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CAPITULO 2. MATRICES Y DETERMINANTES BIBLIOGRAFIA ™Poole, D. ™Rodrigo, A. (Notas de Algebra lineal) ™ Sydsaeter y Hammond M. Vázquez 1

ARTHUR CAYLEY (1821-1895) Fundador de la escuela británica de matemáticas puras, se considera el padre del cálculo matricial. Es el tercer matemático más prolífico de la historia, después de Euler y Cauchy. Cayley es el autor de la primera referencia escrita sobre el teorema de los cuatro colores, publicada en 1879 en la revista no matemática Proceedings of the Royal Geographical Society. El teorema tuvo que esperar más de un siglo para ser demostrado. El Teorema de los Cuatro Colores afirma que para pintar cualquier mapa sobre el plano o sobre una esfera de modo que dos países con frontera común no compartan el mismo color, hacen falta cuatro colores

Cayley, que se ganaba la vida como abogado, ejerció también su influencia en otros aspectos no menos relevantes, como por ejemplo ayudando a cambiar la mentalidad medieval de la Universidad de Cambridge en lo que se refiere a admitir como alumnas a las mujeres

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MATRICES Una matriz es una caja compuesta por m filas y n columnas. El conjunto de las matrices con m filas y n columnas se denomina Mmxn. Los objetos que se colocan en la matriz se denominan elementos y se denotan aij (elemento situado en la fila i y en la columna j). Además, las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas se llaman cuadradas. Las que tienen sólo una fila, matriz fila y si sólo tienen una columna, matriz columna. En general escribiremos ⎛ a1,1 a1,2........ a1,n−1 a1,n ⎞ Ejemplos ⎛1 1 . ⎜⎜ 0 ⎜ 3 ⎝

2 ⎞ − 1 ⎟⎟ 1 ⎟⎠

⎜a ⎟ ⎜ 2,1 a2,2...... a2,n−1 a2,n ⎟ ⎜ . . . . ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ am,1 am,2 ..... am,n−1 am,n ⎠

Diagonal principal

Es una matriz perteneciente a la familia M3x2 (tres filas y dos columnas). elemento a12

elemento a21 ⎛ 2 −1 0 ⎞ 2. ⎜⎜ −2 3 4 ⎟⎟ ⎜ 1 1 −2 ⎟ ⎝ ⎠

Es una matriz cuadrada M3. Observa que, en general aij ≠ a ji En nuestro ejemplo a21 =−2 ≠ a12 =−1

⎛ 1/4 ⎞ 3.( − 1, 3, − 3 / 2 ) vector fila y ⎜ ⎟ vector colum na ⎝ 7/8 ⎠

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OPERACIONES CON MATRICES

1. Suma de matrices Mmxn : se suman los elementos situados en la misma fila y columna (por tanto, para poder sumar matrices tienen que tener el mismo número de filas y columnas). ⎛ 2 1⎞ ⎛ −1 1 ⎞ ⎛ 1 2⎞ ⎜ −1 3 ⎟ + ⎜ 2 2 ⎟ = ⎜ 1 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎜ −3 1 ⎟ ⎜ −3 2 ⎟ ⎝ ⎠3 x 2 ⎝ ⎠3 x 2 ⎝ ⎠3 x 2

2. Producto por un escalar: se multiplican todos los elementos de la matriz por el escalar. ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ −5 10 ⎞ 5⎜ ⎟ = ⎜ 15 −15 ⎟ − 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. Producto de matrices ⎛ 2 1⎞ ⎛ (2,1).(−1,2) (2,1)(2,1) ⎞ ⎛ 0 4⎞ − 1 2 ⎛ ⎞ a) ⎜⎜ −1 3⎟⎟ ⎜ = ⎜⎜ (−1,3)(−1,2) (−1,3)(2,1)⎟⎟ = ⎜⎜ 7 1⎟⎟ ⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎝ 2 1⎠2x2 ⎜ (0,1)(−1,2) (0,1)(2,1) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠3x2 ⎝ ⎠3x2 ⎝ 2 1⎠ 4

⎛ −1 2 ⎞ ⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ −1 7 ⎞ b) ⎜ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 1 ⎠2 x 2 ⎝ 0 3 ⎠ 2 x 2 ⎝ 3 0 ⎠ 2 x 2

!!!tienen que ser iguales!!!

⎛ −1 ⎞ ⎜0⎟ c )(2, −1, 0, 3)1 x 4 ⎜ ⎟ = −2 + 0 + 0 − 3 = −5 ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1 ⎠ 4 x1 ⎛ −1⎞ ⎛ −2 1 ⎜0⎟ ⎜ 0 0 ⎜ ⎟ d) (2, −1, 0, 3)1x 4 = ⎜ ⎜1⎟ ⎜ 2 −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ −1 ⎠ 4 x 1 ⎝ −2 1

OBSERVA

0 −3 ⎞ 0 0 ⎟⎟ 0 3⎟ ⎟ 0 −3 ⎠

EL PRODUCTO DE MATRICES NO ES CONMUTATIVO (compara b) con e))

⎛ 1 −1⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ −1 1 ⎞ e) ⎜ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 3 ⎠ 2 x 2 ⎝ 3 1 ⎠2 x 2 ⎝ 9 3 ⎠2 x 2 ⎛ −2 1 ⎜0 0 f )⎜ ⎜ 2 −1 ⎜ ⎝ −2 1

0 −3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎟⎟ ⎜⎜ 0 0 3 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ 0 −3⎠4 x 4 ⎝ 0

0 0 0⎞ ⎛ −2 1 ⎟ ⎜0 0 1 0 0⎟ =⎜ ⎜ 2 −1 0 1 0⎟ ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎠4 x 4 ⎝ −2 1

0 −3⎞ 0 0 ⎟⎟ 0 3⎟ ⎟ 0 −3⎠4 x 4

MATRIZ IDENTIDAD

Observación: existe otro tipo de producto matricial, el llamado producto de Hadamard, en el que se multiplican los elementos de la misma fila y columna. Sin embargo, el que estudiamos aquí es el producto de matrices más utilizado.

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⎛ 2 2⎞ ⎛ −1 −1⎞ ,B= ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ . Calcula (A+B)(A-B) 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejercicio. Sea A = ⎜

Solución Con escalares se verifica (a + b)(a − b) = a2 − b2 . Sin embargo, ésto no tiene porqué ser cierto con matrices. Observa: ⎛ 1 1⎞⎛ 3 3⎞ ⎛ 3 3⎞ ( A + B)( A − B) = ⎜ ⎟⎜ 0 0⎟ = ⎜ 0 0⎟ 0 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 4 6⎞ ⎛ −2 −3⎞ ⎛ −2 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ −1 −1⎞ 2 2 A2 + BA − AB − B2 = ⎜ ⎟ + ⎜ 0 1 ⎟ − ⎜ 0 1 ⎟ − ⎜ 0 1⎟ = ⎜ 0 1 ⎟ ≠ A − B 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejercicio Dadas las matrices a) 3 A+2B

⎛ 2 1 −1 ⎞ ⎛ 1 1 −1 ⎞ A = ⎜⎜ 1 0 1 ⎟⎟ , B = ⎜⎜ 0 0 1 ⎟⎟ ⎜ −1 3 2 ⎟ ⎜ −1 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

calcula

b) AB-B2 c) (A+B)A

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MATRIZ TRASPUESTA La matriz traspuesta de una dada se obtiene intercambiando las filas por las columnas. Se denota por AT. Es muy sencillo probar las siguientes propiedades: a. La traspuesta de la traspuesta es la matriz original (AT )T =A b. ( A+ B )T = AT + BT c. ( A B )T = BT AT Demostración. Demostramos sólo el punto c) en el caso 2x2. El resto queda como ejercicio. ⎛a a ⎞ ⎛a a ⎞ ⎛b b ⎞ ⎛b b ⎞ ⎛b b ⎞⎛a a ⎞ ⎛b a +b a b a +b a ⎞ A= ⎜ 11 12 ⎟ ⇒AT = ⎜ 11 21 ⎟ ; B= ⎜ 11 12 ⎟ ⇒BT = ⎜ 11 21 ⎟ BT AT = ⎜ 11 21 ⎟⎜ 11 21 ⎟ = ⎜ 11 11 21 12 11 21 21 22 ⎟ ⎝a21 a22 ⎠ ⎝a12 a22 ⎠ ⎝b21 b22 ⎠ ⎝b12 b22 ⎠ ⎝b12 b22 ⎠⎝a12 a22 ⎠ ⎝b12a11 +b22a12 b12a21 +b22a22 ⎠

Ahora calculamos AB y trasponemos ⎛a a ⎞ ⎛b b ⎞ ⎛ a a ⎞⎛ b b ⎞ ⎛ a b + a b a b + a b ⎞ ⎛a b +a b a b +a b ⎞ T A = ⎜ 11 12 ⎟, B = ⎜ 11 12 ⎟ ⇒ AB = ⎜ 11 12 ⎟⎜ 11 12 ⎟ = ⎜ 11 11 12 21 11 12 12 22 ⎟ ⇒( AB) = ⎜ 11 11 12 21 21 11 22 21 ⎟ ⎝a21 a22 ⎠ ⎝b21 b22 ⎠ ⎝a21 a22 ⎠⎝b21 b22 ⎠ ⎝a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 ⎠ ⎝ a11b12 + a12b22 a21b12 + a22b22 ⎠

Y por tanto ( A B )T = BT AT , que es lo que queríamos probar. 7

MATRIZ INVERSA ⎛1 −1⎞

⎛ 0 1/2⎞

Considera las matrices A = ⎜ ⎟ y B = ⎜−1 1/2⎟ Calculamos el producto AB y 2 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ tenemos ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 0 1/ 2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1/ 2 ⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 1 0 ⎞ AB = ⎜ = y además BA = ⎟ ⎜ −1 1/ 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎜ −1 1/ 2 ⎟ ⎜ 2 0 ⎟ = ⎜ 0 1 ⎟ 2 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Diremos que la matriz B es la inversa de la matriz A y la llamaremos A-1. Más concretamente: Diremos que una matriz cuadrada A tiene inversa si existe otra matriz cuadrada B tal que AB=BA=I donde I es la matriz identidad. La llamaremos A-1 Todas las matrices cuadradas tienen inversa? ¿Cuándo una matriz cuadrada es invertible? (tiene inversa) ¿Cómo se calcula la inversa de una matriz dada?

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Propiedades de la matriz inversa Sea A una matriz invertible (tiene matriz inversa). Entonces a) La matriz inversa de A es única. b) (A-1) -1 =A c) (AT ) -1 = (A-1) T d) Si la matriz B tiene inversa (AB) -1 = B -1A-1 Demostración a) Supongamos que B y C son i nversas de A. Como B es inversa de A, AB=I. Ahora multiplico ambos lados de la igualdad por C C(AB)=CI

(CA)B=CI (propiedad asociativa)

como C es inversa de A,

IB=CI y como I es la matriz identidad B=C= A-1, que es lo que querías probar. b) Muy fácil. Como (A-1) A=I por definición de inversa, entonces la inversa de la matriz (A-1) es A luego (A-1) -1 =A . 9

c) (AT ) -1 = (A-1) T . Para probar esta propiedad toma el producto AT (A-1) T . Por la propiedad del producto de las matrices traspuestas AT(A-1) T =(A-1 A) T =I y por tanto, la inversa de la traspuesta (AT ) -1 = (A-1) T

d) (AB) -1 = B -1A-1 . Tomamos la matriz AB y la multiplicamos por B -1A-1 . Tenemos (AB)( B -1A-1 )=A(B B -1 )A-1 =AI A-1 = A A-1 =I

B -1A-1 es la inversa de AB

RESPONDEMOS ahora a alguna de las cuestiones que nos hemos formulado. Vamos a empezar presentando un método (Gauss-Jordan) que nos permite, mediante operaciones sencillas con matrices, calcular la inversa de una matriz (y de paso, ver cuando tal inversa no existe). ⎛ 1 1⎞

⎛ 1 1⎞

Sea la matriz ⎜⎝ 0 1⎟⎠ . Si conseguimos encontrar una matriz tal que B ⎜⎝ 0 1⎟⎠=I, habrás encontrado la inversa. Para ello, debo encontrar una matriz B tal que, al multiplicarla por la matriz dada, transforme este elemento en un cero. a =1 ⎛a b⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 0⎞ a + b = 0 ⎛1 −1⎞ = ⇒ ⇒ = = − = = ⇒ = a 1, b 1, c 0, d 1 B ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c =0 ⎝ c d ⎠ ⎝0 1⎠ ⎝0 1⎠ ⎝0 1 ⎠ c + d =1

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Vamos a escribirlo de otra manera. Idea: mediante operaciones elementales con las filas de las matrices, intenta transformar el 1 (elemento a12 ) en un cero. Son operaciones elementales cambiar de orden las filas, sustituir una de ellas por una combinación lineal de las otras o multiplicar las filas por una constante distinta de cero. Por ejemplo, sustituye la primera fila por la diferencia entre la primera y la segunda

1 11 0 0 10 1

−1 1

Ahora a la izquierda tienes la identidad y a la derecha una nueva matriz, que es justo la matriz inversa calculada antes!!!! Observa que la operación que has hecho entre las filas es equivalente a multiplicar la matriz de partida y la identidad por la matriz B. 1 11 0 10

0 1 ⇒ 1 0

01 10

Podemos calcular la inversa de cualquier matriz de esta manera, pero seguramente con más operaciones. Aquí veremos cómo trabajar (para una demostración del método ver el texto de Poole) Ejemplo 1. Calcula la inversa, si existe, de la matriz A = ⎛⎜1 1 ⎞⎟ ⎝ 1 −1 ⎠

1 1

1 1 −1 0

0 1 ⇒ 1 0

11 21

0 −1

Este elemento es un 1, vamos bien. Este 1 tiene que ser un cero. Cambio la segunda fila por la primera menos la segunda. 11

1 0

1 1 2 1

0 1 ⇒ −1 0

1 1 11/2

El 2 lo convierto en un 1 dividiendo toda la fila por 2.

0 −1 / 2

La segunda fila ya correponde a la matriz identidad. 1 0

1 1 11/2

0 1 ⇒ −1 / 2 0

0 1/2 1 1/2

1/2 −1 / 2

Ahora transformo el 1 en un cero sustituyendo la primera fila por la primera menos la segunda

Observa. Acabamos de obtener la matriz identidad en la parte izquierda, luego la inversa que buscamos es la matriz ⎛ 1/ 2 1/ 2 ⎞ A−1 = ⎜ ⎟ ⎝ 1/ 2 −1/ 2 ⎠

Lo comprobamos

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1/ 2 1/ 2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ AA−1 = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 1 −1⎠ ⎝ 1/ 2 −1/ 2 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠

Ejemplo 2. Calcula la inversa de la

⎛0 1 ⎞ matriz ⎜⎝ 1 −1⎟⎠

Tenemos un cero. Debemos transformarlo en un 1. Lo más sencillo es intercambiar las filas (observa que ésto es equivalente a multiplicar la matriz dada por la matriz ⎛⎜ 0 1 ⎞⎟ ⎝1 0⎠

12

0 1 1 0 1 −1 0 1 ⇒ 1 −1 0 1 0 1 1 0

Ya están colocados. También está colocado. Sólo falta transformar el -1 en un cero.

1 −1 0 1 1 0 1 1 ⇒ 0 1 1 0 0 11 0

Sustituimos la primera fila por la primera más la segunda

Hemos terminado. La inversa que buscas es la matriz Ejemplo 3. Calcula la inversa, si existe, de la matriz 1 1 1 0 −1 −1 0 1

⎛1 1 ⎞ ⎜1 0 ⎟ ⎝ ⎠

. Compruébalo.

⎛1 1⎞ ⎜ −1 −1 ⎟ ⎝ ⎠

Lo convierto en un cero. Para ello, sustituyo la segunda fila por la primera más la segunda No podemos colocar un 1. La matriz no tiene inversa

1 1 1 0 1 11 0 ⇒ −1 −1 0 1 0 0 1 1

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Cómo trabajamos entonces? 1. El elemento a11 tiene que ser distinto de cero. Para ello, intercambia filas. Si no puedes conseguirlo, la matriz no tiene inversa. Si puedes obtener una cantidad no nula, divide toda la fila por ella. Ya tienes un uno. ⎛ a1,1 a1,2........ a1,n−1 a1,n ⎞ ⎛1 ⎜a a2,2...... a2,n−1 a2,n ⎟ ⎜ . ⎜ 2,1 ⎟⇒⎜ ⎜ . . . . ⎟ ⎜. ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ am,1 am,2 ..... am,n−1 am,n ⎠ ⎝ .

. . .⎞ . . . ⎟⎟ . . .⎟ ⎟ . . .⎠

2. A continuación, sustituye las distintas filas por combinaciones lineales de ellas con otras filas hasta que se conviertan en cero todos los elementos de la forma a.1 ⎛1 ⎜. ⎜ ⎜. ⎜ ⎝.

. . . .

. . . .

.⎞ ⎛ 1 . . ⎟⎟ ⎜⎜ 0 a22 ⇒ .⎟ ⎜ 0 . ⎟ ⎜ .⎠ ⎝ 0 .

. . . .

.⎞ . ⎟⎟ .⎟ ⎟ .⎠

3. Intercambia filas para que el elemento a22 sea no nulo. Si no puedes, la matriz no tiene inversa.

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4. Repite esta operación hasta que consigas una matriz que tiene todos sus elementos igual a cero bajo la diagonal principal (y todos los elementos de esta diagonal no nulos) ⎛1 . ⎜0 a 22 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎝0 0

. . a33 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ann ⎠ . . .

5. Ahora, hacemos ceros por encima de la diagonal, empezando así ⎛1 . ⎜0 a 22 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎝0 0

. . a33 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ann ⎠ 0 0 0

hasta conseguir la matriz identidad. Quizás no es la única manera de trabajar, pero sí es la más segura.

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Ejercicio: Calcula la inversa de las siguientes matrices por el método de Gauss-Jordan ⎛2 0 1⎞ ⎛0 0 1⎞ ⎛ 0 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a ) ⎜ −1 1 −1⎟ , b) ⎜ −1 1 −1⎟ , c) ⎜⎜ −1 1 −1⎟⎟ ⎜0 2 1⎟ ⎜2 0 1⎟ ⎜ −2 2 −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Solución 2 0 1 1 0 0 1 0 1/ 2 1/ 2 0 0 1 0 1/ 2 1/ 2 0 0 a ) −1 1 −1 0 1 0 ⇒ 0 2 1 0 0 1 ⇒ 0 2 1 0 0 1 (la tercera se cambia por primera +tercera) 0 2 1 0 0 1 −1 1 −1 0 1 0 −1 1 −1 0 1 0 1 0 1/ 2 1/ 2 0 0 1 0 1/ 2 1/ 2 0 0 0 1 0 2 1 0 0 1 ⇒ (sustituyo la tercera por -2x la tercera más la segunda) 0 2 1 0 0 0 2 −1 −2 1 0 1 −1/ 2 1/ 2 1 0 1 0 1/ 2 1/ 2 0 0 1 0 1/ 2 1/ 2 0 0 0 2 1 0 0 1 ⇒ (sustituyo la segunda por la segunda - la tercera ) 0 2 0 1/ 2 1 1/ 2 0 0 1 −1/ 2 −1 1/ 2 0 0 1 −1/ 2 −1 1/ 2 1 0 0 3 / 4 1/ 2 −1/ 4 1 0 1/ 2 1/ 2 0 0 1 1/ 2 0 2 0 1/ 2 1 1/ 2 ⇒ (sustituyo la primera por la primera -1/2 por la tercera) 0 2 0 1/ 2 0 0 1 −1/ 2 −1 1/ 2 0 0 1 −1/ 2 −1 1/ 2 1 0 0 3 / 4 1/ 2 −1/ 4 0 1 0 1/ 4 1/ 2 1/ 4 0 0 1 −1/ 2 −1 1/ 2

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− 1 1 −1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 −1 1 0 −1 0 b) −1 1 −1 0 1 0 ⇒ 2 0 1 0 0 1 ⇒ 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 11 0 0 1 −1 1 0 −1 0 0 2 01 2 1 ⇒ 0 0 11 0 0

⇒

1 −1 0 −1 −1 0 0 2 0 1 2 1 ⇒ 0 0 1 1 0 0

⇒

1 −1 1 0 −1 0 0 2 −1 0 2 1 0 0 1 1 0 0

2 0 0 −1 0 1 0 2 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0

1 0 0 −1/ 2 0 1/ 2 0 1 0 1/ 2 1 1/ 2 0 0 1 1 0 0

⇒

1 −1 1 0 −1 0 −1 1 −1 0 1 0 c) −1 1 −1 0 1 0 ⇒ −2 2 −1 0 0 1 ⇒ 0 0 1 0 −2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 11 0 0 − 2 2 −1 0 0 1 0

0

1 1 0 0

Y por tanto la matriz no tiene inversa.

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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA En este curso no vamos ver una definición formal de determinante. Para matrices 2x2 o 3x3, el determinante se define como sigue: a) En matrices 2x2, Det A=

⎛a A = a 21 a 221 − a12 a 21 , A = ⎜ 11 ⎝ a 21

a12 ⎞ a 2 2 ⎟⎠

b) En matrices 3x3,

⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎜a a a ⎟ A = a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a , A = 11 22 33 21 32 13 12 23 31 13 22 31 12 21 33 23 32 11 Det A= ⎜ 21 22 23 ⎟ ⎜a a a ⎟ ⎝ 31 32 33 ⎠ Se denomina regla de SARRUS

La idea de determinante fue considerada por primera vez por el matemático Japonés Takakazu Seki (descendiente de samurais) y , de manera independiente, por el alemán Leibniz. Durante muchos años estuvieron ligados a los sistemas de ecuaciones lineales. En 1812, Cauchy publica un artículo donde emplea determinantes para obtener el volumen de ciertos poliedros sólidos. Este hecho despertó un gran interés en las aplicaciones de los determinantes que duró aproximadamente 100 años. Thomas Muir escribió un tratado de lo que se conocía a principios del siglo XX que ocupó cuatro volúmenes. Nosotros no estudiaremos cuatro tomos (pero casi). 18

Ejemplos. Calcula el determinante de las siguientes matrices ⎛ 1 2⎞ A=⎜ ⎟ ⇒ A = 1.3 − 2.( −1) = 1; ⎝ −1 3 ⎠

⎛ 3 −1 ⎞ B=⎜ ⎟ ⇒ B = 3.0 − ( −1).( −1) = 1; ⎝ −1 0 ⎠

1 ⎞ ⎛ 3 ⎟ ⇒ C = 3( −1 ) − 1 = −1 + 1 = 0 C=⎜ ⎜ −1 −1 ⎟ 3 3 ⎠ ⎝

⎛ 1 0 1⎞ A = ⎜⎜ −1 1 0 ⎟⎟ ⇒ A = 1.1.1 + ( −1).2.1 + 0 − 1.1.0 − 0.( −1).1 − 0.2.1 = 1 − 2 = −1 ⎜ 0 2 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 0 1⎞ B = ⎜⎜ −1 1 0 ⎟⎟ ⇒ B = 1.1.1 + (−1).1.1 + 0 − 1.1.0 − 0.(−1).1 − 0.1.1 = 1 − 1 = 0 ⎜ 0 1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛2 1 1⎞ C = ⎜⎜ 1 −1 0 ⎟⎟ ⇒ C = 2.( −1).2 + 1.1.1 + 1.0.0 − 1.( −1).0 − 1.1.2 − 0.1.2 = −4 + 1 − 2 = −5 ⎜ 0 1 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 1 1⎞ D = ⎜⎜ 1 −1 0 ⎟⎟ ⇒ D = 1.( −1).1 + 1.1.1 + 1.0.0 − 0.( −1).1 − 1.1.1 − 0.1.1 = −1 + 1 − 1 = −1 ⎜0 1 1⎟ ⎝ ⎠

Cómo calculamos el determinante de matrices más grandes? 19

Desarrollo por Filas o Columnas

Sea una matriz cuadrada A de tamaño n. Definimos el menor complementario del elemento aij como el determinante de la matriz que obtienes al eliminar la fila i y la columna j de la matriz original. Lo denotaremos por M ij . Se denomina adjunto del elemento aij y se denota por Aij al menor complementario multiplicado por (-1)i+j . Entonces se puede probar la siguiente proposición: a) Desarrollo por una fila (fila i): Det A=

A

= ai1 Ai1+ ai2 Ai2+……..+ ai1nAin

b) Desarrollo por una columna ( columna j): Det A=

A

= a1j A1j+ a2j A2j+……..+ anjAnj

Esta proposición se denomina Teorema de expansión de Laplace o Expansión por cofactores. Laplace fue un ilustre matemático francés que realizó grandes contribuciones al álgebra, la probabilidad y el cálculo, entre otras cosas. Iba para clérigo, pero afortunadamente para la ciencia pudo más su extraordinario talento.

Ejemplo 1. Calcula el determinante de la matriz

⎛ 1 0 1⎞ A = ⎜⎜ −1 1 0 ⎟⎟ ⎜ 0 2 1⎟ ⎝ ⎠

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Desarrollando por la primera fila tenemos A = 1.( − 1)1+1

1 2

0 −1 0 −1 1 + 0.( − 1)1+ 2 + 1.( − 1)1+ 3 = 1 + 0 + 1( − 2) = − 1 1 0 1 0 2

Desarrollando por la primera columna A = 1( − 1) 2

1 2

0 0 + ( − 1)( − 1) 3 1 2

1 + 0 = 1 − 2 = −1 1

Puedes hacerlo por cualquier fila o columna. Lo más inteligente es escoger una fila o columna que contenga muchos ceros pues de esta manera disminuyes los cálculos.

Ejemplo 2. Calcula el determinante de la matriz

⎛1 ⎜ −1 A=⎜ ⎜0 ⎜ ⎝ −1

0 1 1⎞ 1 0 −1⎟⎟ 2 1 1⎟ ⎟ 1 1 1⎠

Desarrollo por la segunda fila A=

1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 2 1 −1 1 1

1 1

0 1 1

1

1 1

1

0 1

= −1( −1) 2 1 1 + 1.( −1) 0 1 1 + 0 + −1( −1) 0 2 1 1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 3

4

6

21

Ahora puedes aplicar de nuevo el método o recurrir a la regla de Sarrus 0 1 1

1 1 1

1 0 1

A = −1(−1) 2 1 1 + 1.(−1) 0 1 1 + 0 + −1(−1) 0 2 1 = 1(0 + 2 + 1 − 1 − 2 − 0) + 1(1 + 0 − 1 + 1 − 1 + 0) + 0 − 1(2 + 0 + 0 + 2 − 0 − 1) = 0 + 0 − 3 = −3 −1 1 1 −1 1 1 1 1 1 3

4

6

Ya hemos visto que el cálculo de determinantes se simplifica si la matriz tiene muchos ceros. Vamos a ver algunas propiedades interesantes que nos permitirán calcularlo de forma sencilla. Propiedades de los Determinantes 1. Si una columna o fila es el vector nulo, el determinante es igual a cero. 2. Si una columna (fila) es combinación lineal de otras columnas (filas) el determinante es cero. 3. Si una constante multiplica a todos los elementos de una columna (fila) , entonces el determinante es igual a la constante por el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar dicha constante. 4. Si se intercambian dos columnas (filas) el determinante cambia de signo 5. Si cambiamos una columna (fila) por ella misma sumada a una combinación lineal con otras columnas (filas) el determinante no cambia

22

La propiedad 5 es la que nos va a permitir calcular de forma rápida el determinante de una matriz. La idea es la misma que utilizamos para encontrar la matriz inversa de una dada. Vamos a intentar hacer ceros en una fila o columna determinada para luego aplicar la regla de los adjuntos. Está permitido, pues hacer ceros no es más que sustituir la fila o columna por ella más una combinación lineal de otras. Empieza siempre por la fila o columna que tenga más ceros. ERRATA 1 −1 A = 0 −1

0 1 2 1

1 0 1 1

1 1 −1 0 = 1 0 −1 1

0 1 2 1

1 1 1 1

1 1 0 0 = 1 0 1 0

0 1 2 1

1 1 1 2

1 1 0 =1 2 1 1 2

1 1 2

0 1 = 2 + 1 − 4 − 2 = −3 2

Hemos sustituido la segunda fila por la segunda + la primera y la cuarta por la cuarta + la primera. Otra manera: A=

1 0 1 1 −1 1 0 −1

1 0 0 −1 1 −1 = 1 0 2 −1 −1 1 −2 1

1 0

0 2 1 −1 1 1

1 1

=

1 0 0 0 −1 1 1 0 0 2 1 1 −1 1 2 2

1 1 0 = 1.( −1) 2 1 1 = 2 + 0 + 1 − 0 − 4 − 2 = −3 1 2 2 2

En esta ocasión hemos sustituido la tercera columna por tercera menos la primera. Lo mismo para la cuarta columna. 23

Cuando calcules un determinante, la fila o columna con la que trabajas no se puede manipular. Debe aparecer siempre ella misma más una combinación de las demás. Observa. Si en el determinante de la matriz anterior hacemos ceros en la primera fila cambiando la tercera columna por primera–tercera (prohibido) y la cuarta por cuarta-primera (correcto), el resultado es diferente. Claro, has multiplicado por -1 la tercera columna y por la propiedad 3 el -1 sale fuera.

CUIDADO

A=

1 0 1 1 −1 1 0 −1 0 2 1 −1 1 1

1 0

0 0 1 −1 = 1 0 2 −1 −1 1 −2 1

0 0

1 −1 0 = 1 2 −1 1 = −2 − 1 + 4 + 2 = 3 1 1 −2 2 2

Ejercicio. Calcula el determinante de las matrices

⎛1 ⎜0 A=⎜ ⎜ −1 ⎜ ⎝2

2 −1 −2 ⎞ ⎛ 0 1 0 −1 ⎞ ⎟ ⎜0 1 0 1⎟ 2 2 2⎟ ⎟ ,B = ⎜ ⎜ − 1 − 1 −4 3 ⎟ 1 1 0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 1 3 1⎠ ⎝3 1 0 1⎠

(Solución. Det (A)=32, Det (B)=-24) 24

Otras Propiedades Relacionamos ahora el determinante de una matriz con el determinante de su traspuesta e inversa: 1.

AT = A

2.

A−1 = A

( el determinante de la traspuesta coincide con el determinante de la matriz A) −1

( el determinante de la inversa coincide con el inverso del determinante de la matriz A. Usa 3 para probar 2))

3.

AB = A B

¿Qué ocurre si el determinante de una matriz es igual a cero?

Observación. Otra característica interesante de las matrices cuadradas es la traza. La traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal principal. El determinante y la traza de una matriz se denominan invariantes algebraicos.

25

Ejercicio. Calcula el determinante

1 1

1

A = 1 a a2 1 b b2

Solución. 1 1 1 1 1 1 a − 1 a2 − 1 2 2 = ( a − 1)(b2 − 1) − ( a 2 − 1)(b − 1) = ( a − 1)(b − 1)(1 + b − 1 − a ) = ( a − 1)(b − 1)(b − a ) A = 1 a a = 0 a −1 a −1 = 2 1 1 − − b b 1 b b2 0 b − 1 b2 − 1

Este determinante es un caso particular del llamado determinante de Vandermonde (ver por ejemplo Poole). 1 a a2

Ejercicio. Calcula el determinante de Vandermonde

A = 1 b b2 1 c

c2

¿Sabrías encontrar una fórmula para calcular estos determinantes?

26

RANGO DE UNA MATRIZ Diremos que una matriz tiene rango m si la submatriz cuadrada más grande cuyo determinante es distinto de cero es de tamaño m. Calcular el rango de una matriz se reduce por tanto a calcular determinantes. Veamos. ⎛2 Ejemplos ⎜ 1 ⎜ ⎜4 1. La matriz ⎜ 3 ⎝

3⎞ 5 ⎟⎟ 7⎟ ⎟ 6⎠

(que es claramente no cuadrada) tiene rango dos pues podemos

encontrar una submatriz 2x2 con determinante no nulo. Por ejemplo

2 3 = 10 − 3 = 7 1 5

⎛ 2 1 −2 −1⎞ ⎜ 4 4 −3 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 7 1 8 ⎟ ⎝ ⎠

2. La matriz tiene rango 2. Para probarlo, usaremos las propiedades de los determinantes. El rango de esta matriz será el mismo que el rango de la matriz que obtengamos haciendo ceros por ejemplo en la primera columna. Tenemos: ⎛ 2 1 −2 −1 ⎞ ⎛ 2 1 −2 −1 ⎞ ⎛ 2 1 − 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ R( A) = R ⎜ 4 4 −3 1 ⎟ = R ⎜ 0 2 1 3 ⎟ = R ⎜⎜ 0 2 1 3 ⎟⎟ ⎜2 7 1 8 ⎟ ⎜0 6 3 9 ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y por tanto el rango es igual a 2. 27

3. Sea la matriz

⎛ b 1 1⎞ ⎜ a a 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 1⎟ ⎝ ⎠

. Calcula su rango según los valores de los parámetros a y b.

⎛ b 1 1⎞ ⎛ 0 1 − b 1 − b⎞ ⎛0 1− b 1− b ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ R ⎜a a 2⎟ = R ⎜a a 2 ⎟ = R ⎜⎜ 0 0 2 − a ⎟⎟ ⇒ Det ( A) = (1 − b)(2 − a ) ⎜ 1 1 1⎟ ⎜1 ⎜1 1 1 ⎟⎠ 1 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝

Entonces, . Si b=1, a=2 R(A)=1 . Si b=1, a ≠ 2 ó a=2, b

≠ 1 R(A)=2.

. Si a ≠2 ,b ≠1 R(A)=3

4. Sea la matriz

⎛a b⎞ ⎜1 1⎟ .⎟ ⎜ ⎜4 a⎟ ⎝ ⎠

Calcula su rango según los valores de los parámetros.

1 ⎞ ⎛a b⎞ ⎛0 b − a⎞ ⎛1 R ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟ = R ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟ = R ⎜⎜ 0 b − a ⎟⎟ ⎜4 a⎟ ⎜0 a − 4⎟ ⎜0 a − 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. Si a ≠ 4, R(A)=2 . Si a=4, b ≠ 4, R(A)=2 . Si a=b=4, R(A)=1

Has intercambiado filas. Permitido para rango, no para determinantes (cambia el signo).

28

5. Calcula el rango de la matriz

⎛1 1 k ⎞ ⎜1 k 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜k 1 1⎟ ⎝ ⎠

1 k ⎞ 1 1 ⎛1 1 k ⎞ ⎛1 ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ R ⎜1 k 1⎟ = R ⎜0 k −1 1− k ⎟ = R ⎜0 k −1 1 − k ⎟⎟ ⇒ Det ( A) = ( k − 1)(2 − k 2 − k ) ⎜k 1 1⎟ ⎜0 1− k 1− k2 ⎟ ⎜0 0 2 − k 2 − k ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

1. Si k ≠ 1,-2 (pues 2−k2 −k = 0 ⇒k =1, −2 ) R(A)=3 (pues Det (A) es no nulo). 2. Si k=1 entonces

3. Si k=-2 entonces

⎛1 1 1⎞ R ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠

=1

⎛1 1 1⎞ R ⎜⎜ 0 −3 3 ⎟⎟ =2 ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠

Observación: también podemos definir el rango de una matriz como el número de filas distintas de cero en su forma escalonada por filas. Observa además que el rango de una matriz determina el número de vectores columna (fila) que son linealmente independientes (pues por las propiedades de los determinantes, si fueran dependientes el determinante sería nulo).

29

MATRIZ INVERSA (segunda fórmula) Hemos visto que, si la matriz inversa de la matriz A existe, podemos calcular su determinante a partir del determinante de A. Como veremos a continuación, el determinante y la inversa de una matriz son conceptos estrechamente relacionados. Empezamos con una definición: Matriz adjunta de A : definimos la matriz adjunta de la matriz A y denotaremos por Ad (A) a la matriz formada por los adjuntos de los elementos de A (ver diapositiva 20). Por ejemplo: Sea la matriz

⎛ 0 1 2⎞ ⎜1 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 0 1⎟ ⎝ ⎠

. Para calcular la matriz adjunta, calculamos primero los menores

complementarios M 11 =

1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 0 1 1 2 0 2 0 1 , M 12 = , M 13 = , M 21 = , M 22 = , M 23 = , M 31 = , M 32 = , M 33 = 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 1 1 1 1 1 1

⎛ ( −1) 2 .1 ( −1)3 .( −1) ( −1) 4 .( −2) ⎞ ⎛ 1 1 −2 ⎞ ⎜ ⎟ ( −1) 4 .( −4) ( −1)5 .( −2) ⎟ = ⎜⎜ −1 −4 2 ⎟⎟ Ad ( A) = ⎜ ( −1)3 .1 4 5 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ( −1) .( −1) ( −1) .( −2) ( −1) .( −1) ⎠ ⎝ −1 2 −1 ⎠

30

Se puede probar el siguiente Teorema: Sea A una matriz cuadrada nxn. Entonces la matriz inversa existe si y solamente si Det (A) ≠ 0. Además A

−1

=

1 1 ( Ad ( A ))T = ( Ad ( AT )) A A

Una matriz con determinante no nulo se dice regular. Si su determinante es cero, se dirá singular. Por tanto, toda matriz regular es invertible. En el ejemplo anterior, calculamos la matriz adjunta. Trasponemos esta matriz y calculamos el determinante de A para obtener la inversa: ⎛ −1 ⎜ ⎛ 1 1 −2 ⎞ ⎛ 1 −1 −1 ⎞ ⎛ 1 −1 −1⎞ ⎜ 3 −1 ⎜ −1 1 −4 2 ⎟⎟ = ⎜ Ad ( A) = ⎜⎜ −1 −4 2 ⎟⎟ ⇒ ( Ad ( A))T = ⎜⎜ 1 −4 2 ⎟⎟ ; Det ( A) = −3 ⇒ A−1 = ⎜ ⎜ 3 ⎜ 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ −1 2 −1 ⎠ ⎝ −2 2 −1⎠ ⎝ −2 2 −1⎠ ⎜ 2 ⎜⎜ ⎝ 3

1 3 4 3 −2 3

1 ⎞ 3 ⎟ ⎟ −2 ⎟ 3 ⎟ 1 ⎟ ⎟⎟ 3 ⎠

Observación. En el teorema anterior se afirma que es lo mismo calcular el adjunto de la traspuesta que el adjunto de la matriz y luego trasponer. Lo vemos en matrices 2x2.

⎛a b⎞ ⎛ d −c ⎞ ⎛ d −b ⎞ T A=⎜ ⇒ Ad ( A) = ⎜ ⇒ ( Ad ( A) ) = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝c d⎠ ⎝ −b a ⎠ ⎝ −c a ⎠ ⎛a c ⎞ ⎛ d −b ⎞ T AT = ⎜ ⇒ Ad A = ( ) ⎟ ⎜ −c a ⎟ ⎝b d ⎠ ⎝ ⎠

⇒ ( Ad ( A) ) = Ad ( AT ) T

31

Ejemplo. Calcula la inversa de la matriz

⎛ 2 −1 0 ⎞ A= ⎜⎜ −1 3 1 ⎟⎟ ⎜ 0 1 1⎟ ⎝ ⎠

Solución. Calculamos en primer lugar el determinante es distinto de cero, la matriz tiene inversa. Entonces

A = 6 − 1 − 2 = 3 (regla de sarrus) .

Como

1 −1 ⎞ 1 −1 ⎞ ⎛2 ⎛2 ⎛ 2 / 3 1 / 3 −1 / 3 ⎞ T ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 2 −2 ⎟ ⇒ ( Ad ( A) ) = ⎜ 1 2 −2 ⎟ ⇒ A = ⎜⎜ 1 / 3 2 / 3 −2 / 3 ⎟⎟ Ad ( A) = ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1 −2 5 ⎠ ⎝ −1 −2 5 ⎠ ⎝ −1 / 3 −2 / 3 5 / 3 ⎠

Por el método de Gauss 2 −1 0 1 0 0 −1 3 1 0 1 0 ⇒ 0 1 10 0 1

2 −1 0 1 0 0 0 5 21 2 0⇒ 0 1 10 0 1

10 −5 0 5 0 0 0 5 0 5 / 3 10 / 3 −10 / 3 0 0 3 −1 5 −2

⇒

2 −1 0 1 0 0 0 5 2 1 2 0⇒ 0 0 3 −1 −2 5

10 0 0 20 / 3 10 / 3 −10 / 3 0 5 0 5 / 3 10 / 3 −10 / 3 5 0 0 3 −1 −2

2 −1 0 1 0 0 0 5 0 5 / 3 10 / 3 −10 / 3 0 0 3 −1 5 −2

⇒

1 0 0 2 / 3 1/ 3 −1/ 3 0 1 0 1/ 3 2 / 3 −2 / 3 0 0 1 −1/ 3 −2 / 3 5 / 3

32

TIPOS de MATRICES (cuadradas) 1. Matriz Diagonal. Es aquella en la que todos los elementos que no están en al diagonal principal son iguales a cero. El determinante de estas matrices es el producto de los elementos de la diagonal. Además, la potencia de estas matrices se calculan de forma muy sencilla. K Ejemplo: ⎛ 2k 0 0 ⎞ 2 0 0 2 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ K A= ⎜ 0 3 0 ⎟ ⇒ A = 2.3.1 = 6; A = ⎜ 0 3 0 ⎟⎟ = ⎜ 0 ⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

La inversa es (inmediato)

3k 0

⎟ 0⎟ 1 ⎟⎠

⎛ 1/ 2 0 0 ⎞ A -1 = ⎜⎜ 0 1/ 3 0 ⎟⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎠ ⎝

2. Matrices Triangulares. Se dice triangular superior si todos los elementos bajo la diagonal principal son cero. Se dice triangular inferior si los elementos sobre la diagonal principal son cero. ⎛ 2 1 −1 ⎞ ⎛ 2 0 0⎞ ⎜ ⎟ A= ⎜ 0 3 1 ⎟ triangular superior y B= ⎜⎜ 1 3 0 ⎟⎟ triangular inferior ⎜0 0 1 ⎟ ⎜ −1 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Es muy sencillo probar que el determinante de estas matrices es también el producto de los elementos de la diagonal. 33

3. Matriz Simétrica. Es aquella matriz que coincide con su traspuesta, es decir, A=AT. Intenta probar las siguientes afirmaciones: Sea una matriz cuadrada A cualquiera entonces las matrices A+AT, AAT, ATA son simétricas. (si AT=-A, entonces la matriz se dice antisimétrica).

4. Matriz Ortogonal. Es aquella matriz cuya traspuesta coincide con su inversa , es decir AT =A-1. Estas matrices tienen algunas propiedades interesantes: -Si A y B son matrices ortogonales, el producto AB también lo es. -Los vectores columna son ortogonales entre sí y su norma es uno (igual para filas). -El determinante de una matriz ortogonal en valor absoluto es igual a 1. Dm. Aplicando las propiedades de los determinantes AT = A−1 ⇒ det( AT ) = det( A−1 ) ⇒ det( A) = det( AT ) = det( A−1 ) = ⎛ cos θ

Ejercicio. Prueba que la matriz A = ⎜⎝ senθ

1 2 ⇒ ( det( A)) = 1 ⇒ det( A) = ±1 det( A)

− senθ ⎞ cos θ ⎟⎠

es ortogonal. Sean los vectores (1,0) y (1,1). Supongamos que ϑ = 2 . Calcula el producto de esta matriz por los vectores anteriores. ¿En qué vectores se transforman?. Repite la operación para el ángulo ϑ = π . Esta matriz se denomina giro 4 o rotación . ¿Entiendes porqué? π

34

5. Matriz Idempotente. Es aquella matriz cuyo cuadrado coincide con ella misma, es decir A2 = A Observa que, por las propiedades de los determinantes tenemos

det( A2 ) = det( A. A) = (det( A)) 2 y por tanto (det( A)) 2 = det( A) ⇒ det( A) = 0 ó 1. Ejemplo. Considera la matriz

⎛ cos 2 θ A=⎜ ⎝ cos θ senθ

cos θ senθ ⎞ ⎟ sen 2θ ⎠ .

Es muy sencillo comprobar que esta

matriz es idempotente ( inténtalo). Al igual que hicimos en el ejemplo de matriz ortogonal, vamos a analizar qué significado tiene ahora el ángulo θ .

Supongamos que θ =0. Entonces la matriz A = ⎛⎜ 1 0 ⎞⎟ . Tomemos un vector cualquiera ⎝0 0⎠ (a,b) y lo multiplicamos por nuestra matriz. ¿Qué obtenemos? ⎛ 1 0 ⎞⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 0 0 ⎝ ⎠⎝ b ⎠ ⎝ 0 ⎠

Es decir, esta matriz transforma el vector (a,b) en el vector (a,0). Gráficamente

(a,b)

(a,0)

Recta con vector director (1,0)

35

Supongamos que θ = π /2 . Entonces la matriz

⎛0 A = ⎜ ⎝0

0⎞ ⎟ 1⎠

. Tomemos un vector

cualquiera (a,b) y lo multiplicamos por nuestra matriz. ¿Qué obtenemos? ⎛ 0 0 ⎞⎛ a ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 0 1 ⎝ ⎠⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠

Es decir, esta matriz transforma el vector (a,b) en el vector (0,b). Gráficamente

(a,b) (0,b)

Recta con vector director (0,b)

36

Supongamos que θ = π /4 . Entonces la matriz A

⎛1 / 2 = ⎜ ⎝1 / 2

1/2⎞ ⎟ 1 / .2 ⎠ Tomemos

un vector

cualquiera (a,b) y lo multiplicamos por nuestra matriz. ¿Qué obtenemos? ⎛1/ 2 1/ 2 ⎞⎛ a ⎞ ⎛ (a + b) / 2 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 1/ 2 1/ 2 ⎝ ⎠⎝ b ⎠ ⎝ (a + b) / 2 ⎠

(a,b)

Recta con vector director (1,1)

((a+b)/2,(a+b)/2)

La matriz A se denomina matriz de proyección ortogonal y los vectores en rosa son las proyecciones ortogonales (caen siempre sobre la recta roja formando un ángulo de noventa grados). No es tan extraño, seguro que alguna vez has jugado a hacer sombras chinescas (la proyección ortogonal de tus manos sobre la pared). 37

Cuál de los siguientes conjuntos constituye un espacio vectorial? 1. Matrices cuadradas nxn 2. Matrices singulares 3. Matrices regulares (no singulares) 4. Matrices simétricas 5. Matrices Ortogonales

¿Qué matrices te permiten pasar de un muñeco a otro? (para ver el

muñeco, avanza una diapositiva)

38

A

B

C