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• FredyMontesSilvestre

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PROLOGO El presente texto no pretende ser un elemento de desarrollo completo de la materia, ni mucho menos, como últimamente están proliferando, obras de problemas resueltos, de una manera en la que no hay relación enseñanza aprendizaje y sin otro interés que el comercial. Es pues, un elemento de consulta y trabajo cuando el estudiante de Circuitos Eléctricos piensa desarrollar la asignatura de una manera ordenada y completarla con ejercicios típicos desarrollados y propuestos. Surgió la inquietud de realizarlo, cuando los autores, (primero alumnos y después docentes) solo encontramos bibliografía extranjera, no adaptada idealmente a nuestro sistema de estudios ni coherente totalmente con nuestros programas. También porque el desarrollo de muchos solucionarios efectuados por gente no autorizada y sin didáctica, inducía a errores y confusiones en el Análisis de Circuitos. No pretendemos de ninguna manera, desmerecer literaturas como de la R Scott, libro que ha servido de guía a muchos docentes y colegas nuestros como que lo recomendamos también. Incluimos sin embargo una extensa bibliografía y en casos necesarios hacemos citas pertinentes para que el lector pueda buscar fuentes de intensificación apropiada del desarrollo de algún tópico en estudio.

CAPÍTULO 1 I.- DEFINICIONES Y ALCANCES 1.1.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES CORRIENTE ELECTRICA. La corriente eléctrica por un conductor se define como "el número de electrones libres que pasa una sección cualquiera del conductor en un momento específico". Los electrones llevan una carga eléctrica medida en COULOMB y podemos decir que la corriente eléctrica es la carga eléctrica transportada por esos electrones durante el intervalo de tiempo considerado. Si la carga eléctrica es de 1 Cb y el tiempo es de 1s, se obtendrá una corriente eléctrica de 1 A (inicial de AMPERE, por el físico francés AMPERE), siendo la unidad de corriente eléctrica. CIRCUITO ELECTRICO. Es una trayectoria conformada por una sucesión no interrumpida de elementos por los cuales se desplazan cargas eléctricas. RED ELECTRICA. Es un conjunto de varios circuitos eléctricos dentro de un sistema determinado que permite el transporte, la disipación, transformación y/o almacenamiento de energía en cualquiera de una de una de dichas formas o la combinación de ellas. SISTEMA DE UNIDADES. El sistema adoptado mundialmente en eléctrica y electrónica que ha posibilitado el desarrollo en todos los sentidos es el uniformizado GIORGI. MKSA = GIORGI.- Racionalizado A = Amperio ( I ). Unidad fundamental definida como la cantidad de corriente eléctrica que cuando pasa por 2 conductores paralelos de dimensiones intrascendentales, se repelen con una fuerza de Newton por metro de longitud de separación. V = Voltio. Unidad derivada que es el trabajo realizado para juntar 2 cargas iguale acercándola, desde una distancia infinita hasta 1 metro de separación. Como derivada.

P = Potencia Eléctrica. Unidad derivada definida como la capacidad de disipar energía por unidad de tiempo.

∫

∫

R = Resistencia eléctrica.

La resistencia eléctrica de un conductor se define como una propiedad del material que representa la oposición del mismo frente al paso de la corriente eléctrica. La oposición se origina como consecuencia de los choques entre los electrones libres de la corriente y los iones positivos del metal. La causa de estos choques es el calentamiento del conductor, el que, a su vez, lo transmite al medio ambiente. La resistencia se mide en OHM (Ω), llamado así por el físico alemán que lo descubrió. 1. 2. -

ANALISIS Y SINTESIS DE REDES. Análisis:

Es un raciocinio que nos permite DEDUCIR de una ley general el comportamiento de un sistema particular. Aplicado este concepto a circuitos eléctricos, significa que nos permite deducir una respuesta conociendo la red y la excitación. Si tenemos la red:

El análisis de redes permite hallar la respuesta conociendo la excitación y la red, o sea: e(t) = Excitación = dato. Red = Dato, podemos hallar la … r(t) = Respuesta = Incógnita

-

Síntesis:

Es un raciocinio que nos permita INDUCIR una ley o comportamiento en general, a partir de un caso en particular. En circuitos Eléctricos, esto es inducir una red (o diseñarla) para que ante una excitación dada, nos dé una respuesta requerida. Si tenemos la red:

Conociendo la excitación e(t) y la respuesta r(t) se puede diseñar la red. O sea e(t) = Dato

r(t) = dato

red = Incógnita

NOTAS: -

Cuando analizamos una red, la respuesta es única y está perfectamente determinada.

-

Cuando hacemos una síntesis o diseño, podemos llegar a la respuesta por diversos caminos ó métodos; lo que hace que no haya unicidad en la respuesta.

-

El curso de teoría de circuitos Eléctricos analiza entonces las redes Eléctricas mediante Teoremas y Métodos generales, de tal forma, que en cursos siguientes podamos utilizar los conocimientos obtenidos para diseñar redes de acuerdo a nuestro requerimiento.

1.3.

LINEALIDAD Y RELACIONES VOLT-AMPER. Todos los sistemas de la naturaleza se caracterizan en sistemas lineales y no lineales. Un sistema se denomina lineal cuando el voltaje y la corriente en el elemento guardan una relación simple proporcional. Para ello debe tener las dos propiedades siguientes: a) Propiedad de Homogeneidad y b) Propiedad de superposición.

a)

Homogeneidad: En un sistema lineal, si incrementamos en una razón la excitación, en la misma debe incrementarse la respuesta.

b)

Superposición: Si 2 excitaciones distintas causan 2 efectos distintos cuando actúan simultáneos, la respuesta debe ser la suma de las individuales a la vez.

O sea, si para una misma red:

Entonces:

En cursos superiores veremos que son necesarias mas condiciones como causalidad, reciprocidad, invariabilidad con el tiempo, derivabilidad e integrabilidad. Los elementos que responden a los principios de linealidad son: la resistencia, la inductancia y la capacitancia. La corriente circula de + a – para estos elementos pasivos (RLC). El resto de elementos como diodos, tubos de vacío, transistores, FET’S, DIAC’S, TRIAC’S, etc. son considerados no lineales por lo que pertenecen a los cursos de Electrónica y control. ELEMENTOS RLC La resistencia (R = ohm = Ω) Nos indica en forma proporcional como varia el voltaje o fuerza electromotriz que se opone al paso de corriente. El elemento es pasivo.

Depreciando el efecto de la temperatura

Cuando es (+): Son metales -

Cuando es (-): son semiconductores

La Inductancia Nos indica la capacidad de producir flujo por unidad de corriente circulante. La ley de Lenz nos relaciona con voltaje y corriente.

Como el elemento es pasivo hay una caída de potencial:

Con

Despreciamos el efecto de la remanencia magnética, la histéresis y la saturación de núcleos. -

La capacitancia (C = Faradios = F) Nos indica la capacidad de almacenar carga eléctrica por unidad de voltaje sometido. La ley de la Faraday nos relaciona con voltaje y corriente.

Con

Despreciamos los efectos de fuga de rigidez dieléctrica en los elementos constitutivos. -

Parámetros concentrados. Es difícil concebir como elemento físico una capacitancia o inductancia ideal; pero siempre es posible representar por una combinación de efectos dispuestos en un modelo circuital adecuado. Ejemplo. INDUCTOR REAL Parámetros concentrados

(IDEALES) R1 = Resistencia del devanado. L = Inductancia Ideal C = Capacidad entre espiras. Cada elemento tendría entonces una representación compleja que complicaran las redes; pero se pueden hacer consideraciones y depreciar efectos íntimos e intrascendentes.

1.4 LA LEY DE OHM Y LOS CIRCUITOS ELECTRICOS ELEMENTALES

1.4.1

EL CIRCUITO CERRADO.

Todos los circuitos, sin importar que tan grandes y complejos sean, tienen algunas similitudes básicas. Primero, todos requieren de una fuente de energía, que es una entrada de voltaje. En segundo lugar, todos los circuitos deben tener cargas, estas dan una medida de la cantidad de corriente proporcionada por la fuente de voltaje, a mayor carga, mayor es la corriente que se demanda de la fuente. Un “CIRCUITO CERRADO” es cualquier circuito en el cual la corriente se demanda de la fuente.

A. Debe tener una fuente de voltaje B. Al menos una carga 1.4.2

LA LEY DE OHM.

En el año 1827 Georg Simon Ohm, observó la relación entre el voltaje aplicado V1, la corriente I y la resistencia R y encontró que para un cierto valor fijo de resistencia, circula una corriente para un cierto voltaje aplicado. Si el voltaje se duplica, también se duplica la corriente, si se triplica, también de triplica la corriente, es decir “si se mantiene el valor de la resistencia constante, la corriente es directamente proporcional al voltaje”. 1.4.3 REPRESENTACION GRAFICA DE LA LEY DE OHM

La ley de ohm representa una relación lineal entre corriente y voltaje para cualquier resistencia constante. Esto significa que en una gráfica, un cambio en la corriente graficado con un cambio en el voltaje, es una línea recta para un valor fijo de un resistor. Como ejemplo de esta relación entre V y I se puede usar una resistencia fija de 2 ohms como resistencia de carga, como se muestra en la figura siguiente, de manera que variando el voltaje entre 0 y 12 volts, el instrumento de medición (amperímetro) muestra la corriente I directamente proporcional al voltaje. Estos valores para I y V se pueden listar en una tabla y de aquí graficar posteriormente.

Originalmente esta relación la expresó ohm en la forma:

DONDE: R = Resistencia en ohms V = Diferencia de potencial en voltios (V) I = Corriente en amperios (A) K = Constante de proporcionalidad Para el ejemplo mostrado se tiene:

A. Circuito con fuente de voltaje variable y resistencia constante B. Tabla de lecturas C. Grafica obtenida de los datos de la tabla y que muestra la proporcionalidad entre V e I. Los valores de voltaje para V se indican en el eje horizontal (de las abcisas) y los valores de la corriente I en el eje vertical (de las ordenadas). Para elaborar la grafica no requiere que las dos escalas sean las mismas, el único requerimiento es que a iguales distancias sobre cada escala representan iguales cambios en magnitud.

1.4.4

OTRAS FORMAS DE LA LEY DE OHM.

La corriente se puede calcular de la expresión: I = V / R si se mantiene la misma resistencia en un circuito pero se varía el voltaje, la corriente varía también. El circuito siguiente permite ilustrar esta idea.

La corriente expresada en AMPERIOS es:

Por ejemplo, si se aplican 10V a una resistencia de 5Ω la corriente es 10/5 = 2A.

CIRCUITO ELECTRICO

CIRCUITO ELECTRICO ELEMENTAL

LEY DE OHM EN FORMA GRAFICA Las otras cantidades del círculo indican como se obtiene la cantidad cubierta Ejemplo: Encuéntrese I cuando V = 150 V y R = 30 Ω

Ejemplo: encontrar R cuando V = 200 V e I = 10 A

Ejemplo: Encontrar V cuando I = 5 A y R = 40 Ω

1.4.5 EL VOLTAJE (V) El voltaje se puede calcular como:

Donde la resistencia (R) se expresa en ohms, la corriente I se expresa en amperes y entonces el voltaje (V) se expresa en volts. Ejemplo: Que voltaje produce una corriente de 9 M A que circula a través de una resistencia de 5 kilo ohms Solución

1.4.6 POTENCIA ELÉCTRICA.

La unidad de potencia eléctrica es el watt (W) en honor de JAMES WATT (1736 1819). Un watt de potencia es igual al trabajo desarrollado en un segundo por una diferencia de potencial de 1 volt para mover un coulomb de carga. De acuerdo con la definición de corriente 1 coulomb/segundo es igual a 1 amperio. Por lo tanto, la potencia en watts es igual al producto de los voltios por los amperes

Por ejemplo. Si una batería de 9 volts produce 2 A en un circuito, la batería genera: 9 x 2 = 18 watts de potencia. Esta fórmula de potencia dependiendo de lo que se desee obtener, se puede escribir en tres formas.

Esta formulas se usan dependiendo de que se desea calcular; ya sea P, I o V. Ejemplo: Un tostador demanda 10 A de un contacto de alimentación a 127 volts, calcular la potencia consumida. Solución

LEY DE OHM EN FORMA DE DIAGRAMA

RELACIONES ENTRE CORRIENTE, VOLTAJE, RESISTENCIA Y POTENCIA ELÉCTRICA Para una corriente medida de 12.8 A, alimentado a 115 volts la resistencia es:

La potencia consumida es:

CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL

1.4.7 DISIPACION DE LA POTENCIA EN UNA RESISTENCIA Cuando circula la corriente eléctrica por una resistencia se produce calor debido a la fricción, entre los electrones libres en movimiento y los átomos que obstruyen el flujo de electrones. El calor es una evidencia de que la potencia se usa para producir la corriente eléctrica. Este es el principio usado en los fusibles para protección de instalaciones eléctricas, donde el calor resultante de las altas corrientes, funde al elemento fusible. Dado que la potencia es disipada en la resistencia de un circuito, es conveniente entonces, expresar la potencia en términos de la resistencia R, de manera que la formula P = R x I2, se puede modificar sustituyendo V = R x I como:

Otra forma de expresar la potencia, es sustituyendo I = V/R de modo que:

En estas formulas V es el voltaje a través de la resistencia R por donde circula la corriente I. Ejemplo: Calcular la potencia en un circuito en donde la fuente de 120 V produce una corriente de 2.4 A en una resistencia de 50 ohms. Solución

1.4.8 OTRAS FORMULAS DE LA POTENCIA. Para calcular I o R para aparatos o componentes eléctricos especificados en términos de la potencia a un voltaje dado puede ser conveniente usar las formulas de potencia en distintas formas, hay tres formulas básicas, con las que se pueden hacer distintas combinaciones como se indica a continuación:

Ejemplo: ¿Qué corriente demanda un tostador de 600 Watts a 120 volts? Solución

1.5

CÓDIGO DE COLORES DE RESISTORES

Los resistores de composición de carbón, por lo general tienen unas pequeñas bandas que permiten determinar mediante un código el valor de la resistencia de los resistores, este código se indica a continuación. Algunas veces aparece en el resistor, una cuarta banda de color, esta cuarta banda indica la tolerancia o grado de exactitud del resistor, una quinta banda, indica el índice de fallas en por ciento por cada 1000 horas de operación. Las bandas de colores se leen de izquierda a derecha, la banda de color más cercana al extremo, indica el primer digito del valor numérico en ohms. La segunda banda indica el segundo digito del resistor en valor óhmico, la tercera banda es el multiplicador decimal que indica cuantos ceros se deben colocar después del segundo número.

Código de colores para resistencias

Tabla 1 Código de colores para resistencias

Tabla 2

Algunos valores estándar de resistores

1.5.1 EJEMPLO DE LA FORMA DE LEER LOS VALORES.

Ejemplo1:

Colocar el resistor de modo que el lado blanco quede a la derecha.

Ejemplo2:

La primera banda indica un numero

Ejemplo3:

La segunda banda también indica un numero

Ejemplo4:

La tercera banda es “la banda multiplicadora”, indica cuantos ceros

se deben colocar después de los dos primeros dígitos.

Ejemplo5:

La cuarta banda es llamada de “tolerancia”, es decir, indica el rango

dentro del cual el resistor es considerado aceptable

Ejemplo: En la figura se muestra un resistor, cuya primera banda es café, la segunda es verde, la tercera banda es negra. Indicar el valor del resistor. Solución

La primera banda es café, consultando la tabla de código de colores, esto significa que el primer digito es 1 (uno), la segunda banda es verde, esto significa que es un 5 (cinco). El color negro de la tercera banda (multiplicador), quiere decir que hay cero-ceros, por lo que el resistor es de 15 ohms (15 Ω)

Ejemplo6:

Como se ha mencionado antes, existen resistores disponibles en el

mercado que tienen valores inferiores a 10 ohms, en estos resistores, la tercera banda de color es color “oro” o “plata”. Con el color oro, los primeros dos dígitos se multiplican por 0.1 (1/10), cuando el color de la tercera banda es plata, los primeros dos dígitos se multiplican por 0.01 (1/100).

Si se tiene un resistor cuya primera banda es verde, la segunda es negra y la tercera oro. Dar el valor de este resistor. SOLUCIÓN La primera banda es verde, lo que significa un valor de 5, la segunda banda es negro, lo que significa un valor de 0, es decir el valor es 50, pero la tercera que es el multiplicador es color oro, lo que significa 0.1, por lo tanto el valor del resistor es:

Ejemplo7:

Para las resistencias indicadas en la figura, indicar su valor en

ohms y la tolerancia en porciento. (a)

Respuesta 33000 Ω + - 20% (b)

Respuesta 5600 Ω + - 5% (c)

Respuesta 1500 Ω + - 20% (d)

Respuesta 270 Ω + - 10% (e)

Respuesta 30000 Ω + - 5% (f)

Respuesta 10 Ω + - 10%

(g)

Respuesta 1000 Ω + - 20% (h)

Respuesta 10000 Ω + - 10% (i)

Respuesta 470 Ω + - 20% (j)

Respuesta

2200 Ω + - 10% (k)

Respuesta 3900000 Ω + - 10% (l)

Respuesta 3600000 Ω + - 10% 1.5.2 SUSTITUCIÓN DE RESITORES Cuando en una aplicación específica se requiere de un valor determinado de resistencia, por ejemplo 5800 ohms y el valor disponible es otro, digamos 5700 ohms, en este caso se puede hacer uso de la tolerancia que tienen los resistores siempre y cuando se encuentren dentro de un rango del 10% al 20% del valor requerido. Si en el circuito en particular se requiere de un valor mas preciso, desde luego que se pueden construir circuitos serie-paralelo para obtener estos valores.

Para tres o mas resistencias en paralelo se obtiene la resistencia total como:

Resistores usados como divisor de voltaje

1.5.3 OTRAS CLASES DE RESISTORES El resistor de composición de carbón solo es uno de los distintos tipos de resistores, pero existen otros como son:

RESISTORES DE PELICULA DE METAL. Varias clases de resistores que usan una película delgada de metal o una mezcla de partículas de metal para formar varias resistencias.

RESISTORES DE PELICULA DE CARBÓN Estos se construyen por medio de un depósito de una película de carbón sobre un cilindro pequeño de cerámica. Una pequeña espiral controla la longitud del carbón entre las terminales extremas.

FOTORESISTORES También se conocen como fotoceldas, se hacen de un material sensitivo a la luz como es el caso el sulfuro de cadmio. Cuando se incrementa el nivel de la luz, disminuye la resistencia.

TERMISTORES Este es un resistor sensitivo a la temperatura, en la medida que se incrementa la temperatura, disminuye la resistencia, en la mayoría de los casos. Con rangos de temperatura de – 50ºC a 100ºC valores de 10 k-ohm a la temperatura de 25ºC

RESISTORES VARIABLES Otro tipo de resistores que se encuentra en los circuitos eléctricos, son los llamados resistores variables. Estos resistores están fabricados de los mismos materiales, usados en los resistores de valor fijo, ya sea de composición de carbón o de alambre devanado. La principal diferencia consiste en que los resistores devanados tienen forma de ajustar los valores deseados de resistencia. Los resistores variables se les conoce con distintos nombres como son: potenciómetro y reóstato.

Para ser específico, hay una diferencia entre potenciómetro y reóstato, aun cuando en ocasiones el término se usa en forma indistinta para designar a uno u otro. En un potenciómetro hay tres conexiones conectadas o que salen del dispositivo. El potenciómetro esencialmente consiste de un elemento de una resistencia (ya sea de carbón o de alambre devanado) y un contacto “deslizable”. Los dos extremos de la resistencia asi como el contacto deslizable mismo están conectados a las tres terminales del dispositivo, esto permite que el potenciómetro se pueda usar en lugares en donde se desee dividir el valor de la resistencia.

Un REÓSTATO en particular tiene solo dos contactos externos, un contacto esta al extremo de la resistencia y el contacto variable es de hecho una derivación.

1.5.4 POTENCIA DE UN RESISTOR Un factor muy importante que concierne a la utilización de los resistores, es su potencia, esta potencia se disipa en forma de calor en el resistor. Un calor excesivo puede dañar eventualmente al resistor, de manera que se deben especificar por la cantidad de potencia que pueden disipar en aire en forma segura, sin que sufran daños. La potencia, como se sabe, se expresa en WATTS, se usa en forma más común el “tamaño del resistor” para indicar su capacidad en watts. Algunos valores de dimensiones asociadas a su potencia en watts se indican a continuación.

ALGUNAS DIMENSIONES DE RESISTORES Y SU POTENCIA

En general, cuando un resistor se requiere que maneje más de 2 watts, es recomendable que sea del tipo de alambre devanado. En este tipo de resistores su valor en ohms y su potencia en watts se indican directamente en el resistor. En la selección de un resistor para una aplicación especifica, es recomendable, para estar dentro de los límites de seguridad que se seleccione con una potencia del doble de la potencia calculada. Construcción de un resistor de película metálica

a)

b)

Resistencia variable de carbón tipo circular a. Vista externa b. Vista interna

Potenciómetro conectado a través de una fuente de voltaje, con funciones de divisor de voltaje.

Símbolos para resistores variables

a) Tamaños relativos de resistores por potencia

Ejemplo: Se tiene un resistor de ½ watt de composición de carbón que tiene como bandas de color: café, verde, café y oro. Dar los límites superior e inferior permisibles del valor de la resistencia.

Solución: De acuerdo con la tabla de código de colores, el valor de la resistencia es de 150 Ω con una tolerancia de ± 5% , por lo que los limites superior e inferior permisibles son: 150 ± 5/100 x 150 = 150 ± 7.5 Ω O sea: 157.5 Ω y

142.5 Ω

Ejemplo: Las bandas de color de un resistor de composición de carbón de 2 W son: rojo,

violeta, café, plata. Calcular el máximo valor de corriente que puede circulas sin exceder su capacidad de potencia.

Solución: De la expresión para la potencia

De acuerdo con el código de colores, el valor del resistor es de R = 270Ω

El máximo voltaje es:

CAPÍTULO 2 En el presente capitulo se presentan los métodos de cálculo de equivalentes, tanto para dipolos activos como para pasivos y las transformaciones útiles para encontrar una incógnita. -

Usos del divisor de tensión y de corriente.

-

Serie de problemas típicos resueltos.

-

Serie de problemas propuestos

2.1 CIRCUITOS EN SERIE

Siempre que las partes o componentes de un circuito estén conectadas de manera que se constituya una trayectoria única para el paso de la corriente, se dice que las partes están “conectadas en serie” cuando todas las partes de un circuito incluyendo la fuente están conectadas en serie se tiene un circuito serie.

2.1.1

LA CORRIENTE EN UN CIRCUITO SERIE

Una de las propiedades fundamentales de los circuitos en serie, se refiere a la corriente. “La corriente en un circuito serie es la misma en cualquier parte del circuito”. Este concepto debe ser claro a partir del hecho de que solo hay una trayectoria de la corriente. Por lo tanto, la corriente que entra al circuito, circula a través del circuito que entra a la fuente y sale de la fuente, debe ser la misma. Es decir, siempre se “mide” el mismo valor de corriente en cualquier punto del circuito.

CONEXIÓN SERIE PARA DISTINTAS PARTES DEL CIRCUITO. LA CORRIENTE ES LA MISMA EN LAS PARTES A, B y C

REPRESENTACION DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO SIMPLE

CIRCUITO ELÉCTRICO ELEMENTAL

La resistencia a partir de la potencia es:

CIRCUITO ELEMENTAL La corriente de acuerdo a la ley de Ohm es: I = V / R, P = V * I, I = P / V

2.1.2

CONEXIÓN DE RESISTENCIAS EN SERIE

Las resistencias o elementos usados como resistencias denominados resistores, se conectan en serie, simplemente conectando el principio y el final de cada uno. La geometría no importa, realmente lo que importa es que se tenga solo una trayectoria para la corriente. Algunos ejemplos de forma de conexión serie de resistores con distintas geometrías se muestran a continuación:

a)

b)

c) CIRCUITO SERIE a) Representación física. b) Diagrama esquemático. c) Circuito equivalente.

Del concepto de que la resistencia es la oposición al flujo de corriente, cuando los resistores se conectan en serie, cada uno suma al otro su oposición. Este concepto se establece en una de las propiedades fundamentales de los circuitos en serie. “la resistencia total o equivalente de un circuito en serie, es la suma se las resistencias individuales”.

DONDE: Rn, representa el número de resistores en el circuito.

Ejemplo: Se tienen conectadas tres resistencias en serie, R1, R2 y R3 de 3Ω, 7Ω, y 10Ω, respectivamente. Calcular el valor de la resistencia equivalente o total: Req. Solución Req = 3 + 7 + 10 = 20 Ω

Ejemplo: Si aplica un voltaje de 60 volts a las resistencias del ejemplo anterior, ¿Cuál es el valor de la corriente que circula?

Solución

2.1.3 CAIDAS DE VOLTAJE. Cuando circula una corriente I a través de una resistencia por la ley de ohm, el voltaje a través de la resistencia es igual R x I, este voltaje R x I a través de cada resistencia, se conoce como “la caída de voltaje o llamado también caída de tensión” debido a que se reduce la diferencia del potencial disponible para las resistencias restantes en el circuito serie.

EJEMPLO DE CAIDAS DE VOLTAJE V1 y V2 EN UN CIRCUITO SERIE

En el circuito anterior, si la corriente es de 1 A ( I = V / R = 7 / 7 = 1 A ), la caída de voltaje a través de la resistencia R1 es: V1 = 5 x 1 = 5 Volts y la caída de voltaje a través de la resistencia R2 es: V2 = 2 x 1 = 2 Volts. Se observa que el voltaje se aplica por medio de una fuente por ejemplo una batería, para producir corriente y tener las caídas de voltaje R x I en las resistencias. Se observa también que la suma de las caídas de voltaje R x I es igual al voltaje aplicado VT en el circuito serie, es decir, se cumple en general que:

VT = V1 + V2 + V3 +…+ Vn

Ejemplo: Una batería de 100 Volts está conectada en serie con tres resistencias de 20Ω, 40Ω y 140Ω, calcular la caída de voltaje en cada resistor.

Solución La resistencia total del circuito es: Req = 20 + 40 + 140 = 200 Ω De acuerdo con la ley de ohm, la caída de voltaje total es: VT = Req x I Donde la corriente es:

I = VT/Req = 100/200 = 0.5 A La caída de voltaje en cada resistor es entonces: V1 = R1 x I = 20 x 0.5 = 10V V2 = R2 x I = 40 x 0.5 = 20V V3 = R3 x I = 140 x 0.5 = 70V El voltaje total se debe cumplir que sea. VT = V1 + V2 + V3 = 10 + 20 + 70 = 100V

2.1.4 POLARIDAD EN LAS CAÍDAS DE VOLTAJE: R x I. Cuando existe una caída de voltaje R x I a través de una resistencia, uno de sus extremos debe ser, ya sea más positivo o más negativo que el otro, ya que de otra manera sin una diferencia de potencial, no podría circular una corriente ( I ) para producir la caída de voltaje R x I. La polaridad del voltaje R x I se puede asociar con la dirección de la corriente (I) a través de la resistencia R. En resumen: las cargas positivas circulan hacia el lado positivo del voltaje R x I y salen del lado negativo.

LA POLARIDAD DE LAS CAÍDAS DE VOLTAJE: R x I

CIRCUITO SERIE FORMADO POR LAMPARAS

El voltímetro mide el voltaje a través de L2

Circuito serie con switch o interruptor para conexión a la fuente

Conexiones para mostrar la acción del switch en un circuito serie, cuando el switch está abierto el voltímetro 1 debe marcar 120 Volts y el voltímetro 2 lee cero, cuando se cierra el voltímetro 1 marca cero y el 2 la caída de voltaje en L2.

Circuito serie con retorno por tierra

Medición de la caída de voltaje

En un circuito serie, con dos resistencias y dos caídas de voltaje R x I, se pueden analizar estas polaridades. Las cargas positivas se mueven de la Terminal positiva de VT a través de R1. Las cargas positivas circulan hacia el punto C y salen del punto D, por lo tanto, C es el lado positivo del voltaje a través de R2, el punto D es el lado positivo comparado con el punto F.

CAÍDA DE VOLTAJE EN DOS RESISTENCIAS (El flujo de electrones se muestra en la dirección de la corriente).

2.1.5 POLARIDAD A TIERRA O REFERENCIA.

En algunos circuitos prácticos, uno de los lados de la fuente de voltaje VT se conecta al chasis o tierra. El propósito de esto es simplificar el alambrado. Tal es el caso del diagrama del alambrado para la instalación eléctrica de automóviles, en donde el chasis es el retorno por “tierra” aun cuando en la realidad la conexión a tierra físicamente no

exista por estar el vehículo aislado por las llantas. En las bases plásticas para montaje del circuito o en los circuitos impresos, una cinta fina de soldadura sirve como el retorno por tierra del chasis de manera que solo se usa una Terminal de la fuente de voltaje como lado de conexión. El retorno del circuito tiene conexión al lado opuesto de VT as través del conductor de tierra del chasis.

POLARIDAD DE LAS CAÍDAS DE VOLTAJE: R x I MEDIDAS A LA TIERRA DEL CHASIS

2.1.6 LA POTENCIA TOTAL EN UN CIRCUITO SERIE

La potencia necesaria para producir corriente en cada resistor en serie, es usada en forma de calor. Por lo tanto, la potencia total usada es la suma de los valores individuales de potencias disipadas en cada parte del circuito.

Donde las potencias P1, P2 y P3, Etc. Se pueden calcular usando las expresiones:

ES DECIR:

Ejemplo: Una fuente de voltaje de 18 V se conecta a través de resistencias en serie de R1 = 3.3 kΩ, R2 = 1 kΩ y R3 = 4.7 kΩ como se muestra en la figura. CALCULAR: a) La resistencia total del circuito. b) La corriente en el circuito. c) La caída de voltaje a través de los resistores. d) La potencia disipada por cada resistencia en forma individual. e) La potencia entregada por la fuente.

Solución a) La resistencia total del circuito. RT = R1 + R2 + R3 = 3.3 kΩ + 1 kΩ + 4.7 kΩ = 9 kΩ

b) La corriente en el circuito.

c) La caída de voltaje a través de los resistores.

Se cumple que :

d) La potencia disipada por cada resistencia en forma individual.

e) La potencia entregada por la fuente.

Se puede verificar calculando:

Las fuentes de voltaje que se conectan con fuentes de voltaje que permiten la circulación de corriente en la misma dirección de acuerdo a sus polaridades, suman sus voltajes. Esto ocurre cuando la Terminal positiva de una fuente se conecta a una terminal de la fuente adyacente.

I =VT / R = 15 / 3 = 5 A Fuentes de voltaje en serie conexión aditiva. VT = V1 + V2 = 9V + 6V = 15V

La conexión serie de fuentes con voltajes que se sustraen o restan se conectan Terminal negativa a Terminal negativa o Terminal positiva a positiva.

I = VT / R = 3 / 3 = 1 Fuentes de voltaje en serie conexión sustractiva VT = V1 – V2 = 9 – 6 = 3V

2.1.7 EFECTO DE CIRCUITO ABIERTO EN UN CIRCUITO SERIE.

Un circuito abierto es una interrupción en la trayectoria de corriente, la resistencia de la parte abierta es muy alta, debido a que un elemento de aislamiento como es el aire, toma el lugar de una parte conductora del circuito. Recuérdese que la corriente es la misma en todas las partes de circuito serie, de manera que una interrupción en alguna parte, significa una interrupción total para el circuito

.

2.1.8 MEDICIÓN DE CORRIENTE.

La corriente eléctrica se mide con un instrumento denominado “amperímetro”. Este instrumento puede ser parte también de un instrumento que hace varias funciones y que se conoce como “multímetro”. Este amperímetro debe ser conectado de manera que la corriente que se debe medir pase o circule a través del mismo. Esto significa que el amperímetro se debe conectar en serie con el circuito en el que se va a efectuar la medición, para hacer esto, el circuito debe desenergizar previamente. El amperímetro debe tener una resistencia muy pequeña, de manera que introduzca un error mínimo.

METODO BASICO DE MEDICIÓN DE CORRIENTE CON UN AMPERIMETRO: CONECTADO EN SERIE CON LA CARGA

La medición de corriente con un multímetro se muestra en la siguiente figura:

MEDICIÓN DE CORRIENTE CON UN MULTIMETRO

2.1.9 MEDICION DE VOLTAJE Y CAÍDA DE VOLTAJE.

Considerando que el voltaje es una diferencia de potencial, la medición del voltaje se puede hacer con instrumentos conocidos como “voltímetros”, en forma análoga a los amperímetros, los voltímetros frecuentemente forman parte de los “multímetros”. Las mediciones de voltaje se hacen conectando en voltímetro a través de las partes del circuito en donde se desea determinar el voltaje, por lo que si el voltaje aplicado debe ser medido, el voltímetro se conecta a través (entre) las terminales de la fuente, si se desea medir el voltaje a través de una parte de un circuito, el voltímetro se conecta por media de la parte del circuito.

MEDICIÓN DE VOLTAJE POR MEDIO DE UN MULTIMETRO: SE CONECTA EN PARALELO A LA CARGA

Cuando circula la corriente por cada parte de un circuito, se produce también una caída de voltaje en cada parte del circuito. Esta caída del voltaje en un resistor se calcula, como se sabe, con la expresión:

La forma de conectar los cables de conexión entre las partes del elemento a que se va a medir la caída de voltaje, se muestra a continuación:

MEDICIÓN DE LA CAIDA DE VOLTAJE POR MEDIO DE UN MULTIMETRO

ANALOGICO

DIGITAL

PARA MEDIR VOLTAJES SE PUEDEN USAR UN MULTÍMETRO

MEDICION DE VOLTAJE Y CORRIENTE

EL AMPERÍMETRO SIEMPRE SE CONECTA EN SERIE CON LA CARGA Y LA FUENTE

A. Amperímetro escala

- 5A

+ 5A

B. Miliamperímetro escala

- 45mA

+45mA

C. Microamperímetro escala

A 100 µA

SEGÚN SEA EL VALOR DE LA CORRIENTE SE USA AMPERÍMETRO, MILIAMPERÍMETRO O MICROAMPERIMETRO

2.2 CIRCUITOS EN PARALELO.

En los circuitos con conexión serie en las partes de los circuitos conectados en serie, existe solo una trayectoria para la corriente, las caídas de voltaje alrededor del circuito pueden ser diferentes unas de otras y también se sabe que el voltaje aplicado es igual a la suma de las caídas del voltaje, así como que la resistencia total es igual a la suma de las resistencias. Cuando los elementos de un circuito se conectan en paralelo, se observa que existen distintas trayectorias de corriente. Estas trayectorias se les conocen como “ramas”. La corriente en las ramas no debe ser necesariamente la misma. En una conexión paralela, el voltaje es igual en todas las ramas del circuito. Algunas formas de conexión de ramas en paralelo se muestran a continuación.

VARIAS FORMAS DE MOSTRAR LA CONEXIÓN DE LAS RESISTENCIAS EN PARALELO

CIRCUITO PARALELO a. Representación física. b. Diagrama esquemático. c. Circuito equivalente.

2.2.1 CIRCUITO CON RESISTENCIAS EN PARALELO.

En un circuito en paralelo las resistencias se conectan en forma separada a la fuente, la instalación eléctrica de una casa habitación es el ejemplo típico de un circuito en paralelo. Existen tres reglas básicas para los circuitos en paralelo:

1. El voltaje en cada rama es el mismo. Dado que las ramas están conectadas todas a la misma fuente de voltaje (o al mismo par de nodos del circuito), no es posible para la rama tener un voltaje diferente.

2. La corriente total que demanda un circuito paralelo es la suma de las corrientes de cada rama. Cada rama demanda una corriente de carga separada de la fuente, de manera que la corriente total de carga proporcionada o suministrada por la fuente, debe ser igual a la suma de las corrientes que demandan las ramas.

CIRCUITO EN PARALELO CON TRES RAMAS

3. La resistencia total de un circuito en paralelo, es menor que la resistencia de cualquiera de las ramas.

2.2.2 RESISTENCIA EQUIVALENTE PARA UN CIRCUITO EN PARALELO.

Si en la figura anterior, se aplica la ley de ohm a cada una de las ramas con resistencias, se obtiene:

De manera que la corriente total: IT = I1 + I2 + I3

Se puede escribir como:

La ecuación anterior se puede escribir como:

Donde: Req = resistencia equivalente del circuito.

Por lo tanto:

La ecuación anterior se puede escribir también como:

El circuito equivalente es el siguiente:

Usando el concepto de que la conductancia es la reciproca de la resistencia, es decir G = 1/R se puede escribir también: Gt = G1 + G2 + G3 (SIEMENS) De aquí:

En forma similar a un circuito serie, la potencia total disipada en un circuito paralelo esta dada por: PT = P1 + P2 + P3 Watts

EJEMPLO Una fuente de 30 Volts se conecta a través de tres resistores en paralelo que tienen valores de R1 = 2kΩ, R2 = 1kΩ y R3 = 4kΩ, como se muestra en la figura. Calcular: a) La corriente que circula por cada resistor. b) La corriente total. c) La resistencia equivalente del circuito.

d) El valor de corriente que lee en amperímetro entre R1 y R2 e) La potencia disipada por cada resistor. f)

La potencia total que entrega la fuente. Solución

a) La corriente que circula por cada resistor

b) La corriente total. IT = I1 + I2 + I3 = 15 + 30 + 7.5 = 52.5 mAmp..

c) La resistencia equivalente del circuito.

También se puede calcular de acuerdo con la expresión obtenida para la resistencia equivalente en circuitos en paralelo.

d) El valor de la corriente que lee un amperímetro entre R1 y R2 es: IT – I1 = 52.5 mA – 15 mA = 37.5 mA ó I2 + I3 = 30 + 7.5 = 37.5 mA

e) La potencia disipada por cada resistor.

f)

La potencia que entrega la fuente, se puede calcular como

PT = P1 + P2 + P3 = 450 + 900 + 225 = 1575 Mw

2.2.3 OTRAS ECUACIONES PARA CALCULAR LA RESISTENCIA EQUIVALENTE. Básicamente existen otras dos formas útiles para calcular la resistencia equivalente en redes con resistencias en paralelo. A. Para el caso especial de tener únicamente dos resistencias en paralelo

B. Cuando se tienen n resistencias de mismo valor R en paralelo.

EJEMPLO Calcular la resistencia equivalente de dos resistencias en paralelo, una de 2kΩ y otra de 4kΩ.

Solución

EJEMPLO Dado el circuito mostrado en la figura, obtener la resistencia equivalente.

Solución Se puede usar la técnica de combinar resistencias en paralelo por parejas de final

hacia a la fuente, es decir: 1) Combinando R3 y R4

2) Combinando R2 y R3 – R4

3) Finalmente combinando las resistencias en paralelo.

2.2.4

ANÁLISIS DEL CIRCUITO SERIE PARALELO.

El análisis de circuitos serie - paralelo requiere simplemente de las reglas aplicadas a los circuitos serie y paralelo, descritos en el capitulo anterior. Por lo general, se reduce un circuito serie - paralelo a un circuito serie, reemplazando los elementos en paralelo por resistencias equivalentes. Una vez que se tiene un circuito equivalente serie, para un circuito serie-paralelo, las soluciones para las corrientes y voltaje se puede obtener fácilmente. El circuito serie - paralelo, es básicamente un circuito en serie, con algunos de sus elementos del circuito serie, consistiendo en paralelo. Existe una corriente total

suministrada por la fuente, que circula a través de los elementos en serie y dividiéndose en los circuitos paralelo.

DISTRIBUCION DE CORRIENTES EN UN CIRCUITO SERIE - PARALELO

El procedimiento que se usara en cada caso, depende del tipo de problema por resolver, pero existen ciertos criterios básicos que se pueden adoptar a partir de algunos ejemplos típicos como:

EJEMPLO: Obtener la caída de voltaje en cada resistencia del circuito en la figura.

SOLUCION:

Hallamos la resistencia equivalente:

El circuito equivalente es el siguiente

La resistencia total del circuito es: Req = 15 + 25.6 + 21.3 = 61.9Ω La corriente total es: IT = V/Req = 24/61.9 = 0.388 A Calculando las caídas de voltaje: V1 = R1 x IT = 15 x 0.388 = 5.85 V V2 = V3 = R2-3 x IT = 25.6 x 0.388 = 9.92 V V4 = V5 = V6 = R4-5-6 x IT = 21.3 x 0.388 = 8.26 V La suma de estas caídas de voltajes debe ser igual al voltaje aplicado V = V1 + V2 + V3 = 5.82 + 9.92 + 8.26 = 24V

Las corrientes se calculan como:

I1 = IT = 0.388A I2 = V2/R2 = 9.92/47 = 0.211A I3 = V2/R3 = 9.92/56 = 0.177A IT = I2 + I3 = 0.211 + 0.177 = 0.388A I4 = V4/R4 = 8.26/100 = 0.0826A I5 = V5/R5 = 8.26/150 = 0.0551A I6 = V6/R6 = 8.26/33 = 0.250A IT = I4 + I5 + I6 = 0.0826 + 0.0551 + 0.250 = 0.388A

EJEMPLO: Para el circuito mostrado en la figura, la corriente I7 = 0.2 A

Hallar las corrientes y tensiones en cada resistencia. SOLUCION:

Dada la corriente en R7 se calcula la caída de voltaje a través de esta resistencia.

V7 = V6 = V4 + V5 V7 = R7 x I7 = 0.2 x 33 = 6.6V Las corrientes para el resto de los elementos de esta rama en paralelo. I6 = V6 / R6 = 6.6 / 47 = 0.14A I4-5 = V4 + V5 / V4 + R5 = 6.6 / (4.7 + 15) = 0.335 Amp. La corriente total es: IT = I4-5 + I6 + I7 = 0.335 + 0.14 + 0.2 IT = 0.675 Amp. Las caídas de voltajes a través de R4 y R5 son. V4 = I4-5 x R4 = 0.335 x 4.7 = 1.5 V V5 = I4-5 x R5 = 0.335 x 15 = 5.03 V La resistencia equivalente de R2 Y R3 R2-3 = R2 x R3 / R2 + R3 = 27 x 22 / 27 + 32 = 12.12Ω La caída de voltaje a través de cada rama en paralelo. V2 = V3 I IT x R2-3 = 0.675 x 12.12 = 8.18 V La caída de voltaje a través de R1 es. V1 = IT x R1 = 0.675 x 18 = 12.15 V El voltaje total. VT = V1 + V2 + V7 = 12.15 + 8.18 + 6.6 VT = 26.93 V

2.3

CONEXIÓN ∆ -Y ( DELTA ESTRELLA )

Esta conexión DELTA – ESTRELLA es la de 3 elementos que no están ni en serie ni en paralelo, por lo que para aplicar el equivalente hay que transformarlos de uno a otro según convenga una demostración rigurosa la podremos hacer más adelante; por lo pronto observamos las formulas practicas y su aplicación.

Donde:

Podemos visualizar la equivalencia si medimos la resistencia entre 2 bornes con el tercero a circuito abierto. En la conexión :

En la estrella Y:

Agrupando por distributivita en la conexión :

La demostración exacta se hace formando 3 ecuaciones con 6 incógnitas y poniendo 3 en función de las otras; trabajo que no necesitamos realizar. Ejemplo:



A resistencias iguales le correspondes resistencias iguales entre 3.



Las resistencias de la conexión

son mayores que la conexión Y.

Ejemplo:

A 2 resistencias iguales le corresponden también 2 iguales y el desigual es la mitad, la corresponde la desigual al doble y así recíprocamente.



Utilizando de la transformación Ejemplo: Calcular

-I

en la red:

Aplicando fórmulas de transformación resulta:

Podemos tomar cualquier trió de resistencias y transformarlo, pero si fijamos la atención en el centro, tendremos:

EJERCICIO:

En el circuito mostrado hallar la Resistencia equivalente:

Respuesta: Req = 2 Ω. 

EJERCICIO: Determinar la resistencia equivalente entre a – b de la red mostrada.



Solución:

Y mediante reducciones serie – paralelo: = 0.89 

Respuesta.

EJERCICIO: En el circuito mostrado calcular la resistencia equivalente entre 2 terminales cualesquiera:

Solución: Para los terminales ab, comenzando por el centro la transformación de estrella a delta:

2.4

CONEXIÓN DE SERIES DE RESISTENCIAS. Se dan los casos de tener arreglos de muchos elementos en forma repetitiva, por lo que se estudia un método aproximado para determinar el equivalente. 

Ejemplo: Determinar el equivalente de la conexión:

-

Solución: Consideramos una serie repetitiva y aproximamos el equivalente restante ya que si N α , (N-1) prácticamente es lo mismo.

√

Y como R ≥ 0:

√

CAPITULO III 3.1

CONEXIÓN DE FUENTES IDEALES. -

Fuentes de energía. Son llamadas Fuentes de tensión y fuentes de corriente. 3.1.1

FUENTES IDEALES

a) Fuentes de tensión ideal. La fuente de tensión ideal es aquella que proporciona a un par de terminales una tensión fija (no siempre constante) que es independiente de la corriente en dicho par de terminales ( no interesa que se conecte en paralelo una corriente que se suministre ).

Representación de fuente de tensión ideal EQUIVALENCIAS:

FALTA POLARIDAD

b) Fuente de corriente ideal. Una fuente de corriente ideal es aquella que proporciona a un par de terminales una corriente fija pero no constante que es independiente a la tensión existente en dicho par de terminales (No interesa que se conecte en serie el voltaje que posea).

Representación de una fuente de corriente ideal EQUIVALENCIAS:

3.1.2

FUENTES REALES.

Son aquellos que pueden entregar energía a la red; pero en forma limitada, por tener elemento de oposición que representa las imperfecciones ó perdidas internas. La representación es mediante una fuente ideal y un elemento pasivo asociado. Representación de una Fuente real de tensión:

La corriente de salida no puede ser cualquiera, sino que está limitada por la resistencia ó pérdida internas, tal como lo veremos más adelante.

Representación de una Fuente real de Corriente:

La tensión entre los bornes está limitado por la resistencia ó perdidas internas, además que la corriente de salida no es constante aunque tienda a serlo, debido a este elemento conectado en paralelo. 3.2

CONEXIÓN DE ELEMENTOS IDEALES Modelos ideales.-

Son la representación de la parte física de un elemento, que posee característica determinada. En la realidad es muy difícil separar un comportamiento de otro, por eso, los sistemas exactos tienen esquemas complicados; pero, casi siempre predominan alguna características sobre otras y es posible la representación aproximada. Por ejemplo, en el caso de un inductor:

Inductor físico Donde: rL = Resistencia del alambre devanado L = Propiedad del elemento para producir flujo magnético (inductancia). La que predomina C = Capacidad entre espiras Conductor ideal.- ( ρ = 0) Sabemos que el mejor conductor de corriente es el oro, pero por razones de costo y abundancia, se utiliza al cobre como el conductor más indicado

En nuestro curso, tenemos que despreciar las pérdidas de conexiones y definiremos a un ideal como aquel elemento que tiene: L = Longitud cualquiera ρ= resistividad nula = 0 A = Área cualquiera 1 = corriente admisible cualquiera

Forma = no interés

LEYES DE KIRCHHOFF.

3.3

Existen muchos circuitos eléctricos que no tienen componentes ni en serie ni en paralelo, ni en serie-paralelo, en estos casos las reglas para la solución de circuitos serie, paralelo o serieparalelo, no pueden ser aplicadas y entonces deben aplicarse métodos más generales. Se puede afirmar que cualquier circuito se puede resolver por las leyes de kirchhoff, debido a que no dependen de conexiones serie o paralelo. En 1847 el físico alemán Gustavo R. Kirchhoff, estableció dos reglas básicas para voltajes y corrientes que son: 1. En cualquier punto (nodo) de un circuito, la suma algebraica de las corrientes que entran o salen sebe ser cero 2. La suma algebraica de las fuentes de voltaje y las caídas de voltaje (RI) en cualquier trayectoria cerrada debe ser cero.

3.3.1

LEY DE CORRIENTES.

Esta ley se refiere a la conservación de la energía cinética en las redes eléctricas, por lo tanto, la corriente establecida tiene que circular por los elementos, si que diluyan cargas ni tampoco que crean nuevas. ENUNCIADO:

“En un conductor de unión de dos ó más elementos, la suma de corrientes que ingresan a un nodo es igual a la suma de corrientes que salen del mismo”.

∑

∑

Ejemplo: Calcular la corriente en el conductor M-N y N-0 si conocemos las intensidades que indicas en el grafico.

Solución: Si nos fijamos en el nudo M obtendremos: ∑

∑

De donde: Ahora, considerando toda la barra de conexión: ∑

De donde: 3.3.2

∑

= 60 Amp.

LEY DE TENSIONES:

Se refiere a la conservación de la energía potencial (diferencia potencial ó voltaje) teniendo en cuenta que es conservativa e independiente de la trayectoria.

ENUNCIADO:

“En toda trayectoria cerrada, dentro de una red eléctrica la suma de tensiones de los elementos que lo constituyen deben ser igual a cero”.

∑

Lo que es lo mismo: ∑

0

∑

Donde: Subida de potencial representa un incremento de voltaje (de – a +) en el sentido de recorrido de la malla. Caída potencial es cuando el voltaje en el elemento va decreciendo, en el sentido en que se recorre la malla, o sea de + a –

∑

∑

Ejemplo: En la red mostrada, calcular el voltaje indican.

si las demás tensiones son las que se

SOLUCION. Asignando nodos al circuito, se tiene.

Luego:

° El signo negativo indica que la polaridad asumida sobre punto de mayor potencial 3.4

es la inversa en cuanto al

ELEMENTOS DE UNA RED ELÉCTRICA.

En toda red eléctrica podemos agruparlos en 2 grandes grupos. a) Activos. Son aquellos que de alguna manera pueden hacer entrega de energía a la red, dependiendo ésta de la disposición de la misma. Por conversión en nuestro curso, adoptaremos para estos elementos el signo negativo para la potencia que genera.

b) Pasivos. Con los que pueden disipar y almacenar energía ó en algunos casos devolverla (pero de ninguna manera en mayor cantidad de la almacenada). Por conversión en nuestro curso, para estos elementos adoptaremos el signo positivo para la potencia que absorben.

ELEMENTOS DE UNA RED ELECTRICA: Entrega energía a la red

Disipa la energía

Por convención pondremos el signo negativo a la potencia de los elementos activos y positivos a los pasivos.

3.5

TEOREMA DE TELLEGEN

Se refiere a la ley de conservación del balance de energías en una red cualquiera. ENUNCIADO: “ La suma de potencias generadas P ( - ) es igual a la suma de potencias absorbidas o disipadas P ( + ) ”

Ejemplo: Determinar cuáles son los elementos pasivos y activos de la red y calcular su correspondiente potencia.

Solución: Como las fuentes pueden ser pasivas ó activas mientras que las resistencias solo pasivas, comenzaremos por determinar la tensión por la ley de ohm:

( Pasivo ). La corriente circulante atraviesa la fuente de tensión como elemento pasivo, por tanto:

Para determinar la tensión en la fuente de corriente tenemos que utilizar la Segunda ley de kirchhoff:

Es de notar que hay un balance de energía en la red, ya que la suma de potencias es igual a la suma de potencias absorbidas ó disipadas.

El balance energético será:

ELEMENTO

EJERCICIO:

∑P(-)

∑P(+)

Resistencia

24 W

F. de tensión

40 W

F. de corriente

64 W

TOTAL:

64 W

64 W

Determinar el balance energético en el circuito mostrado:

SOLUCION: Volviendo a graficar:

El balance energético será: ELEMENTO

I1

∑P(-)

∑P(+)

6 x 1 = 06

I2

8 x 6 = 64

I3

4 x 2 = 08

V4

4 x 3 = 12

V5

12 x 6 = 72

V6

02 x 4 = 08

V7

07 x 2 = 14

VR TOTAL:

08 X 2 = 16 100 WATTS

100 WATTS

CONCLUSION: Se comprueba que la suma de potencias de elementos activos es igual a la suma de potencias de elementos pasivos.

4. EJEMPLO: En la red mostrada, calcular la potencia de los elementos activos y pasivos.

SOLUCION:

La fuente de tensión esta determinado el potencial en todos los elementos, por lo que: ⁄

⁄

Para determinar la corriente por la fuente de tensión aplicamos a 1° Ley en el nudo A:

∑

∑

Corroboremos nuevamente que la suma de potencias (-) ó sea generadas es igual a la (+) que es la disipada. ELEMENTO

∑P(-)

Resistencia F. de tensión

∑P(+) 98 W

28 W

EJERCICIO:

F. de corriente

70 W

TOTAL:

98 W

Calcular la potencia de las fuentes en la red:

Solución: Transformando una Y a

tendremos:

Ra = Rb = Rc = ( 1 x 1 + 1 x 1 + 1 x 1 ) / 1 = 3

Reduciendo las tensiones conectadas en paralelo:

La fuente de corriente:

98 W

En el caso de la fuente de tensión: la corriente bien la corriente entra por el lado (+). Entonces:

resulta negativo quiere decir que más

La potencia en las resistencias:

3.6 DIVISION DE TENSION Y DE CORRIENTE a) Divisor de tensión. Es un arreglo de resistencias en serie que permite utilizar una parte de la tensión generada. Así tenemos:

Comprobación: como hay 2 elementos serie.

Req = R1 + R2 Entonces: Y por la ley de ohm, podemos calcular: e2 = I . R2

En la formula se índica la fracción E que es proporcional a la resistencia donde se toma la tensión de salida. Ejemplo:

b) El potenciómetro. Es una resistencia con tres terminales, 2 fijos y uno variable (CURSOR) con el cual podemos controlar la tensión de salida.

Muchas veces estos elementos vienen graduados para obtener una salida prevista.

Se utiliza con mucha frecuencia como control de volumen, tono ó en cualquier sistema electrónico de control. c) DIVISION DE CORRIENTE. Es un arreglo de resistencia que nos permite una fracción de la corriente generada o circulante.

Como:

Entonces:

La corriente por R2 se calcula:



Como se observa, en este caso, la fracción que afecta a la corriente total I es proporcional a la resistencia de la rama opuesta a la que queremos calcular.

Ejemplo: En el circuito mostrado calcular la corriente i, por divisor de corriente.

Solución: Buscando la forma de divisor:

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Calcular las potencias en las resistencias de R1 y R2, si: i 2 = 2 i1. Hallar también el balance energético del sistema.

2.

En la red a continuación, calcular la potencia de la resistencia R y la suma de potencias que están generando las fuentes de energía. Respuesta: PR = 48 Watts. ΣP(-) = 284 Watts.

3.

Si se ensaya dos maneras la red lineal, tal como se indica, determinar la potencia segundo caso:

en el

4.

En la red mostrada calcular la sumatoria de potencias positivas (absorbidas)

5.

Determinar la potencia en cada una de las resistencias en:

6.

Si la potencia de la fuente de corriente es de 42 vatios generados, calcular para cada fuente restante la potencia de funcionamiento.

7.

En el circuito mostrado, dar:

PE1 = ……………………………. PE2 = ……………………………. PE3 = ……………………………. PI1 = ……………………………. PI2 = ……………………………. PR = …………………………….

8.

Hacer un listado de las potencias de cada elemento en las dos redes siguientes:

9.

Si la corriente por el condensador es como se indica en la figura, de forma sinusoidal, determinar la tensión.

10.

Si la tensión en la bobina es como lo indica la figura, determinar la corriente circulante.

• En los dos problemas anteriores, se demostrara que al cesar la excitación, pereciste la respuesta, corroborando que son elementos almacenadores de energía. 11.

En el problema siguiente determinar:

ex = ……………………… PI1 = ……………………… Ix = ……………………… PI2 = ………………………

PE1 = ……………………… PE2 = ………………………

12.

Calcular las tres corrientes:

13.

Determinar la corriente “I” indicada y la tensión “V” en la fuente de corriente de la figura:

14.

Determinar

y confirmar que:

15.

Calcular el equivalente entre 2 bornes contiguos y entre 2 bornes opuestos:

16.

En la red mostrada, hallar el voltaje V de fuente:

17.

Una computadora tiene unidades de memoria, que están representadas por resistencias de 10 y 30 ohm; como lo muestra la figura. Determinar la potencia que consume si se alimenta con 15 voltios.

18.

Si 12 resistencias de 12 ohmios en paralelo, se encuentra a 12 fuentes de tensión en serie, de 12 voltios cada uno; calcular la potencia que disipa una resistencia y la que genere una fuente.

19.

Determinar la potencia de las fuentes en la red:

20.

Determinar el voltaje V indicando en el circuito:

21.

Hallar

en el circuito de la figura:

CAPÍTULO IV 4.1

TRANFORMACIONES DE FUENTES

4.1.1

Reducciones de fuentes ideales.-



Caso de 2 fuentes de tensión en serie



Ejemplo:



Caso de 2 fuentes de tensión en paralelo:

Y si No es posible la conexión.    



Caso de 2 fuentes de corriente en paralelo.

Ejemplo:



Caso de 2 fuentes de corriente serie

y Si I1≠I2 La conexión no existe. 

Mezcla de fuentes de tensión y de corriente:

Los elementos conectados en paralelo a una fuente de tensión ideal son RAMAS INDEPENDIENTES PARA EL CALCULO EQUIVALENTE (RINCE).

Los elementos conectados en serie a una fuente de corriente ideal son RAMAS INDEPENDIENTES PARA EL CALCULO EQUIVALENTE (RINCE). NOTA: Hay que hacer notar que la transformación es equivalente en cuanto a tensión y corriente se refiere, mas no en la potencia de cada elemento interno.



Ejemplo: Calcular el equivalente entre los puntos a – b en:

Solución: La resistencia de ocho es un elemento considerado como RINCE ya que el voltaje ideal de 10 está conectada en paralelo.

La resistencia de 2 también es rama independiente para el cálculo del equivalente. Ejemplo: Hallar el equivalente entre X – Y.

Las ramas RINCE no solamente pueden ser de un elemento, sino un conjunto de ellos, así los podemos asociar como muestra:



Ejemplo: Si una red lineal es ensayada como se muestra en la figura, calcular la respuesta en el segundo caso.



Solución: Calcularemos el equivalente de excitación en el Primer caso.

Por lo tanto, aplicando linealidad: Si a una red se le aplica una excitación e (t), este tendrá una respuesta r ( t ). Si a la misma red le multiplicamos por un factor “ n “ la excitación la respuesta se debe multiplicar por el mismo factor ” n “.

La respuesta para el segundo caso será de 30 voltios. 4.1.2

Fuentes equivalente reales.

Las fuentes reales son equivalentes si ante igual excitación tienen igual respuesta. 

Ejemplo:



Ejemplo:

La polaridad positiva (+) coincide con la dirección de la fecha de la corriente. 

Ejemplo: Dar el siguiente circuito como fuente real de:

Solución: Transformando la fuente de tensión:

Reduciendo elementos en paralelo y transformando sucesivamente.

Ejemplo: En el circuito mostrado calcular: i1 y la tensión e2

Solución:

Reducimos para calcular la corriente total y luego aplicamos el divisor de tensión y de corriente.

Entonces:

Esta operación se aplica cuando tengamos un dipolo activo equivalente y queremos calcular una tensión o corriente en la rama incógnita. 4.1.3

PROPIEDAD IMPORTANTE:

Para la solución de redes es necesario hacer transformaciones de fuentes reales, sean de tensión y/o corriente. En tal sentido aplicaremos la siguiente propiedad a fin de facilitar las reducciones de redes y simplificar su contenido.

EJEMPLO:

En el circuito mostrado determinar la corriente I y la diferencia de potencial entre los nodos A y B.

SOLUCION: Aplicamos la propiedad indicada:

EJERCICIO:

EN EL CIRCUITO MOSTRADO CALCULAR LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE LOS PUNTOS a y b.

SOLUCION:

HACIENDO RINCE LA FUENTE DE 40 V QUE ESTA EN SERIE CON LA RESISTENCIA DE 01 OHMIO, TENEMOS:

CAPITULO 5 METODOS DE SOLUCION DE REDES LINEALES Es el proceso por el cual se determinan todos los voltajes y corrientes en cada elemento o cada rama. Para ello se emplean métodos y técnicas que facilitan la solución de redes. 5.1

ALGEBRA TOPOLOGICA

Es una serie de conceptos y procedimientos que nos permite conocer el mínimo numero de incógnitas independientes, necesarias para resolver un sistema eléctrico. 5.1.1

Red pasiva.

Es aquella que no genera energía eléctrica, es decir que la red no tiene fuentes y si las tiene, están reducidas a cero. Reducción de fuentes a cero: a) Fuente de tensión. Si una tensión se reduce a cero, tiene la equivalencia de un cable ideal (corto circuito). b) Fuente de corriente. Si una intensidad se reduce a cero, se hace la equivalencia con una resistencia ó un circuito abierto. Ejemplo:

5.1.2

Nodo ó nudo Topológico ( n ).

Es la unión de dos ó más elementos de la red pasiva. En el ejemplo:

5.1.3

Rama ó brazo topológico ( b).

Es todo elemento que está entre dos nodos topológicos. En el ejemplo:

5.1.4

Gráfico ó diagrama topológico.

Es la representación de la red pasiva, en donde los nodos son puntos de unión y las ramas o brazos son segmentos curvos. En el ejemplo:

NOTA: Estas definiciones nos eliminan incógnitas de la red que no necesitan de cálculos algebraicos para su solución, sino, solamente de operaciones aritméticas. Ejemplo:

Como vemos las resistencias que no aparecen en el diagrama no están entre dos nodos, como indica la definición; por lo que las resistencias puestas en paralelo con las fuentes de tensión y la que están en serie a fuentes de corriente son ramas RINCE (ramas independientes para el cálculo del equivalente). 5.1.5

Árbol topológico.

Es parte del grafico topológico en el que se unen todos los nodos con las ramas del grafico pero sin formar trayectorias cerradas ó lazos. Para el primer ejemplo tenemos los arboles topológicos:

Para el segundo ejemplo tenemos los arboles topológicos:



5.1.6

Podemos inducir que el número de nodos es siempre igual al número de ramas del árbol más 1; ya que el primer nodo permite el trazo de alguna rama.

Mallas topológicas

(l )

Son las trayectorias cerradas que aparecen a partir del árbol topológico. Al aumentar cada una de las ramas que faltan para completar el grafico de la red. En el primer ejemplo, l = numero de mallas = 2. En el segundo ejemplo, l = numero de mallas = 3.

Mallas son las trayectorias cerradas conocidas como independientes ya que contienen por lo menos una rama por la que no considera otro lazo. Por tanto, el número de mallas es igual al número de ramas que le faltan al árbol topológico para completar el grafico.

5.1.7 Ecuación Básica topológica. Para cualquier red se debe cumplir:

b=n+l -1 Siendo: b = Numero de brazos. n = Numero de nodos.

l

= Numero de mallas.

Para los casos anteriores.

Y

5.2

METODO DEL ANÁLISIS DE CORRIENTES DE MALLA.

Para la solución de redes por el método de análisis de malla se debe aplicar la siguiente regla:

a)

Se plantea el grafo topológico de la red y se determina el número de mallas independientes.

b)

Se asignan arbitrariamente las corrientes de malla. Estas corrientes son las que identifican a la malla independiente. La dirección asignada es arbitraria y no es tan importante.

c)

Asignar la polaridad a las caídas de voltaje alrededor del circuito.

d)

Se aplica la ley de tensiones de kirchhoff a cada una de las mallas.

e)

Se resuelve en conjunto las ecuaciones para determinar las corrientes de malla.

f)

Se calcula las corrientes en cada elemento de la red aplicando la ley de corrientes kirchhoff.

Ejemplo: En el circuito mostrado determine la potencia de la resistencia R y la corriente i en la rama central del puente mediante el método de mallas.

=…………………………….

i =……………………………... SOLUCION: Hallamos el grafo topológico.

Se observa fácilmente que es una red con tres mallas y podemos plantear las ecuaciones:

Malla 1 + 3.i1 + 2. (i1 – i2) + 5 + 1. (i1 – i3) = 0 3i1 + 2i1 – 2 i2 + 5 + i1 – i3 = 0 Ordenando: 6i1 – 2 i2 – i3 = - 5

Ec.

Malla 2 +2. (i2 – i1) + i2 + 10 + 2. (i2 – i3) = 0 2.i2 – 2.i1 + i2 + 10 + 2.i2 – 2.i3 = 0

(I)

Ordenando. -2i1 + 5i2 – 2i3 = -10

Ec.

( II )

Malla 3 +2.(i3 – i2) + 2.i3 + 1.(i3 – i1) -5 = 0 2i3 – 2i2 + 2i3 + i3 – i1 – 5 = 0 Ordenando: -i1 – 2i2 + 5i3 = 5

Ec.

(III)

Formando la matriz de determinantes, tres corrientes, tres incógnitas:

=[R].[i] (

)= (

) ( )

Hallando la determinante ∆ se tiene: ∆ = 6. [ 5.5 – (-2).(-2) ] – (-2). [ (-2).5 – (-1).(-2) ] + (-1). [ (-2).(-2) – (-1).(5) ] ∆ = 6. (25 -4) + 2.(-10 -2) – 1.(4 +5) ∆ =6.(21) + 2.(-12) – 9 = 93

| |=|

|= 93

Resolviendo por determinantes

=|

|

=|

|

| |

| |

= -180/93

= -280/93

=|

|

| |

= - 55/93

Luego: PR =(i1)2 R=(180/93)2 (3)=11.238 Watts y también:

i = i3 - i2 = (-55+280)/93=75/93 Amperios.

Ejemplo: Determinar las corrientes en el circuito mostrado:

SOLUCION: Hallando la red pasiva y dibujando el grafo topológico:

Tres mallas tres corrientes Formando las ecuaciones de malla tenemos:

Malla 1 - 2 + i1 + 2.( i1 + i2 ) +3.( i1 – i3 ) = 0

Ordenando: 6i1 + 2 i2 – 3i3 = 2

Ec.

(I)

Malla 2 -1 + 2. i2 + 2.( i2 + i1) + 1.( i2 + i3) = 0 Ordenando. 2i1 + 5i2 + i3 = 1

Ec.

( II )

Ec.

(III)

Malla 3 +3.(i3 – i1) + 1 (i3 + i2) + i3 = 0 Ordenando: -3i1 + i2 + 5i3 = 0

Formando la matriz de determinantes, tres corrientes, tres incógnitas:

=[R].[i] ( )= (

) ( )

Hallando la determinante ∆ se tiene: ∆ = 6. [ 5.5 – (1).(1) ] – (2). [ (2).5 – (-3).(1) ] + (-3). [ (2).(1) – (-3).(5) ] ∆ = 6.(24) - 2.(13) - 3.(17) ∆ = 67 Hallando las corrientes:

i1 = 61/67 A. i2 = - 47/67 A. (Se bebe cambiar el sentido de la corriente). i3 = 46/67 A.

5.3 METODO DE LOS VOLTAJES DE NODOS. Se utiliza cuando hay fuentes de corriente que hace no adecuado el método de mallas ó cuando en el grafico topológico se encuentra que n – 1 < l = # de mallas. PASOS A SEGUIR: 1- Se plante el grafo topologico de la red y se determina el numero de nodos.

2- Se seleccionar un nodo que se debe usar como nodo de referencia, puede ser el nodo con el mayor número de elementos conectados y frecuentemente se selecciona como nodo de referencia a tierra. 3- Se asignan voltajes de los nodos restantes ( n – 1 ) identificándolos en la red con respecto al nodo de referencia. 4- Escribir las ecuaciones para las caídas de voltajes. Estas se escriben como la suma o la diferencia de voltajes. 5- Por medio de la ley de Ohm, escribir las corrientes de rama, usando las caídas de voltaje del paso 3. 6- Realizar la solución algebraica de las corrientes planteadas en el paso anterior.

Ejemplo: Resolver la siguiente red usando el método de análisis de nodos.

Solución: Se identifican los nodos incluyendo al de referencia.

Las corrientes y tensiones serán:

idc = ( Vd – Vc ) / ( 1 /2 ) = 2. ( Vd – Vc ) ifd = ( Vf – Vd ) / (1/4) = 4.( Vf – Vd ) Tambien: Vft = Vf – Vt,

pero: Vt = 0

Vft = Vf

Vdf = Vd – Vf

porque:

Vd > Vf

Vfd = Vf – Vd

porque:

Vf > Vd

Las ecuaciones nodales teniendo en cuenta por convención: Corrientes que salen (+) y corrientes que entran (-). NODO C: Ordenando:

+ 20 + Vc – 2.( Vd – Vc ) = 0 3Vc – 2Vd + 0Vf = -20

Ec. (I)

NODO D: Ordenando: NODO F: Ordenando:

-9 – 4.(Vf – Vd) + 3 Vd + 2.(Vd – Vc) = 0 -2Vc + 9Vd – 4Vf = 9

Ec. (II)

-20 + 4.(Vf – Vd) + 4Vf = 0 OVc – 4Vd +8Vf = 20

Ec. (III)

Luego, tres ecuaciones, tres variables, resolvemos por determinantes.

= [ V ] . [ 1/R ] [

]

[

][

]

Resolviendo:

La matriz determinante Δ = 136 Δ = 3[ Δ = 3.(72-16) +2.(-16) = 136 Entonces: Vc = -6 Voltios. Vd = 1 Voltio. Vf = 3 Voltios.

5.4

APLICACIÓN DE TEOREMAS

Mediante la aplicación de Teoremas estudiaremos la solución de redes lineales utilizando métodos rápidos para una o varias incógnitas, reduciendo parte de la red; o haciendo funcionar parcialmente las fuentes. También se estudia la aplicación de sustituciones equivalentes y la reducción de redes simétricas. 5.4.1

APLICACIONES DE LINEALIDAD.

a) Homogeneidad.

Mediante este principio, las excitaciones y respuestas en una red lineal, guardan una cierta proporcionalidad, entonces suponiendo una respuesta simple se induce una excitación simple en donde se calcula la proporcionalidad.

Dada una excitación y el factor “n” se determina la respuesta fácilmente. Ejemplo. Aplicando linealidad, en la red mostrada determinar Vo:

SOLUCION:

b) Superposición. Esta propiedad es axiomático en las redes lineales y lo hemos anunciado al comienzo del desarrollo del curso; sin embargo algunos autores lo toman como teorema y lo demuestran a partir de las ecuaciones de mallas y nodos. En forma práctica, nosotros desarrollaremos su aplicación según el principio:

Es decir, si hacemos actuar una fuente a la vez, podemos determinar la repuesta parcial a cada excitación. Finalmente sumamos las respuestas y obtendremos lo mismo que encontraríamos si actúan simultáneamente. Ejemplo: Usando el teorema de superposición, obtener la corriente I2 para el siguiente circuito.

Solución:

Para la aplicación de este método debemos hallar: I2 = I2’ + I2’’ + I2’’’

Siendo:

I2’ La corriente hallada cuando hacemos funcionar a la fuente de tensión E1 y cortocircuitamos E2 y E3. I2’’ La corriente hallada cuando hacemos funcionar a la fuente de tensión E2 y cortocircuitamos E1 y E3. I2’’’ La corriente hallada cuando hacemos funcionar a la fuente de tensión E3 y cortocircuitamos E1 y E3.

Calculo de I2’, tenemos el siguiente circuito: Funciona E1 y se cortocircuita E2 y E3.

Calculo de I2’’, tenemos el siguiente circuito: Funciona E2 y se cortocircuita E1 y E3.

Calculo de I2’’’, tenemos el siguiente circuito: Funciona E2 y se cortocircuita E1 y E3.

Finalmente hallamos:

I2 = I2’ + I2’’ + I2’’’

O sea.

I2 = 0.923 – 0.462 + 0.307 I2 = 0.768 Amperios.

RESPUESTA.

5.5

TEOREMA DE THEVENIN

Dada una red por más simple o compleja que sea se puede hallar el equivalente thevenin, siendo esto conformado por una fuente de tensión Eth (llamada tensión thevenin) en serie con una resistencia Rth (llamada resistencia thevenin). O sea:

PASOS A SEGUIR PARA HALLAR EL EQUIVALENTE THEVENIN: a) Abrir los terminales AB (Puntos donde se quiere hallar la incógnita, generalmente es una carga RL ). b) Hacer pasiva la red visto de los terminales AB y hallar la Resistencia equivalente. Esta resistencia será Rth (Llamada resistencia thevenin). c) Hallar la tensión visto de los terminales abiertos AB manteniendo todas sus fuentes. Esta tensión será la tensión Eth (Llamada tensión thevenin). En caso de haber dos o más fuentes resolver por el teorema de superposición. d) Una vez hallada Rth y Eth conectar en serie estos valores con la carga RL. Hallar los valores o incógnitas solicitados en el ejercicio. Ejemplo: En el circuito mostrado calcular la corriente I mediante el teorema de thevenin.

SOLUCION:

Paso (a). Se abre el circuito visto de los puntos AB.

Paso (b). Hallamos Rth haciendo pasiva la red.

Paso ( c ). Hallamos Eth empleando el mejor método.

Transformando la fuente de corriente de 8 A conectada en paralelo con la resistencia de 8/3 Ω a una fuente de tensión en serie con la resistencia, tenemos:

Paso (d). Conectamos Rth y Eth en serie con RL y hallamos la incógnita o sea la corriente I:

5.7

TEOREMA DE NORTON.

Dada una red por más simple o compleja que sea se puede hallar el equivalente Norton relacionando como equivalente una Resistencia equivalente RN (Llamada resistencia Norton) en paralelo con una fuente de corriente IN (Llamada corriente Norton). Así tenemos, sea la red:

PASOS A SEGUIR PARA HALLAR EL EQUIVALENTE NORTON. Los pasos a seguir para la solución de redes por este método son los siguientes:

Paso (a). Abrir el circuito visto de los terminales deseados. En estas condiciones hacer pasiva la red y hallarla resistencia equivalente RN que será la resistencia Norton. Paso (b). Cortocircuitar los terminales deseados. Hallar la corriente que pasa por el cortocircuito considerando todas sus fuentes. La corriente hallada IN será la corriente Norton. Paso ( c ). Armar el equivalente Norton y enlazar el terminal abierto (Incógnita). Hallar las incógnitas deseados. Ejemplo: En el circuito mostrado calcular la tensión “ e “ indicada empleando el teorema de Norton.

SOLUCION: Paso (a). Abrimos el circuito visto de los terminales AB. Hacemos pasiva la red y en estas condiciones hallamos la Resistencia RN (Resistencia Norton).

Paso (b). Cortocircuitamos los terminales AB. Hallamos la corriente que pasa por el cortocircuito. Considerando todas sus fuentes se halla la corriente IN que será la Corriente Norton.

Paso ( c ). Conectamos en paralelo IN y RN ( resultados) y enlazamos el terminal abierto (incógnita). En estas condiciones hallamos la tensión “ e”.

AHÍ NOMAS..

SERIE DE PROBLEMAS DESARROLLADOS PROBLEMA N° 1.- Hallar “e” y las condiciones que debe cumplir para poder reemplazarla por una resistencia sin alterar el circuito.

Solución: Aplicando la oportunidad de fuentes, ideales se hace las reducciones.

En la malla reducida, se calcula que “e” = 3V Como elemento activo por lo tanto no puede ser reemplazado por una resistencia. NOTA: Si la fuente de corriente cambiase de sentido; “e “valdría IV y se puede cambiar por una resistencia R = IV/2 = 0.5 ohm. PROBLEMA N° 2.- En el circuito, hallar la potencia que disipa “R”

A la derecha hemos dibujado la red, con dos partes punteadas, que por estar en serie a las fuentes de corrientes ideales son intrascendentes para el cálculo sobre “R”, ya que si entran 14A. Tendrán que salir los mismos 14 amp hacia el nudo “a”. Aplicando la 1ra ley al nudo “a” obtenemos que por “R” hay 20 amp. Por lo tanto PLOBLEMA N° 3.- Reducir el circuito mostrado a una sola fuente real.

SOLUCIÓN: Redibujando la red, transformando la fuente y las resistencias

- I:

PROBLEMA N° 4.- Si la tensión Vc (t) es como se índice en el grafico, dibujar la forma de la corriente ic (t).

SOLUCIÓN: Analizando el grafico por partes: a) 0 < t < 2

Vc (t) = 2t2

b) c) 2 < t < 6

Vc (t) = 8 = cte.

d) e)

Uniendo las tres partes de la grafica podemos trazar ic(t).

También podemos hacerlo directamente, ya que la tensión en el condensador esta en el grafico y la corriente en todo momento es la derivada ó pendiente de la curva (c = 1/2) PROBLEM N° 5.- En el circuito que es nuestra, se sabe qué R disipa 12 Watts, hallar la tensión que soporta.

SOLUCIÓN: Transformando la fuente de tensión y luego, mediante un divisor de corriente hallar iR

Del dato: PR = 12 watts. [

]

De donde:

Luego: Si R=1/3 entonces, VR = 2 voltios Y si = R = 4/3 “VR = 4” PROBLEMA N° 6.- En la conexión de la red pasiva mostrada, conocemos que R consume 20 vatios en el primer caso. Cuanto consume en el 2°?

SOLUCIÓN: Es evidente que el problema implica la linealidad de red. Solamente se cumple la linealidad con V y con I, entonces tenemos que determinar la corriente en la corriente en ambos casos y juego hallar p. En el primer caso, la potencia consumida por R es dato, calculemos. √ Ahora observando la red, si en primer caso, entran 5 amp. Por el borne (a) y salen 2 hacia R; entonces; para el segundo caso en que más bien la corriente es de - 10 amp. Pues salen de (a), determinara una corriente por R proporcional a la primera en cuanto lo es la excitación de corriente por (a):

Luego El signo negativo indica que la corriente es de sentido contrario. La potencia en el segundo caso es: PROBLEMA N° 7.- Calcular el valor de la resistencia R que debe regularse para que la resistencia de 5 ohmios disipe solamente 20 vatios.

SOLUCIÓN: Redibujando la red, podemos calcular la tensión a que a que trabaja la resistencia R.

Si

√

,

V = 10 voltios para todo

.

La corriente por todo

Por tanto en R deben traer caer 50 – 10 Y pasean 2.5 amp. Luego PROBLEMA N° 8.-La fuente de izquierda debe ceder una potencia de 1.5 kW. Entonces, cuánto vale R7.

SOLUCIÓN: Tomamos la referencia a tierra el cable inferior y calcular la extensión a que trabaja la fuente de la izquierda: P = 1500 = V.I = V (10) entonces: V = 150 volts. Ahora transformando las fuentes, podremos reducir a una sola malla:

Por un lado tenemos, por la 2° ley de Kirchhoff: 150 = 200 – I(20)

Lugo: i = 5/2 amp.

Por el otro derecho, con el dato anterior: 150 = 40 + 1 (R + 10) = 40 + 2.5 (R + 10) De donde: R

(110 – 25) / 2.5 = 34ohms.

PROBLEMA N° 9.- Calcular los potenciales de los nodos indicados. Va, Vb, y Vc. En la siguiente red:

SOLUCIÓN: Lo esencial es no transformar los nodos incógnitas, pero podemos tratar de formar una sola malla:

Calculemos la corriente de malla: 16 + 4 – 10 = i (1 + 2 + 3)

donde: 1 = 5/3 amp.

La tensión del nodo Va referente a tierra es: Va – 10 + i (1) = 10+5/3 = 35/3 volts. El nodo Vb es de referencia, por eso Vb = 0 v. Para el nodo se calcula por suma de tensiones del lado derecho: Vc = 16 – i (3) =16 – (5/3). 3 = 11 voltios. PROBLEMA N° 10.- En el circuito, calcular el voltaje en “R”.

SOLUCIÓN: Utilizando la transformación de las fuentes ideales de tensión, tendremos:

Como son circuitos, unidos por un silo alambre, son independientes y reduciendo la parte central, como fuentes reales podemos calcular un circuito paralelo en el cual se determina el voltaje en R.

Por divisor de corriente: (

)

PROBLEMA N° 11.-en la figura y representa un foco puramente resistivo que funciona a 12 voltios determinar el valor de R para que este no se queme.

SOLUCIÓN: Dato del foco: V=12; I=2; luego Rf=12/2=6Ω. Aplicando luego transformaciones de fuentes, para poder aplicar el divisor de corriente:

(

)[

]

Entonces:

R = 100 Ohms.

PROBLEMA N° 12.- en el circuito postrado A es un amperímetro con resistencia interna de 0.05 ohms

E indica el paso de 2 amperes. Cuanto indicara un amperímetro ideal, y cuál es el error porcentual de la primera medida? SOLUCIÓN: Haciendo una transformación y –

y reduciendo, tenemos:

Donde: E = 0.1 + I (3/2) =3.15 V. Y cuando s sea ideal (Ac) tendrá resistencia cero, esto es…… Luego: i = E 2.1 amp.

Error absoluto: 2.1 – 2 = 0.1 amp. Error relativo: 0.1/2.1 = 0.0476 = 4.76%

PROBLEMA N° 13.-El circuito mostrado es una lámpara de gas neón con vapor de mercurio, lo que la hace no lineal con la siguiente ley de V – A: V = 220 – IR =5/I + 500I + 20 Si el circuito opera con 220V. y en serie con una resistencia de 1000 ohms. Hallar la mayor corriente en funcionamiento y la potencia que disipa. La lámpara.

SOLUCIÓN: En la malla, definimos a su ley V – A V = 220 – IR = 5/I + 500I+ 20 300I2 – 40I + I = 0 de donde: I = 1/10 y I = 1/30 La mayor corriente es I= 1/10 y la potencia lo calculamos conociendo la tensión. V.I *

( )

+

P=

Watts.

PROBLEMA N° 14.- Calcularemos la tensión en los putos m – n:

SOLUCIÓN: Observemos que la fuente de tensión de 2 v. hace intrascendente todas las ramas en paralelo, y se puede reducir la parte derecha y transformar la parte izquierda.

En la malla formada, 1 = (5 - 2/)/ (2 + 1) = 1 amp.

PROBLEMA N° 15.-Calcular la tensión “e” indicada.

SOLUCIÓN: Se transforma primero las fuentes de corriente para poder utilizar la referencia al centro. Tendremos cuidado en no involucrar la rama incógnita.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1- En la conexión de fuentes ideales, se pide calcular el valor de las potencias:

2- En la red mostrada, calcular la corriente por el conductor ideal, mostrado.

3- Si la fuente E absorbe ¼ de la potencia que genera I, calcular el valor de R.

4- Calcular la suma de las potencias que disipan las resistencias y el valor de V.

5- Determinar el voltaje “V” que se indica en la figura.

6- En el circuito mostrado, hallar “i” y la potencia de fuente que está entre a – b.

7- Calcular

en :

8- Determinar 9- En el circuito siguiente se pide calcular la tensión “e”. 10- Determinar la potencias de las fuentes que se indican: Si ha descubierto que la fuente I2 está generando 42 W. Pe1= Pi1= Pi4= Pe2= 11- La fuente de corriente esta subministrado a la red 80 W. Determinar entonces el valor de R. 12- El siguiente circuito se quiere simplificar en una sola fuente real desde los bornes a y b. Dibujar las posibilidades de la fuente equivalente.

Retornando al circuito original y reemplazando la corrientes de De ma mallas Una vez que tenemos todas las corrientes por todas las ramas; las tensiones son fáciles de hallar aplicando la ley de ohm. OBSERVASIONES A1 plantear las ecuaciones matriciales: [ ]

[

][ ]

La matriz [V]: es una columna que consta de: ∑ Presentes en la malla i (si tiene polaridad como caída de tensión respecto a la corriente de malla; son (-)) La matriz [i]: es una columna que conecta de: = corriente asignada a la malla j (Incógnitas auxiliares). La matriz [R] es un arreglo de l x l donde l = # de mallas y consta de:

Donde:

Con i = j Con i

j

∑

Conectadas en la malla 1

∑

Conectadas entre las mallas i y j.

Se nota; también que hay simetría con respecto a la diagonal principal, esto es: Esto nos permite escribir las ecuaciones simplemente con ver las mallas de la red, sin necesidad de escribir y ordenar ecuaciones; si y solo si las corrientes tienen el sentido horario. 

Ejemplo: Determinar la tensión E0 en la siguiente red: Solución: Haciendo la red Asignando las 3 corrientes de mallas (horarias) a la red; podemos escribir las matrices en forma directa: [

]

[

][ ]

Desarrollando:

Y según la figura:

(

)

(

)

Variaciones del método: a) Transformaciones: Cuando aparece una fuente de corriente que imposibilita asignar una variable auxiliar que sea incógnita; se hace la trasformación de la fuente, cuidando de no calcular al final variables en esta parte equivalente; si no en la red original. 

Ejemplo: solucionar la red: Solución:

N = 2 asignando las corrientes de mallas: B =4 I=3 Escribiendo directamente las ecuaciones de mallas: [

]

[

][ ]

Resolviendo obtendremos:

Ahora tendremos cuidado de regresar a la red original para calcular cada incógnita y no en el circuito transformado.

De donde es posible cualquier tensión por ley de ohm. b) Ecuaciones de restricción: Cuando aparecen fuentes de corriente de tal forma; que transformarlas implica el de ramas se la mayor parte de la red; por lo cual, se prefiere no transformar la red yemas bien, dejar de plantear la matriz derelictamente; escribiendo sin embargo las ecuaciones de mallas. El método consiste en plantear las corrientes de mallas aunque no sean topológicas y por su puesto relacionarlas con una ecuación de restricción. Ejemplo: Calcular las corrientes en cada elemento en: Solución: Diagrama Topológico: n=3 b=4 l=2

Tenemos 2 mallas a las cuales les asignamos 2 corrientes topológicas y en las otras trayectorias cerradas (fuentes de corriente) asignamos una intensidad circulante igual a la fuente. Para la malla 1:

Para la malla 2:

Las corrientes no topológicas son:

Remplazando obtenemos:

Entonces la red queda: 

Ejemplo: Plantee las Ecuaciones de mallas y resuélvalas, indicando el grafico Topológico: Solución: Diagrama Topológico: N=A B=5 I=2 2 ecuaciones de mallas Topológicas y una ecuación (Por la fuente de corriente).



Malla 1 Tiene corrientes

Malla 1:

Malla 2:

.

Ecuación de restricción:

(Sobre la fuente de corriente) Acomodando la ecuaciones.

* +

*

|

|

|

| |

+[

]

|

De

Entonces: retornando a la red original:

V1 = E1 – VA

V2 = E2 – VA V3 = VA I1 = V1 / R1 = E1 – VA / R1 20 – VA / 10

I2 = V2 / R2 = E2 – VA / R2 30 – VA / 5 I3 = VA / R3 = VA / 20 De la ley de kirchhoff de corrientes. I3 = I1 + I2 VA / 20 = 20 – VA / 10 + 30 – VA / 5 Multiplicando a ambos miembros de la ecuación por 20: VA = 40 – 2 VA + 120 – 4 VA 7 VA = 160 VA = 22.86 V Conocido el valor de va se puede calcular las corrientes. I1 = 20 – 22.86 / 10 = 0.286 A I2 = 30 – 22.86 / 5 = 1.428 A I3 = 22.86 / 20 = 1.143 A

Ejemplo: Resolver la red siguiente: Solución: Diagrama topológico 1 nodo referencia n – 1 = 3 ecuaciones de nodos Identificación en red: Aplicando la 1ra ley en cada nodo: Para

:

Para

:

+ +

Para

:

+

Ordenando las ecuaciones: ( (

)

) (

( )

) (

)

( )

[

]

[ ] [

]

[I] = [ ] [E] Observemos que las matrices tienen un ordenamiento definido en el cual se puede confirmar la ley de ohm en forma matricial; y demás hay ciertas particularidades que nos permiten escribir las matrices directamente. Primero resolvemos: | |

| |

Retornando a la red. Las corrientes en cada elemento se pueden hallar por aritmética y la aplicación de la ley ohm. Observaciones: La matriz [I]: Es una matriz columna de n – 1 elementos, constituida por ∑ (Si salen tienen valor negativo)

La matriz [e]: Es otra matriz columna de n – 1 términos que son los voltajes de nodos asignados (incógnitas) como variables auxiliares. La matriz [ ]= [G]: Es una matriz cuadrada de (n-1) x(n-) términos donde: [ ]

[

]

∑ ( ) Conectadas al nodo (+) ∑ ( ) Conectadas entre nodos m y n. N ≠ M que: Se nota también que: Con m ≠n Ejemplo: Hallar las potencias de los nodos en la red: Solución: Del diagrama topológico, encontramos que son necesarias 2 ecuaciones nodales: (la resistencia de 6 ohmios es una RINCE )

* +

[

]* +

De donde:

Transformaciones en las ecuaciones nodales.Se utilizan cuando aparece una fuente de tensión, que hace que algún nodo tenga voltaje determinado; el procedimiento es, transformar la fuente a una corriente y luego aplicar el nodo 1, finalmente hay que retornar a la red original para determinar el resto de incógnitas. Ejemplo: Calcular las potenciales de los nodos P y Q:

Solución: Del grafico topológico obtenemos el # de ecuaciones modales (2): pero la fuente de tensión no tiene manera de entrar a tallar en las matrices, por lo que se impone una transformación. Aplicando las observaciones en la construcción de marices: *

+ *

*

+* + +

*

+* +

Ecuaciones de restricción.- Se usan cuando las transformaciones de fuentes de tensión involucra a muchas ramas, por lo cual es muy complicado retornar a la red original. Para esto, se asignan voltajes aun a los nodos no tipológicos y se plantean las ecuaciones de a 1ra. Ley de Kirchhoff, por supuesto, ya no se podrán utilizar las observaciones para matrices en forma directa. Ejemplo: Solucionar la red: Solución: Primero eliminamos las resistencias RINCE y unimos los puntos de referencia; para optar el diagrama topológico: N=2 B=4 E=3 Basta calcular el voltaje del nodo central.- Asignamos los voltajes de nodos en la red: Las ecuaciones de nodos son: (1)

Ecuaciones de restricción

Regresando a la red original 

Las corrientes en cualquier rama se pueden obtener por aplicación simple de la ley ohm. Ejemplo: resolver el siguiente circuito por el método más adecuado: Solución: Dibujando el diagrama topológico y uniendo las referencias: El más adecuado es el método nodal (2 ecuaciones) Asignamos los voltajes a cada nodo de la red: Para el nodo

:

Para el nodo

Ecuaciones de restricción:

Reemplazando en las ecuaciones topológicas y resolviendo:

*

+

*

+* +

Debe observarse que con estos voltajes de nodos, si se retorna a la red original, todos los elementos tienen tensión definida; y por la ley de ohm su corriente. Súper nodos.- Es una variante del método, con ecuaciones de restricción y corresponde el nombre a nodos que al hacer el diagrama involucran nodos topológicos y no topológicos, que no están a referencia. Entonces les corresponde a la vez ecuación algebraica y de restricción a la vez. Ejemplo: Resolver la red: Solución: Del diagrama topológico obtenemos:

I=3 B=5 L=3 Para el nodo

Para

como topológico:

como ecuación de restricción (DE SUPERNODO)

Para el nodo

:

Reemplazando y reduciendo en las ecuaciones topológicas:

*

+

[

]* +

Entonces Ejemplo: Resolver la red y encontrar las potencias de la fuente de corriente de 6 amperes. Solución.- Del diagrama topológico encontramos: Fuentes de tensión ideal N=3 B=4 1=2

Para el nodo

como topológico:

Como ecuación de restricción:

Para el nodo

:

Para el nodo ficticio

:

Remplazando tendremos:

Por lo tanto en la fuente de corriente:

(Como elemento activo) Ejemplo: Determinar el voltaje V que se indican en la red: Solución.- Calcular el grafico topológico: A=2 B. = 2 I. = 1 Para V como topológico:

Ecuaciones de restricción

Remplazando:

13- DUALIDAD.Definición: dos redes sin duales cuando las ecuaciones de corrientes de malla de una de ellas es numéricamente igual a las de voltajes de nodos de la otra. Ejemplo: Sea la red: Cuyas ecuaciones de malla son: [

][

][

]

Entonces la ecuaciones de nodos de la red DUAL son: [

]

[

][

]

Y podemos obtener la red dual, aplicando en la inversa las propiedades de la matriz (1/R) = (g) en el método nodal. Quedando así la red; tal como puede verificarse haciendo sus matrices nodales. Notase que las fuentes de tensión han pasado el dual con el mismo valor numérico pero de corriente; y la delta de resistencias 2,3 y 4 ohmios es en el dual una estrella de Así mismo en viceversa; cualquier estrella en el origen, tiene su dual en Delta con valores iguales a El circuito dual también puede obtenerse de redes con elementos L y C ya que sus leyes son:

Cambiando lo que es la tensión por corriente para obtener un dual:

Entonces, K debe tener el mismo valor numérico que L pero debe representar como indica la ecuación; un condensador.

Ejemplo: Obtener el circuito dual del que se representa: Las ecuaciones de mallas son: [

]

Ecuación de restricción

Para el circuito dual; las ecuaciones de nodos serian:

Y como ecuación de restricción

Podemos realizar la red dual con estas ecuaciones: Método grafico para obtención del dual 1- Se adapta el exterior de la red como nodo dual a referencia, siempre que se pueda 2- A cada malla topológica o no, se le asigna un nodo dual correspondiente. 3- Se unen todos los nodos duales cruzando por todos los elementos (1 cada vez) con su correspondiente a elemento dual. 4- Las polaridades tienen que corresponder a conversaciones tomadas, tales como, si una fuente ayuda a la corriente de malla original, tetara de hacer positivo ó llegara al nodo dual. 5- Se extrae la red dual y se redibuja, ordenando el circuito.

Red original

Red dual

Ejemplo: con el método grafico calcular la red dual del circuito mostrado: Solución: Dibujamos la red y encima el dual. Extrayendo la red dual: 

El método es aplicable a redes planas y no mesetariamente se cumple en redes especiales como por ejemplo en el siguiente problema:

Ejemplo: De la red dual propuesta, trate de extraer un nuevo dual y compararlo con el original. Extraer la red dual y aplicación nuevamente el método grafico: PROBLEMAS PROPUESTOS 1- Hallar el grafico topológico y determinar la tensión entre los puntos a y b del circuito siguiente: 2- Construir el diagrama topológico y evaluar la tensión, entre los puntos a y b de la red. 3- Dibujar la red dual el diagrama topológico y determinar el voltaje v indicando en el circuito mostrado. ¿A que equivale esta solución en la red? 4- Calcular las potencias que consumen las resistencias en: 5- En la figura definir el grafico topológico de la red, y determinar la tensión “e”. 6- Escriba las ecuaciones de voltaje de nodo y resuelva la red: 7- Pera la red mostrada, dar el diagrama topológico, indicando b, n y 1: también calcular la red dual y obtener el grafico topológico; los resultados. 8- Si el dual de un diodo que condice el favor de la corriente de malla, es otro diodo llegando al nodo correspondiente: calcular el circuito dual de:

CAPITULO 4 Retorna también, como equivalente de una red activa, a una fuente real, pero de corriente; que de una forma u otra se pueden transformar en forma equivalente. Donde: Una red activa se puede reemplazar por una fuente de corriente real el valor del amperaje a corto circuito será el de la fuente y la resistencia es la equivalente al hacer la red pasiva (reducir a cero tensiones y corrientes). DEMOSTRACION.-

Sea una red activa; a la cual aplicamos una excitación: V = excitación I = respuesta Calculemos la respuesta por superposición: a) Debido a las fuentes internas:

b) Debido a las fuentes externas:

Por lo tanto: En el circuito Norton equivalente: En el nodo superior aplicamos la 1ra. Ley de kirchhoff.

Observamos que ambos casos la respuesta es igual, entonces concluimos que toda red activa puede representarse como una fuente real de corriente con las definiciones del teorema de Norton. Ejemplo: calcular la tensión e indicada. Solución: calculamos la corriente a conto circuito transformando la fuente de corriente. Se puede observa fácilmente en la izquierda que Calculo de

:

Entonces el circuito Norton equivalente es:

se puede calcular en forma rápida:

No hay restricción sobre la rama incógnita si no es la de no estar acopiada magnéticamente con la red activa. Ejemplo: calcular la corriente por la fuente de tensión de 4 voltios. Solución: retiremos la rama incógnita y calculamos que corriente pasa haciendo un corto circuito. Por superposición: a) La fuente de tensión:

b) Las fuentes de corriente:

Calculo de

Calculo de Haciendo la red pasiva, es decir reduciendo las fuentes a 0 la red nos queda:

Entonces, el circuito Nortón equivalente es: Al conectar la rama incógnita, la fuente de tensión determina que la resistencia equivalente circulo i Amper; por lo tanto, aplicando la 1* ley de kirchhoff tendremos:

14- Teorema de la máxima potencia de transferencia Se refiere al estudio de una carga una potencia lo mayor posible.

que conectada de un dipolo activo puede obtener

Para hallar la máxima potencia de transferencia se puede aplicar el teorema de Thevenin. Entonces representaremos al dipolo por una fuente de tensión real para de esta manera obtener la formula de Así tenemos:

Lo que queremos es que Aplicando el teorema de thevenin:

Como: Para conseguir la condición de máximo, hay que derivar e igualar a cero en función de la variable

Entonces. , Resolviendo resulta:

Con esta condición, la máxima potencia de transferencia será:

La misma condición podemos encontrar si hubiéramos desarrollado a partir del Norton equivalente, en donde

Las curvas relativas a la máxima potencia:

Nótese que potencia máxima no implica que la tensión ni la corriente sean máximas. Luego: La eficiencia se puede deducir como:

En % Cuando se obtiene máxima potencia, la eficiencia llegaría al 50% y menor aun si es un dipolo equivalente transformado. Si un valor de no puede ser logrado; se prefiere tomar los mayores valores de posibles, ya que la resistencia aumenta en función a la resistencia de carga. EJERCICIO: Calcular RL para que absorba la máxima potencia de transferencia. Determinar la eficiencia:

SOLUCION: Debemos hallar el equivalente thevenin para la rama

Determinemos entonces el thevenin siguiente: 

Para que la potencia en

sea máxima:



La potencia máxima es:

Calculo9 de la potencia en la fuente; a partir de la corriente en la rama por toda la red:

deducimos la corriente

⁄



Notar que a pesar de proporcionar la máxima potencia a la eficiencia es mucho que 50% ya que la potencia en la red original es mucho mayor que una sola resistencia equivalente.

15- TEOREMA DE LA SUSTITUCION E INSERCION DE INSTRUMENTOS Este teorema nos dice que: “se puede sustituir en forma equivalente, una rama con una tensión conocida, por una fuente de tensión ideal del mismo valor. De igual manera, una rama por una fuente de corriente ideal de mismo valor y las condiciones de voltajes y corrientes en el resto de la red no sufrirán ninguna variación.” Sea el dipolo activo, al cual le aplicamos el thevenin donde V es conocido La corriente i se puede calcular

Sustituyendo por una fuente V se obtiene la respuesta i

No interesa la naturaleza del elemento x De igual forma, sustituyendo la corriente conocida “I” se puede determinar el voltaje V, utilizando el teorema de Norton El voltaje V se calcula: Y sustituyendo al elemento x por una fuente de corriente:

USOS DE LA SUSTITUCION EQUIVALENTE a) Sustitución simple.Se reemplaza una rama por su equivalente eléctrico de tal forma que tensionemos y corrientes no se alteren en toda la red con fines de disponibilidad de elementos, tamaño, peso, ó potencia de disipación del dispositivo físico. Ejemplo: Sustituir la fuente de 30 voltios con una rama equivalente: Solución: Resoluciones el resto de la red, como un thevenin equivalente, transformando fuentes:

El circuito thevenin equivalente thevenin es: Donde la corriente de la fuente es:

La rama entre a y b puede sustituirse por:

O cualquier combinación con b) Estudio de cuádruplos.En general, los síntomas eléctricos y electrónicos vienen compuestos por varios bloques que tienen funciones especificas y entrelazadas entre sí. Mediante este teorema, podemos aislar el estudio de estos bloques, conociendo una de las variables de entrada y una de salida en cada bloque. Ejemplo: Sea el sistema de un receptor de radio AM en bloques A = Antena receptora B = Bloque del sistema sintonizador y mezclador

C = Amplificadores FI (frecuencia intermedia) D = Sistema detector y control de volumen E = Amplificador de audio (senide) F = Parlante de salida. Si quisiéramos plantear mallas ó algún teorema, sería muy engorroso relacionar todas las ecuaciones juntas; mas, conocemos las tensiones intermedias entre bloques, podemos aplicar sustitución y separar cada bloque por la propiedad de las fuentes ideales equivalente. Esta propiedad es importante cuando se estudia las conexiones de cuádruplos, como se verá más adelante en el capítulo IV En los laboratorios demostrativos, con el uso de un voltímetro, conocemos la t5ension de alimentación a un circuito y luego para el análisis teórico podemos considerar una fuente ideal en su reemplazo, siempre y cuando hayamos vigilado que la lectura en el voltímetro no varié, gracias al teorema de sustitución Ejemplo: Sea el siguiente circuito para chequear en un

PROBLEMAS RESUELTOS d) EJEMPLO: En la red a continuación, calcular las potencias de cada fuente.

e) SOLUCÍON: comenzaremos primeramente por los elementos resistivos que sabemos que siempre son pasivos:

⁄ ⁄

Para los elementos restantes debemos aplicar las leyes de kirchhoff: y los resultados anteriores. Aplicamos la ley al nudo A y B respectivamente:

Para la fuente de corriente, aplicando la 2ª Ley a la malla por corriente: ∑

Por lo tanto, con respecto a las potencias:

∑

y la rama con la fuente de

f)

La suma de potencias en las resistencias debe equilibrar a la potencia generada por

g) Como hemos visto, para las fuentes ideales no se puede predecir inicialmente si son activas ó pasivas, ó tienen potencia cero como en el ejemplo anterior. h) EJEMPLO: En la siguiente conexión de fuentes ideales, se pide calcular las potencias de las fuentes E e I.

i)

SOLUCIÓN: En la red indicamos algunos datos que nos serán necesarios, como:

En la malla A-B-C-D pasando por las fuentes de la tensión, podemos determinar la tención

∑

∑

Por lo tanto

Como elemento pasivo. Si fijamos la atención en el nudo D veremos que por la 1° Ley: I + I 6 Amp. I = 4 Amp.

Nuevamente, en el nudo C podemos calcular

.

Luego

)

En esta red se nota que no hay resistencias, por lo que algunas de las fuentes deben de hacer de elementos pasivos. j)

EJEM PLO.- Si la fuente E absorbe ¼ de la potencia que está generando la fuente I. calcular “R”.

k) SOLUCION: Utilizando el dato de la potencia:

Luego, por el nudo superior, por la 1° ley:

En la “R”:

° Nótese que todos los elementos tienen un volt6aje de 10 V. lo que es característica de un circuito paralelo

Ejemplo: en la primera conexión de la red, la fuente I genera 400 watts mientras que la resistencia R absorbe 40 W. En la segunda conexión, se quiere establecer la potencia en R.

SOLUCION: En la primera red, utilizando el dato de la potencia:

Sobre la potencia de R:

Para der lineal y utilizando la propiedad de la homogeneidad

Se puede aplicar una regla de tres simples y determinar la corriente en el segundo caso, lo que es equivalente a buscar el factor n de proporcionalidad entre excitación y respuesta en la red lineal.

Por lo que Hay que hacer notar que la homogeneidad no es aplicable en cuanto a potencia se refiere, sino, solo referente a tensiones y a corrientes. Ejemplo: Calcular y graficar la tensión en el inductor si la corriente es como se indica:

Solución: sabemos que en todo momento se debe cumplir la ley Lenz

Para todo T entre 0 y 1: Por lo que Para todo t entre 1 y 2 la corriente tiene la misma pendiente pero negativa; no es necesario entonces calcular la ecuación y derivarla pues conocemos la pendiente y basta de multiplicarla por L = mili Henrié.

Como la corriente tiene periodo de 2 s.

Notar que si el elemento hubiera sido un condensador, la tensión se calcula: ∫

Y sin encontrar la ecuación matemática de la corriente, basta calcular el área bajo la curva (la integral) y multiplicarla por

FINAL COPIA 1

En el presente capitulo se presentan los métodos de cálculo de equivalentes, tanto para dipolos activos como para pasivos y las transformaciones útiles para encontrar una incógnita. l)

Usos del divisor de tensión y de corriente.

m) Serie de problemas típicos resueltos. n) Serie de problemas propuestos 6.- ASOCIACIONES DE ELEMENTOS SERIE - PARALELO 1.- CONEXIÓN SERIE.- Es cuando don ó más elementos están conectados uno a continuación del otro. La característica predominante es que todos posen la misma corriente. Por Ejemplo: si conectamos 3 resistencias una continuación otra por cada una de ellas circulara la misma corriente, provocando tensiones que dependen del valor óhmico.

Si aplicamos la 2da. Ley de Kirchhoff:

Donde Req es una resistencia que tiene las mismas características de tensión y corriente que la asociación. Para el caso de n resistencias: ∑ La desventaja de esta conexión es la dependencia de funcionamiento, ya que si un elemento deja de funcionar, la corriente se anula para todos. 2.- CONEXIÓN PARALELO.- en cuanto 2 ó más elementos estén conectados entre 2 conductores. La característica predominando es que comparten la misma tensión. Por Ejemplo: Si se conectan 3 resistencias en paralelo, en todos ellas no presentara la misma tensión, y la corriente circulante.

Es la tensión del valor óhmico. Aplicando la 1ra. Ley de Kirchhoff:

Donde es una resistencia que tiene las mismas características de tensión y corriente que la conexión. Caso de N resistencias:

∑

La ventaja es que a más elementos, la corriente acercándose a la fuente empieza a crecer, haciendo necesario proteger ó sobredimensionar con conductores que están más cerca al punto de subministro. 

Caso de 2 resistencias paralelas.



Caso de N resistencias paralelas iguales.



Caso de que

El equivalente se aproxima al menor; en todo caso en menor que la menor. Ejemplos:

3.- CONEXIÓN SERIE PARALELO.- Es una conexión sucesiva de elementos que agrupados entre sí por partes, resultan conexiones que pertenecen a los casos anteriores. Ejemplos: Las resistencias

están en paralelo, el equivalente es de 2.

Observamos que 10 y 2 están en serie y este equivalente en paralelo a 6.

ELIMINADOR DE BATERIA REGULABLE CON POTENCIOMETRO (1 A)

T = Transformador de 220 v a 18 v (en AC) D = Arreglo de 4 diodos BY – 127 ó Puente completo BY – 164 (1 Amper) C1 = Condensador electrónico de 2,200 uf – 25 v. C2 =

“

”

“

R1 = Resistencia de 1 ohmio, 1 watt

”

“

”

R2 = Resistencia de 2.7 k ohms, 1/4 watt P = Potenciómetro de 500 ohms (preferible de alambre enrollado) VDC = Voltaje de salida de 0a 24 v. Continuos + 1 A.

|

|

(

)

(

)

a).- hacemos funcionar solo la fuente de tensión y reducimos la de corriente a cero.

a) Hacemos funcionar la de corriente y reduciendo la de tensión a cero: Por divisor de corriente

Y

Luego: Esta propiedad es válida tanto para tensiones y/o como9 para corrientes; sin restricción alguna. Ejemplo: en la red ensayada: Si Y si

entonces i = 4 amperios entonces i = 0

Calcular i con las condiciones: Solución: Como la red es lineal, entonces la respuesta es una función lineal de las excitaciones y se puede plantear:

Entonces; en el primer y segundo ensayo:

* +

Determinados

*

+[

]

podemos plantear la incógnita: ( (

)

(

)

)

En el capítulo 2 hemos visto que una red puede transformarse y reducirse a una fuente real para calcular una incógnita en otra rama. Esto lo aprovecha este teorema pero de forma más directa, veamos:

Toda red activa se puede reducir a una sola fuente real de tensión donde la fuerza electromotriz es la que aparece en la red, retirando la rama incógnita (circuito abierto) y la resistencia el equivalente de la red, hecha pasiva. Sera equivalente el circuito thevenin si V es igual en ambos casos de: En la red activa: a) Solo fuentes internas.

b) Solo fuentes internas.

Entonces:

En el Thevenin equivalente:

L.Q Q D Ejemplo: Determinar la tensión en RL = 4 Solución: Utilizando superposición para el cálculo del Thevenin. a) Debido a la fuente de tensión:

b) Debido a la fuente de corriente:

Calculo de Entonces, el circuito tevenin equivalente es: Donde se puede calcular:

Se pude utilizar indistintamente cualquier método para el cálculo del thevenin equivalente y no hay restricción para la rama incógnita que solamente no debe estar acoplada a la red activa para evitar transformaciones en ella. Ejemplo: Determinar la potencia de la fuente de corriente. Solución: retirando la rama incógnita, calculamos

:

Calculo de Entonces el thevenin equivalente es:

(Como elemento pasivo)