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Circuito LC y Oscilaciones Electromagnéticas Circuitos RLC Circuitos con AC

Presentado a: Maria Helena Ochoa

Presentado por: Jeison Felipe Diaz Torres

Universidad Antonio Nariño Facultad Ing. Mecánica Ing. Electromecánica Bogotá 29 de Marzo de 2016

CIRCUITOS LC Y OSCILADORES LC

Los circuito LC o circuito resonante es un circuito formado por una bobina L y un condensador C. En circuito LC hay una frecuencia para la cual se produce un fenómeno de resonancia eléctrica, a la cual se llama frecuencia de resonancia, para la cual la reactancia inductiva es igual a la reactancia capacitiva . Por lo tanto, la impedancia será mínima e igual a la resistencia óhmica. Esto también equivale a decir, que el circuito estará en fase Las oscilaciones electromagnéticas libres son las oscilaciones de los campos eléctricos y magnéticos en el tiempo sin la acción de agentes externos al sistema que oscila. Se estudian mediante circuitos eléctricos de determinadas características, constituidos por elementos como son el condensador, la resistencia y el inductor. El equivalente mecánico del circuito LC son las oscilaciones de un sistema formado por una masa puntual unida a un muelle perfectamente elástico. El equivalente hidráulico es un sistema formado por dos vasos comunicantes. Las oscilaciones que se producen en un circuito LC son:

Figura 1

Figura 2

Figura 3

En la figura 1 se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta. La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad. La ecuación es:

; Como i=-dq/dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:

Esta es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia angular propia o natural:

La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía del campo eléctrico en el condensador y la energía del campo magnético en la bobina:

Se puede fácilmente comprobar que la suma de ambas energías es constante e independiente del tiempo.

Figura 4

Las figuras representan el estado del oscilador cada cuarto de periodo. 1. En un instante inicial el condensador está completamente cargado con una carga Q. Toda la energía está acumulada en el condensador en forma de campo eléctrico. 2. El condensador se empieza a descargar, la intensidad aumenta, en la bobina se produce una FEM autoinducida que se opone al incremento de intensidad. Al cabo de un cuarto de periodo, se alcanza la intensidad máxima i=Q·w0

3. La intensidad empieza a disminuir, en la bobina se produce una fem que se opone a que la intensidad disminuya. El condensador se empieza a cargar, el campo en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, el condensador ha adquirido la carga máxima Q, y la intensidad en la bobina se ha reducido a cero. 4. Ahora comienza de nuevo a descargarse el condensador, la intensidad aumenta, el campo en la bobina cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, la intensidad alcanza su valor máximo (en valor absoluto).

Ejemplos : 1)Un circuito L-C, que contiene un inductor de 80 mH y un capacitor de 1.25 nF, oscila con una corriente máxima de 0.75 A. a) Calcule la carga máxima en el capacitor. b) Calcule la frecuencia de oscilación del circuito. c) Suponiendo que el capacitor tiene su carga máxima en el momento t=0, calcule la energía almacenada en el inductor después de 2.5 ms de oscilación. RTA/ Por la ley de Faraday sabemos: V(t) = -L dI/dt; para un capacitor V = Q/C Luego, tenemos que por las leyes de Kirchhoff: L d²Q/dt² + Q/C = 0 O bien: d²Q/dt² = -(L/C) Q

Que es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia angular ω = √[L/C] ω = √[80mH/1.25nF] = 8000 Hz

Supongamos que en t=0, la carga fuese máxima, entonces la corriente sería nula. La solución de la ecuación es de la forma: Q(t) = Qo cos(ωt + φ) ; Sabemos que I(t) = dQ/dt, luego I(0) = - Qoω sin(φ) = 0 Por lo tanto φ = 0

Luego, Q(t) = Qo cos(ωt) y I(t) = -ωQo sin(ωt) con Io = ωQo Conocemos la corriente máxima Io; luego:

Qo = Io/ω = 0.75A / 8000 Hz = 97.75 μC La energía almacenada en la bobina es E = 1/2 L I², luego: E(t) = 1/2 L I₀² sin²(ωt) Evaluando t = 2.5 ms E(2.5ms) = 2.4 mJ sin²(20) ≈ 2mJ

2) A un circuito alimentado con un generador de alterna de 125V, y 50Hz le conectamos una asociación serie de una bobina de 100mH y una resistencia de 30Ω. Calcular: a) Caídas de tensión en la resistencia y en la bobina. b) Desfase entre la tensión y la intensidad. c) ¿Cuál será la tensión que alimenta el circuito expresada en forma compleja? RTA/ a) para calcular: Sustituyendo valores llegamos a que: El valor de la impedancia viene dado por: Sustituyendo valores y operando llegamos a que: Aplicando la Ley de Ohm y con los valores que tenemos obtenemos la intensidad:

Con el valor de la intensidad ahora podemos obtener fácilmente las caídas de tensión:

b) El ángulo de desfase viene dado por:

c) El resultado sería:

CIRCUITOS RLC

En los circuitos RLC se acoplan resistencias, capacitores e inductores. Existe también un ángulo de desfasaje entre las tensiones y corrientes (y entre las potencias), que incluso puede llegar a hacerse cero. En caso de que las reactancias capacitivas e inductivas sean de distinto valor para determinada frecuencia, tendremos desfasajes. Dependiendo de cual de las reactancias sea mayor podremos afirmar si se trata de un circuito con características capacitivas o inductivas y por lo tanto si la tensión adelanta a la corriente (y con qué ángulo) o si la corriente adelanta a la tensión. valores de un circuito RLC simple en serie.

Diagrama de vectores teniendo en cuenta: 1. que la intensidad que pasa por todos los elementos es la misma, 2. que la suma (vectorial) de las diferencias de potencial entre los extremos de los tres elementos nos da la diferencia de potencial en el generador de corriente alterna.

Figura 5 El vector resultante de la suma de los tres vectores es

Reactancia capacitiva

ω = Velocidad angular = 2πf C = Capacidad Xc = Reactancia capacitiva

Impedancia total del circuito RLC serie

R = Resistencia Xl = Reactancia inductiva Xc = Reactancia capacitiva Angulo de desfasaje entre tensión y corriente

Xl = Reactancia inductiva Xc = Reactancia capacitiva R = Resistencia Corriente máxima

Potencias

Figura 6

Tensiones

EJEMPLOS:

1)Un circuito serie R-L-C está formado por una bobina de coeficiente de autoinducción L= 1 H y resistencia óhmica interna de 10 ohmios, un condensador de capacidad C= 5 micro F, y una resistencia de 90 ohmios. La frecuencia de la corriente es de 100 Hz. Si el circuito se conecta a un generador de corriente alterna de 220 V de tensión máxima, calcular: a)la potencia disipada por el circuito b)la expresión de la intensidad instantánea RTA/

X L  L  1  2  100  628´3 a)

XC 

1 1   318´3 6 C 5  10  2  100

Z  R 2   X L  X C   90 2   628´3  318´3  225´7 2

Ve 

220 2

2

 155´6 V;

P  Ve Le cos   Ve 

Ve R  Ve     Z Z  Z

2

 155´6    225´7 

R 

2

 90  22´8 W

tg  

XL  XC  3´1 R

b)

  arctg 3´1  72 12´ 1´26 ;

rad

Z

XL XL -XC

 XC

R

 V (t )  220  sen 200  t     I (t )  0´68  sen( 200    t  1´26)

o

 V (t )  220  (200    t  1´26)    I (t )  220  sen 200    t 

2)En un circuito serie RLC se aplica una tensión alterna de frecuencia 50 Hz, de forma que las tensiones entre los bornes de cada elemento son: VR = 200 V, VL= 180 V y V c = 75 V, siendo R= 100 ohmios. Calcular: a)el valor de L y de C

b)la intensidad que circula por el circuito. RTA/ a)

XC 

XL 

VC  37´5 I VL  90 I

b)

I

VR  2A R

XC  ;

1 C

;

1 1   85   X C 2  50  X C

;

L

X L  L ;

C

F

XL XL   0´29  2  50

H

CIRCUITOS AC

CORRIENTE ALTERNA

Este tipo de corriente es producida por los alternadores y es la que se genera en las centrales eléctricas. La corriente que usamos en las viviendas en los enchufes es de este tipo.

En este tipo de corriente, la intensidad varia con el tiempo (numero de electrones) y además cambia de sentido de circulación a razón de 60 veces por segundo (frecuencia 60Hz). También la tensión generada entre los dos bornes (polos) varia con el tiempo en forma de onda senoidal, por lo que no es constante. Gráfica de la tensión en corriente alterna :

En corriente alterna las ondas de las tensiones y las intensidades son ondas senoidales y están desfasadas, es decir cuando empieza la onda de la tensión, la onda de la intensidad empieza más tarde.

Los receptores en corriente alterna (c.a.) se pueden comportar de 3 formas diferentes: -Receptores Resistivos puros. Solo tienen resistencia pura. Se llaman receptores R. -Receptores Inductivos puros. Solo tienen un componente inductivo puro (bobina) Se llaman L. -Receptores Capacitivos puros. Solo tienen un componente capacitivo (condensadores). Se llaman C.

Variables:

-Voltaje: Valor instantáneo: Es el que toma la señal en un momento dado. Se representa con letra minúscula. Para determinarlo, conocida la función de la señal tratada, basta con sustituir el tiempo por su valor. La ecuación de una función senoidal es: v=Vmáx·sen(wt)

Valor eficaz: Representa el valor de una corriente continua que producirá el mismo calor que la alterna al pasar por una resistencia.

-Frecuencia: Se denomina frecuencia al número de ciclos que se realizan en un segundo. Se denota por la letra F y sus unidades son los ciclos/segundo también se le conoce como hertz (Hz). F = 1/T Hz -Cálculo de la inductancia: La inductancia de una bobina con una sola capa bobinada al aire puede ser calculada aproximadamente con la fórmula simplificada siguiente: L (microH)= d² · n² /18 · d + 40·l siendo: L = inductancia (microhenrios); d = diámetro de la bobina (pulgadas); l= longitud de la bobina (pulgadas); n = número de espiras o vueltas. -capacitancia Es la capacidad que tienen los conductores eléctricos de poder admitir cargas cuando son sometidos a un potencial. Se define también, como la razón entre la magnitud de la carga (Q) en cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos (V). Es entonces la medida de la capacidad de almacenamiento de la carga eléctrica.

-Reactancia Se denomina Reactancia a la impedancia ofrecida, al paso de la corriente alterna, por un circuito en el que solo existen inductores (bobinas) o capacidades (condensadores) puras, esto es, sin resistencias. No obstante, esto representaría una condición ideal, puesto que no existen en la realidad bobinas ni condensadores que no contengan una parte resistiva, con lo cual los circuitos en general estarán formados por una composición R-L-C (resistencia, inductor y capacidad).

Xc= Reactancia capacitiva en ohmios C=Capacidad en faradios f=Frecuencia en hertzios

-Impedancia La impedancia es la oposición que presenta un circuito al paso de la corriente alterna. Es un valor vectorial compuesto en su parte real por un valor de resistencia y en su parte imaginaria por un valor de reactancia y se calcula de la siguiente manera:

Z = Impedancia medida en Ohms () R = Resistencia medida en Ohms () X = Reactancia total medida en Ohms ()

EJEMPLOS: 1)¿Cuál ha de ser la frecuencia de una corriente alterna para que una autoinducción, cuyo coeficiente es de 8 henrios, presente una reactancia de 6000 Ω?¿Y para que un condensador de 5 μF presente la misma reactancia? RTA/ La impedancia viene expresada por la ecuación: Z = XL = L . ω como: ω=2.π.σ XL = L . 2 . π . σ ; 6000 Ω = 8 H . 2 . 3,14 . σ H = Henrios σ = 6000 Ω / 50,24 H = 119,42 Hz En el caso del condensador: Z = XC = 1 / C . ω ; XC = 1 / (C . 2 . π . σ) XC . C . 2 . π . σ = 1 ; σ = 1 / XC . C . 2 . π XC = 6000 Ω ; C = 5 μF . 10-6 F / 1 μF = 5 . 10-6 F σ = 1 / (6000 Ω . 5 . 10-6 F . 2 . 3,14) = 5,26 HZ ( 1/s)

2) Mediante la red eléctrica ordinaria de 220 V (eficaces) a 50 Hz, se alimenta un circuito R-L-C con una R=20 , L=0’02 H y C= 20F Calcular : a)la potencia media disipada por el circuito

b)deducir si se encuentra o no en resonancia.

XC 

X L  L  2fL  2 a)

;

Z  R   XL  XC  2

2

1 10 3   C 2

10 3    20   2  2   2



V R  V  P  Ve Le cos   Ve  e    e  Z Z  Z

2

 154´2

2

 220    154´2 

R 

2

 20  40´7 W

b)

X L  XC Si está en resonancia. Podemos ver que no son iguales, por lo tanto no está en resonancia

REFERENCIAS

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- Área tecnología, Corriente Continua(2016),http://www.areatecnologia.com/corrientecontinua-alterna.htm