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• Moni Moreno

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ESTRUCTURAS EN CELOSÍA

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS FIR Aplicación: - Procesado digital de la voz. - Implementación de filtros adaptativos. - Tratamiento de señales geofísicas...

Nomenclatura: y[n] =

m

∑ bm (k ) ⋅ x[n − k ]

k =0

⎧b (k ) 0 ≤ k ≤ m ⇒ h[n] = ⎨ m ; bm (0 ) = 1 0 resto ⎩

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS FIR

Filtro FIR de primer orden: m =1 ⎫ ⎬ b1(0) = 1⎭

⇒

y[n] = x[n] + b1(1) ⋅ x[n − 1] ⇒ Filtro de primer orden

Estructura en celosía de un filtro FIR de primer orden:

⎧ f 0 [n] = g 0 [n] = x[n] ⎪ ⎨ y[n] = f1[n] = f 0 [n] + k1 ⋅ g 0 [n − 1] ⎪ g [n] = k ⋅ f [n] + g [n − 1] ⎩ 1 1 0 0

⎧ y[n] = f1[n] = x[n] + k1 ⋅ x[n − 1] ⎨ ⎩ g1[n] = k1 ⋅ x[n] + x[n − 1]

k1 = b1(1)

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS FIR Filtro FIR de segundo orden: y[n] = x[n] + b2 (1) ⋅ x[n − 1] + b2 (2 ) ⋅ x[n − 2]

Estructura en celosía de un filtro FIR de segundo orden:

⎧ x[n] = f 0 [n] = g0 [n] ⎪ f [n] = f [n] + k ⋅ g [n − 1] 0 1 0 ⎪⎪ 1 ⎨ g1[n] = k1 ⋅ f 0 [n] + g0 [n − 1] ⎪ y[n] = f [n] = f [n] + k ⋅ g [n − 1] 2 1 2 1 ⎪ ⎪⎩ g 2 [n] = k2 ⋅ f1[n] + g1[n − 1]

⎧b2 (1) = k1 ⋅ (1 + k2 ) ⎨ ⎩b2 (2) = k 2

⎧ y[n] = f 2 [n] = x[n] + k1(1 + k 2 ) ⋅ x[n − 1] + k 2 ⋅ x[n − 2] ⎨ ⎩ g 2 [n] = k 2 ⋅ x[n] + k1(1 + k 2 ) ⋅ x[n − 1] + x[n − 2]

b2 (1) ⎧ ⎪k1 = 1 + b2 (2 ) ⎨ ⎪k = b (2 ) ⎩ 2 2

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS FIR Filtro FIR de orden M: y[n] = x[n] +

M

∑ bM (k ) ⋅ x[n − k ]

k =1

Estructura en celosía de un filtro FIR de orden M:

k m : coeficientes de reflexión

⎧ f 0 [n] = g 0 [n] = x[n] ⎪ f [n] = f ⎪ m m−1[n] + k m ⋅ g m−1[n − 1] ⎨ ⎪ g m [n] = km ⋅ f m−1[n] + g m−1[n − 1] ⎪⎩ y[n] = f M [n]

; m = 1,2,..., M ; m = 1,2,..., M

m ⎧ ⎪ f m [n] = ∑ bm (k ) ⋅ x[n − k ] ⎪ k =0 ⎨ m ⎪ ⎪ g m [n] = ∑ bm (m − k ) ⋅ x[n − k ] ⎩ k =0

;

bm (0) = 1

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS FIR Estructura en celosía de un filtro FIR de orden M: ⎧ f 0 [n] = g 0 [n] = x[n] ⎪ f [n] = f ⎪ m m−1[n] + km ⋅ g m−1[n − 1] ⎨ ⎪ g m [n] = k m ⋅ f m−1[n] + g m−1[n − 1] ⎪⎩ y[n] = f M [n]

; m = 1,2,..., M ; m = 1,2,..., M

Transformada z ⎧ F0 ( z ) = G0 ( z ) = X ( z ) ⎪ −1 ⎪ Fm ( z ) = Fm−1( z ) + k m z ⋅ Gm−1( z ) ; m = 1,2,..., M ⎨ ⎪Gm ( z ) = k m ⋅ Fm−1( z ) + z −1 ⋅ Gm−1( z ) ; m = 1,2,..., M ⎪ ⎩Y ( z ) = FM ( z )

⎡ Fm ( z )⎤ ⎡ 1 ⎢G ( z )⎥ = ⎢k ⎣ m ⎦ ⎣ m m ⎧ ⎪ f m [n] = ∑ bm (k ) ⋅ x[n − k ] ⎪ k =0 ⎨ m ⎪ [ ] g n = ∑ bm (m − k ) ⋅ x[n − k ] ⎪ m ⎩ k =0

;

bm (0 ) = 1

km ⎤ ⎡ Fm−1( z ) ⎤ ⋅ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z −1 ⋅ Gm−1( z )⎥⎦ m ⎧ ( ) ( ) F z X z = ⋅ ⎪ m ∑ bm (k ) ⋅ z −k = X (z ) ⋅ Pm (z ) ⎪ k =0 ⎨ m ⎪ −m ( ) ( ) G z z X z = ⋅ ⋅ ∑ bm (k ) ⋅ z k = z −m ⋅ Pm z −1 ⋅ X (z ) ⎪ m k =0 ⎩

( )

;

bm (0) = 1

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS FIR - CONVERSIÓN ESTRUCTURA EN CELOSÍA-FORMA DIRECTA: Fm ( z ) = Fm−1( z ) + k m z −1 ⋅ Gm−1( z )

⎧⎪ Fm ( z ) = X ( z ) ⋅ Pm ( z ) ⎨ ⎪⎩Gm ( z ) = z −m ⋅ Pm z −1 ⋅ X ( z )

( )

⎧⎪ P0 ( z ) = 1 ⎨ ⎪⎩ Pm ( z ) = Pm−1( z ) + k m ⋅ z −m ⋅ Pm−1 z −1

( )

Aplicando recursividad:

Y ( z ) = PM ( z ) ⋅ X ( z )

PM ( z ) ⇒ bM (k ) ; 0 ≤ k ≤ M

;

m = 0,1,2,..., M

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS FIR

Ejemplo: Los coeficientes de reflexión de un filtro FIR en celosía de tres etapas son: 1 1 1 k1 = ; k 2 = ; k3 = 4 2 3

Obtener los coeficientes del filtro FIR para estructura en forma directa ⎧ P0 ( z ) = 1 ⎪ 1 ⎪ P1( z ) = P0 ( z ) + k1z −1P0 z −1 = 1 + z −1 4 ⎪⎪ ⎨ 3 −1 1 −2 −2 −1 ( ) ( ) P z P z k z P z z + z 1 = + = + 2 1 2 1 ⎪ 8 2 ⎪ ⎪ P ( z ) = P ( z ) + k z −3 P z −1 = 1 + 13 z −1 + 5 z −2 + 1 z −3 2 3 2 ⎪⎩ 3 24 8 3

( ) ( ) ( )

5 1 ⎛ 13 ⎞ Y ( z ) = P3 ( z ) ⋅ X ( z ) = ⎜1 + z −1 + z − 2 + z −3 ⎟ ⋅ X ( z ) 8 3 ⎝ 24 ⎠

b3 (0 ) = 1; b3 (1) =

13 5 1 ; b3 (2 ) = ; b3 (3) = 24 8 3

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS FIR

Estructura en celosía de m etapas

m filtros FIR en Forma Directa H i ( z ) = Pi ( z ) ; i = 1,2,..., m

m coeficientes ki

⎧i = 1,2,..., m m(m + 1) coeficientes bi (k ) ; ⎨ 2 ⎩k = 0,1,..., i

Fórmula recursiva para la obtención de coeficientes:

( )

Pm ( z ) = Pm −1( z ) + km ⋅ z − m ⋅ Pm −1 z −1 ⎫ m m −1 m −1 ⎪⎪ −k −k −m k m ⎬ ⇒ ∑ bm (k ) ⋅ z = ∑ bm −1(k ) ⋅ z + km ⋅ z ⋅ ∑ bm −1(k ) ⋅ z −k Pm ( z ) = ∑ bm (k ) ⋅ z ⎪ k =0 k =0 k =0 ⎪⎭ k =0 m

m −1

k =0

k =0

∑ bm (k ) ⋅ z − k =

∑

m

bm −1(k ) ⋅ z − k + k m ⋅ ∑ bm −1(m − k ) ⋅ z − k k =1

bm (0 ) = 1

Comparando:

bm (m ) = km ⎧1 ≤ k ≤ m −1 bm (k ) = bm −1(k ) + k m ⋅ bm −1(m − k ) = bm −1(k ) + bm (m ) ⋅ bm −1(m − k ) ; ⎨ ⎩m = 1,2,..., M

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS FIR - CONVERSIÓN FORMA DIRECTA-CELOSÍA : ⎫ ⎪ ⎪ k =0 ⎬ ; bM (0) = 1 M ⎪ Y ( z ) = X ( z ) ⋅ H ( z ) = X ( z ) ⋅ ∑ bM (k ) ⋅ z −k ⎪ ⎭ k =0 y[n] =

DATOS:

M

∑ bM (k ) ⋅ x[n − k ]

Coeficientes de reflexión {ki} :

⇒ Y ( z ) = X ( z ) ⋅ PM ( z ) ⇒

H ( z ) = PM ( z )

→ k M = bM (M ) ⎧ PM ( z ) ⎪P k M −1 = bM −1(M − 1) ⎪ M −1( z ) → ⎨ .................................... ⎪ ⎪⎩ P1( z ) → k1 = b1(1)

Obtención de Pm(z) para m=M, M-1,…,1:

⎧⎪ F ( z ) = F ( z ) + k z −1 ⋅ G m m −1 m m −1 ( z ) ⎨ ⎪⎩Gm ( z ) = km ⋅ Fm −1( z ) + z −1 ⋅ Gm−1 ( z )

F ( z ) − k m ⋅ Gm ( z ) Fm−1( z ) = m 2 1 − km

Fm ( z ) = Fm−1( z ) + k m ⋅ [Gm ( z ) − k m ⋅ Fm−1( z )]

Pm−1( z ) =

( )

Pm ( z ) − k m ⋅ z −m ⋅ Pm z −1 2 1 − km

;

m = M , M − 1,...,1 km ≠ 1

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS FIR Ejemplo: Determina los coeficientes de reflexión de la estructura en celosía correspondiente A un filtro FIR cuya función del sistema es: H (z ) = 1 +

P3 ( z ) = H ( z ) = 1 +

13 −1 5 −2 1 −3 z + z + z 24 8 3

13 −1 5 − 2 1 −3 z + z + z 24 8 3

k3 = b3 (3) =

1 3

( )

Pm−1( z ) =

( )

Pm ( z ) − k m ⋅ z −m ⋅ Pm z −1

P ( z ) − k3 ⋅ z −3 ⋅ P3 z −1 3 1 P2 ( z ) = 3 = 1 + z −1 + z − 2 8 2 1 − k32

2 1 − km

P1( z ) =

( ) = 1 + 1 z −1

P2 ( z ) − k 2 ⋅ z − 2 ⋅ P2 z −1 1 − k 22

4

Fórmula recursiva para la obtención de coeficientes: k m = bm (m ); bm −1(0 ) = 1

b (k ) − bm (m ) ⋅ bm (m − k ) bm −1(k ) = m 2 (m ) 1 − bm

m = M ,...,2 1 ≤ k ≤ m −1

k 2 = b2 (2 ) =

k1 = b1(1) =

1 2

1 4

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS IIR Sistema IIR sólo polos: 1

H (z ) = 1+

N

∑ a N (k ) ⋅ z − k

=

1

PN ( z )

y[n] = x[n] −

N

∑ a N (k ) ⋅ y[n − k ]

k =1

k =1

⎧ f N [n] = x[n] ⎪f ⎪ m −1[n] = f m [n] − k m ⋅ g m −1[n − 1] ⎨ ⎪ g m [n] = k m ⋅ f m −1[n] + g m −1[n − 1] ⎪⎩ y[n] = f 0 [n] = g 0 [n]

;

m = N , N − 1,...,1

;

m = N , N − 1,...,1

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS IIR Ejemplo Sistema IIR sólo polos para N=2: Directa

FIR de orden 2

⎧ f 2 [n] = x[n] ⎪ f [n] = f [n] − k ⋅ g [n − 1] 2 2 1 ⎪ 1 ⎪⎪ g 2 [n] = k2 ⋅ f1[n] + g1[n − 1] ⎨ ⎪ f 0 [n] = f1[n] − k1 ⋅ g 0 [n − 1] ⎪ g1[n] = k1 ⋅ f 0 [n] + g 0 [n − 1] ⎪ ⎪⎩ y[n] = f 0 [n] = g 0 [n]

Generalizando:

IIR sólo polos de orden 2

Inversa

⎧ y[n] = f 0 [n] = x[n] − k1 ⋅ (1 + k 2 ) ⋅ y[n − 1] − k2 ⋅ y[n − 2] ⎨ ⎩ g 2 [n] = k 2 ⋅ y[n] + k1 ⋅ (1 + k2 ) ⋅ y[n − 1] + ⋅ y[n − 2]

N ⎧ ⎪ y[n] = f 0 [n] = x[n] − ∑ a N (k ) ⋅ y (n − k ) ⎪ k =1 ⎨ N ⎪ [ ] g n = ∑ a N (N − k ) ⋅ y(n − k ) ⎪ N ⎩ k =0

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS IIR Conclusiones: H D (z ) =

Y (z ) = X (z )

F0 ( z ) 1 = Fm ( z ) Pm ( z )

→

Función del sistema directa ( IIR sólo polos )

( )

G (z ) G (z ) H I ( z ) = m = m = z − m ⋅ Pm z −1 → Función del sistema inversa ( FIR ) Y (z ) G0 ( z )

Pm ( z ) =

m

∑ am (k ) ⋅ z − k

k =0

;

am (0 ) = 1

- Las estructuras en celosía tanto FIR como IIR se caracterizan por los mismo coeficientes de reflexión, ki, diferenciándose únicamente en su interconexión. - Los algoritmos de conversión de parámetros entre el sistema en forma directa bm(k) de un sistema FIR y los parámetros de la estructura en celosía, ki, se aplican también a la estructura sólo polos. - El sistema sólo polos será estable si sus polos se encuentran en el interior de la circunferencia de radio unidad lo cual implica que |km| < 1 para todo m.

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS IIR Estructura en celosía en escalera para un sistema de polos y ceros: M

∑ bM (k ) ⋅ z − k

B (z ) = M PN ( z ) 1 + ∑ a N (k ) ⋅ z − k

H (z ) = k =0 N

k =1

Para N = M

⇒

F.Directa II

N ⎧ ⎪w[n] = x[n] − ∑ a N (k ) ⋅ w[n − k ] ⎪ k =1 ⎨ M ⎪ ⎪ y[n] = ∑ bM (k ) ⋅ w[n − k ] k =0 ⎩

⎧ f N [n] = x[n] ⎪f [n] = f m [n] − km ⋅ g m −1[n − 1] ⎪ m −1 ⎪ g [n] = k ⋅ f m m −1[n] + g m −1[n − 1] ⎨ m ⎪ N ⎪ y[n] = ∑ vk ⋅ g k [n] ⎪⎩ k =0

;

m = N , N − 1,...,1

;

m = N , N − 1,...,1

IIR sólo polos (AR) FIR (MA)

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS IIR Cálculo de los coeficientes de la celosía en escalera: ⎧ ⎪ X ( z ) = FN ( z ) ⎪ F0 ( z ) 1 = ⎪H D (z ) = FN ( z ) PN ( z ) ⎪ ⎪ GM ( z ) = z − M ⋅ PM z −1 ⎨H I (z ) = G0 ( z ) ⎪ ⎪G0 ( z ) = F0 ( z ) ⎪ M ⎪ ⎪Y (Z ) = ∑ vk ⋅ Gk ( z ) ⎩ k =0

( )

M

H (z ) =

Y (z ) = X (z )

∑ vk ⋅ Gk (z )

BM ( z ) k = 0 = PN ( z ) FN ( z )

BM ( z ) =

M

=

M

G (z )

M

G (z ) F (z )

∑ vk ⋅ F k (z ) = ∑ vk ⋅ Gk (z ) ⋅ F 0 (z ) = k =0

k =0

( )

∑ vk ⋅ z − k ⋅ Pk z −1

k =0

∑ vk ⋅ z − k ⋅ Pk (z −1 ) M

N

k =0

0

⎧ PN ( z ) → ⎨ ⎩ BM ( z ) →

N

PN ( z )

ki

i = 1,2,..., N

vj

j = 0,1,...M

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS IIR Proceso de cálculo: 1.- Datos de partida: BM(z), PN(z) con N ≥ M. 2.- Cálculo de los coeficientes de reflexión, ki a partir de PN(z) utilizando las fórmulas de recurrencia obtenidas y los polinomios Pm(z) para m =0,1,...,M. 3.- Obtención de los polinomios Cm(z) = z-m . Pm(z-1) para m =0,1,...,M. 4.- Obtención de los parámetros de la escalera vm para m =0,1,...,M, de acuerdo con el siguiente procedimiento: Bm ( z ) =

Sea:

m

m −1

k =0

k =0

∑ vk ⋅ Ck (z ) = ∑ vk ⋅ Ck (z ) + vm ⋅ Cm (z ) = Bm −1(z ) + vm ⋅ Cm (z )

Bm ( z ) =

m

∑ bm (k ) ⋅ z

Cm ( z ) =

y

k =0 m

Entonces:

−k

∑ bm (k ) ⋅ z

k =0

Identificando para k = m:

−k

=

m

∑ cm (k ) ⋅ z − k

,

k =0

m −1

∑ bm −1(k ) ⋅ z

k =0

−k

+ vm ⋅

cm (m ) = 1

m

∑ cm (k ) ⋅ z − k

k =0

bm (m ) = vm ⋅ cm (m ) ⇒

bm (m ) = vm

Calculo de los polinomios Bm(z) de forma recursiva en sentido inverso, es decir para m=M,M-1,...2: Bm −1( z ) = Bm ( z ) − vm ⋅ Cm ( z )

⇒

bm (m )

⇒

vm

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS IIR Ejemplo: Obtener los parámetros de la estructura celosía en escalera para el siguiente sistema: H (z ) =

M ⎧ −k −1 −2 ⇒ M =2 ⎪ BM ( z ) = ∑ bM (k ) ⋅ z = 1 + 3 z + 4 z ⎪ k =0 ⎨ ⎪ P ( z ) = N a (k ) ⋅ z −k = 1 + 2 z −1 + 5 z −2 − 2 z −3 ⇒ N = 3 ∑ N ⎪ N ⎩ k =0

1 + 3 z −1 + 4 z − 2 1 + 2 z −1 + 5 z − 2 − 2 z −3

Obtención de los ki y los polinomios Pm(z):

k m = am (m ) am −1(0 ) = 1

a (k ) − am (m ) ⋅ am (m − k ) am −1(k ) = m 2 (m ) 1 − am

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ m = N ,...,2 ⎪ ⎪ 1 ≤ k ≤ m − 1⎪⎭

⎧k3 = a3 (3) = −2 ⎪a (0 ) = 1 ⎪ 2 ⎪ ⎧a2 (1) = −4 a (k ) − a3 (3) ⋅ a3 (3 − k ) ⇒ ⎨ ⎪a2 (k ) = 3 1 − a32 (3) ⎩a2 (2 ) = −3 ⎪ ⎪ ⎨k2 = a2 (2 ) = −3 ⎪a (0) = 1 ⎪ 1 a2 (1) − a2 (2) ⋅ a2 (1) ⎪ = =2 a 1 ( ) ⎪ 1 2 1 − a2 (2 ) ⎪ ⎪k1 = a1(1) = 2 ⎩

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS IIR

Polinomios Pm(z):

Polinomios Cm(z):

⎧ P ( z ) = 1 + 2 z −1 + 5 z −2 − 2 z −3 ⎪ 3 ⎪ −1 −2 ⎨ P2 ( z ) = 1 − 4 z − 3 z ⎪ −1 ⎪⎩ P1( z ) = 1 + 2 z ⎧C ( z ) = −2 + 5 z −1 + 2 z − 2 + z −3 ⎪ 3 ⎪ −1 −2 ⎨C2 ( z ) = −3 − 4 z + z Cm ( z ) = z − m Pm z −1 ⎪ −1 ⎪⎩C1 ( z ) = 2 + z

( )

Polinomios Bm(z): ⇒ bM ( M ) = v M ⎧ BM ( z ) ⎨ ⎩ Bm −1 ( z ) = Bm ( z ) − vm ⋅ C m ( z )

⇒

bm (m ) = v m

⎧ B ( z ) = 1 + 3z −1 + 4 z −2 ⇒ v = b (2) = 4 2 2 ⎪ 2 ⎪ −1 −2 −1 −2 = 13 + 19 z −1 ⇒ b1(1) = v1 = 19 ⎨ B1( z ) = B2 ( z ) − v2 ⋅ C2 ( z ) = 1 + 3z + 4 z − 4 ⋅ − 3 − 4 z + z ⎪ −1 −1 ⎪⎩ B0 ( z ) = B1( z ) − v1 ⋅ C1( z ) = 13 + 19 z − 19 ⋅ 2 + z = −25 ⇒ b0 (0) = v0 = −25

(

(

)

)

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS IIR Resultado: H (z ) =

1 + 3 z −1 + 4 z − 2 1 + 2 z −1 + 5 z − 2 − 2 z −3

Forma Directa II

⎧a3 (k ) = [1, 2, 5, − 2] ⎨ ⎩b2 (k ) = [1, 3, 4]

; k = 1,2,..., N ; k = 0,1,..., M

Celosía

; i = 1,2,..., N ⎧ki = [2, − 3, − 2] ⎨ ⎩v j = [− 25, 19, 4] ; j = 0,1,..., M