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• Bryan Norton Smith

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CAPITULO 19 PROBABILIDADES Latín

"Probabilitas"

Verosimilitud Calidad de probable fundada en razón prudente

la probabilidad de que ocurra un determinado suceso (A) se define como la relación entre el número de casos favorables para ese suceso y el número de casos posibles o total (C)

P(A) =

# de casos favorables para A # de casos posibles o totales

=

N(A)

Cardinal del conjunto A

N(C)

Cardinal del conjunto C

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Beatriz dará a luz con seguridad un bebé. ¿Cuál es la probabilidad de que el bebé sea varón? Solución: El bebé puede ser: Varón o mujer: casos posibles (total) de que sea varón hay un solo caso (favorable) Entonces la probabilidad de que el bebé sea varón es, un caso de un total de 2 casos.

P(varón)=

1  0,5  50% 2

2. Se lanzan 2 monedas en simultáneo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras? Solución: 50

céntimos

50

céntimos

= {CC, CS, SC, SS} = 4 posibles resultados  espacio muestral ()

la probabilidad de obtener 2 caras es: un caso de un total de 4 casos. P(2

caras)=

1 4

3. Halla cual es la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga # impar. Solución: # casos favorables = 1,3,5 =3 # casos totales = 1,2,3,4,5,6 = 6 3 1 P  6 3

4. Una caja contiene 7 lapiceros negros y 5 lapiceros azules, se extrae uno de ellos al azar. Determine la probabilidad de que el lapicero extraído no sea de color azul. Solución: Definamos el suceso o evento (simbolizado por E) de la siguiente manera: E : el lapicero extraído no es azul. De acuerdo a la definición de probabilidad tenemos: P(E) =

Nº lapicero que no son azules Nº total de lapiceros  P(E)= 7/12

5. Raúl rinden su práctica calificada y la calificación es de 0 a 20. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga una nota par mayor que 12? Solución : El espacio muestra tendría 21 elementos (la nota va desde cero hasta 20) veamos:  = { 0, 1, 2, 3, 4, …… 19, 20 } Luego () = 21 Consideremos ahora el evento A: A : Nota par mayor que 12. A = {14, 16, 18, 20} luego: n(A) = 4 4  P(A) = 21

6. Una caja contiene 12 bolas negras y 8 rojas, ¿qué probabilidad hay de no sacar una bola negra? Rpta: …………… 7. Al lanzar dos monedas, ¿qué probabilidad hay de obtener una cara y un sello? Rpta: …………… 8. ¿Qué probabilidad tiene Iris en ganar un premio en una rifa donde hay 400 talonarios, si ella compra 4 talonarios? Rpta: …………… 9. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzar 2 dados se obtenga una suma menor que 6? Rpta: …………… 10. Se lanza un dado. Halle la probabilidad de obtener una suma múltiplo de 3. Rpta: …………… PRACTICA DIRIGIDA 1. Determinar la probabilidad de obtener un mismo resultado al lanzar una moneda 3 veces. 2. Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número impar o múltiplo de 3.

3. Calcular la probabilidad de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, sin devolver la primera carta al naipe. 4. ¿Cuál de las siguientes expresiones no corresponde a un suceso aleatorio? a) b) c) d) e)

Jugar un juego de azar Enfriar agua a 0ºC Lanzar una piedra y medir su alcance Preguntarle a un desconocido si fuma Apostar en una carrera de caballos

5. Calcular la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa que contiene 3 fichas rojas y 4 blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas. 6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener siete puntos en el lanzamiento de dos dados?

1. Depositamos en una urna 4 bolas negras y 3 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 bolas a la vez estas sean negras? 2. Del problema anterior, ¿cuál es la probabilidad que una sea negra y la otra roja? a) 6/7 d) 2/7

b) 1/3 e) 5/7

c) 3/4

3. Seis amigos se ubican en una banca con capacidad para 6. ¿Cuál es la probabilidad de que Andrea y Sebastián se sienten siempre juntos? 4. Del problema anterior, ¿cuál es la probabilidad de que Andrea y Sebastián se sienten en los extremos?

PROBLEMAS PROPUESTOS  En una caja oscura se depositan 2 esferas blancas, 3 esferas rojas y 4 esferas azules. 1. Si extraemos una esfera, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja? a) 1/9

b) 1/6

c) 1/3

d) 5/2

e) 1/4

2. Si extraemos una esfera al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener roja o azul? a) 3/9

b) 4/9

c) 5/9

d) 7/9

e) 8/9

3. Se lanzan 3 monedas en simultáneo, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 caras y un sello? a) 1/8

b) 3/8

c) 5/8

d) 7/8

e) 1/4

4. Del problema anterior, ¿cuál es la probabilidad de obtener por lo menos una cara? a) 1/2 •

b) 1/4

c) 7/8

d) 1/8

e) 1/4

Si lanzamos dos dados en simultáneo.

5. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los valores obtenidos sea 6? a) 2/3

b) 5/36

c) 7/36

d) 1/18

6. Calcular la probabilidad de que los valores obtenidos sean iguales. a) 1/3

b) 1/6

c) 1/12

e) 1/9

d) 3/5

e) 1/24

7. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos menor a 5? a) 1/4 d) 1/6

b) 1/9 e) 2/17

c) 1/18

8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma de puntos 8 ó 9? a) 1/4 d) 5/18

b) 1/8 e) 1/9

c) 1/6

9. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un cuatro y seis? a) 1/6 d) 1/4

b) 1/8 e) 1/12

c) 1/18

10. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea mayor que el segundo? a) 5/12 d) 15/37 •

b) 7/12 e) 1/6

c) 17/36

De un mazo de 52 cartas; 13 de cada palo.

11. Se extrae una carta. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea espada? a) 1/13 d) 3/4

b) 1/4 e) 12/52

c) 12/13

12. ¿Cuál será la probabilidad de sacar un as? a) 1/10 d) 1/13

b) 1/6 e) 1/15

c) 1/4

13. Se extraen dos cartas a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que dichas cartas sean de corazones? a) 1/4 d) 3/4

b) 1/17 e) 1/16

c) 7/36

14. Se extraen dos cartas, ¿cuál será la probabilidad de que se saque una espada y la otra corazón, en ese orden? a) 13/102 d) 3/102

b) 15/103 e) 13/204

c) 15/104

15. Se sacan 3 cartas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean ases? a) 4/539 d) 1/5525

b) 3/1725 e) 2/5625

c) 1/2552

 Al arrojar 3 monedas al aire: 16. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

17. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de las tres sean iguales? a) 1/4 d) 2/3

b) 1/2 e) 3/4

c) 1/3

18. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras por lo menos? a) 1/4 d) 3/4

b) 5/8 e) 1/2

c) 3/8

19. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea a lo más 3 caras? a) 7/8 d) 3/4

b) 3/8 e) 1

c) 1/2

20. Marcar lo correcto: I. Si se lanza dos monedas la probabilidad que ambas sean cara es de 1/4 II. En una caja hay 4 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. La probabilidad que se tiene al sacar una de ellas y ésta no sea azul es de 2/3. III.Al lanzar dos dados, la probabilidad que se tiene de que los números que salgan en sus caras sumen 10 es de 1/12. a) I y II d) todas

b) II y III e) sólo II

c) I y III

21. Al arrojar 2 dados en simultáneo, ¿cuál es la probabilidad de obtener puntaje mayor que 10? a) 1/6 d) 1/9

b) 1/18 e) 1/12

c) 3/10

22. Marcar lo incorrecto en: I. Se tiene una caja con 12 cartas rojas, 6 blancas y 8 negras. La probabilidad de sacar una carta roja es 6/13. II. Del enunciado anterior, la probabilidad que sea blanca es 3/13. III.En un ómnibus viajan 15 varones, 18 damas y 20 niños. La probabilidad de que el primero en bajar sea un niño es de 18/53. a) I y III d) Solo II

b) II y III e) Ninguna

c) Solo III

23. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La probabilidad que se tiene de sacar 2 ó 3 al lanzar un dado es 1/3. II. La probabilidad de aparición de un número impar en una tirada de un dado es de 50% III.La probabilidad de sacar una vocal en una máquina de escribir de 27 letras es 5/27

a) VVV d) FFF

b) VVF e) VFV

c) VFF

24. Se lanza un dado y una moneda en simultáneo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par acompañado de sello? a) 1/3 d) 3/4

b) 1/4 e) 5/12

c) 1/2

25. Relacionar correctamente: I. Al lanzar dos dados, la probabilidad de obtener una suma de valores que sea 9 es: II. Una caja que tiene 5 bolas azules, 3 bolas blancas y 2 bolas negras, la probabilidad de extraer una bola y esta sea blanca o negra es: III.Al lanzar un dado dos veces consecutivas, ¿cuál será la probabilidad de obtener un solo tres? A. 1/2 B. 1/9 C. 5/18 a) IB - IIA - IIIC b) IA - IIB - IIIC c) IC - IIB - IIIA d) IA - IIC – IIIB e) Ninguna 26. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado "cargado", el resultado sea un número primo, si se carga el dado de tal manera que los números pares tienen el triple de posibilidades de presentarse que los números impares? a) 1/4 d) 1/12

b) 3/4 e) 5/12

c) 3/10

27. Hallar la probabilidad de obtener sólo un 6 al lanzar dos dados en simultáneo. a) 1/36 d) 10/18

b) 5/36 e) 1/18

c) 5/18

28. ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de 3 hijos hayan 2 varones y una mujer? a) 3/8 d) 1/18

b) 1/16 e) 5/8

c) 1/9

29. Hallar la probabilidad de obtener por lo menos un 2 al tirar una vez 2 dados en simultáneo. a) 1/36 d) 11/36

b) 1/12 e) 1/6

c) 1/24

30. Una caja contiene 40 bolas numeradas del 1 al 40. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola esta sea múltiplo de 3 y par? a) 1/20 d) 1/5

b) 1/0 e) 1/4

c) 3/20