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Hidrología Aplicada a Obras Hidráulicas *Mercedes Alexandra Villa Achupallas Febrero, 2011 B7. ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA Usando el método de los momentos, ajustar la distribución normal a la precipitación máxima anual en 24 horas de la estación Alhama-Alcaicería, de la Tabla del ejercicio 1. Graficar las funciones de frecuencia relativa y de probabilidad incremental, y las funciones de frecuencia acumulada y distribución acumulada. Utilizar el test χ 2 para determinar si la distribución normal se ajusta adecuadamente a los datos. Año hidrológico 0/1 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 6/7 7/8 8/9 9/0

1950 55.3 47.3 63.6 77 133.4 35 71.5 135.4 121.8

1960 136.8 147.5 73.6 75 68 60.5 72.4 86.8 140 80.7

1970 95.5 66.7 81.5 121.5 90.5 92.5 88 107 107 93

Se determina la precipitación media: Ʃ=2624.80 mm x=

n= 29 datos

∑ n

=

2624.80 = 90.51mm 29

Calculo de la Desviación Estándar, en la tabla se presenta Año hidrológico 0/1 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 6/7 7/8 8/9 9/0

Ʃ

(xi − x )2

= 24695.33

1950 2239.77 1867.13 724.17 182.53 1839.52 3081.4 361.39 2015.08 979.04

1960 2142.73 3247.82 285.96 240.57 506.72 900.62 327.98 13.77 2449.23 96.24

(xi − x )2 1970 44.9 566.93 81.19 960.36 0 3.96 6.3 271.91 271.91 6.2

:

1

2  1 2 ( ) S= x x −  ∑ i   n −1  1 (24695.33) S=   29 − 1 S = 29.70

Primero se divide el intervalo de precipitación (R) en 7 intervalos. El primero es

R≤ 40 y el último intervalo es R>140 y los intervalos intermedios son cada 20, a cada intervalo asigno un número de datos (ni) en base a la los datos del ejercicio: Rango (mm) ni

< 40 1

40-60 2

60-80 9

80-100 8

100-120 2

120-140 6

>160 1

Así también se determina la frecuencia relativa para cada intervalo, en base a la siguiente expresión:

fs ( x i ) = Rango (mm) fs(xi)

< 40 0.034

40-60 0.069

60-80 0.310

ni n 80-100 100-120 120-140 0.276 0.069 0.207

>160 0.034

Partiendo de estos datos se determina la frecuencia acumulada: Rango (mm) Fs(xi)

< 40 0.034

40-60 0.103

60-80 0.414

80-100 100-120 120-140 0.690 0.759 0.966

>160 1.000

Cálculo de la variable normal estándar z corresponde al límite superior en cada uno de los intervalos establecidos, mediante la siguiente expresión:

zi = Rango (mm) X Sup Zi

< 40 40 -1.701

40-60 60 -1.027

x sup − x s

60-80 80 -0.354

80-100 100-120 120-140 100 120 140 0.320 0.993 1.666

>160 160 2.340

Considerando los valores obtenidos en Zi, se determina la Probabilidad acumulada de la distribución normal estándar F(xi), en la tabla que se indica a continuación, para los Zi negativos, el valor de F(xi) corresponde a una diferencia entre la unidad (1) y el valor obtenido en la tabla, para Zi positivos, F(xi) corresponde a la lectura realizada en dicha tabla.

A continuación se resumen el cálculo de la Probabilidad acumulada de la distribución normal estándar F(xi) Rango (mm) Zi Lect. tabla F(xi)

< 40 -1.701

40-60 -1.027

60-80 -0.354

0.955 0.045

0.849 0.152

0.637 0.363

80-100 100-120 120-140 0.320 0.993 1.666 0.626 0.626

0.839 0.839

0.952 0.952

>160 2.340 1 1

La función de probabilidad incremental p(xi) se calcula mediante una diferencia entre F(xi) del intervalo anterior y F(xi) del intervalo que se evalúa, de tal forma que: Rango (mm) F(xi) p (xi)

< 40 0.045 0.045

40-60 0.152 0.107

60-80 0.363 0.212

80-100 100-120 120-140 0.626 0.839 0.952 0.262 0.213 0.114

>160 1 0.048

Finalmente, se determina, el valor del CHI CUADRADO:

m= número de intervalos Intervalo i Rango (mm) 1 < 40 2 40-60 3 60-80 4 80-100 5 100-120 6 120-140 7 >160 Ʃ=

ni 1 2 9 8 2 6 1 29

fs (xi) 0.03 0.07 0.31 0.28 0.07 0.21 0.03 1.00

Fs(xi) 0.03 0.10 0.41 0.69 0.76 0.97 1.00

zi -1.70 -1.03 -0.35 0.32 0.99 1.67 2.34

F(xi) 0.96 0.85 0.64 0.63 0.84 0.95 1.00

p (xi) 0.04 0.11 0.21 0.26 0.21 0.11 0.05 1.00

X2c 0.07 0.39 1.33 0.02 2.83 2.29 0.12

7.05

A continuación se grafica la “Frecuencia Relativa” de la muestra “fs ajustada “p (xi)”, y la precipitación máxima anual en 24horas.

(xi)”y

Función de Frecuencia Relativa 0.35

Frecuencia Relativa

0.3 0.25 0.2 0.15

fs (xi) p (xi)

0.1 0.05 0 < 40

40-60

60-80

80-100

100-120

120-140

Precipitación Máxima Anual en 24h (mm)

>140

la

Así también se presentan las distribuciones de probabilidad acumulada de la muestra “Fs (xi)”y la ajustada “F (xi)”.

Función de Frecuencia Acumulada Frecuencia Acumulada

1.2 1 0.8 F (xi)

0.6

Fs(xi)

0.4 0.2 0 < 40

40-60

60-80

80-100 100-120 120-140

>140

Precipitación Máxima Anual en 24h (mm)

El valor de

X v2,1−α

para una probabilidad acumulada de 1-a=0.95 y

v = m − p −1

m= número de intervalos p= número de parámetros utilizados en el ajuste

v = 7 − 2 −1 v = 4 grados de libertad de tal forma que:

X 2v,1−α = X 24;0.95 Y de acuerdo a la siguiente tabla:

2 De la tabla anterior, se obtiene que 𝑋𝑋4.0.95 = 9.49 es mayor que 𝑋𝑋 2 = 7.05, por lo tanto el ajuste de la distribución normal a la información de precipitación máxima anual se ACEPTA.