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CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 04

GEOMETRIA 1. En una región cuadrada ABCD se ubica P en el lado AB ; AP=2 y PB=8, luego divida a la región cuadrada en cuatro regiones cuadrangulares congruentes. Si uno de los vértices de una de estas regiones cuadrangulares es P, halle su perímetro. A) 2 32 + 10 B) 2 34 + 18 C) 2 4 + 20 D) 2 34 + 24 E) 2 34 + 36 2. En un trapecio ABCD de bases BC y AD (BCS2). Halle el área de la región triangular BQD. S + S2 S - S2 A) 1 B) S1 – S2 C) 1 2 2 2S1 - S2 3S1 - S2 D) E) 2 2 3. El área de la región de un triángulo ABC es de 18 u 2, se traza la altura BH y la mediatriz del lado AC que intercepta al lado BC en N. Calcule el área de la región cuadrangular ABNH (en u2). A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12

y Q respectivamente de tal manera que sea tangente a la PQ circunferencia inscrita al cuadrado de radio R. La recta tangente a la circunferencia inscrita al triángulo PBQ, de radio r, intersecta a los lados AB y DC en M y N respectivamente. Calcule el área de la región MNCB. A) 4Rr B) 2Rr C) Rr Rr Rr E) 2 3 5. Sobre la hipotenusa AB de un triángulo rectángulo ABC se construye un cuadrado ABDE exterior al triángulo. Si O es el centro del cuadrado y CO=L, entonces el área de la región cuadrangular ACBO es : L2 L2 2L2 A) B) C) 2 3 3 2 3L D) E) L2 4 D)

7. ABCD es un trapecio. M y N son puntos medios de AB y CD . Si el A(BOC)=4u2 y el A(MONQ) = 12u2. Calcule el A(AQD).en u2 B

C O N

M Q

D

A

4. Sobre los lados AB y BC de un cuadrado ABCD se ubican los puntos P CEPRE-UNI

A) 4 3 B) 6 C) 6 2 D) 8 E) 8 2 8. Las bisectrices interiores y exteriores de un paralelogramo determinan dos regiones cuadrangulares de 8m2 y 48m2

GEOMETRIA

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de área. Calcule el área del paralelogramo.(en m2) A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26 9. Sea el triángulo ABC, recto en B, se traza BH ^ AC . Si: I1 es el incentro del triángulo BHA, I 2 es el incentro del triángulo BHC, I es el incentro del triángulo ABC y r es el radio de la circunferencia inscrita del triángulo ABC. Demostrar que el área de la superficie del cuadrilátero I1BI 2I es r2 10. Sea el paralelogramo ABCD, donde : M, N y P puntos medios de AN I CM = { E} , AD, CD y BC , si NP I CM = { F} . Si A (EFN)=24m2 Calcule el área de la superficie del paralelogramo ABCD (en m2) A) 576 B) 580 C) 584 D) 588 E) 600 11. Dentro del rectángulo ABCD se ubica el punto M tal que AM= 2 u, BM=2u y CM=6u. Si AD=2AB, entonces el área de la región rectangular ABCD.(en u2) A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 28 12. En un cuadrado de lado L se construyen sobre sus lados interiormente triángulos equiláteros. Calcule el área de la región estrellada resultante.

(

)

2 A) 2 3 - 3 L

(

)

2 C) 2 2 3 - 3 L

(

E) 2 3 - 3

( D) ( 2

) L 3 - 3) 2

14. En un cuadrilátero convexo que limita una región de área S se unen los puntos medios de los lados del cuadrilátero obteniéndose un nuevo cuadrilátero y en este nuevo cuadrilátero se vuelve a unir los puntos medios de los lados; este procedimiento se continúa en forma ilimitada. Calcule la suma de las áreas de las regiones cuadriláteras que se forman. A) 4S B) 3S C) 2S 5 4 D) S E) S 3 8 15. Calcule el área de la mayor región rectangular inscrito en una circunferencia de radio R. A) 2R2 B) 4R2 C) 2 2R2 D) 3R 2 2 E) 1,5R2 16. En la figura: P y Q trisecan a AB , K y N trisecan a BC , M y T trisecan a CD , R y S trisecan a AD S1, S2, S3 y S4 son áreas de las regiones sombreadas. Indique la proposición verdadera. K

B

2 B) 4 3 - 3 L

C

N S2

S1

P

M

2

) L4

2

13. Dado un triángulo ABC, se trazan las alturas AD, BE, CF ; sea R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. Demostrar que el área CEPRE-UNI

de la región triangular ABC es igual al producto del semiperímetro del triángulo DEF, por R.

Q A

T S3

S4

R

S

D

A) S1 S3=S2 S4 B) S1+S3=S2+S4 C) S1 S4= S3 S2 D) S1+S2=S3+S4 E) S1, S2, S3 y S4 forman una P. Geometrica

GEOMETRIA

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AF I BG = { M} . Calcule el área de la región triangular mixtilínea AMB. 1 2 p- 3 p- 3 A) B) 3 3 3 p- 3 C) p - 3 D) 2

17. Demostrar que el área de la región circular intermedia es media proporcional entre las áreas de las otras dos regiones circulares.

(

)

(

)

(

E) 2 p - 3

a

21.

c

b

18. Si el perímetro de un sector circular es K, entonces su área máxima es: K2 A) 18 D)

K2 B) 16

3K 2 16

E)

K2 C) 8

K2 4

19. Tomando como diámetro la altura de un triángulo equilátero de lado a se traza una circunferencia. Halle el área común entre la superficie triangular y el círculo determinado

( ( (

a2 2p - 3 3 32 a2 2p + 3 3 C) 16 a2 2p + 3 3 E) 8 A)

) ) )

(

a2 2p + 3 3 32 a2 2p + 3 3 D) 16 B)

(

)

)

20. En un sector circular AOB, la m � AOB=60°, AO= 6 . Se trazan AF y BG perpendiculares a OB y OA

CEPRE-UNI

( (

) )

)

Sea R el radio de una semicircunferencia de diámetro AB. En la prolongación de BA se ubica un punto P del cual se traza la secante � . Halle PQS, tal que : m�P = a = mAQ el área de la región limitada por AB,QS y los arcos AQ y BS. pR 2 pR 2 pR 2 a a a A) B) C) 60 45 90 pR 2 pR 2 a a D) E) 135 180

22. Un octógono regular ABCDEFGH se encuentra inscrito en una circunferencia de radio R. Halle el área de la región limitada por las cuerdas AB, AD y el arco BCD. p p 2 - 1 R2 2 - 1 R2 A) B) 8 4 2 p pR 2 + 1 R2 C) D) 8 8 2 pR E) 4

(

)

( (

) )

23. En un sector circular AOB de radio r y m �AOB=60° se inscribe una semicircunferencia cuyo diámetro QB está contenido en OB y es tangente a GEOMETRIA

3

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OA en P. Halle el área de la región mixtilínea PAB. R2 13p - 10 3 A) 108 R2 p- 3 B) 108

( (

)

)

(

2 C) R 180p - 3

(

)

D)

)

R2 108p - 3 3 R2 13p - 3 E) 108

(

)

que m �CAB=18; M es el punto medio de AC de AC . Calcule el área de la región limitada por el triángulo mixtilíneo MBC (en cm2) . A) 5 B)5 p C) 10 D) 10 p E) 20 p 26. En la figura mostrada el lado del 10 + 1 cuadrado mide 2 u . Calcule 2 +1 el área del círculo sombreado (en u2).

(

)

24. En un cuadrante AOB cuyo radio mide R esta inscrito una circunferencia interiormente en el triángulo mixtilíneo AOB esta inscrito una circunferencia, halle el área del círculo tangente al cuadrante, a la semicircunferencia y la circunferencia inscrita en el triángulo mixtilíneo AOB. pR 2 pR2 2+2 2 -1 A) B) 8 3

(

(

)

pR 2 17 - 2 2 4 1pR 2 E) 6 C)

25.

(

)

D)

)

pR 2 2

En una semicircunferencia de diámetro AB igual a 20 cm de longitud, se traza la cuerda AC tal

CEPRE-UNI

A) p 3p D) 2

B)2 p

C)4 p

E) 9 p

27. La siguiente figura muestra una semicircunferencia de diámetro AB y centro O y una circunferencia de

GEOMETRIA

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centro en O1 y tangente a AB en O. Demostrar que S1=S2.

S1 M

N

altura del triángulo equilátero. La altura es también el radio de un arco que interseca a dos lados del triángulo determinando las regiones sombreadas: los segmentos circulares y los triángulo mixtos, halle la diferencia entre las áreas de los segmentos y de los triángulos mixtos, si el lado del equilátero mide L.

S2 A

O

B

S1: Area de la lúnula MN. S2: Area de la región triangular OMN 28. Sea ABCDEF un exágono regular de lado 6m . Con centro en A se trazan � y EC � . los arcos de circunferencia BF Calcule el área de la región cuadrangular mixtilínea BCEF. A) 3 3 - p B) 3 3 + p C) 2 3 + p D) 3 + p E) 4 3 - p

30. El lado de un triángulo regular mide a. El baricentro de la región triangular es el centro de una circunferencia cuyo �a � radio mide � �. Entonces, el área de �3 � la parte de la región triangular que se encuentra fuera del círculo es: a2 a2 4 3 -p 4 3 -p A) B) 18 36

(

)

(

)

(

)

a2 3 3 -p C) 18 a2 3 3 -p E) 16

29. En la figura adjunta se muestra una circunferencia cuyo diámetro es la CEPRE-UNI

(

(

)

a2 p 3 D) 18

)

31. Dos círculos de radios congruentes están situadas de forma que la GEOMETRIA

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distancia entre sus centros es congruente al radio. Entonces, la razón entre el área de la intersección de los círculos y la de una región cuadrada inscrita en la intersección de los círculos es: 4p - 3 3 4 + 7 A) 27

(

)(

)

B)

( 4p - 3 3 ) ( 4 + 7 )

C)

( 4p - 3 3 ) ( 6 + 7 )

D)

( 4p - 3 3 ) ( 6 + 7 )

E)

( 4p - 3 3 ) ( 5 + 7 )

A) l 2 D) 4l 2

9

C) 3l 2

B) 2l 2 E) 5l 2

34. De la figura CT ^ AB , CT=m. Halle el área de la región sombreada.

27

C

9

27

32. Del siguiente gráfico. Calcule el área de la superficie sombreada. A

pm2 A) 2 pm2 D) 5

l

l

l l

l

l l B) 3l 2 E) 6l 2

A) 2l 2 D) 5l 2

l

l

36.

l

l

l

l

CEPRE-UNI

l

l

l

l

pm2 B) 3 pm2 E) 6

T

B

O2

pm2 C) 4

l

l

33. Calcule el área de la superficie sombreada

O

35. A, B y C son tres vértices consecutivos de un hexágono regular ABCDEF en la circunferencia de centro O y radio R. Se toma centro en el punto A y se traza los arcos BO y CE ( de radio AB y AC respectivamente). Halle el área de la región mixtilínea BCEO. pR2 pR2 A) B) C) pR2 5 4 2 pR pR2 D) E) 2 3

C) 4l 2

l

O1

En el gráfico ABCD es un paralelogramo, siendo A y D los centros de las circunferencias C1 y C2 GEOMETRIA

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respectivamente, siendo sus radios iguales a 6u. Si a =30, entonces el área de la figura sombreada (en u2) es: C3

C1 B

A

a

C

o

D C2

A) 18 3 D) 21 3

B) 24 E) 42

C) 36

37. Un triángulo isósceles esta circunscrito a una circunferencia de radio R. Halle la relación entre el área de la región circular y el área la menor región triangular circunscrita a la circunferencia. 4 8 4 2 A) B) C) 3p p p 3 2 4 2 D) E) p 3p

38. Indique el valor de verdad de: I) 3 puntos siempre son coplanares CEPRE-UNI

no

II)

2 rectas siempre son no coplanares III) Si 3 puntos son coplanares entonces no es posible trazar otro plano que los contenga A) FFF B) VFF C) FVF D) FFV E) FVV 39. Son verdaderas: I)4 puntos determinan un máximo de 4 planos II) Toda recta exterior a un plano y paralela a una recta del plano, es paralela a dicho plano III) Si una recta es paralela a un plano, entonces es paralela a cualquier recta del plano A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) I y III E) Sólo III 40. Calcule el máximo número de planos que se pueden formar con 10 rectas secantes en un punto y 15 puntos no colineales A) 630 planos B) 640 planos C) 660 D) 650 planos E) 605 planos 41. Calcule el máximo número de planos que puede determinarse con n puntos y n rectas. n3 + 6n2 - n A) B) n3+n 6 3 2n + 3n2 + n n3 + 6n2 + n C) D) 6 6 3 E) 2n –n

42. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I)Si L es una recta dada y P un plano, entonces siempre existe otro GEOMETRIA

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plano paralelo a P y que contiene a L. II) Una recta perpendicular a la intersección de dos planos perpendiculares entre si, está siempre contenida en uno de ellos. III) Si dos rectas se cruzan, por una de ellas puede pasar un único plano paralelo a la otra recta. A) FFV B) FFF C) FVV D) VFV E) VFF 43. Sean l , m y n tres rectas paralelas, si la distancia entre l y m es 3u, la distancia entre m y n es 4u, entonces la distancia x entre l y n : A) 1 < X < 7 B) 1 �x �7 C) 1 < x �7 D) 1 �x < 7 E) No es posible determinar en los datos 44. Indique el valor de verdad de: I) Toda recta perpendicular a dos rectas de un plano, es perpendicular al plano II) Un plano S, secante a dos planos paralelos P y Q determinan rectas de intersección paralelas III) Todo plano perpendicular a dos planos secantes, es perpendicular a la intersección de dichos planos. A) VFV B)FVV C)VVV D) FFF E) FVF

45. Son verdaderas:

CEPRE-UNI

I)

Dos planos tercero son

paralelos a un paralelos entre si II) Dos rectas paralelas a un plano, son paralelas entre si III) Dos planos paralelos a una recta, son planos paralelos . A) Sólo I B) I y II C) II y III D) Sólo II E) Sólo III 46. Sea L una recta paralela a un plano P2 y secante al plano P1. Indique el valor de verdad : I) La intersección del plano que contiene a L con el plano P2 es paralelo a L II) Si L I P1 = { A} , B y C son puntos de P1 y P2 respectivamente entonces A, B y C siempre son los vértices de un triángulo ABC III) Una recta secante a P1 y a L puede ser perpendicular y secante a P2 I P1 A) VVV B) FFV C)VFV D) VFF E)FVV 47. Indique el valor de verdad de: I) Si una recta es paralela a un plano, es paralela a toda recta contenida en el plano. II) Si una recta es perpendicular a una recta contenida en un plano es perpendicular al plano III) Si dos planos son perpendiculares, la recta de intersección es perpendicular a las rectas contenidas en ambos planos A) FFV B) FVF C) FFF D) VFF E) VVF

GEOMETRIA

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II)

48. Cuáles son verdaderas y falsas I) Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que pasa por ella es perpendicular al primero II) Si una recta es tangente a una circunferencia, la recta es perpendicular al diámetro en su punto de contacto III) La proyección ortogonal de una recta sobre un plano no perpendicular a ella es otra recta A) VFV B) VFF C) FFF D) VVV E) FFV 49. Si R �L , LC plano P y Q � plano P, T es un punto exterior a P, decir cual de las siguiente proposiciones son verdaderas y falsas: I) Si TQ ^ plano P y L, QR ^ entonces TR ^ L II) Si TR ^ L y QR ^ entonces TQ ^ plano P. III) Si TQ ^ plano P y TQ ^ L entonces QR ^ L A) VFV B) VVV C) VVF D) FFF E) FFV 50. Indique las proposiciones verdaderas o falsas respectivamente. I) Dada dos rectas L1 y L2 paralelas a un plano P, entonces L1 // L 2

CEPRE-UNI

Todo plano perpendicular a una recta de un plano es perpendicular al plano III) Sean dos rectas cruzadas L1 y L2. Por todo punto del espacio se puede trazar una recta que interseca L1 y L2. A) FVF B) FFF C) VFV D) VVV E) VFF

51. Indique las proposiciones verdaderas y falsas respectivamente. I) Toda recta L y un plano P perpendicular a un plano dado Q, entonces L es paralelo a P II) Dos segmentos congruentes y paralelos que intersecan a un plano forman con el ángulos congruentes III) Si dos rectas forman ángulos congruentes con un plano, entonces las rectas son paralelas A) FVF B) FFF C) VFV D) VVV E) VFF 52. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Toda recta paralelo a un plano es paralelo a la intersección de un plano que contiene a la recta y secante al plano dado II) Toda recta paralelo a un plano es paralelo a todas las rectas del plano dado III) Si una recta es paralelo a dos rectas de un plano, dicha recta es paralelo al plano dado A) VVF B) VFF C) FFF D) VFV E) FVF

GEOMETRIA

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53. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Todos los planos paralelos a una recta son paralelos entre si II) Si las medidas de los ángulos entre una recta y dos planos son congruentes, entonces dichos planos son paralelos III) Por un punto del plano, se puede trazara sólo una recta perpendicular al plano A) VVV B) VVF C) VFV D) FFV E) FFF

54. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Si una recta es perpendicular a dos rectas contenidas en un plano P, entonces es perpendicular a P II) Por tres puntos arbitrarios en el espacio siempre pasa uno y sólo un plano III) Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas A) VFV B) VFF C) VVV D) FFV E) FFF 55. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Por un punto exterior a un plano pasa un solo plano no perpendicular a el II) En el espacio, dos rectas perpendiculares a una tercera, son paralelas entre si III) Si una recta es perpendicular a dos rectas todo plano paralelo a uno de las rectas será perpendicular a la primera recta A) VVV B) VFV C) FVF CEPRE-UNI

D) FVV

E) FFF

56. Se tienen las rectas cruzadas L1 y L2, y un punto A que no pertenece a L1 ni a L2. Indique el valor de verdad. I) Por el punto A se puede trazar una recta que interseca a L1 y L2 II) Por el punto A se puede trazar una recta perpendicular a L1 y L2 III) Se puede trazar un plano que contenga al punto A y que sea paralela a L2 y L2. A) FVF B) FVV C) VVV D) FVF E) VFV

57. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Dos rectas L1 y L2 son paralelas a un plano P, entonces las rectas L1 y L2 son rectas paralelas II) Una recta es paralela a un plano P y también a otro plano Q luego P y Q son planos paralelos III) Dos rectas paralelas L1 y L2 son paralelas a un plano P, luego el plano Q determinado por L1 y L2 será paralelo al plano P A) VFV B) VFF C) FFF D) FVF E) FFF 58. En el cubo P, Q y R son puntos medios de las aristas, entonces la intersección del cubo con el plano determinado por P, Q y R es una región: A) Triangular B) Cuadrangular C) Pentagonal D) Hexagonal E) Octagonal GEOMETRIA

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59. El cuadrado ABCD y un triángulo equilátero BFC están contenidos en planos perpendiculares. Si AB=a, halle la distancia del punto D al segmento que une los puntos medios de AB y FC 2a a 2 a 3 A) B) C) 3 2 2 4a D) a E) 3 60. Una recta L y un plano P son perpendiculares. Dos puntos exteriores A y B se proyectan sobre L y P determinando los puntos S1, B1 y A2 y B2 respectivamente, d(A 1, B1)=5, d(A2,B2)=12. Halle d(A,B)

61. ABCD es un cuadrado de lado l , se traza CE ^ al plano P que contiene a ABCD, en P se ubica el lugar geométrico W de puntos cuya distancia a E es el doble de la distancia a la recta CD. M es un punto de AD y L es la recta que pasa por M y C, halle la mayor distancia de DM para que L no sea secante a W. l 2l l 3 A) B) C) 2 3 3 l 3l D) E) 3 4 62. Un triángulo equilátero MNR, está en un plano perpendicular a un cuadrado MNPQ. Si el segmento que une el punto medio de MR con el punto medio de MP mide l , entonces el área del cuadrado es: A) l 2 B) 2l 2 C) 3l 2

CEPRE-UNI

D) 4l 2

E)

l2 2

63. Las regiones cuadradas ABCD y ABEF son perpendiculares y P es el centro del cuadrado ABCD cuyos lados mide 6m y M y N son puntos medios de AF y EF , calcule el área de la región triangular PMN (en m2) 9 6 A) 3 7 B) 4 6 C) 2 D) 5 6 E) 6 6

64. Una persona de 1,70 m de altura va caminando por el borde de una vereda de 3m de ancho. Directamente a 4m de esta persona se encuentra un amigo que está parado frente a un poste de luz de 9m de alto. En el instante descrito ¿cuál es la longitud se la sombra que proyecta la primera persona debido al foco del poste? (en m) A) 1,164 B) 2,164 C) 3,164 D) 4,16 E) 5, 164 65. Dados los rectángulos ABCD y ABEF, ubicados en planos perpendiculares, BC= 3cm, BE=4 cm y EF=5 3 cm. Halle el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo formado por los puntos D, E y F (en cm) 5 3 -1 A) B) 5 3 - 1 2 5 5 3 -1 3 -1 C) D) 4 6

( (

) )

(

)

(

GEOMETRIA

)

11

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E)

5 8

(

)

3 -1

66. Una semicircunferencia de diámetro AB esta contenida en un plano H. AP es un segmento perpendicular al plano H. Si C es un punto de la circunferencia y su proyección sobre AB es Q. Si 3AQ=2BQ, PA=a y PC=b. Halle la longitud de PB , 2 2 2 5b –3a =8k . A) 2K B) 3K C) 4k D) 5K E) 8K

de la proyección ortogonal de AB sobre el plano P. A) 5 B) 5 2 C) 5 3 D) 6 E) 6 3 70. Una recta L es oblicua a un plano P, el segmento AB � L , A�P, BB' ^ P, la distancia del punto A al segmento BB ' es igual a la distancia de B’ a AB . Si AB=a, entonces BB’ es igual a: a a a A) B) C) 4 3 2 D) a

67. Una circunferencia de diámetro AB y un triángulo isósceles ABF (AF=FB=13) están contenidos en planos perpendiculares. En la circunferencia está inscrito el trapecio ABLG cuya base mayor es AB (AB=10) y cuya altura mide 3. Halle la distancia de F a LG A) 3 7 B) 3 15 C) 3 17 D) 3 19 E) 3 21 68. Sea A y B puntos exteriores a un plano P, tal que AB I P = �, AB=4, Q es un punto del plano P, halle el mayor valor de la diferencia de las distancias de Q a los puntos A y B. A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9 69. Un segmento AB cuya longitud es 10cm esta al exterior del plano P. Si la recta que contiene al segmento AB determina un ángulo que mide 30 con el plano P, determine la longitud CEPRE-UNI

E)

3a 2

71. En un triángulo ABC, m�B = 90 , AB=5u, BC=12u. Por el incentro I se traza IF=4 2u perpendicular al plano del triángulo. Calcule el área de la región triangular AFC( en u2). A) 39 B) 48 C) 54 D) 60 E) 65 72. En la figura dada se tiene un hexaedro regular. Halle la medida del ángulo que determinan AC y BE. E

A

B

A) 30 D) 60

C

B) 45 E) 75

C) 50

GEOMETRIA

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73. En la figura, el cubo tiene aristas de longitud igual a 1 y el punto P se escoge de manera que el triángulo BPH tenga área mínima. El valor de esta área mínima es:

A)

K 4

D)

K 2 2

C)

K 3 4

76. En un hexaedro regular ABCD– EFGH, se ubica N punto medio de CG . Si: AB= 3 . Halle la distancia entre los segmentos NB y FH .

B C

3 2 2 D) 2 A)

P D A

K 2 3 K E) 2 B)

B)

2

C)

3 3

E) 1

H

1 2 1 E) 2

3 8 1 D) 3 A)

B)

C)

2 -1

74. Se tienen dos rectas ortogonales L1 �L2; A y B pertenecen a L1; C y D pertenecen a L2, si AC es la distancia entre las rectas. Si CD= l . Halle AC2+BD2+AD2+BC2. A) 2l 2 B) 3l 2 C) 4l 2 D) 5l 2 E) 6l 2 75. De la figura AB=BC=CD=K. Halle la distancia entre AD y BC

D A

B CEPRE-UNI

C

77. En un hexágono regular ABCDEF, cuyo lado mide l se trazan las perpendiculares AA’ y FF’ (A’ y F’ en el mismo semiespacio) al plano que contiene el hexágono tal que AA’=FF’= 13l , luego la distancia entre A 'F ' y DC es: A) 10 l B)11 l C)11,5 l D) 12 l E) 12,5 l 78. En un plano P se encuentra el triángulo equilátero ABC cuya longitud de su lado es a se traza AF=a perpendicular al plano P. Calcule la distancia entre AB y FC . a 21 3 a 3 D) 7 A)

a 21 7 a 21 E) 4 B)

C)

a 14 3

79. Por el incentro O de un triángulo ABC recto en B de lados AB=6 y BC=8, se traza OP perpendicular al plano del triángulo ABC. Si: OP= 2 3 . La

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medida del ángulo diedro entre el plano APC y ABC es: A) 30 B) 45 C) 60 D) 90 E) 37 80. ABCD es un trapecio tal que : m�A = m �B = 90 , por M punto medio de AB se levanta MQ perpendicular al plano del trapecio tal que la medida del ángulo diedro Q–CD–M es 60° si el área de la región triangular DQC es 60u2, calcule el área limitada por el trapecio ABCD (en u2). A) 40 B) 60 C) 60 3 D) 90 E) 120 81.

Las regiones cuadradas ABCD y CDEF forman un ángulo diedro de 60°. Halle la medida del ángulo entre BD y CE . 1� 1� -1 � -1 � A) Cos � � B) Cos � � �3 � �4 � 1� 1� -1 � -1 � C) Cos � � D) Cos � � �3 � �6 � 1� -1 � E) Cos � � �8 �

82. Se traza BF perpendicular al plano que contiene al cuadrado ABCD, tal que AB=BF. Halle la medida del ángulo diedro que forman los planos ADF y FDC. 1� 1� -1 � -1 � A) Cos � � B) Cos � � �3 � �4 � 1� 1� -1 � -1 � C) Cos � � D) Cos � � �5 � �6 � 1� -1 � E) Cos � � �6 � 83. Dos regiones rectangulares ABCD y ABEF congruentes, forman un ángulo

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diedro AB cuya medida es 45°. Si AB=a y BC=b. Halle la longitud de CF (considerar 2– 2 =K) A)

a2 + b2 .k

B) k 2ab

C)

a2 + kb2

D)

E)

ka2 + b

k (a + b) 2

84. Sea: a la medida del ángulo diedro inferior (ABC, BCD). Entonces, tan a es igual a: B C

D

A

A) 2 D) 4 2

B) 2 2 E) 2

C) 3 2

85. ABCD y ABEF son rectángulos que determinan un ángulo diedro de 120°. F’ es la proyección de F sobre el plano que contiene a ABCD, si M es punto medio de FF ' y CM intercepta MN al plano de ABFE en N. Halle . NC GEOMETRIA

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A)

1 3

B)

1 2

D)

1 4

E)

3 5

C)

2 3

86. Calcular la medida de un ángulo diedro, si las distancias de un punto interior a las caras y a la arista miden: 4 2 , 4 y 8. A) 60 B) 78 C) 85 D) 90 E) 75

87. El segmento AC está contenido en el plano H y el punto B exterior al plano es tal que AB=BC y m�ABC = 90o. Si O es la proyección de B sobre H y m�AOC = 120o, calcule la medida del diedro determinado por H y el plano del triángulo ABC. A) 45° B) 37° C) 60° 3 D) Arc cos E) Arc tg 3 3 88.

En un hexaedro regular KLMN– PQRS, si A es punto medio de NS , entonces el ángulo diedro que forman los planos APR Y PRS es: �6� �6� Arc cos A) Arc cos � B) � � �6 � �5 � � � � � � �6� �6� Arc cos C) Arc cos � D) � � �3 � �2 � � � � � � �6� E) Arc cos � �4 � � � �

89. ABCD–EFGH es un hexaedro regular, si M es el centro del plano diagonal BEHC y N punto medio HG , entonces el ángulo diedro CEPRE-UNI

determinado por los planos BMC y FGN mide: A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90 90. Se tienen dos regiones cuadradas congruentes ABCD y ABEF formando un ángulo diedro que mide 60°. Halle la medida del ángulo diedro formado por los planos FBC y ABCD. 3 3 A) Arc tg B) Arc tg 2 3 3 3 C) Arc tg D) Arc tg 4 5 3 E) Arc tg 6 91. ABCD–EFGJ es un cubo donde M y N son centros de las caras EFGH y ABCD entonces la medida del ángulo diedro MABN es: A) 53 B) 60 C) 62 D) 63.5 E) 65 92. Dado un cubo ABCD–A’B’C’D’, se ubican los puntos medios M y N de BC y CC' . Halle la medida del ángulo diedro agudo determinado por el plano A’MN y el plano A’B’C’D’. 2 A) Arc tan 2 B) Arc tan 2 2 2 C) Arc tan D) Arc tan 3 4 2 E) Arc tan 5 93. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Las caras de un ángulo poliedro son regiones planas II) Es posible construir un ángulo poliedro de 8

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aristas cuyas caras sean congruentes y miden cada una 50° III) La intersección de un ángulo triedro con un plano es un punto o un triángulo A) FFF B) FFV C) FVF D) VVV E) VFV 94. ABC es un triángulo rectángulo AC=20, por su circuncentro M, se traza DM perpendicular al plano ABC. Si AC=DM entonces BD mide: A= 10 2 B) 10 3 C) 20 D) 10 5 E) 10 6

95. Se tiene el ángulo tetraedro S–ABCD las caras ASD y BSC tienen igual medida, los diedros SA y SB tienen la misma medida. Si m�ASC = 120o . Calcule la m�BSD . A) 60 B) 90 C) 120 D) 135 E) 150 96. Desde un punto P exterior a un plano se trazan la perpendicular PH y las oblicuas PM y PN de modo que m�PMH = 63, m�PNH = 44o . Determinar entre límites esta comprendida la m�MPN sabiendo que PM, PN y PH no son coplanares. A) 10 < X < 107 B) 19 < X < 73 C) 38 < X < 90 D) 18 < X < 72 E) 19 < X < 74 97. V–ABCD es un ángulo tetraedro en donde m �BVC=90, VAB es perpendicular a BVC, m�DVC = 45 = m�AVB , halle la menor medida de la cara AVD. A) 17 B) 22.5 C) 30 D) 45 E) 60

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98. Se tienen dos cuadrados ABCD y ABPQ ubicados en planos perpendiculares y congruentes. Si V es punto medio de AP . Halle la suma de las medidas de las caras del ángulo triedro V–ABD. �1 � A) 180 + Arc cos � � �3� �1 � B) 180 - Arc cos � � �3� �1 � C) 180 + Arc cos � � �2� �1 � D) 180 - Arc cos � � �2� �1 � E) 180 + Arc cos � � �5 � 99. Dado un ángulo triedro. Demostrar que la suma de las medidas de los ángulos diedros exteriores es menor que 360. 100. En un triedro O–ABC, si c=60, 1 Cos a= y m(diedro OA)=90. 4 Calcule b. A) 37 B) 45 C) 53 D) 60 E) 65 101. V–ABC es un ángulo triedro isósceles, se traza VH proyección ortogonal de VA sobre la cara BVC. Si VC=VB=45° y m �BVC=60 y AH=4 entonces AV es igual a: A) 2 5 B) 3 5 C) 4 5 D) 5 5 E) 6 5 102. Las medidas de las triedro equilátero respectivamente. Halle su ángulo diedro en aristas.

caras de un son 108° la medida de una de sus

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103. V–ABC es un triedro trirectángulo si: VA=2V=4VB. Determine la medida del diedro AC. �5� �5� Arc tg A) Arc tg � B) � � �4 � �3 � � � � � � �5� C) Arc tg � �2 � � D) Arc tg 5 � �

( )

104. Las caras de un ángulo triedro AOB, BOC y AOC miden 60, 90 y 60 respectivamente. Si OA mide 8u. Halle la distancia de A al plano que contiene a la cara BOC (en u). A) 4 B) 8 C) 4 3 D) 4 2 E) 2 3

105. En un triedro la medida de dos caras de dos caras es 120° y la otra cara mide 90°. Calcule la medida del diedro que forman las caras de 120°. � 1� - � A) Arc cos � � 2� � 2� B) Arc cos � � � � � 2 � � 3� C) Arc cos � � � � 2 � � � 5� D) Arc cos � � � � � 2 � �1 � - � E) Arc cos � �3 � 106. En un ángulo triedro birectángulo m�BOC = 60 , O–ABC, m�AOB = m�AOC = 90 . Si se ubican los puntos P, Q y R sobre OA, OB y OC respectivamente con OP=2u y

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m�OPQ = 45 . Halle la distancia entre OP y QR (en u). A) 2 B) 3 C) 1 D) 2

E)

2 2

107. Dado un tetraedro regular ABCD, se traza la altura BH y se ubica M punto medio de BH , demostrar que el triedro M–ACD es trirectángulo. 108. En un ángulo triedro V–ABC, el plano P contiene a VC, M y N son puntos de VA y VB tal que la MN // P , proyección de MN pasa por V, E, F, G � VA, VB, VC, al plano EFC es perpendicular a VAB donde EF=4, ec = 37 , FC= 5 . Halle el mayor valor de VF para que la m�EVB sea máximo. A) 2 D) 8

B) 4 E) 16

C) 6

109. Se tiene un cuadrado ABCD, desde C se traza GC perpendicular al plano ABCD. Si AB @ CG . Halle la suma de las caras del triedro G–EDC; además AE // CG . A) 185 B) 195 C) 205 D) 210 E) 245 110. En un triedro escaleno las medidas de las caras son números enteros y la suma de las medidas de dos de ellas es 89 veces la medida de la tercera cara. Halle la suma de las medidas de las 3 caras. A) 90 B) 180 C) 260 D) 270 E) 300 111. Un plano intercepta a las aristas de un triedro O–ABC en M, N y P respectivamente. Si GEOMETRIA

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m�MON = m�NOP = 60 m�MNP = m �MOP = 90 OM+OP=2L, calcule ON. 2L 4L A) B) L C) 3 3 3L D) E) 2L 2

y y

112. Las caras de un ángulo triedro miden 45°, 45° y 60° respectivamente , se traza un plano secante perpendicular a la arista común de las caras congruentes. Si la distancia del vértice al plano secante es “d” entonces el área de la sección determinada. d2 A) B) 2d2C) d2 3 d2 D) E) 4d2 4 113. En un triedro cada diedro mide 150°. Cuanto mide una de las caras

(

A) Arc cos 3-2 3

)

( ) C) Arc cos ( 3+2 3 ) D) Arc cos ( 3+ 3 ) E) Arc cos ( 2- 3 ) B) Arc cos 3- 3

114. Sea un triedro equilátero cuyas caras miden 108° cada una ¿Cuánto mide uno de los ángulos diedros? � 3� A) Arc cos � � � � � 5 � � 5� B) Arc cos � � � � �6 � � 5� C) Arc cos � � � � �5 � D) 120° E) 135° CEPRE-UNI

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