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• Gaston Ezequiel Rimbano

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MECÁNICA TÉCNICA

Guía de Problemas N°4 – Cinemática del Cuerpo Rígido CCR N° 1.- La caja rectangular rota alrededor de la diagonal HB con una velocidad angular constante  = 14 s-1. Conociendo que la velocidad angular tiene el sentido contrario a las agujas del reloj, cuando se observa desde el extremo B de la diagonal, se pide encontrar los vectores velocidad y aceleración del punto medio J de la cara ABFE.

CCR N° 2.- Un cuerpo sólido, de forma de un cubo de arista b = 2 m, efectúa simultáneamente cuatro rotaciones cuyos módulos son: 1 = 4 = 6 s-1 y 2 = 3 = 4 s-1. Se pide estudiar el movimiento resultante y verificarlo calculando las velocidades de los puntos F y G.

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CCR N° 3.- En el sistema diferencial indicado, los engranajes A y B pueden rotar libremente alrededor del eje AB; eje que a su vez rota en el plano i ; k alrededor de su punto medio. Si los engranajes C y D rotan con velocidades angulares 1 y 2 , constantes, ambas en el sentido contrario a las agujas del reloj cuando se los observa desde el eje j. Se pide encontrar el vector rotación del engranaje B.

CCR N° 4.- Dos ejes AC y CF que se encuentran en el plano vertical i ; j , están conectados mediante una unión universal en C. El eje CF rota con una velocidad angular 1 como se indica. En el instante en que el brazo de la cruceta unida al eje CF está horizontal, determinar la velocidad angular del eje AC. Resolver también en el caso que el brazo de la cruceta unida al eje CF está vertical.

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CCR N° 5.- La grúa está rotando alrededor del eje k con una velocidad angular constante cuyo módulo es 1 = 0,3 s-1 ; simultáneamente la pluma se eleva con una velocidad angular respecto de la cabina 2 = 0,5 s-1 cte. Asimismo, la grúa se desplaza con vo = 0,6 m/s y ao = 0,2 m/s2. Conociendo que en el instante indicado yp = 8 m y zp = 6 m. Calcular: a) la velocidad y aceleración del punto P de la pluma, b) la velocidad y aceleración angular de la pluma.

CCR N° 6.- Determinar las velocidades angulares de las barras correspondientes al mecanismo compuesto por tres barras OA ; AB ; BO1 que se mueven en el plano del dibujo. Considerar que la velocidad del punto medio D de la barra BO1 tiene, para el instante indicado un valor de 25 cm/s , siendo OA = 15 cm y AO1 = 10 cm.

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CCR N° 7.- En el instante correspondiente a la figura, la velocidad del collar D es de 360 mm / s hacia abajo y la rueda no patina del piso. Determinar: a) la velocidad angular de la barra BD; b) la velocidad del punto A de la rueda.

CCR N° 8.- En el mecanismo de la figura, la barra conductora OA y el engranaje I de radio r 1 están libremente montados sobre el árbol O. El eje O1 de la rueda II de radio r2 está fijado a la barra conductora. El engranaje III de radio r3 puede girar libremente alrededor del eje O. Se pide encontrar la velocidad angular de la rueda I, si la velocidad angular de la barra conductora es 0 = 0,5 s-1 y a la rueda III se le ha comunicado por medio de un motor una velocidad angular 3 = 1,5 s-1 en el sentido contrario a 0 , siendo además r2 = 2 r1 = 20 cm.

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CCR N° 9.- En la figura se muestra una bicicleta estilo antiguo, que no tenía cadena y que las bielas de los pedales estaban soldadas (conectadas rígidamente) al eje de la rueda delantera. Por esta razón, para lograr una velocidad de transporte aceptable, la rueda delantera debía ser grande. Si se espera una velocidad promedio para trasladarse de 15 km/h cuando se pedalea a razón de 60 rpm, calcular cuál deberá ser el diámetro de la rueda delantera asumiendo que las ruedas no resbalan del piso.

CCR N° 10.- La velocidad escalar instantánea de un punto “P” de la periferia del disco de radio r = 0,3 m; relativa al brazo OBA, es u = 5 m/s (cte.). Si el brazo gira con velocidad angular  = 4 t2 s-1 como se indica. Se pide encontrar para t = 2 s la aceleración del punto “P” cuando se encuentra en la posición “E”. Calcular asimismo el valor de “” supuestamente constante para que el punto “P” tenga aceleración nula cuando se encuentre en la posición “D”. Considerar en ambos casos que la posición de los ejes de referencia es la que se muestra en el dibujo. OB = 0,8 m , AB = 0,2 m.

CCR N° 11.- Un anillo hueco de radio r está rígidamente unido al eje AB, situado en el plano del anillo. Dentro del anillo circula líquido con velocidad de módulo constante u, relativa al anillo. El eje gira con velocidad angular constante . Determinar la expresión cartesiana de la aceleración en función de  y sus módulos en los puntos 1, 2, 3 y 4 señalados.

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CCR N° 12.- Se muestra una niña circulando en bicicleta y su diagrama simplificado para estudio. Si pedalea a razón de 40 rpm, calcular cuál será la velocidad de traslación en km/h considerando que no hay deslizamiento respecto al piso. Datos: R1(corona) = 6 cm, R2(rueda) = 20 cm, R3(piñón) = 3 cm.

CCR N° 13.- Para el juego de engranajes cónicos mostrado, el engranaje de mayor radio tiene una

) rad / seg . velocidad angular variable en el tiempo 1 (t )  50(1  e El vector rotación asociado a esta velocidad angular está orientado desde el punto O hacia el punto A. 0.2 t

a) Hallar la velocidad de rotación del engranaje 2 (n2 en RPM), luego de haber transcurrido t = 5 segundos. Qué porcentaje es respecto del valor final? b) Calcular la cantidad de revoluciones que cada rueda dentada realiza al primer minuto de haber sido puesto en marcha el mecanismo.

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CCR N° 14.- La horquilla gira alrededor de su eje vertical con velocidad angular constante 0=4 rad/s, tal como se muestra. Asimismo, el disco de radio igual a 20 cm. Gira sobre su eje geométrico con velocidad angular constante d=6 rad/s. Se pide encontrar: a) la aceleración del punto A que se encuentra sobre la periferia del disco en la posición mostrada, b) la aceleración angular del disco.

CCR N° 15.- Para el mecanismo reductor, se conoce el radio de las ruedas dentadas A, B, C y D igual a 20 cm; y la velocidad angular de la rueda A, 1200 rpm en sentido anti horario. Sabiendo que la rueda E está fija, determinar la velocidad angular del soporte en forma de Y. El soporte mencionado y la rueda dentada A tienen el mismo eje de rotación, pero no rotan solidarios.

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CCR N° 16.- Una barra rígida rota alrededor del punto “O” con una velocidad angular “ω” en sentido a favor de las agujas del reloj. Asimismo tiene en su extremo libre “O1” un perno en el que se le fue acoplado un disco de radio “R”, que gira independiente a velocidad angular “ω” en sentido contrario a las agujas del reloj. Se pide determinar las velocidades de los puntos A y B de la periferia del disco, si la distancia entre los puntos O y O1 es “L=3R”. ¿Cómo se llama el movimiento resultante del disco?

CCR N° 17.- El brazo ACB gira alrededor del punto C con una velocidad angular de 40 rad/seg en sentido contrario a las agujas del reloj. Se montan dos discos de fricción A y C en el brazo por medio de pasadores insertados en sus centros, como se muestra. Si los discos ruedan sin deslizar en las superficies de contacto, determinar la velocidad angular de los discos A y B.

CCR N° 18.- Sobre una mesa circular giratoria se encuentra una caja de cereales a una distancia de 1.5 m del centro. Se conoce que la aceleración angular de la mesa depende en forma directa del cuadrado del desplazamiento angular, y que ésta parte del reposo. Conociendo que luego de dada una vuelta completa la aceleración angular tiene valor ²/4 (1/seg²), se solicita determinar la velocidad de la caja a las 3 vueltas, asumiendo que a causa del movimiento la caja no sufrirá desplazamiento alguno respecto de la mesa. Calcular además el tiempo que transcurre desde la primera vuelta hasta la segunda vuelta.

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CCR N° 19.- Un hombre camina desde el centro de una plataforma giratoria hacia el exterior de la misma a lo largo de una trayectoria senoidal fija a la plataforma, de ecuación y(x) = 0.2*sen(2πx/3). La plataforma tiene 12 m de diámetro y gira a una velocidad angular constante de 10 rpm. Si la velocidad relativa del hombre a la plataforma es de módulo constante igual a 0,6 m/s; ¿Cuál será la magnitud de la aceleración absoluta cuando se encuentra a una distancia de 3 m del centro?

CCR N° 20.- En un parque de diversiones, unos columpios giran alrededor de un eje vertical con velocidad angular constante ω=3 rad/seg. La barra horizontal OA que sostiene a uno de los columpios mide 1,8 m y en su extremo está articulado el brazo de columpio AB que mide 6m. En el instante en que el brazo AB forma un ángulo de =20° con la vertical, la velocidad angular del brazo es ’=2 rad/seg y su aceleración angular es ’’=2 rad/seg². Calcular para ese instante la velocidad y aceleración de la barquilla en el extremo B del brazo.

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Algunas Respuestas y Resueltos:

 CCR N° 1.- vJ  (0, 15.8013, - 47.4039) cm / s  CCR N° 2.- vG  (-12, 12, - 8) m / s

 vF  (-12, 12, - 8) m / s

    1 R 1  2  CCR N° 3.-  B   2 , ,0 r 2  2 

 CCR N° 5.- vP  (2.4, 2.4, 4)m / s   P  (0.5, 0, 0.3) rad / s CCR N° 6.- O1B  9.4 rad / seg CCR N° 7.- BD  0.9 rad / seg 

 aJ  (-624.204, 299.618, 99.8726) cm / s 2

CCR N° 4.- 2  21

1 2

2  1

 aP  (1.8, 2.52, 1.5) m / s 2   P  (0, 0.15, 0) rad / s 2

 AB  9.4 rad / seg

OA  2.28 rad / seg

 vA  144 mm / seg 

CCR N° 8.- 1  16.5 rad / seg  CCR N° 13.- n2 (5)  583.062 rpm (63%)

Nrev1=26260.6

Nrev2=50731.5

 : Saliente al plano  : Entrante al plano    m  rad  CCR N° 14.-   24 k a A  6.7882 i  5.0912 j  7.3539 k   2    seg 2  seg CCR N° 15.- sop  300 rpm CCR N° 16.- vA  vB  3  R (El cuerpo se encuentra en traslación pura).   m  CCR N° 19.- aP   2.803 i 1.158 j      seg 2    m     m  CCR N° 20.- vP   11.28 i  4.1 j  11.56 k   ; a  31.6 i  26.66 j  67.66k      seg  P    seg 2 

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CCR N° 5.- La grúa está rotando alrededor del eje k con una velocidad angular constante cuyo módulo es 1 = 0,3 s-1 ; simultáneamente la pluma se eleva con una velocidad angular respecto de la cabina 2 = 0,5 s-1 cte. Asimismo, la grúa se desplaza con vo = 0,6 m/s y ao = 0,2 m/s2. Conociendo que en el instante indicado yp = 8 m y zp = 6 m. Calcular: a) la velocidad y aceleración del punto P de la pluma, b) la velocidad y aceleración angular de la pluma. Solución: Se estudia el movimiento en general, para cualquier instante. La posición del punto P de la pluma en el espacio queda definida de la siguiente manera:

El vector posición para un instante genérico queda definido como se muestra, utilizando el sistema de coordenadas esféricas que pone en evidencia el radio y los ángulos barridos en el plano y respecto al eje vertical.    OP  OQ  QP     OQ  x i  y j  OP  ( P  O )  R sin  cos  i  R sin  sin  j  R cos  k   QP  z k 

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Los ángulos barridos en el tiempo definen las velocidades angulares. Para nuestro enunciado, tenemos una velocidad angular apuntando al eje de cotas, y la otra velocidad angular en el eje de abscisas; pero esta segunda afirmación es relativa, ya que como mostramos en el gráfico general de la posición del punto P, éste va cambiando y el vector rotación asociado al movimiento de la pluma cambia permanentemente de dirección, manteniéndose siempre perpendicular a la pluma P. Adoptando la terna directa, el ángulo barrido  define a 1, pero el ángulo barrido  define a 2 en sentido contrario al otorgado como dato del problema. Esto se utiliza de la siguiente manera: d  1 dt

d  2 dt

A su vez, el gráfico vectorial de rotaciones es el que se muestra. La rotación 1 siempre apuntando al eje z, y la rotación 2 cambiando de dirección acorde a la posición de la pluma.

El vector rotación 1 y el vector rotación 2, definen al vector rotación total:  1  1 k   2  2 sin  i  2 cos  j  TOTAL  2 sin  i  2 cos  j  1 k Con esta expresión, puede obtenerse la aceleración angular de la pluma: 

 TOTAL 

d  TOTAL  12 cos  i  12 sin  j  0k dt

Recordar que los módulos de las velocidades angulares son constantes, por lo tanto su derivada se anula. Ahora bien, nuestro objetivo también es determinar la velocidad y aceleración. Se puede encarar de la siguiente manera: Edición 2019 – Unidad IV

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   vP    TOTAL  ( P  O)  d     aP     TOTAL  ( P  O )  TOTAL  TOTAL  ( P  O )  dt

Para los valores de este problema en particular: R

cos  

yP 2  zP 2



zP yP  z P 2

d    ao j dt

  vo j

sin  

2



yP  zP 2

 2

 TOTAL  2 i  1 k

( P  O )  yP j  z P k

yP 2



 TOTAL  12 j

Expresamos los resultados como vector columna, sólo por el limitado espacio de la hoja

i 0      vP    TOTAL  ( P  O)  vo   2  0  0 j 0 i    aP   ao   0 12  0  0 yP

k

0  2 z P  yP 1

 1 TOTAL  0.5 i  0.3 k s



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i



j 0 yP j 0  z P 2

 2.4 m 1   2.4 s z P  4  k

 1.8  m 1   2.52  2 s yP 2  1.5  k

 1  TOTAL  0.15 j 2 s

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CCR N° 8.- En el mecanismo de la figura la barra conductora OA y el engranaje I de radio r 1 están libremente montados sobre el árbol O. El eje O 1 de la rueda II de radio r2 está fijado a la barra conductora. El engranaje III de radio r3 puede girar libremente alrededor del eje O. Se pide encontrar la velocidad angular de la rueda I, si la velocidad angular de la barra conductora es 0 = 0,5 s-1 y a la rueda III se le ha comunicado por medio de un motor una velocidad angular 3 = 1,5 s-1 en el sentido contrario a 0 , siendo además r2 = 2 r1 = 20 cm.

Solución: Se obtienen las velocidades de los puntos cuya rotación ligada al cuerpo que participa es conocida, y que a su vez se vinculan con los otros cuerpos: VJ  3 ( R1  2 R2 )

VH  0 ( R1  R2 )

Ahora se pretende calcular la velocidad de los mismos puntos, pero vistas desde el segundo cuerpo, quedando así un sistema de ecuaciones, y poniendo en evidencia que la rueda 2 tiene desplazado su centro instantáneo de rotación: VJ  2 ( R2  X )

VH  2 X

Una vez obtenidas w2 y x, se puede calcular la velocidad angular de la rueda dentada 1. VG  2 ( X  R2 )

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VG  1 R1

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CCR N° 10.- La velocidad escalar instantánea de un punto “P” de la periferia del disco de radio r = 0,3 m, relativa al brazo OBA, es u = 5 m/s (cte.). Si el brazo gira con velocidad angular  = 4 t2 s-1 como se indica. Se pide encontrar para t = 2 s la aceleración del punto “P” cuando se encuentra en la posición “E”. Calcular asimismo el valor de “” supuestamente constante para que el punto “P” tenga aceleración nula cuando se encuentre en la posición “D”. Considerar en ambos casos que la posición de los ejes de referencia es la que se muestra en el dibujo. OB = 0,8 m , AB = 0,2 m. Solución: Datos: velocidad angular de la terna, aceleración angular, y velocidad relativa. d   4t 2    8t Todo esto par t  2 dt u  5m / s Para el cálculo de las aceleraciones en general:     aE  arel  aarr  a cor  u2 arel   i1 r  aarr   (OB  r ) k   2 (OB  r ) i  a  2  u i

 u2  aE   i   (OB  r ) k   2 (OB  r ) i  2  u i r  25  aE   i  16 (0.8  0.3) k  162 (0.8  0.3) i  160 i 0.3  a  204.93 i  17.6 k E

cor

En el caso de rotación uniforme:

  cte

  aD  0

  u 2  aD     2 (OB  r )  2  u  i r  2 1.1  10   83.333  0

  5.2738 s 1 Respetando el sentido que tiene en el gráfico.

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CCR N° 14.- La horquilla gira alrededor de su eje vertical con velocidad angular constante 0=4 rad/s, tal como se muestra. Asimismo, el disco de radio igual a 20 cm. Gira sobre su eje geométrico con velocidad angular constante d=6 rad/s. Se pide encontrar: a) la aceleración del punto A que se encuentra sobre la periferia del disco en la posición mostrada, b) la aceleración angular del disco.

Solución: Se plantea por absoluto y se desafía al estudiante a resolver por Relativo.

   v A      ( A  O)     d  aA     ( A  O)      ( A  O)  dt      0   d   0  0 j   d  d sin  i  cos  k      0   d  d sin  i  0 j  d cos  k   d   0d cos  i  0 j  0d sin  k dt    90O      k





0

d

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   ( A  O) 

i

j

k

d sin   R sin cos 

0 R cos

i

j

k

d cos   d R sin sin 

0

0

0

R

2 2

R

2 2

  90O  

2 2 2 i  d R j  d R k    ( A  O)  0 R 2 2 2   45  O

      ( A  O)  

i

j

d

0

0 R

2 2

d R

2 2

  2 0d R   2   k   2 2 0  d R  2   2  2 d R 2 2     d  0  R  2 2  

i     a A    ( A  O )       ( A  O )   0 0 R

j 0 2 2

  2 0d R   2 k     2 0d   d 2 R  2   2   2 R 2 2     d  0  R  2 2  

 2 2 2 a A  20d R i  d 2 R j  d 2  0 2  R k 2 2 2

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BIBLIOGRAFÍA (autor, título, y editorial): - F. P. Beer y E. R. Johnston, Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinámica, Mc GRAW-HILL. - R.Argüello, Mecánica, ANSUER,1995. - R. C. Hibbeler, Ingeniería Mecánica: Dinámica, PRENTICE HALL. - Boresi-Schmidt, Dinámica, THOMPSON. - R. Hertig, Mecánica Teórica, EL ATENEO. - P. Longhini, Mecánica Racional, EL ATENEO, 1960 - D. A. Wells, Dinámica de Lagrange, Mc GRAW-HILL. - M.Spiegel, Mecánica Teórica (Serie Schaum), Mc GRAW-HILL. - Mac Lean, Mecánica Técnica (Serie Schaum), Mc GRAW-HILL.

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