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CARATULA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA AREA DE LA ENERGÍA Y LOS RECURSOS NATURALES NO RENOVABLES

INGENIERIA EN ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

Procesamiento digital de señales

Ejercicios cap. #4

ING.

Diego Orellana

Estudiante: Andrea Stefania Enriquez Gunsha

Ciclo: 6to “A” Fecha de Entrega Planificada: 17-12-2020.

Loja – Ecuador G

2020-2021

1. Determine la transformada z de las siguientes secuencias utilizando la definición (4.1). Índica la región de convergencia para cada secuencia y verifique la expresión de la transformada z usando MATLAB. 1. 𝑥(𝑛) = {3,2,1, −2, −3}

2. x(n) = (0.8)n u(n − 2) Verifique la expresión de transformación z usando MATLAB.

3. 𝑥(𝑛) = [(0.5)n + (−0.8)𝑛]𝑢(𝑛). Verifique la expresión de transformación z usando MATLAB.

4. x(n) = 2n cos(0.4πn)u(−n).

5. 𝑥(𝑛) = (𝑛 + 1)(3)n 𝑢(𝑛). Verifique la expresión de transformación z usando MATLAB.

2. Considere la secuencia 𝑥(𝑛) = (0.9)ncos(𝜋𝑛/4)𝑢(𝑛).

1.

Demuestre que la transformada z Y (z) de y (n) se puede expresar en términos de la transformada z X (z) de x (n) como Y (z) = X (z2).

2.

Determine Y (z).

3.

Usando MATLAB, verifique que la secuencia y (n) tenga la transformada z Y (z).

3. Determine la transformada z de las siguientes secuencias usando la tabla de transformada z y las propiedades de la transformación z. Exprese X (z) como una función racional en z −1. Verifique sus resultados usando MATLAB. Indique la región de convergencia en cada caso y proporcione una gráfica de polo cero. 1. x(n) = 2δ(n − 2) + 3u(n − 3)

2.

𝑥(𝑛) = 3(0.75)n cos(0.3𝜋𝑛)𝑢(𝑛) + 4(0.75)nsin(0.3𝜋𝑛)𝑢(𝑛)

3.

𝑥(𝑛) = 𝑛 sin ( )𝑢(𝑛) + (0.9)𝑛𝑢(𝑛 − 2)

πn 3

4.

2 n−2 𝑢(𝑛 3

𝑥(𝑛) = 𝑛2 ( )

− 1)

5.

1 𝑛−2 𝜋 cos {( ) (𝑛 4 2

𝑥(𝑛) = (𝑛 − 3) ( )

− 1)}𝑢(𝑛)

4. Sea x (n) una secuencia de valores complejos con la parte real 𝑥𝑅 (𝑛) y la parte imaginaria x1 (n). 1. Demuestre las siguientes relaciones de transformada z:

2. Verifique estas relaciones para x (n) = exp {(−1 + j0.2π) n} u (n).

5. La transformada z de x (n) es X (z) = 1 / (1 + 0.5z −1), | z |> 0,5. Determine las transformadas z de las siguientes secuencias e indican su región de convergencia. 1.

𝑥1(𝑛) = 𝑥(3 − 𝑛) + 𝑥(𝑛 − 3)

2.

x2(n) = (1 + n + n2 )x(n)

3.

x3(n) = ( ) x(n − 2)

1 n 2

4.

x4(n) = x(n + 2) ∗ x(n − 2)

5.

x5(n) = cos (

πn )x 2

∗ (n)

6. Repita el problema P4.5 si 1.

𝑥1(𝑛) = 𝑥(3 − 𝑛) + 𝑥(𝑛 − 3)

2.

x2(n) = (1 + n + n2 )x(n)

3.

x3(n) = ( ) x(n − 2)

4.

x4(n) = x(n + 2) ∗ x(n − 2)

1 n 2

5.

πn )x 2

x5(n) = cos (

∗ (n)

7. La transformada z inversa de X (z) es x (n) = (1/2)^n u (n). Usando las propiedades de la transformación z, determinar las secuencias en cada uno de los siguientes casos. 𝑧−1 𝑋(𝑧) 𝑧

1.

𝑋1(𝑧) =

2.

𝑋2(𝑧) = 𝑧𝑋(𝑧 −1 )

3.

𝑋3(𝑧) = 2𝑋(3𝑧) + 3𝑋(𝑧/3)

4.

𝑋4(𝑧) = 𝑋(𝑧)𝑋(𝑧 −1 )

5.

𝑋5(𝑧) = 𝑧 2

𝑑𝑋(𝑧) 𝑑𝑧

8. Si las secuencias x1 (n), x2 (n) y x3 (n) están relacionadas por x3 (n) = x1 (n) ∗ x2 (n), entonces

1. Demuestre este resultado sustituyendo la definición de convolución en el lado izquierdo

2. Demuestre este resultado usando la propiedad de convolución.

3. Verifique este resultado usando MATLAB y eligiendo dos secuencias aleatorias x1 (n) y x2 (n).

9. Determine los resultados de las siguientes operaciones polinomiales utilizando MATLAB. 1.

X1(z) = (1 − 2z −1 + 3z −2 − 4z −3 )(4 + 3z −1 − 2z −2 + z −3 )

2.

X2(z) = (z 2 − 2z + 3 + 2z −1 + z −2 )(z 3 − z −3 )

3.

𝑋3(𝑧) = (1 + 𝑧 −1 + 𝑧 −2 )3

4.

𝑋4(𝑧) = 𝑋1(𝑧)𝑋2(𝑧) + 𝑋3(𝑧)

5.

𝑋5(𝑧) = (𝑧 −1 − 3𝑧 −3 + 2𝑧 −5 + 5𝑧 −7 − 𝑧 −9 )(𝑧 + 3𝑧 2 + 2𝑧 3 + 4𝑧 4 )

10. La función deconv es útil para dividir dos secuencias causales. Escribir una función MATLAB deconv m para dividir dos secuencias no causales (similar a la función conv). El formato de esta función debe ser

Verifique su función en la siguiente operación: 𝑧 2 + 𝑧 + 1 + 𝑧 −1 + 𝑧 −2 + 𝑧 −3 3𝑧 −2 + 3𝑧 −3 −1 − 2𝑧 −2 ) + (𝑧 = + 1 + 2𝑧 𝑧 + 2 + 𝑧 −1 𝑧 + 2 + 𝑧 −1

11. Determine las siguientes transformadas z inversas usando el método de expansión de fracción parcial. 1. 𝑋1(𝑧) = (1 − 𝑧 −1 − 4𝑧 −2 + 4𝑧 −3 )/(1 −

11 −1 𝑧 4

+

13 2 𝑧 8

1 4

− 𝑧 −3 ) La

secuencia es del lado derecho.

1 − 𝑧 −1 − 4𝑧 −2 + 4𝑧 −3 11 13 −2 1 −3 1 − 𝑧 −1 + 𝑧 − 𝑧 4 8 4 0 10 27 |𝑧| > 0.5 = −16 + − + 1 − 2𝑧 −1 1 − 0.5𝑧 −1 1 − 0.25𝑧 −1 𝑋1(𝑧) =

𝑥1(𝑛) = −16𝛿(𝑛) − 10(0.5)𝑛 𝑢(𝑛) + 27(0.25)𝑛 𝑢(𝑛) 2. 𝑋2(𝑧) = (1 + 𝑧 −1 − 4𝑧 −2 + 4𝑧 −3 )/(1 − secuencia es absolutamente sumable.

11 −1 𝑧 4

+

13 −2 𝑧 8

1 4

− 𝑧 −3 ) La

1 − 𝑧 −1 − 4𝑧 −2 + 4𝑧 −3 11 13 −2 1 −3 1 − 𝑧 −1 + 𝑧 − 𝑧 4 8 4 1.5238 12.6667 28.1429 = −16 + − + 0.5|𝑧| > 2 1 − 2𝑧 −1 1 − 0.5𝑧 −1 1 − 0.25𝑧 −1 𝑋2(𝑧) =

𝑥2(𝑛) = −16𝛿(𝑛) − 1.5238(2)𝑛 𝑢(−𝑛 − 1) − 12.6667(0.5)𝑛 𝑢(𝑛) + 28.1429(0.25)𝑛 𝑢(𝑛)//

3. X3(z) = (z 3 − 3z 2 + 4z + 1)/(z 3 − 4z 2 + z − 0.16) La secuencia está en el lado izquierdo z 3 − 3z 2 + 4z + 1 1 − 3𝑧 −1 + 4𝑧 −2 + 𝑧 −3 X3(z) = 3 = z − 4z 2 + z − 0.16 1 − 4𝑧 −1 + 𝑧 −2 − 0.16𝑧 −3

0.5383 3.3559 + 𝑗5.7659 + −1 (0.1278 1 − 3.7443𝑧 1− + 𝑗0.1625)𝑧 −1 3.3559 − 𝑗5.7659 + 1 − (0.1278 − 𝑗0.1625)𝑧 −1

X3(z) = −6.25 +

𝑥3(𝑛) = −6.25𝛿(𝑛) − 0.5383(3.7443)𝑛 𝑢(−𝑛 − 1) − (3.3559 + 𝑗5.7659)(0.1278 + 𝑗0.1625)𝑛 𝑢(−𝑛 − 1) − (3.3559 − 𝑗5.7659)(0.1278 − 𝑗0.1625)𝑛 𝑢(−𝑛 − 1) 4.

𝑋4(𝑧) =

𝑧 𝑧 3 +2𝑧 2 +1.25𝑧+0.25

𝑋4(𝑧) =

𝑋4(𝑧) =

𝑧3

|𝑧| > 1

+

2𝑧 2

𝑧 𝑧 −2 = −1 + 1.25𝑧 + 0.25 1 + 2𝑧 + 1.25𝑧 −2 + 0.25𝑧 −3

4 4 4 0.5𝑧 −1 |𝑧| > 1 − = − 8𝑧 −1 −1 2 −1 (1 ) (1 1+𝑧 + 0.5𝑧 1+𝑧 + 0.5𝑧 −1 )2 𝑥4(𝑛) = 4(−1)𝑛 𝑢(𝑛) − 8(𝑛 + 1)(0.5)𝑛+1 𝑢(𝑛 + 1)

5.

𝑋5(𝑧) = (𝑧 2

𝑧 , |𝑧| −0.25)2

< 0.5

12. Considere la secuencia 𝑥(𝑛) = 𝐴c(𝑟)n cos(𝜋𝑣0𝑛)𝑢(𝑛) + 𝐴s(𝑟)n sin(𝜋𝑣0𝑛)𝑢(𝑛)

La transformada z de esta secuencia es una función racional de segundo orden (propia) que contiene un par de polos complejo-conjugado. El objetivo de este problema es desarrollar un MATLAB función que se puede usar para obtener la transformada z inversa de tal función racional que el inverso no contiene números complejos. 1. Demuestre que la transformada z de x (n) en (4.30) está dada por

Donde 𝑏0 = 𝐴c; 𝑏1 = 𝑟[𝐴s sin(𝜋𝑣0) − 𝐴c cos(𝜋𝑣0)]; 𝑎1 = −2𝑟 cos(𝜋𝑣0); 𝑎2 = 𝑟 2

2. Con (4.32), determine los parámetros de la señal Ac, As, ry v0 en términos de los parámetros de función b0, b1, a1 y a2.

3. Con los resultados de la parte b anterior, diseñe una función de MATLAB, invCCPP, que calcule parámetros de señal utilizando los parámetros de función racional. El formato de esta función debiera ser

13. Suponga que X (z) se da como sigue:

1.

Usando la función invCCPP de MATLAB dada en el problema P4.12, determine x (n) en una forma que no contiene complejo

2.

Usando MATLAB, calcule las primeras 20 muestras de x (n) y compárelas con su responde en lo anterior

14. La transformada z de una secuencia causal se da como

Que contiene un par de polos complejo-conjugado, así como un polo de valor real. 1. Usando la función residualz, exprese (4.33) como

(2) + (0.45)𝑧 −1 −4 + 1 + (−0.9)𝑧−1 + (0.81)𝑧−2 1 − (−0.8)𝑧 −1 Ahora usando su función invCCPP y la inversa del factor de polo de valor real, determinar la secuencia causal x (n) a partir de X (z) en (4.34) para que no contenga números complejos. 𝑋(𝑧) =

2.

15. Para los sistemas lineales e invariantes en el tiempo descritos por las siguientes respuestas de impulso, determinar (i) la representación de la función del sistema, (ii) la representación de la ecuación en diferencia, (iii) la gráfica polo-cero, y (iv) la salida y (n) 1 n 4

si la entrada es x (n) = ( ) 𝑢(𝑛) 1.

1 𝑛 4

ℎ(𝑛) = 5 ( ) 𝑢(𝑛)

2.

1 n 3

1 n 4

h(n) = n ( ) u(n) + (− ) u(n)

3.

h(n) = 3(0.9)n cos(πn/4 + π/3)u(n + 1)

4.

h(n) =

(0.5)n sen[(n+1) π/3] π

sen( 3 )

u(n)

5.

ℎ(𝑛) = [2 − sin(𝜋𝑛)]𝑢(𝑛)

16. Considere el sistema que se muestra en la Figura P4.1. 1. Usando el enfoque de la transformada z, demuestre que la respuesta al impulso, h (n), de la el sistema está dado por 1 ℎ(𝑛) = 𝛿(𝑛) − 𝛿(𝑛 − 1) 2

2. Determine la representación de la ecuación en diferencias del sistema general que relaciona salida y (n) a la entrada x (n).

3. ¿Es este sistema causal? BIBO estable? Explique claramente para recibir todo el crédito.

4. Determine la respuesta de frecuencia H (ejω ) del sistema general

5. Con MATLAB, proporcione un gráfico de esta respuesta de frecuencia sobre 0 ≤ ω ≤π

17. Para los sistemas lineales e invariantes en el tiempo descritos por las siguientes funciones del sistema, determinar (i) la representación de la respuesta al impulso, (ii) la ecuación de diferencia representación, (iii) la gráfica polo-cero, y (iv) la salida y (n) si la entrada es 𝑥(𝑛) = 3 cos(𝜋𝑛/3)𝑢(𝑛) 1.

𝐻(𝑧) = (𝑧 + 1)/(𝑧 − 0.5)

2.

𝐻(𝑧) = (1 + 𝑧 −1 + 𝑧 −2 )/(1 + 0.5𝑧 −1 − 0.25𝑧 −2 )

3.

𝐻(𝑧) = (𝑧 2 − 1)/(𝑧 − 3)2

4.

𝐻(𝑧) =

z 1−0.5𝑧−1 + 𝑧−0.25 1+2𝑧 −1

5.

𝐻(𝑧) = (1 + z −1 + z −2 )2

18. Para los sistemas lineales, causales e invariantes en el tiempo descritos por la siguiente diferencia ecuaciones, determine (i) la representación de la respuesta al impulso, (ii) la función del sistema representación, (iii) la gráfica polo-cero, y (iv) la salida y (n) si la entrada es x (n) = 2 (0,9)n u (n).

19. La secuencia de salida y (n) del problema P4.18 es la respuesta total. Para cada uno de los sistemas dado en el problema P4.18, separe y (n) en (i) la parte homogénea, (ii) la parte, (iii) la respuesta transitoria, y (iv) la respuesta de estado estacionario.

20. Un sistema estable tiene cuatro ceros y cuatro polos como se indica a continuación

También se sabe que la función de respuesta de frecuencia H (ejω) evaluada en ω = π / 4 es igual a 1, es decir,

1. Determine la función del sistema H (z) e indique su región de convergencia.

2.

Determine la representación de la ecuación en diferencias.

3. Determine la respuesta de estado estable yss (n) si la entrada es x (n) = cos (πn / 4) u (n).

4. Determine la respuesta transitoria ytr (n) si la entrada es x (n) = cos (πn / 4) u (n)

21. Un filtro digital se describe mediante la función de respuesta de frecuencia H(𝑒 𝑗𝜋/4 ) = [1 + 2 cos(ω) + 3 cos(2ω)] cos (w/2) (𝑒 −𝑗5𝑤/2 ) 1. Determinar la representación de la ecuación en diferencias

2. Utilizando la función freqz, trace la magnitud y la fase de la respuesta de frecuencia de la filtrar. Tenga en cuenta la magnitud y la fase en 𝜔 = 𝜋2 y 𝜔 = 𝜋.

3. Genere 200 muestras de la señal x (n) = sin (πn / 2) + 5 cos (πn) y procese a través del filtro para obtener y (n). Compare la porción de estado estable de y (n) con x (n). ¿Como están los amplitudes y fases de dos sinusoides afectadas por el filtro?

22. Repita el problema 4.21 para el siguiente filtro:

1. Determinar la representación de la ecuación en diferencias

2. Utilizando la función freqz, trace la magnitud y la fase de la respuesta de frecuencia de la filtrar. Tenga en cuenta la magnitud y la fase en 𝜔 = 𝜋2 y 𝜔 = 𝜋.

3. Genere 200 muestras de la señal x (n) = sin (πn / 2) + 5 cos (πn) y procese a través del filtro para obtener y (n). Compare la porción de estado estable de y

(n) con x (n). ¿Como están los amplitudes y fases de dos sinusoides afectadas por el filtro?

23. Resuelva la siguiente ecuación de diferencias para y (n) usando el enfoque de transformada z unilateral: 𝑦(𝑛) = 0.81𝑦(𝑛 − 2) + 𝑥(𝑛) − 𝑥(𝑛 − 1), 𝑛 ≥ 0; 𝑦(−1) = 2, 𝑦(−2) = 2 𝑥(𝑛) = (0.7)n𝑢(𝑛) + 1)

Genere las primeras 20 muestras de y (n) usando MATLAB y compárelas con su respuesta.

24. Resuelva la ecuación en diferencias para y (n), n ≥ 0, 𝑦(𝑛) − 0.4𝑦(𝑛 − 1) − 0.45𝑦(𝑛 − 2) = 0.45𝑥(𝑛) + 0.4𝑥(𝑛 − 1) − 𝑥(𝑛 − 2) 1 𝑛 2

impulsado por la entrada 𝑥(𝑛) = [2 + ( ) ]𝑢(𝑛) 𝑦(−1) = 0, 𝑦(−2) = 3; 𝑥(−1) = 𝑥(−2) = 2

Descomponer la solución y (n) en (i) respuesta transitoria, (ii) respuesta en estado estable, (iii) respuesta de entrada cero y (iv) respuesta de estado cero.

25. Un sistema estable, lineal e invariante en el tiempo viene dado por la función del sistema

1. Determine la representación de la ecuación en diferencias para este sistema.

2. Trace los polos y ceros de H (z) e indique la ROC.

3. Determine la respuesta de la muestra unitaria h (n) de este sistema.

4. ¿Es este sistema causal? Si la respuesta es afirmativa, justifíquelo. Si la respuesta es no, encuentre una causal respuesta de muestra unitaria que satisface la función del sistema

26. Determinar las respuestas de entrada cero, estado cero y estado estable del sistema. 𝑦(𝑛) = 0.9801𝑦(𝑛 − 2) + 𝑥(𝑛) + 2𝑥(𝑛 − 1) + 𝑥(𝑛 − 2), 𝑛 ≥ 0; 𝑦(−2) = 1, 𝑦(−1) = 0 𝑥(𝑛) = 5(−1)n𝑢(𝑛).