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1. Centro: C=(h , k) 2. Radio: r 3. Cuerda: MN 4. Diámetro: AB DOMINIO Y RANGO  h  r ;h  r  Dom C =  k  r ;k  r  Ran C = ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA A) ECUACION CARTESIANA U ORDINARIA 2

2

2

C : ( x−h ) + ( y−k ) =r r > 0 B) ECUACIÓN CANÓNICA 2 2 2

C: x  y  r ; r  0

Donde: h=0 ∧k =0 C=( 0,0) Origen de coordenadas C) ECUACIÓN GENERAL

C: x 2  y 2  Dx  Ey  F  0

Cónicas

Secciones cónicas.- son aquellas curvas que pueden obtenerse al cortar un cono de dos mantos con un plano, como se muestra en las figuras:

D, E y F no ceros simultáneamente. Coeficientes de los términos cuadráticos positivos e iguales a uno donde: D2 E2  D E r  F C    ,  4 4  2 2 ; Observaciones: 1. Área de la circunferencia ¿ π r 2 2. Longitud de la circunferencia¿ 2 πr

LT Definición.-1 Sea circunferencia, entonces:

una

recta

tangente

a

la

LT :( x−h )( x o−h)+( y−k )( y o −k )=r 2

Es la ecuación de la recta tangente a la circunferencia; en un

( xo , yo )

punto de contacto

Definición.-2 Una recta

LT

NORMAL a la recta

CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia C es el lugar geométrico del conjunto de puntos Q=(x , y )∈ R2, tales que las distancias desde cada uno deY ellos a un punto fijo (Centro) es un constate (radio) C: d (Q, C )  r A

C

h-r

k

r

X

ii) circunferencia tangente al eje Y Y C : ( x  h) 2  ( y  k ) 2  h 2 C

N

h

.

0

X 0

LN ⊥ LT

C

B M

K-r

si es que:

C

Q

K

recibe al nombre de RECTA

CASOS PARTICULARES: i) circunferencia tangente al eje X C : ( x  h) 2  ( y  k ) 2  k 2 Y

K+ r

y

LN

h

x

h+r

C X

0 ELEMENTOS

iii) circunferencia tangente a los ejes coordenados

Y C : ( x  h) 2  ( y  h) 2  h 2 C h

C k

X

0 iv)

EJERCICIOS A. Hallar el centro y radio de las siguientes circunferencias: x 2 + y 2 =16 1. 2 2 x +2+ y +2 y=−1 2. 3 x2 +3 y 2 +6 x=1 4. x 2 + y 2 +2 x−4 y+5=0 5. 2 x 2 +2 x 2 +x + y=0 6.

-Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta. 6x + 7y – 16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas 8x + 15 y + 7 = 0 y 3x – 4y – 18 = 0

LA PARÁBOLA Es el conjunto de puntos P(x,y) cuya distancia al punto fijo F (FOCO) es igual a su distancia a la recta fija l ' (DIRECTRIZ).

P={ ( x , y ) ∈ R2 / d ( P ,l ' )=d (P ; F) }; d (P ; F ) e= d ( P ; l' )

Además

P

B. Hallar las ecuaciones de las circunferencias:

7. Con centro en (-1,2) y que pasa por (4,1) 8. Con radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas.

L1 : x + y = 5 ∧

L2 : x – y = 1

9)Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (5, 3), (6,2) y (3, -1). 2 2 a) x + y −8 x−2 y+12=0 2 b) x+ y +4 x−6 x−3=0 10)Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(-4,-1) y su tangente a la recta 3x + 2y – 12 = 0 11)La ecuación de una circunferencia es:(x-4) 2 + (y-3)2 = 20. Hallar la ecuación de la tangente a este círculo en el punto P(6,7). -La ecuación de una circunferencia es: (x+2) 2 + (y-3)2 = 5. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia que pasa por el punto P(3,3)

Donde: l’: Recta Directriz V: Vértice V = (h, k) p: Parámetro de la parábola. F: Foco de la parábola. LR: lado recto, LR=|4 p| x’: recta focal dc: cuerda focal e: excentricidad

Ax 2+Cy 2 +Dx+Ey+F =0 h=−

D 2 A

k =−

E 2A

Ecuación general, con A=C r= √

D 2 + E 2− 4 AF 2A

-Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(7, -6) y que pasa por el punto A(2,2). -Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es: 25x2+25y2+30x-20y-62=0 -Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2+y2+2x-2y-39=0 en el punto P(4,5) -Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(11,4) y es tangente a la circunferencia x2+y2-8x-6y=0 -Hallar el área del círculo cuya ecuación es: 9x 2+9y2+72x12y+103=0 -Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(-4,-1) y su tangente a la recta 3x + 2y – 12 = 0. -Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(-4,-1) y su tangente a la recta 3x + 2y – 12 = 0.

C. Hallar el vértice, el foco, parámetro y ecuación de la recta directriz de las parábolas: 2 a) x +3−4 x− y=0 2 b) y −6 x+6 y+15=0

D. Hallar la ecuación de la parábola: a) Con vértice en (2,5) y foco (2,-3) b) Con vértice en (5,2) y foco en (7,-2) c) Hallar la ecuación de la parábola cuyo V (2, 3) y cuyo foco es (4, 3) d) Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen de coordenadas foco en el eje Y y que pasa x el punto Q(4, -8) e) El vértice de una parábola es V(3, 2) y Foco (4, 2). La ecuación de la directriz de dicha parábola es: f) Hallar la ecuación de la parábola cuto vértice es (2, 5) y cuya directriz es la recta y = 1.

Extremos del eje menor:

Longitud de cada lado recto:

LR=

2 b2 a

Extremos de los lados rectos:

(

b2 b2 R1= h+ c , k − a a

) ( ) b b l=( h−c , k+ ) R =( h−c , k− ) a a l ´= h+ c , k +

2

2

2

Excentricidad: e= Eje focal:

LA ELIPSE

B1=( h , k + b ) ; B2= ( h , k−b )

c , e b ; a2=b 2+ c 2

Longitud del eje mayor:

d ( V 1 ,V 2 ) =2 a

Longitud del eje menor:

d ( B1 , B2 )=2 b

Distancia focal: d ( F1 , F 2 ) =2 c

Donde:

Distancia entre directrices. d ( L1 , L2 )=

a> b ; a2=b 2+ c 2

2 a2 2a = c e

Longitud del eje mayor:

d ( V 1 ,V 2 ) =2 a

ELEMENTOS: C = (h, k) = centro de la elipse

Longitud del eje menor:

d ( B1 , B2 )=2 b

Vértices: V 1=( h , k + a ) ; V 2=( h , k −a ) Focos F 1=( h , k +c ) ; F 2= ( h , k−c )

Distancia focal: d ( F1 , F2 ) =2 c Distancia entre directrices. d ( L1 , L2 )=

2 a2 2a = c e

Extremos del eje menor:

B1=( h+ b , k ) ; B2= ( h−b , k )

ELEMENTOS: C = (h, k) = centro de la elipse

Longitud de cada lado recto:

Vértices: V 1=( h+ a , k ) ; V 2=( h−a , k )

Extremos de los lados rectos:

Focos F 1=( h+c , k ) ; F 2= ( h−c , k )

l '= h+

(

LR=

2 b2 a

b2 b2 , k +c R1= h− , k +c a a

) (

)

b2 b2 , k−c R 2= h− ,k −c a a c Excentricidad: e= , e1 Relación Pitagórica: c2=a2+b2 Lado Recto: LR=2b2/a Distancia entre Directrices: d(D1;D2)=2a/e Ecuaciones de las Directrices: x=± a/e Asíntotas: A1 y A2

HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN En el caso de las hipérbolas horizontales (eje focal sobre el eje ) o hipérbolas verticales (eje focal sobre el eje y) cuyo centro esté ubicado en el origen de un sistema de ejes coordenados, las ecuaciones que las representan serán:

LA HIPÉRBOLA Una hipérbola es el lugar geométrico del conjunto de puntos P= ( x , y ) ∈ R 2 tales, que el valor absoluto de la diferencia a

F1 dos puntos fijos llamados focos( cantidad constante, positiva e igual a “2a”.

y F2

) es una

2 H={ P ( x , y ) ∈ R /|d ( Q, F 1) −d ( P , F 2 )|=2 a}

HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN

Las ecuaciones de las hipérbolas con centro en cualquier punto del plano cartesiano y con eje focal paralelo a los ejes coordenados podemos resumirlos en la tabla siguiente:

En las ecuaciones anteriores desarrollando los binomios al cuadrado, simplificando e igualando a cero obtendremos una ecuación de la forma: Esta ecuación se le conoce como la forma general de la ecuación de la hipérbola. 1. Hallar los elementos de la hipérbola de ecuación: a)4 x2 −4 y 2 −32 x +16 y +39=0 b)16 x 2−9 y 2 +96 x +72 y +144=0 2.- Una hipérbola tiene los vértices (± 3 ; 0) y las ecuaciones de las asíntotas es y=± x , hallar su ecuación. 3.- Hallar la distancia entre los puntos de intersección de la recta L1 :2 x−9 y +12=0, con las asíntotas de la hipérbola 4 x2 −9 y 2=11