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• Zmith Vera Reyes

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Problemas de Optimización 1.- Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo. SOLUCION: Hallando el volumen máximo V■ = (80 -2x) (50-2x) V■ = 4x3 – 260x2 + 4000x Aplicando derivadas: V ’■ = 12x2 – 520x + 4000 = 0 X= 10

v

X=33.3 (no es válida: 50 – 2x X = 10

2.- Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo. SOLUCION: - Hallando su volumen máximo:

-Reemplazando en la ecuación:

RPT=> X = √

˄

y=√

3.- Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y la amplitud del sector de mayor área. SOLUCION:

-Hallando el área máxima: A sec. -Pero por dato tenemos: 2r + l = 10

 l = 10 – 2r y sabemos que: l =

.r

-Reemplazando: A sec = (10 – 2r). r = 5r – r2 -

Lo derivamos : A’ sec = 5 – 2r  RPT=> r = 5/2 m

5 – 2r = 0 l = 5m

r = 5/2

A’’= -2 < 0

4.- El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un diamante de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos diamantes formados sea mínima. SOLUCION:

Peso = x Valor del diamante= x2

y sabiendo que: K = V/x2

Formulando la ecuación: Valor= k x2 + (2 – x)2 = K (2x2 – 4x + 4) -Aplicando derivadas: V’= K ( 4x – 4)

4x – 4 = 0 X= 1

V’’ = 4K > 0 RPT => Saldrá el menor precio cuando se divida en dos partes iguales (1g)

5.- Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel. Solución: Área de la hoja: S = x y Formulando la ecuación: S = (x – 2)(y – 4)

y=

Reemplazando y: S = x Aplicando derivadas: S’ =

S’ =

Igualando a cero:

(

x=5

)

RPT=> Ancho: x – 2 => 5 – 2 = 3

˄

(

)(

) ( (

(

)

)

)

x = -1 (No es válida)

Largo: y – 4 => 10 – 4 = 6

6.- Si hay un prisma recto de base cuadrada y que el perímetro de una cara lateral es 30cm, halla las dimensiones del que tiene volumen máximo. SOLUCION: Calculando el volumen: V = X2 Y Según los datos: Perímetro = 2X + 2Y = 30

 Y = 15 – X

Sea el volumen: V = X2 Y Reemplazamos y: V= 15X2 – X3 Hallando su derivada para el volumen: V’prisma = 30X – 3X2 = 3X (10 – X) Igualamos a cero para calcular X: 3X (10 – X)  X = 10 RPT=> Dimensiones para tener volumen máximo: Largo =10

V’’= 30 - 6X < 0 Ancho = 10

Grosor = 5

7.- Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos distintos materiales. Los dos materiales tienen precios respectivamente de 2 y 3 euros por centímetro cuadrado. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el costo total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de un metro? SOLUCION: La superficie sería = X2 + Y2

Costo total: 2X2 + 3Y2

-Sea el perímetro: 4X + 4Y = 100cm

 Y= 25 – X

Y=

Formulando la ecuación: C(X)= 2X2 + 3(25 – X)2  5X2 – 150X + 1875 Derivando : C’(X) = 10X – 150 = 0

X= 15

C’’(X)= 10 > 0

RPT= Los lados deben ser 15cm y de 10cm de cada cuadrado

8.- Se desea construir un paralepipedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un lado de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes de sus lados para que el área total de sus 6 caras sea mínima. SOLUCION: Si la altura es h, el volumen de este paralepipedo es: V= 2X . X . h = 2X2h El área total: 2(2X.X) + 2(2X.h) + 2(X.h) = 4X2 + 6Xh  h= 9/2X2 Reemplazando: A(X) = 4X2 + Derivando la ecuación: A’(X)= 8X Y como: A’’(X) = 8 +

=0

 X= 3/2

>0

RPT=> El lado más largo valdrá 3, y la altura

( )

9.- Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica con tapa, de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal? SOLUCION: - Calculamos el área: A= 2 rh + 2 r2 - El volumen es:

r2h



h=

-Reemplazando h en la ecuación del área: A= 2 -Derivándolo: A’ = -

A’’ =

+ 4r >0

RPT =>

r=

√

h=

√

r

+2

=0 

+4 r 

r2 =

+2

r2

r3 =

=√

10.- Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para una región rectangular. ¿Cuáles son los valores de X y Y dimensiones del rectángulo, que hacen que el área del romboide, formado por la unión de los puntos medios de los lados, sea máxima? SOLUCION: - Sabemos que para que el área del romboide sea máxima. Su área su área debe ser la mitad que la del rectángulo. - Área del romboide: Ar = XY/2 - De acuerdo a los datos del perímetro: 2X + 2Y = 100  Y= 50 – x - Formulando la ecuación es: A(X) = 25X - Derivándolo: A’(X) = 25 – X = 0  X=25

X2 A’’(X) = -1 < 0

RPT=> Tanto el rectángulo como el romboide son cuadrados. El rectángulo tendrá lado 25; el romboide será un cuadrado de lado

√