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4. Autovalores y autovectores 4.1

Ejercicios resueltos

Ejercicio 4.1 Realizar la descomposici´on de Schur de la matriz   1 0 1   A= 0 1 1  −1 0 −1 ´ n: El polinomio caracter´ıstico de Solucio λ−1 0 p(λ) = det(λI − A) = 0 λ−1 1 0

la matriz A es −1 −1 = λ3 − λ2 = λ2 (λ − 1) λ+1

por lo que los autovalores de A son 1 simple y 0 doble. Para λ = 1 el autovector asociado viene dado por la    0 0 1 0    (A − I)v = 0 ⇐⇒  0 0 1 v =  0 −1 0 −2 0

soluci´on del sistema    0     =⇒ v =  1  0

Para ampliar hasta una base ortonormal de R3 podemosutilizar 0 1  de la base can´onica para obtener la matriz de paso P =  1 0 0 0 que   1 0 1   P −1 AP = P T AP =  0 1 1  0 −1 −1 53

losvectores 0  0 , por lo 1

´ Algebra Num´erica

54

! 1 1 La submatriz tiene como autovalores el 0 doble y un autovec−1 −1 tor asociado a ´el es el vector (1 − 1)T que puede ser ampliado hasta una base ortogonal de R2 con el vector (1 1)T por lo que una base ortonor2 mal de por ambos vectores normalizados y, por tanto   R es le constituida 1 0 0   √1 √1  obteni´ Q= 0 endose que 2 2 1 1 √ 0 − √2 2 

√

1 − 22  QT P T AP Q = U T AU =  0 0 0 0

√

2 2



 2  0

que es una forma de Schur de la matriz A con 

√1 2

0

 U = PQ =  1 0 1 0 − √2

√1 2



 0 

√1 2

! 0.6 0.8 Ejercicio 4.2 Comprobar que la matriz U = es unitaria (or−0.8 0.6 togonal) y obtener, bas´andose en ella, una matriz normal A que tenga por autovalores 2 y 3i. Calcular la conmutatriz de A y comprobar que sus componentes herm´ıticas conmutan. ´ n: Solucio U ∗U = U T U =

0.6 −0.8 0.8 0.6

!

0.6 0.8 −0.8 0.6

! =

1 0 0 1

! =I

Por tanto, la matriz es unitaria. Si A debe ser normal y ha de tener los autovalores 2 y 3i, tiene que ser diagonalizable unitariamente y, la matriz diagonal tendr´a a los autovalores en su diagonal. U ∗ AU = D =

2 0 0 3i

! =⇒ A = U DU ∗

4.1. EJERCICIOS RESUELTOS

55

Podemos utilizar cualquier matriz unitaria, por ejemplo, la del enunciado del ejercicio. ! ! ! 0.6 −0.8 2 0 0.6 0.8 A = 0.8 0.6 0 3i −0.8 0.6 0.72 + 1.92i −0.96 + 1.44i −0.96 + 1.44i 1.28 + 1.08i

=

! .

Hallemos, por u ´ltimo, la conmutatriz de la matriz A. C(A) = AA∗ − A∗ A = 2i(H2 H1 − H1 H2 ) 0.72 −0.96 −0.96 1.28

1 H1 = (A + A∗ ) = 2 0 0 0 0

H1 H2 =

!

1.92 1.44 1 H2 = (A − A∗ ) = 2i 1.44 1.08 ! 0 0 H2 H1 = = Θ =⇒ H1 H2 = H2 H1 0 0

! =Θ

!

Por tanto, C(A) = Θ. Ejercicio 4.3 Probar, bas´andose en el teorema de Gerschgorin, que la matriz:    A= 

9 0 −1 1

1 −2 8 1 0 7 0 0

1 1 0 1

    

tiene, al menos, dos autovalores reales. ´ n: Solucio Los c´ırculos de Gerschgorin por filas son: a11 = 9

r1 = 1 + 2 + 1 = 4

a22 = 8

r2 = 1 + 1 = 2

a33 = 7

r3 = 1

a44 = 1

r4 = 1

El c´ırculo C4 (1, 1) es disjunto con los dem´as:

 1 

'$  7 9  &%

´ Algebra Num´erica

56

|a44 − a11 | = 8 > r4 + r1 |a44 − a22 | = 7 > r4 + r2 |a44 − a33 | = 6 > r4 + r3 Por tanto, en ´el hay un autovalor λ1 y los otros tres se encuentran en C1 ∪ C2 ∪ C3 . El autovalor λ1 debe ser real ya que, si fuese complejo, su conjugado λ1 tambi´en ser´ıa autovalor de la matriz1 y deber´ıa pertenecer a C4 cosa que no sucede, pues en C4 s´olo existe un autovalor. En conclusi´on: la matriz tiene, al menos, un autovalor real λ1 con 0 ≤ λ1 ≤ 2. Los tres autovalores restantes no pueden ser complejos ya que P (λ) es una ecuaci´on polin´omica de grado cuatro con coeficientes reales, por lo que debe existir, al menos, otra ra´ız real de P (λ) y, por tanto, la matriz A tiene, al menos, dos autovalores reales.

Ejercicio 4.4 Dada la matriz A =

2 + 3i 1 + 2i 1 + 2i 2 + 3i

! se pide:

a) Comprobar que es normal sin calcular la matriz conmutatriz. b) Calcular sus autovalores a partir de los de sus componentes herm´ıticas. c) Comprobar que estos autovalores est´an en el dominio de Gerschgorin. ´ n: Solucio ! 2 1 1 a) H1 = (A + A∗ ) = 2 1 2 ! 8 7 H1 H2 = H2 H1 = 7 8 A es normal.

! 3 2 1 H2 = (A − A∗ ) = 2i 2 3 ! 8 7 =⇒ H1 H2 = H2 H1 =⇒ 7 8

b) Calculemos, en primer lugar los autovalores y autovectores de sus componentes herm´ıticas H1 y H2 . 1

En una matriz real, P (λ) tiene coeficientes reales y, por tanto, sus ra´ıces o son reales o son complejas conjugadas.

4.1. EJERCICIOS RESUELTOS

57

• Componente H1 λ − 2 −1 P (λ) = = λ2 − 4λ + 3 = (λ − 1)(λ − 3) =⇒ −1 λ − 2 λ11 = 1 y λ12 = 3 Los autovectores viene dados por las soluciones de los sistemas: – Para λ11 = 1 =⇒ (I − H1 )x = 0 ! ! ! −1 −1 x1 0 = ⇒ x1 + x2 = 0 ⇒ u11 = −1 −1 x2 0

1 −1

– Para λ12 = 3 =⇒ (3I − H1 )x = 0 ! ! ! 1 −1 x1 0 = ⇒ x1 − x2 = 0 ⇒ u12 = −1 1 x2 0

1 1

!

!

• Componente H2 Los autovectores son los mismos que los de H1 . Sus autovalores vienen dados por λ21

uT11 H2 u11 =1 = uT11 u11

λ22

uT12 H2 u12 = =5 uT12 u12

La matriz A tiene, por tanto, los autovectores v1 = (1, −1)T y v2 = (1, 1)T asociados, respectivamente, a los autovalores λ1 = 1 + i y λ2 = 3 + 5i. c) Dominio de Gerschgorin. a11 = 2 + 3i

r1 = |1 + 2i| =

√  5 

a22 = 2 + 3i

r1 = |1 + 2i| =

√  5

√ =⇒ C1 ∪ C2 ≡ C(2 + 3i, 5).

d(λ1 , 2 + 3i) = |(1 + i) − (2 + 3i)| =

√

d(λ2 , 2 + 3i) = |(3 + 5i) − (2 + 3i)| =

 5 

√  =⇒ 5

Ambos se encuentran en la frontera del dominio. 

 6 2 5   Ejercicio 4.5 Dada la matriz A =  2 2 3  se pide: 5 3 6

´ Algebra Num´erica

58

a) Utilizar el m´etodo de la potencia simple para aproximar su autovalor  T dominante partiendo del vector z0 = 1 1 1 b) Hacer uso del m´etodo de la potencia inversa para, partiendo de z0 , aproximar el autovalor minimante de la matriz A. c) Sabiendo que una aproximaci´on del tercer autovalor de la matriz A es 1.5, aproximarlo haciendo uso del m´etodo de la potencia inversa con desplazamiento. ´ n: Solucio a) Escalando los vectores zn por su coordenada de mayor valor absoluto (renombrados como wn ) y haciendo zn+1 = Awn obtenemos: 

13.0000  z1 =  7.0000 14.0000  11.7039  z5 =  5.8753 12.2273

     



11.5714  z2 =  5.8571 12.1429  11.7042  z6 =  5.8754 12.2275

     



11.6824  z3 =  5.8706 12.2118  11.7042  z7 =  5.8754 12.2275

  



 11.7013   z4 =  5.8748  12.2254

  

por lo que z7T Az7 ' 12.22753579693696 z7T z7

λ1 '

b) Escalando los vectores zn (renombrados como wn ) y resolviendo los sistemas Azn+1 = wn : 

0.5000  z1 =  1.5000 −1.0000  1.9140  z5 =  4.7777 −4.1278  1.9145  z9 =  4.7785 −4.1287

     



1.6667  z2 =  4.3333 −3.6667  1.9144  z6 =  4.7784 −4.1285

     



1.8846  z3 =  4.7308 −4.0769  1.9145  z7 =  4.7785 −4.1286

     

  

por lo que λ3 '

z9T Az9 ' 0.20927063325837 z9T z9



1.9106  z4 =  4.7724 −4.1220  1.9145  z8 =  4.7785 −4.1287

     

4.1. EJERCICIOS RESUELTOS

59

c) Escalando los vectores zn (renombrados como wn ) y resolviendo los sistemas (A − 1.5 I)zn+1 = wn :   −3.1429   z1 =  2.5714  2.0000   −15.8244   z5 =  13.7280  8.5508

 −15.8701  z2 =  13.8442 8.5455  −15.8244  z6 =  13.7279 8.5508

     



−15.8499  z3 =  13.7466 8.5663  −15.8244  z7 =  13.7279 8.5508

  

  −15.8233   z4 =  13.7272  8.5501

  

por lo que λ2 '

z7T Az7 ' 1.56319356980456 z7T z7

Ejercicio 4.6 Dada la matriz A =

1 + i −2 + i 2−i 1+i

! se pide:

! −i a) Comprobar que es normal y que v1 = es un autovector de su 1 primera componente herm´ıtica H1 asociado al autovalor λ1 = 0. b) Calcular el otro autovalor (y un autovector asociado) de la matriz H1 aplicando el m´etodo de la potencia simple. ! x y c) Consid´erese la matriz real y sim´etrica S = . Probar que la y x ! cos α sen α transformaci´on de Jacobi Qt SQ con Q = y α = π/4 − sen α cos α nos anula los elementos extradiagonales. d) Transformar el problema del c´alculo de los autovalores de la matriz H2 (segunda componente herm´ıtica de la matriz A) al del c´alculo de los autovalores de una matriz C sim´etrica real y comprobar que son suficientes dos transformaciones de Jacobi Q1 y Q2 , del tipo de las del apartado anterior, para diagonalizar dicha matriz C y obtener los autovalores de H2 . e) Obtener, a partir de las columnas de la matriz Q = Q1 Q2 , los autovectores de la matriz H2 . ¿Cu´ales son los autovalores de la matriz A?

´ Algebra Num´erica

60

´ n: Solucio a)

!

A∗ A =

1−i 2+i −2 − i 1 − i

!

AA∗ =

1 + i −2 + i 2−i 1+i

1 + i −2 + i 2−i 1+i

!

1−i 2+i −2 − i 1 − i

!

!       ! =⇒   7 6i    −6i 7

7 6i −6i 7

= =

A∗ A = AA∗ , por lo que la matriz es normal. ! 1 i A + A0 A − A0 H1 = = y H2 = = 2 2i −i 1 H1

−i 1

!

1 −i

=

i 1

!

−i 1

! =

0 0

! =0·

1 −2i −i 1

2i 1

!

!

lo que prueba ! que λ1 = 0 es una autovalor de H1 asociado al autovector −i v1 = . 1 1 1

!

b) Partiendo, por ejemplo, de z0 = obtenemos w0 = z0 ! ! i 1+i z1 z1 = H1 w0 = =⇒ w1 = = 1−i 1−i 1 z2 = H1 w1 =

2i 2

!

z2 = =⇒ w2 = 2

i 1

! .

Hemos obtenido que w2 = w1 , por lo que v2 =

i 1

! es un autovector

de H1 asociado al autovalor λ2 = 

v2∗ H1 v2 =2 v2 ∗ v2 y(cos2 α − sen2 α)

∗

c) QT SQ = 

  por lo que, para

2

2

y(cos α − sen α) ∗ α = π/4, se anulan los elementos extradiagonales.

4.1. EJERCICIOS RESUELTOS

61

! 1 0 d) Hacemos M = real(H2 ) = y N = imag(H2 ) = 0 1 para construir la matriz sim´etrica y real  C=

M −N N M

!

  = 

1 0 0 −2

0 2 −2 0

!

 0 −2 2 0    1 0  0 1

0 1 2 0

Las transformaciones que debemos realizar son    Q1 =  

√ 2

/2 0 0 √ − 2/2

0 1 0 0

0 0 1 0

√ 2

/2 0 0 √ 2/ 2

    

   Q2 =  

y



3 0  0 −1  y obtenemos QT CQ =   0 0 0 0 de H2 son -1 y 3.

0 √ 2/ 2 √ 2/ 2 0

0 0 0 1

    

 √ 2/ /2 0 0 2 √ √  0 2/ 2/ 0  2 2   =  √ √ 2 2  0 − /2 /2 0  √ √ 2/ − 2/2 0 0 2  0 0    por lo que los autovalores 0  

Es decir, la transformaci´on Q = Q1 Q2

√

1 0 √ 2/ 0 2 √ 2 0 − /2 0 0

2

0 0 3 0 −1

e) Las columnas de Q son los autovectores de C asociados, respectivamente, a los autovalores 3, −1, 3 y -1, por lo que los autovectores de C asociados     0 1 !  1   0  −i     a −1 son  de  y  , que nos definen el autovector  −1   0  1 0 1 la matriz H2 asociado al autovalor -1.   1  0    De manera an´aloga, los autovectores de C asociados a 3 son  y  0  −1

´ Algebra Num´erica

62



 0  1     , que nos definen el autovector  1  0 al autovalor 3.

i 1

! de la matriz H2 asociado

Los autovalores de A son, visto todo lo anterior, −i ! y 2 + 3i, asociados, ! −i i respectivamente, a los autovectores y . 1 1 Ejercicio 4.7 Justifica todas tus respuestas. a) Se considera el proceso iterado xn+1 = ϕ(xn ) = xn − 1 +

2 . exn

a.1) ¿Se puede garantizar que, partiendo de cualquier n´ umero real x0 ∈ [0.5, 1], el proceso converger´a a un punto fijo? a.2) En caso de converger, ¿cu´al es el punto fijo de la sucesi´on? a.3) Utiliza la figura adjunta para justificar, geom´etricamente, la convergencia del proceso para cualquier valor inicial x0 ∈ [0.5, 1].

a.4) Si el proceso xn+1 = φ(xn ) verifica que |φ0 (x)| < 0.1 en el intervalo [0.5, 1] ¿cu´al de los dos procesos anteriores tendr´a una convergencia m´as r´apida?   0 1/2 1/3   b) Se considera la matriz A =  1/4 0 1/5  1/6 α 0 b.1) A la vista de los c´ırculos de Gerschgorin, ¿converger´a el proceso xn+1 = Axn para cualquier valor de α ∈ [0, 1/2] y cualquier vector inicial x0 ?

4.1. EJERCICIOS RESUELTOS

63

b.2) Probar que si α ∈ [0, 1/2], A no puede tener el autovalor 1. b.3) ¿Cu´al es el vector x (punto fijo) l´ımite de la sucesi´on (xn ) del proceso anterior? b.4) Para α = 1/2, los autovalores de A son 0.6130 y −0.3065 ± 0.0352 i. ¿Se puede calcular el autovalor real aplicando el m´etodo de la potencia simple? Si no se realiza ning´ un tipo de escalado de los vectores y trabajamos con un ordenador que cualquier n´ umero menor que 10−10 lo hace cero (tolerancia del ordenador), ¿qu´e ocurrir´ıa con el vector xN si hacemos un excesivo n´ umero N de iteraciones? ¿Ocurrir´ıa lo mismo haciendo ese n´ umero N de iteraciones escalando los vectores? ¿Por qu´e es una buena estrategia escalar por la coordenada de mayor m´odulo de los vectores que se obtienen?

´ n: Solucio 2 a) a.1) Tenemos un m´etodo de la forma xn+1 = ϕ(xn ) con ϕ(x) = x−1+ x . e 2 0 ϕ (x) = 1 − x . e 2 Dado que ϕ00 (x) = x es siempre positiva, sabemos que ϕ0 (x) es e creciente pasando de ϕ0 (0.5) = −0.2131 a ϕ0 (1) = 0.2642 es decir |ϕ0 (x)| ≤ 0.2642 < 1 por lo que la funci´on es contractiva y el m´etodo es convergente a un punto fijo. 2 a.2) Aplicando l´ımites, y llamando lim xn = x, se obtiene x = x − 1 + x e de donde 2 = 1 =⇒ ex = 2 =⇒ x = ln 2 ex a.3) Basta ver el comportamiento de la red que se forma al ir de la gr´afica a la recta, de la recta a la gr´afica y as´ı sucesivamente.

´ Algebra Num´erica

64

a.4) Teniendo en cuenta que ϕ0 (ln 2) = 0 es decir, que la tangente en dicho punto es horizontal, el m´etodo tiene una convergencia de segundo orden. Si φ0 (ln 2) 6= 0 el proceso xn+1 = φ(xn ) tendr´a una convergencia de primer orden y ser´a m´as lento, y s´olo ser´a m´as r´apida su convergencia si φ0 (ln 2) = 0 y adem´as es |φ00 (x)| < |ϕ00 (x)| en dicho intervalo. b) b.1) Para que el m´etodo sea convergente ha de ser el radio espectral de la matriz A menor que 1. Los c´ırculos de Gerschgorin de la matriz A vienen dados por C1 : centro en el origen y radio

1 1 5 + = 2 3 6

C2 : centro en el origen y radio

1 1 9 + = 4 5 20

C2 : centro en el origen y radio α +

1 6

Como el radio del tercer c´ırculo puede oscilar en el intervalo [0 + 1/6, 1/2 + 1/6] = [ 1/6, 2/3] los dos u ´ltimos est´an incluidos dentro del primero, por lo que el m´odulo de cualquiera de sus autovalores es menor que 5/6 < 1, es decir, el radio espectral de la matriz A es ρ(A) < 1 y, por tanto, el m´etodo es convergente. b.2) Dado que, a la vista de los c´ırculos de Gerschgorin, los autovalores tienen m´odulos menores o iguales a 5/6 < 1, la matriz A no puede tener el autovalor 1. b.3) El m´etodo nos dice que si x es el vector al que converge, se verifica que x = Ax ⇐⇒ Ax = 1 · x

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS

65

por lo que si converge a un vector x 6= 0 resultar´ıa que dicho vector ser´ıa un autovector de la matriz A asociado al autovalor 1 y, dado que 1 no es autovalor de la matriz, el m´etodo no puede converger a ning´ un vector no nulo, por lo que lim xn = 0 es decir, el m´etodo converge al vector nulo. b.4) Al ser |0.6130| > | − 0.3065 ± 0.0352 i|, el autovalor real es dominante y, por tanto, podemos aproximarlo mediante el m´etodo de la potencia simple. Al aplicar el m´etodo de la potencia simple (sin escalar los vectores), es evidente que converger´a al vector nulo, por lo que si hacemos un n´ umero excesivo de iteraciones podr´ıa el ordenador ir anulando todas sus coordenadas, obtener en dicha iteraci´on el vector nulo y no permitir el c´alculo del autovalor. Si escalamos los vectores evitamos que converja al vector nulo, por lo que lo har´a a un vector que tiene la direcci´on del autovector asociado al autovalor dominante y podremos calcular este u ´ltimo. Al escalar por la coordenada de mayor valor absoluto el proceso permite calcular el autovalor y la sucesi´on de vectores que obtenemos tendr´a siempre su mayor coordenada igual a 1.

4.2

Ejercicios propuestos

Ejercicio 4.8 Realizar la descomposici´on de Schur de la matriz 

−6  A =  −2 −4 

√

0

 Sol :  0 0

0 − 7√14 5 0

− √175

0

−1

9 3 6

 3  1 . 2

 √ √  14 6 2 5 √  1   5 −3 5  .  con U = √  0 √ √ 70 2 14 −3 − 5 



 a 1 1   Ejercicio 4.9 Dada la matriz A =  1 a 1  donde a es un n´ umero com1 1 a plejo cualquiera, se pide:

´ Algebra Num´erica

66

a) Obtener su polinomio caracter´ıstico. Sol : P (λ) = λ3 − 3aλ2 + 3(a2 − 1)λ − (a3 − 3a + 2). b) Probar que tiene por autovalores: λ = a − 1 doble y λ = a + 2 simple. c) Calcular los autovectores y comprobar que no dependen de a. Sol : v1 = (1, 0, −1)T , v2 = (0, 1, −1)T , v3 = (1, 1, 1)T . 

 2−i 0 −2 + 4i   Ejercicio 4.10 Dada la matriz A =  0 4 − 5i 2 − 4i , se pide: −2 + 4i 2 − 4i 3 − 3i a) Probar que es normal. b) Obtener su primera componente herm´ıtica H1 y calcular el polinomio caracter´ıstico de dicha componente.   2 0 −2   Sol : H1 =  0 4 2 , P (λ) = λ3 − 9λ2 + 18λ. −2 2 3 c) Calcular los autovalores y los autovectores de H1 .  T   λ1 = 0 v1 = (2, −1, 2) Sol : λ2 = 3 v2 = (2, 2, −1)T .   λ3 = 6 v3 = (−1, 2, 2)T d) Teniendo en cuenta que estos autovectores tambi´en lo son de la matriz H2 (segunda componente herm´ıtica), calcular sus autovalores. Sol : µ1 = 3, µ2 = −3, µ3 = −9. e) Obtener, a partir de los resultados anteriores, los autovalores y autovectores de A, as´ı como la matriz de paso unitaria U tal que U ∗ AU = D.    T 2/3 2/3 − 1/3   λ1 = 3i v1 = (2, −1, 2)   2/3 2/3 . Sol : U =  − 1/3 λ2 = 3 − 3i v2 = (2, 2, −1)T   2/3 − 1/3 2/3 λ3 = 6 − 9i v3 = (−1, 2, 2)T

Ejercicio 4.11 Dada la matriz A =

2 1 1 0

! se pide:

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS

67

a) Calcular su polinomio caracter´ıstico por el m´etodo interpolatorio. Sol : λ2 − 2λ − 1. b) Tomar una aproximaci´on, con dos cifras decimales exactas, del mayor de los autovalores y afinarla con el cociente de Rayleigh. √ Sol : λ = 1 + 2 ' 2.41 =⇒ λ ' 2.41421. 

 1 2 3   Ejercicio 4.12 Dada la matriz A =  2 2 3  3 3 3 a) Hallar sus autovalores mediante el algoritmo QR. Sol : Se obtienen con MatLab 7.5165, −1.1776, −0.3389. b) Hallar el autovalor de mayor valor absoluto, por el m´etodo de la potencia, partiendo del vector (10, 11, 1) Sol : 7.51653848519179, kEk ≤ 6.280369834735101 · 10−15 . Ejercicio 4.13 Sea λ = α + iβ, α, β ∈ R, autovalor de la matriz ! 2i −2 A= . 2 2i a) Utilizar el teorema de Gerschgorin para probar que el u ´nico autovalor real de la matriz A s´olo puede ser λ = 0. b) Probar que A∗ = −A y deducir, a partir de ello, que A es una matriz normal. ¿Puede no ser diagonalizable una matriz compleja que verifique esa relaci´on? Sol : No. Siempre es diagonalizable. c) Utilizar la descomposici´on herm´ıtica de la matriz, A = H1 + iH2 , para deducir que la parte real de los autovalores de A tiene que ser α = 0. Sol : Basta observar que H1 es la matriz nula. d) Hallar el autovalor dominante de la componente herm´ıtica H2 aplicando el m´etodo de la potencia. ¿Qui´en es el autovalor dominante de A?

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Sugerencia: Iniciar el m´etodo con el vector v1 = (1, 0)T . Sol : 4i en ambos casos. e) Si se perturba la matriz A en la matriz A + δA =

(2 − 10−3 ) i −2 2 (2 + 10−2 ) i

! ,

hallar la norma eucl´ıdea de la matriz δA. ¿Puedes encontrar una cota del error E = |µ − λ|, transmitido al autovalor dominante? Indicaci´on: |µ − λ| ≤ kP k kP −1 k kδAk, siendo P −1 AP diagonal. Sol : kδAk = 10−2 , |λ − µ| ≤ 10−2 . Ejercicio 4.14 a) Probar que las ra´ıces del polinomio bλ + cλ2 + λ3 son los  P (λ) = a + 0 1 0   autovalores de la matriz A(p) =  0 0 1 . −a −b −c Sol : P (λ) es el polinomio caracter´ıstico de A(p). b) Si el m´etodo de la potencia simple aplicado a la matriz A(p) converge a un vector v, ¿qu´e relaci´on tiene v con las ra´ıces del polinomio P (λ)? Sol : La ra´ız de mayor m´odulo de P (λ) viene dada por

v T A(p)v . vT v

c) Si el algoritmo QR aplicado a la matriz A(p) converge a una matriz triangular T , ¿qu´e relaci´on tiene T con las ra´ıces del polinomio P (λ)? Sol : Sus elementos diagonales son las ra´ıces del polinomio. d) Si se puede obtener la factorizaci´on LU de la matriz P A(p), siendo P una matriz de permutaci´on, ¿qui´enes tienen que ser P, L y U ?     0 0 1 −a −b −c     Sol : P =  1 0 0  , L = I y U =  0 1 0 . 0 0 1 0 0 1 Ejercicio 4.15 Sean el polinomio p(x) = x3 +2x2 −2x−4 y su correspondiente matriz A = A(p), definido en el ejercicio 4.14

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS

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a) Utilizar una sucesi´on de Sturm para probar que el polinomio p(x) tiene sus ra´ıces reales y que s´olo una de ellas, que denotaremos α, es positiva. Sol : α ∈ [1, 2]. b) Utilizar el m´etodo de Newton para obtener una aproximaci´on de la ra´ız α, garantizando 5 cifras decimales exactas. Sol : α = 1.41421, ε ≤ 8.481 · 10−9 . c) Obtener la pseudosoluci´on, β, del sistema (A2 v)x = A3 v, determinando la norma del error, para v = (1, 1, 1)T . ¿Deber´ıa ser β una aproximaci´on de α? Sol : β = −1.71428, kEk ≤ 14.6385. A2 vx = A3 v ⇐⇒ Av = xv β hubiese sido una aproximaci´on de α si v lo hubiese sido del autovector asociado a α. d) Obtener la matriz de Householder que transforma el vector a = (0, 0, 4)T en el vector b = (4, 0, 0)T . ¿Se pod´ıa haber predicho el resultado?   0 0 1   Sol : H =  0 1 0  y se podr´ıa haber predicho. 1 0 0 e) Obtener la factorizaci´on QR de la matriz A, utilizando el m´etodo de Householder. (Sugerencia: ¡el apartado anterior!)   4 2 −2   Sol : Q = H, R =  0 1 0 . 0 0 1 f) Dar el primer paso del algoritmo QR aplicado a la matriz A. Indicar c´omo podr´ıa el m´etodo de Gram-Schmidt utilizarse para los sucesivos pasos del algoritmo y si esto ser´ıa una buena decisi´on para obtener las ra´ıces del polinomio p(x).   −2 4 2   Sol : A1 =  0 0 1 . Gram-Schmidt no es una buena opci´on. 1 0 0 Ejercicio 4.16

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a) ¿Qu´e pasos se dan para calcular los autovalores de una matriz cuadrada A mediante el algoritmo QR? y ¿que forma tiene la matriz a la que converge el algoritmo en los siguientes casos? a.1) Si todos sus autovalores tienen distinto m´odulo. a.2) Si existen autovalores de igual m´odulo. 

 −4 2 −4 3  1 0 0 0    b) El polinomio caracter´ıstico de la matriz A =   es  0 1 0 0  0 0 1 0 4 3 2 el polinomio del Ejercicio 1.11 P (x) = λ +4λ −2λ +4λ−3. Calculando sus autovalores mediante el algoritmo QR el proceso converge a la matriz 

−4.64575131106459  0    0 0

4.07664693269566 −0.24888977635522 1.22575806673700 0

1.32820441231845 −0.86635866374600 0.24888977635522 0

 −2.21143157264058 0.58988079050108    0.03848978825890  0.64575131106459

Calcular, a partir de dicha matriz, las ra´ıces del polinomio (autovalores de A). Sol : −4.64575131106459, 0.64575131106459, i, −i. c) Al aplicar el m´etodo de la potencia y comenzando el proceso con el vec    1 1  −0.2152   1      tor x =   se obtiene en la cuarta iteraci´on el vector  .  0.0463   1  −0.0100 1 Determinar una aproximaci´on de la ra´ız de mayor valor absoluto del polinomio P (x) (autovalor correspondiente) utilizando el cociente de Rayleigh. Sol : −4.64565808596372. Ejercicio 4.17 Sean las matrices A, An y B definidas como:       0 1 0 1.671 0.242 2.164 0 1 0       A =  0 0 1 , An =  0.00 −0.50 1.47  y B =  0 0 1 . 3 1 0 0.00 −0.81 −1.16 3 1 0.1

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS

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a) Aplicando el algoritmo QR real a la matriz A se obtiene (iterando suficientemente), como aproximaci´on “aceptable” del m´etodo, la matriz An . ¿Por qu´e las matrices A y An deben tener los mismos autovalores? Hallar las aproximaciones de los autovalores de la matriz A que se obtienen de An . Sol : 1.671, −0.83 + 1.04 i, −0.83 − 1.04 i. b) Tomando v0 aleatoriamente, ¿se debe esperar convergencia o divergencia en el m´etodo de la potencia aplicado a la matriz A? Empezar en v0 = (1, 1, 1)T y determinar los tres primeros vectores v1 , v2 y v3 que proporciona el m´etodo. Hallar la mejor aproximaci´on del autovalor dominante de A, en norma k k2 , que se obtiene con v3 . Sol : Se espera convergencia. v1 = (0.25, 0.25, 1)T , v2 = (0.25, 1, 1)T , v3 = (0.5714, 0.5714, 1)T y una aproximaci´on del autovalor dominante es 1.9259. c) Estudiar si A es una matriz normal. Si se perturba A en la matriz B = A + δA, hallar la medida de la perturbaci´on kδAk2 . ¿Se podr´ıa asegurar que los autovalores dominantes de las matrices A y B difieren, a lo m´as, en 0.1? Sol : No es normal. kδAk2 = 0.1. No se puede asegurar. 

Ejercicio 4.18   J =

0 −1 0 0 −1 1

1 1  Sean A =  0 1 1 −1  −2  −1 . 0

   0 2    1  con 0 < ε ≤ 1, b =  −1  y ε 2

a) Obtener la factorizaci´on A = LU . Utilizar la factorizaci´on obtenida para resolver el sistema Ax = b.     1 1 2 1 0 0     Sol : L =  0 1 0 , U =  0 1 1 , x = (1, −1, 0)T . 1 −2 1 0 0 ε

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b) Hallar el n´ umero de condici´on κ∞ (A) de la matriz A para la norma k k∞ . Razonar si el resultado del apartado anterior, obtenido con aritm´etica de ordenador, podr´ıa ser considerado fiable para ε pr´oximo a cero. 16 Sol : κ∞ (A) = 8 + . No, mientras m´as peque˜ no sea ε, peor condicioε nada. c) Para ε = 1, comprobar que J es la matriz de la iteraci´on xn+1 = J · xn + c que se obtiene al aplicar el m´etodo de Jacobi al sistema Ax = b. Determinar c y, empezando en x1 = (1, 0, 0)T , hallar el vector x3 . Sol : x3 = (−1, −2, 1)T . d) Hallar la aproximaci´on λ3 del autovalor dominante λ de la matriz J utilizando el m´etodo de la potencia, con v0 = (1, 0, 0)T , y el cociente de Rayleigh para determinar λ3 con el valor obtenido para v3 . Sabiendo que λ3 tiene una cota de error estimada en e < 0.5. ¿Es suficiente dicha aproximaci´on para analizar la convergencia de la sucesi´on (xn ) del m´etodo de Jacobi? Sol : λ3 = −1.5. Jacobi no converge. e) Para ε = 0, hallar la soluci´on en m´ınimos cuadrados del sistema A0 x = b que se obtiene al suprimir la primera columna de A, utilizando las ecuaciones normales. Determinar el error y justificar el resultado obtenido. Sol : x = (−2, 1)T , kEk = 0 pues se trata de un sistema compatible determinado f) Analizar si es posible encontrar la matriz H de Householder que transforma la segunda columna de A0 en el vector b. En caso afirmativo, ¿es normal la matriz H resultante? Sol : Es posible encontrarla y adem´as es normal. 

 3 0 −1   Ejercicio 4.19 Consid´erese la matriz A =  1 −2 2 . −1 −1 8 a) Hacer uso de los c´ırculos de Gerschgorin para estudiar el n´ umero de autovalores reales que posee.

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS

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Obtener su polinomio caracter´ıstico P (λ) y un intervalo de amplitud 1 que contenga a su autovalor dominante. Sol : Los tres son reales. P (λ) = λ3 − 9λ2 + 3λ + 39. [8, 9]. b) Comprobar que la f´ormula de Newton-Raphson asociada a dicho polinomio es 2λ3 − 9λ2n − 39 λn+1 = ϕ(λn ) = n2 . 3λn − 18λn + 3 Sabiendo que la gr´afica de la funci´on y = ϕ0 (λ) en el intervalo [8, 9] viene dada por la figura adjunta, ¿podemos garantizar la convergencia del m´etodo de Newton partiendo de cualquier punto λ0 ∈ [8, 9]?

Nota: ϕ(λ) es la funci´on que aparece en la f´ormula de Newton-Raphson. Sol : Si, ϕ(x) es contractiva. c) Si tomamos λ0 = 8 ¿con qu´e error se obtiene la aproximaci´on λ1 ? Sol : ε1 ≤ 1.1323 · 10−4 . d) ¿Existe alg´ un vector v0 para el que podamos garantizar la convergencia del m´etodo de la potencia simple aplicado a la matriz A? ¿Qu´e aproximaci´on se obtiene para el autovalor dominante aplicando el cociente de Rayleigh al vector v1 si partimos de v0 = (1 0 0)T ? Sol : Cualquiera no nulo. λ1 = 3.7272. e) Aplicando el m´etodo QR para el c´alculo de los autovalores de A, con una aritm´etica de ordenador con una precisi´on de cuatro decimales, el m´etodo se estabiliza en la matriz An en la que hemos omitido dos de sus elementos x e y   8.0195 −0.5134 2.7121   An =  0 2.7493 1.5431  0 x y

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¿Puede ser nulo el elemento x?, ¿se pueden determinar los elementos que faltan sin necesidad de volver a aplicar el algoritmo QR? ¿Sabr´ıas decir cu´al es la aproximaci´on obtenida para los otros dos autovalores de la matriz A? ´ n: x = 0, y = −1.7461, λ2 = 2.7493, λ3 = −1.7461. Solucio 

 0 1 0   Ejercicio 4.20 Se considera la matriz A =  0 0 1 . −0.25 −0.125 1 a) Demostrar que las ra´ıces del polinomio P (x) = 2+x−8x2 +8x3 coinciden con los autovalores de A. Acotar y separar las ra´ıces de P (x), indicando cu´antas ra´ıces reales y complejas tiene. Comparar los resultados con la informaci´on que se desprende del estudio de los c´ırculos de Gerschgorin. Sol : La ecuaci´on caracter´ıstica es P (x)/8 = 0 ⇐⇒ P (x) = 0. S´olo una real en (−1, 0). Gerschgorin no mejora la informaci´on. b) Determinar un intervalo de amplitud 0.5 con un extremo entero que contenga a la ra´ız negativa de P (x). Razonar si se verifican en dicho intervalo las condiciones de Fourier. Aproximar por el m´etodo de NewtonRaphson dicha ra´ız con 2 cifras decimales exactas. Sol : En [−0.5, 0] se verifican las condiciones de Fourier. x = −0.38. c) Tomando como vector inicial z0 = (0, 1, 0)T , realizar dos iteraciones del m´etodo de la potencia inversa. Por medio del cociente de Rayleigh asociado al vector hallado, determinar una aproximaci´on del autovalor de A correspondiente. ¿Qu´e relaci´on existe entre ´este valor y la aproximaci´on hallada en el apartado anterior? ¿Puede haber autovalores de la matriz A en el c´ırculo de centro 0 y radio 14 ? Razonar las respuestas. Sol : λ = −0.3768. No existen autovalores en dicho c´ırculo. d) Al aplicar el algoritmo QR a la matriz A se obtiene como salida la matriz T = Q∗ AQ, para cierta matriz unitaria Q. ¿Puede ser T una matriz triangular superior? Justificar la respuesta. Sol : T no puede ser triangular. Ejercicio 4.21

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS

75

a) Utilizar el m´etodo interpolatorio para determinar el polinomio caracter´ıstico P (λ) de la matriz 

2 −1  A =  0 −2 1 0

 0  1  5

Sol : P (λ) = λ3 − 5λ2 − 4λ + 21. b) A la vista de los c´ırculos de Gerschgorin, ¿se puede garantizar que el algoritmo QR aplicado a la matriz A converger´a a una matriz triangular con sus autovalores en la diagonal? ¿Se puede garantizar la convergencia del m´etodo de la potencia simple si comenzamos a iterar con el vector v = (1 1 1)T ? Sol : Gerschgorin no nos garantiza una triangular pero s´ı la convergencia del m´etodo de la potencia simple. c) Haciendo uso de los c´ırculos de Gerschgorin, determinar cu´antos autovalores reales posee y calcular un intervalo de amplitud 1 y extremos enteros que contenga al autovalor dominante. Sol : Los tres son reales y el dominante se encuentra en (4, 5). d) Comprobar que, en dicho intervalo, se verifican las hip´otesis de Fourier para la convergencia del m´etodo de Newton. ¿En qu´e extremo deber´ıamos comenzar a iterar? Sol : x0 = 5 e) Tomando x0 = 5 y aplicando el m´etodo de Newton, ¿con cu´antas cifras exactas se obtiene x1 ? Sol : Dos cifras decimales exactas. Ejercicio 4.22 Dado el polinomio P (x) = x3 − 3x2 + 3x + 5 a) Probar, mediante una sucesi´on de Sturm, que s´olo tiene una ra´ız real y determinar α ∈ Z para que dicha ra´ız est´e contenida en el intervalo [α, α + 1]. Sol : α = −1.

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b) Comprobar, mediante las condiciones de Fourier, que el m´etodo de Newton converge tomando como valor inicial x = α. c) Si tomamos como aproximaci´on de la ra´ız el valor x = −0.50 ¿se tiene garantizada alguna cifra decimal exacta? Sol : No. d) Utilizar el m´etodo interpolatorio para comprobar que el polinomio carac  3 −3 −5   ter´ıstico de la matriz A =  1 0 0  es el polinomio P (x) dado. 0 1 0 e) Para resolver el sistema (A + 0.5 · I3 )x = (1, −1, 1)T observamos que resulta m´as c´omodo llevar la primera ecuaci´ ´ltimo  lugar, es decir, on al u 0 1 0   multiplicar el sistema por la matriz P =  0 0 1 . ¿Se altera de 1 0 0 esta forma el condicionamiento del sistema? Comprueba que la soluci´on 1 (−50, 58, −74)T . es el vector x = 21 Sol : No se altera el condicionamiento por ser P ortogonal. f) Tomando −0.50 como una primera aproximaci´on de su autovalor real, partiendo del vector z0 = (1, −1, 1)T y trabajando s´olo con dos cifras decimales, realizar una iteraci´on del m´etodo de la potencia inversa con desplazamiento para calcular, mediante el cociente de Rayleigh, una nueva aproximaci´on de dicho autovalor. ¿Se puede garantizar ahora alguna cifra decimal exacta? Sol : λ = −0.83. La primera cifra decimal es exacta. Ejercicio 4.23 Sean A, B y C las matrices definidas por ! ! ! 1 i 2 + 2i 0 −1 − i 3 − 3i 1 C= A= B=√ i 1 0 −4 − 4i −3 + 3i −1 − i 2 a) Probar que A∗ = −iA y que B ∗ = B −1 . ¿Es normal la matriz BCB ∗ ? Sol : BCB ∗ es normal. b) Comprobar que se verifica la igualdad A = BCB ∗ . Hallar los autovalores y autovectores de las componentes herm´ıticas de la matriz A.

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS

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Sol : H1 = H2 . Autovalores 2 y -4. Autovectores (1, i)T y (i, 1)T . c) Probar que si una matriz M verifica la propiedad M ∗ = −iM , entonces es normal y sus autovalores son de la forma α + iα, con α ∈ R. ¿Puede la matriz M tener u ´nicamente autovalores reales? Indicaci´on: De M = QDQ∗ , deducir D∗ = −iD. Sol : M tendr´a todos sus autovalores reales s´olo si es la matriz nula. d) Se perturba la matriz A en A+δA, de modo que ||δA||2 ≤ 10−6 . Razonar si los autovalores de A + δA, obtenidos con MatLab, pueden ser muy diferentes de los de la matriz A. ¿Suceder´ıa lo mismo para una matriz M , con M ∗ = −iM y dimensi´on elevada? Sol : No, |µ − λ| ≤ 10−6 y no depende de la dimensi´on de M . e) Hallar la aproximaci´on del autovalor dominante de A que se obtiene con un paso del m´etodo de la potencia, partiendo de q0 = (1, 0)T , y utilizando el cociente de Rayleigh. Explicar c´omo se aplicar´ıa el algoritmo QR para obtener aproximaciones de los autovalores y autovectores de la matriz A. ¿Cu´al ser´ıa la forma de Schur de A? Sol : −2.8 − 2.8 i. T es diagonal. Ejercicio 4.24 En R4 se considera el vector a = (1, −1, 1, −1)T . a) Determinar el valor que debe tomar β ∈ R − {0} para que la matriz Q = I − βaaT verifique la igualdad Q2 = I. Probar que, entonces, Q es una matriz normal. Sol : β = 1/2. b) Utilizar las ecuaciones normales para obtener la soluci´on en m´ınimos cuadrados del sistema superdeterminado S1 ≡ Ax = −a, donde x = (x, y)T y la matriz de coeficientes A = [a1 a2 ] est´a formada por las dos primeras columnas a1 , a2 de la matriz B = 2I − aaT . ¿Est´a mal condicionada la matriz AT A para la norma || ||∞ ? Sol : (1/2, −1/2)T . No puede estar mejor condicionada, kAT Ak∞ = 1.

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c) Hallar la matriz H de Householder que transforma el vector a2 , definido en el apartado anterior, en un vector de la forma r = (0, σ, 0, 0)T , con σ > 0. Partir del sistema S2 ≡ HAx = −Ha, para evaluar el error en el sistema S1 del apartado anterior utilizando, en caso necesario, transformaciones unitarias. Justificar que los sistemas S1 y S2 tienen la misma pseudosoluci´on y el mismo error. √ Sol : H = Q (primer apartado). kEk = 2. Al tratarse de transformaciones unitarias los dos sistemas son equivalentes. d) Para calcular un autovector de la matriz H del apartado anterior, aplicar el m´etodo de la potencia simple partiendo del vector x = (1, 2, 3, 4)T . ¿Por qu´e no funciona el m´etodo en este caso? Describir c´omo se aplica el algoritmo QR a la matriz H. En este caso, ¿por qu´e no converge a la forma de Schur de H? Indicaci´ on: ¿Cu´ al es la factorizaci´on QR de cualquier matriz ortogonal?

Sol : H no tiene un autovalor dominante. Sus autovalores son 1, 1, 1, −1 todos de igual m´odulo. La sucesi´on resultante es x, Hx, x, Hx, . . . que s´olo es convergente si se parte de un autovalor asociado al autovalor 1. El algoritmo QR no converge a la forma de Schur (una diagonal) ya que la sucesi´on que se obtiene es constante igual a H. e) Probar que Ha = −a y que si v es ortogonal al vector a, entonces Hv = v. En virtud de esto, encontrar razonadamente los autovalores de H y un autovector v1 asociado al autovalor negativo. Si {v1 } se completara a una base {v1 , v2 , v3 , v4 } formada por autovectores de H, ¿c´omo se podr´ıa ortonormalizar dicha base de una forma computacionalmente estable? Sol : -1 simple con autovector a y 1 triple. Se deber´ıa ortonormalizar mediante transformaciones unitarias (ortogonales). Ejercicio 4.25 

 0 3 0   a) Calcular el polinomio caracter´ıstico de la matriz A =  3 28 4  0 4 5 mediante el m´etodo interpolatorio. ¿Puede no ser real alguno de sus

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS

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autovalores? Sol : P (λ) = λ3 − 33λ2 + 115λ + 45. No, ya que A sim´etrica. b) Haciendo uso de los c´ırculos de Gerschgorin, estudiar si resultar´a convergente el m´etodo de la potencia simple aplicado a la matriz A partiendo de un vector arbitrario z0 . Sol : Converger´a por existir un autovalor dominante. c) Realizar la factorizaci´on QR de la matriz A mediante transformaciones de Householder. (Dar las matrices Q y R).     0 0.6 0.8 3 28 4     Sol : Q =  1 0 0  R= 0 5 4 . 0 0.8 −0.6 0 0 −3 d) Utilizar la factorizaci´on anterior para resolver el sistema Ax = b con b = (−3, 6, 1)T . Sol : x = (10, −1, 1)T . e) Comenzando por el vector z0 = (−3, 6, 1)T calcular el vector z2 del m´etodo de la potencia inversa (al ser s´olo dos pasos no merece la pena escalar el vector, es decir, dividir en cada paso por su norma infinito) y aproximar el autovalor de menor valor absoluto de la matriz A mediante el cociente de Rayleigh. Sol : z2 = (−28.1555, 3.3333, −2.4666)T , λ ' −0.3548 f) Teniendo en cuenta que el autovalor de menor valor absoluto es negativo, determinar, haciendo uso del polinomio caracter´ıstico, una cota del error de la aproximaci´on obtenida en el apartado anterior. Sol : ε ≤ 4.8 · 10−5 . Ejercicio 4.26 Se considera el polinomio P (x) = x3 + 3x2 + 3ax + a con a ∈ R. a) Hacer uso de una sucesi´on de Sturm para determinar, en funci´on del par´ametro “ a”, el n´ umero de ra´ıces reales de dicho polinomio as´ı como su multiplicidad.

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Sol :

              

a