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• Juan Blanco

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CAPACIDAD PORTANTE DE CIMENTACIONES: EJERCICIOS 1) Deducir las expresiones para evaluar los factores de capacidad portante

Nc , Nq

y

Nγ

.

Metodología A partir de la geometría de la cuña para el análisis de cimentaciones superficiales por el método del equilibrio limite, se hicieron momentos respecto al centro “O” de la cuña radial de esfuerzos aprovechando el hecho que la resultante de normal y cortante friccional de todos los puntos sobre la superficie de falla definida por la espiral logarítmica pasan por tal punto, es decir no producen momento. Teniendo que se tienen tres variables (coeficientes de capacidad portante) y solo una ecuación, se resolvieron tres casos en los que se despreciaron los efectos de la cohesión, el peso de la cuña de falla o el peso de la sobrecarga según fuera necesario. La geometría de la cuña se puede observar en las Figura 1 en donde los valores son función de B y de ø.

Figura 1. Geometría de la cuña para el análisis de cimentaciones superficiales por el método del equilibrio limite (Hernández Rodríguez, 2008)

Desarrollo a) Evaluación del coeficiente

Nq

Buscando que las componentes de la ecuación de la capacidad portante relacionadas con la γ 2=0 cohesión y con el peso del suelo fueran igual a cero se supuso que C '=0 y , quedando las fuerzas actuantes sobre la cuña de falla como se muestra en la Figura 2.

Figura 2. Fuerzas actuantes sobre la cuña de falla en la evaluación del coeficiente Nq (Hernández Rodríguez, 2008)

De acuerdo con la geometría y las fuerzas actuantes se planteó equilibrio de momentos en el punto “O” y se trabajó la expresión algebraicamente para llegar a una forma similar a

teniendo en cuenta igualdades como

σu

K a=1 /K p

y

σ u =γ '1 Df N q

αf (¿) . K p=tan2 ¿

B2 B2 B2 B2 + σ u K a tan 2 (α f ) −γ '1 D f tan 2 ( α f ) e π ∙ tan ∅ ´ −γ '1 D f K p e π ∙ tan ∅ ´ =0 8 8 8 8 '

σ u +σ u−γ 1 D f K p e

π ∙ tan ∅´

'

−γ 1 Df K p e

π ∙tan ∅ ´

=0

2 σ u=2 γ '1 D f K p eπ ∙ tan ∅´ σ u =γ '1 Df K p e π ∙tan ∅ ´ 1 De la ecuación 1 se extrajo el factor que multiplica la sobrecarga puesto que este correspondería a el coeficiente Nq. N q=K p eπ ∙ tan ∅´ 2

Nc

b) Evaluación del coeficiente

Buscando que las componentes de la ecuación de la capacidad portante relacionadas con la γ 1=0 γ 2=0 sobrecarga y con el peso del suelo fueran igual a cero se supuso que y , quedando las fuerzas actuantes sobre la cuña de falla como se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Fuerzas actuantes sobre la cuña de falla en la evaluación del coeficiente Nc (Hernández Rodríguez, 2008)

De acuerdo con la geometría y las fuerzas actuantes se planteó equilibrio de momentos en el punto “O” y se trabajó la expresión algebraicamente para llegar a una forma similar a

teniendo en cuenta igualdades como

2

K a=1 /K p

2

σ u =C' N c

αf (¿) . K p=tan2 ¿

y

2

2

'

2

B B B B π ∙ tan ∅´ C B 2 ' 2 ' [ e π ∙tan ∅ ´ −1 ]=0 σ u + σ u K a tan (α f ) −2 C √ K a tan ( α f ) −2C √ K p e − ' 2 8 8 8 8 2 tan ∅ 4 cos α f

σ u +σ u−2 C

'

√ K p tan2 α Kp

'

( f )−2 C √ K p e

π ∙ tan ∅ ´

'

−

C 1 [ e π ∙ tan ∅ ´ −1 ]=0 ' 2 tan ∅ cos α f

'

2 σ u−2 C √ K p [1+ e

σ u =C √ K p [ 1+e '

σ u =C'

[

π ∙ tan ∅ ´

π ∙tan ∅ ´

]+

'

]−

C 1 [ e π ∙tan ∅ ´ −1 ]=0 ' 2 tan ∅ cos α f '

C [ e π ∙ tan ∅´ −1 ] ' 2 2 tan ∅ cos α f

√ K p [ 1+e π ∙ tan ∅´ ] +

]

1 [ e π ∙ tan ∅ ´ −1 ] 3 ' 2 2 tan ∅ cos α f

De la ecuación 3 se extrajo el factor que multiplica la cohesión puesto que este correspondería a el coeficiente Nc, a este coeficiente se le hizo un poco más de tratamiento algebraico en base a la expresión encontrada para Nq. N c =√ K p

Nq sec 2 α f N q +1 + −1 Kp 2 tan ∅' K p

[ ]

[

]

Nq ( tan 2 α f +1) N q +1 + −1 Kp Kp 2 tan∅'

N c =√ K p

[ ]

N c =√ K p

[ ]

[ ]

[ ]

Nq ( K + 1) N q +1 + p ' −1 4 Kp 2 tan ∅ K p

c) Evaluación del coeficiente

Nγ

Buscando que las componentes de la ecuación de la capacidad portante relacionadas con la γ 1=0 sobrecarga y con la cohesión fueran igual a cero se supuso que C ' =0 y , quedando las fuerzas actuantes sobre la cuña de falla como se muestra en la Figura 4.

Figura 4. Fuerzas actuantes sobre la cuña de falla en la evaluación del coeficiente

Nγ

(Hernández Rodríguez, 2008)

De acuerdo con la geometría y las fuerzas actuantes se planteó equilibrio de momentos en el punto “O” y se trabajó la expresión algebraicamente para llegar a una forma similar a

teniendo en cuenta igualdades como

K a=1 /K p

y

1 ' σu= B γ 2 N γ 2

αf (¿) . K p=tan2 ¿ π

∙ tan ∅ ´ B2 2 B B2 B2 2 B 2 B B σu + W I + σ u K a tan 2 (α f ) + γ '2 K a tan 2 ( α f ) tan ( α f ) −W II b II −W III tan ( α f ) e 2 −γ '2 8 3 2 8 8 3 2 3 2 8

()

σu

(

(

)

[

)

3 2 2 2 2 3 π ∙ tan ∅ ´ γ '2 B B B B B B B π ' 2 + γ '2 tan ( α f ) +σ u + γ '2 tan ( α f ) − 3 tan ∅ cos α +sin α −e 3 tan ∅' cos α f + ( ) f f 3 2 ' 8 8 3 8 8 3 3 ( 1+ 9 tan ∅ ) 8 cos ( α f ) 2

[

(

(

)]

3 3 π ∙ tan ∅ ´ π ∙ tan γ '2 B B π π ' ' ' 2 2 2 σ u +2 γ √ K p − 3 tan ∅ cos α +sin α −e 3 tan ∅ cos α + +sin( α + ) −2 γ K e ( ) f f f f 2 p 3 3 3 ( 1+ 9 tan 2 ∅' ) cos ( α f ) 2 2 ' 2

(

(

)

' 3 /2 3 π ∙ tan ∅ ´ B γ 2 B ( 1+ K p ) π π ' 2 σ u =−γ √ K p + 3 tan ∅ cos α +sin α −e 3 tan ∅' cos α f + +sin α f + ( ) f f 2 ' 3 6 ( 1+9 tan ∅ ) 2 2 ' 2

[

(

(

) (

))]+ γ K e ' 2

p

3 π ∙ tan ∅´ 2

B 3

[

' 2

3

( 1+ K p ) 2

[

3

π ∙ tan ∅ ´ γ B 2 π π ' ' 2 σu= −√ K p + 3 tan ∅ cos α +sin α −e 3 tan ∅ cos α f + +sin α f + ( ) f f 2 ' 2 3 3 ( 1+9 tan ∅ ) 2 2

(

(

) (

))]+ N e

π ∙ tan∅ ´ 2

q

De la ecuación 5 se extrajo el factor que multiplica la el peso del suelo puesto que este correspondería a el coeficiente N ϒ, a este coeficiente se le hizo un poco más de tratamiento algebraico en base a la expresión encontrada para Nq.

[

3

( 1+ K p ) 2

[

3

(

π ∙ tan ∅ ´ 2 π π ' 2 N γ = −√ K p + 3 tan ∅ cos α +sin α −e 3 tan ∅' cos α f + +sin α f + ( ) f f 2 ' 3 2 2 2 ( 1+9 tan ∅ )

2) Comparar, gráficamente, los valores de

Nγ

(

) (

))]+ N e

π ∙ tan ∅´ 2

q

obtenidos contra los reales calculados con

N γ =2 ( N q +1 ) tan ∅ 7 Metodología Haciendo uso de una hoja de cálculo de Excel se compararon los valores obtenidos por la ecuación 6 (valores obtenidos) y la ecuación 7 (valores reales) para valores de ángulo de fricción variando entre 0 y 50°

Desarrollo Como resultado de la comparación se muestra el Grafico 1.

]

6

]

2 5 3

Valores Reales

Valores obtenidos

2000 1800 1600 1400 1200

Nϒ [Adim]

1000 800 600 400 200 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

ø' [Grados]

Grafico 1. Comparación de los resultados obtenidos al aplicar las ecuaciones 6 y 7

Conclusiones Como se puede observar los valores obtenidos se empiezan a alejar significativamente de los reales a partir de ángulos de fricción mayores a 30°; estos valores por encima de los reales están por el lado de la inseguridad puesto que al utilizarse para calcular la capacidad portante de una cimentación superficial se obtendrían valores mayores a los que realmente es capaz de soportar el suelo lo que conllevaría a un sub-dimensionamiento de la cimentación. 3) De las expresiones obtenidas para

Nc , Nq

y

Nγ

, deduzca sus valores si ∅=0 .

Metodología El proceso consistió simplemente en evaluar las ecuaciones 2,4 y 6 con ese ángulo de fricción

K a=K p=1

∅=0

sabiendo que con

. La única consideración especial fue el cálculo de un límite

por el método de l´hopital al presentarse una indeterminación del tipo 0/0.

Desarrollo Nq

a)

para ∅=0 .

N q=1 ∙ e 0=1 Nc

b)

N c =√ 1

para ∅=0 .

[ ]

( K p+ 1) N q 1 +1 +lim −1 ' 1 Kp ∅=0 2 tan∅

[ ]

tan 2

N c =2+ lim

π ∅ + +1 e π ∙ tan ∅ ´ −1 ] 4 2

( ( ) )[

2 tan ∅'

∅=0

2 tan

N c =2+ lim

π ∅ π ∅ 1 π ∙ tan ∅´ π ∅ + sec 2 + e −1 ]+ tan 2 + +1 [ e π ∙tan ∅ ´ π sec 2 ∅' ] 4 2 4 2 2 4 2

( ( ) ( ) )[

2 sec 2 ∅'

∅=0

1 2∙ 1 ∙2 ∙ ) [ 1−1 ] + ( 1+ 1 ) [ 1∙ π ∙1 ] ( 2 N =2+ lim c

2∙ 1

∅=0

N c =2+ lim ∅=0

2π 2

N c =2+ π

c)

( ( ) )

Nγ

para ∅=0 .

N γ=

[

3 2

[

3 π ∙ tan ∅ ´ ( 1+ K p ) 2 π π ' 2 −√ K p + 3 tan ∅ cos α +sin α −e 3 tan ∅' cos α f + +sin α f + ( ) f f 2 ' 3 2 2 2 ( 1+9 tan ∅ )

(

[

3

[

3

[(

(

)]

( 2) 2 2 √ 2 + √2 −1∙ 3 ∙ 0 ∙ −√2 + √ 2 1 ∙ 1 N γ = −√ 1+ 3 ∙0 ∙ 3 2 2 2 2 2 ( 1+9 ∙ 0 )

) (

( 2) 2 2 N γ = −√ 1+ [ 0 ] +1∙ 1 3 2 ( 1+9 ∙ 0 )

) (

))]

π

+N q e2

]

]

2 N γ = [ −1+1 ] 3 N γ =0

4) Deduzca los valores de

Nc , Nq

y

Nγ

para

∅=0

a partir del análisis de la cuña

de falla en que la geometría de la superficie de falla y los coeficientes activo y pasivo se modifican para ∅=0 . Metodología El procedimiento fue el mismo realizado para el numeral 1, pero a partir de una geometría nueva la cual se obtiene al hacer ∅=0 en las expresión de la (Hernández Rodríguez, 2008)Figura 1. Geometría de la cuña para el análisis de cimentaciones superficiales por el método del equilibrio limite (Hernández Rodríguez, 2008).

∙ tan ∅´

]

Figura 5. Geometría de la cuña para el análisis de cimentaciones superficiales por el método del equilibrio limite

Desarrollo a) Deducción de

Nq

para ∅=0

B2 B2 ' B2 ' B2 σ u + σ u K a −γ 1 D f −γ 1 Df K p =0 8 8 8 8 σ u ( 1+ K a ) −γ '1 D f ( 1+ K p )=0 γ '1 Df ( 1+ K p ) σu= ( 1+ K a )

N q=

( 1+ K p ) ( 1+1 ) = =1 ( 1+ K a ) ( 1+1 )

b) Deducción de

Nc

para ∅=0

∅=0

2

σu

2

2

2

'

2

B B B B C 2B + σ u K a −2C ' √ K a −2 C' √ K p − [ 1−1 ] =0 8 8 8 8 2 tan ∅' 4

σ u +σ u K a−2C ' √ K a −2C ' √ K p −

σ u ( 1+ K a ) =2C ' √ K a +2 C' √ K p+

2 σ u=2 C' +2 C' +

2C ' [ 1−1 ] =0 tan∅'

2C ' [ 1−1 ] tan∅'

2 C' [ 1−1 ] tan ∅'

C' σ u =2C + [ 1−1 ] tan∅' '

N c =2+

1 [ 1−1 ] tan ∅'

N c =2+ lim ∅=0

0 =2 2 ' sec ∅

La deducción del coeficiente de capacidad portante por este método no concuerda con los resultados obtenidos anteriormente ni con los ya establecidos teóricamente, se concluye que se debe tener alguna consideración especial en la modificación de la geometría de la cuña de falla para lograr obtener el resultado esperado. c) Deducción de

σu

Nγ

para ∅=0

B2 2 B B2 B2 2 B 2 B B2 2 B +WI + σ u K a + γ '2 K a −W II b II −W III −γ '2 K p =0 8 3 2 8 8 3 2 3 2 8 3 2

()

( )

( )

( )

3

γ '2

[

)]

B3(2)2 B B B B B B σ u + γ '2 + σ u K a + γ '2 K a − ( 3 tan ∅' cos α f +sin α f )− 3 tan ∅' cos α f + π2 + sin(α f + π2 ) −γ 8 8 3 8 8 3 3 ( 1+9 tan 2 ∅' ) 8 2

2

2

'

σ u +σ u K a+ γ 2 K a

2

3 2

' 2

[

σ u ( 1+ K a ) =−γ 2 K a

'

(

(

[

γ '2 ( 2 ) 2 B

(

)]

(

)

B π π + (3 tan∅' cos α f +sin α f )− 3 tan ∅' cos α f + 2 +sin α f + 2 3 3 ( 1+9 tan 2 ∅' )

[

3

[

(

) (

2 γ2 B 3 (2 ) 1 σu= −Ka + (3 tan ∅' cos α f +sin αf )− 3 tan ∅' cos α f + π2 +sin α f + π2 2 3 ( 1+ 9 tan 2 ∅' )

[

3 (2)

(

3 2

(

[

(

) (

))]+ K

1 Nγ= −Ka + ( 3 tan ∅' cos α f + sin α f )− 3 tan∅' cos α f + π2 + sin α f + π2 3 ( 1+9 tan 2 ∅' )

Nγ=

[

3 (2)

3 2 2 '

( 1+9 tan ∅ )

[

3

[

3 2

[(

[(

(

'

3 (2) [ 0] ( 1+9 ∙ 0 )

N γ =0

)(

]

'

(

(

3 tan ∅ cos α f +sin α f ) − 3 tan ∅ cos α f +

3 (2)2 √2 + √2 − 3 ∙ 0 ∙ −√2 + √2 Nγ= 3 ∙0 ∙ 2 2 2 2 ( 1+9 ∙ 0 )

Nγ=

)

γ (2) B B π π B ' ' ' − 3 tan ∅ cos α f + sin α f )− 3 tan ∅ cos α f + +sin (α f + ) −γ 2 K p =0 2 ' ( 3 3 ( 1+ 9 tan ∅ ) 2 2 3 3

'

(

)]

]

) (

π π + sin α f + 2 2

) (

))]

]

))]+ γ K ' 2

p

1 3

]

))]+ K 13 p

]

p

B 3

Bibliografía Hernández Rodríguez, F. (2008). Notas de clase.