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• Luis Kjuro T

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Chapter 14 Game Theory and Strategic Behavior 1. ¿Qué es un equilibrio de Nash? ¿Por qué las estrategias que no constituyen un equilibrio de Nash serían un resultado improbable de un juego? Un equilibrio de Nash en un juego ocurre cuando cada jugador elige una estrategia que le da el mayor rendimiento, dadas las estrategias elegidas por los otros jugadores en el juego. Si los jugadores eligieron estrategias que no constituyeran un equilibrio de Nash, entonces los jugadores podrían elegir otra estrategia que aumentara sus beneficios dadas las estrategias elegidas por los otros jugadores. Dado que los jugadores podrían aumentar sus ganancias al elegir otras estrategias, las estrategias que no constituyen un equilibrio de Nash son un resultado improbable en un juego.

2. ¿Qué tiene de especial el juego del dilema de los prisioneros? ¿Todos los juegos presentados en este capítulo son un dilema de los prisioneros? El juego del dilema de los prisioneros ilustra el conflicto entre el interés propio y el interés colectivo. En el equilibrio de Nash de un juego de dilema de prisioneros, cada jugador elige una acción no cooperativa, aunque sea en interés colectivo de los jugadores perseguir una acción cooperativa. No, no todos los juegos del capítulo son un dilema de los prisioneros. Por ejemplo, el juego de pollo presentado en la Tabla 14.7 no es un dilema de los prisioneros.

3. ¿Cuál es la diferencia entre una estrategia dominante y una estrategia dominada? ¿Por qué es poco probable que un jugador en un juego elija una estrategia dominada? Una estrategia dominante es una estrategia que es mejor que cualquier otra estrategia que el jugador pueda seguir sin importar lo que haga el otro jugador. Un jugador tiene una estrategia dominada cuando tiene otras estrategias que le otorgan una mayor rentabilidad, sin importar lo que el otro jugador haga. Es poco probable que un jugador elija una estrategia dominada porque el jugador siempre podría mejorar su recompensa al elegir otra estrategia independientemente de las estrategias elegidas por los otros jugadores. 4. ¿Qué tiene de especial el juego del pollo? ¿En qué se diferencia el juego del pollo del juego del dilema de los prisioneros? El juego del pollo es especial porque tiene múltiples equilibrios de Nash. En cada equilibrio de Nash, un jugador elige una estrategia cooperativa (Swerve) mientras que el otro jugador elige una estrategia no cooperativa (Mantener). Hay múltiples equilibrios en este juego porque no se sabe con certeza qué jugador cambiará y quién se quedará. Este juego difiere del dilema de los prisioneros. En el dilema de los prisioneros, ambos jugadores tienen una estrategia dominante que confesar, y al elegir

esta estrategia dominante, ambos jugadores reciben una recompensa peor que si ambos decidieran no confesar.

5. ¿Puede un juego tener un equilibrio de Nash aunque ninguno de los jugadores tenga una estrategia dominante? ¿Puede un juego tener un equilibrio de Nash aunque ninguno de los jugadores tenga una estrategia dominada? Sí, un juego puede tener un equilibrio de Nash aunque ninguno de los jugadores tenga una estrategia dominante o dominada. De hecho, cada juego tiene un equilibrio de Nash, posiblemente en estrategias mixtas. El juego del pollo es un ejemplo de un juego sin estrategias dominantes o dominadas pero que tiene un equilibrio de Nash.

6. ¿Cuál es la diferencia entre una estrategia pura y una estrategia mixta? Una estrategia pura es una elección específica de estrategia entre los posibles movimientos que un jugador puede elegir en un juego. Con una estrategia mixta, un jugador elige entre dos o más estrategias puras según probabilidades preespecificadas. 7. ¿Cómo puede surgir la cooperación en el dilema del juego de los prisioneros infinitamente repetido, aunque en un solo disparo el dilema de los prisioneros, la no cooperación es una estrategia dominante? En el repetido dilema del juego de los prisioneros, los jugadores podrían, en equilibrio, jugar cooperativamente. Esto podría ocurrir si un jugador elige cooperar con el otro jugador siempre y cuando el otro jugador elija cooperar y recurrir a la no cooperación cuando el otro jugador haya hecho trampa. Para que esto funcione, el beneficio a corto plazo de hacer trampa debe ser menor que el beneficio a largo plazo de no hacer trampa. Esto requeriría que el jugador coloque un peso suficientemente fuerte en los pagos futuros en relación con los pagos actuales.

8. ¿Cuáles son las condiciones que mejoran la probabilidad de un resultado cooperativo en un juego de dilema de prisioneros repetidos? La probabilidad de un resultado cooperativo se mejora cuando los jugadores son pacientes, sus interacciones son frecuentes, las trampas son fáciles de detectar y la ganancia de un solo golpe de las trampas es pequeña. 9. ¿Cuál es la diferencia entre un juego de movimiento simultáneo y un juego de movimiento secuencial? En un juego de movimiento simultáneo, ambos jugadores toman sus decisiones de estrategia al mismo tiempo. En un juego de movimiento secuencial, un jugador elige su estrategia primero, y luego, viendo el movimiento que hizo el primer jugador, el segundo jugador elige su estrategia.

10. ¿Qué es un movimiento estratégico? ¿Por qué los movimientos estratégicos deben ser difíciles de revertir para tener valor estratégico? En un juego de movimiento secuencial, un movimiento estratégico es una acción que un jugador realiza en una etapa temprana de un juego que altera el comportamiento del jugador y el comportamiento del competidor más adelante en el juego de una manera que sea favorable para el jugador. Los movimientos estratégicos pueden limitar la flexibilidad de un jugador y, al hacerlo, pueden tener un valor estratégico. Para tener valor estratégico, sin embargo, el movimiento estratégico debe ser difícil de revertir. Si el movimiento se invierte fácilmente, entonces el competidor ignorará el movimiento estratégico cuando haga su elección. Si el movimiento no se revierte fácilmente, entonces el competidor debe asumir que el jugador no está "faroleando" y debe tomar en consideración el movimiento estratégico al realizar su elección. Problemas 14.1. ¿Cuál es el equilibrio de Nash en el siguiente juego?

El equilibrio de Nash se da cuando: el jugador 1 elige Arriba mientras que el jugador 2 elige Izquierda. 14.2. Ignorando estrategias mixtas, ¿el siguiente juego tiene un equilibrio de Nash? ¿Tiene más de un equilibrio de Nash? Si es así, ¿Que son?

Hay dos equilibrios de Nash. Equilibrio de Nash # 1: el jugador 1 elige el SUR, el jugador 2 elige el OESTE. Equilibrio de Nash # 2: el jugador 1 elige NORTE, el jugador 2 elige ESTE 14.3. ¿Alguno de los jugadores en el siguiente juego tiene una estrategia dominante? Si es así, identifíquelo. ¿Alguno de los jugadores tiene una estrategia dominada? Si es así, identifíquelo. ¿Cuál es el equilibrio de Nash en este juego?

El jugador 1 tiene una estrategia dominante (UP), lo que significa que DOWN está dominado. El jugador 2 no tiene una estrategia dominante, pero sí tiene una estrategia dominada (MEDIO). El equilibrio de Nash en este juego es para que el jugador 1 elija UP y el jugador 2 que elija IZQUIERDA 14.4 Coca-Cola y Pepsi compiten en el mercado brasileño de refrescos. Cada firma está decidiendo si seguir una estrategia publicitaria agresiva, en la cual la firma aumenta significativamente su gasto en publicidad en medios y vallas publicitarias con respecto al nivel del año pasado, o una estrategia restringida, en la cual la firma mantiene su gasto publicitario igual al nivel del año pasado. Los beneficios asociados con cada estrategia son los siguientes:

¿Cuál es el equilibrio de Nash en este juego? ¿Es este juego un ejemplo del dilema del prisionero? En este juego, "Agresivo" es una estrategia dominante para ambas empresas. Por lo tanto, la estrategia de equilibrio de Nash para ambas empresas es elegir "Agresivo". Este juego es un ejemplo del dilema de los prisioneros. En este juego, ambos jugadores tienen una estrategia dominante que conduce a un resultado que no maximiza los pagos colectivos de los jugadores en el juego. Si ambos jugadores eligieran la estrategia "Restringida", ambos aumentarían sus ganancias y la recompensa colectiva se maximizaría. 14.5. En el mercado de las aerolíneas de Castorian solo hay dos empresas. Cada firma está decidiendo si ofrecer un programa de viajero frecuente. Las ganancias anuales (en millones de dólares) asociadas con cada estrategia se resumen en la siguiente tabla (donde el primer número es el pago a la aerolínea A y el segundo a la aerolínea B):

a) ¿Alguno de los jugadores tiene una estrategia dominante? Explique. b) ¿Hay un equilibrio de Nash en este juego? Si es así, ¿qué es? c) ¿Es este juego un ejemplo del dilema del prisionero? Explique. a) Cada empresa considera que tener un programa de viajero frecuente (FFP) es una estrategia dominante. Si B tiene un FFP, A prefiere un pago de 200 (con su propio FFP) a 160 (sin FFP). Si B no tiene FFP, A prefiere un pago de 340 (con su propio FFP) a 240 (sin FFP). Del mismo modo:

si A tiene un FFP, B prefiere un pago de 160 (con su propio FFP) a 80 (sin FFP). Si A no tiene FFP, B prefiere un pago de 280 (con su propio FFP) a 200 (sin FFP). b) Dado que ambos jugadores tienen una estrategia dominante con un FFP, en el equilibrio de Nash ambos jugadores tendrán un FFP. c) si. Ambos jugadores estarían mejor sin FFP (A gana 240, B gana 200) que en el equilibrio de Nash (en el que A gana 200 y B gana 160). Pero, como se señaló anteriormente, "No FFP" no es una estrategia dominante para ninguno de los jugadores. 14.6. Asahi y Kirin son los dos mayores vendedores de cerveza en Japón. Estas dos empresas compiten cabeza a cabeza en la categoría de cerveza seca en Japón. La siguiente tabla muestra el beneficio (en millones de yenes) que gana cada empresa cuando cobra diferentes precios por su cerveza:

a) ¿Tiene Asahi una estrategia dominante? ¿Kirin? b) Tanto Asahi como Kirin tienen una estrategia dominada: encontrarla e identificarla. c) Suponga que Asahi y Kirin no jugarán la estrategia dominada que identificó en la parte (b) (es decir, tache la estrategia dominada para cada empresa en la tabla). Habiendo eliminado la estrategia dominada, muestre que Asahi y Kirin ahora tienen otra estrategia dominada. d) Suponga que Asahi y Kirin no jugarán la estrategia dominada que identificó en la parte (c). Una vez eliminada esta estrategia dominada, determine si Asahi y Kirin ahora tienen una estrategia dominante. e) ¿Cuál es el equilibrio de Nash en este juego? a) Ninguno de los jugadores tiene una estrategia dominante en este juego. b) En este juego, Asahi tiene una estrategia dominada, ¥ 720 está dominada por ¥ 690, y Kirin tiene una estrategia dominada, ¥ 720 está dominada por ¥ 690. Suponiendo que ninguno de los dos jugadores juegue estas estrategias dominadas, podemos eliminarlas del juego. El juego reducido es:

c) Ahora que hemos eliminado una estrategia dominada del juego original, ambos jugadores ahora tienen una estrategia dominada en el juego reducido. Asahi tiene una estrategia dominada, ¥ 690 está dominada por ¥ 660, y Kirin tiene una estrategia dominada, ¥ 690 está

dominada por ¥ 660. Suponiendo que ninguno de los dos jugadores juegue estas estrategias dominadas, podemos eliminarlas del juego. El juego reducido es:

d) Ahora que hemos eliminado otra estrategia dominada del juego original, ambos jugadores tienen una estrategia dominante para elegir ¥ 630. e) Según el análisis anterior, el equilibrio de Nash en este juego tiene a ambos jugadores eligiendo ¥ 630. 14.7. Considera el siguiente juego:

a) ¿Cuál es el equilibrio de Nash en este juego? b) Si fueras el Jugador 1, ¿cómo jugarías este juego? a) El jugador 1 que elige "Arriba" y el jugador 2 que elige "Izquierda" es el equilibrio de Nash. El Jugador 2 tiene una estrategia dominante para elegir "Izquierda", y el Jugador 1 al ver esto tomará la mejor decisión, asumiendo que el Jugador 2 jugará su estrategia dominante que es "Arriba". b) Algunos estudiantes argumentarán que el Jugador 1 debe elegir "Abajo". Al elegir "Abajo" el Jugador 1 no recibirá / perderá nada. Al seleccionar "Arriba", el Jugador 1 gana a lo sumo 1 y puede perder 100. Para evitar la posibilidad de perder 100, el Jugador 1 puede seleccionar "Abajo". Este razonamiento se basa en el supuesto no declarado de que el Jugador 2 no jugará su estrategia dominante de “Izquierda”. Dicha duda podría justificarse si el Jugador 1 no estaba seguro de cuál era la función objetivo del Jugador 2 o si el Jugador 1 no estaba seguro de que los pagos en la matriz del juego representaran los beneficios reales del Jugador 2. Estas posibilidades a menudo se exploran en cursos avanzados de teoría de juegos que estudian lo que sucede cuando hay incertidumbres en el juego. 14.8 Es el año 2099, y la luna ha sido colonizada por humanos. Alcatel (la compañía francesa de equipos de telecomunicaciones) y Nokia (la compañía finlandesa de equipos de telecomunicaciones) están tratando de decidir si invertir en el primer sistema de telecomunicaciones celulares en la Luna. El mercado es lo suficientemente grande como para apoyar a una sola empresa de manera rentable. Ambas compañías deben hacer grandes gastos para construir una red celular en la luna. Los beneficios que recibe cada empresa cuando ingresa o no ingresa al mercado lunar son los siguientes:

Ignorando estrategias mixtas, encuentra todos los equilibrios de Nash en este juego. Este juego tiene dos equilibrios de Nash correspondientes a los resultados donde una empresa elige "Entrar" y la otra firma elige "No entrar". Por lo tanto, Alcatel elige "Entrar" y Nokia elige "No entrar" es un equilibrio de Nash; y Alcatel que elige "No entrar" y Nokia que elige "Entrar" es la otra. 14.9 ABC y XYZ son las dos únicas empresas que venden artilugios en Europa. La siguiente tabla muestra el beneficio (en millones de euros) que gana cada empresa a diferentes precios (en euros por unidad). El beneficio de ABC es el número de la izquierda en cada celda; El beneficio de XYZ es el número correcto.

¿Hay un equilibrio de Nash único en este juego? Si es así, ¿qué es? ¿Si no, porque no? Explique claramente cómo llegas a tu respuesta. Tenga en cuenta que un precio de 32 está dominado por un precio de 28 para ambas compañías. Por lo tanto, sabemos que 32 no será un equilibrio de Nash para ninguno de los operadores, y podemos eliminar la fila inferior y la columna derecha. A continuación, tenga en cuenta que para las estrategias restantes (20, 24 o 28), 28 está dominado por 24 para ambos operadores. Así que sabemos que 28 no será un equilibrio de Nash para ninguno de los operadores, y podemos enfocarnos en el juego 2X2 con precios de 20 y 24. Considere las mejores funciones de respuesta: Si ABC elige 20. XYZ elige 20 (prefiriendo un pago de 60 a 56). Si ABC elige 24. XYZ elige 20 (prefiriendo un pago de 68 a 66). Así que XYZ tiene una estrategia dominante de 20. El juego es simétrico, por lo que ABC también tiene una estrategia dominante de 20. Por lo tanto, el equilibrio de Nash está en (20,20). 14.10 Dos firmas de ductos están contemplando la entrada en un mercado que entrega crudo desde un puerto hasta una refinería. Pipeline 1, la mayor de las dos empresas, está contemplando su estrategia de capacidad, que en términos generales podríamos caracterizar como "agresiva" y "pasiva". La estrategia "agresiva" implica un gran aumento de la capacidad para aumentar la participación de mercado de la empresa, mientras que La

estrategia pasiva no implica ningún cambio en la capacidad de la empresa. Pipeline 2, el competidor más pequeño, también está considerando su estrategia de expansión de capacidad; también elegirá entre una "estrategia agresiva" o una "estrategia pasiva". La siguiente tabla muestra el valor presente de las ganancias asociadas con cada par de elecciones realizadas por las dos empresas:

a) Si ambas empresas deciden sus estrategias simultáneamente, ¿cuál es el equilibrio de Nash? b) Si Pipeline 1 pudiera moverse primero y comprometerse de manera creíble con su estrategia de expansión de capacidad, ¿cuál es su estrategia óptima? ¿Qué hará Pipeline 2? a) “Pasivo” es una estrategia dominante para el pipeline 1. Como el pipeline 2 sabe que el Gasoducto 1 elegirá ser pasivo, el Gasoducto 2 será agresivo. Entonces, el equilibrio de Nash es: Pipeline 1-- Pasivo, Pipeline 2 - Agresivo. Pipeline 1 recibirá un pago de 90, y Pipeline 2 recibirá un pago de 45. b) Si Pipeline 1 acepta de manera creíble "Agresivo", Pipeline 2 elegirá "Pasivo". Por lo tanto, Pipeline 1 puede recibir un pago de 100 (en lugar de los 90 que recibió en el equilibrio de Nash de juego simultáneo en la parte (a)). 14.11 Lucy y Ricky están haciendo planes para el sábado por la noche. Pueden ir a un ballet o un combate de boxeo. Cada uno elegirá de forma independiente, aunque como puede ver en la siguiente tabla, hay algunos beneficios si terminan haciendo lo mismo. Ignorando estrategias mixtas, ¿hay un equilibrio de Nash en este juego? Si es así, ¿qué es?

Hay dos equilibrios de Nash en este juego. En la primera, Lucy y Ricky eligen BALLET. ¿Por qué? Si Ricky elige BALLET, la mejor respuesta de Lucy es BALLET (la recompensa de Lucy es 100 contra –90). Si Lucy elige BALLET, la mejor respuesta de Ricky es BALLET (la recompensa de Ricky es 30 contra –90). Por lo tanto: BALLET, BALLET es un punto de mejor respuesta mutua. En el segundo Nash Equilibrium, Lucy y Ricky eligen BOXING MATCH Si Ricky elige BOXING MATCH, la mejor respuesta de Lucy es BOXING MATCH (la recompensa de Lucy es 30 contra –90).

Si Lucy elige BOXING MATCH, la mejor respuesta de Ricky es BOXING MATCH (la recompensa de Ricky es 100 contra –90) Por lo tanto: PARTICIPACIÓN DE BOXEO, PARTIDA DE BOXEO es también un punto de mejor respuesta mutua. 14.12 Supongamos que la demanda del mercado es P = 130 - Q. a) Si dos empresas compiten en este mercado con un costo marginal c = 10, encuentre la producción de equilibrio de Cournot y la ganancia por empresa. b) Encuentre la producción y el beneficio del monopolio si solo hay una empresa con costo marginal c = 10. c) Usando la información de las partes (a) y (b), construya una matriz de pago de 2 x 2 donde las estrategias disponibles para cada uno de los dos jugadores sean producir la cantidad de equilibrio de Cournot o la mitad de la cantidad del monopolio. d) ¿Cuál es el equilibrio de Nash (o equilibrios) del juego que construiste en la parte (c)? a) Cada firma de Cournot produce hasta que MR = MC, o 130 - 2Qi - Qj = 10. La producción de equilibrio de Cournot por firma es entonces Qi = 40. El precio de mercado es P = 50, y la ganancia por firma es πi = (50 - 10) * 40 = 1600. b) Un monopolista produce hasta 130 - 2Q = 10, lo que implica que Q = 60, P = 70 y π = 3600. c) Cuando ambas empresas eligen la cantidad de Cournot, cada una de ellas obtiene el beneficio de Cournot. De manera similar, producir la mitad de la producción del monopolio obtiene la mitad de las ganancias de la empresa. Cuando, por ejemplo, la empresa 1 produce la salida de Cournot Q1 = 40 mientras que la empresa 2 produce la mitad de la producción de monopolio Q2 = 30, el precio de mercado sería P = 60. La empresa 1 gana π1 = 2000 y la empresa 2 gana π2 = 1500. Cuando Los roles se invierten, al igual que los beneficios.

d) El juego en la parte (c) es un juego típico de Dilema de los prisioneros, donde el equilibrio de Nash único es que cada empresa produzca la salida de Cournot. 14.13 Considere el siguiente juego, donde x> 0:

a) ¿Para qué valores de x ambas compañías tienen una estrategia dominante? ¿Qué es el equilibrio de Nash (o equilibrios) en estos casos?

b) ¿Para qué valores de x solo una empresa tiene una estrategia dominante? ¿Qué es el equilibrio de Nash (o equilibrios) en estos casos? c) ¿Hay valores de x tales que ninguna de las dos empresas tenga una estrategia dominante? Ignorando estrategias mixtas, ¿hay un equilibrio de Nash en tales casos? a) Para x> 50, ambas empresas tienen una estrategia dominante. El NE único es (Bajo, Bajo). b) Para 40