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El area encerrada por el diagrama de cargas proporciona la fuerza equivalente de dicho diagrama, y se aplica en su centro de gravedad. Para la parábola, para cualquier distancia x, tenemos la variación de carga como: 𝑦 = 𝐴. 𝑥 2 + 𝐵. 𝑥 + 𝐶

Si x = 0, la carga es y=0 Para x = L, tenemos: y = q Para x = 2L, la carga es y=0. Se forma un sistema de ecuaciones de dos por dos: x

y

𝑦 = 𝐴. 𝑥 2 + 𝐵. 𝑥 + 𝐶

0

0

0 = 𝐴. 02 + 𝐵. 0 + 𝐶 → 𝐶 = 0

L

q

𝑞 = 𝐴. 𝐿2 + 𝐵. 𝐿 + 0

2L 0

0 = 𝐴. (2𝐿)2 + 𝐵. (2. 𝐿) + 0

Resolviendo el sistema se tiene: 𝐴=− 𝐵=

𝑞 𝐿2

2. 𝑞 𝐿

Por lo tanto la ecuación de la variación de carga a cualquier distancia x desde el extremo izquierdo es: 𝑦(𝑥) = −

𝑞 2 2. 𝑞 .𝑥 + .𝑥 𝐿2 𝐿

0≤𝑥≤𝐿 El área es la fuerza equivalente: El diferencial de área se calcula: 𝑑𝐴(𝑥) = 𝑦. 𝑑𝑥 Sumando todas las pequeñas áreas: 𝑥

∫ 𝑑𝐴(𝑥) = ∫ (− 0

𝐴(𝑥) = −

𝑞 2 2. 𝑞 .𝑥 + . 𝑥) 𝑑𝑥 𝐿2 𝐿

𝑞 𝑥 3 2. 𝑞 𝑥 2 . + . 𝐿2 3 𝐿 2

𝐴(𝑥) = − 𝐴(𝑥) =

𝑞 𝑥3 𝑞 2 . + .𝑥 𝐿2 3 𝐿

𝑞 . 𝑥 2 . (3𝐿 − 𝑥) 3. 𝐿2

Ahora calculamos el momento estático respecto al eje y, para cualquier distancia x 𝑑𝑆𝑦(𝑥) = 𝑥. 𝑑𝐴 𝑥

∫ 𝑑𝑆𝑦(𝑥) = ∫ 𝑥. (− 0 𝑥

𝑆𝑦(𝑥) = ∫ (− 0

𝑞 2 2. 𝑞 .𝑥 + . 𝑥) 𝑑𝑥 𝐿2 𝐿

𝑞 3 2. 𝑞 2 .𝑥 + . 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝐿2 𝐿

𝑞 𝑥 4 2. 𝑞 𝑥 3 𝑆𝑦(𝑥) = − 2 . + . 𝐿 4 𝐿 3 Simplificando tenemos : 𝑆𝑦(𝑥) = −

𝑞 𝑥3 . . (8𝐿 − 3𝑥) 𝐿2 12

Pero el momento estático total es el producto del área total por su distancia al centro de gravedad, por lo cual la distancia al centro de gravedad o centroide se calcula por:

𝑆𝑦(𝑥) = 𝐴(𝑥). 𝑥̅ 𝑥̅ =

𝑆𝑦(𝑥) 𝐴(𝑥)

𝑞 𝑥3 𝑆𝑦(𝑥) 1 (8𝐿 − 3𝑥) 2 . 12 . (8𝐿 − 3𝑥) 𝑥̅ = = 𝐿𝑞 = − . 𝑥. (3𝐿 − 𝑥) 𝐴(𝑥) 4 . 𝑥 2 . (3𝐿 − 𝑥) 3. 𝐿2 −

Para la distancia x = L tenemos: 𝐹𝑒𝑞 =

𝑞 𝑞 2 . 𝑥 2 . (3𝐿 − 𝑥) = . 𝐿2 . (3𝐿 − 𝐿) = . 𝑞. 𝐿 2 2 3. 𝐿 3. 𝐿 3