• Author / Uploaded
• Duvan Bam Bam

• Categories
• Integral
• Línea (Geometría)
• Conceptos matemáticos
• Ciencias físicas
• Ciencia

Citation preview

Grupo de ejercicios 1 – Integrales Dobles. (Aplicaciones de las integrales dobles – Momento de Inercia) Si una partícula de masa m está a una distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como: 𝑰 = 𝒎𝒅𝟐 = (𝒎𝒂𝒔𝒂)(𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂)𝟐 Se puede generalizar este concepto para obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes 𝑥 y 𝑦. Estos segundos momentos se denotan por 𝑰𝒙 e 𝑰𝒚 y en cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de una distancia.

Donde (𝑦 2 ) es el cuadrado de la distancia al eje 𝑥 (𝑥 2 ) es el cuadrado de la distancia al eje 𝑦 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 es la Masa A la suma de los momentos e se le llama el momento polar de inercia y se denota Por 𝑰𝟎 . Evaluar la integral doble requerida para hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones. c. 𝑦 = √𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 4, donde 𝜌 = 𝑘𝑥, y la recta 𝑦 = 𝑎 Grupo de ejercicios 2 – Integrales Triples. (Aplicaciones para hallar el valor promedio) Utilice integrales triples para calcular el valor promedio de 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) sobre la región dada:

c. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 𝑥 = 1, 𝑦 = 1 y 𝑧 = 1. e. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 2 − 3𝑦 2 + 2𝑧 2 sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 𝑥 = 1, 𝑦 = 2 y 𝑧 = 1. 1

1

1

𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫ ∫ ∫ (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 0

0

0

1

𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑥 = 𝑦 2 + 𝑧 2 + 0

1 3

1 1 1 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫ ∫ (𝑦 2 + 𝑧 2 + ) 𝑑𝑦 𝑑𝑧 3 0 0 1 1 2 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫ (𝑦 2 + 𝑧 2 + ) 𝑑𝑦 = 𝑧 2 + 3 3 0 1

2 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫ (𝑧 2 + ) 𝑑𝑧 3 0 1 2 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫ (𝑧 2 + ) 𝑑𝑧 = 1 3 0

𝑰(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟏 Grupo de ejercicios 3 – Integrales de Línea. (Aplicaciones de las integrales de línea – Trabajo y campos de Fuerza) Calcule el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F. Suponga que el campo que el arco se mide en metros y la fuerza en Newton. c. 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)𝒊 + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝒋 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶: es el segmento de resta del punto (1,1) al punto (3, 4). Grupo de ejercicios 4 – Integrales de Flujo (Aplicaciones a las integrales de superficie – Carga Eléctrica) En los siguientes ejercicios utilizar la Ley de Gauss para hallar la carga total en el interior de la superficie dada:

c. Sea 𝐸 = 𝑧𝒊 + 2𝑥𝒋 + 2𝑦𝒌 un campo electrostático. Usar la Ley de Gauss para hallar la carga total que hay en el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio 𝑧 = √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 y su base circular en el plano 𝑥𝑦. ̂) 𝐸 = (𝑧𝒊̂ + 2𝑥𝒋̂ + 2𝑦𝒌 𝑧 = √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ∇ · 𝐸⃗ = (

𝜕 ̂ 𝜕 ̂ 𝜕 ̂ ̂) 𝒊 + 𝒋 + 𝒌) ∙ (𝑧𝒊̂ + 2𝑥𝒋̂ + 2𝑦𝒌 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ∇ · 𝐸⃗ = (𝑧 + 𝑥 + 𝑦)

Φ = ∬ 𝐸⃗ . 𝑑𝑆 = ∭ ∇ · 𝐸⃗ 𝑑𝑉 = ∭(z + x + y)𝑑𝑉 𝑆

𝑉

𝑉

Hacemos el cambio de coordenadas Φ = ∭ 𝑝2 dv = ∭ 𝑝4 senφdpdθdφ 𝑉

𝑉 𝜋/2 2𝜋 1

Φ = ∫ ∫ ∫ 𝑝4 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝑝𝑑𝜃𝑑𝜑 0

0

0

Φ= Φ=

4𝜋 5

4𝜋 𝑞 = 5 𝜀0

q=

4𝜋 𝜀0 5

Grupo de ejercicios 5 – Teoremas de Integración (Aplicación de los Teoremas de Integración – Movimiento de un líquido) En los siguientes ejercicios el movimiento de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1, se define mediante el campo de velocidad 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧). Hallar

Donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico: ̂ c. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝒊̂ + 𝑦𝒋̂ + 2𝒌 ∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (

𝜕 ̂ 𝜕 ̂ 𝜕 ̂ 𝒊 + 𝒋 + 𝒌) ∙ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Ahora hallamos el vector de rotacional de la función 𝑟𝑜𝑡𝑓 = ∇ × 𝐹 ̂ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝒊̂ + 𝑦𝒋̂ + 2𝒌 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝒊̂ 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝒋̂ ̂ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝒌 ∇x⃗⃗𝐹 = (

𝜕𝑅 𝜕𝑄 ̂ 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 ̂ − ) 𝒊 + ( − ) 𝒋̂ + ( − ) 𝒌 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ̂ ∇x⃗⃗𝐹 = (0)𝒊̂ + (0)𝒋̂ + (0)𝒌

𝑟𝑜𝑡𝑓 = ∇ × 𝐹 = (0,0,0) Hallamos el vector normal e igualamos a cero. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 − 𝑧0 ∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∇𝐹 = 𝜕

(𝑧 − 𝑧0 ) ̂ (𝑧 − 𝑧0 ) ̂ 𝑧 − 𝑧0 ̂ 𝒊+𝜕 𝒋+𝜕 𝒌 𝜕 𝜕 𝜕 ∇𝐹 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,1) = ⃗𝑛

𝑟𝑜𝑡𝑓 ∙ 𝑛⃗ = (∇ × 𝐹 ) ∙ 𝑛⃗ |∇ × 𝐹 | ∙ 𝑛⃗ = (0,0,0) ∙ (0,0,1) = 0 ∬(∇ × 𝐹 ) ∙ 𝑛⃗𝑑𝑠 = ∬ 𝑑𝑠 𝑠

𝑠 0

∫

√1−𝑥 2

∬ 𝑑𝑦 𝑑𝑥

−1 −√1−𝑥 2

Cambio de coordenadas polares

2𝜋

1

∫ ∬ 𝑟𝑑 𝑟𝑑𝜃 0

0

2𝜋

2𝜋

0

0

𝑟2 1 ∫ [ ] 𝑑𝜃 = ∫ ( ) 𝑑𝜃 = 𝜋 2 2