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VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Variable Aleatoria es una función que asocia un número real, perfectamente definido, a cada punto muestral. A veces las variables aleatorias (va) están ya implícitas en los puntos muestrales. Ejemplo 1: Sea el evento, la experiencia relacionada con la medición de la estatura de 100 individuos. Un punto muestral (resultado de un experimento) es ya un número (estatura). La va está implícita. Ejemplo 2: Sea el evento, lanzar una moneda 3 veces al aire. Si se representa la cara con c y el sello con s, entonces el espacio muestral será: Espacio Muestral = {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss} La probabilidad de cada suceso elemental es 1/8. Por ejemplo p(ccc) = 1/8, ya que la probabilidad de sacar cara en una tirada es 1/2 según la definición clásica y las tiradas son independientes. Definimos la va X: número de caras, que puede tomar los valores {0, 1, 2, 3}. Se buscan todos los puntos muestrales que dan lugar a cada valor de la variable y a ese valor se le asigna la probabilidad del suceso correspondiente.

x

Sucesos

px

0

{zzz}

1/8

1

{czz, zcz, zzc}

3/8

2

{ccz, czc, zcc}

3/8

3

{ccc}

1/8

En el caso de las variables discretas, como en el ejemplo, es una función que para cada valor de la variable da su probabilidad. Ejemplo 3. Sea el evento experimental, lanzar al aire 2 monedas. Se sabe que el espacio muestral de este experimento contiene 4 puntos muestra les. Jesús Sachahuamán Flores

Página 1

S = {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)}, donde el primer elemento de cada par indica si se obtuvo cara (c) o sello (s) en la primera moneda, y el segundo lo mismo con respecto a la segunda moneda. La probabilidad de cada punto muestral es entonces 1/4. Ahora bien, normalmente no estamos interesados en los puntos muestrales, sino en cierta magnitud asociada con los puntos muestrales. Por Ej. Se podría estar interesado en el número de caras que hay en cada punto muestral. Si definimos una variable Xi como el número de caras en el punto muestral si, Xi tomará los valores X1 = 2, X2 = 1, X3 = 1, X4 = 0. Por lo tanto, Xi es una variable aleatoria. Una variable X es una variable aleatoria si es una magnitud susceptible de tomar diversos valores con determinadas probabilidades. Es una regla que asocia un número con cada evento simple en el espacio muestra de un experimento. Por lo general, esta regla se simboliza por medio de las mayúsculas X, Y o Z.

Definición Una variable aleatoria es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. O también, Una Variable Aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. Esta variable aleatoria puede ser discreta o continua. Si puede tomar sólo un número limitado de valores, entonces es una variable aleatoria discreta. En el otro extremo, si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, entonces se trata de una variable aleatoria continua. La distribución de probabilidad X se describe por una fórmula que enuncia la probabilidad como una función de x. Es decir, la distribución de X está especificada por la función f x ( x )  P ( X  x ) . El subíndice de f x ( x ) revela la variable aleatoria de interés. El subíndice se omitirá cuando no halla ninguna confusión sobre la probabilidad del resultado. Puesto que f x ( x ) está definida como una probabilidad, f x ( x ) es una función que va del conjunto de valores posibles de la variable aleatoria al intervalo [0, 1].

Definición La función f x ( x k )  P ( X  x k ), k  1, 2 ,3,...  que va del conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0, 1] recibe el nombre de función de probabilidad. Para una variable aleatoria

Jesús Sachahuamán Flores

X , f x ( x)

satisface las siguientes propiedades:

Página 2

1 ..... f x ( x k )  P ( X  x k ) 2 .... f x ( x k )  0 ,...

3 ....

Para todo x.

 f x (x k )  1 x

Se ha esgrimido el término experimento estadístico para representar cualquier proceso a través del cual se generan diversas observaciones al azar. Con frecuencia no interesan los detalles asociados con cada punto muestral, sino simplemente alguna descripción numérica del resultado. Por ejemplo, el espacio muestral que da una descripción detallada de cada uno de los resultados posibles de los alumbramientos de una mujer en 3 ocasiones, pueden escribirse así: S = (Espacio Muestral) = {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM} Si lo que interesa es sólo el número de hembras que alumbra la mujer, entonces se podría asignar un valor numérico de 0, 1, 2 ó 3 a cada uno de los puntos muestrales. Los números 0, 1, 2 y 3 son cantidades aleatorias que se determinan a través del resultado del experimento. Se podría pensar como los valores que toma alguna variable aleatoria X, que en este caso representa el número hembras que nacen cuando la mujer tiene 3 alumbramientos.

Definición Si un espacio muestral contiene un número finito de posibilidades o una secuencia sin final con igual número de elementos que números enteros, se le denomina variable aleatoria discreta (espacio muestral discreto). A una variable aleatoria se le denomina variable aleatoria discreta si su conjunto de posibles resultados es contable. Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un número determinado de valores. Las variables aleatorias discretas representan datos que se refieren, tales como el número de artículos defectuosos en una muestra de m de ellos o el número de accidentes en carreteras por año en un estado determinado. Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar un valor del 1 al 32. El resultado de un experimento estadístico que puede no ser finito ni contable. Un ejemplo de este paradigma ocurre cuando se produce una investigación para medir las distancias Jesús Sachahuamán Flores

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que recorre cierta marca de automóvil en una distancia de prueba especificado con 5 litros de gasolina. Asumiendo que el trayecto es una variable que se puede medir con cualquier grado de precisión, entonces resulta claro que se tiene un número infinito de distancias posibles en el espacio muestral y que no puede igualarse al número de números enteros. Si se registrara también la cantidad de tiempo en que se efectúa el recorrido de la diferentes marcas, da nueva cuenta de los intervalos de tiempos posibles que conforman el espacio muestral serian infinitos en número e incontables. Se observa con esto que no todos los espacios muestrales son necesariamente discretos. Definición

Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades iguales al número de puntos que se encuentran en un segmento de línea, se le denomina variable aleatoria continua (espacio muestral continuo). Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un número infinito de posibles soluciones. Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua, se le denomina variable aleatoria continua. Ejemplo: El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro de cierto intervalo (42,37 kg, 42,3764 kg, 42, 376541kg, etc); la esperanza media de vida de una población (72,5 años, 7,513 años, 72, 51234 años). Con frecuencia, los valores posibles de una variable aleatoria continua son precisamente los mismos valores contenidos en el espacio muestral continuo. Tal es el caso de aquella variable aleatoria que representa la distancia que cierta marca de automóvil puede recorrer, en un camino de prueba, con 5 litros de gasolina. En la mayoría de los problemas prácticos, las variables aleatorias continuas representan datos medidos, tales como alturas, pesos, temperaturas, distancias o períodos de vida posibles. Se puede especular en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de un desarrollo a otra, sin seguir una secuencia predecible. Por ejemplo, en un hospital para tratamiento del cáncer de pulmón no se tiene manera de saber con exactitud cuántos hombres van a ser atendidas en un día cualquiera. Si los registros diarios del hospital indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 pacientes diarios, entonces ésta es una variable aleatoria discreta. Una variable aleatoria es discreta cuando únicamente puede tomar un determinado número de valores en un intervalo. Por ejemplo, la variable aleatoria N° de caras obtenidas al lanzar 2 monedas, es una variable aleatoria discreta en el intervalo (0,2). Solo puede tomar los valores 0, 1 y 2. Si el espacio muestral consiste en un Conjunto discontinuo de sucesos, entonces una variable asociada con ese conjunto se le llama discreta; de otra manera, se le llama continua. Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo. Supongamos el experimento de lanzar una moneda hacia una línea marcada en el suelo. Supongamos que la distancia máxima a que puede caer la moneda de la marca es 1 metro (entendiendo como distancia la del centro de la moneda a la línea). Si definimos una Jesús Sachahuamán Flores

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variable aleatoria X que represente esa distancia, X puede tomar cualquier valor en el intervalo [0,1].

Distribuciones de Probabilidad DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria es un evento numérico cuyo valor se determina mediante un proceso al azar. Cuando se asignan valores de probabilidad a todos los datos numéricos posibles de una variable aleatoria X, ya sea mediante un listado o a través de una función matemática, se obtiene como resultado una distribución de probabilidad. La suma de las probabilidades para todos los resultados numéricos posibles debe ser Igual a 1.0. Pueden denotarse los valores de probabilidad individuales mediante el símbolo f(x), lo cual implica que hay implícita una función matemática; mediante P(x = X), lo cual implica que la variable aleatoria puede asumir diversos valores específicos, o simplemente mediante P(X). Para una variable aleatoria discreta, se pueden enumerar todos los valores numéricos posibles de la variable en una tabla con las probabilidades correspondientes. Existen diversas distribuciones estándar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para una amplia gama de variables aleatorias discretas en aplicaciones de negocios. Para una variable aleatoria continua no es posible enumerar todos los posibles valores fraccionarios de la variable y, por lo tanto, las probabilidades que se determinan a través de una función matemática se ilustran en forma gráfica mediante una función de densidad de probabilidad o curva de probabilidad. EJEMPLO 1. En la Tabla A se muestra el número de camionetas que se han solicitado para rentar en una arrendadora de automóviles, en un periodo de 50 días. En la última columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 días. En la última columna de la tabla se incluyen las frecuencias observadas en ese periodo de 50 días, convertidas en probabilidad. Así, puede observarse que la probabilidad de que se hayan solicitado exactamente siete camionetas en un día elegido al azar en ese periodo es de 0.20, y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o más es de 0.28 + 0.20 + 0.08 = 0.56.

Tabla B. Demanda diaria de arrendamiento de camionetas durante un periodo de 50 días.

Demandas Posibles X

Número de Días

Probabilidad  P ( X ) 

3 4 5 6 7 8 TOTALES

3 7 12 14 10 4 50

0.06 0.14 0.24 0.28 0.20 0.08 1.00

Jesús Sachahuamán Flores

Valor

Ponderado  X . P ( X ) 

0.18 0.56 1.20 1.68 1.40 0.64 E ( X )  5 . 66

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Distribuciones de probabilidad para variables discretas Las variables aleatorias, son aquellas que se relacionan con la ocurrencia de un fenómeno aleatorio. Cuando una de esas variables aleatorias toma diversos valores, la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribución de probabilidad, lo que se denomina distribución de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria. Las distribuciones de probabilidad logran representarse a través de una tabla, una gráfica o una fórmula, en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina función de probabilidad. Una variable aleatoria discreta adquiere cada uno de sus valores con cierta probabilidad. En el proceso del lanzamiento de una moneda 3 veces, la variable X, que representa el número de sellos, toma el valor 2 con una probabilidad de 3/8, puesto que 3 de los puntos muestrales igualmente probables dan como resultado 2 sellos y 1 cara. Si se suponen arreglos iguales para los eventos simples del siguiente ejemplo: Un empleado de un depósito le regresa, en forma aleatoria, tres herramientas de seguridad, previamente revisados, a tres obreros de un taller. Si Saúl, Jesús y Boris, en ese orden, reciben una de las tres herramientas, enumere los puntos muestrales para los órdenes posibles de devolución de las herramientas y calcule los valores b de la variable aleatoria B que representa el número de agrupaciones correctas. Solución.- Si S, J y B representan las herramientas de Saul, Jesús y Boris respectivamente, luego los arreglos posibles en los que podrían devolverse las herramientas y el número de agrupaciones correctas serán:

3 SJB

b Espacio Muestral

1 SBJ

1 JSB

0 JBS

0 BSJ

1 BJS

La probabilidad de que ningún obrero reciba de nuevo la herramienta que tenía, es decir, la probabilidad de que B tome el valor de cero, es 1/3. Los posibles valores b de B y sus probabilidades están dados por

b P(B = b)

Jesús Sachahuamán Flores

0

1

3

1

1

1

3

2

6

Página 6

Obsérvese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades suman 1. Con frecuencia, resulta conveniente representar todas las probabilidades de una variable aleatoria X a través de una fórmula. Esta fórmula seria necesariamente función de los valores numéricos x, que se denotarán por f(x), g(x), r(x) y así sucesivamente. Por lo tanto, se escribe f(x) = P(X= x); es decir f ( 3 )  P ( X  3 ) . Al conjunto de pares ordenados (x, f(x)) se le denomina función de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X. Definición El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una función de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada posible resultado x, 1.  f ( x )  0.

2. 



f ( x)  1.

3 .  P ( X  x )  f ( x ).

Ejemplo.- Un envió de ocho computadoras similares para un distribuidor contiene tres defectuosas. Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras, localice la distribución de probabilidad para el número de computadoras imperfectas. Solución.- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los números posibles de computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante. Luego, x puede se cualquiera de los números 0, 1 y 2. Entonces:

f (0)  P (X  0) 

.f ( 2 )  P ( X  2 ) 

 3  5      0  2  8   2  3  5      2  0  8   2



10

,.. f (1)  P ( X  1) 

28



 3  5      1  1  8   2



15

,..

28

3 28

Por lo tanto, la distribución de probabilidad de X es: Jesús Sachahuamán Flores

Página 7

x f(x)

0

1

2

10

15

3

28

28

28

Ejemplo: Analice la variable aleatoria X, como la cantidad de caras observadas cuando se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral es el conjunto {CC, CS, SC, SS} y se puede observar que la variable X puede tomar como valores 0, 1 y 2. Calculando las probabilidades tenemos:

P(de no observar caras) P(de observar una cara) P(de observar dos caras)

= = =

P(SS) P(SC o CS) P(CC)

= P(X=0) = = P(X=1) = = P(X=2) =

¼ /4 ¼

2

Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro:

X P(X=x)

0 ¼

1 /4

2

2 ¼

Se alcanzará explicar por qué se usa el nombre "distribución de probabilidad". Con esta información se puede construir un histograma como el siguiente:

Jesús Sachahuamán Flores

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Problema Se Lanzan dos dados al aire. ¿Cuál es probabilidad de que la suma de los puntos en los dados sea menor que 8? SOLUCIÓN: Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen la misma probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento, con treinta y seis posibles resultados, se presentan a continuación:

Tabla 1. Espacio muestral resultante al lanzar dos dados

1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

Como nos interesa la suma de los puntos observados, si obtenemos el resultado (3, 5) le asignamos el valor 8, correspondiente a la suma de 3 y 5. Podemos calcular la probabilidad de que la suma sea igual a 8, contando todos los resultados donde la suma es ocho. El evento de que la suma es ocho contiene 5 resultados: {(2,6), (3,5), (4,4), (5, 3), (6,2)}; por lo tanto la probabilidad deseada es 5/36. Podemos repetir este proceso con cada uno de los resultados para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la tabla 2.

Tabla 2. Distribución de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados.

Sumas Probabilidades

2

3

4

5

10

11

12

1

2

3

4

5

6

6

7

5

8

4

9

3

2

1

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

Hemos encontrado la distribución de probabilidad de los valores posibles de la suma al tirar dos dados. Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se Jesús Sachahuamán Flores

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observará en el dado verde, podemos expresar el valor que nos interesa así: X = R + V. Antes de lanzar los dados no sabemos qué valores observaremos para R y V, por lo tanto tampoco lo sabemos para X. El valor que asumirá X puede variar de lanzada en lanzada, sujeto a la distribución especificada en la tabla de arriba. Así X es una variable, que asume un número finito de valores sujeto a una distribución de probabilidad. Este es un ejemplo de una variable aleatoria discreta. Otros ejemplos son las variables R y V. En general, si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad P, definimos una variable aleatoria como una función que asigna un número real a cada uno de los elementos de S. Interpretamos, por ejemplo X = 8 como el evento de que se observó el resultado 8 al lanzar los dos dados, es decir el evento {(2,6), (3,5), (4,4), (5, 3), (6,2)} ocurrió. También asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento. Así vemos que P(X = 8) = P({ (2,6), (3,5), (4,4), (5, 3), (6,2)}) = 5/36= 0.14. Es usual denotar las variables aleatorias por letras mayúsculas y los valores que puede asumir por letras minúsculas. En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores posibles. Cualquier variable que pueda asumir un número finito de valores decimos es una variable aleatoria discreta. También son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un número muy grande o infinito de valores que potencialmente podrían ser contados, tal como el número de habitantes del planeta, el número de granos de maíz producidos en el planeta en una fecha determinada, el número de los árboles de un país. En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X, le asignamos un número correspondiente a su probabilidad. Así podemos definir otra función: f(x) = P(X = x), para cada número x en el campo de valores de la variable X. Esta función se llama la función de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable X. Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados, los valores de esta función están dados en la Tabla 2, la cual se puede reescribir usando los conceptos estudiados.

Tabla 3. Distribución de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados. x f(x)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero. Esto se debe a que f(x) representa una probabilidad, la cual nunca puede ser menor de cero. De igual manera f(x) nunca puede ser menor de 1. Si sumamos todos lo valores que puede tener f(x) obtenemos 1, debido a que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los Jesús Sachahuamán Flores

Página 10

valores establecidos. Por su definición, la función de probabilidad tiene las siguientes características:

1. f ( x )  0 para todo valor x en su dominio. 2.



f ( x )  1 ( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en el dominio

x

de f.  Los valores de la función de probabilidad se pueden representar en una gráfica como la siguiente:

Diagrama de la distribucion de probabilidad de la suma de dos dados

0,18 0,16

Probabilidades

0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Sumas de dos dados

La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variable aleatoria, digamos X = 3 está dado por la altura de la barra sobre el 3, es decir, P(X = 3) = 2/36 = 0.056. De igual manera, en vez de asociar la altura de la barra con la probabilidad, Jesús Sachahuamán Flores

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podemos ver que el área de la barra sobre el 3 es 2/36 1 = 2/36 = 0.056 ya que la altura de la barra es 2/36 y su ancho es 1. Usar el área de las barras para representar la probabilidad es muy útil para extender la noción de probabilidad a otras variables. Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P(X 4). Vemos que P(X 4) = P(X =2 ó X =3 ó X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) , ya que los eventos donde X = 2, X = 3 y X = 4 son disjuntos. Entonces P(X 4) = 1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36, sumando las áreas de la barras que están sobre el 4 y a su izquierda. Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades, ya que P(X 4) = 6/36, mientras que P(X< 4) = 3/26. Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas, podemos definir otra función partiendo de la distribución de probabilidad. Si X es una variable aleatoria discreta, definimos la función de distribución de X o función de distribución acumulativa de X de la siguiente manera:

f ( x )  p( X i  x ) 



f ( x ),.. Para ....   0,9146 es, según se puede apreciar en la figura:



. Luego:

2

Por lo tanto la probabilidad de que un niño al nacer tenga un peso superior a 4 kg. es de 18.0 %.

Jesús Sachahuamán Flores

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EJEMPLOS: A) Calcular P (z < –1.35) y P (z > –1.35). Solución: abajo se reproduce parte de la tabla: z

.00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

–1.3

.0968

.0951

.0934

.0918

.0901

.0885

.0869

.0853

.0838

.0823

Recordamos que la tabla proporciona el área bajo la curva a la izquierda de z. Por lo tanto, P (z < –1.35) = 0.0885. La otra área se obtiene así: P (z > –1.35) = 1 – 0.0885 = 0.9115. B) Una distribución normal tiene  = 60 y  = 5. Encontrar P(x < 63) y P(x > 63). Solución: Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z: z = (63–60)/5 = 0.6. z

.00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

0.6

.7257

.7291

.7324

.7357

.7389

.7422

.7454

.7486

.7517

.7549

Al consultar la tabla (ver arriba): P(x < 63) = P(z < 0.60) = 0.7257. Además, P(x > 63) = P (z > 0.60) = 1 – P (z < 0.60) = 0.2743. EJERCICIOS: Calcular las siguientes probabilidades. 1) P(z > –2.43) 2) P(z < –0.96) 3) P(z > 1.17) 4) P(z < 2.39) 5) Si  = 110 y  = 4, calcular P(x < 107) y P(x > 105) 6) Si  = 30 y  = 2, calcular P(x < 31.2) y P(x > 32.3) Consideremos, el siguiente problema: Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada población sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 Kg. y una desviación Jesús Sachahuamán Flores

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estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg? SOLUCIÓN: Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en esa población, ésta sigue una distribución N (80, 10). Su distribución no es de la normal estándar, entonces, es útil transformar esta característica según la Ecuación siguiente:

Así, la probabilidad que se desea calcular será:

Como el área total bajo la curva es igual a 1, se puede deducir que:

Esta última probabilidad puede ser fácilmente obtenida a partir de la tabla, resultando ser . Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una persona elegida aleatoriamente de esa población tenga un peso mayor de 100 Kg., es de: 1–0.9772 = 0.0228, es decir, aproximadamente de un 2.3%. De modo análogo, podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esté entre 60 y 100 Kg:

Tomando a = -2 y b = 2, podemos deducir que:

Por el ejemplo anterior, se sabe que P ( z  2 )  0 . 9772 . Para la segunda probabilidad, sin embargo, encontramos el problema de que las tablas estándar no proporcionan el valor de P ( z   2 ) para valores negativos de la variable. Sin embargo, haciendo uso de la simetría de la distribución normal, se tiene que:

Dagoberto Salgado Horta

Página 53

Finalmente, la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre 60 y 100 Kg., es de 0.9772-0.0228=0.9544, es decir, aproximadamente de un 95%. Resulta interesante comprobar que se obtendría la misma conclusión recurriendo a la propiedad de la distribución normal. No obstante, es fácil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que habitualmente nos encontramos en la práctica. Generalmente no se dispone de información acerca de la distribución teórica de la población, sino que más bien el problema se plantea a la inversa: a partir de una muestra extraída al azar de la población que se desea estudiar, se realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la población de origen.

Ejemplo: Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma población, obteniéndose una media muestral de X  75 Kg., y una desviación estándar muestral S  12 Kg., se pretende extraer alguna conclusión acerca del valor medio real de ese peso en la población original. La solución a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoría estadística, el llamado teorema central del límite. Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribución normal con igual media que la de la población y desviación estándar la de la población dividida por n . En nuestro caso, podremos entonces considerar la media muestral  X  N ,  

  n

, con lo cual, a partir de la propiedad de la normal se conoce que

aproximadamente un 95% de los posibles valores de X caerían dentro del intervalo 1 . 96  1 . 96    ;     . Puesto que los valores de  y  son desconocidos, podríamos n n  

pensar en aproximarlos por sus análogos muestrales, resultando

. Estaremos, por lo tanto, un 95% seguros de que el peso medio real en la población de origen oscila entre 75.6 Kg y 80.3 Kg. Aunque la teoría estadística subyacente es mucho más compleja, en líneas generales éste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una población.

Ejemplo: Supongamos que cierto fenómeno pueda ser representado mediante una va X  N ( 45 ,81 ) , y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y 48, es decir, P 39  X  48   ??

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Página 54

SOLUCIÓN: Comenzamos haciendo el cambio de variable Z 

X  



X  45



X  45

81

9

.

De modo que

P 39  X  48   0 . 378  37 . 80 %.

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Tabla de Áreas bajo la curva normal estándar. Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a z. La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna, y el segundo decimal en la cabecera de la tabla. z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

0.00 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998

0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998

0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.9998

Dagoberto Salgado Horta

0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998

0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998

0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998

0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998

0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998

0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998

0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998

Página 56

3.6 3.7 3.8 3.9

0.9998 0.9999 0.9999 1.0000

0.9998 0.9999 0.9999 1.0000

0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

¿Cómo se lee esta tabla? La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer. La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando. Ejemplo: queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 2,75.Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 2,7 y en la primera fila el valor 0,05. La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (0,99702, es decir 99.7%). Atención: la tabla nos da la probabilidad acumulada, es decir, la que va desde el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor. No nos da la probabilidad concreta en ese punto. En una distribución continua en el que la variable puede tomar infinitos valores, la probabilidad en un punto concreto es prácticamente despreciable. Ejemplo: Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5. La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable, ya que podría tomar infinitos valores: por ejemplo: 1,99, 1,994, 1,9967, 1,9998, 1999791, etc. Veamos otros ejemplos: Probabilidad acumulada en el valor 0,67: la respuesta es 0,7486 Probabilidad acumulada en el valor 1,35: la respuesta es 0,9115 Probabilidad acumulada en el valor 2,19: la respuesta es 0,98574 Veamos ahora, como podemos utilizar esta tabla con una distribución normal: Ejemplo: el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media 5 millones de Bs. y desviación típica 1 millón de Bs. Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs. Lo primero que haremos es transformar esa distribución en una normal tipificada, para ello se crea una nueva variable (Z) que será igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviación típica Z 

X  

En el ejemplo, la nueva variable sería: Dagoberto Salgado Horta

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Z 

X 5 1

Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada. La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es: Z 

75

2

1

Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs.). Esta probabilidad es 0,97725 Por lo tanto, el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs. es del 97,725%. Ejercicio 1º: La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bs/año, con una varianza de 1,5. Se supone que se distribuye según una distribución normal. Calcular: a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de Bs. b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos. c) Ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de la población con renta media. a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de Bs.

SOLUCIÓN: Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada: Z 

X 4 1 . 22

Recuede que el denominador es la desviación típica (raíz cuadrada de la varianza) El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs. es – 0,816. P (X < 3) = P (Z < – 0,816) Ahora tenemos que ver cuál es la probabilidad acumulada hasta ese valor. Tenemos un problema: la tabla de probabilidades sólo abarca valores positivos, no obstante, este problema tiene fácil solución, ya que la distribución normal es simétrica respecto al valor medio. Por lo tanto: Dagoberto Salgado Horta

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P (Z < – 0,816) = P (Z > 0,816) Por otra parte, la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100%) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor: P (Z > 0,816) = 1 - P (Z < 0,816) = 1 - 0,7925 (aprox.) = 0,2075 Luego, el 20,75% de la población tiene una renta inferior a 3 millones Bs. b) Nivel de ingresos a partir del cual se sitúa el 10% de la población con renta más elevada. Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,9 (90%), lo que quiere decir que por encima se sitúa el 10% superior. Ese valor corresponde a Z = 1,282 (aprox.). Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada: 1 ,282 

X 4

 1 . 282 ( 1 . 22 )  X  4  X  1 . 57  4  X  5 . 57 .

1 . 22

Despejando X, su valor es 5,57. Por lo tanto, aquellas personas con ingresos superiores a 5,57 millones de Bs. constituyen el 10% de la población con renta más elevada. c) Nivel de ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de la población con renta media Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 0,8 (80%). Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50%, quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30% de probabilidad. Por otra parte, al ser la distribución normal simétrica, entre -Z y la media hay otro 30% de probabilidad. En definitiva, el segmento (-Z, Z) engloba al 60% de población con renta media. El valor de Z que acumula el 80% de la probabilidad es 0,842 (aprox.), por lo que el segmento viene definido por (-0,842, + 0,842). Ahora calculamos los valores de la variable X correspondientes a estos valores de Z. Los valores de X son 2,97 y 5,03. Por lo tanto, las personas con ingresos superiores a 2,97 millones de Bs. e inferiores a 5,03 millones de Bs. constituyen el 60% de la población con un nivel medio de renta. Ejercicio 2º: La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes: Dagoberto Salgado Horta

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a) ¿Cuántas personas superarán posiblemente los 75 años? b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años?

SOLUCIÓN: a) Personas que vivirán (posiblemente) más de 75 años Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 años Z 

75  68

 1 .4

5

Por lo tanto P (X > 75) = (Z > 1,4) = 1 - P (Z < 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808 Luego, el 8,08% de la población (808 habitantes) vivirán más de 75 años. b) Personas que vivirán (posiblemente) menos de 60 años Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 años Z 

60  68

  1 ,6 . Por lo tanto P (X < 60) = (Z < -1,6) = P (Z > 1,6) = 1 - P (Z < 1,6) =

5

0,0548. Luego, el 5,48% de la población (548 habitantes) no llegarán probablemente a esta edad. Ejercicio 3: El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una país es de 59 litros, con una varianza de 36. Se supone que se distribuye según una distribución normal. a) Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de cerveza tendría que beber al año para pertenecer al 5% de la población que más bebe?. b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de borracho ¿qué podría argumentar en su defensa? a) 5% de la población que más bebe. Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,95 (95%), por lo que por arriba estaría el 5% restante. Ese valor corresponde a Z = 1,645 (aprox.). Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada:

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1 ,645 

X  58

 6 ( 1 ,645 )  X  58  X  9 . 87  58

6 X  67 ,87

Despejando X, su valor es 67,87. Por lo tanto, tendría usted que beber más de 67,87 litros al año para pertenecer a ese "selecto" club de grandes bebedores de cerveza. b) Usted bebe 45 litros de cerveza al año. ¿Es usted un borracho? Vamos a ver en que nivel de la población se situaría usted en función de los litros de cerveza consumidos. Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros: Z 

45  58

  2 ,2

6

Por lo tanto P (X < 45) = (Z < -2,2) = P (Z> 2,2) = 1 - P (Z < 2,2) = 0,0139 Luego, tan sólo un 1,39% de la población bebe menos que usted. Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de "enamorado de la bebida" Ejercicio 4: A un examen de oposición se han presentado 2.000 aspirantes. La nota media ha sido un 5,5, con una varianza de 1,1. a) Tan sólo hay 100 plazas. Usted ha obtenido un 7,7. ¿Sería oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su éxito? b) Va a haber una 2ª oportunidad para el 20% de notas más altas que no se hayan clasificados. ¿A partir de que nota se podrá participar en este "Nuevo Ingreso"? a) Ha obtenido usted un 7,7 Vamos a ver con ese 7,7 en que nivel porcentual se ha situado usted, para ello vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente. Z 

7 .7  5 .5

 2 . 1 . A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver

1 ,049

tablas) de 0,98214 (98,214%), lo que quiere decir que por encima de usted tan sólo se encuentra un 1,786%. Si se han presentado 2.000 aspirante, ese 1,786% equivale a unos 36 aspirantes; como hay 100 plazas disponibles, tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la "mejor de las fiestas". Dagoberto Salgado Horta

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b) "Repesca" para el 20% de los candidatos Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80% de la probabilidad, ya que por arriba sólo quedaría el 20% restante. Este valor de Z corresponde a 0,842 (aprox.). Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente: 0 ,842 

X  5 .5

 ( 0 . 842 )( 1 ,049 )  X  5 . 5  X  ( 0 ,883 )  5 . 5

1 ,049 X  6 ,38

Despejamos la X, su valor es 6,38. Por lo tanto, esta es la nota a partir de la cual se podrá acudir al "Nuevo Ingreso".

LA DISTRIBUCIÓN "T DE STUDENT": En la mayoría de casos reales o prácticos es frecuente que el tamaño de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la distribución normal. Los procedimientos de estimación y prueba de hipótesis para muestras pequeñas como es el caso de este trabajo son tratados preferencialmente por la distribución denominada "T de student", Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudónimo de "student", otra característica que permite utilizar una distribución "T" es que la desviación estándar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviación estándar de tipo muestral; ésta también es una razón para utilizar la "T de Student" . Las muestras de tamaño N>30, se les llamadas grandes muestras, las distribuciones de muestreo de muchos estadísticos son aproximadamente normales, siendo la aproximación tanto mejor cuanto mayor sea N. Para muestras de tamaño menor que 30, llamadas pequeñas muestras, esa aproximación no es adecuada y empeora al decrecer N, de modo que son precisas ciertas modificaciones. El estudio de la distribución de muestreo de los estadísticos para pequeñas muestras se llama teoría de pequeñas muestras. Sin embargo, un nombre más apropiado sería teoría exacta del muestreo, pues sus resultados son válidos tanto para pequeñas muestras como para grandes. En esta guía analizaremos la Distribución de Student, la cual se designa con la letra t. Definamos el estadístico t 

X  S



(X ) S

N que es análogo al estadístico z dado

N

por Z 

X  



X  

N .

N

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INTERVALOS DE CONFIANZA Al igual que se hizo con la distribución normal, se pueden definir los intervalos de confianza 95%, 99%, u otros, usando la tabla de la distribución t. De esta forma podemos estimar la media de la población dentro de los límites especificados. S

X  t 2

, Donde S

N

N

es la desviación estándar estimada de X .

GRADOS DE LIBERTAD Para el cálculo de un estadístico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos parámetros de la población, si estos parámetros son desconocidos, hay que estimarlos a partir de la muestra. ¿Qué son los grados de libertad? Se pueden definir como el número de valores que se pueden escoger libremente. Suponiendo que se esta trabajando con dos valores de muestra, a y b, y se sabe que tienen una media de 18. Simbólicamente, se puede expresar: ab

 18  a  b  36 . ¿Cómo se puede encontrar los valores que

2

a y b puedan tomar

en esta situación? La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya suma sea 36, ya que 36 entre 2 es 18. Suponiendo que a tiene un valor de 10; ahora b ya no esta libre de tomar cualquier valor, sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que, si a = 10, entonces 10 + b = 36, por lo tanto b = 26. Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos la media de la muestra de esos elementos, entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos, puesto que el otro estará determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra. En términos estadísticos se dice que tenemos un grado de libertad. Observemos otro ejemplo. Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de estos elementos es 16. Simbólicamente se tiene la siguiente situación: abcd e f  g

 16

7

En este caso, los grados de libertad (GL) o el número de variables que se pueden especificar libremente es 7 – 1 = 6. Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables, y Dagoberto Salgado Horta

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luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la séptima variable, puesto que esa queda determinada automáticamente. En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n – 1 grados de libertad, suponiendo que n es el tamaño de la muestra. Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribución t para estimar una media de población, y se utilizará n – 1 GL, tomando n igual al tamaño de la muestra. Regiones de aceptación y rechazo en el contraste de hipótesis

Distribución t de Student para varios valores

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Valores críticos para la distribución Student's - t alfa = área a la derecha de t(df, alfa) T~t(df)

P(T > t(df,alfa))

grados de libertad

alfa 0.1000

0.0500

0.0250

0.0100

0.0050

0.0010

0.0005

1

3.078

6.314

12.706

31.821

63.656

318.289

636.578

2

1.886

2.920

4.303

6.965

9.925

22.328

31.600

3

1.638

2.353

3.182

4.541

5.841

10.214

12.924

4

1.533

2.132

2.776

3.747

4.604

7.173

8.610

5

1.476

2.015

2.571

3.365

4.032

5.894

6.869

6

1.440

1.943

2.447

3.143

3.707

5.208

5.959

7

1.415

1.895

2.365

2.998

3.499

4.785

5.408

8

1.397

1.860

2.306

2.896

3.355

4.501

5.041

9

1.383

1.833

2.262

2.821

3.250

4.297

4.781

10

1.372

1.812

2.228

2.764

3.169

4.144

4.587

11

1.363

1.796

2.201

2.718

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