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Material de estudio UTB en convenio con Edupol

MÓDULO CÁLCULO APLICADO Exceso del Productor y Consumidor – Ejemplo de solución Actividad Calificable Determinar el excedente del consumidor y productor a partir de las siguientes parejas ordenadas: Función oferta: (0, 0.5) y (2, 4.5) Función demanda: (0, 4) y (2, 2) Procedimiento: 1.

Crea un archivo en Microsoft Word que contenga los siguientes ítems: a. El procedimiento matemático para establecer las funciones oferta y demanda a partir de esos puntos. b. La gráfica, en un mismo plano cartesiano, de las funciones oferta y demanda. En particular, la gráfica debe mostrar el primer cuadrante del plano cartesiano y el punto de intersección entre las funciones oferta y demanda c. Las coordenadas del punto de equilibrio y el procedimiento matemático empleado para determinarlo d. El planteamiento de la integral correspondiente al excedente del consumidor y la resolución de la misma. Es importante que en el planteamiento y resolución de la integral se establezcan las justificaciones de cada uno de los pasos que llevan a la respuesta e. El planteamiento de la integral correspondiente al excedente del productor y la resolución de la misma. Es importante que en el planteamiento y resolución de la integral se establezcan las justificaciones de cada uno de los pasos que llevan a la respuesta

SOLUCIÓN Para determinar las funciones Oferta y Demanda debemos hallar las pendientes de cada una de las rectas y utilizar la ecuación punto pendiente para determinar las expresiones algebraicas. En este caso tendríamos:

Función oferta: (0, 0.5) y (2, 4.5) 𝑚=

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4.5 − 0.5 2−0

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𝑚=

4 2

𝑚=2 Teniendo la pendiente, utilizamos el primer punto para reemplazar en la ecuación punto pendiente: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 0.5 = 2(𝑥 − 0) 𝑦 − 0.5 = 2𝑥 𝑦 = 2𝑥 + 0.5

Ahora hacemos el mismo proceso para la función demanda:

Función demanda: (0, 4) y (2, 2) 𝑚=

2−4 2−0

𝑚=

−2 2

𝑚 = −1 Y ahora, utilizando la ecuación punto pendiente tendríamos:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 4 = −1(𝑥 − 0) 𝑦 − 4 = −𝑥 𝑦 = −𝑥 + 4

¡Importante!: Las pendientes de la función oferta y demanda deben ser de signo contrario.

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Luego de esto, ya se puede hacer las gráficas de las funciones. En este caso, podemos utilizar la calculadora gráfica web que se encuentra en https://www.desmos.com/calculator

Como podemos observar en la gráfica, el punto de equilibrio nos da en las coordenadas (1.167, 2.833), y para confirmar estos valores vamos a utilizar el proceso algebraico, que en este caso implica la igualdad de las 2 ecuaciones: 2𝑥 + 0.5 = −𝑥 + 4 2𝑥 + 𝑥 = 4 − 0.5 3𝑥 = 3.5 𝑥=

3.5 3

𝑥 ≈ 1.167 Teniendo la coordenada en “x” reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones para hallar la coordenada en “y”. En este caso tendríamos: 𝑦 = −1.167 + 4 𝑦 ≈ −2.833 Uso el signo de aproximación porque no estamos colocando todos los decimales.

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Con el punto de equilibrio ya se pueden plantear las respectivas integrales.

Excedente del consumidor: En este caso este excedente hace referencia a la región R1 de la gráfica la cual se determina restando el área bajo la curva de la función demanda menos el punto de equilibrio. En este caso tendríamos: 1.167

∫

𝐷(𝑥) − 2.833 𝑑𝑥

0 1.167

∫

(−𝑥 + 4) − 2.833 𝑑𝑥

0 1.167

∫

−𝑥 + 1.167 𝑑𝑥

0

Utilizando el teorema fundamental del cálculo y las propiedades de las antiderivadas o Integrales Indefinidas tendríamos lo siguiente: 1.167

∫ 0

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−𝑥 + 1.167 𝑑𝑥 = (−

𝑥2 2

+ 1.167𝑥)

1.167 0

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Y luego reemplazamos los valores en la expresión: (−

1.1672 02 + 1.167(1.167)) − (− + 1.167(0)) 2 2 1.361889 + 1.361889) 2

(−

(−0.680944 + 1.361889) 𝟎. 𝟔𝟖𝟎𝟗𝟒𝟒 Y este sería el valor del excedente del consumidor. Excedente del productor: En el caso del excedente del productor, el planteamiento se realiza de la siguiente forma: El punto de equilibrio menos la función oferta. En este caso tendríamos lo siguiente: 1.167

∫

2.833 − 𝑂(𝑥) 𝑑𝑥

0 1.167

∫

2.833 − (2𝑥 + 0.5) 𝑑𝑥

0 1.167

∫

2.833 − 2𝑥 − 0.5 𝑑𝑥

0 1.167

∫

2.333 − 2𝑥 𝑑𝑥

0

Utilizando el teorema fundamental del cálculo y las propiedades de las antiderivadas o Integrales Indefinidas tendríamos lo siguiente: 1.167

∫

2.333 − 2𝑥 𝑑𝑥 = (2.333𝑥 − 𝑥2 )

0

1.167 0

Y luego reemplazamos los valores en la expresión: (2.333(1.167) − (1.167)2 ) − (2.333(0) − (0))

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(2.333(1.167) − (1.167)2 ) (2.722611 − 1.361889) 𝟏. 𝟑𝟔𝟎𝟕𝟐𝟐 Y este sería el valor del excedente del productor.

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