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• Nilser Fustamante Vasquez

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CAPITULO IV

DISEÑO DE CIMENTACIONES DE CONCRETO SIMPLE  Concreto ciclópeo Se denomina concreto ciclópeo aquel concreto simple que es colocado conjuntamente con piedra desplasadora y tiene las siguientes características: La resistencia mínima del concreto de la matriz será igual f´c = 100 Kg/cm2. La piedra desplasadora no excederá del 30% e volumen total del concreto ciclópeo y será colocada de manera h9mogenes debiendo quedar todos sus bordes embebidas en le concreto. La mayor dimensión de la piedra desplazadota no excederá de la mitad de la menor dimensión del elemento ni será mayor de 250mm.  Limitaciones del concreto ciclópeo: El uso de este concreto esta limitado a cimientos corridos, sobrecimientos, muros de contención de gravedad y falsas zapatas. En elementos en voladizos con una longitud mayor a la mitad de su peralte será necesario verificar los esfuerzos de flexión y corte.  Capacidad de carga La capacidad de carga por corte del suelo o presión ultima o de falla, se determinara usando las formulas aceptadas por la mecánica de suelos. TIPO DE SUELO 1. Rocas macizas: Granito, diorita, gneiss 2. Rocas Laminadas: Esquistos, Pizarras, Esquistos 3. Rocas Sedimentarias: Caliza, Arenisca. 4. Cascajo, Gravas, Gravas Arenosas. .- Compactas .- Medianamente Compactas. .- Sueltos 5. Arenas con Gravas bien gradadas(SW) .-Compactas. .- Medianamente Compactas. .- Sueltas. 6. Arena o Arenas con grava mal gradada (SP). .-Compactas. .- Medianamente Compactas. .- Sueltas. 7. Gravas, Sienozas, Gravas-Arenas-Sieno (GM). .-Compactas. .- Medianamente Compactas. .- Sueltas. 8. Arenas Sienozas o Arenas Sieno (SM). 9. Gravas Arcillosas o Arenas Arcillosas(GC-SC)

qs = Kg/cm2 100 40 15 5 4 3 3 3.75 3 2.25 3 2.5 1.75 2.5 2 1.5 2 2

10. Suelos Inorgánicos, Sienos, Arenas Finas (MLSL). 11. Arcillas Inorgánicas Plásticas, Arenas, Diationicias, Sienos Elásticos (SH-MH)

1 1

 Diseño de cimientos corridos. Este diseño consiste en determinar las dimensiones del cimiento: largo, ancho y alto. a) Determinación del Largo. El largo coincide con el argo del muro, por lo que se acostumbra diseñar el cimiento por unidad de longitud de muro (un metro de largo). b) Determinación del Ancho. Este ancho estará determinado por la capacidad portante del suelo de fundación: A=KP/σt Donde: A: Área en cm² P: Peso total que incide sobre el cimiento en Kg. σt: Esfuerzo del terreno en Kg. /cm² K: Factor que determina el peso propio del cimiento su valor varia entre el 5% al 10% de las cargas que llegan al cimiento. P=PD+PL PD: Carga Muerta PL: Carga Viva A=b*L b: ancho del cimiento A: Área del cimiento L: Longitud del cimiento (un metro lineal) c) Determinación del a profundidad h:  Calculo de h por corte La fuerza que produce el esfuerzo cortante es el peso del muro, menos la reacción del lecho de fundación que actúa bajo la parte inferior del cimiento. La sección crítica por esfuerzo cortante se encuentra a h/2 de la cara del muro, luego el esfuerzo cortante esta dado por:

H= S*P/ (100*v) Donde: S= (b-l)/2 P: Carga unitaria por metro lineal v: 0.02 f`c (en kg./cm²)  Calculo de h por flexión σ=M´u*Y/I----------(1) Donde: σ: Esfuerzo por flexión M´u: Momento de diseño I: Momento de inercia Y: Distancia al eje neutro I= (b*h³)/12 Y= h/2 M´u = Mu/Ø Mu = 0,5*σn*(t)²*100 σn= Pu/A Donde: σn: Reacción neta del terreno. A: Área del cimiento. Ø : 0.65 (Según las Normas A.C.I) Pu: Peso afectado por los factores de carga: Pu = 1,5PD + 1,8PL t: Distancia desde el extremo del ancho de cimiento hasta la sección crítica por flexión ( la sección critica para la flexión está a ¼ del espesor del muro, a partir de su cara interior (para muros de mampostería); para muros de concreto está en la cara interior del muro). Además el esfuerzo último por tracción está dado por: fut = 1,3 f`c------------ (2) Igualando 1 y 2 calculamos el valor de h:

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Según el RNE la profundidad mínima de cimentación será de 0.80m. . en el caso de que la edificación se construya con muros portantes de albañilería. La carga admisible y el asentamiento diferencial, deben calcularse para la profundidad de la cimentación. Si para una estructura s plantean varias profundidades de cimentación, deben determinarse la carga admisible y el asentamiento diferencial para cada caso. En caso de cimentaciones a varias profundidades, debe evitarse en la zona de influencia de los cimientos ubicados en los niveles superiores, intercepten a los cimientos ubicados debajo de ellos; de lo contrario será necesario tener en cuenta en el dimensionamiento de los cimientos inferiores, las presiones transmitidas por los cimientos superiores. No debe cimentarse sobre turba, suelo orgánico, tierra vegetal, desmonte o relleno sanitario. Estos materiales inadecuados deberán ser removidos en su totalidad, antes de construir la edificación y reemplazados por rellenos controlados o de ingeniería.(anexo del RNE adjuntado) En las zonas donde el suelo sea susceptible de congelarse, se deberá situar la cimentación superficial a una profundidad tal, que los efectos de este fenómeno no afecten a la cimentación.(Para esto debemos hacer una serie de pruebas e investigaciones que nos den una clara idea de la profundidad a la cual el efecto de congelamiento no afecta al concreto que conforma el cimiento y con esto evitar los efectos negativos del congelamiento sobre el concreto) ZAPATAS AISLADAS: Se llaman a las zapatas que soportan una sola columna, pudiendo ser además de acuerdo a las necesidades, zapatas con pedestal o zapatas con pendiente. La distribución de presiones debajo de una zapata con una carga simétrica no es uniforme. La forma de distribución de presiones depende del tipo de material de apoyo y del grado de rigidez de la zapata (ver fig. para suelos granulares u cohesivos). Como la magnitud y forma de las presiones de la zapata, tipo, condición de suelo, la resolución de éste problema se hace bastante complejo una repartición lineal de presiones la cual en la práctica demuestra tener poca variación con la repartición real de presiones (fig. III)

II

III

SUELOS COHESIVOS

SUPUESTO UNIFORME

I SUELOS GRANULARES

ZAPATAS AISLADAS Y CENTRADAS CARGA VERTICAL (P)

d min

-

Sin armadura d > 2 o cm

-

Armado sobre suelo d > 15cm

-

Armado sobre pilotes d > 30cm

-

Sin armadura sobre pilotes (no se permite)

m

t

m

t A

b A

Diseño: A – Dimensionamiento en planta = área. B – Dimensionamiento en elevación = “d” C – Cálculo de acero necesario por flexión = As D – Verificación por transferencia de esfuerzos. E – Verificación de adherencia y longitud de desarrollo. P

A. Dimensionamiento en Planta Cálculo del área de la zapata: “Az”

B

A

B

Az 

Pp  Pn Gt

Az = Carga de zapra P = Carga de servicio Pp = Peso propio de la zapata Pn = Cargas adicionales Gt = Presión admisible del suelo

Az 

Pp  Pn Gt

= (b + 2m) (t + 2m)

Aproximadamente:

Pesos propios para un primer Tanteo f’ c ≥ 210 k/cm2 Gt K/cm2 4 3 2 1

1 (b  t ) 2 1 Az  (b  t ) 2

A

Az 

B

Pp en % de P 4% de P 6% de P 8% de P 10% de P

B. DIMENSIONAMIENTO EN ELEVACIÓN Cálculo de la altura de la zapata “d” mediante la verificación de cortantes: -

Cortante pord/2 punzonamiento.

-

Cortante por flexión. d h

De los dos se tomará el valor “d” mayor r

B–1 CORTANTE POR PUNZONAMIENTO

Wn Se verifica a la distancia “d/2” de la cara de la columna.

Wn = Presión real de suelo

b+d

D ≈ 0.6m a 0.7 m (1° tanteo) Vc  B d/2

A

V0 b.d

Vc = Esfuerzo cortante actuante V0 = Corte total actuante

b0 = Perímetro de zona de falla = 2 (t + b + 2d) d=

Altura efectiva de la zapata

Ap = Área entre los bordes y b0 = A x B -   b  d  t  d   Vc 

Wn( AxB  (b  d )(t  d )) 2d (b  t  2d )

Vuc =

Esfuerzo permisible de corte

por punzonamiento. 4   Vuc   0.27 2   f 'c Bc  

Pero no mayor que Vuc  1.1

Bc 

b t

1

f ' c ......  0.35

Debe cumplirse Vc ≤ Vuc

B – 2 CORTANTE POR FLEXIÓN Se verifica a la distancia “d” de la cara de la columna

d

d 2 1

1

b B

m

t m A

d

2

Se verifica a la distancia “d” de la cara de la columna Vc11 

WnA(m  d ) Wn( m  d )  Axd d

Vc2  2 

WnB(m  d ) Wn( m  d )  Bxd d

Vuc = esfuerzo permisible de corte por flexión Vuc   0.53

f 'c

.  = .0. 85

Debe cumplirse Vc ≤ Vuc

VERIFICACION POR TRANSFERENCIA DE ESFUERZOS Verificación de aplastamiento A1 = b x t

A2 = b2 x t2 fa = esfuerzo de aplastamiento actuante. p

fa =



A1

p bxt

Cuando A1 = A2 fau = esfuerzo de aplastamiento permisible fau = 0.85 ø f´c2 ø = 0.7 debe cumplirse

fa < fau

Cuando A1 < A2 fa ≤ fau

pero

A2 A1

A2 A1

≤ 2

Cuando no se cumplen las condiciones Si

fa > fau a) colocar un pedestal b) colocar arranques o bastones

a) Colocar un pedestal A1 = ( b + 2x ) ( t + 2x ) ...... (1) A1 =

Pu fa

Pu

=

fau

…………..(2)

De (1) y (2) → x x 2

< hp ≤ x

A2 = ef g h A2

fau = fa =

A1

0.85 ø f´c2 ø = 0.7

Pu A1

fa ≤ fau ( condición )

fau ≤

A2 A1

0.85 ø f´c2 ø = 0.7

b) Colocar arranques o bastones Asd = área de acero de arranques fau =

Pu A1

si A1 < A2 fau =

A2 A1

0.85 ø f´c2

A2 A1

≤ 2

F = A1 ( fa – fau ) F

Asd =

ø = 0.7 arranques en compresión.

fy

ø = 0.9 arranques en tracción. Pero Asd = 0.005A1

Verificación por longitud de desarrollo 0.0755fydb fc

.............................(1)

Ld  0.00427 fy db ..........................(2) 20 cms. ……………………….(3) donde:

db = diámetro de una varilla Ab = área de una varilla.

Ejemplo. Diseñar una zapata aislada sometida a carga vertical solamente.

P = 100 Tn t2 Kg / cm2 = 20 Tn / m2 Columna 40 x 40 4¾ f’c = 210 Kg / cm2 fy = 4200 Kg / cm2 A. Dimensionamiento en planta Az =

P  Pp  Pn σ t

Az = Área de la zapata P = Carga de servicio Pp = Peso propio de la zapata Pn = Cargas adicionales tEsfuerzo admisible del suelo

b t

Aproximadamente A= B=

1 (b + t) 2 1 (b + t) Az 2

Az +

* Pesos propios para un primer tanteo f´c >= 210 Kg/cm2 t (Kg/cm2) Pp en % de P 4 4 % de P 3 3 % de P 2 8 %de P 1 10 % de P Pp = para 2 Kg/cm2 Pp = 8 Tn. Az = A=

100  8  0 = 5.4 m2 20 5.4

+

1 (0.4 + 0.4) = 2.72 m 2

8 % de 100

B=

5.4

-

1 (0.4 + 0.4) = 1.92 m 2

Usar 2.40 m x 2.40 m (Zapata cuadrada) B. Dimensionamiento en elevación: B.1 Cortante por punzonamiento

d/2



d h r

Wn Esfuerzo cortante actuante (Vc) .Vc =

Vo bo * d

Vo = bo = d =

Corte total actuante. Perímetro de la zona de falla. Altura efectiva de la zapata 

(Asumir d = 40 cm)

Vo = Wn x Ap Wn = Presión real del suelo Wn =

(P  Pp  Pn) x σ Az

tr = 30 Tn/m2 = 3 Kg/cm2

(100  8  0) x 1.6 Wn = = 30 Tn/m2 = 3 Kg/cm2 2.4 x 2.4

Ap = Area entre los bordes Ap = AxB-(b+d)(t+d) Vo = Wn [AxB - (b  d)(t  d)]

t+d

b+d

B d/2 d/2 A

  Vc =

bo = 2( b+t+2d ) d = Altura de la zapata efectiva

Wn [A x B - (b  d)(t  d)] 2d(b  t  2d)

Vc =

30( 2.4^2 - (0.4  0.4)(0.4  0.4)) = 120 Tn/m2 = 12 Kg / cm2 2 x 0.4 (0.4  0.4  2 x 0.4)

Esfuerzo permisible de corte por punzonamiento (Vuc ) Vuc = * 0.27 (2+

4 ) f' c …………;  Bc

Bc = b/t = 0.4/0.4 = 1

Vuc = 0.85 x 0.27 (2+

4 ) 210 = 19.95 Kg / cm2 1

Esfuerzo máximo de corte por punzonamiento (Vuc máx) Vuc máx =  * 1.1 *

f' c

…………; 

Vuc máx = 0.85 x 1.1 x Tomo el menor valor, esto es:

210

= 13.55 Kg/Cm2

VUC = 13.55 Kg/Cm2

Comparando: 13.55 Kg/cm2 > 12 Kg / cm2

(O.K)

B.2 Corte flexión Se verifica a la distancia “d” de la cara de la columna Esfuerzo por flexión (Vc n-n)

d d

Wn

d b

t m d A

Vc 1-1 = Vc 1-1 =

Wn (m  d) d

Vc 1-1 = Vc 2-2 =

30(1 0.4) = 45 Tn/m2 = 4.5 Kg/cm2 0.4

Esfuerzo permisible de corte por flexión (Vuc) Vuc =  x 0.53 x

f' c

…………; 

Vuc = 0.85 x 0.53 x

210

= 6.53 Kg/cm2

Comparando: 6.53 Kg/cm2 > 4.5 Kg/cm2

C. Verificación por transferencia de esfuerzos:

(OK)

A1 A2

2

e

1

f b

B

t2

h

A1, f 'c 1 A2, f 'c 2 b2

t

g

A

Esfuerzo de aplastamiento A1 = b1 x t1 A1 = 0.4 x 0.4 = 0.16 m2 fa =

P P = A1 bxt

fa =

160 = 1000 Tn/m2 = 100 Kg/cm2 0.4 x 0.4

Esfuerzo de aplastamiento permisible fau = x 0.85 x f’c2

…………; 

fau = 0.7 x 0.85 x 210 = 124.95 Kg/cm 2 Como 1
fau, se debe colocar un pedestal ó arranques (bastones).

D. No hay necesidad de verificar longitud de desarrollo por compresión de arranques. E. Cálculo de área de acero por flexión ( = 0.9) B

As1 = Área de total de acero As1 = Área de acero para la parte central “B”

A1

B

A

36x 105 0.9 x 4200 x (40 - 8/2)

As1 = = 26 cm2

A1

Mu 1-1 =

Wn x A x l^2 2

Mu 1-1 = Mu 2-2 =

30 x 2.4 x 12 2

= 36 Tn-m

a=

As1 * fy 0.85 * f' c * b

a=

26.46 x 4200 = 2.59 0.85 x 210 x 240

cm 3600 000

As1 = 0.9 x 4200 x (40 - 2.59/2) = 24.61 cm2 Mu 1 - 1

As1 =  fy(d - a/2) 8

a≈d/s≈

As1 = 25 cm2

13  5/8”

a ≈ 2.41

Repartir en toda la Zapata uniformemente por ser cuadrada. F. Verificar adherencia (ld). 0.06 xAbxfy f ´c

ld

(1) m

0.006x d x b x fy 30 cm

(3)

(2)

r ld

As

0.06 x 2 x 4200 = 34.76 210

ld

0.006 x 1.6 x 4200 = 40.32 < m-r = 1 – 0.07 = 0.93 30 cm O.K.

1.3.2 Zapatas Excéntricas. A) Zapatas aisladas sometidas a carga vertical, carga horizontal y momento. Este caso produce presiones variables en la base de la zapata debido a las cargas (P,M) actuantes. Analizaremos los “dos” casos que pueden producirse a) presión total, b) presión parcial. Consideremos los siguientes valores: P = P’ + P + Ps

B = Ancho de la base e=M/P P = Peso total P’ = Carga Vertical de la estructura Pz = Carga de peso de la zapata. Ps = Peso del suelo de relleno.

M = M’ + H x L q=

P Mc +/Area I

c = A/z 3 I = BA 12

a) Presión total e A / 6 Caso (a) Presión total en la base. e = 15 cm t A

D

b A

h

B

- Sin armadura d >= 20 cm.

dmin

- Armada sobre pilotes d>= 30 cm - Sin amadura sobre pilotes (no se permite)

PASOS PARA EL DISEÑO: A – dimensionamiento en planta = Área B - dimensionamiento en elevación = “d” C – cálculo de Acero Necesario por flexión = As D – verificación por transferencia de esfuerzos E – verificación de adherencia y longitud de desarrollo.

P

A. Dimensionamiento en planta

B

Cálculo del área de la zapata: “Az”

A

Az 

P  PP  Pn σt

A z  área de la zapata P  carga de servicio PP  peso propio de la zapata Pn  cargas adicionales σ t  presión admisible del suelo

P  PP  Pn   b  2m  t  2m  σt Aproximadamente: Az 

A  B 

1 Az   b  t 2 1 b  t Az  2

Pesos propios para un primer tanteo f’c  210 Kg/cm2  t Kg/cm2 Pp en % de P 4 4% de P 3 6% de P 2 8% de P 1 10% de P

B. Dimensionamiento en elevación Cálculo de la altura de la zapata “d” mediante la verificación de cortantes: B .1 – Cortante por punzonamiento. B.2 – Cortante por flexión. De los dos se tomará el valor “d” mayor. d/2

d

?

r

h

B .1 – Cortante por punzonamiento. Se verifica a la distancia “d/2” de la cara de la columna.

Wn

Wn = presión real del suelo d VC 



0.6 m. a 0.7 m (1º tanteo)

V0 b0 d Wn

b+d

VC = esfuerzo cortante actuante. V0 = corte total actuante.

t+d

B

b0 = perímetro de zona de falla =2(t+b+2d)

d/

2

d = altura efectiva de la zapata. d/2

A

Ap = área entre los bordes y b0 = A*B-[(b+d) (t+d)] V0= Wn*Ap Vc 

Wn ( A * B  (b  d )(t  d ) 2d (b  t  2d )

Vuc  esfuerzo permisible de corte por punzonam 4 Vuc   * 0.27( 2  ) f 'c Bc

Pero no mayor que Vuc   * 1.1)

Bc 

f 'c ...  0.85

b 1 t

Debe cumplirse Vc  Vuc

B.2 – Cortante por flexión. Se verifica a la distancia “d” de la cara de la columna.

d d

Vc 2  2

Vuc   * 0.53

Wn

1

m

B

t

n

d

b

A

d 2

f 'c

  0.85

Debe cumplirse Vc  Vuc

2 1

Wn A(m  d ) Wn (m  d )  A* d d W B ( m  d ) Wn ( m  d )  n  B*d d

Vc 11 

C. Verificación por transferencia de esfuerzos Verificación de aplastamiento A1 = b*t A2 = b2*t2 fa = esfuerzo de aplastamiento actuante

A1 A2

fa 

2 1

Cuando A1=A2

b2

e

P P  A1 b * t

f A2 f'c2 A1

t B

t2

f'c1

g

h

b A f au  esfuerzo de aplastamiento permisible f au  0.85  f' C 2   0.7 Debe cumplirse f a  f au

Cuando A1 M Utilizando:

W  0.85  07225 

 1.7 M 0 As1-1=  0.05  0.772  f ' c.b.d 2  Y así calculamos: As1 y As2.

1.7 M 0 f ´c.B.d 2

 f 'c   fy b.d 

PROBLEMA Nº4: PD=85tn Diseñar la zapata que se muestra en la figura:

P

PL=60tn PS=45tn

 t  2kg / cm 2 (arcilla ) fy  4200kg / cm 2

Columna:0.50*0.60m

f ' c  175kg / cm 2

A) Dimensionamiento en planta: As 

1  0.08 85  60 2

 7.83m 2  Se escoge el mayor: As = 78,3cm2

20 tn M 1  0.08 85  60  45  7.71m 2 As  1.33 20 tn m 2 As   b  2m  t  2m  Como: 76.300   50  2m  50  2m 





Donde: m = 112.433 cm

m = 115 c m = 1.15mt

m=115cm

t=60cm

B=280cm

b=50cm m=115cm

A=290cm

A = t +2m = 60+2(115) = 290 cm B = b+2m = 50+2(115) = 280 cm

d/2 m-d/2 B) Dimensionamiento en altura:

t+d/2

Calculo de Pu: Pu: 1.5 (85)+1.8 (60)=235.5 Tn Pu: 1.25 (85+60+45) bo = 237.5 Tn Pu. 0.90 (85)+1.10 (45)=126 Tn

t

1.-Por longitud de anclaje: No se hace 2.-Por punzonamiento (corte perimetral):

B=280cm

m-d/2t Se escoge el mayor Pu = 237.5 Tn

d/2 b

Ao

d/2 m=115cm

A=290cm

 tu 

231,500

 290 280

 2.92 kg cm 2

Asumiendo: d = 45 cm As = (50+45) (60+45) =9,975 cm2 b0 = 2(50+45+60+45) = 400 cm VU 0  Pu   tU * A0  237,500  2.52(9.975) VU 0  208,373Kg UU 0 

208,373  13.62 kg cm 2 0.95( 400)( 45)

 4 U C 0  0.21 2  60  50 





  175  

U C 0  1.44 175

Como: U C 0  1.44 175  1.1 175  14.55 kg cm 2 Como: U U 0  13.62  14.55 (OK!) Se toma d = 45 cm d=40cm. 75cm.

3) Por corte por flexión (tracción diagonal) B=280cm

m=115cm.

A=290cm

Asumiendo: d = 40 cm

VU  2.92(75)(280)  691,320 Kg 61,320 UU   6.44 K / cm 2 0.85( 280)(40) U C  0.53 175  7.011Kg / cm 2 U U  U C Se toma d = 40 cm

4) Sin refuerzo sin compresión: 2

 115  KUb  29.2 K / cm 2 M U  2.92( 280)   5´406,350 Kg / cm 2   5´406,350 d  d  25.7cm  26cm Permite para no usar refuerzo en ( 29.2)(280)

compresión

*Área de acero (por flexión): As 

a

MU fý  d  a 2 

  0.90  3  0.85

As.´ fy  3 f ´cB

Asumiendo inicialmente: a = 6cm a = 3.90cm a = 3.79cm a = 3.78cm

As = 38.65 cm2 As = 37.59 cm2 As = 37.53 cm2 As = 38.53 cm2

5) Por riguidez: 3 Arcilla media: K S 1  5kg / cm

15   20  15   20  Ks   1  ( K S 1 )   1  (5)  0.38 A 290   B   280    0.38 290  d  1.15( 290)   15000 175 

1 3

 34.56  d  35cm

Esfuerzo cortante por aplastamiento: c 

231,500  77.17kg / cm 2 (50)(60)

A2 A2 2  2  A2  12,000cm 2 A1 (50)(60) Como: AZ = 78,300 cm2  A2  Az Por lo tanto se toma:  admisible  (0.7) (0.85) (175) (2)   admisible  205.25 kg/cm2

PROBLEMA N° 5.

Diseñar la zapata mostrada en la figura. La columna es de

45*45cm y esta reforzada con varillas #8. L a carga que transmite es PD = 180 tn. y PL = 120 tn. El peso específico del suelo es de 1700 kg/m 3 y su carga de trabajo es de 2.5 kg/cm2. Además esta sometido la acción de una sobrecarga de 500 kg/m2. El concreto de la columna es de f’c = 420 kg/cm 2. Para la zapata emplear f’c = 210 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2.

SOLOCION.

Dimensionamiento de la zapata: El peralte de la zapata en principio, debe ser capaz de permitir el desarrollo del esfuerzo en compresión de la columna. Se considerará un peralte de 70 cm. La capacidad portante neta del terreno es: qsn

=

qs - htpet – hc.pec – peso del piso – S/C

= 2.5-20*1.7*10 -3-70*2.4*10 -3-

10*2.4*10 -3-0.05 = 2.22 kg/cm2.

El área requerida para que la reacción del terreno no sobrepase la capacidad de suelo es: A = (180000 + 120000)/2.22 = 135135 cm2 Puesto que la zapata no esta sometido a la acción de momentos, se considerará una zapata cuadrada de 135135 (1/2) = 3.7 m. De este modo la reacción del suelo es: qsn = (180000+120000)/(3702) = 2.19 kg/cm2.

Reacción amplificada del suelo. qsnu = (1.4*180000+1.7*120000)/(3702) = 3.33 kg/cm2

Verificación del corte. Por flexión, la sección crítica se ubica a “d” de la cara de la columna. Considerando “d” = 60 cm., la fuerza cortante última es: Vu =

qsnu*(m – d)*bw = 3.33*(162.5 – 60)*370 = 126290 kg.

La Resistencia del concreto al corte por flexión es: Ф Vc = Ф 0.53* (f’c)(1/2)*bw*d = 0.53*0.85*14.5*370*60 = 145016 kg > V u

Por punzonamiento, la sección crítica se ubica a d/2 de la cara de la columna. Y La fuerza la fuerza cortante aplicada es: Vu = qsnu*(A*B – (b+d)*(t+d)) = 3.33*(370*370 – (45+60)(45+60))

=

419164 kg. La resistencia del concreto al corte por punzonamiento es igual al menor valor obtenido a través de las siguientes expresiones. 4

Vc ≤ 0.27(2   c ) f ' c * b  *d Vc ≤ 0.27(2  Vc ≤

1.1

s * d ) f ' c * b  *d b f ' c * b  *d

bo = 4*105 = 420 cm. βc = 1 αs = 40 Reemplazando datos en las ecuaciones anteriores tenemos: Ф Vc = 0.85*(0.27*(2+4)*14.5*420*60) = 503156 kg. Ф Vc = 0.85*(0.27*(40*60/420 + 2)*14.5*420*60) = 646915 kg. Ф Vc = 0.85*(1.1*14.5*420*60) = 341649 kg. < V u

(ojo)

El valor del parámetro αs se ha determinado considerando que la zapata corresponde a una columna interior. Como se puede apreciar, se hace necesario incrementar el peralte de la cimentación a 80 cm. en este caso, la capacidad portante del suelo será: qsn

=

qs - htpet – hc.pec – peso del piso – S/C

= 2.5-20*1.7*10 -3-80*2.4*10 -3-

10*2.4*10 -3-0.05 = 2.2 kg. El ancho y largo de la zapata pueden mantenerse constantes, ya que la nueva capacidad portante neta del terreno es capas de resistir la presión que corresponde a dichas dimensiones. Verificación del corte. Por flexion: No es necesario pues con un menor peralte efectivo, no tenia problemas.

Por punzonamiento: Vu = 3.33*(370*370 – (70+45)*(70+45)) = 411831 kg. Bo = 4*115 = 460 cm. βc = 1

αs = 40 Ф Vc = 0.85*(1.1*14.5*460*70) = 436552 kg. > V u

(OK)

Por lo tanto, el nuevo peralte de la zapata es adecuado. Refuerzo longitudinal por flexión. Se evalúa el momento en la cara de la columna Mu = 0.5*( qsnu*bw*m2) = 0.5*3.33*370*162.52 = 16277570 kg-cm. Ru = (Mu/d2) = (16277570/702) = 8.97 ρ = 0.24% As

=

ρ*bw*d = ( 0.24/100)*370*70 = 62.16 cm2

As min = 0.0018*b*h = 0.0018*370*80 = 53.28cm2

< As

(OK)

Se colocaran 19 varillas de fierro #6 espaciadas a 19 cm. El espaciamiento máximo sugerido por el código es: Smax = 45 cn > 19 cm Verificación de la conexión columna - zapata y desarrollo del refuerzo. En la zapata la resistencia al aplastamiento es: ФPn = 0.85*0.7*f’cz*b*t*2 = 0.85*0.7*210*45*45*2 = 506048 kg = 506 tn > P u = 456 tn. (OK) por lo tanto no existen problemas de aplastamiento en la unión columna zapata y no se requiere refuerzo adicional para la transmisión de cargas de un elemento a otro, sin embargo, por lo menos 4 varillas de acero de la columna deben ser ancladas en la zapata.

PROBLEMA N° 6 Diseñar la zapata conectada que se muestra en la figura. En la columna exterior actúa P1 y actua una carga murta PD de 70 tn, y u8na carga viva PL de 26 tn. En la columna interior actúa P 2 con una carga muerta P D de 120 tn y una carga viva PL de 45 tn. La capacidad permisible del terreno a nivel del fondo de la cimentación es de: hf = 1.50 m

S/Cpiso = 0.40 tn/m2

γm = 2.0 tn/m3

fy = 4200 kg/cm2

f’c = 210 kg/cm2

σt = 35 tn/m2

Donde: γm: densidad promedio del suelo. C1 = 0.50*0.50 m2, columna exterior de sección cuadrada. C2 = D = 0.70 m, columna interior de sección circular.

Az1 = 1.2*P1/σn (estimamos); donde: P1 = 70 + 26 = 96Tn σn: esfuerzo neto del terreno = σt - γm* hf - S/C = 35 - 2*1.5 – 0.4 Az1 = 1.2*96/31.6 = 3.65 m2 Dimensionamiento en planta T = 2S → T*2S = 2S*S

→ 2S*S = 3.65m2 S = 1.35 m. T = 2S = 2*1.35 = 2.7 m. VIGA DE CONEXIÓN.

hv = Lv/7 = 6.2/7 = 0.89 m ≈ 0.89 m. bv = P1/(31*Lv)

= 96/(31*6.2) = 0.50 m

0.5 > h/2 = 0.89/2 = 0.445 …

OK

La sección queda de 0.50*0.90 m2. DIMENSIONAMIENTO DE LA ZAPATA EXTERIOR Peso de la viga = ωv = 0.50*0.90*2.4

=

1.08 tn/m2.

= 31.6 tn

∑M2 = 0 RN*5.775 - 96*6.2 – 1.08*6.45*(6.45/2) = 0

→

tn. Az1 = RN/ σn = 106.96/31.6 = 3.39 m2 Cono T*S = 3.39m2, pero S = 1.35 m

→

T = 2.51 m2.

DISEÑO DE LA VIGA DE CIMENTACION. (ACI: 1.4D + 1.7L) P1u = 1.4 P1 = 1.4*96 = 134.4 tn. ωVu = 1.4WV = 1.4*1.08 = 1.51 tn/m.

∑M2 = 0 →

RNu = 149.73 tn. WNu =

RNu/S = 149.73/1.35

=

110.17 tn.

SECCION DE MOMENTO MAXIMO (XO < S) (WNu - WVu)Xo - P1u = 0

RN = 106.96

Xo = 134.4/(110.17 - 1.51)

=

1.24 m

< 1.35

(OK)

∑MA = 0 (WNu - WVu) Xo* Xo/2 - P1u(Xo - tv/2) reemplazando datos tenemos: Mumax = 49.52 tn.m CALCULO DEL ACERO. As = Mumax/(Ф*fy*(d – a/2) Calculo del factor “a” con la sgte ecuación Mumax/(Ф*(d-a/2)) = a* Ф*f’c*b 49.52/(0.9*(84-a/2)) = a*0.85*210*50 As = 49.52*105/(0.9*4200*(84-7.6914/2))

→ a = 7.6914 = 16.34 cm2.

As = 16.34 cm2 < > 6 Ø3/4” = 17.10 cm2. Calculamos el d efectivo. D = h – (c + 1 + Ø/2)

= 90 - ( 5.0 + 1 + 1.905/2) = 83.05 cm.

Calculamos a para un d = 83.05 cm. a = 7.7884 As

= 49.52*105/(0.9*4200*(83.05-7.7884/2)) = 16.55 cm2

As

= 26.55 cm2 6 Ø3/4” = 17.10 cm2 .

P = As/b*d

= 17.10/(50*83.05) = 0.004118 > P min

Pmin = 14/fy = 14/2400 = 0.00333

→ P =0.004118 > Pmin = 0.00333

(OK) Refuerzo en la cara inferior. As(+) = (As(-)/3 ; As(-)/2) ≥ Asmin As(+) = 16.55/2 = 8.28 cm2. Asmin = Pmin*b*d = 0.0033*50*83.05 = 13.80 cm2.

Como As < Asmin → As As

= 13.8 cm2

= 13.8 cm2 < > 5Ø3/4” = 14.25 cm2

Diseño por corte.

V1u = ( WNu - WVu)(tv + d) - P1u V1u = (110.17 - 1.51)(0.50 + 0.8305) - 134.4 = 10.17 tn. V2u = (110.17 - 1.51)*S - P1u V2u = (110.17 - 1.51)*1.35 - 134.4 V2u/Ф =

= 12.29 tn.

12.29/0.85 = 14.46 tn

La resistencia al corte del concreto. Vc = 0.53*(f’c)(1/2)*b*d = 0.56(210)(1/2)*50*53 = 31892.98 kg = 31.89 tn. Vc = 31.89 tn > σn = 31.6 tn

(OK)

Lo cual indica que no se necesita refuerzo por corte. Estribos. s = 36*( Ф3/8”)

36*0.953 = 34.31 cm.

Ф3/8”@34 cm, DISEÑO D4E LA ZAPATA EXTERIOR.

WNu = RNu/T = 149.72/2.55 = 58.72 tn/m. MUmax = WNu*lv*lv/2 = 58.72*1.0252/2 = 30.85 tn-m Calculo del peralte efectivo. MUmax =

Фw *f’c*b*d2(1-0.59w). donde

Para P = 0.004,

w = P*fy/f’c = 0.004*2400/210 = 0.08.

30.85*105 = 0.9*210*135*d2(1 – 0.59*0.08) de donde d = 39.83 cm. asumimos h = 50 cm

→

d = 50 - (7.5 + 1.91/2) = 41.6 cm.

DIEÑO POR CORTE. VUd = VNu * (lv – d) Vn =

VUd/ Ф =

=

58.72*(1.025-41.6)

= 35.76 tn.

35.76/0.85 = 42.07 tn.

La resistencia al corte del concreto. Vc = 0.53*(210)(1/2)*135*41.6 = 43131 kg = 43.13 tn Vc = 43.13 tn > Vn = 42.07 tn.

(OK)

DISEÑO POR FLEXION. Calculamos “a” de la séte ecuación. 30.85*105/(0.9*(41.6 – a/2)) = a*0.85*210*135

→ a = 3.57.

As = 30.85*105/(0.9*4200*(41.6 – 3.57/2)) = 20.50 cm2. As = 20.50 cm2 < > 7 Ф3/4” S = (1.35 - 0.15 - 0.019)/6 = 1 Ф3/4” @20 cm.

0.196 ≈ 20 cm.

DISEÑO DE ÑA ZAPATA INTERIOR.

P2efectivo = ∑FV P2efectivo = -P2 - P1 - WV*LV + RN P2efectivo = -165 - 96 - 1.08*6.45 + 106.96

= -161.006 tn.

P2Uefectivo = -P2U - P1U - WVU*LV + RNU P2Uefectivo = -231 - 134.4 - 1.51*6.45 + 149.73 = Az = P2efectivo/ σn = 161.01/31.6 = 5.10 m2 → Az = √(5.10)

= 2.26*2.26 m2

tomamos A = 2.30 m. Wnu = P2Uefectivo/Az = 225.41/2.32 = 42.61 tn.

≈ πr2 → a

=

a2,

para un r = 0.35 m.

= √(π*0.352)

= 0.62 m.

-225.41 tn

La columna circular de D = 0.7 m será equivalente a una columna cuadrada de 0.62 m de lado. → lv = (2.3 - 0.62)/2 = 0.84 m. el momento máximo será: MUmax = Wnu*A*lv2/2 = 42.61*2.30*0.842/2 = 34.58 tn. Tomamos hmin = 0.50 m.

→ d = 50 - (7.5 + 1.91)n

= 40.59 cm.

Verificación por punzonamiento. VU = PUzefectiva - WNu*m *n; m = lv + a + d/2

=

donde:

0.84 + 0.62 + 0.41/2 = 1.66

n = h + d = 0. 50 + 0.41 =

0.91 m.

VU = 225.41 - 42.61*1.66*0.91

= 161.04 tn.

Vn = Vu/ Ф = 161.04/0.85 = 189.46 tn La resistencia del concreto es: Vc = 1.06*√(f’c)*bo*d

donde:

bo = 2m+n = 2*1.66+0.91 = 4.23 Vc = 1.06*√(210)*423*41 = 273.960 tn > Vn = 189.46 tn Por lo tanto no es necesario aumentar el peralte

Verificación por corte VUd = Wnu*A*(lv - d) = 42.61*2.30*(0.84 - 0.41) = 42.14 tn. Vn = VUd/ Ф = 42.14/0.85 = 49.58 tn. La resistencia del concreto es: Vc = 0.53*√(f’c)*b*d

=

0.53*√(210)*230*41 = 72.43 tn.

Vc = 72.43 > Vn = 49.58

(OK)

Diseño por flexión. As = 34.58*105/(0.9*4200*(41 - a/2)).

Encontramos a.

a = 2.35 As = 22.97 cm2 ≈ 23 cm2 23 cm2 < > 12 Ф5/8” = 23.74 cm2. Determinamos el espaciamiento del acero.

(OK)

S = (2.3 - 0.15 - 0.016)/11 Se colocará 1Ф5/8”@0.2 m.

=

0.194 m.

PROBLEMA N°7. Aplicación ilustrativa : Diseño de una zapata aislada Diseñar una zapata aislada para: PD = 180 tn

PL = 65 tn

t = 3.5 kg/cm2

DI = 1.70 m

f’c = 210kg/cm2

fy = 42000 kg/cm2

Ym = 2.1 t/m3 S/C piso = 500 kg/m2 Dimensionar la columna con : n = 0.25 Ps = 1.25P f ’c = 280 Kg/cm2

Solución: Dimensionamiento de la columna

b.D = Ps = (1.25) (245) = 4375 cm2 n.f c (0.25) (0.28)

Usar : 0.55  0.80 m2 n =  t - prom. ht – S/C = 35 – (2.1) (2) – 0.5 = 30.30 t / m2

AZAP = P/n = 245/30.3 = 8.09 m2

2.85 * 2.85 m2

Para cumplir Lv1 = Lv2  T = 2.85 + (0.80 – 0.55)/2 = 2.975 m S = 2.85 - (0.80 – 0.55)/2 = 2.725 m Usar 3.00 * 2.75 m2 Lv1 = Lv2 = (3.0 – 0.8)/2 = 1.10 = (2.75 – 0.55)/2 = 1.10 CONFORME Reacción del terreno WNU = PL/AZAP = (180 * 1.4 + 65 * 1.7)(3*2.75) = 362.5/8.25 = 43.94 t/m 2 Dimensionamiento de la altura h2 de la Zapata por punzonamiento

Condición de Diseño: Vu / f = Vc Vu / = 1/  Pu – Wu ( 0.80 +d)(0.55+d)................ (1) c = Dmayor / Dmenor = 0.80/0.55 = 1.46 < 2 Vc = 0.27 ( 2 + 4/ )  f ‘c . b0. d  1.06*  f’c . b0. d Vc = 1.06 *  f’c * b0* d …………………..(2) Donde : b0 = 2*(0.80 + d) + 2* (0.55 + d) = 2.7 + 4d (1) = (2): 382.5 - 43.94*(0.44 + 1.35 *d + d2) = 0.85*1.06* 210 *10* (2.7d + 4d2)

resolviendo: d = 0.496 m usar: h = 0.60 m  dprom = 80 – (7.5 + ) = 80 – (7.5 + 1.91)  3/ 4” R = 7.5 cm dprom = 50.59 cm Dimensión de columna Vdu = (Wu * S)(Lv – d) = (43.94 * 2.75)(1.10-0.51) Vdu = 71.29 t Vn = Vdu /  = 83.87 t Vc = 0.53 * f’c * b * d = 0.53 * 210 * 10 * 2.75 * 0.51 Vc = 107.72 t > Vn CONFORME Diseño por flexión Mu = = (Wu * S) * Lv2/2 = (43.92 * 2.75) 1.12/2 = 73.11 t- m, As =

Mu = . fy . (d – a/2)

a=

As.fy 0.85 * f’c*b

=

73.11 * 105 = 42.48cm2 0.9*4200* (0.9*50.59) 42.48*4200 = 3.63 cm , A s = 39.66 cm2 0.85*210*275  a = 3.39cm CONFORME

Verificación de A s min : A s min = PTEMP * b *d = 0.0018 * 275* 50.59 = 25.04 cm2 CONFORME Usar A s = 39.66

 n = As / A  = 39.66/2.85 = 13.92 = 14,

S = 2.75 - 2r -  = 2.75 – 0.15 – 0.019 n–1 13 Usar: 14 3 / 4” @ 0. 20m En dirección transversal AST = As * 3.00/275 = 43.27 cm2  n = 15.18 = 16, s = 0.19m Usar: 16  3 / 4” @ 0. 19m

= 0.20 m

Longitud de desarrollo de refuerzo En este caso la sección crítica para la longitud de desarrollo es la misma que la sección crítica para flexión. Longitud disponible para cada barra, L d = Lv - r L d = 1.10 – 0.075 = 1.025 m Para barras en tracción:

  No. 11  L d = 0.06 [ Ab . fy ] f’c

 0.0057 db fy  30 cm

Como el espaciamiento es S = 19cm > 15cm L d =  d L d = 0.80 L d L d = 0.06 2.85 * 4200 = 49.6 cm 210

> 45.7cm CONFORME > 30cm

L d = 0.0057 (1.91) 4200 = 45.7cm L d = 0.8 * 49.6 = 39.7 cm < L disD = 102.5cm

CONFORME

Transferencia de fuerza en la interfase de columna y cimentación a. Resistencia al aplastamiento sobre columna Se tiene f c’ = 280 kg/cm2 Pu = 362.50 t Pn = Pu /  = 362.5 /0.7 = 517.86t Resistencia al aplastamiento en la columna, P nb 

P nb = 0.85* f’c * Ac = 0.85 * 280 * (10) 0.55*0.80 = 1047.20 t P n < P nb CONFORME

b. Resistencia al aplastamiento en el concreto de la cimentación Pn = 517.86 t

Pnb = 0.85 f ‘c A 0

Donde:

Ao =  (A2 / A1)* Acol  2A col

A2 Es el área máxima de la superficie de apoyo que es geométricamente similar y concéntrica con el área cargada de A t X 0 / 3.0 = 0.55/0.80  X 0 = 2.06

A2 = 3.0 X 0 = 6.19 m2

( A2 / A1) = [ 6.19 / (0.55 * 0.8 ) ] = 3.75 > 2  Usar A 0 = 2.Ac, P nb = 0.85 f ‘c Ao , = 1570.8 t > Pn CONFORME

P nb = 0.85 (210)10*2*0.55*0.80

Dowells entre columna y cimentación Si

Pn  P nb 

A s min = 0.005 Acol

con 4 como mínimo

PROBLEMA N°8. Aplicación: Diseñar la zapata combinada sólo por flexión en sentido longitudinal para la sección de momento máximo. Considere una solución rectangular C1 : 0.35 * 0.35 m2 PD = 30 t , PL = 12t C2 : 0.40 * 0.40 m2 PD = 45 t , PL = 18t f ’c = 175 Kg/ cm2 f ’c f y = 4200 Kg/ cm2

t = 1.5 Kg/ cm2 s/cpiso = 400 Kg/ m2  m = 2.1 t /m3 Solución n = t -  m hl - s/c n = 15 – 2.10 * 1.20 – 0.40 = 12.08 t / m2 LZ = 7.00 m  AZAP = BLZ = 7.0B RX 0 = 42 * 0.175 + 63*6.80  X 0 = 435.75 /105 = 4.15 m e = X 0 - LZ /2 = 4.15 – 3.50 = 0.65m < LZ /6 = 1.17  q1,2 = P ± 6Pe = 105 ± Lz Lz2 7 q1 = 23.36 t /m, q2 = 6.64 t/m q1 = n . B  B = 23.36/12.08 = 1.93m

6(105)0.65 72 Usar B = 2.00m

Diseño por flexión en sentido longitudinal RX 0 = 62.4 * 0.175 + 93.6 * 6.80 X 0 = 4.15m e = 0.65m qu1 = 34.71 t /m qu2 = 9.87 t /m

Secciones de momento máximo

Vx = 0

Vx = -62.4 + 9.87. X0 + q’( X0 / 2) = 0 ; -62.4 + 9.87. X0 + 1.77. X 0 2 = 0

;

q‘ / X0 = (q t u - qu2) / L z  q’ = 3.55. X0 X 0 2 + 5.56. X0 – 35.16 = 0

X 0 = -2.78 + 6.55 = 3.77m M máx = -66.4 ( X 0 - 0.175)+ 9.87 * ( X 0 2 / 2) + 3.55 *( X 0 2/2)*(X0 / 3) M máx = -224.26 + 70.14 + 31.70 = -122.4 t-m  122.4*105 = 0.9 * 175 * b * d2 * w ( 1 - 0.59 w) Si:

P = 0.004 W = P*( fy/f’C) = 0.004 ( 4200/175) = 0.10 b = 200 cm 122.4 * 105 = 2964.15 d2  d = 64.3 cm

Usar : h = 75 cm A s = 52.11 cm2 A s = 49.5 cm2

 d = 75 – 5 – (1.91/2) = 69.05 cm  a = 7.4 cm  18 3 / 4 “ @ 0.11 m

S = ( 2 - 0.15 - 0.0019 ) = 0.11 17 Alternativa : Usando  1”  10  1” @ 0.21 m

PROBLEMA N°9. Se tiene una zapata combinada de solución rectangular en planta. Dimensionar la altura de la zapata para el momento máximo y considerando: p = 0.6 % f ’c = 175 kg/cm2 fy = 2800 kg / cm2 t = 1.3 kg/ cm ht = 1.00 m. s/cpiso = 0.4 t/m2 P1: PD = 85 t PL = 15 t P2: PD = 85 t PL = 25 t C1 : 0.45 * 0.50 C2 : 0.50 * 0.55

Solución : n = 13 – 1* 2.1 – 0.4 = 10.5 t/m2 100 * 0.25 + 120 * 6.775 = 220 X0  X0 = 3.80 m LZ = 2X0 = 7.60  LV = 0.55m. b = (AZ / LZ) = [ 220 / (10.5 * 7.60) ] = 2.75 m WNU = [( P1u + P2u )/ LZ ] = [( 144.5 + 175.5 ) / 7.60 ] = 42.11 t/m Vu = -144.5 + 42.11 X0 = 0  X0 = 3.43 m M umáx = 42.11 * (3.432 /2 ) – 144.5 (3.18) = -211.80 t –m

Dimensionamiento de la altura ( hz) Mu =  f’c bd2 w ( 1- 0.59w) p = 0.006  w = P (fy / f ‘c ) = 0.006 ( 2800 / 175) = 0.096 221.8 * 105 = 0.9 * 175 * 275 d2 * 0.096 ( 1 – 0.59 * 0.096) d = 73.34 cm  h = d +5 +1.27 = 76.61 cm Usar : h z = 0.80m PROBLEMA N°10. Aplicación ilustrativa: Influencia de la Excentricidad de la carga Dimensionar en planta la cimentación de la zapata aislada que se muestra en la figura adjunta. PD = 180 t PL = 65t 2 t =3.5 kg/cm para Dl= 1.70 m m = 2.1 t/m3 S/C piso = 500 kg/m2 Columna: 0.55 * 0.80 m2 a) b) c) d)

e= 0.00 m e = 0.25 m e = 0.70 m e = 0.90 m

Area: = 3.00 * 2.75(8.25 m2)

Solución: b) e = 0.25 m 1er. Tanteo:

( M = Pe = 61.25 t/m )

n = 30.3 t/m2 T = 3.40 m 1S = q1 = (P/T) +( 6Pe / T2) = (245 /3.4) + (6* 245* 0.25) / (3.4)2 1S = 72.06 +31.79 = 103.85 t/m 1 = n

Por tanto : S = 103.85 /30.3 = 3.43 m

3.45 * 3.40 m2

2do tanteo : T = 3.80 m 1S = 64.47+25.45 = 89.92 t/m  S = 2.97 m Usar : ST = 3.00  3.80 1,2 = P ± 6Pe = AZ ST2

CONFORME (11.4m2) = 1.38S0 245 ± 6*245*0.25 3*3.80 3*3.382

1,2 = ( 21.49+ 8.48 ) = ( 29.98/13.01) t/m2 21.49 – 8.48

c)

Usar:

d)

< n = = 30.3 t / m2

e = 0.70 m (171.5 t-m)  T = 4.2 m 1s = q1 = 2 ( P/ T ) = 116.7 t/m S = 116.67/30.3 = 3.85 m S * T = 3.85 m * 4.20 m = 16.17 m2 = 1.96 S0

e = 0.90 m ( M = 220.5 t-m)

1er tanteo: T = 4.50 m 1s =

T/6 = 0.75 < 0

2P = 3( T -e ) 2

S = (1s ) = 3.99 m n

2 * 245 = 120.99t /m 3(4.5 - 0.9) 2

Usar:

S * T = 4 m * 4.50 m = (18.00 m2 ) = 2.18 S0 1 = 120.99 = 30.25 m S 2 = 0