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Cálculo de Longitud y Masa de Alambres Edison Pineda - David Batallas – Jonathan Chango – Jerson Barragán Escuela Superior Politécnica de Chimborazo Riobamba, Ecuador [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] I.

INTRODUCCION

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar. En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO. Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:



El cálculo de la longitud de una curva en el espacio.



El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva.



Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

II.

DESARROLLO DE CONTENIDOS

Vamos a referirnos a aplicaciones de curvas C de R 3, de manera similar ocurre para curvas C de R2. 1)

Sea

f :C ⊂ R3 → R ,

una función continua sobre C tal que f(x, y, z) = 1,

∀ ( x , y , z ) ∈C

Si C es un alambre, entonces: ❑

ρ ( x , y , z ) ds=¿∫ ds C

❑

L=∫ ¿ C

Que representa la longitud del alambre 2)

Si

ρ : C ⊂ R3 → R

es la función de la densidad de la masa del alambre, entonces la masa del alambre recorrido por la

curva C es: ❑

M =∫ ρ ( x , y , z ) ds C

[1]

Masa de un alambre La interpretación física que se le pueda dar a la integral de línea ∫ c f(x, y) ds dependerá del significado físico que tenga la función f. Si la función ρ (x, y) representa la densidad lineal de un punto (x, y) de un alambre muy delgado en forma de la curva C y si se divide la curva C en n sub-arcos de longitudes ∆s1,∆s2,∆s3,…..,∆sn , con ∆sf ≈ (Pi-1 Pi), entonces la masa del alambre que va desde Pi−1 hasta Pi se puede aproximar mediante la siguiente expresión ρ (xi*,yi*) ∆si ; por tanto la masa del alambre completo vendría dado por ∑ ni-1 (ρ (xi*,yi*) ∆si). Para tener una aproximación más cercana al valor verdadero de la masa del alambre se puede incrementar el número de sub-arcos n en el que se dividió inicialmente la curva C. Al estudiar el límite de estas aproximaciones cuando n → ∞, se obtiene el valor exacto de la masa del alambre: [2]

1.Hallar la longitud total de un alambre cuya forma es de la curva y=IxI con

y=g ( x )=IxI

g’(x) = 1(x

≥

0), g’(x) = -1(x

¿

0)

−1 ≤ x ≤ 1

. [1]

ds=

g' ( x ) ¿ ¿ 1+ ¿ √¿

dx =

√2

dx

❑

L=

∫ ds C

1

L=

∫ √2 dx

L=

2 √2

−1

m

2. Calcular la masa de un alambre que tiene la forma de la curva de intersección de las superficies

x+ y+ z=0

, si la función de densidad lineal es

f ( x , y , z )=x 2

[3]

2

2

2

x + y + z =1

y

Para parametrizar la curva C buscamos la proyección de esta sobre el plano

Para eliminar el término cruzado

2 xy

z=0

lo agrupamos con uno cuadrático y completamos los cuadrados

Obtenemos una elipse cuyos ejes de simetría no son paralelos a los coordenado, sino que esta girada respecto a estos.

x 2+ y 2 =a2

3. Un alambre tiene forma de

circunferencia

. Determine su masa respecto de un

diametro si la densidad en un punto

(x,y) del alambre esta dada por la funcion [4]

y=¿ x +2∨¿

4. Hallar la masa de un alambre cuya forma es de la curva

con

−4 ≤ x ≤ 0

igual al valor absoluto del producto de las coordenadas del punto. [4] Solución

ρ( x , y )=¿ x . y ∨¿

x+2,

y=¿ x +2∨¿

y=

-x-2,

y≥0

y