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• Román Delgado

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL APROXIMADA APLICACIONESD DE

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La ubicación donde tomamos medidas para hallar el caudal del rio de chonta que pasa por el distrito de Otuzco. El lugar tiene como coordenadas: Latitud de

7° 7'31.50"S.

Longitud de 78°27'15.00"O.

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En la imagen podemos observar la ruta y el lugar de trabajo

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En el presente informe hallaremos el caudal de un rio como una práctica de campo de matemática II. El trabajo consiste en una aplicación de las integrales especialmente de integración numérica. La integración numérica es una técnica que se puede usar para aproximar el valor de la integral de una función que no sea posible integrar. Es decir la integración numérica se conoce también como integración aproximada nos sirve para calcular una integral definida la cual es difícil de integrar analíticamente entonces recurrimos a la integración por aproximación. Existen dos métodos de integración aproximada: Método del trapecio. Método de Simpson. Estos métodos lo describiremos en el marco teórico.

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Objetivo principal El objetivo principal de este trabajo es:  Calcular el caudal de un rio.

Objetivos secundarios Los objetivos secundarios de este trabajo son:

 Conocer la importancia de las integrales.  Aplicar la integración numérica para calcular el caudal de un rio.  Reforzar nuestro conocimiento

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INTEGRACIÓN NUMÉRICA La integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. Es decir la integración numérica es una técnica que se puede usar para aproximar el valor de la integral de una función que no sea posible integrar. Existen dos métodos integración numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson.

En la imagen (a) descripción del método del trapecio y (b) la de Simpson

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REGLA DEL TRAPECIO Este nombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la fórmula. El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta. La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo [a,b] , que es precisamente el área del trapecio que se forma.

En donde f1(x) corresponde a una línea recta que se representa como:

El área bajo la línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b:

El resultado de la integración es:

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REGLA TRAPEZOIDAL DE SEGMENTOS MULTIPLES Una manera de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal sencilla es la de dividir el intervalo de integración desde "a" hasta "b" en conjunto de segmentos y aplicar el método a cada uno de los segmentos. En seguida se suman las áreas de los segmentos individuales y se obtiene la integral sobre el intervalo completo. Por consiguiente, hay n segmentos de igual anchura:

Si a y b se igualan a x0 y a xn (puntos base igualmente espaciados), la integral total se representa como:

Sustituyendo la regla trapezoidal para cada una de las integrales, se obtiene:

Agrupando términos

usando la ecuación en la forma general, se obtiene:

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REGLA DE SIMPSON Este método también se conoce como regla parabólica porque está formado por segmentos parabólicos.

REGLA DE SIMPSON DE 1/3 La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuación:

Si a y b se denominan como x0 y x2, y f2 (x) se representa mediante un polinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es:

Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:

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REGLA DE SIMPSON 1/3 DE SEGMENTOS MULTIPLES Así como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual anchura. h= (b-a)/n La integral total se representa como:

Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene:

Reordenando los términos, se obtiene:

REGLA DE SIMPSON DE 3/8 De manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar;

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Para obtener

En donde h= (b-a)/3. A esta ecuación se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un múltiplo de 3/8.

CAUDAL El caudal se define como la cantidad de volumen de agua que sale en cada unidad de tiempo. Matemáticamente el caudal tiene la siguiente formula: Q=A*V 𝒎𝟑 /s Donde A es el área transversal del rio y V es la velocidad de la corriente

Es decir A en 𝒎𝟐 y V en m/s. Por lo tanto las unidades del caudal es 𝒎𝟑 /s

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MATERIALES Los materiales que se han utilizado en este trabajo son: Winchas. palo delgado recto de dos metros. Cámara fotográfica Laptop. Cronómetro. Botella de plástico

MÉTODOS Los métodos a utilizar en este trabajo son:  

Regla del trapecio. Regla de Simpson.

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El procedimiento de este trabajo se ha realizado de la siguiente manera: A) Primeramente hemos buscado un rio y fuimos a Otuzco al rio de nombre chonta.

B) Luego buscamos un tramo del rio que sea casi recto y tenga una longitud no menos de 20 metros.

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C) Luego con la ayuda de los materiales antes mencionados empezamos a medir la profundidad del ancho del rio que es de 13 metros, cada 0.5metros.

D) luego de obtener las profundidades del ancho calculamos la velocidad del agua con la ayuda de un cronometro calculamos el tiempo en que recorre un objeto pequeño los 20 metros del tramo del rio.

E) Luego de esto procedemos a los cálculos y resultados.

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LOS RESULTADOS DE LAS PROFUNDIDADES CON RESPECTO AL ANCHO DEL RIO ANCHO DEL RIO (m) PROFUNDIDAD (cm) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13

0 40 45 55 79 68 70 71 72 77 76 74 75 73 71 66 67 73 73 71 56 65 56 53 50 45 32

Como podemos observar el ancho del rio es de 13 metros y la profundidad varía de acuerdo a la distancia que estamos de las riveras del rio.

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HALLANDO LA VELOCIDAD DE LA CORRIENTE Sabemos que la velocidad es:

.

Para esto soltamos la botella de plástico y controlamos el tiempo en que demora en recorrer los 20 metros. N°. DE VECES

DISTANCIA (m)

1 2 3 4 5

VELOCIDAD (m/s)

TIEMPO (s)

20 20 20 20 20

15.51 17.01 16.65 15.83 16.32

VELOCIDAD PROMEDIO(m/s)

1.289490651 1.175778954 1.201201201 1.263423879 1.225490196

1.231076976

Por lo tanto la velocidad promedio es igual a: V=1.231076976 m/s

HALLAMOS EL ÁREA DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DEL RIO CUYO GRAFICO ES EL SIGUIENTE

PROFUNDIDAD

0 -10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

-20

-30 -40 -50 -60 -70 -80 -90

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CÁLCULO DEL ÁREA UTILIZANDO LA REGLA DEL TRAPECIO Par esto hacemos la siguiente tabla.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13

0 40 45 55 79 68 70 71 72 77 76 74 75 73 71 66 67 73 73 71 56 65 56 53 50 45 32

0.5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.5 LA SUMA DE LOS PRODUCTOS TRAPECIOS ES:

0 40 45 55 79 68 70 71 72 77 76 74 75 73 71 66 67 73 73 71 56 65 56 53 50 45 16

1637

Donde producto trapecio es el producto de F (XI) y los coeficientes de la regla del trapecio.

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Como el área mediante la regla del trapecio es igual a Área = h (suma de productos trapecios) Donde h=0.5 m. pero la suma de los productos de los trapecios esta en cm entonces h debe estar en cm. h=50cm. Suma de los productos =1637cm. Por lo tanto Área = h (suma de productos trapecios). Área =50. (1637)𝑐𝑚2 Área =81850 𝑐𝑚2 convirtiendo a metros Área=8.185 𝑚2

CÁLCULO DEL CAUDAL MEDIANTE LA REGLA DEL TRAPECIO Como sabemos que el caudal es igual a Área por la Velocidad entonces:

Q=Área*Velocidad Q=8.185 𝑚2 *1.231076976 m/s

Q=10.07636505 𝒎𝟑 /s

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CALCULO DEL AREA DE LA SECCION TRANSVERSAL DEL RIO MEDIANTE LA REGLA DE SIMPSON Para esto hacemos la siguiente tabla. I

XI 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

COEFICIENTE DE R.SIMPSON

F(XI) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13

0 40 45 55 79 68 70 71 72 77 76 74 75 73 71 66 67 73 73 71 56 65 56 53 50 45 32

PRODUCTO SIMPSON 1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1

LA SUMA DE : PRODUCTOS SIMPSON ES:

0 160 90 220 158 272 140 284 144 308 152 296 150 292 142 264 134 292 146 284 112 260 112 212 100 180 32

4936

Donde el producto Simpson es el producto de F (XI) por los coeficientes de la regla de Simpson.

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Como el área mediante la regla de Simpson es igual a Área = h/3 (suma de productos Simpson) Donde h=0.5 m. pero la suma de los productos de los trapecios esta en cm entonces h debe estar en cm. h=50cm. Suma de los productos =4936cm. Por lo tanto área = h/3 (suma de productos Simpson). Área = (50/3). (4936)𝑐𝑚2 Área =82266.6667 𝑐𝑚2 convirtiendo a metros Área=8.2267 𝑚2

CÁLCULO DEL CAUDAL MEDIANTE REGLA DE SIMPSON

Como sabemos el caudal es igual a Área por Velocidad entonces. Q=Área*Velocidad Q=8.2267 𝑚2 *1.231076976 m/s

Q=10.12770096 𝒎𝟑 /s

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Al concluir este trabajo de campo podemos concluir lo siguiente

 Hemos aprendido a calcular el caudal de un rio mediante integración numérica o aproximada que era el objetivo principal de este trabajo.  En cuanto al resultado del caudal del rio mediante los dos métodos hay una variación de 0.05133591 𝑚3 /s es porque el método del trapecio calcula el área mediante trapecios mientras que el método de Simpson utiliza secciones parabólicas.  También podemos rescatar la importancia que tiene las integrales en el desarrollo de problemas de la sociedad como el de hallar el caudal de un rio, volúmenes, áreas, etc.  Finalmente podemos concluir que la integración numérica es de gran importancia porque nos permite desarrollar problemas que es difícil desarrollar analíticamente; mientras que la integración numérica o aproximada lo realiza de manera más sencilla.

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Para este trabajo se ha investigado en las siguientes fuentes de información.  Análisis matemático II. Para estudiantes de ciencias e ingeniería. Eduardo Espinoza Ramos.4°edicion.  Análisis matemático II. Humberto Venero.7°edicion.Lima Perú.  http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica  http://www.monografias.com/trabajos-pdf/integracion-numerica/integracionnumerica.shtml.  http://enciclopedia.us.es/index.php/Caudal_de_un_r%C3%ADo

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Estos son algunos de los materiales que hemos utilizado

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