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Circuitos Electricos Cuaderno Alva Saldana (teoria) Circuitos electricos 1 (Universidad Nacional Mayor de San Marcos)

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La electricidad Es un fenómeno físico natural que proviene de la existencia e interacción de las cargas eléctricas. El concepto de carga eléctrica es la base de la descripción de todos los fenómenos eléctricos, con las siguientes características: a) La carga eléctrica es bipolar, por lo que se describe como cargas positivas y negativas. b) Los efectos eléctricos se atribuyen a las siguientes causas: 1) Debido al movimiento de cargas eléctricas. 2) Debido a la separación de las cargas eléctricas.

VARIABLES DE UN CIRCUITO Variable corriente Es la variable básica en la teoría de circuitos y se representa por la letra

.

El flujo de las cargas eléctricas crea un fluido eléctrico llamado corriente eléctrica. La corriente es la razón de cambio temporal de la carga que pasa por un punto determinado.

Donde:

( )

( )

( )

∫

La corriente tiene dirección, por lo que es conveniente asignar direcciones algebraicas de referencia.

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Circuito eléctrico Es una interconexión de elementos eléctricos en una trayectoria cerrada para que pueda fluir corriente eléctrica. Un elemento básico ideal tiene tres atributos: a) Tiene solo dos terminales que son sus puntos de conexión. b) Se describe matemáticamente en términos de corriente y/o voltaje que también se denominan modelos de circuitos. c) No puede subdividirse en otros elementos.

Por convención una corriente positiva es el flujo de una carga positiva en la dirección de una flecha de referencia para marcar la dirección de la corriente.

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Utilizaremos esta convención pasiva en todos los análisis siguientes y asumiremos que la corriente que entra por un terminal es la misma que sale por el otro terminal. Variable voltaje Medirá la cantidad de energía adquirida o perdida en cada elemento de carga efectuada por el dispositivo o componente. La separación de cargas eléctricas crea una fuerza eléctrica llamada voltaje, que se representa con la letra E, e, V o v.

( )

( )

( )

El voltaje no posee dirección como la corriente pero si tiene polaridad. En un circuito el signo “+” para el voltaje por donde entra la corriente, nos indica que la energía es absorbida o disipada; mientras que un signo “-“en el terminal por donde entra la corriente nos indica que ese dispositivo es una fuente de voltaje que entrega energía.

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1) ¿Indicar qué puede ser este elemento? Resistencia, inductancia (bobina), condensador, etc.

2)

¿Indicar qué puede ser este elemento? Fuente

PARÁMETROS DEL CIRCUITO La energía asociada a un dispositivo eléctrico esta especificada en términos de voltaje y corriente a través de el. Esta relación entre corriente y voltaje esta determinada por la naturaleza del dispositivo. En los circuitos lineales hay tres elementos básicos que son: la resistencia, el inductor y el capacitor. Resistencia eléctrica Son elementos que disipan energía en los que la corriente es directamente proporcional al voltaje. Esta relación fue descubierta por George simón Ohm, originándose la ley de Ohm; que según su experimento determinó la existencia de que el voltaje es directamente proporcional a la corriente en este dispositivo.

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( )

( )

( )

Una alteración de esta ecuación es:

( ) ¿Cómo medir la potencia en una resistencia?

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( )

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Inductancia El elemento eléctrico que almacena energía asociada al flujo de corriente que la atraviesa es llamado inductor. Para el modelo ideal de un inductor, el voltaje es proporcional al tiempo que demora en cambia la corriente.

( )

( )

La corriente en la bobina será: ∫

La potencia que entra en un inductor en cualquier momento es: ()

i

Si la corriente es constante, la derivada es cero. Solo el incremento de la corriente dará un valor positivo a la corriente. Para que la potencia sea positiva, la corriente y el voltaje deben tener signos compatibles.

Capacitancia Es un dispositivo que almacena energía debido al campo eléctrico existente entre sus capas. El voltaje en el condensador será:

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∫

( ) ∫

( )

( )

( )

( )

La corriente i es un flujo a través del condensador, ya que una carga positiva entrando por un terminal repele una carga positiva en el otro terminal.

La potencia en un condensador en cualquier momento es: ( ) i Si el voltaje es constante, la derivada es cero. Solo el incremento de voltaje puede dar más energía al condensador.

Elementos de una red eléctrica Estos se pueden clasificar en elementos pasivos y elementos activos. Elementos pasivos: son las resistencias, inductancias y capacitancias. Elementos activos: son todos aquellos elementos que tienen la capacidad de entregar potencia a algún dispositivo externo; estos son las denominadas fuentes de voltaje y fuentes de corriente.

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Fuente ideal de tensión o fuente independiente de tensión Es una fuente de energía que esta suministrando a una red una señal de voltaje; que es independiente de la cantidad de corriente que entrega a dicha red.

Problema:

Determinar el valor de i en cada caso:

a) b) c)

R( ) 10 100 1k

V(volt) 10 10 10

Fuente ideal de corriente o fuente independiente de corriente

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i(Amp) 1 0.1 0.01

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Problema: determinar la caída de tensión en cada caso.

a) b) c)

( ) 10 100 1k

( )

5 5 5

( ) 50 500 5000

¿Cuál es el potencial en RL?

Las fuentes ideales o independientes no son físicamente realizables pero son útiles como modelos para propósitos de análisis o diseños.

Fuentes reales de tensión o de corriente Estas fuentes entregan energía a la red, pero su valor esta limitado por las perdidas internas de las fuentes. Fuente real de voltaje Su corriente de salida esta limitada por su resistencia interna. Una fuente de voltaje funciona en vacío cuando el circuito esta abierto asea que la corriente que entrega es cero, en caso contrario estará entregando o absorbiendo potencia.

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( ¿Qué representa el término

)

?

Representa la pérdida de energía inherente a la fuente.

Fuente real de corriente La tensión entre sus bordes esta limitada por la resistencia interna de la fuente. Una fuente de corriente funcionará en vacío cuando esta en corto circuito y la potencia entregada es cero, ya que la resistencia externa es cero.

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Fuentes controladas o fuentes dependientes Las fuentes controladas de voltaje o de corriente dependen de otra variable, que puede ser una corriente o un voltaje respectivamente. Fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV) Es una fuente cuyo valor de voltaje esta controlada por otro voltaje que aparece en cualquier lugar del circuito y se representa mediante un rombo.

Fuente de voltaje controlada por corriente (FVCC) Es una fuente cuyo valor de voltaje esta controlada por otra corriente que fluye en cualquier lugar del circuito y se representa mediante un rombo.

Fuente de corriente controlada por voltaje (FCCV) Es una fuente cuyo valor de corriente esta siendo controlada por un voltaje que aparece en cualquier lugar del circuito y se representa mediante un rombo.

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Fuente de corriente controlada por corriente (FCCC) Es aquella fuente cuyo valor de corriente esta siendo controlada por otra corriente que fluye en cualquier lugar del circuito y se representa mediante un rombo.

Reducción de fuentes ideales a) Dos o más fuentes de tensión no se podrán conectar en paralelo, si es que no son idénticas, pero si se podrán conectar en serie.

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b) Dos o más fuentes de corriente no se podrán conectar en serie si es que no son idénticas, pero si se podrán conectar en paralelo.

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Combinación de fuentes de tensión y fuentes de corriente Estas fuentes se podrán conectar teniendo en cuenta las siguientes consideraciones: a) Todos los elementos conectados en paralelo a una fuente ideal de tensión se denominan (RINCE).

Problema: determinar la potencia en cada uno de los elementos.

b) Todos los elementos conectados en serie a una fuente ideal de corriente son ramas independientes para el cálculo del equivalente.

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Problema: calcular la potencia de cada uno se los elementos.

Problema: hallar el equivalente entre a-b;

Solución: Identificamos que la resistencia de 9Ω esta en paralelo con la fuente de 6v, entonces resistencia será un elemento RINCE.

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Haciendo RINCE en la resistencia de 9Ω y aplicando reducción de fuentes tenemos:

Luego vemos que la resistencia de 20Ω es RINCE cuando esta en paralelo con la fuente de 1v y finalmente aplicando reducción de fuentes tenemos.

Problema: hallar el equivalente entre a-b;

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Solución: Evaluando el circuito tal y como esta identificamos los elementos RINCE.

Luego tenemos:

Aplicando reducción de fuentes tenemos el siguiente circuito

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Identificando los elementos RINCE.

Luego de hacer RINCE las resistencias de 10Ω, 8Ω y 9Ω y tenemos el siguiente circuito.

Finalmente tenemos.

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Leyes de Kirchhoff Existen combinaciones de resistencias que no se pueden reducir a circuitos en serie o paralelo; tales como los siguientes circuitos:

Si se requiere calcular las corrientes en estas redes, existen reglas que nos permiten la solución en forma sistemática y definiremos: Nudo El nudo en una red es el punto donde se unen dos o más ramas resistivas, por ejemplo en la figura a los puntos 2, 4, 6 y 7 se consideran nudos mientras que los demás no lo son. En el caso de la figura b, los puntos 1 y 2 se consideran nudos mientras que los demás no los son. Malla o lazo Es cualquier trayectoria conductora cerrada. En la figura a las trayectorias cerradas son 24 72; 74567; 12745681 son posibles trayectorias o mallas. Ley de Kirchhoff para corrientes o regla de los nodos (LCK) La suma de corrientes que se dirigen hacia cualquier nudo es cero en todo instante. Sea el nudo “o”:

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En “o” ∑

∑

∑

Esta regla también dice que en un nudo no se acumula carga y se refiere a la conservación de la energía cinética; ya que la corriente tiene que circular por todos los elementos sin que se diluyan cargas o se originen nuevas. Problema: aplicar LCK en:

1) 2) 3) 4)

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Ley de Kirchhoff para voltajes o regla de las mallas (LTK) La suma algebraica de la suma de las fuerzas electromotrices (fem) en cualquier malla es igual a la suma del producto de la misma malla.

O también:

∑ ∑

∑( ∑(

Problema: aplicar LTK en el siguiente circuito.

) )

a) b) c) d)

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Método de solución usando Kirchhoff La solución se efectúa basándose en los sentidos supuestos de las corrientes. Si una solución de estas ecuaciones le atribuye el valor negativo a una intensidad de corriente o a una fuerza electromotriz, su verdadero sentido es opuesto al que habíamos asignado y en cualquier caso se obtienen los valores numéricos verdaderos. Cuando se aplica las reglas de las mallas se elige como positivo un solo recorrido para todas las mallas y todas las corrientes. Las fuerzas electromotrices que tengan este sentido son positivas y las de signo contrario son negativas. Problema: determinar las corrientes de rama

Si a y b son recorridos:

Reduciendo las ecuaciones anteriores tenemos:

() ( )

Problema.- determinar las corrientes de ramas en:

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Problema-. En el circuito calcular el valor de R si la fuente de voltaje absorbe ¼ de la de la potencia que genera la fuente de 6A.

Conexión serie de resistencias Este circuito se caracteriza por que la corriente que circula por todas las resistencias tiene un solo camino y por lo tanto tiene el mismo valor en cualquiera de ellas.

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Se cumple que:

)

( Conexión paralelo de resistencias

Esta conexión se caracteriza por que la tensión que alimenta a todas las resistencias tiene el mismo valor.

(

)

Problema-. Calcular la potencia en R=10Ω y en la fuente controlada.

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Representación de circuitos con fuentes controladas

Problema1-. Hallar

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Problema2-. Hallar

en:

Problema3-. Hallar

en:

Problema4-. Hallar

en:

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Divisor de tensión Otra forma de analizar un circuito es mediante la aplicación del divisor de tensión para el calculo de voltaje en una o varias resistencias conectadas en serie, estando expresado en términos del voltaje de la fuente y los elementos resistivos.

Divisor de corriente

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

Mediante este análisis podemos calcular la corriente de una o varias resistencias conectadas en paralelo, en función de la fuente de corriente y de los elementos resistivos.

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[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

Si el divisor de corriente se aplica a dos resistencias:

[

]

[

]

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Problema1-. Usando divisor de corriente y de voltaje, aplicarlos de orden para obtener en:

Redes lineales Un circuito es lineal cuando se compone por completo de elementos lineales y fuentes independientes, además la relación entre causa y efecto o excitación y respuesta, siendo “x” la excitación e “y” la respuesta; se representa mediante la función: ( )

Que satisface las propiedades de proporcionalidad y superposición.

Propiedad de proporcionalidad Si la excitación se incrementa o disminuye por un factor de multiplicación constante, la respuesta también variará en la misma proporción; trabaja así solo para redes excitadas por una sola fuente independiente. Ejemplo: circuito divisor de voltaje.

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Propiedad de superposición Si la excitación consiste en la suma de dos componentes estará en función de cada uno de estos componentes. [

]

[

]

[

; entonces la respuesta ]

La respuesta total será igual a la suma de las respuestas parciales cuando se aplica una sola fuente y las otras valen cero. Problema-. Aplicando superposición hallar V en:

Solución: Vemos que el circuito anterior podemos reducirlo a un circuito de 3 fuentes, debido a que las fuentes de 5A en realidad son una sola fuente de 5A, quedando así, el siguiente circuito.

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Ahora como vemos que nuestro circuito consta de 3 fuentes independientes, de acuerdo a la propiedad de superposición, el voltaje V en la resistencia de 12Ω estará dado por: ( )

1) Primero hallamos cuando solo la fuente de 5A esta trabajando y las demás no; esto significa que el resto de las fuentes valen cero, las fuentes de voltaje serán corto circuito y las fuentes de corriente serán circuito abierto. Cortocircuitando la fuente de 36v y haciendo circuito abierto en la fuente de 3A tenemos el siguiente circuito:

Del circuito anterior tenemos que: Lo podemos hallar por divisor de corriente

Y así tenemos

( )

)

(

2) Segundo hallamos , trabajando con la fuente de 36v y las demás igualando a cero. Haciendo circuito abierto las fuentes de corriente de 5A Y 3A.

Aplicando división de corriente

(

)

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( )

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3) Y finalmente hallamos , para esto trabajamos con la última fuente que nos falta, la fuente de corriente de 3Ay hacemos cero a las demás. Hacemos corto circuito a la fuente de voltaje de 36v y circuito abierto a la fuente de 5A y así tenemos:

Del circuito anterior tenemos que: Aplicando divisor de corriente hallamos ( )

Así tenemos que:

;

(

)

Y finalmente reemplazando en la ecuación (a), los valores hallados (b), (c) y (d):

Transformación de fuentes Fuente práctica de voltaje Esta definida como una fuente de voltaje ideal en serie con una resistencia interna “ ”.

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Problema-. Tenemos una batería de 18v en vacío (sin carga RL), que al conectar una carga RL se reduce le voltaje a 17v entregando una corriente de 100A. Halar la resistencia interna. Solución:

a) El voltaje de circuito abierto (

) será:

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Si Observación: Cuando

, forma un circuito abierto.

b) La corriente de corto circuito (

) será:

Si

Fuente práctica de corriente Se define como una fuente ideal de corriente en paralelo con una resistencia interna “

Cuya representación gráfica sería:

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”.

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a) El voltaje de circuito abierto (

) será:

b) La corriente de corto circuito (

) será:

Fuentes equivalentes Se define dos fuentes como equivalentes si producen valores idénticos de y cuando se conectan a valores idénticos de , sin interesar cual sea el valor de , produciendo el mismo voltaje de circuito abierto y la misma corriente de corto circuito.

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Como vemos las dos fuentes del circuito anterior son equivalentes, esto lo demostramos anteriormente, de donde encontramos los siguiente.

Donde:

1) Así vemos que podemos transformar una fuente práctica de corriente en una fuente práctica de voltaje; simplemente hallando el voltaje de circuito abierto ( ), de la fuente de corriente, entre sus dos terminales que conectan a la carga ( ). Donde el voltaje de circuito abierto ( ) será el valor de la fuente de voltaje ( ) cuya resistencia interna ( ) será igual a la resistencia ( ) de la fuente práctica de corriente ( ). 2) Del manera similar podemos transformar una fuente práctica de voltaje en una de corriente; en este caso hallamos la corriente de corto circuito ( ), de la fuente práctica de voltaje, entre sus terminales que conectan a la carga ( ). Este valor hallado ( ), será el valor de la fuente de corriente, cuya resistencia interna ( ) será igual a la resistencia ( ) de la fuente práctica de voltaje ( ). Observación: Llamamos carga (

) a cualquier circuito o red.

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Problema1-. ¿Cual sería la fuente práctica de voltaje equivalente si usamos una

?

Solución-. Como tenemos una fuente práctica de corriente conectada a una carga , ahora para transformarla a una fuente práctica de voltaje, hallamos el voltaje de circuito abierto y para ello quitamos la carga y hacemos circuito abierto:

De donde tenemos que: Y sabemos que: Así finalmente tenemos la fuente práctica de voltaje equivalente.

Problema2-. Calcular la potencia disipada por a la de a-b:

Ω, usando transformación de fuentes

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Solución: Vemos que el circuito anterior podemos reducirlo, aplicando transformación de fuentes, a uno más sencillo de analizar. Transformando así las fuentes de voltaje de 24v a fuentes de corriente (vemos que la dirección de la corriente de la fuente de corriente, es la misma que seguiría en la fuente de voltaje) tenemos el siguiente circuito:

Luego del circuito anterior percatamos que tenemos dos fuentes, una de corriente y otra de voltaje, nuevamente transformamos la fuente práctica de corriente en una de voltaje obteniendo el siguiente circuito:

La potencia disipada en

estará dado por:

Ω

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En el circuito anterior podemos aplicar LTK para hallar la corriente :

Luego la potencia disipada será:

Problema3-. Obtener 3 fuentes prácticas de voltaje en:

Problema4-. Obtener 3 fuentes prácticas de corriente en:

Topología de redes El algebra topológica es la reunión de conceptos y procedimientos que nos permitirán conocer el mínimo número de incógnitas independientes que son necesarias para resolver una red eléctrica.

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Para esto es necesario asociar una resistencia o rama con una incógnita algebraica en el circuito, por lo que se tienen que hacer cero todo tipos de fuentes; las fuentes de tensión se hacen cortocircuito (eliminando todas las resistencias conectadas en paralelo a ella) y las fuentes de corriente se harán circuito abierto (eliminado todas las resistencias conectadas en serie a ella). Todas estas ramas así removidas se llaman ramas ficticias, ya que no afectan a cualquiera de los otros voltajes o corrientes del circuito, por lo que se pueden ignorar y no considerarse como ramas topológicas. El término topología es un área de la geometría que se ocupa de las propiedades de una figura geométrica que no cambia cuando la figura es: girada, flexionada, doblada, estirada, comprimida o anudada, con la condición de que ninguna parte de la figura sea cortada ni unida a otras de las partes de la figura. Todos los elementos (resistencias) se representarán simplemente como líneas. Problema1-. Hacer el gráfico topológico de:

Solución: Tomamos los puntos de referencia y hacemos:

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Y finalmente hacemos el gráfico topológico, tomando en cuenta los puntos de referencia o nodos.

Solución: Definimos los puntos de referencia, hacemos corto circuito las fuentes de voltaje y circuito abierto las de corriente.

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Luego su gráfico topológico será el siguiente:

Problema2-. Trazar el gráfico topológico del siguiente circuito:

Términos topológicos Nudo (N, n): Es el punto donde se unen dos o más resistencias. Trayectoria: es el conjunto de elementos que pueden ser atravesados en orden, sin volver a pasar por el mismo nudo dos veces. Rama o brazo (B, b): es una trayectoria simple que contiene un solo elemento simple y que conecta un nudo a otro nudo. Lazo: es una trayectoria cerrada cualquiera. Malla: es un lazo que no contiene otro lazo dentro de ella. Circuito plano: es el que se puede dibujar en una superficie plana. Circuito no plano: es el que no se puede dibujar sobre una superficie plana.

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Árbol topológico: es una parte de la gráfica topológica, que esta formado por un conjunto de ramas que no forman ninguna malla o circuito cerrado, pero que tiene la misma cantidad de nudos. Problema-. Obtener 3 árboles distintos para las graficas a y b:

Solución:

Rama del árbol (Ba, ba)

Lazos o mallas topológicas (L, l)

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Son aquellas trayectorias cerradas que aparecen a partir del árbol topológico cuando vamos aumentando cada una de las ramas que hacen falta para completar el gráfico de la red. Estas mallas son trayectorias cerradas conocidas como independientes, que es igual:

Problema-. Determinar el número de mallas independientes L gráficamente y por fórmula en el gráfico siguiente:

Solución: a) Completando ramas Para hallar el número de mallas independientes por el método gráfico, primero trazamos el árbol topológico.

Luego completamos las ramas faltantes para así llegar al gráfico original. Como sabemos las ramas faltantes es igual al número de mallas independientes.

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Del gráfico podemos ver que el número de ramas que nos faltan completar para igualar el gráfico original es: b) Por fórmula Sabemos que el número de mallas independientes esta dado por: Así del gráfico del problema tenemos:

Luego reemplazando tenemos:

Solución de redes eléctricas Método de las corrientes de mallas El análisis de mallas se puede aplicar solo en las redes que son planas, o sea en aquellos cuyo circuito se puede dibujar sobre una superficie plana sin que ninguna rama quede por encima o por debajo de otra rama. Método de solución: 1) hacer el gráfico topológico del circuito y hallar el número de mallas independientes L, que será igual al número de ecuaciones necesarias. 2) Asignar en cada malla topológica una corriente circulante que tenga el mismo sentido en todas ellas. 3) Aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff en cada malla en función de las corrientes de mallas. 4) Ordenar las ecuaciones en forma matricial. 5) Reducir el sistema para hallar corrientes de mallas.

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6) Determinar las caídas de tensión en la red aplicando la ley de Ohm de ser necesaria.

Problema-. Hallar las corrientes de mallas en:

Solución: Primero hacemos el gráfico topológico.

Del cual tenemos que el gráfico topológico será el siguiente:

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De este grafico tenemos que:

Lo cual quiere decir, que el mínimo número de ecuaciones necesarias para resolver el circuito es 3.

Así tenemos:

)

)

(

(

)

(

)

Del cual reduciendo las ecuaciones tenemos:

) Expresándolo en forma matricial

)

(

)

)

) )

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[

[ ][ ]

[ ]

][ ]

[

]

Donde: |

|

|

|

|

Problema-. Hallar

en:

|

|

|

|

|

|

|

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Solución: Como podemos ver el circuito anterior no esta en el plano, además observamos que es posible llevarlo a un plano y luego asignamos los sentidos de las corrientes y así tenemos:

Del circuito tenemos que:

Luego despejando

tenemos:

De esto vemos que para hallar ) )

solo nos hace falta hallar

)

)

( (

(

Reduciendo las ecuaciones anteriores tenemos: )

Expresándolo en forma matricial: [

)

)

e . )

(

)

)

][ ]

[

]

Luego

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|

|

|

|

|

|

|

|

Finalmente reemplazando en la ecuación de

OBSERVACIÓN:

(

)

(

)

El signo negativo quiere decir que la polaridad que elegimos para

era errónea.

Método de los voltajes de nodos Se utiliza cuando en el circuito hay fuentes de corriente que no hacen apropiada el uso del método de mallas. Método de solución 1) Hacer el gráfico topológico de la red y determinar en número de nudos. 2) Señalar el nudo de referencia si no lo tiene. 3) Asignar voltajes a los (N-1) nudos restantes que será igual al número de ecuaciones de nudos necesarias. 4) Aplicar la ley de corriente de Kirchhoff en cada nudo en función de los voltajes asignados. 5) Obtener ecuaciones en forma matricial y hallar el voltaje de nudos. 6) Calcular el resto de incógnitas en el circuito.

Problema-. Hallar los voltajes de nudos.

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Solución: De acuerdo al método de solución primero hacemos el gráfico topológico.

Como vemos en el gráfico topológico anterior, tenemos un nudo de referencia y hemos asignado a los nudos restantes, que nos igual a y esto será igual al número de ecuaciones necesaria para resolver el circuito. Luego para aplicar la ley de corriente de Kirchhoff hacemos:

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Del circuito anterior tenemos las ecuaciones siguientes: )

)

)

Simplificando las ecuaciones tenemos:

)

)

)

En forma matricial: [

][ ]

[

]

Así tenemos que: [

[

[

[

[

[

]

]

]

]

]

]

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Transformación del método de nudos Si en la red aparecen una fuente de tensión que esta aplicando voltaje en un determinado nudo será necesario transformar la fuente de tensión en una de corriente y ahora aplicar el método de voltaje de nudos, para luego retornar al circuito original y calcular el resto de las incógnitas. Problema-. Hallar las potenciales de los nudos y las corrientes de ramas.

El supernudo (SN) Es una variación del método de los nudos que incluye ecuaciones de restricción debido a las existencias de fuentes de tensión entre nudos. Estos supernudos incluyen nudos topológicos y nudos no topológicos; por lo tanto les corresponde ecuaciones algebraicas y de restricción. Las fuentes de tensión pueden ser independientes o controladas. En este caso hay que tratar a la fuente y sus nudos asociados como un supernudo y aplicar la ley de corriente de Kirchhoff a ambos nudos simultáneamente. Problema-. Hallar los voltajes de los nudos.

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Solución: Trazamos el gráfico topológico del circuito

Asignamos los voltajes de nudos, y el sentido de las corrientes en cada nudo para aplicar la LCK.

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)

Supernudo: ecuación de restricción (E.R) )

) (

(

)

Reordenando las ecuaciones anteriores:

)

(

)

)

(

)

)

)

De esto tenemos que: |

|

| |

|

|

|

|

|

|

Problema-. Calcular os potenciales en:

|

|

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Solución: Identificamos los dos S.N y damos sentidos a las corrientes el nudo

y el S.N

OBSERVACIÓN 1: Como vemos el sentido de la corriente en las resistencias de 2Ω y 5Ω ya están dadas por la polaridad de caída de tensión en cada una de ellas, la corriente siempre va de un mayor potencial a un menor potencial ( ). OBSERVACIÓN 2: No hay necesidad de aplicar LCK en el nivel de referencia (tierra) ni en ningún supernudo conectado a ella. La razón lo vemos cuando trazamos su diagrama topológico, si el supernudo esta en contacto con tierra, este también forma parte de ella. Como veremos en las ecuaciones siguientes no hay la necesidad de aplicar LCK en el supernudo en contacto con la tierra.

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E.R:

En el S.N c-d:

En el nudo B:

Reemplazando

; tenemos:

)

) )

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

|

|

|

|

|

| |

Y

|

|

|

|

|

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La supermalla (S.M) Es una malla más grande originada a partir de dos mallas que tienen en común una fuente de corriente, que puede ser independiente o controlada; reduciéndose así en “1” el número de ecuaciones de mallas independientes. Esto también origina una ecuación de restricción. Problema-. Calcular las caídas de tensión en cada resistencia y el valor de la fuente controlada.

Solución: Identificamos la supermalla y señalamos las corrientes de las mallas.

E.R: En la S.M: En la malla 1:

(

(

)

)

(

(

)

)

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Reduciendo y ordenando las ecuaciones anteriores tenemos:

)

)

)

Resolviendo el sistema de ecuaciones: |

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

Problema-. Hallar Vo:

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Teorema de superposición Establece que la respuesta en cualquier elemento de una estructura bilateral y lineal, que contenga 2 o más fuentes, es la suma algebraica de respuestas de voltaje o de corriente obtenidas individualmente por cada fuente, siendo todas las demás fuentes independientes de voltaje sustituidas por cortos circuitos y todas las demás fuentes independientes de corriente sustituidos por circuitos abiertos. En este principio están implícitos los métodos de corrientes de mallas y tensiones de nudos. Problema-. Hallar

por superposición.

Solución: Del circuito notamos que si conocemos el valor de V, podremos aplicar LVK en la malla del lado izquierdo y así hallar Como en el circuito vemos dos fuentes independientes entonces el valor de V estará dado por: 1) Primero hallamos , trabajando con la fuente de 12v y hacemos circuito abierto a la fuente de corriente independiente.

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Aplicando LVK al circuito anterior tenemos:

2) Hallamos , trabajando con la fuente de corriente de 2A y hacemos corto circuito a la fuente de voltaje de 12v.

Aplicando LVK a la malla del lado derecho del circuito:

Entonces:

(

)

Así finalmente aplicando LVK al circuito original tenemos:

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Teorema de Thevenin Equivalente Thevenin: Tiene la forma:

1) Hallar la fuente equivalente Thevenin entre a-b ( ): Hacer circuito abierto entre los terminales a-b de la red original, luego calcular el voltaje entre a-b que será denominado :

2) Hallar la resistencia equivalente Thevenin ( ): Para hallar la resistencia Thevenin entre a-b se debe retirar la tipo de fuentes (independientes).

Problema-. Hallar el equivalente Thevenin.

Solución:

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y hacer cero todo

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i)

Hallamos el : Para ello tomamos como carga RL a la resistencia de 20Ω y hacemos circuito abierto en los terminales a-b;

Luego tenemos que

)

)

Simplificando V de las ecuaciones anteriores tenemos: )

)

Resolviendo tenemos: ii)

Hallamos

Del circuito:

:

[(

)//

]

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Así finalmente tenemos el equivalente Thevenin:

Teorema de Norton Equivalente Norton Tiene la forma:

1) Hallar la fuente Norton entre a-b ( ): Abrir los circuitos entre a-b, luego colocar un corto circuito entre a-b y la corriente que circula por ahí será la corriente de Norton.

2) Hallar la resistencia de Norton entre a-b ( ): Para hallar la resistencia Norton se retira la carga RL y se hace cero todo tipo de fuente independiente.

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Problema-. Halla el equivalente de Norton.

Solución: i)

Hallamos la fuente Norton ( ), y para ello retira la carga RL y la reemplazamos por un corto circuito.

Del circuito anterior vemos que: Y aplicando LVK en la malla 3:

)

) )

(

)

Simplificando las ecuaciones:

(

)

)

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) Sumando )

) tenemos Y reemplazando )

Resolviendo tenemos: ii)

Hallamos

Del circuito:

)

:

)

:

[(

)//

]

Así finalmente tenemos el equivalente Norton

OBSERVACIÓN: Del los dos circuitos equivalentes (Thevenin y Norton) tenemos las siguientes equivalencias: i)

Hallar el voltaje de circuito abierto entre a-b.

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ii)

Hallar la corriente de corto entre a-b.

Entonces de i) y ii) tenemos: Esto quiere decir: 1) La corriente de corto circuito en el equivalente Thevenin debe ser igual al valor de la corriente Norton. 2) El voltaje de circuito abierto en equivalente Norton debe ser igual al valor del voltaje Thevenin. Problema-. Hallar el equivalente Thevenin entre a-b y dibujarlo.

Solución: a) Forma N°1 Para poder hallar el equivalente Thevenin aumentamos una fuente auxiliar.

1°) Hallamos

, el voltaje generado por la fuente de 1A:

Del circuito vemos que:

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) De i) tenemos: 2°) Hallamos

)

(

)

:

{

Y finalmente tenemos el equivalente Thevenin

OBSERVACIÓN 1: No interesa el valor de la fuente auxiliar, utilizamos una fuente de 1A, para facilitar los cálculos; esto quiere decir que una excitación produce una determinada respuesta y siempre van a ser proporcionales. OBSERVACIÓN 2: En nuestro resultado final del problema anterior tenemos un equivalente Thevenin que tal vez nos parezca extraño y seguramente se pregunta ¿por qué no tiene una fuente?; no tiene una fuente debido a que en nuestro circuito original no teníamos ninguna fuente independiente e otras palabras nuestro circuito es pasivo. b) Forma N°2 Insertamos una fuente auxiliar, en este caso una fuente de voltaje.

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1) Hallamos

:

2) Hallamos la corriente I que entrega la fuente de voltaje. Del circuito tenemos: )

Resolviendo las ecuaciones tenemos: {

)

Finalmente tenemos el equivalente Thevenin

Problema-. Halla el equivalente Thevenin o Norton de una red con fuentes controladas.

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Problema-. En el circuito de a continuación hallar el equivalente Thevenin a la izquierda de a-b y el equivalente Norton a la derecha de a-b.

Teorema de la máxima transferencia de potencia Este teorema determina el calor de una resistencia de carga que resulta en la máxima transferencia de potencia entre los terminales a-b de un circuito activo. Se puede aplicar el teorema de Thevenin y representar al circuito activo con una sola fuente de tensión y luego calcular la potencia máxima en .

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Del equivalente Thevenin tenemos lo siguiente: La corriente que pasa por la carga Y la potencia en

estará dado por: (

:

)

El valor de que determina la máxima potencia transferida a la carga igualando a cero la primera derivada de con respecto a . )

[(

(

Donde:

De donde se cumple que:

Luego:

(

(

]

(

)

)

(

(

(

)

( )

)

)

)

)

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, es encontrada

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Si aplicamos el teorema de Norton.

(

Se obtiene la máxima potencia transferida a

) (

cuando:

)

Luego: ( Problema-. Hallar el valor de

)

para la máxima potencia y cual es su valor:

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Circuitos resistivos de un par de terminales A todo circuito o red que se aplique un estímulo o excitación obtendremos una respuesta o salida y además este circuito estará caracterizado por su resistencia equivalente. Tenemos una red de dos terminales tal como:

a) Resistencia equivalente por aplicación de una fuente de tensión Tenemos un circuito determinado al que aplicamos de excitación una fuente de tensión y en que utilizaremos las ecuaciones de mallas. Sabemos que la relación entre el voltaje en un par de terminales y la corriente que fluye por ahí nos da el valor de la resistencia equivalente entre sus terminales. Problema-. Hallar la

entre a-b utilizando una fuente de tensión.

Solución: El las terminales a-b insertamos una fuente de voltaje E que puede tomar cualquier valor, esto producirá una corriente .

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Así el valor de la

estará dado por:

Para este caso hacemos

y hallamos la corriente producida por ella.

)

(

)

(

)

Reduciendo las ecuaciones tenemos:

(

)

)

)

(

(

(

)

)

)

)

)

)

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que: Finalmente tenemos la

:

b) Resistencia equivalente por aplicación de una fuente de corriente. Al aplicarse una fuente de corriente a una red, podremos utilizar sus ecuaciones de nudos y calcular el voltaje en la fuente de corriente. Problema-. Hallar la

en a-b, aplicando una fuente de corriente.

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Solución: En las terminales a-b aplicamos una fuente de corriente voltaje en ella.

En el circuito hallamos: Aplicando LCK tenemos: )

)

)

Reduciendo las ecuaciones tenemos: ) ) )

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que:

Finalmente tenemos la

:

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que producirá un

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c) Resistencia equivalente por reducción de redes. Llamado también transformación delta-estrella o

.

Donde:

d) Puente Wheatstone Esta configuración en corriente continua consta de 5 brazos resistivos, que cuando esta en condición de equilibrio efectuado mediante el potencial en el punto “b” es igual al potencial en el punto “c” y por lo tanto al conectarse con un amperímetro entre “b y c” este no indicará paso de corriente por lo que podrá desconectarse la resistencia entre b y c sin alterar la condición de equilibrio ni la resistencia equivalente entre a y d. Si esta en el puente de equilibrio también puede hacerse un cortocircuito entre b y c sin alterar la condición de equilibrio ni la resistencia equivalente entre a y d.

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En equilibrio se cumple: i) ii)

( ) ( )

Dividiendo (2) entre (1) se tiene:

Problema-. Cuales son las corrientes que suministra la fuente.

Problema-. Calcular la potencia entregada por la fuente en:

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e) Resistencia equivalente de redes simétricas. Una inspección de a simetría en una red nos puede ayudar a resolver un problema complicado, por lo que será conveniente tener en cuenta algunas reglas: 1) Una rama sin voltaje, a través de ella, puede ser sacada o reemplazada por un corto circuito sin alterar el resto de la red. 2) Una rama sin corriente también puede ser sacada o reemplazada por un corto circuito sin altera el resto de la red. 3) Entre dos nudos que están al mismo potencial, se puede hacer un corto circuito sin altera el resto de la red. 4) Si tenemos dos corrientes de mallas adyacentes en el mismo sentido y del mismo valor a través de una rama, esta rama puede ser abierta ya que no circula corriente por ella. En general una red puede ser redibujada o alterada para encontrar la simetría; las resistencias pueden ser divididas en dos resistencias en serie o paralelo y las fuentes pueden ser reemplazadas por combinaciones en serie o paralelo.

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Si vemos, en esta red se observa que hay simetría y la a la de la cuarta parte de toda la red o sea:

Problema-. Hallar la

de la red total será igual

( )

aplicando simetría en:

Solución: Como vemos la red anterior aun no es simétrica, para ello hacemos combinaciones de resistencias y fuentes para llegar a la siguiente red simétrica:

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Aplicamos las reglas de simetría y tenemos lo siguiente:

Donde se cumple que: Aplicando LVK tenemos:

Reducción de redes de 4 terminales a redes de 3 terminales

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V

Dualidad Sea el circuito serie resistivo:

Sea el circuito paralelo resistivo:

Aplicando la LVK tenemos:

Aplicando la LCK tenemos:

(

)

(

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)

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Vemos que en ambos circuitos el análisis nos lleva a obtener ecuaciones semejantes en forma tal, que nos hacen ver cierto dualismo entre ellos, de lo que podemos deducir: Para el circuito serie: a) b) c) d) e)

Aplica leyes de voltaje Usa resistencias Emplea ecuaciones de voltaje Utiliza fuentes de voltaje Aplica el método de corrientes de mallas

Para el circuito paralelo: a) b) c) d) e)

Aplica leyes de corriente Usa conductancias Emplea ecuaciones de corriente Utiliza fuentes de corriente Aplica el método de voltajes de nudos

Definición-. Siempre que los elementos de un sistema están en correspondencia unívoca con los elementos de otro sistema, se dice que son duales. Desde el punto de vista algebraico dos redes son iguales, si las ecuaciones de corrientes de mallas de una red, son numéricamente iguales a las ecuaciones de voltaje de nudos de la otra red (red dual). Problema-. Obtener el dual a partir de sus ecuaciones de mallas.

Dualidad – método gráfico Para construir el dual de un determinado circuito, usaremos el siguiente método:

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1) Con cada malla de la red debe asociarse un nudo y debe conocerse además el nudo de referencia. Por lo tanto se coloca un nudo en el centro de cada malla (nudo dual) y el nudo de referencia se dibujará como un lazo alrededor del diagrama o circuito. 2) Cada elemento que aparece compartido por dos mallas, debe reemplazarse por su elemento dual entre los dos nudos que están dentro de las mallas en las cuales aparece el elemento mutuo. 3) Aquellos elementos que aparecen en una sola malla, deben tener duales que aparezcan entre el nudo dual correspondiente y el nudo de referencia. Con relación a las fuentes que aparecen en las mallas, si la polaridad de etas contribuye con la corriente de la malla original, la fuente dual llegará al nudo dual.

Problema-. Obtener gráficamente el dual de:

Solución: Asociamos la corriente y nudo Dual en cada malla.

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Y finalmente aplicando las reglas de dualidad tenemos el siguiente circuito:

Dualidad de circuitos con diodos por método gráfico El dual de un diodo que conduce a favor de la corriente de una malla será otro diodo que llega al nudo dual correspondiente.

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Problema-. Hallar el dual de la corriente por R=20Ω

Redes de dos puertos cuadripolos Este estudio se utiliza en las comunicaciones, sistemas de potencias, en el modelado de transistores y para el diseño en cascada. También es útil para conocer los parámetros de una red para tratarla como “caja negra” cuando esta dentro de otra red. Muchos circuitos constan de una fuente, una carga RL y una red adicional entre la fuente y la carga.

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Esta red adicional puede ser un sistema o estructura encapsulada, en la que se limita solo a la utilización adecuada de los terminales de salida y entrada. Esta red adicional puede tener propósitos de: Amplificación, adaptación de impedancias o filtrado de señales. Por lo tanto, utilizaremos los parámetros de dos puertos que nos proporcionarán los fundamentos generales que son necesarios para el análisis o diseño de circuitos de filtros, circuitos amplificadores, establecer pruebas de elasticidad, frecuencia, etc. La función cabal de una red de dos puertos es procesar el voltaje o corriente de entrada que salen de la fuente, por lo que supondremos que esta red no contiene fuentes independientes, aunque si pueden tener fuentes controladas.

Parámetros transmisores o ABCD Estos parámetros proporcionan una relación directa entre la entrada y la salida. Su uso principal se encuentra en el análisis de líneas de transmisión y en las redes conectadas en cascada.

( )

*

+

[

[

[ ] ]

*

]

[ ]

+[

[ ][

( ) ]

]

Los parámetros componentes se derivan de las ecuaciones (1) y (2) como sigue:

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1)

2)

3)

4)

|

Es la inversa de la ganancia de tensión, con el puente de salida en circuito abierto. | | |

Es la resistencia de transferencia con el puerto de salida en corto circuito. Es la conductancia de transferencia con el puerto de salida en circuito abierto. Es la inversa de la ganancia de corriente con el puerto de salida en corto circuito.

Problema-. Hallar los parámetros T en:

Solución: 1) Hallamos A, hacemos circuito abierto en la salida:

El parámetro A estará dado por: Hallamos

por divisor de tensión:

|

; donde

sería dato y

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sería la incógnita.

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Así finalmente tenemos:

2) Hallamos B, para ello hacemos corto circuito en la salida (

|

B estará dado por:

; con

dato e

incógnita.

Aplicando divisor de corriente hallamos

(

)

Así finalmente:

3) Hallamos C, para ello hacemos circuito abierto en la salida:

Donde C estará dado por: Hallamos

|

; con dato e

incógnita.

por divisor de voltaje: (

)

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)

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Así finalmente tenemos que:

4) Hallamos D, para ello hacemos corto circuito en la salida:

Donde D estará dado por: Hallamos

|

; dato e

incógnita.

por divisor de corriente:

Así finalmente tenemos que:

Ejemplo de conexión en cascada;

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Parámetros híbridos “h” Estos parámetros son adecuados para el análisis de circuitos con transistores y se denomina híbrido por que combina los parámetros de resistencia y los de conductancia.

( )

[ ]

[

][ ]

( )

[ ]

[

]

Los componentes de la matriz se obtienen a partir de las ecuaciones (3) y (4): 1) 2)

3)

4)

|

Es la resistencia de entrada con el puerto de salida en corto circuito.

|

Es la ganancia de voltaje inversa, con el puerto de entrada en circuito

|

Es la ganancia de corriente continua, con el puerto de salida en corto

|

Es la conductancia de salida, con el puerto de entrada en circuito

abierto.

circuito.

abierto.

Para el análisis podemos reducir cualquier red a la forma más simple ya sea sea el caso.

según

Cuando los parámetros “h” se aplican a transistores, los subíndices cambian como sigue:

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Problema-. Calcular “h” en:

Solución: Como vemos podemos reducir el circuito anterior a una forma más simple para su análisis: Aplicando

tenemos:

1) Hallamos

Donde

, para ello hacemos corto circuito en la salida y tenemos:

estará dado por:

Del circuito tenemos:

|

;

dato e

incógnita.

Finalmente tenemos que:

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2) Hallamos

Donde

, para ello hacemos circuito abierto en la entrada y tenemos:

estará dado por:

Por divisor de corriente hallamos

:

Finalmente tenemos:

3) Hallamos

Donde Hallamos

| (

incógnita

dato.

)

, para ello hacemos corto circuito en la salida y tenemos:

estará dado por: por divisor de corriente:

|

dato e

incógnita.

Finalmente tenemos:

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4) Hallamos

Donde

, para ello hacemos circuito abierto en la entrada y tenemos:

estará dado por:

Hallamos

hallando la

Finalmente tenemos que:

|

dato e

incógnita.

y luego aplicando ley de Ohm. (

)

Circuitos analógicos Comportamiento de elementos almacenadores de energía a) Circuito inductivo Tiene la propiedad de almacenar energía en forma de campo magnético. Sea el circuito:

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Si aplicamos de excitación una función escalón de tensión definida como: ( ) Donde E será la amplitud de escalón, entonces:

Luego integrando la función tensión tenemos la corriente: ∫

Esta respuesta de corriente es una función rampa, definida por pendiente ( ), luego: ( )

( ) con

( )

b) Circuito capacitivo Tiene la propiedad de almacenar energía en forma de campo eléctrico. Tenemos el circuito:

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Si aplicamos un escalón de valor E como excitación para

En

;

En

;

En

, pero:

( )

;

Esta función

( )

se denomina IMPULSO y se define como [

( )]

( ) luego:

Funciones de singularidad Son aproximaciones de ondas de conmutación real; la suposición de que un interruptor tiene dos posiciones (abierto y cerrado) involucra la transición complicada entre dos estados.

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Si un interruptor cambia de estado en tiempo cero, se encuentra por conveniente dividir este instante en tres partes. : Es el momento preciso antes de que el interruptor cambie de estado. : Es el instante durante el cual el interruptor esta cambiando de estado. : Es el instante preciso después que el interruptor cambia de estado. Estos tres instantes son separados por intervalos que son muy cortos, pero sin embargo finitos.

Funciones singulares Son aquellas funciones que tienen como punto de partida la función escalón de paso unitario.

( )

{

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( )

( )

( )

a) Funciones integrables Función rampa unitaria:

( )

( )

{

∫

( )

Función parábola unitaria:

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( )

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( ) ( )

{

( )

∬

( )

∫

( )

b) Funciones derivables Función impulso unitario:

( )

( )

Función doble impulso:

( )

( ) [

{

[

{

( )]

( )]

( )

[

( )]

Problema-. Expresar f(t) usando funciones singulares:

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Solución:

a) b)

c)

(

( )

( )

( )

(

(

)

)

)

( ) ( )

(

(

(

(

)

Otra forma de resolver: ( ) d)

( )

)

(

( )

)

) )

(

( ) (

(

)

(

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) )

)

)

(

(

(

) )

)

)

( (

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) )

(

(

)

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Sistemas eléctricos de primer orden Cuando un circuito es conmutado de una condición a otra, ya sea por una variación de la tensión aplicada o por la variación de uno de los elementos del circuito, ocurre un periodo de transición durante el cual las corrientes de las ramas y las caídas de tensión varían de sus valores iniciales a sus nuevos valores.

1) Red inductiva Tenemos el circuito:

Si:

( )

Donde:

∫

( ) (

∫ )

( )

∫

( )

( )

( )

Done: ( ) : Es la energía que tiene la inductancia L antes de producirse el cambio de estado y es debido a la corriente inicial. ( ): Es la corriente a través de la inductancia para cualquier valor de

La representación circuital de la ecuación ( ) es:

Donde:

2) Red capacitiva

(

)

( )

∫

( )

Tenemos el circuito:

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.

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(

)

∫

∫ ( )

∫

( )

Donde: ( ), es la energía en el condensador antes de producirse el cambio. ( ), es el voltaje en el condensador para cualquier .

La representación circuital de la ecuación ( ) es:

Donde:

(

)

( )

∫

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