manera instantánea, sino que decae con lentitud, como se ilustra en la figura (3). La ecuación de la ley de Kirchhoff de las mallas se obtiene de la ecuación (1), con sólo omitir el término E. Invitamos al lector a que siga los pasos del análisis anterior y demuestre que la corriente i varía con el tiempo de acuerdo con …….. (7) Donde I0 es la corriente inicial en el momento t = 0. La constante de tiempo, t = L/R, es el tiempo para que la corriente disminuya a 1/e, alrededor del 37%, de su valor original. En el tiempo 2t ha disminuido al 13.5%, en el tiempo 5t al 0.67%, y en 10t al 0.0045%. La energía necesaria para mantener la corriente durante este decaimiento proviene de la energía almacenada en el campo magnético del inductor. En esta ocasión, el análisis detallado de la energía es más sencillo. En vez de la ecuación (6) tenemos ……………… (8)

En este caso, Li di/dt es negativo; la ecuación (8) demuestra que la energía almacenada en el inductor disminuye a una tasa igual a la tasa de disipación de la energía i2R en el resistor. Toda esta exposición debe parecer familiar al lector, pues la situación es muy parecida a la de un capacitor que se carga y descarga. Sería buena idea comparar esa sección con nuestro análisis del circuito R-L.