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• Catherine Martinez

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15/04/2016

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA Dpto. de Estadística e Informática

Capítulo VI Probabilidad Condicional

Estadística General

Objetivos del capítulo Aprender a utilizar la probabilidad condicional como herramienta para cuantificar la incertidumbre de los experimentos aleatorios que son ejecutados en dos o más etapas.

Semestre 2014 - II

Con la ayuda de la Probabilidad Condicional:

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Probabilidad Condicional Para dos eventos A y B de un espacio muestral, con P(B)  0, la probabilidad condicional de ocurrencia del evento A dado que el evento B ha ocurrido, está definida por:

P A B  

-Google reconoce las preferencias de los usuarios. -Las aerolíneas ofrecen los precios de sus pasajes. -Las investigaciones en genética son llevadas a cabo. -Los precios de las acciones en la bolsa son establecidos.

P A  B  P B 

Propiedades de probabilidad condicional 1. 0 ≤ P(A/B) ≤ 1, para todo evento A y B 2. P(Ω/B)=1 3. Si los eventos A1, A2, ... , Ak son mutuamente excluyentes, entonces  k  k P  A j B    PA j /B   j1  j1 4. 5. 6. 7.

P(A/B) = 1- P(Ac /B) P(/B)=0 P[(Ac∩B)/C]=P(B/C)-P[(A∩B)/C] P[(AB)/C]=P(A/C) + P(B/C)-P[(A∩B)/C]

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La regla de la multiplicación

Probabilidad Condicional

Se sabe que:

P(A/B) =

P(A∩B)/P(B)

y

P(B/A) =

P(A∩B)/P(A), entonces se puede

Ejemplo 22:

establecer que : P(A∩B) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B). Generalizando: Sean los eventos A1, A2,

En una universidad el 70% de los estudiantes son de Ciencias y el 30% de Letras; de los estudiantes de Ciencias, el 60% son hombres y de los estudiantes de Letras son hombres el 40%. Sea A={El estudiante elegido es de Ciencias} y B={El estudiante elegido es varón}. Si se elige aleatoriamente un estudiante. Calcular la probabilidad que:

... , Ak entonces:

P A1  A2  A3    Ak   P A1 P A2 A1 P A3 A1  A2 P Ak A1  A2    Ak 1 

Ejemplo 23

Hombres

Mujeres

Total

Si se eligen al azar 2 artículos de un cargamento de 250, de los cuales, 20 están defectuosos.

Ciencias

42%

28%

70%

Halle la probabilidad de que ambos estén defectuosos si:

Letras

12%

18%

30%

a) La selección es sin reemplazo

Total

54%

46%

100%

Sean los eventos: Di = {el artículo seleccionado en el lugar i está defectuoso} DCi = {el artículo seleccionado en el lugar i no está defectuoso}

P( A  B) 0.42 a) Sea un estudiante varón: P (B) = 0.54 P( B / A)    0.6 b) Sea un estudiante varón, si es de Ciencias: P( A) 0.70 P( A  B) 0.42 c) Sea un estudiante de Ciencias, si es varón: P( A / B)  P( B)  0.54  0.778

 20  19  PD1  D2   PD1 PD2 D1       0.0061  250  249 

b) La selección con reemplazo se deja como ejercicio.

La ley de probabilidad total

Teorema de Bayes

Sean los eventos A1,A2,...,Ak mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, entonces:  k  P  Aj    j 1 

A1

 P A  k

j 1

A2

A3

Sean los eventos A1, A2,..., Ak mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos con P(Aj)>0 para j = 1, 2,..., k. Entonces para cualquier otro evento B tal que P(B)  0 :

j

P( Ak / B) 

Luego, para cualquier otro evento B:

PB   P( A1  B)  P( A2  B)  ...  P( Ak  B)   PAj  B  k

B

j 1

j 1

Nota.- En la igualdad anterior, obsérvese que en el numerador aparece la regla de la multiplicación y en el denominador la ley de probabilidad total.

P( B)  P( A1 ) P( B / A1 )  P( A2 ) P( B / A2 )  ...  P( Ak ) P( B / Ak ) Luego , la ecuación de la ley de probabilidad total es:

P( Ak  B) P( Ak ) P( B / Ak )  k P( B)  PAj PB Aj 

Ak

P( B)   PAj PB Aj  k

j 1

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Teorema de Bayes Ejemplo 26 Los ingenieros de ventas 1, 2 y 3 estiman en 30%, 20% y 50%, respectivamente, los costos de todos los trabajos licitados por una compañía. Las probabilidades de cometer un error grave, al estimar el costo, de los ingenieros 1, 2 y 3 son 0.01, 0.03 y 0.02 respectivamente. a) Halle la probabilidad de que se cometa error grave al estimar el costo en una licitación. Sean los eventos: Ai = {el ing. “i” estima los costos de una licitación}, i = 1, 2, 3 E = {Se comete error grave al estimar el costo} Según los datos se tiene:

PA1   0.3

PE A1   0.01

PA 2   0.2

PE A 2   0.03

PA3   0.5

PE A 3   0.02

Aplicando la ley de probabilidad total:

PE   P A1 PE A1   P A2 PE A2   P A3 PE A3   0.003  0.006  0.01  0.019

Independencia de eventos Los eventos A y B son independientes si cuando ocurre uno de ellos esto no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro, o sea: P(A/B)=P(A) P(B/A)=P(B) En otras palabras, las probabilidades condicionales son iguales a las probabilidades incondicionales. Consecuencia: A y B son independientes si P(A∩P)=P(A)P(B) . Lo anterior es un resultado de la definición de independencia y de la regla de la multiplicación.

Teorema de Bayes b) Si en una licitación en particular se incurre en un error grave al estimar los costos del trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que el ingeniero 2 haya cometido el error?

Aplicando el teorema de Bayes y usando el resultado de la pregunta (a):

P A2 E  

P A2 PE A2  0.2  0.03   0.3157 P E  0.019

c) Si en una licitación en particular no se incurre en un error grave al estimar los costos del trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que el ingeniero 3 haya hecho el trabajo? (se deja como ejercicio)

Independencia de eventos Teorema: Si los eventos A y B son independientes entonces, también lo serán: 1. A y Bc Demostración

PA  Bc   PA  PA  B  PA  PAPB  PA1  PB  PAPBc 

2. Ac y B (la demostración se deja como ejercicio) 3. Ac y Bc (la demostración se deja como ejercicio) NOTA: Los eventos A1 y A2 son condicionalmente independientes si: P(A1 ∩ A2 / B) = P(A1 / B) P( A2 / B)

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Independencia de K eventos

Ejemplo 28

Los eventos A1, A2, ... , Ak son independientes si: P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai) P( Aj)

 i, j = 1, 2, …, k

Independencia de K eventos En cierta población la probabilidad de que una chica mida más de 1.75 m es 0.08; de que tenga el cabello lacio es 0.22 y de que tenga un buen conocimiento de Estadística es 0.18. Si estas cualidades son independientes.

ij

P(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) = P(Ai) P( Aj) P(Ak)  i, j, k = 1, 2, …, k

.. .

ijk

P(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ak ) = P(A1) P( A2) …P(Ak) NOTA: Los eventos A1 , A2 , … , Ak son condicionalmente independientes si: P(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ak /B) = P(A1 /B) P( A2 /B) …P(Ak /B)

a) Halle la probabilidad de que una chica, que va a ser seleccionada al azar, tenga las tres cualidades. Solución Sean los eventos: M = {la chica mide más de 1.75} L = {la chica tiene cabello lacio} E = {la chica tiene un buen conocimiento de estadística} T = {la chica tiene las tres cualidades}

PT  PM  L  E  PMPLPE  0.08  0.22  0.18  0.003168

b) Halle la probabilidad de que una chica, que va a ser seleccionada al azar, tenga sólo 2 de estas cualidades. (se deja como ejercicio)

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