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• Victor Fuentes

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Procesos Estoc´ asticos I Capacitaci´ on t´ ecnica especializada en el nuevo marco de Solvencia

Ger´ onimo Uribe Bravo Instituto de Matem´ aticas Universidad Nacional Aut´ onoma de M´exico

CAP´ITULO 1

Introducci´ on 1. Definiciones y clasificaci´ on b´ asica de procesos estoc´ asticos Un proceso estoc´ astico es una colecci´ on de variables aleatorias (Xt )t∈T indexadas por un conjunto T y definidas en alg´ un espacio de probabilidad (Ω, F , P). Interpretamos al conjunto de ´ındices T como un par´ ametro temporal; para nosotros T ser´ a {0, . . . , n}, N, alg´ un intervalo [0, t] ´ o [0, ∞). Interpretamos a un proceso estoc´ astico como la evoluci´ on en el tiempo de alg´ un fen´omeno cuya din´amica se rige por el azar. Un ejemplo sencillo de esto es la cantidad de soles que vamos acumulando al participar en un juego de volados. Otro ejemplo es la evoluci´on en el tiempo de la reserva de una compa˜ n´ıa de seguros. En el primer ejemplo, se puede indexar al proceso por alg´ un intervalo de naturales, en cuyo caso hablaremos de un proceso estoc´ astico a tiempo discreto. Adem´ as, dicho proceso toma valores en los naturales, por lo que tambi´en se trata de un proceso con espacio de estados discreto. En el segundo caso, se puede pensar en un modelo indexado por un subintervalo de [0, ∞) y hablaremos de un proceso estoc´astico a tiempo continuo. Adem´ as, en principio el valor de la reserva podr´ıa ser cualquier real no-negativo y por lo tanto hablamos de un proceso con espacio de estados continuo Uno de los primeros resultados generales dentro de la teor´ıa de los procesos estoc´ asticos es el teorema de consistencia de Kolmogorov que nos permite construir procesos estoc´ asticos a partir de colecciones vectores aleatorios (que satisfacen la condici´ on t´ecnica de ser consistentes). La prueba de este teorema se puede hacer bas´ andose en la existencia de una sucesi´ on de variables aleatorias uniformes. Antes de analizar por qu´e existe una sucesi´ on de variables uniformes independientes, ejemplificaremos c´ omo se pueden construir algunos de los procesos estoc´asticos que analizaremos en este curso.

Ejemplo 1.1 (Caminatas aleatorias simples y el problema de la ruina). Imaginemos la siguiente situaci´ on: tengo un capital de 20 pesos al tiempo cero y cada instante de tiempo apuesto un peso en un volado, gan´ando si cae ´aguila. ¿c´omo puedo estudiar matem´ aticamente a la evoluci´ on de mi capital en el tiempo? De particular inter´es es la variable aleatoria que nos indica el instante en que me arruino por primera vez, misma que a priori podr´ıa ser infinita si jam´as me arruino. 1

1. Definiciones b´ asicas

2

El modelo matem´ atico es el siguiente: consideremos variables aleatorias U1 , U2 , . . . uniformes en (0, 1) e independientes. A la variable aleatoria 1Ui ≤1/2 , que toma los valores cero y uno, la interpretaremos como indic´ andonos si el resultado del i-´esimo volado es ´ aguila (cuando toma el valor uno) y por lo tanto, la variable 21Ui ≤1/2 − 1 toma los valores 1 si cae ´ aguila y −1 si cae sol. Ejercicio 1.1. Con el objeto de verificar que comprendemos la noci´on de independencia, probar que las variables aleatorias 1U1 ≤1/2 , 1U2 ≤1/2 , . . . son independientes y con distribuci´ on Bernoulli de par´ ametro 1/2. Finalmente, podemos definir X0 = 20

y Xn+1 = Xn + 21Un+1 ≤1/2 − 1.

El siguiente c´ odigo en R simula la evoluci´ on de mi fortuna. C 0.

6. Distribuciones invariantes

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Por otra parte, si y 6= x y para la cadena asociada se accede de x a y entonces existen x0 , . . . , xn ∈ E tales que x0 = x, xn = y y xk+1 6= xk para los cuales Px,x1 · · · Pxn−1 ,y > 0. En particular, se tiene que c(xi ) > 0 para i < n. Si S1 , . . . , Sn+1 son exponenciales de par´ ametro 1 independientes entonces   X X Sk Sk  ≤t< P (x0 , x1 ) · · · Pxn−1 ,y > 0. Pt (x, y) ≥ P c(xk−1 ) c(xk−1 ) k≤n+1

k≤n

(S´ olo se debe tener cuidado si c(y) = 0.) Finalmente, si de x no se accede a y para la cadena asociada Z entonces Px (Xt 6= y para toda t ≥ 0) = Px (Zn 6= y para toda n ≥ 0) = 1.



Una familia markoviana es irreducible si Px (Xt = y) > 0 para toda t > 0 y toda y ∈ E. ´ n 5.9. Si la cadena asociada a una familia markoviana irreducible Proposicio es recurrente entonces no hay explosi´ on. Lo anterior nos dice que los conjuntos {t ≥ 0 : Xt = y} y {n ∈ N : Zn = y} o son ambos acotados o ambos no acotados para familias markovianas irreducibles. En el primer caso hablamos de transitoriedad y en el segundo de recurrencia. ´ n. S´ Demostracio olo hay que notar que si Px (Zn = x i.o. ) entonces o Zn se absorbe en x (que sucede si y s´ olo si c(x) > 0 y no es compatible con la irreducibilidad de la cadena) ´ o c(x) > 0 y X 1 ≥ ∞/c(x) = ∞ c(Zn ) n Px -casi seguramente, en cuyo caso, al condicionar con Z, vemos que no hay explosi´ on. (Recordemos que si τi son exponencialesPindependientes de par´ametro λi P entonces τi = ∞ casi seguramente si y s´ olo si 1/λi = ∞.)  Teorema 5.6. Si (Px ) es una familia markoviana irreducible entonces son equivalentes: (1) Existe una u ´nica distribuci´ on invariante ν para la familia que satisface νx > 0 para toda x ∈ E y para cualquier distribuci´ on inicial µ: X lim |Pν (Xt = y) − νy | = 0. t→∞

x

(2) Para alguna h > 0, la sucesi´ on de variables aleatorias (Xnh , n ∈ N) es una cadena de Markov positivo recurrente. En caso contrario, no existe ninguna distribuci´ on invariante y Px (Xt = y) → 0 conforme t → ∞.

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´ n. S´ Demostracio olo demostraremos la equivalencia. (La prueba completa se puede verificar en el libro de Kallenberg.) Sea h > 0. Notemos que (Xnh , n ≥ 0) es una cadena de Markov con matriz de transici´ on Ph (x, y) , x, y ∈ E. En efecto, vemos que Px (Xh = x1 , . . . , Xnh = xn ) = Ph (x, x1 ) Ph (x1 , x2 ) · · · Ph (xn−1 , xn ) . Si para alguna h, dicha cadena de Markov es positivo recurrente, entonces al ser irreducible y aperi´ odica, existe una u ´nica distribuci´on invariante νh . Por otra parte, la cadena de Markov Xnh/2 n ≥ 0 debe tambi´en ser positivo recurrente pues su tiempo de primer retorno est´ a acotado por dos veces el tiempo de primer retorno de Xnh , n ≥ 0, el cual es integrable. As´ı, existe una u ´nica distribuci´on invariante para Xnh/2 , digamos νh/2 pero como ´esta tambi´en es invariante para Xnh , vemos que νh/2 = νh . Escribamos por lo tanto ν = ν h . Generalizando, vemos que para cualquier racional no-negativo q, la distribuci´ on de Xqh bajo Pν es ν y, al aproximar a cualquier t > 0 por la derecha por reales de la forma qh, vemos que ν es invariante para la familia markoviana. Para mostrar la convergencia en variaci´on, notemos que, de acuerdo al teorema fundamental de convergencia para cadenas de Markov, se tiene que X |Pnh (x, y) − νy | → 0 x

conforme n → ∞. Por lo tanto, al escribir a t (de manera u ´nica) en la forma nh + r con n ∈ N y 0 ≤ r < h, las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov y la invariancia de ν nos dicen que X XX |Pt (x, y) − νy | ≤ |Pnh (x, z) − νz |Pr (z, y) → 0. x

x

y

Por lo tanto, el teorema de convergencia dominada nos permite afirmar que X lim |Pν (Xt = y) − νy | = 0. t→∞

x

Por otra parte, si existe una distribuci´ on invariante ν para la familia markoviana, entonces ν es una distribuci´ on invariante para Xnh , lo que implica que esta es positivo recurrente para cualquier h > 0.  Finalmente, pasamos a la relaci´ on entre el comportamiento asint´otico de la probabilidad de transici´ on y los tiempos medios de recurrencia. Sea T˜y = min {t > T1 : Xt = y} . Teorema 5.7. Si y no es absorbente entonces lim Pt (x, y) =

t→∞

Px (T y < ∞)  . c(y) Ey T˜y

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´ n. S´ Demostracio olo podremos probarlo en el caso transitorio y positivo recurrente. En el caso nulo recurrente, tendremos la convergencia en el sentido de Ces` aro. Primero nos concentraremos en el caso x = y. Si y es transitorio entonces Ey (T˜y ) = ∞ y por lo tanto el enunciado es v´ alido. Si por otra parte y es positivo recurrente y nos concentramos en su clase de comunicaci´on, esta ser´a irreducible y sabemos que Pt (x, y) converge a νy donde ν es la distribuci´on invariante u ´nica (en la clase de comunicaci´ on de y). As´ı, los tiempos medios de ocupaci´on Z 1 t Lt = 1Xs =y ds t 0 satisfacen: Z Z 1 t 1 t Px (Xs = y) ds = Ps (x, y) ds →t→∞ νy . Ex (Lt ) = t 0 t 0 y y Por otra parte, si T˜ny = T˜y + T˜n−1 (X T ) representa al tiempo del en´esimo retorno de la cadena al estado y, la propiedad de Markov fuerte nos dice que T˜ny es una caminata aleatoria. Como T˜y (X T1 ) se puede acotar en t´erminos del tiempo de visita a y por la cadena XT1 +nh , n ≥ 0, que es finito por ser positivo recurrente, vemos que Ex (T˜y ) < ∞, por lo que podemos aplicar la ley fuerte de los grandes n´ umeros y deducir que bajo Py se tiene que T˜ny /n → Ey (T˜ny ). Por esto, observamos que LT˜ny ξ1 + · · · + ξn 1 → y = y ˜ ˜ c(y) E Tn Tn x (Ty ) donde ξi = T1 ◦ θT˜ny son variables exponenciales de par´ametro c(y) (a la cuales tambi´en les aplicamos la ley fuerte de los grandes n´ umeros). Finalmente, por convergencia dominada vemos que 1 Ex (Lt ) → , c(y) Ex (Ty )

lo cual prueba el resultado en este caso.