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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

“CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR EN UN CIRCUITO RC”

Informe de investigación presentado por: Huere Chávez Percy Leonardo ……………….20181337G Obispo Cusacani Diego Yailh ………………...20181284K Inche Huaringa Christian Alberto …………….20182605E Mogrovejo López Jesús Alberto ……………...20181331I

Profesores: Carlos Ochoa Luis Manrique Enciso Manuel

Curso: Electromagnetismo y óptica (BFI02-N)

2019

1. OBJETIVO Medir el tiempo de carga y descarga de un condensador en un circuito RC, usando un osciloscopio.

2. MARCO TEÓRICO 2.1.

Capacitor Consiste en dos conductores con cargas iguales y de signo opuesto, esto se consigue llevando la carga de un conductor al otro de tal manera que si se tiene una carga Q el primero habrá quedado con una carga -Q. Entonces, se dice que es un dispositivo capaz de almacenar energía eléctrica sustentando un campo eléctrico.

2.2.

Osciloscopio Un osciloscopio es un tipo de instrumento de pruebas electrónico, y sirve para mostrar y analizar el tipo de onda de señales electrónicas. Además, este dispositivo dibuja una gráfica que representa señales eléctricas, las cuales varían con el tiempo.

2.3.

Estudio del circuito RC Un circuito RC es un circuito compuesto de resistores y condensadores alimentados por una fuente eléctrica. Cuando se conecta un condensador descargado a dos puntos que se encuentran a potenciales distintos, el condensador no se carga instantáneamente. Observe el circuito RC en serie de la figura 1. Si en el instante t=0 el interruptor es conectado a la posición 1, estrictamente hablando, el circuito esta todavía abierto, no pueden circular cargas eléctricas a través del condensador. Sin embargo, durante el intervalo de tiempo muy corto la batería trasladara electrones, a través de la resistencia, desde la placa de arriba hacia la placa de abajo, quedando la primera cargada positiva y la segunda negativamente. El flujo de electrones termina cuando la diferencia de potencial en el condensador es igual al voltaje de la batería.

Figura 1

Puede demostrarse que, a partir del instante de la conexión la carga Q del condensador varia con el tiempo de acuerdo a la expresión 𝑡

𝑄(𝑡) = 𝑉𝐶 (1 − 𝑒 −𝑅𝐶 )

Donde V es el voltaje de la batería, C la capacitancia del condensador y R el valor de la resistencia. Así mismo, puede demostrarse que, desde el instante de la conexión, circulara a través de la resistencia una corriente dada por:

𝐼(𝑡) =

𝑉 −𝑡 𝑒 𝑅𝐶 𝑅

Al tiempo 𝜏 = 𝑅𝐶 en que la carga del condensador es 0.632 de su valor final se le llama tiempo de carga del condensador. Este es el mismo tiempo en que la corriente del condensador disminuye a 0.368 de su valor inicial.

Figura 2a

Figura 2b

Si el condensador ya está cargado y, en un instante, que podemos llamar 𝑡1 , conectamos el interruptor S a la posición 2, los electrones de la placa interior regresan a la superficie hasta que ambas placas quedan con carga cero. Durante este proceso la carga Q en el condensador queda expresada por:

𝑄(𝑡) = 𝑉𝐶𝑒 −

(𝑡−𝑡1 ) 𝑅𝐶

Y la corriente por la expresión:

𝐼(𝑡) = −

𝑉 −(𝑡−𝑡1 ) 𝑒 𝑅𝐶 𝑅

Donde el primer signo menos indica que la corriente de descarga es en un sentido opuesto a la corriente durante la carga del condensador. Las figuras 3a y 3b muestran respectivamente el comportamiento en función del tiempo de la carga Q del condensador y de la corriente I en el circuito, durante el proceso de descarga.

Figura 3a

Figura 3b

Un generador de onda cuadrada es un dispositivo que genera un voltaje que depende del tiempo en la forma indicada en la figura 4.

Figura 4

Si el periodo de la onda cuadrada (T) es mucho mayor que el tiempo de carga del condensador (𝜏) y si el generador se conecta al circuito, el generador actúa como una batería automática que se conecta alternativamente a las posiciones 1 y 2 cada T/2 segundos. Entonces, el condensador experimentara procesos periódicos de carga y descarga. La carga Q en función del tiempo quedará representada por una gráfica como la mostrada en la figura 6a y la función I vs t por una gráfica como la mostrada en la figura 6b.

Figura 6a

Figura 6b

3. MATERIALES Y PROCEDIMIENTO 3.1.

Materiales o Un osciloscopio de dos canales Elenco modelo S-1325

o Un generador de función Elenco GF-8026

o Una caja con condensadores y resistencias

o Un multímetro digital

o Cables de conexión

3.2.

Procedimiento

1. Poner en operación el osciloscopio y el generador de función. 2. Variar la frecuencia de la onda cuadrada hasta obtener 250 Hz. 3. Conectar el generador de onda al canal 1 (conexión 12) del osciloscopio, usando un cable con los dos terminales coaxiales. 4. El control 28 del osciloscopio debe estar en 205 ms/div; el control 13 en 2 o en 5 V/div y el control 30 en posición “afuera”. 5. Verificar que un periodo completo de la onda cuadrada ocupa 8 dimensiones horizontales y varíe la amplitud en el generador hasta que el voltaje de la onda cuadrada sea de 10V. 6. Usando los elementos R1 y C1 de la caja de condensadores, establecer el arreglo experimental de la figura 5. 7. Moviendo alternativamente el control 21 a CHA y CHB usted puede tener los gráficos de VC vs t y VR vs t. 8. Recuerde que VC es proporcional a la carga del condensador y V R es proporcional a la corriente en el circuito RC, así que lo que usted tiene en la pantalla son en realidad gráficos de carga vs tiempo y de corriente vs tiempo como los mostrados en las figuras 6a y 6b. 9. Usando el control 13 y el control 11 logre que la curva V C vs t ocupe 5 cuadraditos verticalmente. 10. Usando el control 25 trate que el gráfico VC vs t permanezca estacionario. 11. Mida el tiempo 𝜏 en el cual el voltaje a través del condensador va de 0 a 0.63 Vo en la curva de carga. (Vo es el voltaje máximo que alcanza el condensador) 12. Mida el tiempo en el cual el voltaje a través del condensador va de V o a 0.37 Vo, en la curva de descarga del condensador. 13. Cambie el control 21 a CHB y observe la corriente en función del tiempo. 14. Mida el tiempo en que la corriente decae a 37% de su valor inicial. 15. Jale hacia afuera el control 16 y coloque el control 21 en posición ADD, se observará la onda cuadrada. ¿Por qué?

16. Mida con un multímetro digital el valor en ohmios de la resistencia que ha usado en el circuito RC. Usando el valor de 𝜏 obtenido experimentalmente y la relación 𝜏 = RC determine el valor de la capacitancia. 17. Use la resistencia R1 y el condensador C2, y repita los pasos del 7 al 16. 18. Repita los pasos del 7 al 16 usando las combinaciones posibles de resistencias y condensadores dados en la caja. 19. 20. Apague el osciloscopio y el generador por un momento y trate de resolver con lápiz y papel el siguiente problema:

Figura 7

21. Monte el circuito de la figura 8 y verifique experimentalmente sus respuestas al problema planteado en 19. Use un valor de voltaje para la onda cuadrada de 10 V.

Figura 8

4. ANÁLISIS DE DATOS, CÁLCULOS Y RESULTADOS 4.1.

Experimento 1

1. Encuentre los valores de las capacitancias de los condensadores usados y compare las capacitancias dada por el fabricante. También compare

𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 y 𝜏𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 . 𝑹𝒆𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒇𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝝉𝒆𝒙𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍

𝑪𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒊𝒅𝒐

𝑪𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍

(𝜴)

(𝑯𝒆𝒓𝒕𝒛)

(𝟏𝟎 𝒔)

(𝒏𝑭)

(𝒏𝑭)

𝐑 𝟏 = 3251 ± 1

250 Hz

0.36

C1 =10.32 ± 0.01

C1 =10.0

𝐑 𝟐 = 10000 ± 1

250 Hz

4.20

C2 =46.43 ± 0.01

C2 =45.0

−𝟒

Ahora compararemos las capacitancias obtenidas con las dadas por el fabricante (nominales).

El error porcentual se calculará:

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (𝐶) =

|𝐶𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐶𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 | ∗ 100% 𝐶𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙

Para el capacitor (1):

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (1) =

|10.0 − 10.32| ∗ 100% 10.0

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (1) =

0.32 ∗ 100% 10.0

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (1) = 3.2%

Para el capacitor (2):

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (2) =

|45.0 − 46.43| ∗ 100% 45.0

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (2) =

1.43 ∗ 100% 45.0

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (2) = 3.18%

Ahora se comparar el 𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 y 𝜏𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 . Para ello se calculará primero el 𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 .

𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ∗ 𝐶𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 NOTA: Como las resistencias y las capacitancias presentan incertidumbre (error), para multiplicarlos se utilizará lo siguiente.

(𝑥 ± ∆𝑥) ∗ (𝑦 ± ∆𝑦) = 𝑥𝑦 ± 𝑥𝑦 (

∆x ∆𝑦 + ) 𝑥 𝑦

Para el circuito R1 y C1 :

𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 (1) = 3251 ± 1 ∗ 10.32 ± 0.01 𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 (1) = 3251 ∗ 10.32 ± 3251 ∗ 10.32 (

1 3251

𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 (1) ≈ (0.336 ± 0.00043) ∗ 10−4 𝑠

+

0.01 10.32

)

Para el circuito R 2 y C2 :

𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 (2) = 10000 ± 1 ∗ 46.43 ± 0.01 𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 (2) = 10000 ∗ 46.43 ± 10000 ∗ 46.43 (

1 10000

+

0.01 46.43

𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 (2) ≈ (4.64 ± 0.00146) ∗ 10−4 𝑠 Se calculará el error porcentual entre 𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 y 𝜏𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 .

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (𝜏) =

|𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝜏𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 | ∗ 100% 𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜

Para el circuito R1 y C1 : 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (1) =

|0.336 − 0.360| ∗ 100% 0.336

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (1) =

0.024 ∗ 100% 0.336

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (1) ≈ 7.14%

Para el circuito R 2 y C2 :

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (2) =

|4.64 − 4.20| ∗ 100% 4.64

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (2) =

0.44 ∗ 100% 4.64

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 (2) ≈ 9.48%

)

4.2.

Experimento 2

1. En el circuito 7. (a) ¿Cuál es la corriente en el instante en que el interruptor se coloca en la posición 1? (b) ¿Cuál es la corriente un instante muy posterior al instante en el que se hace la conexión? (c) ¿Cuáles son los valores mínimo y máximo de corriente que se obtienen al poner el interruptor S a la posición 2? (d) ¿Cuál es el máximo voltaje a través del condensador? Proceso de carga: Si ponemos el interruptor S en la posición 1 entonces ocurrirá que el condensador se cargará:

→𝐼 ↓ 𝐼1

Se sabe: 𝐶 = 10,32 𝑛𝐹 𝑅1 = 10000 𝑅2 = 3251 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 𝑉 = 𝐼𝑅1 + 𝐼1 𝑅2 𝑄 = 𝐼1 𝑅2 𝐶

↓ 𝐼2

Despejos I y 𝐼1 para quedarnos solo con 𝐼2 : 𝑉𝐶 − 𝑄 𝑄 = + 𝐼2 𝐶𝑅1 𝐶𝑅2 Pero: 𝐼2 =

𝑑𝑞 𝑑𝑡

Entonces:

𝑉𝐶 − 𝑄 𝑄 𝑑𝑞 = + 𝐶𝑅1 𝐶𝑅2 𝑑𝑡 Sabemos: 1 1 1 = + 𝑅𝑒 𝑅1 𝑅2 𝑡

𝑄

𝑑𝑞

𝑞=0

𝑉 𝑄 𝑅1 − 𝐶𝑅𝑒

∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡=0

−

𝑡 𝑄𝑅1 = ln(1 − ) 𝐶𝑅𝑒 𝐶𝑉𝑅𝑒 𝑒

−

𝑡 𝐶𝑅𝑒

=1−

𝑄𝑅1 𝐶𝑉𝑅𝑒

La ecuación de la carga es: 𝑄(𝑡) =

𝑡 𝐶𝑉𝑅2 − (1 − 𝑒 𝐶𝑅𝑒 ) 𝑅1 + 𝑅2

𝑄𝑚𝑎𝑥 =

𝐶𝑉𝑅𝑒 𝑅1

Entonces el tau teórico es: 𝜏 = 𝐶𝑅𝑒 𝜏 = 10,32 × 10−8 × (

10000 × 3251 ) 13251

𝜏𝑒𝑥𝑝 = 0,02531908 Y sabemos que: 𝜏𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 = 0,02500000 Entonces el error es de 1,25993000% Ahora hallaremos la corriente sabiendo que: 𝐼2 =

𝑑𝑞 𝑑𝑡

Entonces: 𝐼2 =

𝑉 −𝑐𝑅𝑡 𝑒 𝑒 𝑅1

Usando las ecuaciones de las mallas se obtiene: −

𝐼(𝑡)

Cuando t tiende al infinito 𝐼(𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎) =

Cuando t es 0:

𝑡

𝑉 10000 + 13251𝑒 25319,1×10−9 = ( ) 10000 13251

𝑉 13251

𝐼(𝑚𝑎𝑥) =

𝑉 10000

Proceso de descarga: Cuando el interruptor S se conecta a la posición 2, la corriente circula en sentido antihorario debido a que el condensador se está descargando.

←𝐼 ↑ 𝐼1

Entonces se obtiene las siguientes ecuaciones: 𝑄 − 𝐼1 𝑅2 = 0 𝐶 𝑄 − 𝐼𝑅1 = 0 𝐶 𝐼𝑅1 𝐼1 = − 𝑅2 Despejo I y 𝐼1 para quedarnos solo con 𝐼2 : −

𝑄 𝑄 = + 𝐼2 𝐶𝑅1 𝐶𝑅2 −

Como:

𝑄 = 𝐼2 𝐶𝑅𝑒

↑ 𝐼2

𝐼2 =

𝑑𝑞 𝑑𝑡

Entonces se obtiene: −∫

−

𝑄 𝑑𝑡 𝑑𝑞 =∫ 𝐶𝑅𝑒 𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑄

𝑡 𝑄 = ln 𝐶𝑅𝑒 𝑄𝑚𝑎𝑥

𝑄 = 𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑒

−

𝑡 𝐶𝑅𝑒

Derivamos: 𝐼2 = −

𝑄𝑚𝑎𝑥 −𝐶𝑅𝑡 𝑒 𝑒 𝐶𝑅𝑒

Donde: 𝑄𝑚𝑎𝑥 =

𝐶𝑉𝑅𝑒 𝑅1

Entonces la corriente en función del tiempo que pasa por el condensador es: 𝐼2(𝑡) = −

𝐼2(𝑡) = −

𝑉 −𝐶𝑅𝑡 𝑒 𝑒 𝑅1

𝑡 𝑉 − 𝑒 𝐶𝑅𝑒 10000

El 𝐼𝑚𝑎𝑥 a través del condensador es: 𝐼2(𝑚𝑎𝑥) = −

𝑉 10000

El 𝐼𝑚𝑖𝑛 a través del condensador es cuando t tiende al infinito:

𝐼2(𝑚𝑖𝑛) = 0

4.3.

5. CONCLUSIONES 

Si usábamos los datos ofrecidos que estaban impresos en las resistencias y capacitores entonces nuestro error experimental hubiera sido mucho mayor al que obtuvimos haciendo las medidas respectivas con el voltímetro proporcionado, aunque estas medidas diferían por poco a las reales se hubieran notado en el aumento del error del cálculo del tao (𝜏).



En ambas medidas del tao (𝜏) los errores porcentuales entre el tao teórico y el tao experimental fue menor al 5% esto significo que nuestras medidas estuvieron bien hechas y pudimos demostrar que en valor del tao experimental y el teórico don aproximadamente iguales.



En el segundo experimento en el cual el circuito RC era más complejo que el anterior para calcular el tao de manera teórica se tuvo que usar las leyes de Kirchhoff y al comparar con el tao experimental sus valores también eran muy cercanos, aunque se vieron influenciadas por las nuevas resistencias.

6. BIBLIOGRAFÍA Zemansky, M., Sears, F., Young, H., & Freedman, R. (2013). Física Universitaria con física moderna volumen 2, décimo tercera edición. Mexico D.F.: Pearson Education. (Obra original publicada en 1949). Medina, H., (2013). Fisica 3, segunda edición. Lima: Fondo Editorial PUCP (Obra original publicada en 2007). Asmat, V., (2007). Fisica General III Teoría y Problemas, sexta edición. Lima: Unipetro ABC. Young, H. & Freedman, R. (2009). Estudio del circuito RC. En Física Universitaria (764-770). Ciudad de México: PEARSON Educación.