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Cap´ıtulo 6 Distribuciones de variables aleatorias Con frecuencia resulta conveniente poder idear alg´ un modelo o regla que nos permita determinar la probabilidad de que la variable aleatoria asuma alg´ un valor particular. Surgiendo as´ı las distribuciones de probabilidad para una variable aleatoria, que describen el comportamiento de la variable mediante su probabilidad.

6.1.

Distribuciones para Variables Discretas

Para el caso de variables aleatorias discretas, se pueden describir muchas distribuciones de probabilidad, entre los mas importantes tenemos:

6.1.1.

La distribuci´ on de Bernoull´ı

La variable aleatoria X definida en Ω como el n´ umero de ´exitos que atribuyen a E el valor 1 con probabilidad p y a F el valor 0 con probabilidad q = 1 − p, se la denomina variable aleatoria de Bernoulli con:

1. Funci´on de densidad: f (x) = P (X = x) = px q 1−x , x = 0, 1. 2. Media: µX = p

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Distribuciones de variables aleatorias

3. Varianza: σ 2 = pq El ejemplo mas com´ un de este tipo es lanzar una moneda al aire y se obtiene: X ≡ N u ´mero de caras obtenidas =  1  0→ q=   2  Para una variable aleatoria de Bernoulli tenemos que su funci´ on probabilidad es: f (x) =    1 1 → p = 2    q si x = 0   p si x = 1    0 en cualquier otro caso

6.1.2.

Distribuci´ on Binomial

Decimos que la variable aleatoria X = “n´ umero de ´exitos obtenidos en n ensayos independientes de Bernoulli”. Tiene una distribuci´on Binomial, con par´ ametros n y p, que denotaremos por X ∼ B(n, p) si su funci´ on de densidad est´a dada por:

f (x) = P (X = x) =

n x

!

px q n−x , x = 0, 1, ..., n y q = 1 − p,

En este caso el rango de X es el conjunto RX = {0, 1, 2, . . . , n} y se tiene que: 1. Media: µX = np 2 2. Varianza: σX = npq

Se denomina experimento de Binomial a un n´ umero fijo de n repeticiones o pruebas sucesivas y tiene las siguientes caracter´ısticas: a. Las n repeticiones son estad´ısticamente independientes. b. Cada repetici´on tiene dos resultados mutuamente excluyentes: 7´exito (E) o fracaso (F ). El espacio muestral es el conjunto Ω = {E, F } c. La probabilidad de ´exito (p) es invariante en cada una de las n repeticiones. Veamos algunos ejemplos de est´a distribuci´ on: Ejemplo 6.1. Suponga que en un departamento del Per´ u tenemos cerca a un millon de personas adultas y una cantidad desconocida p est´ a a favor de recortar el sueldo a los congresistas. Se tomara una muestra de mil adultos de tal manera que cada uno del total tenga la misma probabilidad de ser seleccionado y adem´ as a cada uno se le preguntara y registrara su respuesta sobre si est´ a a favor de recortar el sueldo. ¿Este experimento es binomial?.

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Distribuciones de variables aleatorias

Soluci´ on: ¿El experimento posee las 5 caracter´ısticas de ser un experimento binomial?

1. El intento es seleccionar una sola persona dentro del millon. La muestra consta de n = 1000 intentos id´enticos. 2. Se le preguntara si est´a a favor o en contra, por lo que hay “´exito” y “fracaso” propios de un experimento binomial. 3. La probabilidad que se encuentre a favor es igual para cualquier sujeto de la muestra es 500000/1000000 = 1/2. Al escoger al segundo adulto ser´ a 499999/1000000 Para ambos casos se mantiene la probabilidad que se encuentre cercano a f rac12. 4. La probabilidad de que un adulto est´e a favor no cambia de las respuestas de las personas previamente escogidas. 5. La variable aleatoria x es el n´ umero de adultos de la muestra que est´en a favor de recortar el sueldo. Ejemplo 6.2. Halle P (x = 3) para una variable aleatoria binomial con n = 10 y p = 1.

3

Soluci´ on: P (x = 3) = C310 (0,1) (0,9) 10! 3 7 (0,1) (0,9) P (x = 3) = 7! (10 − 7)! 10 (9) (8) (7!) 3 7 P (x = 3) = (0,1) (0,9) 7! (3) (2) (1) P (x = 3) = 0,19

10−3

Ejemplo 6.3. La probabilidad de que use taxi para ir a la universidad es 1 de 6 dias. Cu´ al es la probabilidad de que en la semana de estudio lo use:

1. Solo dos veces. 2. Como m´ aximo 3 veces.

Soluci´ on:

1. Solo dos veces. X ∼ B(6, 1/6)

P (x = 2) = C26


1 2 6

P (x = 2) = 0, 201


5 4 6

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Distribuciones de variables aleatorias

2. Como m´aximo 3 veces. P (x ≤ 3) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3)
0 5
6
1 5
5
2 5
4 + C16 61 + C26 16 P (x ≤ 3) = P (x ≤ 3) = C06 61 6 6 6 Ejemplo 6.4. El due˜ no de una tienda averiguo que un lote de 5000 celulares importados contiene 5 % de equipos defectuosos. No sabe si su lote tiene los equipos con falla. Su administrador decide probar 5 celulares ante la incredulidad del due˜ no. Halle la probabilidad de encontrar al menos uno defectuoso.

Soluci´ on: Es razonable suponer que el n´ umero observado de defectuosos, tiene una distribuci´ on binomial aproximada porque el lote es grande. Retirar unos cuantos celulares no cambia lo suficiente la composici´on de ! los restantes como para preocuparnos. Entonces: P (al menos uno def ectuoso) = 1 − p (0) = 5 1− p0 q 5 0 P (al menos uno def ectuoso) = 1 − 0, 95 = 1 − 0, 774 P (al menos uno def ectuoso) = 0, 226

Observe que hay una probabilidad m´as bien grande de ver al menos uno defectuoso, aun cuando la muestra sea muy peque˜ na.

Ejemplo 6.5. Una m´ aquina utiliza tres componentes id´enticas que trabajan en forma independiente. La probabilidad de que falle cada componente es 0, 1 y estas se cambian por nuevas una sola vez. 1. Obtenga la distribuci´ on de probabilidades del n´ umero de componentes que podr´ıan fallar en la m´ aquina. 2. Un usuario que utiliza la m´ aquina recibe una utilidad constante diaria de 100 soles y una utilidad variable de 10 soles por cada componente que no falla, pero, pierde 50 soles por cada componente que falla. Calcule la utilidad esperada diaria del usuario.

Soluci´ on: 1. Sea X = “n´ umero de componentes que fallan”, entonces RX = {0, 1, 2, 3}. Si el evento que consideramos exitoso es:

E: “una componente falla”, tenemos que p = P (E) = 0,1 y q = 1 − p = 0,9. Luego la distribuci´on de probabilidades de X ∼ B(3; 0,1) es:

f (x) = P (X = x) =

3 x

!

(0,1)x (0,9)3−x , x = 0, 1, ..., 3

2. La utilidad U del usuario es: U (x) = 100 + 10(3 − X) − 50X = 130 − 60X

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Distribuciones de variables aleatorias

Sabemos que µX = n.p = 3.(0,1) = 0,3, luego la utilidad esperada es: µU = 130 − 60E(X) = 112 soles Ejemplo 6.6. Se los alumnos del primer a˜ no de un determinado programa acad´emico, se sabe que el 40 % asisti´ o a centros secundarios privados y el 60 % asisti´ o a centros estatales. El registro de matr´ıcula se˜ nala que al final del curso alcanzaron una nota media A, el 30 % de los alumnos que asistieron a centros secundarios privados y solo el 20 % de los que asistieron a centros estatales. Si se seleccionan 20 alumnos al azar. ¿Cu´ al es la probabilidad de que a lo m´ as dos de ellos tengan nota media A?

Soluci´ on: Sea X = “n´ umero de alumnos de los 20 que tienen nota media A” , entonces RX = {0, 1, 2, 3, .., 20}. Si el evento que consideramos exitoso es A: “alumno obtiene nota media A”, y tenemos los eventos:

CE : ¨alumno asisti´o a un centro secundario estatal¨; CP : ¨alumno asisti´o a un centro secundario privado¨ si observamos el diagrama de ´arbol siguiente se obtiene: 0,2 0,6

A

CE Ac 0,3

0,4

A

CP Ac

p = P (A) = 0,4(0,3) + 0,6(0,2) = 0,24 y q = 1 − p = 0,76. Luego la

distribuci´on de probabilidades de X ∼ B(20; 0,24) es:

f (x) = P (X = x) =

20 x

!

(0,24)x (0,76)20−x , x = 0, 1, ..., 20

Finalmente: P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) ! 2 X 20 P (X ≤ 2) = (0,24)x (0,76)20−x x x=0 Ejemplo 6.7. La f´ abrica “Cer´ amicas de exportaci´ on” elabora diariamente 10 unidades de uno de sus productos. La probabilidad de que una unidad del producto resulte defectuoso es constante igual a 0.1. Todas las unidades son inspeccionadas al t´ermino del d´ıa y las defectuosas son separadas antes que se almacenen. Ninguna unidad no defectuosa es mal clasificada, sin embargo debido a la poca experiencia de algunos operarios, el 5 % de las unidades defectuosas son mal clasificadas.

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Distribuciones de variables aleatorias

1. Obtenga la distribuci´ on de probabilidades de la variable aleatoria X definida como el n´ umero de unidades clasificadas como defectuosas al t´ermino de la jornada diaria. 2. ¿En cu´ antos d´ıas de 100 resultar´ an m´ as de tres unidades clasificadas como defectuosas?

Soluci´ on: Sea X =“n´ umero de unidades clasificadas como defectuosas en la inspecci´ on”, aqu´ı RX = {0, 1, 2, 3, .., 10}. Si el evento que consideramos exitoso es:

M : “unidad clasificada defectuosa en la inspecci´ on”, y tenemos los eventos, D: “unidad producida es defectuosa”; Dc : “unidad producida no es defectuosa”

1. Si observamos el diagrama de ´arbol siguiente se obtiene 0,05 0,1

M

D Mc 0,00

0,9

D

M

c

Mc p = P (M ) = 0,1(0,05) + 0,9(0,00) = 0,005 y q = 1 − p = 0,995. Luego la distribuci´ on de probabilidades de X ∼ B(10; p) es:

f (x) = P (X = x) =

10 x

!

(0,005)x (0,995)10−x , x = 0, 1, ..., 10

2. En 1 d´ıa de 100 la probabilidad de que resulten m´ as de tres unidades clasificadas como defectuosas es: P (X > 3) = 1 − P (0 ≤ X ≤ 3) = 0,0107 Ejemplo 6.8. La empresa de courier ”Nicole” asegura que el 80 % del correo urgente se entrega dentro del mismo departamento, a los tres d´ıas de haber hecho el env´ıo. Se env´ıan aleatoriamente cinco cartas a diferentes sitios.

1. ¿Cu´ al es la probabilidad que las cinco cartas lleguen a su destino dentro de los tres dias. 2. ¿Cu´ al es la probabilidad que exactamente cinco cartas lleguen dentro de los tres dias. 3. Determine la media del n´ umero de cartas que llegaran dentro de tres dias. 4. Calcule la varianza y la desviaci´ on est´ andar del n´ umero de cartas que llegaran en dos d´ıas.

Soluci´ on: Sea:X : El n´ umero de cartas que llegan a su destino.

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Distribuciones de variables aleatorias

p =Probabilidad que el correo se entregue dentro del mismo departamento, a los tres d´ıas de haber hecho el env´ıo. q =La probabilidad de que el correo no se entregue dentro del mismo departamento, a los tres d´ıas de haber hecho el env´ıo. n =El n´ umero de ensayos. Luego: p = 0, 80 q = 0, 20 n=5

1. p (X = 5) =? 5

0

p (X = 5) = C55 (0, 80) (0, 20) p (X = 5) = 0,32768

La probabilidad de que cinco lleguen a su destino dentro de los tres d´ıas es de 0,32768 ´ o 32,768 2. p (X = 4) =? 4

1

p (X = 4) = C45 (0, 80) (0, 20) p (X = 4) = 0, 4096

La probabilidad de que cuatro lleguen a su destino dentro de los tres d´ıas es de 0,4096 ´ o 40,96 3. µ = n × p

µ = 5 × 0, 80

µ=4

Se esperan en promedio 4 cartas de una muestra de 5 cartas. 4. σ 2 = npq p σ = ± 5 (0, 80) (0, 20) σ = ± 0, 894427191

La varianza y la desviaci´on est´andar del n´ umero de cartas que llegan en dos d´ıas es 0,894427191, respectivamente.

6.1.3.

Ejercicios Propuestos

1. En una poblaci´on grande, el 16 % de sus miembros son zurdos. Si se toma una muestra aleatoria de seis individuos. ¿Cu´al es la probabilidad que sean zurdos: a) todos? b) a lo m´as dos? c) tres o cuatro? d ) por lo menos cuatro?

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Distribuciones de variables aleatorias

e) la mayor´ıa f ) siete u ocho, analiza tu respuesta. 2. Un vendedor de p´olizas de seguros vende a 6 personas, todas de la misma edad y con buena salud. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que una persona de esta edad viva 30 a˜ nos m´as, es 2/3. Hallar la probabilidad de que a los 30 a˜ nos vivan: a) las seis personas; b) como m´aximo cinco; c) solamente cuatro; d ) al menos una; e) ninguna; 3. Un sistema electr´onico est´a construido con cierto n´ umero de componentes de apoyo en sus subsistemas. Un subsistema tiene 4 componentes id´enticos cada uno con una probabilidad de 0, 2 de fallar en menos de 1000 horas. El subsistema funciona si dos componentes cualesquiera de los cuatro trabajan en forma adecuada. Se supone que los componentes operan en forma independiente. a) Halle la probabilidad de que exactamente dos de cuatro componentes resistan m´ as de 1000 horas. b) Encuentre la probabilidad de que el subsistema funcione por m´ as de 1000 horas. 4. Un sistema de protecci´on contra cohetes construido con n unidades de radar que funcionan independientemente, cada una con probabilidad 0,9 de detectar un cohete que ingresa en la zona que cubren todas las unidades. a) Si n = 5 y un cohete entra en la zona ¿Cu´ al es la probabilidad de que exactamente 4 unidades detecten el cohete? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que menos de dos detecten el cohete? 5. En una encuesta se habl´o con miles de estudiantes de edades de 16 a 22 a˜ nos acerca de finanzas personales. En la encuesta se encontr´ o que 33 % de los estudiantes tienen su propia tarjeta de cr´edito. a) En una muestra de 6 estudiantes, ¿cu´ al es la probabilidad de que dos tengan su propia tarjeta de cr´edito? b) En una muestra de 10 estudiantes, ¿Cu´ al es la probabilidad de que ninguno tenga su propia tarjeta de cr´edito? 6. El 6 % de los choferes de taxis en Arequipa son mujeres. Suponga que se seleccionan al azar 10 taxistas para una encuesta acerca de las condiciones de trabajo. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que dos de los camioneros sean mujeres? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que ninguno sea mujer?

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Distribuciones de variables aleatorias

c) ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos uno sea mujer? d ) ¿Cu´al es la probabilidad de que a lo mas nueve sean mujeres? 7. Se afirma que el 99,5 % del correo de primera clase dentro de la misma ciudad se entrega en un lapso de dos d´ıas a partir del momento del env´ıo. Se env´ıan seis cartas a distintos lugares. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que las seis lleguen antes de dos d´ıas? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que exactamente cinco lleguen antes de dos d´ıas? c) Encuentre el n´ umero medio de cartas que llegar´ an antes de dos d´ıas. 8. Una pareja tuvo 8 hijos. Si se considera que ten´ıa la misma probabilidad de nacer un ni˜ no que una ni˜ na. Determinar cual es la probabilidad de que nazcan: a) Tres ni˜ nos. b) M´as ni˜ nas que ni˜ nos. c) O todos ni˜ nos o todos ni˜ nas. d ) dos ni˜ nos o dos ni˜ nas. e) tres ni˜ nos y dos ni˜ nas. 9. La probabilidad de nacimientos de ni˜ nos varones es de 51,7 %. a) La probabilidad de que una familia de 5 hijos tenga por lo menos una ni˜ na es: b) La probabilidad que el primog´enito sea mujer y la segunda en nacer tambi´en sea mujer es. 10. Una m´aquina que fabrica piezas para autom´ oviles produce una pieza de cada 100 defectuosa. Si tu compras 10 piezas fabricadas por esa m´ aquina. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que haya al menos una defectuosa? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que haya exactamente dos defectuosas? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que todas sean no tengan errores? 11. Un examen tipo test tiene 10 preguntas, cada una de las cuales tiene cinco alternativas, siendo solo una de ellas correcta. Un alumno decide contestar aleatoriamente. Si para aprobar el examen hay que acertar 5 o m´as preguntas, hallar: a) La probabilidad de aprobar el examen. b) La probabilidad de acertar todas. c) Si conoces la respuesta de una de ellas y decides contestarla, la probabilidad de aprobar aumenta o disminuye, halle dicha probabilidad. 12. Un examen de opci´on m´ ultiple est´ a compuesto de 12 preguntas con cuatro alternativas posibles cada una, de las cuales solamente una es la correcta. Suponga que uno de los estudiantes que realiza el examen contesta las preguntas al azar. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que conteste correctamente 10 preguntas?

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Distribuciones de variables aleatorias

b) ¿Cu´al es la probabilidad de que conteste correctamente al menos 10 preguntas? 13. Diez por ciento de los autom´oviles nuevos requerir´ an un servicio de garant´ıa dentro del primer a˜ no. Honda vende doce autom´oviles en abril. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que ninguno de estos autos requiera servicio de garant´ıa? b) Determine la probabilidad de que por lo menos dos autos requieran servicio de garant´ıa. c) Calcule la media y la desviaci´ on est´ andar de esta distribuci´ on de probabilidad. d ) En un d´ıa cualquiera cu´antos autos requieren servicio de garant´ıa. 14. Un estudio reciente de patrulleros de carretera revel´ o que el 40 por ciento de los conductores en carretera utiliza el cintur´on de seguridad. Se eligi´ o una muestra de 10 conductores en un punto especial. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que exactamente 8 de ellos est´en usando el cintur´ on de seguridad? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que 8 o menos de los conductores usen el cintur´ on de seguridad? 15. Un fabricante de marcos para ventanas sabe, con base en su larga experiencia, que el cinco por ciento de su producci´on tendr´ a alg´ un peque˜ no defecto que requerir´ a ajuste. Cu´ al es la probabilidad de que, en una muestra de 20 marcos: a) Ninguno requiera ajuste. b) Al menos uno requiera ajuste. c) M´as de dos requieran ajuste. 16. En cierta empresa de servicios inmobiliarios el 25 % de las ventas corresponden a casas, el 68 % a departamentos y el resto a otro tipo de inmuebles (terrenos, oficinas, locales comerciales, etc.). Por experiencias anteriores se sabe que cuando la venta es una casa, la probabilidad de que el cliente use financiamiento bancario es del 72 %. Esta probabilidad es del 84 % cuando se venden departamentos y de 67 % en otras ventas. Un auditor selecciona al azar 5 de los archivos que se arman por cada venta. a) ¿Cu´al es la probabilidad que cuatro de las ventas se hayan realizado con financiamiento bancario? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos cuatro de las ventas se hayan realizado con financiamiento bancario? 17. El tratamiento de la gripe con vitamina C produce un efecto curativo en 75 % de los casos. Se seleccionan al azar 6 pacientes ¿Cu´ al es la probabilidad que: a) uno este curado. b) Ninguno este curado. c) Todos est´en curados. d ) Analiza los dos items anteriores, compara y emite una opini´ on sobre las probabilidades.

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Distribuciones de variables aleatorias

e) Al menos cuatro est´en curados. 18. La producci´on de una empresa depende de dos m´ aquinas, la m´ aquina A produce el doble de art´ıculos que la m´aquina B. Se sabe que el 6 % de los art´ıculos que produce la maquina A son defectuosos, mientras que el 3 % de los art´ıculos producidos por la m´ aquina B son defectuosos. Suponga que se junta la producci´ on diaria de estas m´ aquinas y se toma una muestra aleatoria de 10 art´ıculos. Calcule la probabilidad de obtener 3 art´ıculos defectuosos. 19. En una f´abrica de zapatos, las partes superior, las suelas y los tacos son fabricados separadamente y ensambladas para formar un zapato. El 5 % de las partes superiores, el 4 % de las suelas y el 1 % de los tacos tienen fallas. Si se despacha un lote de 25 pares de zapatos. ¿Cu´ al es la probabilidad de que exista a lo m´as un par con alguna falla? 20. Un libro de 300 p´aginas tiene 300 errores de impresi´ on distribuidos aleatoriamente. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que una pagina observada contenga 1 error? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que una pagina observada contenga por lo menos 2 errores? 21. En el control de calidad de tejidos, se sabe que se produce defectos en forma aleatoria, con un promedio de un defecto cada 100 metros cuadrados. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que una pieza de 50 por 10 metros no tenga defectos? b) ¿de que presente un defecto como m´ aximo? 22. Una empresa manufacturera recibe un lote que contiene 100 articulos de los cuales cinco son defectuosos. La compa˜ n´ıa revisa constantemente los que recibe para establecer la calidad del material. Si la calidad de un lote recibido es baja, regresa al proveedor el lote completo. Sup´ ongase que la compa˜ n´ıa recibe el lote y lo acepta si hay s´ olo 1 o menos piezas defectuosas en una muestra de tama˜ no 6 ¿Cu´al es la probabilidad de que se acepte un lote de 100 art´ıculos que contenga 5 defectuosas? 23. Una secretaria ha de enviar tres de 9 cartas por entrega especial. Si las cartas se le mezclan y pone los sellos, para entrega especial, al azar sobre 3 de ellas. Cual es la probabilidad: a) De que ponga los sellos de entrega especial en cartas que no habr´ an de llevarlas. b) De que las ponga en las cartas precisas. c) De que acierte en dos cartas y se equivoque en otra. d ) De que acierte en 3 de ellas. 24. En un examen de Estad´ıstica conformado por 10 preguntas, s´ olo se debe contestar verdadero (V) o falso (F) en las 5 primeras, y escoger una de cinco alternativas en cada una de las 5 restantes. Si un alumno decide contestar todas las preguntas, al azar: a) ¿Cu´al es el n´ umero esperado de respuestas correctas? Interprete este valor. b) Si todas las preguntas tienen el mismo puntaje, y no hay descuentos por preguntas mal contestadas, ¿cu´al es la probabilidad de aprobar?

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Distribuciones de variables aleatorias

25. El sistema financiero “Caja Characato”, asigna cada transacci´ on al azar y con igual probabilidad a una de cinco posiciones de memoria: 1, 2, 3, 4, 5 de una computadora que opera en forma continuada. De 10 recientes transacciones registradas, ¿c´ ual es la probabilidad de que el n´ umero de transacciones asignadas a las posiciones de memoria par sea mayor que el n´ umero esperado de transacciones? 26. El n´ umero de fallas en el recubrimiento de los conductores de cobre por rollo de 20 metros de longitud de cierto fabricante, tiene la siguiente ley de probabilidad: N´ umero de fallas

0

1

2

3

4

5

Probabilidad

0.9

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

27. Un consumidor de estos cables rechaza un rollo que tiene al menos un defecto y lo acepta caso contrario. a) Obtenga el modelo de probabilidad del n´ umero de rollos que ser´ıan rechazadas por el consumidor si este recibe un lote de 10 rollos, ¿c´ ual es la probabilidad de que acepte s´olo 3 rollos? b) Si cada rollo le produce al fabricante una utilidad de $20 si es aceptado por el consumidor y una perdida de $2 si lo rechaza, ¿ cu´ anto es la utilidad esperada del fabricante si cada vez env´ıa 10 rollos al consumidor? c) Si el consumidor recibe cada vez un lote grande de rollos y los revisa uno tras uno, ¿cu´ antos rollos en promedio revisar´a hasta llegar al primero que rechaza?, d ) ¿y si es hasta llegar al cuarto que rechaza? 28. La peque˜ na empresa “Juguetes ecol´ ogicos” empaca su producci´ on en lotes de 5 unidades. Antes de sacar al mercado el producto la empresa realiza un control total de calidad de cada lote a un costo de 5 Umn. Si producir cada unidad le cuesta 10 Umn, la vende a 25 umn, y reemplaza en el lote el n´ umero de X de las unidades defectuosas que encuentra y si el porcentaje de producci´on defectuosa es 10 %, a) ¿Cu´antas unidades defectuosas espera encontrar por lote? Interprete su respuesta. b) ¿Cu´anto es la utilidad esperada de la empresa por lote? c) ¿Es cierto que el percentil 95 del n´ umero de unidades defectuosas que tiene un lote es igual a uno?

6.1.4.

La distribuci´ on geom´ etrica

Se denomina experimento geom´etrico a las repeticiones independientes de un experimento aleatorio de Bernoulli hasta obtener el primer ´exito, E, con probabilidad p. Decimos que la variable aleatoria X =¨n´ umero de repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli hasta que ocurra el primer ´exito¨. Tiene una distribuci´on Geom´etrica, con par´ ametro p, que denotaremos por X ∼ G(p) si su funci´on de densidad est´a dada por:

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Distribuciones de variables aleatorias

f (x) = P (X = x) = q x−1 .p, x = 1, 2, ... y q = 1 − p, En este caso el rango de X es el conjunto RX = {1, 2, . . . } y tiene: 1. Media: µX =

1 p

2 2. Varianza: σX =

q p2

La distribuci´on geom´etrica, se aplica entre otras, en control de calidad y en situaciones alternantes de ´exitos y fracasos. La distribuci´on de probabilidad geom´etrica se emplea con frecuencia para modelar distribuciones de la duraci´on de tiempos de espera. Por ejemplo, el autom´ ovil familiar recibe cambio de diferentes partes en diferentes puntos y luego por tanto, su periodo de duraci´ on fluctua. Por lo tanto la probabilidad p que se malogre durante un intervalo de movimiento en una hora especial y al azar puede ser la misma que para cualquier otro intervalo de una hora. El tiempo transcurrido antes de que el m´ ovil falle es el n´ umero de intervalos de una hora, Y , hasta que ocurra la primera falla. (Para esta aplicaci´ on, el mal funcionamiento del auto en un periodo determinado de una hora se define como ´exito. Observe que como en el caso del experimento binomial, cualquiera de los dos resultados de una prueba se puede definir como ´exito. De nuevo, un “´exito” no es necesariamente lo que podr´ıa considerarse como “bueno” en nuestra conversaci´on de todos los d´ıas.)

Propiedades de la distribuci´ on geom´ etrica 1. Si la variable aleatoria X tiene una distribuci´ on Geom´etrica con par´ ametro p (X G(p)), entonces la funci´on de distribuci´on acumulada de X satisface: F (x) = 1 − q x , x = 1, 2, ... 2. La distribuci´on geom´etrica es creciente, es decir, p(x) < p(x − 1), para x = 2, 3, 4, ... 3. La distribuci´on geom´etrica no tiene memoria, esto es, p (X > x + r | X > r) = p (X > x). Es la u ´nica distribuci´ on discreta que posee esta propiedad. Ejemplo 6.9. La probabilidad de que una persona adulta vote por el candidato A para la regi´ on Arequipa es del 20 %. Si los votantes son entrevistados uno por uno de manera independiente, encontrar la probabilidad de que haya que entrevistar a m´ as de 6 electores hasta encontrar uno que vote por el candidato A.

Soluci´ on: E : elector vote por el candidato A; con probabilidad p = P (E) = 0,25. Sea X=“N´ umero de electores entrevistados hasta encontrar uno que vote por el candidato A”. La variable aleatoria X ∼ G(0,20); luego

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Distribuciones de variables aleatorias

P (X > 6) = 1 − P (X ≤ 6) P (X > 6) = 1 − F (6) P (X > 6) = (0,80)6

P (X > 6) = 0, 262144 Ejemplo 6.10. En cierta siembra de limones, se sabe que el porcentaje de limones malogrados es de 0.05. Se controlan la calidad de los art´ıculos uno por uno.

1. Calcular la probabilidad de que el noveno art´ıculo probado sea el primer defectuoso encontrado. 2. En promedio, ¿cu´ antos art´ıculos se probar´ıan hasta encontrar el primer defectuoso?

Soluci´ on: Sea X = “n´ umero de art´ıculos producidos hasta que ocurra el primero defectuoso”, la variable aleatoria X ∼ G(0,05). 1. P (X = 9) = (0,95)9−1 (0,05) P (X = 9) = 0, 0315 2. E(X) =

1 = 20 0,05

Ejemplo 6.11. La confiabilidad de producir un artefacto electrico es 0.99. Con el fin de lograr el premio ISO-al 2020, en determinado momento se plantea hacer un ensayo el objetivo de producir 200 art´ıculos que cumplan con las especificaciones; pero al mismo tiempo se decide detener el proceso de producci´ on tan luego se produzca el primer art´ıculo que no cumpla con las especificaciones.

1. ¿Cu´ al es la probabilidad de lograr el objetivo? 2. Si despu´es de producir 150 art´ıculos a´ un no se ha detenido el proceso, ¿cu´ al ser´ıa la probabilidad de lograr el objetivo?

Soluci´ on: Sea X = “n´ umero de art´ıculos producidos hasta que ocurra el primero defectuoso”, la variable aleatoria X ∼ G(0,01) cuya funci´on de densidad est´ a dada por: f (x) = P (X = x) = (0,99)x−1 (0,01), x = 1, 2, ...

1. La probabilidad de lograr el objetivo es: P (X > 150) = (0,99)200 2. P (X > 150 | X > 100) =

P (X > 150 ∧ X > 100) P (X > 150) (0,99)150 = = = (0,99)50 P (X > 100) P (X > 100) (0,99)100

197

Distribuciones de variables aleatorias

6.1.5.

La distribuci´ on binomial negativa o de Pascal

Este experimento de Pascal se define como las repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli hasta obtener r ´exitos. La variable aleatoria: X : “n´ umero de repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli hasta que ocurran r-´exitos”. Se denomina variable aleatoria binomial negativa o de Pascal con funci´on de densidad dada por: f (x) = P (X = x) =

x−1 r−1

!

pr q x−r , x = r, r + 1, r + 2, ...

Su rango es el conjunto que est´a dado por RX = {r, r + 1, r + 2, . . . }. La variable aleatoria X

que tiene una distribuci´on binomial negativa o de Pascal con par´ ametros r y p se denota X ∼ BN (r, p)

o X ∼ P as(r, p), tambi´en tenemos que su media y varianza se calculan por: 1. Media: µX = r.

1 p

2 2. Varianza: σX = r.

q p2

Un estudio sobre el estudio de poblaciones de insectos (Gomez), “Usualmente, las poblaciones de organismos est´an regidas por leyes o distribuciones de “contagio”, donde la probabilidad de encontrar un individuo aumenta si ya se ha encontrado otro en un espacio dado...”, observamos que est´ a buscando el n´ umero de repeticiones hasta que encuentre el otro individuo. Crea un ejemplo parecido relacionado con tu carrera. Observemos otro ejemplo, La probabilidad de que un ni˜ no expuesto a gripe la contraiga es 0, 60, se desea conocer la probabilidad de que el octavo infante expuesto a la enfermedad sea el segundo en contraerla, ¿es una distribuci´on binomial negativa?. Compara con la teor´ıa dada y fundamenta tus razones.

Ejemplo 6.12. La probabilidad de que un elector vote por el candidato A es del 25 %. Si los electores son entrevistados uno por uno de manera independiente, encontrar la probabilidad de que haya que entrevistar a 10 electores hasta encontrar al tercero que vote por el candidato A.

Soluci´ on: Sea el evento E : “elector que vote por el candidato A”, con p = P (E) = 0, 25 Defina X = “n´ umero de electores entrevistados hasta encontrar tres que voten por el candidato A”, esta variable satisface X ∼ P as(3; 0,25) Luego: P (X = 10) =

9 2

!

(0,25)3 (0,75)10−3

P (X = 10) = 0, 07508468628

198

Distribuciones de variables aleatorias

Solo se tiene una probabilidad del 7,5 Ejemplo 6.13. S´ı la probabilidad de que un cierto dispositivo de medici´ on muestre una desviaci´ on excesiva es de 0,05, ¿cu´ al es la probabilidad de que:

1. El sexto de estos dispositivos de medici´ on sometidos a prueba sea el tercero en mostrar una desviaci´ on excesiva?, 2. El s´eptimo de estos dispositivos de medici´ on sometidos a prueba, sea el cuarto que no muestre una desviaci´ on excesiva?

Soluci´ on:

1. Aqu´ı r = 3 dispositivos que muestran desviaci´ on excesiva; C: dispositivo que muestra una desviaci´ on excesiva p = p(C) = 0,05 y q = 1 − p = 0,95. Definamos la variable

X =“n´ umero de dispositivos sometidos a prueba hasta que el tercero muestre una desviaci´on excesiva”, la cual X ∼ P as(3; 0,05).

Luego

P (X = 6) =

5 2

!

(0,05)3 (0,95)6−3

P (X = 6) = 0, 001 2. Aqu´ı r = 4 dispositivos que no muestran una desviaci´ on excesiva; ¯ C: “dispositivo no muestra una desviaci´ on excesiva” ¯ = 0,95 y q = 1 − p = 0,05 p = p(C)

Y =“n´ umero de dispositivos sometidos a prueba hasta que el cuarto no muestre una desviaci´on excesiva”, la cual Y ∼ P as(4; 0,95).

Luego

P (Y = 7) =

6 3

!

(0,95)4 (0,05)7−4

P (Y = 7) = 0,002 Ejemplo 6.14. Una m´ aquina produce art´ıculos de uno en uno y de manera independiente. Se considera que el 10 % de ellos son defectuosos. Si la m´ aquina se detiene apenas produce el cuarto art´ıculo defectuoso:

1. ¿Cu´ al es el n´ umero esperado de art´ıculos producidos hasta que se detiene la m´ aquina? 2. ¿Cu´ al es la probabilidad de que la m´ aquina se detenga en el d´ecimo art´ıculo producido? 3. ¿Cu´ al es la probabilidad de que produzca al menos 10 art´ıculos para que la m´ aquina se detenga?

199

Distribuciones de variables aleatorias

Soluci´ on: Sea X =“n´ umero de art´ıculos producidos hasta tener 4 defectuosos”, la variable aleatoria X ∼ P as(4; 0,1) cuya funci´on de densidad est´ a dada por: x−1

f (x) = P (X = x) =

3

!

(0,1)4 (0,9)x−4

, x = 4, 5, 6, ...

1. µX =

4 r = = 40 p 0,1

2. P (X = 10) =

9 3

!

(0,1)4 (0,9)6

P (X = 10) = 0,00446 3. P (X ≥ 10) = 1 − P (4 ≤ X ≤ 9)

6.1.6.

Ejercicios propuestos

1. En la universidad, el 80 % de los estudiantes no trabajan. Escogemos al azar voluntarios de la universidad, cada vez, hasta encontrar un estudiante que no trabaja. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la cuarta persona es la primera que no trabaja? b) ¿Cual es el n´ umero esperado del n´ umero de estudiantes escogidos? 2. La embotelladora de gaseosa ROCA S.A. est´ a promocionando su nuevo producto “Kola”. Para ello pone un premio en cada 40 botellas. Cualquiera que compra una Kola premiada obtiene una pelota gratuita. Si alguien decide comprar Kola hasta obtener una Kola premiada. a) ¿Cu´antas se espera comprar antes de hallar una Kola premiada? b) Si cada Kola cuesta S/.2 ¿cu´ antos espera ganar? 3. La unidades producidas por dos m´ aquinas A y B, en igual proporci´ on, llegan a una bandeja de control. El 3 % y el 1 % de las unidades producidas respectivamente por A y B son defectuosas. Un ingeniero controla la calidad del producto revisando una por una (sin devoluci´ on) las unidades de la bandeja. a) ¿Qu´e probabilidad hay de que la d´ecima unidad controlada sea la primera defectuosa? b) ¿Cu´antas unidades en promedio controla hasta que aparece la primera defectuosa? c) Si el ingeniero controla las unidades antes que caigan a la bandeja, calcule la probabilidad de que la primera defectuosa encontrada sea la cuarta de A y la sexta de B. 4. El proceso de producci´on de un bien se debe detener tan luego produzca la primera unidad que no cumpla con las especificaciones establecidas. Se estima en 0,99 la probabilidad de que una

200

Distribuciones de variables aleatorias

unidad producida cumpla las especificaciones. Si el objetivo es producir 150 unidades del bien de manera que cumplan con las especificaciobes. a) ¿Qu´e probabilidad hay de lograr el objetivo? b) Si despu´es de producir 100 unidades del bien a´ un no se ha detenido el proceso, ¿con qu´e probabilidad se lograr´ıa el objetivo? 5. Un vendedor a domicilio hace llamadas telef´ onicas a clientes potenciales. La probabilidad de vender en cada llamada es de 3 en cada 100. a) Calcule la probabilidad de que la sexta llamada sea su primera venta. b) Calcule el n´ umero de llamadas que espera hacer hasta obtener su primera venta. c) ¿Qu´e probabilidad hay de que su primera venta ocurra despu´es de m´ as de 5 llamadas si ya se hizo 3 llamadas sin ´exito? d ) El costo de cada llamada es S/,1, 5. Si una llamada no es una venta la siguiente cuesta S/,0, 50 m´as. Halle el costo esperado del n´ umero de llamadas que hace hasta que obtenga su primera venta. 6. Una compa˜ n´ıa petrolera ha sido designada para perforar pozos en la amazon´ıa peruana hasta obtener un resultado exitoso. La compa˜ n´ıa sabe que solo en tres de cada diez hallan petr´ oleo. a) Suponga que la compa˜ n´ıa petrolera cree que una serie de exploraciones ser´ a rentable si el n´ umero de pozos perforados hasta que ocurra el primer ´exito es menor o igual que 5. Calcule la probabilidad de que la exploraci´ on no ser´ a rentable si ya fueron perforados 3 pozos y en ninguno de ellos se encontr´ o petr´ oleo. b) El costo para perforar cada pozo es de $10000. Si un ensayo no resulta exitoso, el siguiente ensayo tiene un costo adicional de $5000. ¿Cu´ anto es el costo esperado del proyecto?. c) Si la compa˜ n´ıa dispone de un presupuesto de $145000, ¿cu´ al es la probabilidad de que los trabajos experimentales tengan un costo que sobrepase el presupuesto de la compa˜ n´ıa? 7. Cierto virus ha invadido un colegio atacando al 5 % de los ni˜ nos. Si tales ni˜ nos son examinados uno por uno, ¿cu´al es la probabilidad de que el duod´ecimo ni˜ no examinado sea el quinto ni˜ no encontrado atacado por el virus? 8. Un vendedor a domicilio estima en 0.3 la probabilidad de efectuar una venta. Suponga ventas independientes. a) En promedio, ¿cu´antas visitas domiciliarias debe efectuar hasta tener 12 ventas? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que se hagan al menos 10 visitas para tener 4 ventas? 9. Un sistema de comunicaciones recibe mensajes digitales de ceros y unos. Cada d´ıgito del mensaje puede ser recibido como correcto o incorrecto. La probabilidad de recibir un mensaje incorrecto es 0.01 y los d´ıgitos se reciben de manera independiente. a) ¿Con qu´e probabilidad un mensaje de 10 d´ıgitos binarios se recibe incorrectamente?

201

Distribuciones de variables aleatorias

b) Si el sistema recibiera 15 mensajes de 10 d´ıgitos cada uno, ¿cu´ al es la probabilidad de que al menos 12 de ellos se reciban correctamente? c) Si un mensaje se recibe de forma incorrecta, se repite el env´ıo hasta que sea recibido correctamente. ¿Con qu´e probabilidad un mensaje de 10 d´ıgitos binarios es correctamente recibido en el cuarto intento? d ) Calcule el costo esperado del n´ umero de mensajes de 10 d´ıgitos que se env´ıan al sistema hasta conseguir el mensaje correcto si este proceso se repite tres veces y si el costo de los tres procesos, en d´ecimos de soles, es igual al cuadrado del n´ umero de intentos. 10. En una poblaci´on grande se sabe que el 10 % padece de cierta enfermedad rara. Con la finalidad de hacer un diagn´ostico se necesitan 10 personas afectadas por dicha enfermedad para el an´ alisis correspondiente. Defina X como el n´ umero de personas seleccionadas hasta que se tengan las 10 personas afectadas por la enfermedad. a) Hallar la distribuci´on de probabilidad de la variable aleatoria X. b) Calcular la probabilidad de que se necesiten seleccionar exactamente 5 personas.

6.1.7.

La distribuci´ on hipergeom´ etrica

La variable aleatoria X definida por: X =“n´ umero de ´exitos en una muestra de tama˜ no n que se escoge al azar uno por uno sin reposici´ on de N elementos, de los cuales r son de ´exito y los (N − r)

fracasos”.

Luego se denomina variable aleatoria hipergeom´etrica, con par´ ametros N , n y r que denotaremos por X ∼ H(N, n, r), si su funci´on de densidad est´ a dada por: r f (x) = P (X = x) =

x

!

N −r N n

n−x !

!

, x = 0, 1, 2, ..., n

Su rango puede ser alguno de los siguientes conjuntos dependiendo de:

1. Si n ≤ r, entonces es el conjunto RX = {0, 1, 2, ..., n}. 2. Si r < n, entonces es el conjunto {0, 1, 2, ..., r}. La media y varianza de la variable aleatoria X se calcula por:

1. Media: µX = n

r N

2 2. Varianza: σX =n

r(N − r) N − n . N2 N −1

202

Distribuciones de variables aleatorias

Los experimentos que tienen este tipo de distribuci´ on tienen las siguientes caracter´ısticas:

1. Al realizar un experimento con este tipo de distribuci´ on, se esperan dos tipos de resultados. 2. Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. 3. Cada ensayo o repetici´on del experimento no es independiente de los dem´ as. 4. El n´ umero de repeticiones del experimento (n) es constante. Ejemplo 6.15. Un conteiner contiene 100 focos de una ferreter´ıa local y 200 unidades de un proveedor del departamento de Juliaca. Si se seleccionan cuatro focos al azar y sin reemplazo, Halle la probabilidad de que todas sean del proveedor local... Estas son las caracter´ısticas, observa como se va cumpliendo una a una.

Soluci´ on:

1. Al realizar un experimento con este tipo de distribuci´ on, se esperan dos tipos de resultados. Los dos tipos de resultado son . . . . . . . y . . . . . . . 2. Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. El primer foco tiene un probabilidad de fallar de . . . . . . . y el segundo de . . . . . . . 3. Cada ensayo o repetici´on del experimento no es independiente de los dem´ as. Escribe una raz´on por la que no es independiente 4. El n´ umero de repeticiones del experimento (n) es constante. Explica como se repite el n´ umero de repeticiones . . . . . . . . Ejemplo 6.16. En una casa de mascotas hay 30 loros peruanos y 20 loros ingleses si extraemos 10 loros al azar calcular posibilidad de que 3 de ellos hablen ingl´es (caracter´ıstica deseada)

Soluci´ on: Tenemos 20 P (X = 3) =

3

!

50 − 20 50 10

10 − 3 !

!

P (X = 3) = 0, 2259 Ejemplo 6.17. Una caja contiene 20 chips, de los cuales el 20 % no est´ an aptos para su venta y el resto si. Se escogen 5 chips al azar uno a uno sin reposici´ on.

1. Determine la distribuci´ on de probabilidad del n´ umero de chips escogidos que sean no aptos para su venta.

203

Distribuciones de variables aleatorias

2. Calcular la probabilidad de que al menos uno sea no apto para su venta.

Soluci´ on:

1. 4 f (x) = P (X = x) =

x

!

16 20 5

5−x !

!

, x = 0, 1, 2, ..., 4

2. 16 P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 −

5 20 5

! !

Ejemplo 6.18. Un jurado de 9 jueces va a decidir la inocencia o culpabilidad de un reo. Suponga que 6 votan por la inocencia y el resto por la culpabilidad. Si se seleccionan al azar 3 jueces y se pregunta por su voto.

1. Calcular la media y la varianza del n´ umero de jueces de la selecci´ on que votan por la inocencia. Interprete est´ a respuesta. 2. ¿Cu´ al es la probabilidad de que ning´ un juez seleccionado est´e a favor de la inocencia del reo?

Soluci´ on:

1. Sea X =“n´ umero de jueces que votan por la inocencia del reo”, se tiene que X ∼ H(9, 3, 6) con media y varianza: La media es: µX La varianza es: 2 σX

  6 =3 9

   6 3 6 =3 = 0,5 9 9 8

2. 3 P (X = 0) =

3 9 3

204

!

! = 0,0119

Distribuciones de variables aleatorias

Aproximaci´ on de la hipergeom´ etrica a la binomial Mariano Morettini nos indica que la diferencia entre las distribuciones hipergeom´etrica y binomial radica en que la probabilidad de ´exito es variable en la primera y constante en la segunda. Una forma de convertir un experimento de probabilidad variable a probabilidad constante es realizarlo sin reposici´on, para el primer caso, y con reposici´on en el segundo caso. Si N es grande con respecto al tama˜ no de la muestra n, la probabilidad de cada extracci´ on var´ıa muy n < 0,1 la distribuci´ on hipergeom´etrica H(N, n, r) se aproxima a la levemente. En la pr´actica cuando N r distribuci´on binomial B(n, p), con p = y q = 1 − p. La media y la varianza se aproximan por: N 1. Media: µX = np 2 2. Varianza: σX = npq.

N −n N −1

Ejemplo 6.19. Un auditor del departamento de impuestos sobre la renta est´ a seleccionando una muestra de seis declaraciones de impuestos de personas de una profesi´ on particular, para una posible auditor´ıa. Si dos o m´ as de ellas indican deducciones “no autorizadas”, se auditar´ a todo el grupo (poblaci´ on) de 100 declaraciones. Si el 25 % de las declaraciones es incorrecta, determinar:

a. La verdadera distribuci´ on de probabilidades del n´ umero de declaraciones incorrectas de la muestra. ¿Cu´ ales son los par´ ametros? Halle la probabilidad de una auditor´ıa m´ as detallada. b. Utilice una aproximaci´ on a la verdadera distribuci´ on de probabilidad para hallar la probabilidad de una auditor´ıa m´ as detallada. Soluci´ on

Definimos a. X =¨n´ umero de declaraciones incorrectas en la muestra de 6¨. Se tiene que X ∼ H(100, 6, 25)

con funci´on de probabilidades:

25 f (x) = P (X = x) =

x

!

75

6−x ! 100

!

, x = 0, 1, 2, ..., 4, 5,6

6

los par´ametros son: media µX = E(X) = 6

25 3 (25)(75) 94 47 2 . = y varianzaσX =6 = . 100 2 1002 99 44

Se har´a una auditor´ıa m´as detallada, si X toma valores mayores o iguales a 2. Es decir P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) = 0,4691

205

Distribuciones de variables aleatorias

6 n = = 0,06, podemos aproximar la distribuci´ on hipergeom´etrica N 100 25 H(100, 6, 25) por la binomial B(6, 0,25), con p = = 0,25 y q = 1 − p = 0,75 100 b. Observamos que

Luego

P (X ≥ 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) = 1 −

6 0

!

0 6−0

p q

−

6 1

!

p1 q 6−1 = 1 − (0,75)6 −

6(0,25)(0,75)5 = 0,4661

6.1.8.

Ejercicios propuestos

1. Se extrae al azar trece cartas sin reemplazo de una baraja de 52. ¿Cu´ al es la funci´ on de probabilidad para el n´ umero de cartas rojas en la muestra? ¿Cu´ al es la media y la varianza del n´ umero de naipes rojos? 2. Una caja contiene 10 focos, de los cuales 8 est´ an en buen estado, si se escogen al azar 5 focos. ¿cual es la funci´on de probabilidad para los focos buenos? 3. Un determinado producto industrial es empacado en lotes de 24 unidades. Se escogen al azar 6 productos de un lote y se rechaza el lote si se encuentra dos o m´ as defectuosos, en caso contrario se acepta el lote. Calcular la probabilidad de aceptar un lote que tienen 5 defectuosos, si los productos se escogen uno por uno: a) con reposici´on b) sin reposici´on. 4. En un edificio hay 30 departamentos. De ellos, 10 est´ an habitados por matrimonios con s´olo dos hijos hombres. Los otros 20 est´ an habitados por matrimonios con s´ olo dos hijas. Se va a demoler el edificio para construir uno de 60 departamentos, para lo cual se procede a desalojar parcialmente el edificio sorteando mensualmente una familia, la que debe retirarse. ¿Cu´ al es la probabilidad que al cabo del a˜ no y medio quede en el edificio el mismo n´ umero de mujeres y de hombres? 5. Un jurado de 7 jueces va a decidir entre dos finalistas qui´en es la ganadora del concurso de belleza, para lo cual bastar´a una mayor´ıa simple de los jueces. Suponga que 4 jueces votan por Mar´ıa y que los otros 3 voten por Susana. Si se seleccionan al azar 3 jueces y se les pregunta por quien van a votar. ¿Cu´al es la probabilidad que la mayor´ıa de los jueces de la muestra est´en a favor de Mar´ıa? 6. En un sal´on universitario de 50 alumnos existen 3 corrientes pol´ıticas. Se sabe que el 50 % pertenece al grupo A; el 30 % al grupo B y el resto al grupo C. Si se elige, al azar un comit´e estudiantil formado por 10 alumnos, determinar la probabilidad de que 6 de ellos sean del grupo B. 7. Se escriben los nombres de 6 mujeres y 3 hombres en pedacitos de papel y se los coloca en una caja. De la caja se escogen al azar 4 papelitos.

206

Distribuciones de variables aleatorias

a) Determine la distribuci´on de probabilidad del n´ umero de papelitos seleccionados que contengan nombres de hombres: 1) Si se escogen uno por uno sin reposici´ on. 2) Si se escogen uno por uno con reposici´ on. b) Calcule la probabilidad de que se seleccionen los nombres de por lo menos dos hombres. 8. Una compa˜ n´ıa recibe semanalmente un embarque de 500 art´ıculos de cierto tipo. La compa˜ n´ıa controla la calidad de cada embarque probando 10 art´ıculos escogidos al azar uno por uno sin reposici´on y rechaza el embarque si m´ as de uno de los art´ıculos probados no cumplen las especificaciones. Se sabe que cada embarque semanal contiene 90 % de art´ıculos que cumplen las especificaciones. Sea 4X el n´ umero de art´ıculos en la muestra que no cumplen las especificaciones. a) ¿Con qu´e probabilidad se rechaza cualquier embarque semanal? b) Si el costo de la inspecci´on semanal es soles est´ a dado por: C = 2 + 4X + X 2 , calcular el costo esperado por inspecci´ on. c) Hallar la probabilidad de que el costo de inspecci´ on sea mayor o igual que 34 soles. Resolver usando el modelo hipergeom´etrico y la aproximaci´ on binomial. 9. En una f´abrica la producci´on semanal de cierto tipo de art´ıculo es de 1000 unidades. Cada semana se realiza un control de calidad seleccionando una muestra de 20 unidades del art´ıculo, escogidos al azar y sin reposici´on de la producci´ on de la semana (1000 art´ıculos) y adoptando la siguiente regla de decisi´on: aceptar que el porcentaje de producci´ on defectuosa es 2 % si en la muestra se encuentra a lo m´as un defectuoso, o rechazar que el porcentaje de producci´ on defectuosa es 2 % en caso contrario, ¿cu´al es la probabilidad de que se haya decidido aceptar que el porcentaje de producci´on defectuosa de una semana es 2 % cuando en realidad fue 5 % de los 1000 producidos? 10. Un lote grande de N sacos de caf´e de un quintal contiene 10 % de sacos con impurezas. Del lote se cargan a un cami´on 20 sacos escogidos al azar. a) Determine la distribuci´on de probabilidad del n´ umero de sacos de caf´e con impurezas escogidas. ¿Cu´antos sacos de caf´e con impurezas se espera cargar al cami´ on si se cargan muchas veces? b) Si N = 1000, calcular aproximadamente la probabilidad de que se haya obtenido a lo m´as 5 sacos con impurezas. 11. Un sistema el´ectrico consiste de 6 componentes conectados en serie, es decir, el sistema funciona si todos las componentes funcionan. Si las componentes del sistema se seleccionan al azar de un lote de 20 que contiene tres que no funcionan. a) Describa el modelo de probabilidad del n´ umero posible de componentes que no funcionan de los 6 escogidos y calcule la probabilidad de que el sistema no funcione. b) ¿Cu´anto ser´ıa el costo esperado del sistema si cada componente tiene un costo de 4 u.m. y si cada componente que no funciona de los 6 seleccionados se cambia por uno del lote que s´ı funciona a un costo adicional de 1.5 u.m?

207

Distribuciones de variables aleatorias

6.1.9.

La distribuci´ on de Poisson

La distribuci´on de Poisson es una distribuci´ on de probabilidad discreta que se aplica a las ocurrencias de alg´ un suceso durante un intervalo espec´ıfico. La variable aleatoria de Poisson X es el n´ umero de veces que ocurre un suceso con tasa de ocurrencia λ en un intervalo. El intervalo puede ser tiempo, distancia, a´rea, volumen o alguna unidad similar. La probabilidad de que el suceso ocurra x veces, con tasa de ocurrencia λ por unidad de per´ıodo o regi´ on, est´ a dada por:

f (x) = P (X = x) =

e−λ λx , x = 0, 1, 2, ... x!

La variable aleatoria X que tiene una distribuci´ on de Poisson se denota X ∼ P (λ) con 1. Media: µX = λ 2 =λ 2. Varianza: σX

Observe que si el periodo de ocurrencia es extendido o comprimido a un intervalo de tiempo [0, t], la probabilidad de que un suceso ocurra x veces es:

P (X = x) =

e−λt (λt)x , x = 0, 1, 2, ... x!

con media µ = λt. La distribuci´on de Poisson se aplica a cualquier fen´ omeno aleatorio que ocurre por unidad de tiempo, de longitud, de a´rea, de volumen, etc., entre otras, en control de calidad y en situaciones alternantes de ´exitos y fracasos. Ejemplo 6.20. En un taller donde cada operario trabaja con su respectiva m´ aquina, hay un promedio de 3 m´ aquinas en reparaci´ on. Si el taller cuenta con 4 m´ aquinas de repuesto, ¿cu´ al es la probabilidad de que haya dos operarios desocupados?

Soluci´ on: Sea X = “n´ umero de m´ aquinas que hay en reparaci´ on”, X ∼ P (3) con λ = 3.

Observe que habr´a dos operarios desocupados cuando haya 6 m´ aquinas en reparaci´ on. La probabilidad de que haya 6 m´aquinas en reparaci´on es:

P (X = 6) =

e−3 36 = 0,0504 6!

Luego la probabilidad de que haya 2 operarios desocupados es por lo tanto 0.0504 ´ o 5, 04 %

208

Distribuciones de variables aleatorias

Ejemplo 6.21. La cristaler´ıa “Mili” conoce que de cada 100 jarrones fabricados tres son defectuosos. Calcule la probabilidad de que haya 40 objetos defectuosos de una muestra de 1000. Soluci´ on: Como p = 0, 03 y n = 100, donde p es peque˜ no y n es grande utilizaremos Poison: Donde: X:N´ umero de objetos defectuosos λ = np λ = 100 (0, 03) λ = 3 Luego: p (X = 4) = p (X = 4) = 0, 1680313557

34 e−3 4!

Por lo tanto, la probabilidad de que haya 40 defectuosos es del 16, 80 Ejemplo 6.22. El n´ umero de incendios graves que se producen en un departamento, es en promedio, de tres por mes. Calcule: 1. La probabilidad que los bomberos no tengan un incendio grave. Soluci´ on: X : N´ umero de incendios en el lapso de un mes. λ = 3, promedio de incendios por mes. e−3 30 3! p (X = 0) = 0, 1

1. p (X = 0) =

Ejemplo 6.23. La sede central del “Banco Nacional” atiende todos los d´ıas de las 8 : 00 horas hasta las 16 : 00 horas. y se sabe que el n´ umero de clientes por d´ıa que van a solicitar un pr´estamo por m´ as de S/,10000 tiene una distribuci´ on de Poisson con una media de 3 clientes por d´ıa. a. ¿Cu´ anto es la probabilidad de que hasta el mediod´ıa de un d´ıa cualquiera no se haya producido una solicitud de pr´estamo por m´ as de S/. 10 000? b. En cuatro d´ıas, ¿cu´ anto es la probabilidad de que hasta el mediod´ıa de 2 de 4 d´ıas cualesquiera no se haya producido una solicitud de pr´estamo por m´ as de S/. 10 000? Soluci´ on: Aqu´ı X = “n´ umero de clientes por d´ıa que van a solicitar un pr´estamo por m´ as de S/. 10 1 000”, sigue una distribuci´on X ∼ P (λ) con λ = 3. La probabilidad de que hasta el mediod´ıa t = , de 2 un d´ıa cualquiera no se haya producido una solicitud de pr´estamo por m´ as de S/. 10 000 se calcula por P (X = 0) =

e−λt (λt)0 e−3(1/2) (3(1/2))0 = 0! 0! P (X = 0) = 0,223

, Definimos Y = “n´ umero de d´ıas que hasta el mediod´ıa de un d´ıa cualquiera no se haya producido una solicitud de pr´estamo por m´as de S/. 10 000 en cuatro d´ıas”. La probabilidad de ´exito es p = 0,223 calculada en el item anterior.

209

Distribuciones de variables aleatorias

Es claro que Y ∼ B(4; 0,223), as´ı la probabilidad de que hasta el mediod´ıa de 2 de 4 d´ıas

cualesquiera no se haya producido una solicitud de pr´estamo por m´ as de S/. 10 000 es: P (Y = 2) =

4 2

!

2 4−2

p q

=

4 2

!

(0,223)2 (0,777)2

P (Y = 2) = 0,180 Ejemplo 6.24. Se planea comprar una computadora marca A o B. Se ha determinado que el n´ umero de reparaciones diarias se comportan como sigue:

A

B

Distribuci´ on

Poisson

Poisson

Media

0.7t

Costo

7t + 30X

0.5t 2

5t + 30Y 2

donde t : “ n´ umero de horas diarias de operaci´ on”, X: “ n´ umero de reparaciones para la marca A” e Y : “ n´ umero de reparaciones para la marca B”. De acuerdo al esperado de los costos de operaci´ on. ¿Qu´e marca es m´ as probable, si la jornada diaria es:

a. t = 8 horas diarias de operaci´ on? b. t = 12 horas de operaci´ on?

Soluci´ on: Sean CA : ¨costo de operaci´on de A¨; CB : ¨costo de operaci´ on de B¨. Luego CA

=

7t + 30X 2

E(CA )

=

7t + 30E(X 2 )

E(CA )

=

7t + 30(V ar(X) + E(X)2 )

CB

=

5t + 30Y 2

E(CB )

=

5t + 30E(Y 2 )

E(CB )

=

5t + 30(V ar(Y ) + E(Y )2 )

y tambi´en

a. Para t=8 se tiene   E(CA ) = 7(8) + 30(V ar(X) + E(X)2 ) = 56 + 30 0,7(8) + (0,7(8))2 = 1164,8   y E(CB ) = 5(8) + 30(V ar(X) + E(X)2 ) = 40 + 30 0,5(8) + (0,5(8))2 = 640

210

Distribuciones de variables aleatorias

b. De forma similar para t=12 se tiene E(CA ) = 2452,8 y E(CB ) = 1320.

Aproximaci´ on de la distribuci´ on binomial a la distribuci´ on de Poisson Cuando n tiende a infinito y p tiende a 0, de tal forma que np permanece constante, se tiene que la distribuci´on binomial B(n,p) se aproxima a una distribuci´ on de Poisson P (λ), con λ = np. En la pr´actica la aproximaci´on es buena si np ≤ 5 y p ≤ 0,1. Ejemplo 6.25. Un estudio realizado en las tierras de cultivo de Camana concluye firmando que la probabilidad de que cada h´ectarea de siembra de arroz contenga por lo menos un nido de hormiga es de 0.005. ¿Qu´e probabilidad hay de que 1000 hect´ areas de siembras de arroz al menos 4 de ellas contengan por lo menos un nido de hormiga? Soluci´ on:

Sea X =“n´ umero de hect´areas de 1000 hect´ areas de siembra de arroz que contengan por lo menos un nido de hormiga”. Se tiene que X ∼ B(1000; 0,005).

Se observa que np = 5 y p = 0,005 ≤ 0,1, luego podemos aproximar B(1000; 0,005) por una distribuci´on

de Poisson P (5), donde λ = np = 5. As´ı la probabilidad de que al menos 4 de 1000 hect´ areas de siembras de arroz contengan por lo menos un nido de hormiga es P (X ≥ 4) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 −

6.1.10.

3 X e−5 5k

k=0

k

Ejercicios propuestos

1. Los defectos de cierta clase de tejido de lana ocurren al azar con un promedio de 1 por 100 pies cuadrados. Calcular la probabilidad que una pieza que mide 50 por 10 pies no contenga defectos. 2. El n´ umero de casos admitidos de emergencia en cierto hospital en 1 hora es una variable aleatoria con distribuci´on de Poisson con λ = 3. Determinar la probabilidad que en cierta hora: a) Ning´ un caso de emergencia es admitido. b) M´as de tres casos de emergencia son admitidos. 3. Cierto alimento produce una reacci´ on al´ergica en un 0,01 % de una poblaci´ on grande. Si 100000 personas comen este alimento diario en promedio. a) ¿Cu´al es el n´ umero esperado de personas con reacci´ on al´ergica?

211

Distribuciones de variables aleatorias

b) ¿Cu´al es la funci´on de probabilidad del n´ umero de personas en este grupo de 100 000 que son al´ergicos a este alimento? 4. Suponga que cierta enfermedad rara afecta al 0.1 % de la poblaci´ on grande. 5000 personas se escogen aleatoriamente de esta poblaci´ on y son sometidos a un examen para detectar la enfermedad. a) ¿Cu´al es el n´ umero esperado de personas con dicha enfermedad? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que exactamente 10 personas sean afectadas por la enfermedad? 5. En promedio 4 personas por hora llegan a un banco a solicitar cr´edito vehicular, se requiere realizar un estudio para el banco, se pide calcular las siguientes probabilidades. a) La probabilidad de que en dos horas sean 4 las personas que lleguen a solicitar un cr´edito vehicular. b) La probabilidad de que menos de 4 personas requieran un cr´edito vehicular en una hora y media. c) La probabilidad de que m´as de 3 personas soliciten un cr´edito vehicular en media hora. d ) ¿Cu´antas personas se espera que soliciten cr´edito vehicular en 4 horas? 6. Los estudiantes de la San Pablo llegan a la fotocopiadora en promedio de dos cada 5 minutos. Determine a) La probabilidad de que lleguen m´ as de dos en 5 minutos. b) La probabilidad de que menos de tres lleguen en 3 minutos. c) La probabilidad de que dos alumnos lleguen en 4 minutos. d ) En una hora ¿cu´antos alumnos se espera que lleguen a la fotocopiadora? 7. En un estudio sobre seguridad vial, el representante del municipio ha determinado que en promedio 9 taxis cometen una infracci´on de tr´ ansito en 60 minutos por una de las avenidas principales de la ciudad a) ¿Cu´al es la probabilidad de que en 20 minutos 2 taxis cometan una infracci´ on de tr´ ansito? b) Determine la probabilidad de que en una hora m´ as de 3 taxis hayan cometido una infracci´on de tr´ansito. c) ¿Cu´al es la probabilidad de que en media hora ning´ un taxi comenta infracci´ on de tr´ ansito? d ) ¿Cu´antas infracciones de tr´ansito por parte de taxis se espera observar en 4 horas por la avenida? 8. Una empresa que vende autom´oviles nuevos ha establecido que en promedio al mes se presentan 4 reclamos sobre el veh´ıculo vendido; el gerente est´ a preocupado y desea calcular las siguientes probabilidades: a) La probabilidad de que en un mes se tengan 6 reclamos sobre los veh´ıculos vendidos.

212

Distribuciones de variables aleatorias

b) La probabilidad de que se tenga al menos dos reclamos en quince d´ıas. c) ¿Cu´antos reclamos se espera tener en un semestre? 9. El responsable de mantenimiento de la maquinaria de una empresa constructora ha determinado que al mes son tres en promedio las m´ aquinas que requieren mantenimiento general. Se pide calcular las siguientes probabilidades. a) La probabilidad de que en dos meses sean 4 las m´ aquinas que requieren un mantenimiento general. b) La probabilidad de que menos de 4 m´ aquinas requieran mantenimiento general en 3 meses. c) ¿Cu´antas m´aquinas se espera que requieran mantenimiento general en un a˜ no? 10. Los dientes de le´on se estudian para conocer sus efectos sobre los cultivos y el crecimiento del c´esped. En una regi´on se descubri´ o que el n´ umero medio de dientes de le´ on por metro cuadrado es de 7.0 (seg´ un datos de Manitoba Agriculture and Food). a) Calcule la probabilidad de que no haya dientes de le´ on en una ´ area de 1m2 . b) Calcule la probabilidad de al menos un diente de le´ on en una ´ area de 1m2 . c) Calcule la probabilidad de dos dientes de le´ on, cuando mucho, en una ´ area de 1m2 . 11. El autor descubri´o que en un mes (30 d´ıas), hizo 47 llamadas por tel´efono celular, las cuales se distribuyeron de la siguiente manera: durante 17 d´ıas no hubo llamadas, 7 d´ıas hizo una llamada cada d´ıa, 2 d´ıas hizo 3 llamadas cada d´ıa, 2 d´ıas hizo 4 llamadas cada d´ıa, un d´ıa hizo 12 llamadas y otro d´ıa hizo 14 llamadas. a) Calcule la media de llamadas por d´ıa. b) Utilice la distribuci´on de Poisson para calcular la probabilidad de un d´ıa sin llamadas y compare el resultado con la frecuencia relativa real del n´ umero de d´ıas sin llamadas. c) Utilice la distribuci´on de Poisson para calcular la probabilidad de hacer una llamada en un d´ıa y compare el resultado con la frecuencia relativa real del n´ umero de d´ıas con una llamada. d ) Con base en los resultados anteriores, ¿las llamadas que el autor hizo por tel´efono celular en un d´ıa parecen ajustarse razonablemente bien a la distribuci´ on de Poisson? ¿Por qu´e? 12. Los a´tomos radiactivos son inestables porque tienen demasiada energ´ıa. Cuando liberan su energ´ıa sobrante, se dice que decaen. Al estudiar el cesio 137, se descubre que durante el curso del decaimiento en 365 d´ıas, 1000000 de ´ atomos radiactivos se reducen a 997287 ´ atomos radiactivos. a) Calcule el n´ umero medio de ´ atomos radiactivos perdidos durante el decaimiento en un d´ıa. b) Calcule la probabilidad de que en un d´ıa dado decaigan 50 ´ atomos radiactivos. 13. Un ejemplo cl´asico de la distribuci´ on de Poisson implica el n´ umero de muertes de hombres del ej´ercito prusiano causadas por coces de caballo entre 1875 y 1894. Se combinaron datos de 14 cad´averes durante el periodo de 20 a˜ nos, y los 280 a˜ nos-cad´ averes incluyeron un total de 196 muertes. Despu´es de calcular el n´ umero medio de muertes por a˜ no-cad´ aver, calcule la probabilidad de que un a˜ no-cad´aver, seleccionado al azar, tenga el siguiente n´ umero de muertes:

213

Distribuciones de variables aleatorias

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f ) Los resultados reales incluyen las siguientes frecuencias: O muertes (en 144 a˜ nos-cad´ averes); 1 muerte (en 91 a˜ nos-cad´averes); 2 muertes (en 32 a˜ nos-cad´ averes); 3 muertes (en 11 a˜ nos-cad´averes); 4 muertes (en 2 a˜ nos-cad´ averes). Compare los resultados reales con los esperados de las probabilidades de Poisson, escriba una breve comentario, haciendo incapie en la semejanza o diferencia. g) ¿Sirve la distribuci´on de Poisson como una buena herramienta para predecir los resultados reales? 14. En un a˜ no hubo 116 muertes por homicidio en Richmond. Virginia (seg´ un “A Classroom Note on the Poisson Distribution: A Model for Homicida deaths in Richmond, VA for 1991”, de Winston A. Richards en Mathematics and Computer Education). Para un d´ıa seleccionado al azar, calcule la probabilidad de que el n´ umero de muertes por homicidio sea: a) O b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f ) Compare las probabilidades calculadas con los siguientes resultados reales: 268 d´ıas (ning´ un homicidio); 79 d´ıas (1 homicidio); 17 d´ıas (2 homicidios); 1 d´ıa (3 homicidios); no hubo d´ıas con m´as de 3 homicidios. 15. Durante un periodo reciente de 100 a˜ nos hubo 93 terremotos importantes en el mundo (de al menos 6.0 grados en la escala de Richter) (seg´ un datos del Worldatrae and Book of Facts). Suponiendo que la distribuci´on de Poisson es un modelo adecuado, calcule el n´ umero medio de terremotos importantes por a˜ no, despu´es calcule la probabilidad de que el n´ umero de terremotos en un a˜ no seleccionado al azar sea a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f) 5 g) 6

214

Distribuciones de variables aleatorias

h) 7 i ) Los resultados reales son: 47 a˜ nos (ning´ un terremoto importante); 31 a˜ nos (1 terremoto importante); 13 a˜ nos (2 terremotos importantes); 5 a˜ nos (3 terremotos importantes); 2 a˜ nos (4 terremotos importantes); O a˜ nos (5 terremotos importantes); 1 a˜ no (6 terremotos importantes); 1 a˜ no (7 terremotos importantes). Despu´es de comparar las probabilidades calculadas con los resultados reales, ¿es un buen modelo la distribuci´ on de Poisson? j ) Realiza un calculo para Arequipa. 16. El n´ umero de usuarios que acuden a cierta base de datos confidencial sigue una distribuci´ on de Poisson con una media de dos usuarios por hora. a) Calcule la probabilidad de que entre las 8horas y el mediod´ıa acudan m´ as de dos usuarios. b) Si un operador de la base de datos trabaja todos los d´ıas de 8 am. hasta el mediod´ıa, ¿cu´al es la probabilidad de que este operador tenga que esperar m´ as de 7 d´ıas hasta observar el primer d´ıa en el cual acceden m´ as de dos usuarios? 17. Una compa˜ n´ıa alquila computadoras por periodos de tiempo de t horas, por lo cual recibe $600 por hora. El n´ umero de veces que una computadora falla en t horas es una variable aleatoria con distribuci´on de Poisson con µ = 0,8t. Si una m´ aquina falla x veces en t horas, el costo de reparaci´on es $50x2 . ¿Qu´e valor de t maximiza su utilidad esperada? 18. Las fallas superficiales en ciertas placas de metal siguen una distribuci´ on de Poisson con una media de 0,04 fallas por placa. Una empresa consumidora hace un pedido grande al fabricante de estas placas y puede seguir uno de los siguientes procesos de inspecci´ on. Proceso 1: Inspecciona 35 placas al azar y si encuentra menos de 3 con fallas acepta el pedido. En caso contrario lo rechaza. Proceso 2: Inspecciona una por una las placas y si encuentra la tercera placa con falla en la inspecci´on, se detiene la inspecci´ on y rechaza el pedido. ¿Con cu´ al de estos dos procesos es m´as probable que rechace el pedido?

6.2.

Distribuciones continuas

En esta secci´on analizamos las variables aleatorias continuas y veremos tres distribuciones de probabilidad continua: la uniforme, la exponencial y la normal adem´ as del teorema del l´ımite central. Una diferencia fundamental entre las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas es c´omo se calculan las probabilidades. En las variables aleatorias discretas la funci´ on de probabilidad f (x) da la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor determinado; en cambio en las variables aleatorias continuas, la contraparte de la funci´ on de probabilidad es la funci´ on de densidad de probabilidad, que tambi´en se denota por f (x). La diferencia fundamental est´ a en que la funci´ on de densidad de probabilidad no da probabilidades directamente. Si no que el ´ area bajo la curva de f (x) que corresponde a un intervalo determinado proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome uno de los valores de ese intervalo. De manera que cuando se calculan probabilidades de variables

215

Distribuciones de variables aleatorias

aleatorias continuas se calcula la probabilidad de que la variable aleatoria tome alguno de los valores dentro de un intervalo.

6.2.1.

Distribuci´ on Uniforme

La distribuci´on de probabilidad uniforme se aplica a variables aleatorias, siempre que su probabilidad sea inversamente proporcional a la longitud del intervalo. Esta distribuci´ on se caracteriza por tener una funci´on de densidad que es constante y, por ello, la probabilidad es uniforme en un intervalo cerrado [a, b]. Definici´ on 6.26. Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribuci´ on uniforme (o rectangular) en el intervalo de n´ umeros reales [a, b] con a < b y se describe por X ∼ U [a, b], si su funci´ on de

densidad de probabilidad f (x) es:

f (x) =

(

1 b−a

si x ∈ [a, b]

si x 6∈ [a, b]

0

La funci´on de distribuci´on acumulada F (x) de la distribuci´ on uniforme es:

F (x) =

    0

si

x−a b−a

   1

x 0 y se denota por X ∼ Exp(β), si su funci´ on densidad de probabilidad es:

f (x) =

(

βe−βx , si x ≥ 0 0,

si x < 0

La gr´afica de la funci´on de densidad de probabilidad de la distribuci´ on exponencial se da en la siguiente gr´afica: f (x)

β

X

1 β

0

La funci´on de distribuci´on acumulada F (x) de la distribuci´ on exponencial es: F (x) =

(

0,

si x < 0

1−e

−βx

,

si x ≥ 0

La gr´afica de la funci´on de distribuci´ on acumulada F (x) de la distribuci´ on exponencial se da en

218

Distribuciones de variables aleatorias

la siguiente gr´afica: F (x)

1

X 1 β

Si la variable X tiene distribuci´on exponencial con par´ ametro β , entonces la media y la varianza son:

1. E(X) =

1 β

2. V ar(X) =

1 β2

Propiedades de la distribuci´ on exponencial P [X > x] = 1 − P [X ≤ x] = e−βx Para s, t n´ umeros reales positivos, se verifica: P [X > s + t/X > s] = P [X > t] Ejemplo 6.30. El tiempo de vida, en horas, de un transistor electr´ onico es una variable que tiene una distribuci´ on exponencial de media 500.

a) Calcule la probabilidad de que el producto dure a lo m´ as 600 horas. b) Calcule la probabilidad de que el producto dure m´ as que su media. c) Calcula la varianza de la variable.

Soluci´ on: Sea X : el tiempo de vida de un transistor. Tenemos que µ = E(X) = As´ı, X ∼

1 Exp( 500 )

1 β

= 500 entonces β =

y su funci´on de distribuci´ on acumulada en el intervalo [0, +∞[ es:

F (x) =

(

0,

si x < 0

1−e

1 − 500 x

219

, si x ≥ 0

1 500 .

Distribuciones de variables aleatorias

Por tanto, 1

a) P [X ≤ 600] = F (600) = 1 − e− 500 600 = 0,6988 1

b) P [X > 500] = 1 − F (500) = e− 500 500 = 0,3679 c) V ar(X) =

1 β2

=

1 1 ( 500 )2

= 250000

Ejemplo 6.31. Los tiempos entre las llegadas de veh´ıculos a una estaci´ on de servicio siguen una distribuci´ on de probabilidad exponencial cuya media es 12 segundos.

a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que los tiempos de llegada entre veh´ıculos sean 12 segundos o menos?. b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que los tiempos de llegada entre veh´ıculos sean 6 segundos o menos?. c) ¿Cu´ al es la probabilidad de 30 o m´ as segundos entre los tiempos de llegada?.

Soluci´ on: Sea X : el tiempo de llegada de un veh´ıculo a la estaci´ on. Como el tiempo promedio de llegada 1 es de 12 segundos. Entonces, X ∼ Exp( 12 ) ya que µ =

1 β

= 12 y su funci´ on de distribuci´ on acumulada

en el intervalo [0, +∞[ es:

F (x) =

(

0,

si x < 0

1−e

1 − 12 x

, si x ≥ 0

Por tanto, 1

a) P [X ≤ 12] = F (12) = 1 − e− 12 12 = 0,6321 1

b) P [X ≤ 6] = F (6) = 1 − e− 12 6 = 0,3935 1

1

c) P [X > 30] = 1 − F (30) = 1 − (1 − e− 12 30 ) = e− 12 30 = 0,0821

6.2.3.

Distribuci´ on Normal

La distribuci´on de probabilidad m´ as importante para describir variables aleatorias continuas es la distribuci´on de probabilidad normal. La distribuci´ on normal tiene gran cantidad de aplicaciones pr´acticas, en las cuales la variable aleatoria puede ser el peso o la estatura de las personas, puntuaciones de ex´amenes, resultados de mediciones cient´ıficas, contenido neto de cierto producto en un embase u otras cantidades similares. La distribuci´ on normal tambi´en tiene una importante aplicaci´ on en la inferencia estad´ıstica.

220

Distribuciones de variables aleatorias

Definici´ on 6.32. Se dice que una variable aleatoria continua X, que toma los valores reales, −∞
9500) = P ( Y√50 −E(Y50 ) > 9500−10000 ) = P (Z > −1,77) = 0,9616 V ar(Y50 )

6.4.

80000

Ejercicios resueltos

Ejemplo 6.37. En la ciudad de Arequipa la presi´ on sangu´ınea sist´ olica media de hombres con edades de 20 a 24 a˜ nos es de 123 mm Hg con una desviaci´ on est´ andar de 137 mm Hg; adem´ as la presi´ on sangu´ınea se distribuye normalmente. Si se selecciona al zar uno de estos hombres ¿Cu´ al es la probabilidad de que su presi´ on sangu´ınea sea:

a) Mayores que 139.44 mm Hg? b) Menores que 109 mm Hg?

223

Distribuciones de variables aleatorias

Soluci´ on: Para a) Sea X : la presi´on sangu´ınea de un hombre, con X ∼ N (123, 1372 ), entonces X −µ 139,44 − 123 > ) σ 137 = P (Z > 0,120)

P (X > 139,44) = P (

= 1 − P (Z ≤ 0,120) = 1 − 0,5478 = 0,4522

Para b) debemos hallar: X −µ 109 − 123 < ) σ 137 = P (Z < −0,102)

P (X < 110) = P (

= 0,4602 Ejemplo 6.38. Un asentamiento humano del distrito de Cayma es abastecido con un cisterna de agua cada 2 d´ıas; el consumo en volumen de agua para ese asentamiento humano tiene una distribuci´ on normal con media de 2000 m3 y desviaci´ on est´ andar de 100 m3 por cada dos d´ıas de consumo. Hallar la capacidad del cisterna para que la probabilidad de que en un periodo de 2 d´ıas el agua no sea suficiente para satisfacer toda la demanda sea de 0.01.

Soluci´ on: Sea X : consumo de agua en m3 durante dos d´ıas, con X ∼ N (2000, 1002 ), y sea k la capacidad

del tanque del cisterna entonces se tiene:

P (X > k) = P (

X −µ k − 2000 > ) σ 100

P (X > k) = 1 − P (Z ≤ = P (Z ≤

k − 2000 ) = 0,01 100

k − 2000 ) = 0,99 100

P (Z < z0 ) = 0,99 luego buscamos esta probabilidad en la tabla Z y se obtiene que z0 = 2,335 Entonces

k − 2000 = 2,335 100

224

Distribuciones de variables aleatorias

k − 2000 = 233,5 de aqu´ı k = 2233,5 m3 . Ejemplo 6.39. En una industria alimenticia se comercializa harina en paquetes de “peso neto 500 gramos”. El proceso autom´ atico de llenado de los paquetes puede regularse de modo que la cantidad media de harina por paquete pueda ajustarse al nivel que se desee, a fin de bajar los precios (retirando previamente la etiqueta). Suponiendo que la cantidad de harina por paquete es una variable aleatoria que tiene distribuci´ on normal con una desviaci´ on est´ andar de 0.2 onzas. (considere 1onza=28.3495 gramos)

a) ¿A qu´e nivel debe ajustarse el llenado medio de modo que s´ olo el 0.1 % de los paquetes tengan un peso neto inferior a 12 onzas? b) El Gerente de comercializaci´ on decide cambiar los par´ ametros de ajuste si en una muestra de 10 bolsas encuentra m´ as de 2 bolsas con peso inferior a 12 onzas, ¿cu´ al es la probabilidad de que el Gerente tenga que cambiar los par´ ametros?

Soluci´ on: Para a) Sea X : cantidad de harina por paquete, con X ∼ N (µ, 0,22 ), entonces P (X < 12) =

0,001 luego

P(

12 − µ X −µ < ) = 0,001 σ 0,2 P (Z < z0 ) = 0,001

luego buscamos esta probabilidad en la tabla Z y se obtiene que z0 = −3,10 Entonces

12 − µ = −3,10 0,2 12 − µ = −0,62

de aqu´ı µ = 12,62 onzas. Para b) se tiene que el gerente elige una muestra de n = 10 paquetes entonces: Sea Y : N´ umero de paquetes con peso inferior a 12 onzas, con Y ∼ B(10, 0,001), luego P (Y > 2) = 1 − P (Y ≤ 2) = 1 − P (Y = 0) − P (Y = 1) − P (Y = 2) P (Y > 2) = 1 − C010 (0,001)0 .(0,999)10 − C110 (0,001)1 .(0,999)9 − C210 (0,001)2 .(0,999)8 Entonces P (Y > 2) = 0,0000554 por lo tanto el gerente no debe cambiar los par´ ametros.

225

Distribuciones de variables aleatorias

Ejemplo 6.40. La renta media de los habitantes de un pa´ıs se distribuye uniformemente entre 4 millones de soles. y 10 millones de soles.

a) Calcular la probabilidad de que al seleccionar al azar a 100 personas la suma de sus rentas supere los 725 millones de soles. b) Calcular la probabilidad de que al seleccionar al azar a 100 personas la suma de sus rentas no supere los 415 millones de soles

Soluci´ on: Sea Xi : Renta media de la i ´esima persona (i = 1, 2, ..., 100), con Xi ∼ U ([4, 10]), luego la renta

total de las 100 personas es Y100 = X1 + X2 + ... + X100 . As´ı, E(Y100 ) = 100(7) = 700 millones y 100 −E(Y100 ) √ ) = P (Z > > 725−700 V ar(Y100 ) = 100(3) = 300. millones2 Por tanto, P (Y100 > 725) = P ( Y√ V ar(Y100 )

300

1,4434) = 1 − P (Z ≤ 1,4434) = 1 − 0,9251 = 0,0749. Luego la probabilidad de que al seleccionar al azar

a 100 personas la suma de sus rentas supere los 725 millones de soles es 7,49 %. 100 −E(Y100 ) Para b) se tiene que P (Y100 ≤ 415) = P ( Y√ ≤

V ar(Y100 )

415−700 √ ) 300

= P (Z ≤ −16,4545) = 0. Luego

la probabilidad de que al seleccionar al azar a 100 personas la suma de sus rentas no supere los 415 millones de soles es 0,00 %. Ejemplo 6.41. La empresa Philips indica que la vida de cierto foco electr´ onico tiene una distribuci´ on exponencial con media de 23 d´ıas. Tan pronto como un foco se quema, es reemplazado por otro.

a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que un foco se queme antes de 20 d´ıas? b) ¿Cu´ al es la probabilidad que durante un a˜ no se necesitan m´ as de 25 focos?

Soluci´ on: Para a) Sea X : tiempo de vida u ´til de un foco, entonces X ∼ Exp(β), como E(X) = 23 d´ıas

entonces

1 β

= 23 d´ıas luego β = 1

1 23 ,

1

y su funci´ on de densidad acumulada es F (x) = 1 − − 23 x y

P (X < 20) = F (20) = 1 − − 23 20 = 1 − 0,4191 = 0,5808. Entonces la probabilidad de que un foco se queme antes de 20 d´ıas es 58,08 %.

Para b) Sea Xi : tiempo de vida u ´til del i-´esimo foco (i = 1, 2, ..., 25), con Xi ∼ Exp(β) luego

el tiempo de vida u ´til total de los 25 focos es Y25 = X1 + X2 + ... + X25 . As´ı, E(Y25 ) = 25(23) = 575 √ y V ar(Y25 ) = 25(232 ) = 13225. Luego la P (Y25 < 365) = P ( Y√25 −E(Y25 ) > 365−575 ) = P (Z < −1,83) = V ar(Y25 )

13225

0,0336. Entonces la probabilidad de que en un a˜ no se necesiten m´ as de 25 focos es es 3,36 %.

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Distribuciones de variables aleatorias

P(Z