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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAB DEL CUSCO

CARRERA PROFESIONAL DE ING. ELECTRICA

Calculo del número óptimo de escalones del núcleo del transformador CURSO:

Diseño de Maquinas

DOCENTE:

Ing. Octavio Cañihua

ALUMNO: CODIGO: Cusco - Perú 2016

1. CALCULO DEL NUMERO ÓPTIMO DE ESCALONES DEL NÚCLEO DEL TRANSFORMADOR INTRODUCCION Este trabajo ha surgido con motivo del estudio que estamos realizando sobre la automatización del cálculo de transformadores. El artículo citado en la bibliografía es el único que hemos encontrado sobre la determinación del número de escalones del núcleo del transformador. La sección circular del núcleo debe aproximarse mediante paquetes de chapas, formando escalones, como se indica en la figura 1. Para un número determinado de escalones es interesante conocer las coordenadas x1 y1, x2 y2,..., x,, yn que dan el área máxima . En el artículo de Philips y Thomas se dan indicaciones generales sobre cómo han resuelto el problema, pero no se dan las soluciones. Por otra parte, los valores teóricos no son los constructivos, pues existen una serie de limitaciones que obligan a reajustar los valores obtenidos. Esas limitaciones permiten determinar el número de escalones óptimos, que, en caso contrario, sería el máximo que permitiera el espesor de la chapa, formando cada chapa un solo escalón. Hemos seguido bastante de cerca el artículo de la referencia, pero en lugar de dar sólo los métodos hemos procurado dar también las soluciones. En varios puntos hay algunas aportaciones que creemos que son originales: la introducción de las limitaciones segunda y sexta, el tratamiento especial que hacemos de la séptima limitación , la resolución teórica del cálculo del área máxima con secciones elípticas, la introducción de una limitación de tipo económico, y algunas cosas más de detalle que no vale la pena enumerar. Queremos, por último, aclarar que la aproximación que hemos hecho al tema es puramente teórica: los autores de este estudio no hemos diseñado nunca un núcleo de transformador. Pero nos ha parecido oportuno publicarlo, por si puede dar nuevos puntos de vista a las personas que los diseñan. Espero que se nos perdonará la audacia.

Fig. 1. Aproximación de la sección circular mediante paquetes de chapas.

CALCULO TEORICO DEL ÁREA MAXIMA 

Si suponemos conocidas las coordenadas x'1 y'1 ... x',, y'n el área del polígono vale S=4[x’1,y1´ + x’2(y’2 - y’1)+…+x’n (y'n -Y' n-1)] S = 4 [x'1 y'1 +…..+ x’ n y'n - (x'2 y'1 + x'3 y'2-+ ..... + x n y'n-1)]



en forma de sumatoria S=4 ∑z'i y'i - _∑x’i+1 Y’1 i



i=1, 2,…….n j=1,2………n-1

j

Si dividimos por cuatro veces el cuadrado del radio, obtenemos la función F que hay que hacer máxima. ͥͣͣͣͥͣͣͣ ͥͣͣͣ F=S/4R²=∑xiy í- ∑xj+1,yi i=1, 2,…….n j=1,2………n-1

en la que xi=x’i/R



;yi=y’i/R

Para hallar el máximo de esta función, debemos derivar respecto de xí : como son diferentes los casos extremos, tendremos tres tipos de derivadas: dF/dx1 = y1 + x1 (dy/dx)1 - x.1(dy/dx), = 0 dF/dxi = yi + xi (dy/dx)i - yi-1 - xi+i (dy/dx) = 0 ………… [1] dF/dxn = yn + xn (dy/dx)n -yn-1 = 0



Por otra parte, x'1 e y'1 deben cumplir: (x'i)² + (y'i)² = Rz X²i+x²i=1



Diferenciando esta ecuación: 2xi dxi + 2yi dyi=0



de donde: (dy/dx)i = - xi/yi



y sustituyendo en las ecuaciones [1] obtenemos: y², - - x²1 ± x1 x2 = 0 y²i-- x²i - xi+1 xi - yí-,yi = 0 y²n -- x²n - Yn-, yn = 0



………………………..[2]

Por la simetría del problema debe cumplirse que: Ө1+Өn = Ө2+Өn_1 = 90°



de lo cual se concluye que: Xn = y1 Xn-1 = Y2 Yn = x1 Yn-1, = x2



y sustituidas en la 3 .a ecuación de [2], se obtiene: Yn²-Xn² -Y²n-1,Y²n = x,²-y,²---.x1x2=0



que es la primera ecuación de [2]. Resolveremos, pues, el sistema equivalente no lineal: .Y1², _ x,²+ x1 x2 = 0 yi²-xi²+xi+1 xi-fi-1 y1=0 xn = y1



i=2…….n-1

[3.1] [3.2] [3.3]

El proceso que se ha seguido es el más elemental, porque no hemos encontrado un procedimiento iterativo convergente. Se parte de un valor de x1, distinto de cero, arbitrario, y mediante la ecuación [3.1], calcularemos x2: X1 = (x1² - y1²)/x1



Mediante [3.2] se calculan sucesivamente los valores Xi = (x²j-1 - y²j-1 yj-2)/xj-2



comparamos el valor de xn obtenido con el valor yi. El proceso automático incrementa x1 hasta que xn -y1 gi D gi se toma, ordinariamente, igual a 0,225. Esta limitación no es la más importante, porque si 2xn resultara ser inferior, puede suplirse rellenando las esquinas de los bloques superiores, con un material resistente no magnético, hasta aleancanzar la superficie deseada. Cuarta limitación puede ocurrir que, debido a las anteriores limitaciones, dos escalones consecutivos tengan una diferencia en anchura muy pequeña, de forma que prácticamente, resulte más rentable hacer un solo escalón de altura suma de las dos anteriores. En lugar de tener N escalones, tendríamos N-l. Matemáticamente podemos escribir esta restricción. xj – xj+1 > xmin

Quinta limitación Por razones constructivas, es necesario, a veces, limitar la altura del último escalón, para poder introducir unas placas aislantes , que aislen el núcleo de unas placas de sujección que hay que colocar. Como la altura de los escalones disminuye conforme nos acercamos al último escalón, esa restricción puede hacerse de forma general: Yn – yn-1> ymin Esta limitación es equivalente a la que sigue, que es la utilizada. Sexta limitación No parece lógico formar un escalón con una chapa. Debe, por tanto, limitarse el número mínimo de chapas del último escalón. Séptima limitación La segunda limitación maneja cifras que no son exactas. Decir que el espesor es siempre de 0,35 milímetros es una hipótesis falsa. Las laminaciones de Aristrain, S. A., dan un margen de ± 10 %, es decir, espesores que varían entre 0,385 mm y 0,315 mm, y el factor de apilamiento puede variar entre 0,92 y 0,94. Si con la limitación dos hemos obtenido para un escalón m chapas, tendremos dos alturas, una máxima y otra mínima, que son el margen de tolerancia. ∆ymax = m – 0.385/0.92 ∆ymin = m – 0.315/0.94 En el caso de ocho escalones y radio de 100 mm, el número total de chapas es de 258 y la abscisa del escalón 8.0 es de 23 mm. Si, por una causalidad, todas las chapas fueran de 0,385 mm de espesor y el factor de apilamiento fuera del 0,92 %, la ordenada del último escalón sería ymax = 258 • 0,385/0,92 = 108 mm y en el caso de tomar mínimo espesor y mejor apilamiento ymín = 258 • 0,315/0,94 = 86,5 mm El radio teórico de 100 mm puede resultar bastante más grande o más pequeño, en los escalones superiores. Con el fin de tener información suficiente para tomar una determinación sobre el modo de proceder, en el cuadro 3 se tabulan los radios máximo y mínimo de cada escalón, para un radio teórico de 100 mm y ocho escalones.

El aumento del radio máximo con el número de escalones se debe a dos efectos. En primer lugar, a que hay una acumulación del posible error, debido a la variación de espesor de las chapas, conforme crece el número de chapas. En segundo lugar, porque para un mismo Ay, la proyección sobre el radio vale, Ay, sen Өi en el escalón i. Өi es pequeño en los escalones inferiores, y sen Өi también, pero es mayor en los escalones altos. Esto hace que para el primer escalón el error sea del orden del 0,8 %, y en el último del orden del 10,5 `` El artículo que estamos comentando toma la siguiente medida. Para los escalones que corresponden a un Өi > 300 toma como radio para hacer los cálculos el radio teórico, en nuestro caso, 100 milímetros. Para los escalones que corresponden a un Өi < 300 toma un radio mayor, aproximadamente igual a un 10 % mayor que el teórico. Con esto se consigue una uniformidad mayor para los radios. Para tener en cuenta esta limitación, a nuestro entender de cierta importancia, parecería mejor tomar un radio variable según el ángulo Ө¡. La solución más inmediata es hacer que esa variación siga una ley elíptica . (x/a)² + (y/b)² = 1 Para el valor de los semiejes pueden adoptarse tres soluciones. En primer lugar, considerar como radio medio el radio teórico adoptado y admitir para el semieje mayor el valor máximo que resultaría si se utilizara en chapas gruesas, y para el semieje menor el valor mínimo que resultaría de utilizar todas las chapas delgadas.

a = R . (0,385/0,35) . (0,93/0,92) = 1,112 R b =R . (0,315/0,35) . (0,93/0,94) = 0,890 R La segunda solución consiste en adoptar para el semieje mayor el valor del radio teórico, a = R, y para el semieje menor el valor anterior b = 0,890R. La tercera solución posible es, manteniendo para a el valor teórico R, adoptar para b b = R . (0,315/0,385) . (0,92/0,94) = 0,8008 R Como es lógico pensar que el espesor de las chapas se compensará, la solución que adoptaremos será aquella que nos de para el radio medio es decir, el radio que corresponda a espesor 0,35 y apilamiento 0,93valores más uniformes. Deberemos calcular para cada 0i el valor del radio Ri. Para ello, sustituyendo en la ecuación de la elipse, en la que a = K1R y b = K2R, los valores xi = Rj cos Өi e Y¡ = Ri sen Өi , se obtiene Ri = K1k2,R/ √(k2² + (k²1-K²2,)senӨi) A la vista de los resultados obtenidos se ha intentado mejorar las desviaciones máxima y mínima variando los valores de Kl y K2. Las definitivamente adoptadas han sido: K1 = 1,01 K2 = 0,915 En el cuadro 3 se recoge toda la información.

DETERMINACION DEL NÚMERO DE ESCALONES POR RAZONES CONSTRUCTIVAS Las limitaciones constructivas 1.1, 2.1 y 7.5 tienen que estar incorporadas siempre a cualquier programa que se quiera hacer para determinar el número de escalones que se adoptará para un núcleo de transformador. Las limitaciones 3 ^, 4.1 y quinta o sexta son criterios que sirven para limitar el número de escalones. Todas ellas son funciones decrecientes del número de escalones.

Si llamamos DX al valor mínimo xi – xj-1_z, que se presentará en i = 1, XR a la mínima abscisas, xt, que se presentará en i = n, y NCHA al número mínimo de chapas de cualquier escalón, que se presentará en el último escalón, podemos construir una tabla que nos de esos valores en función del número de escalones y del radio. Parece lógico intentar una representación universal, para ello se ha procedido del siguiente modo: variando R desde 50 a 500 mm con incrementos de 50 mm, se han calculado los valores medios de DX/R, XR/R y NCHA/R. Esos valores medios son los que se recogen en el cuadro 4. Cuadro #4

Si, por ejemplo, no se quiere que el último escalón tenga una anchura menor que 0,225.11, el número de escalones tendrá que ser, como máximo, 7. Si queremos que para un radio de 150 mm el número mínimo de chapas de un escalón sea 20, calcularemos 20/150 = 0,133, lo que nos da siete escalones como máximo. Se podría introducir esta tabla en el ordenador, para crear una subrutina que decidiera el número de escalones en función de los datos ∆xmin, xmin NCHAmin,. Nos ha parecido mejor aproximar esas curvas mediante unas funciones analíticas de los tipos n= Pm(x) n=Pm(Lnx) Ln (n)= Prn (x) Ln (n) = P n (Ln x) en las que n es el número de escalones, x la variable y' pm una función polinómica de grado m. Seleccionando una línea recta para facilitar el cálculo se han obtenido las funciones siguientes, que tienen suficiente aproximación para la utilización que van a tener: log n = -- 0,111 -- 0,815 log (DX/R) log n = -- 0,34 -- 1,58 log (XT/R) log n = --0,49 --- 0,74 log (NCHA/R) con ellas se ha construido la subrutina definitiva que se acompaña en el Apéndice 3. DETERMINACION DEL NUMERO DE ESCALONES POR CRITERIOS ECONOMICOS En el caso de que no exista una razón constructiva que limite el número de escalones, de acuerdo con lo dicho en el apartado anterior, el único criterio que debe prevalecer es el criterio económico. En el cuadro 5 se recoge la información que nos va a servir de base. En la columna NTCH se indica el valor medio de diez casos del cociente del número total de chapas y el radio del núcleo. En la columna SNUC se representa el cociente, para los mismos diez casos, entre el área real del núcleo y el área del círculo. La columna SmaX es la misma relación, pero en el numerador el área máxima teórica, y en la última columna el cociente entre SNUC y SMAX. Si cortar una chapa longitudinalmente cuesta a pesetas por chapa, y arreglar la cortadora para las dimensiones de cada escalón cuesta b pesetas por escalón, el coste total del corte (pueden incluirse los costes de montaje) valdrá, si n es el número de escalones y mn el número total de chapas

Cn =u.m + b.n Al pasar de n escalones a n + 1 el incremento del coste, en % referido a la etapa anterior será Cn + 1 – cn - cn + 1 - 1 Cn cn Comparamos esta cantidad con el incremento área del núcleo al pasar de n a n + 1 escalones

Sn + 1 - 1 Sn El momento en que. Cn + 1 = Cn

sn + 1 sn

nos sirve para determinar el número óptimo de escalones. Para trabajar con cierta rapidez nos es necesario o, por lo menos, útil encontrar unas expresiones que nos den el número total de chapas en función del número de escalones y del radio y el área real del núcleo en función del número de escalones. La aproximación, realizada con el mismo tipo de funciones que anteriormente, nos ha dado los siguientes resultados:

m = R (2,14994 + 0,104081 log n) S = 0,67125 + 0,06402454 log n Para un radio de 100 mm, y para los casos indicados para a = a/b, se han obtenido los resultados del cuadro 6.

La subrutina del programa definitivo incorpora esta limitación económica.

2. CALCULO DEL ÁREA TRANSVERSAL DEL NUCLEO EN FUNCIÓN DEL DEL DIÁMETRO PARA 5 ESCALONES Se tiene el grafico para 5 escalones.-



En forma general se tiene: D

a

‫ר‬Ө b 

Del grafico se deduce: senӨ= a/D

→

a =DsenӨ……………[a]

cosӨ=b/D

→

b=DcosӨ……………[b]



En el siguiente cuadro tenemos los valores de los angulos Ө para cada escalon



Utilizando la ecuación [a] y los valores del cuadro1 .se tiene los valores de a para cada escalón

a1= Dsen(Ө1) = Dsen(18.2903) = 0.3138 D a2= Dsen(Ө2) = Dsen(32.2478) = 0.5336 D a3= Dsen(Ө3) = Dsen(45.0000) = 0.7071 D a4= Dsen(Ө4) = Dsen(57-7522) = 0.8457 D a5= Dsen(Ө5) = Dsen(71.7097) = 0.9495 D 

Utilizando la ecuación [b] y los valores del cuadro1. se tiene los valores de b para cada escalón

b1= Dcos(Ө1) = Dcos(18.2903) = 0.9495 D b2= Dcos(Ө2) = Dcos(32.2478) = 0.8457 D b3= Dcos(Ө3) = Dcos(45.0000) = 0.7071 D b4= Dcos(Ө4) = Dcos(57-7522) = 0.5336 D b5= Dcos(Ө5) = Dcos(71.7097) = 0.3138 D



A continuación hallamos el área de cada escalón en función del diametro

A1 = a1 x b1 = (0.3138D x 0.9495D) = 0.2979D² A2 = (a2 – a1) x b2 = (0.5336D - 0.3138D) x 0.8457D = 0.1859 D² A3 = (a3 – a2) x b3 = (0.7071D - 0.5336D) x 0.7071D = 0.1227 D² A4 = (a4 – a3) x b4 = (0.8457D - 0.7071D) x 0.5336D = 0.0739 D² A5 = (a5 – a4) x b5 = (0.9495D - 0.8457D) x 0.3138D = 0.0326 D² 

Entonces el área total será la suma de todas las áreas AT = A1 + A2 + A 3 + A4 + A5 AT = 0.2979D² + 0.1859 D² + 0.1227 D² + 0.0739 D² + 0.0326 D² AT = 0.7130D²

Área en función del diámetro. Para 5 escalones