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Carga y descarga de un capacitor en un circuito RC. Martínez Arellano Daniel1, Rodríguez Sánchez José Manuel2. 1,2

Laboratorio de física, Departamento de física, Universidad nacional Autónoma de México, facultad de química laboratorio A-003 campus ciudad universitaria, Circuito Escolar, 04510 Ciudad de México, D.F. E-mail: [email protected] [email protected] Resumen Un condensador o capacitor es un dispositivo formado por un par de conductores, generalmente separados por un material dieléctrico. Al someterlo a una diferencia de potencial ∆V, adquiere una determinada carga. A esta propiedad se le denomina capacitancia. La capacitancia posee una unidad de medida en el S.I. de Farad [F]. Esto significa que al someter el dispositivo a una diferencia de potencial de 1 Volt adquiere una carga de 1 Coulomb. Esto equivale a una capacitancia de 1 [F]. Los condensadores poseen gran importancia ya que forman parte de circuitos electrónicos presentes en aparatos como el televisor, computador, etc. En este laboratorio se determinará la relación existente entre voltaje y tiempo en un capacitor a medida que ´este es cargado y descargado; así como se identificara la constante del tiempo τ de un circuito RC. Palabras clave Circuito RC: Es un circuito compuesto de resistencias y condensadores alimentados por una fuente eléctrica. Un circuito RC de primer orden está compuesto de un resistor y un condensador y es la forma más simple de un circuito RC. Los circuitos RC pueden usarse para filtrar una señal, al bloquear ciertas frecuencias y dejar pasar otras. Los filtros RC más comunes son el filtro paso alto, filtro paso bajo, filtro paso banda, y el filtro elimina banda. Entre las características de los circuitos RC está la propiedad de ser sistemas lineales e invariantes en el tiempo; reciben el nombre de filtros debido a que son capaces de filtrar señales eléctricas de acuerdo a su frecuencia. Método de los mínimos cuadrados: Es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados -variable independiente, variable dependiente - y una familia de funciones, se intenta

encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático. I.

VR=VC

Introducción

Para llegar a la expresión que describe la carga y descarga de un condensador enunciamos las siguientes ecuaciones básicas: Por Ley de Ohm: V =RI

IR=

Ahora se reemplaza utilizando la ecuación (3) sin embargo con el signo negativo ya que la intensidad de corriente va disminuyendo con el tiempo:

(2)

Por definición de intensidad de corriente: I =dQdT

(3)

(4)

dQ dT = Q RC

I.1 Descarga Ahora procederemos a demostrar la siguiente expresión para la descarga de un capacitor: V (t )=V 0 e

−t T

−dQ Q R= dT C Luego se procede a hacer el siguiente despeje:

Y la constante de tiempo Tau: τ =RC

Q C

(1)

Por definición de capacitancia: VC=QC

Si reemplazamos VR y VC en las ecuaciones (1) y (2) queda lo siguiente:

Ahora procedemos a integrar con los respectivos límites de integración a ambos lados: Q(t)

(5)

t

∫ Q1 dQ= −1 ∫ dT RC 0 Q 0

Podemos considerar al circuito RC como un lazo cerrado. Luego, la segunda ley de Kirchhoff es aplicable, es decir: VC−VR=0

Ya que ∆V del capacitor actúa como fuente, y la resistencia genera una caída de potencial. Por lo tanto:

Donde Q(t =0)=Q0 ⇒ ln ( Q( t )) −ln ( Q0 ) =ln −t Q( t ) =e RC Q0

Q( t ) −t = Q0 RC

( )

−t

Q(t )=Q 0 e RC

Usando (2) y (1) tenemos: Q0 Q =RI + C C

Dividiendo por C, obtenemos: De (3):

−t Q( t ) Q0 RC = e C C

Q0 dQ Q = R+ C dT C

De la expresión (2): V (t )=V 0 e

−t RC

(6)

Para la regresión lineal usaremos la expresión (6) reescrita de la siguiente forma, y reemplazando de (4): ln ( V ( t )) =

−t + ln ( V 0 ) τ

(7)

I.2 Carga A continuación, procederemos a demostrar la siguiente ecuación para la carga de un capacitor:

(

−t

V (t )=V 0 1−e τ

)

Por la segunda ley de Kirchhoff podemos decir que:

Reordenando: dt dQ = RC Q0 −Q Integrando con los respectivos límites: Q( t )

t

1 dQ dt=∫ ∫ RC 0 0 Q 0−Q t =−( ln ( Q0−Q(t ) )−ln ( Q 0 ) ) RC Q0−Q( t ) −t =ln RC Q0

(

)

Aplicando exponencial y dividiendo por C, obtenemos:

0=−V R−V C +V 0 Q( t )

Donde V0 es el voltaje de la fuente. Luego: V 0=V R +V C

C

=

(

−t Q0 1−e RC C

)

De la expresión (2): −t RC

=V ( 1−e )

V (t )

0

(8)

Para la regresión lineal usaremos la expresión (8) reescrita de la siguiente forma, y reemplazando de (4):



II. Objetivos Relacionar gráficos de diferencia de potencial eléctrico en función del tiempo mediante datos experimentales de diferencia de potencial eléctrico y tiempos de carga y descarga de un capacitor.

ln ( V 0 −V (t ) )=

−t +ln ⁡( V 0 ) (9) τ

IV.1 Etapa 1. Carga del capacitor en el circuito RC. Conectar en el protoboard el resistor, R, el capacitor, C, y la fuente de alimentación de corriente directa formando un circuito en serie, como el mostrado en la figura

 Obtener la constante de tiempo característico, τ, a partir de las gráficas de diferencia de potencial eléctrico en función del tiempo en la situación de carga y descarga de un capacitor 



A partir de una ecuación exponencial, obtener una ecuación lineal y ajustarla por el método de cuadrados mínimos para obtener, del valor de la pendiente, la constante de tiempo característico τ. Analizar el principio de conservación de la energía e el circuito eléctrico RC III.

       

Material y equipo

Fuente de alimentación de corriente directa. Multímetro digital. Protoboard. Cuatro cables tipo banana-banana. Cuatro conectores tipo caimán. Cronómetro. Resistor entre 250 kΩ ± 5% y 500 kΩ ± 5%. Capacitor entre 220 μF ± 10% y 500 μF ± 10%. IV.

Metodología

En el caso del multímetro representado en la figura 3 por un círculo con una letra V en el centro, asegurar que las terminales están conectadas en el modo de diferencia de potencial directa y que el indicador del multímetro está en el valor más grande de la escala elegida para evitar el daño del instrumento. En el caso de la fuente de alimentación de corriente directa, asegurar que ésta no se encuentra encendida al momento de realizar la conexión en el protoboard. Este instrumento sólo deberá de encenderse hasta el momento de iniciar las mediciones requeridas. Encender el multímetro y la fuente de alimentación de corriente directa y suministrar con la fuente de alimentación una diferencia de potencial eléctrico de 15 V con corriente eléctrica máxima. Estos instrumentos no deberán apagarse durante el desarrollo experimental de esta etapa. El tiempo t = 0s, primer dato experimental, se obtiene en el momento de encender la fuente de alimentación. Medir la diferencia de potencial eléctrico del capacitor, lectura del multímetro,

durante lapsos de tiempo de 10 s hasta que la lectura del multímetro registre tres datos iguales de diferencia de potencial eléctrico. IV.2 Etapa 2. Descarga del capacitor en el circuito RC. Una vez cargado el capacitor anterior. Apagar la fuente de alimentación del circuito, desconectarla y cerrar el circuito entre el capacitor y el resistor, figura. El multímetro permanecerá conectado. El tiempo t = 0s, primer dato experimental, se obtiene en el momento de cerrar el circuito entre el capacitor y el resistor.

Medir la diferencia de potencial eléctrico del capacitor, lectura del multímetro, durante lapsos de tiempo de 10 s hasta que la lectura del multímetro registre tres datos iguales de diferencia de potencial eléctrico. V.

Para el proceso de descarga se obtuvieron los siguientes datos presentados en la tabla III, utilizando la resistencia R2:

Resultados

Para el proceso de carga del capacitor:

Gráfico carga del condensador con resistencias R1 y R2.

(8) del marco teórico, que cuando el tiempo transcurrido sea infinito, tendremos V(t) = VC = V0 que ser ‘a la cota máxima y que corresponderá valor del potencial de la fuente.

Gráfico descarga del condensador con resistencia R2.

En la Figura 5 vemos que en tiempo 0 el voltaje corresponde al almacenado por el capacitor (20V), y que decae en el tiempo debido a que el capacitor se está descargando y las cargas redistribuyendo. A partir del gráfico y la expresión (6), se podría extrapolar que pasado cierto tiempo el potencial del sistema se hará nulo. De esta forma, obtenemos las siguientes tablas: 1. Proceso de carga del condensador: Tabla IV. ln (V0 − VC) para resistencia R1.

VI.

Análisis de resultados

El gráfico de la Figura 4 demuestra que el aumento de voltaje es decreciente a medida que transcurre el tiempo. Se podría extrapolar, a partir de la expresión

y = (−0, 0333 ± 0, 0006) x + 2, 87 ± 0, 07 R2 = 0, 9935 Para 2R = R2: y = (−0, 0185 ± 0, 0009) x + 2, 96 ± 0, 08 R2 = 0, 9945 Luego se tiene: Para R1: Como se deriva en la expresión (9) del marco teórico; y donde τ corresponde a lo expresado en (4), podemos expresar que: Y obtenemos el siguiente gráfico:





La pendiente teórica es -1/RC = -0,0454. La pendiente obtenida fue −0, 0333 ± 0, 0006, luego el error es del 26, 7 ± 1, 3 %. τ teorico = RC = 1 × 104[] · 2200[μF]



= 22, 0[s] τ exp = −1/ − 0, 0333 = 30, 0 ± 0, 5



[s] con un 36,4 ± 2, 3% de error. La ordenada en el origen teórica es: Gráfico y regresión lineal para la carga. El grafico de ln (V0 − VC) en función del tiempo representa una línea recta que se ajusta a la expresión (9). Como esta expresión es equivalente a la (8), podemos decir que ∆V corresponde a una función exponencial. Las regresiones lineales obtenidas para cada serie de datos fueron: Para R = R1:

 

ln(V0) = ln (20) = 2, 96[V] Y se obtuvo 2, 87 ± 0, 07[V] experimental, con un error del 3, 04 ± 2, 36 %.

Para R2:  

La pendiente teórica es -1/RC = -0,0227. La pendiente obtenida fue −0, 0185 ± 0, 0009, luego el error es del 18,5 ± 3, 96 %.

 

τ teorico = RC = 2 × 104[] · 2200[μF] = 44, 0[s]. τ exp = −1/ − 0, 0185 = 54, 0 ± 2, 6[s] con un 22,7 ± 5, 91% de error.

La ordenada en el origen teórica es:  

ln(V0) = ln (20) = 2, 96[V] Y se obtuvo 2, 96±0, 08[V], con un error de 0 ± 2, 70 %.

Grafico Ln del voltaje en función del tiempo para la descarga del capacitor. El grafico de ln(VC) en función del tiempo también representa una línea recta que se ajusta a la expresión (7), equivalente a (6), podemos decir que ∆V se ajusta a dicha función exponencial. La regresión lineal obtenida fue: y = (−0, 0191 ± 0, 0001) x + 2, 9644 ± 0, 03 R2 = 0, 9991 

Obteniéndose el grafico



La pendiente teórica es -1/RC= -0,0227 y obtuvimos −0, 0191±0, 0001 con un error del 15, 9 ± 0, 440 %. τ teorico es RC = 44[s] y obtuvimos 52, 4±0, 3[s] con un error del 18, 2±0, 681 %. VII.

Conclusiones

Los datos obtenidos para 2R presentan un comportamiento similar a los datos de R con la excepción de que el ∆V del primero es menor en un mismo intervalo de tiempo. Esto se podría justificar ya que al haber una mayor resistencia (2R), hay

mayor oposición a la circulación de la corriente y luego el capacitor tarda un mayor tiempo en cargarse. La resistencia se relaciona con la constante de tiempo τ en forma directamente proporcional. En el proceso de carga de un condensador en un circuito RC el voltaje aumenta de forma exponencial. Los resultados para τ exp obtenidos fueron 30 [s] con un

y de realizar la medición en el multímetro, o tal vez la fuente de poder no mantuvo constante la diferencia de potencial al ser un aparato relativamente antiguo.

36.36% error para la resistencia de 10 [K] y de 54 [s] con un 22.7% error para la resistencia del doble de la anterior. En el proceso de descarga de un condensador, el voltaje disminuye de la misma forma, es decir, exponencialmente. La resistencia también retarda el proceso de descarga y también se relaciona directamente proporcional con τ . El valor obtenido para τ exp fue de



52,4[s] con un 18,2% de error. En general, podemos discutir que la metodología experimental se realizó minuciosamente y con cuidado de medir correctamente. Obtuvimos buenos datos ya que los coeficientes de correlación en los gráficos indicaron buenas regresiones lineales, todos fueron mayores a 0,99. Sin embargo fue sorpresivo el hecho de que los porcentajes de error fueran relativamente altos. Creemos que se puede deber a que quizá hubo un pequeño desfase en el momento de dictar el tiempo



VIII. BIBLIOGRAF´IA Guía de laboratorio y documento para el tratamiento de errores. Física para Ciencias e Ingeniería Tomo II. Raymond Serway.

IX.

Agradecimientos

Los autores agradecen al departamento de física y química teórica, a la coordinación de laboratorios de física de la Facultad de química de la Universidad Nacional Autónoma de México por el tiempo otorgado para desarrollar este trabajo, a el Prof. Julio M. Espinosa C. por facilitar la discusión física de las ideas y a el compañero Martín , laboratorista del laboratorio A003, que sin su apoyo al proporcionar los materiales de trabajo, el desarrollo de esta práctica experimental no hubiera sido posible.