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ARITMÉTICA J- FELMAN

MATERIAL PEDAGÓGICO PARA TRASTORNO DE LA COMUNICACIÓN

INICIACIÓN A LA ARITMÉTICA TÉCNICAS PSICOMOTORAS MANEJO DE UNIDADES

La modalidad psicomotriz de trabajo significa que el niño aprehende los conceptos aritméticos no sólo a través de la percepción visual, sino a través del movimiento y la manipulación de los objetos al crear dichas relaciones. El material que se propone consta de material concreto, gráfico y numérico, etc. que conforman set de apareamientos para que el niño construya las relaciones que se le quieren enseñar. Esta batería puede trabajarse aun con niños con Trastornos Específicos del Lenguaje y sordos, condición de que posean suficiente madurez para las matemáticas. Con respecto a las tareas con los nombres de las relaciones, aunque el niño sordo no sepa leerlas, podrá codificar su significado: las verá como símbolos gráficos de las relaciones, no como palabras. Para el caso, lo mismo da: que interesa es que capte esas relaciones. En niños sordos conviene permitir el conteo con los dedos, de la siguiente forma: con la mano cerrada, bajará un dedo por vez, para cada uno de los elementos a contar, tocándolos sucesivamente con el dedo correspondiente. De este modo, por ejemplo, si cuenta cuatro objetos, obtiene en su mano inmediatamente la imagen de cuatro dedos, lo que le sirve de señal para el concepto de cuatro, cosa que obtiene el niño oyente de la imagen sonora de la palabra cuatro cuando cuenta en voz alta. Las tarjetas que aquí se sugieren no constituyen una batería completa, ejercicio por ejercicio, conforman así una batería a la que nada haya que agregar, y que sólo debamos seguir paso a paso. Esto escapa a las posibilidades de este trabajo. Las tarjetas deben tomarse como guías para un estilo de trabajo. El educador podrá crear nuevas ejercitaciones. Para la confección de las mismas nosotros nos hemos basado en los libros más corrientes y prestigiosos de matemática moderna. En ellos el educador posee una rica fuente de sugerencias e ideas para confeccionar tarjetas adicionales.

Materiales de trabajo 1) Tarjetas con Hojas de Block 2) Cartoncitos con los números de 0 a 10 (tres juegos) 3) Botones de colores (10 para cada color) 4) Objetos de cotillón (10 para cada elemento) 5) Tres crucecitas de cartulina de color 6)

Palos de helado (10 palitos)

7) Cartoncitos con puntos, de 0 a 10 8) Tarjetas son las inscripciones: más, menos, mucho, poco, todo, nada, igual, antes, después, mayores que, menores que. 9) Discos con signos > < ASOCIACIÓN DE NÚMERO A CANTIDAD Y VICEVERSA Educador: dispone en los óvalos distintas cantidades de objetos o botones. Niño.- pone en los cuadrados los números correspondientes.

Se puede efectuar esta tarea en forma opuesta: el educador dispone los números, el niño las cantidades de objetos.

SELECCIÓN DE LA CANTIDAD CORRECTA Educador: dispone un número en el cuadrado y diversas cantidades de objetos o botones en los óvalos. Niño.- pone una cruz en el óvalo que contiene la cantidad de objetos indicada por el número.

SELECCIÓN DE NÚMERO CORRECTO Educador: dispone una cierta cantidad de objetos en el óvalo y números en los cuadraditos. Niño.- pone una cruz debajo del cuadrado donde se encuentra el número correspondiente a la cantidad indicada en el óvalo.

APAREAMIENTO MÚLTIPLE DE NÚMEROS Y CANTIDADES Educador: dispone números y cantidades en los cuadrados y óvalos respectivamente. Niño: une con palos de helado cada número con su cantidad correspondiente.

Este ejercicio puede realizarse también con números y cartoncitos que contengan puntos o que al disponer el educador los números el niño dibuje los puntos en los óvalos, o viceversa. Para este fin se puede cubrir la plancha con una lámina de celuloide transparente (MICA), para que el niño haga los puntos o los números sobre la misma. APAREAMIENTO DE CANTIDADES Educador: dispone una columna de objetos. Niño: dispone en la otra columna, tarjetitas con puntos.

Otra variación consiste en que el educador diseñe dos conjuntos de tarjetas con puntos, en los cuales cada cantidad esté dispuesta de otro modo. El educador dispondrá un conjunto de tarjetas, el niño el otro conjunto. Lo que se desea en este tipo de ejercicio es que el niño no base la noción de cantidad sobre la apariencia espacial de los elementos, sino sobre la misma cantidad. Otra variación consiste en que el educador fabrique tarjetas con conjuntos de dibujos de distintos objetos en diferente disposición espacial. El educador dispondrá las tarjetas de un objeto y el niño dispondrá las del otro.

APAREAMIENTO DE CANTIDADES Y NÚMEROS Educador: dispone los números en los cuadraditos correspondientes. Niño: dispone los objetos, tarjetas con puntos, o tarjetas con dibujos, a ambos lados del número.

Educador: dispone objetos o tarjetas con puntos. . Niño: dispone el resto de los elementos. Hasta aquí trabajaremos los números 1 a 5 (introducidos uno a uno de dos a dos, o en conjunto, según las posibilidades del niño). Una vez llegado al 5, proseguiremos hasta la última plancha (asociatividad del número). Al introducir el número 6, debemos recomenzar el trabajo a primera tarjeta hasta la última y lo mismo. Haremos con cada nuevo número que introduzcamos. Aunque acá no es específica concretamente, deberá encararse con cada nuevo número que se enseñe, las siguientes actividades. 1.- Copia del número. 2.- Dictado del número. Dado un conjunto de objetos, constatarlo y escribirle el número correspondiente. Puede utilizarse para ello las planchas propuestas y luego dibujar un conjunto de objetos y solicitar la escritura del número corresponde.

NOCIÓN DE MÁS - MENOS, MUCHO - POCO, TODO-NADA, IGUAL - IGUAL, CON APOYO CONCRETO

Educador: dispone objetos o botones y el par de tarjetas con la relación que ha decidido enseñar. Niño: dispone los números.

Educador: dispone dos hileras de objetos concretos o botones, apareados término a término. Niño: dispone números y tarjetas correspondientes.

Educador: dispone las tarjetas y sólo una de las hileras de objetos concretos o botones con su número correspondiente. Niño: propone una cantidad de objetos o botones que cumpla la relación de la tarjeta, los dispone en el óvalo correspondiente, con su número. IDEM PLANCHA ANTERIOR SIN APOYO CONCRETO Educador: dispone los dos números. Niño: dispone las tarjetas.

Otra variación: Educador: dispone un número y dos tarjetas. Niño: dispone un número que cumpla la relación indicada por la tarjeta.

NOCIÓN DE MAYOR Y MENOR CON APOYO CONCRETO Y SIGNOS > < Educador: dispone los dos conjuntos de objetos, las dos tarjetas correspondientes y sus números. Niño: dispone en el círculo el signo correspondiente.

Educador: dispone dos conjuntos de objetos. Niño: dispone tarjetas, números y signo. Educador: dispone un conjunto de objetos con su número correspondiente, las dos tarjetas y el signo. Niño: propone y dispone el conjunto que falta, con su número, ambos cumpliendo la relación que indica la tarjeta. ÍDEM PLANCHA ANTERIOR SIN APOYO CONCRETO

Educador: dispone los números. Niño: dispone tarjetas y signo.

Educador: dispone las dos tarjetas y un solo número. Niño: propone y dispone el número que falta con el signo correspondiente que cumplan la relación indicada por la tarjeta. NOCIÓN DE ANTES Y DESPUÉS CON APOYO CONCRETO

Educador: dispone los tres conjuntos de objetos o botones y el número correspondiente al conjunto central. Niño: dispone las tarjetas y números correspondientes a los conjuntos de antes y después. Educador: dispone los objetos del óvalo central con su número y las dos tarjetas. Niño: propone y dispone los conjuntos de botones u objetos y tarjetas del antes y después. Educador: dispone los conjuntos de objetos, números y tarjetas del antes y después. Niño: dispone objetos y números del conjunto central.

Este ejercicio puede ser realizado con orientación inversa de los conjuntos:

después central antes

antes central después

También puede ser realizado en posición vertical de los conjuntos: después- central-antes

antes- central- después

ÍDEM PLANCHA ANTERIOR SIN APOYO CONCRETO Educador: dispone los tres números. Niño: dispone las dos tarjetas.

Educador: dispone número central y las dos tarjetas. Niño: dispone los otros dos números. Educador: dispone números y tarjetas de antes y después. Niño: dispone número central. En sucesivos ejercicios con esta plancha conviene cambiar la ubicación de las tarjetas antes y después o de los números correspondientes, para no fijar el antes a la izquierda y el después a la derecha.

SELECCIÓN DE MAYORES QUE Y MENORES QUE

1) Educador: dispone la tarjeta de mayores que o la de menores que y un número determinado. Abajo dispone varios números entre los que inserta algunos que cumplen la relación indicada por la tarjeta. Niño: marca con cruces los números de la hilera inferior que cumplan la relación indicada en la tarjeta. 2)

Educador dispone un número arriba y los de abajo. Marca con cruces los números inferiores que cumplen la relación que se ha elegido para trabajar. Niño: dispone la tarjeta correspondiente a dicha relación.

EVOCACIÓN DE MAYORES Y MENORES

Educador: dispone un número en el cuadradito del centro. Niño: dispone números en los conjuntos de mayores y menores.

NOCIÓN DE SERIE CON APOYO CONCRETO

Educador: dispone botones, en orden ascendente descendente en sus respectivos rectángulos. Niño: dispone los con números representativos de los botones, en los cuadraditos respectivos.

Este ejercicio puede hacerse comenzando por el número mayor o menor de la serie.

NOCIÓN DE SERIE SIN APOYO CONCRETO Educador: entrega los números al niño. Niño: dispone los números en orden ascendente o descendente. Para ello, esta tarjeta puede diseñarse en orden inverso.

Esta ejercitación puede hacerse sin las planchas, sobre la mesa de trabajo, entonces, luego de ordenar los números, se podrá injertar en la serie un nuevo número o corregir un error producido por el educador fuera de la vista del niño.

ASOCIATIVIDAD DEL NÚMERO El niño reproduce el cálculo en los óvalos con botones de dos colores, para hallar la incógnita y dispone el número correspondiente. 7=0+ 7=1+ 7=2+ 7=3+ 7=4+ 7=5+ 7=6+ Manejo de las unidades, decenas y centenas Materiales 1) Tres tarjetas de 15 cmx 10 cm (aproximadamente). Cada una de las tarjetas, lleva escrita, en su parte superior, una de las siguientes leyendas: unidades, decenas, centenas . Centenas

Decenas

Unidades

2) Para las unidades, fósforos sueltos. 3) Para las decenas, atados de 10 fósforos cada uno, unidos por una banda elástica. 4) Para las centenas, cajas del tipo de las usadas en los fósforos Tres patitos, conteniendo 10 atados cada una. 5) Discos, con los números de cero a nueve. Estos materiales son los que servirán luego para ejemplificar y concretizar las 4 operaciones, como se verá en capítulos siguientes. ACTIVIDADES

Será conveniente lograr, en primer lugar, estas habilidades con unidades y decenas solamente, para recién después introducir las centenas. 1) Lectura de números representados concretamente

El educador presenta, por ejemplo, el número 325, formado de la siguiente manera: El niño leerá dicha disposición contando los conjuntos y luego apareará los cartones con los discos de números correspondientes y eventualmente los escribirá en el pizarrón o cuaderno. 2) Formación de números concretos El educador propondrá oralmente un número y el niño lo formará con los fósforos, asociando los discos correspondientes. 3) Agrupamiento de fósforos sueltos El educador presentará, por ejemplo, 27 fósforos sueltos, el niño contará grupos de 10, los atará con la banda elástica, hasta agotar todas las decenas posibles, las dispondrá en la tarjeta de las decenas, los fósforos sueltos en la tarjeta de las unidades, luego leerá el número así formado y lo escribirá con cifras.

4)

Pasaje de fósforos a cifras El educador presenta un número escrito con fósforos y el niño lo hará con los discos o lo escribirá en el cuaderno o pizarrón.

5) Pasaje de cifras a fósforos Este ejercicio es el inverso del anterior: el educador ofrece números escritos y el niño los forma con material concreto. 6)

Transformación de un número concreto en otro Dado, por ejemplo, el 328, transformarlo en el 563, pero no formándolo de nuevo, sino sobre la base del 328 y mediante agregados y quitados de fósforos, transformarlo en el número requerido.

7) Noción de mayor y menor El educador presenta dos filas de números concretamente formados y con sus discos correspondientes.

Conviene aparear las unidades del segundo número debajo de una misma decena del primer número para que quede en claro que por más que sean 5 unidades siempre son menos fósforos que una sola decena. La conclusión está a la vista: el 43 tiene más fósforos que el 25. Pero el niño deberá llegar a la conclusión de que es suficiente comparar la cifra de las decenas de ambos números, para obtener la relación de mayor/menor. Así, por ejemplo, comparando el 50 con el 47 resaltará inmediatamente que hay 5 decenas contra 4 decenas (la quinta decena del 50 tiene ante sí unidades, y por lo tanto, tiene más fósforos). Lograda esta habilidad con fósforos, se tratará de lograrla sólo con números. Con todo, cuando ya se está en esta fase el educador permite volver a la concretización toda vez que el niño se encuentre en dificultades.

8)

noción de antes-después El educador entregará formado con fósforos, digamos, el número 46. Con el mismo material el niño forma el

45 y el 47, asociando los discos correspondientes. Luego se tratará de lograr esta habilidad sólo con cifras, utilizando eventualmente el conteo para ayudarse (en el caso del ejemplo anterior el niño contará desde el 40 para lograr el número anterior al 46).

9) Noción de serie Quizá resulte difícil efectuar este ejercicio con los objetos concretos. A esta altura del trabajo ya se puede reemplazarlos por tarjetas con dibujos representativos de los mismos. Así, por ejemplo, si tuviera que seriar los números 24-73-40-18, ordenará las tarjetas con los discos correspondientes.

Se trabajará luego esta habilidad sólo con números. Está muy claro que antes de acceder el niño al manejo de un nuevo orden, deberá automatizar el conteo básico dentro de dicho orden. Así, al manejar sólo las

8 24

40

unidades, deberá poder contar fluidamente de 1 a 10. Al comenzar las decenas, deberá automatizar el conteo de 10 en 10, desde el 10 al 100, y cuando acceda a las centenas, contará de 100 en 100 desde el 100 hasta el 1000.

10) Ejercicios adicionales Aunque ya el lector podrá tomar ideas para nuevos ejercicios del parágrafo 13 (manejo de las unidades), mencionaremos algunas tareas adicionales: a) Formado un número, encontrar otro mayor, u otro menor.

b) Dados dos números , uno mayor y otro menor, igualarlos, agregando al que le falta o quitándole al que le sobre. De la misma manera se puede transformar la relación inicial en su contraria: el menor debe ser mayor y viceversa. c) Dar el antes y el después de un número y encontrar el central. d) Dados los cartoncitos con dibujos de números de dos cifras, encontrar todos los que son menores de uno determinado y todos los mayores que él. e) Con este mismo ejercicio se puede encontrar, entre los menores, "el que está más cerca de dicho número" pues esta actividad es muy necesaria para la división, según puede verse en el capítulo de Las Cuatro Operaciones Fundamentales. f.) Dada una serie de números, injertar uno nuevo en la serie. g.) Dada una serie de números, fuera de la vista del niño el educador produce un error, el niño deberá ubicarlo y corregirlo. h.) Dadas dos series de números, ubicar una serie dentro de la otra. Demás está decir que también en estos ejercicios adicionales se trabajará concretamente y luego sólo con cifras. LAS CUATRO OPERACIONES FUNDAMENTALES

Suma y resta a. Comprensión de la operación El lector podrá referirse al parágrafo 13 (manejo de las unidades) b. Mecanismos I

- Sin compensación de órdenes

Mientras las operaciones se mantienen en las unidades no hay mayores problemas para enseñarlas, salvo las dos posiciones en que pueden aparecer: 3+4+2= 3 4 +2

Nosotros preferimos pasar lo más pronto posible a la forma vertical que es la que dominará en las demás operaciones. La concretización es por demás simple: el niño dispondrá 3 fósforos, luego 4, luego 2, y finalmente los contará a todos. Más adelante conviene que el niño disponga, en una suma de dos números, sólo los fósforos del segundo, los cuales contará como secuencias del primero. Por ejemplo: 3 +4

////

los contará: 4, 5, 6, 7

En cuanto a la resta, 8—3 el niño dispondrá ocho fósforos y quitará 3. Más adelante podrá contar de 3 a 8 y obtendrá en sus dedos, el 5 como resultado. II

- Cuando es necesario compensar órdenes

Lo interesante de este trabajo es cuando hay que efectuar compensación de órdenes. Daremos un ejemplo con centenas incluidas, aunque se supone que el educador logrará esta habilidad con unidades y decenas, con y sin material concreto y recién entonces pasará al trabajo con centenas, con apoyo concreto y luego sin él. Los materiales a utilizar ya fueron vistos en el parágrafo 14 (manejo de las unidades, decenas, centenas).

328 + 135 463 espacios para los resultados

Como se verá, los materiales pueden ser simplificados cuando entremos al manejo de centenas: en vez de utilizar tarjetas separadas, se puede diseñar una plancha más grande en la que se dibujan los rectángulos correspondientes a unidades , decenas y centenas de los sumandos y del resultado. La hilera del resultado está separada de las de los sumandos mediante una línea gruesa, de modo que todo el conjunto impresiona gráficamente como una suma como las que hará el niño más adelante sin apoyo concreto. Primero se suman las unidades, cosa que nos dará 13. Los 13 fósforos descansarán sobre el cartón correspondiente a las unidades del resultado. Pero como sucede en todos los órdenes (nunca puede haber más de 9 objetos en un cartón, sean unidades, decenas o centenas) se separan las 10 primeras unidades y se forma con ellas una nueva decena mediante una banda elástica, que se transportará en la parte superior de la columna de las decenas, de modo que así se concretizará aquello de "llevarse un uno al número de al lado". Del mismo modo se procede con la columna de las decenas y de las centenas. Se prepararán los cálculos de antemano para que no aparezcan en el resultado las unidades de mil. Lo mismo vale decir cuando se trabaja sólo con unidades y decenas: se procurará que en el resultado no aparezcan las centenas. La siguiente observación es válida para las cuatro operaciones. En primer lugar se realizan sólo con fósforos. Luego en forma mixta: con fósforos y números simultáneamente, haciéndole ver al niño que existe una correspondencia real entre cada operación parcial (de columna) y su representación numérica: esto es, que si 8 + 5 = 13, pongo 3 y me llevo 1, esto es realizado con fósforos e inmediatamente después con números en el cuaderno o pizarrón. Finalmente se realizará sólo con números.

Hemos presentado el caso más difícil de la resta: dos compensaciones de órdenes seguidas y un minuendo cero que debe transformarse dos veces. En este sentido conviene tomar en consideración:

A.

El niño siempre deberá observar atentamente si el minuendo es mayor que el sustraendo ("al 5 le puedo sacar 8"?).

B.

Si puede conseguir un préstamos del orden inmediato superior debe siempre marcar con números todas las

transformaciones hechas, o sea agregar un 1 al minuendo que lo necesita, e inmediatamente después tachar el minuendo que lo ha dado en préstamo y escribirle encima la cifra inmediatamente inferior:

-2 7 Esto debe hacerse rápida y automáticamente pues muchas veces los niños olvidan que han rebajado en una unidad al minuendo vecino y por lo tanto cometen un error en la operación. En el caso de que el minuendo vecino sea un cero (como en el ejemplo) se volverá a pedir un uno al orden de las centenas, por lo que deberá rebajarse éstas en una unidad, y agregarle un uno al cero que de hecho queda transformado en 10. Ahora sí, el cero que ya es 10 puede prestarle un uno a las unidades. El niño debe comprender muy bien que el cero sufre una doble transformación: primero es diez y luego es nueve. Pues algunos maestros prefieren enseñar directamente la transformación del cero en nueve y esto casi siempre se logra sin realmente comprender por qué. Esto podrá hacerse más adelante cuando el niño comprende el porqué de dicha simplificación:

Más adelante aún se verá si el niño es capaz de realizar todas estas compensaciones mentalmente sin necesidad de anotarlas. C. Ahora sí, el niño puede realizar su primera resta parcial, y trasladará el primer resto a la tarjeta correspondiente. D. Se procede en forma similar con todas las demás restas parciales.

Hemos presentado como ejemplo el caso más difícil de la resta porque el niño debe producir un cambio en todos los minuendos para poder efectuar apenas la primera resta parcial. Es un caso muy difícil y complicado y por eso debe buscarse una base de buena comprensión que justifique el porqué de todas estas transformaciones numéricas. De aquí la importancia prolongar el manipuleo concreto con fósforos todo el tiempo que sea necesario. Por supuesto que en otros casos no es necesario transformar todos los minuendos sino sólo aquellos que sean necesarios para la resta parcial que preocupa al niño.

Este cambio es necesario para efectuar el 3 — 6. Evidentemente que cuando debamos proceder a restar 4 — 7 deberemos también realizar una nueva compensación, pero esto podrá ser hecho sólo después que se obtenga el primer resto parcial: 13 — 6 = 7. Sin embargo, a muchos niños les resulta más fácil, antes de iniciar la resta, controlar cada una de las cifras del minuendo, efectuar todas las transformaciones necesarias (aunque no sean simultáneas) y luego efectuar la resta, sin necesidad ya de distraerse entre compensaciones y restas. Aquí, en la resta, vale la misma observación hecha para con la suma: en un primer tiempo se trabaja con fósforos, luego con fósforos y números simultáneamente, y finalmente sólo con números. En la resta con compensación de órdenes se deberán contemplar los diversos casos en que ésta se presenta, pues el niño puede automatizar erróneamente un caso (por falta de variación en el trabajo) y transferirlo a todos los demás. Veremos en el cuadro siguiente la secuencia conveniente a ser trabajada en la práctica de la compensación graduada en orden de dificultad.

fijación de tablas de sumar y restar

I - Tablas de sumar separadas

Materiales: Para cada tabla se necesitarán once tarjetas graficando cada una de las sumas de dicha tabla:

Así se diseñarán el 0 + 2 1+2

2+2 3+2 4 + 2 hasta el 10 + 2 3 + 2 11 cartelitos, representando las sumas de la tabla: 11 discos representando los resultados: Es conveniente mantener los 33 elementos de cada tabla en sobres separados para cada tabla. Técnicas de fijación 1. Aparear tarjetas con carteles y discos 2. Aparear tarjetas con discos 3. Aparear carteles con discos

viceversa

En orden de tabla y en desorden. Siempre deberá el niño leer en voz alta lo representado en carteles, tarjetas y discos, para fijar el engrama auditivo de las tablas.

4. Ante los carteles el niño deberá leerlos y decir oralmente los resultados y escribirlos 5. El educador dirá oralmente una suma

En orden de tabla y en desorden

y el niño dirá oralmente el resultado

Mescla de tablas de sumar Daremos en primer lugar el ejemplo de una plancha y luego la manera de estructurarla.

Materiales 84 planchas de papel cansón Nro. 5 rectángulos con los números de O a 10. Disco con los números de O a 20. Técnica de trabajo El número del ángulo superior derecho de la plancha indica el número de orden de ésta dentro del conjunto de todas ellas. Facilita la reubicación de la plancha por parte del niño o el educador. Las cifras en el ángulo superior izquierdo indican qué tablas se están mezclando en dicha plancha: i este caso las operaciones de las tablas del 3 y del 2. Facilita encontrar las planchas que interesa trabajar según las tablas que se quiera automatizar mezcladas. Lo que el niño debe hacer es disponer, debajo de cada dibujo con que concretiza una operación de suma, los rectángulos correspondientes los sumandos y el disco que indica el total de la misma. La sistemática para la confección de dichas planchas < la siguiente: Mezclas de tablas del 2-1= 4 planchas 3-2 = 4planchas 3-2-1 = 6 planchas 4-3 = 4 planchas 4-3-2 = 6 planchas 6-4 = 4 planchas 5-4-3 = 6 planchas 6-5 = 4 planchas 6-5-4 = 6 planchas 7-6 = 4 planchas 7-6-5 = 6 planchas 8-7 = 4 planchas

8-7-6 = 6 planchas 9-8 = 4 planchas 9-8-7 = 6 planchas 10-9 =4 planchas 10-9-8 = 6 planchas TOTAL 84 planchas Aparte podrán confeccionarse planchas con mezclas cualesquiera: cada plancha podrá contener operaciones de 6 tablas diferentes. Cada grupo de planchas que contienen las mezclas de las mismas tablas (por ejemplo las 6 planchas de mezcla de tablas del 3, 2 y 1) presentan todas las operaciones posibles dentro de dichas tablas. El niño que ha terminado de fijar, por ejemplo, la tabla del + 3, inmediatamente practicará con las planchas que mezclan: 3 — 2 y 3 — 2 — l. En primer término lo hará con planchas como la vista más arriba, que ofrecen apoyo concreto y luego lo hará con otras planchas similares, pero sin apoyo concreto, estructuradas de idéntico modo, tal como se ha descrito más arriba. Más adelante se ofrece una figura con este nuevo tipo de plancha, que ya le exige la completa mentalización de las operaciones. En tercer término el educador preguntará esas mismas operaciones en forma verbal y el niño las contestará también sólo en forma verbal. A medida que se fijan nuevas tablas se repasan las nuevas mezclas en idéntica forma. En total, son 84 planchas con apoyo concreto y 84 sin él. En verdad es mucho material para confeccionar. Pero la ventaja de un equipo formado es que de todos modos su diseño es muy simple pues sólo requiere la escritura de números y el dibujo de gráficos muy sencillos y por otra parte evita la escritura reiterada de muchas operaciones en el cuaderno o en el pizarrón. Además, el material ya está preparado y graduado de antemano y por lo tanto no es necesario improvisar. El niño acepta más fácilmente este tipo de trabajo pues su presentación en lotería tiene más carácter de juego. Mucho más adelante el niño aprenderá la transferencia de dichas tablas , o sea que si : 3 + 2

= 58 + 7 =

15

13+2 23+2 33+2 42+2

=15 =25 =35 =45

18 + 7 = 25 28 + 7 = 35 38 + 7 = 45 48 + 7 = 55 etc., etc.

para lo cual se podrá utilizar el material concreto ya visto para unidades y decenas y luego ir quitándolo paulatinamente. Transferida más de una tabla se mezclarán las transferencias de varias tablas simultáneamente.

4+3=

6+3=

2+2=

1+2=

5+2=

3+2=

EJEMPLO DE PLANCHA DE MEZCLA DE TABLAS DE SUMAR SIN APOYO CONCRETO. SE UTILIZAN LOS DISCOS DE CERO A VEINTE PARA COMPLETAR LAS OPERACIONES.

III

- Tablas de restar separadas

Para cada tabla de restar se necesitarán:

11 tarjetas con la graficación de cada operación

11 carteles con la operación indicada con números

5-2

•

discos con los números de cero a 10.

Técnicas de Fijación Son idénticas a las ya vistas para fijación de tablas de sumar. IV - Mezcla de tablas de restar Se confeccionan 84 tablas con apoyo gráfico y otras tantas sin dicho apoyo, con idéntica estructura como lo vimos refiriéndonos a la suma. También la transferencia de las tablas de restar se trabajará como se vio más arriba. Si se desea repasar suma y resta conjuntamente se pueden trabajar las planchas de mezcla de tablas de sumar y restar en forma simultánea.

La multiplicación a. Comprensión de la multiplicación Materiales: 1. Plancha tamaño'' oficio'' (2 2 x 34 cm) para el conjunto total de la operación.

2. Conjuntos recortados y contorneados para la noción de veces

3. Botones, garbanzos, fósforos sueltos, etc. 4. Cartoncitos o tarjetones para registrar las operaciones numéricamente.

X

= 0

5. Rectángulos con los números de O a 10. 6. Discos con los 43 productos posibles en las 10 tablas. Los materiales "5" y "6" se usarán también más adelante en la mezcla de tablas de multiplicación.

Actividades a)

Ofrecer una plancha con disposición de conjuntos y elementos que el niño deberá traducir a números en el tarjetón.

x

b)

=

4

2

8

Ofrecer una operación en el tarjetón, que el niño deberá componer sobre la plancha, con los conjuntos recortados y botones, por ejemplo:

3x4=O

c)

Dada una operación de multiplicar, buscar la inversa en cuanto al orden de presentación de lo s factores, para comprobar la invariabilidad del resultado . 3X5= 5X3=

d) Una vez introducida la división en su fase de comprensión se podrá trabajar la reversibilidad de ambas operaciones, o sea que si 5x3=

15 15 / 5 = 3 15 / 3 = 5

Para ello, la división debe ser enseñada como la resta sucesiva: 15/3 = 15 — 3 — 3 — 3 — 3 — 3 = 0 se restó el 3, cinco veces (ver gráfico en página siguiente). Irá sacando de a 3 botones y disponiéndolos en conjuntos para verificar que puede hacerlo 5 veces. Lo mismo hará con respecto a 15/5 = 3

3X5=

b.

%

=

Concretización del mecanismo de multiplicar

En un principio se introducirán operaciones que no exijan la utilización de órdenes no estudiados (las unidades de mil). Tomemos, por ejemplo, la operación 327

x 3 Se confeccionará una plancha grande, donde ya figuran diseñados los espacios rectangulares para unidades, decenas y centenas. Estos espacios se completarán con los materiales correspondientes. El multiplicador puede figurar como simple cifra numérica. También estarán diseñados los espacios rectangulares para ubicar los materiales concretos correspondientes al resultado.

Tenemos que poner 3 veces el siete. Cuánto es 3 x7 ? 21. Vamos a poner 21 fósforos en el cartón de las unidades. Aquí el niño debe advertir que en las unidades no puede poner más que 9, y que por lo tanto debe formar con los fósforos tantas decenas como sea posible (en este caso 2) que se verán puestas arriba del cartón de las decenas del multiplicando. Esto equivale a decir: "3 x 7 = 21, pongo 1 y me llevo 2". Aunque no es necesario estereotipar esta fórmula, el niño puede decir dejo un fósforo y llevo dos paquetitos (o decenas) para arriba. Es importante que el niño comprenda siempre qué es "lo que lleva hacia arriba", fósforos o paquetitos. b.

Hará también lo mismo con respecto a 3 x 2 = 6, más estos dos paquetitos que puse arriba, son 8. Buscará de la caja de materiales 6 decenas, y además les agregará las dos que puso arriba, y ubicará todo en el cartón de las decenas del resultado.

c. Tratará de igual modo el resto de las cifras del multiplicando. Aquí vale hacer las mismas observaciones hechas en operaciones anteriores. Primero se trabajará

únicamente con fósforos, luego con fósforos y cifras y finalmente en forma exclusiva con cifras. Por supuesto que el educador logrará esta habilidad primero sólo con unidades y decenas y más adelante adjuntará al trabajo las centenas. El educador y las posibilidades del niño marcarán cuánto tiempo debe éste permanecer operando sólo con fósforos. Hay niños que sólo lo necesitan hacer durante dos o tres sesiones de trabajo hasta lograr un manejo totalmente independiente y automático de la tarea (éste es el criterio para pasar a la nueva etapa). Otros necesitan mucho más tiempo. Lo mismo sucede para pasar del trabajo mixto (fósforos y cifras) al trabajo exclusivo con cifras. No se pueden dar términos precisos de tiempo. El criterio que nos indica cuándo

pasar a una nueva etapa, es únicamente las posibilidades del niño de realizar las tareas en forma automática, sin vacilaciones, sin ayuda por parte del educador y sin errores en cuanto a la captación de la estructura de la operación. Una etapa puede durar dos sesiones o diez. Todo depende de las posibilidades del niño y el educador debe siempre tomar en cuenta este factor. Cuando se trabaja en forma mixta, el educador decidirá cuál de los dos procedimientos conviene adoptar: El niño realiza toda la operación con fósforos y luego repite la misma sólo con cifras. El educador ofrece señales verbales adecuadas para hacerle recordar al niño las relaciones y cifras obtenidas con fósforos, para que las aplique cuando manipula sólo cifras. (Por ejemplo: 3x7. ¿Recordás cuántos fósforos eran? Muy bien: 21. ¿y qué hiciste con las 21 unidades? quedaron todas juntas? NO. Aquí pusiste sólo una, y llevaste ... ¿cuántas decenas llevaste acá arriba?...) El niño hace sólo una multiplicación parcial con fósforos y luego su equivalente con cifras. Por ejemplo resuelve el 3 x 7 con fósforos hasta obtener el resultado y la compensación de órdenes subsiguientes y luego hace exactamente lo mismo con las cifras en su cuaderno o pizarrón. Procede de igual modo con el 3 x 2 y así sucesivamente. El educador verá cuál de las dos formas es más conveniente. O quizá convenga asociar ambas: primero el niño practicará operaciones mixtas de la segunda manera y luego de la primera forma.

Fijación de tablas de multiplicación

I- Tablas de multiplicar separadas Materiales

Para cada tabla se necesitan:

11 tarjetas con la concretización de las operaciones de la tabla.

2X3 11 carteles con la operación indicada con cifras.

11 discos con los resultados de las operaciones de la tabla.

2

Técnicas de trabajo

4

6

8

En orden de tabla y en desorden. El niño lee en voz alta los apareamientos para fijación de engramas auditivos.

9. Obtener la evocación de los productos en forma escrita, en orden de tabla y en desorden. 2X5=? 2X0=? 2X8=? 2X6=? 10. Trabajo de tablas, exclusivamente oral, en orden de tabla y en desorden. II - Mezcla de tablas de multiplicar Daremos un ejemplo de plancha con apoyo concreto. La estructuración de todo este trabajo como así también su técnica son idénticas a las vistas con respecto a la suma. 2-3

III - Loterías de tablas de multiplicar Este es otro recurso adicional para fijar las tablas de multiplicación que nos fuera sugerido por la profesora Irma A. de Mendolía. El juego consta de cartones y fichas.

Los cartones contienen los productos y las fichas las operaciones de multiplicación de todas las tablas. Conviene dividir este juego. La primera serie tendrá los cartones y las fichas en fondo rosado y dedicados únicamente a las tablas del 1 al 6, mientras que la otra serie, amarilla de fondo por ejemplo, contendrá en sus cartones y fichas las tablas del 6 al 10. En los cartones los productos están ordenados de modo que cada columna de ellos pertenece a una tabla. En la serie rosada, la primera columna trae productos de la tabla del 1, la segunda de la tabla del 2, etc., mientras que en la serie amarilla, la primera columna trae productos de la tabla del 6, la segunda de la tabla del 7 y así sucesivamente. Esta ordenación facilita el hallazgo de los productos por parte del niño. La división de este juego en dos series persigue la finalidad de facilitar su uso lo

más pronto posible. Si el niño sólo sabe las primeras 6 tablas ya puede jugar con esta lotería, pues el educador selecciona cartones y fichas rosadas, mientras que si ya terminó las 10 tablas y sus mezclas puede abordar toda la lotería completa. Existe otra variación: se puede establecer esta misma lotería pero en sentido inverso. En este caso los cartones contienen las operaciones de las tablas y las fichas los productos. El juego es idéntico a la lotería. Pueden jugar el educador con su alumno o varios niños entre sí. división a.) Comprensión de la división

10 XXXXX

XXXXX

5

5

Como hemos visto en el parágrafo referido a la multiplicación, la división será enseñada como abreviación de la resta. Esto es que si 10: 2 = 5, para la forma tradicional de dividir se representaría así:

Considerándola como abreviación de la resta sería

10 XX

2

XX

2

XX

2 5

XX

XX

2

2

Este 5 es el resultado de la división: es la cantidad de veces que se puede restar el divisor del dividendo. Se puede objetar que con este método no se puede ejemplificar el concepto de repartir un conjunto de objetos entre otro conjunto de elementos. Supongamos por ejemplo que se quiere repartir 20 caramelos entre 6 niños. Pondremos los 20 caramelos sobre la mesa y una fila de 5 niños representados por figuritas, dibujos o muñequitos. Plantearemos el problema de dividir esos caramelos entre los 5 niños. Sacaremos 5 caramelos y los dispondremos frente a los niños, uno para cada uno. Sacaremos nuevamente otro grupo de 5 caramelos y procederemos con ellos de igual manera. Y así seguimos restando grupos de 5 caramelos hasta agotarlos todos. Finalmente, frente a cada niño quedarán alineados 4 caramelos. Este es el resultado de la operación. Este mismo ejemplo nos permite plantear las dos formas en que se puede presentar la división o repartición: tengo 20 caramelos para 5 niños. ¿Cuántos caramelos le tocará a cada niño? Resta sucesiva: Tengo 20 caramelos. Le di 4 a cada niño. ¿A cuántos niños le di caramelos? Estos dos ejemplos nos indican que el niño también debe llegar a comprender que si 20:5 = 4, 20:4 = 5. En el punto referido a la comprensión de la multiplicación (parágrafo 17, a) se encuentran actividades adicionales para la comprensión de la división.

b.

Concretización de la división

Esta forma de concretizar la división nos fue sugerida por el profesor Jorge Fasce, en un curso sobre matemática moderna que dictara en la Casa del Normalista en 1969. Nosotros hemos encontrado que el mismo tratamiento puede ser positivo para el resto de las operaciones, como ya lo hemos visto más arriba. Como esta técnica puede resultar a primera vista algo complicada, desarrollaremos todo un ejercicio de división completo, en todos los pasos. Supongamos que debemos dividir 123: 5.

Primer paso Haga ver la caja de las centenas.

PODEMOS SACAR (O RESTAR) DE AQUÍ 5 CAJAS (O CENTENAS) ¿NO?

Segundo paso

ENTONCESVAMOSAJUNTARCENTENASCON LASDECENAS(OATADOS). Abra la caja y vuelque los 10 atados en el cartón de las decenas. ¿VES? AHORA TENEMOS 12 ATADOS. TOMAMOS ENTONCES 12 ATADOS PARA DIVIDIRLOS POR CINCO Junte el 1 y el 2 del dividendo formando el 12, trazando un arco por arriba de ambas cifras.

Tercer paso CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

AHORA VAMOS A SACAR (O RESTAR) CONJUNTOS DE 5 DECENAS. Saque conjuntos de 6 decenas y dispóngalos en el lugar asignado para el cociente, de modo que se note que son 2 veces 6 decenas. ¿CUÁNTOS CONJUNTOS DE 5 DECENAS SACAMOS? (o: ¿CUANTAS VECES SACAMOS 5 PAQUETES?) iDOS! ¿VISTE? DE LOS 12 ATADOS QUE HABÍA AQUÍ (demostrar) SACAMOS 10 PARA FORMAR LOS 2 CONJUNTOS DE 5. Al 12 réstele 10, obteniendo 2 como resto. FÍJATE ¿CUANTAS DECENAS SOBRARON? 2.

Cuarto paso

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

¿PODEMOS SACAR 5 ATADOS DE ESTOS DOS QUE QUEDARON? NO. Aquí conviene recalcar que siempre este resto será menor que el divisor. (2 < 5). Quinto paso

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

ENTONCES VAMOS A JUNTAR LOS ATADOS CON LOS FÓSFOROS SUELTOS (UNIDADES) Abra los atados y ponga los 20 fósforos junto a los 3 de la tarjeta de las unidades. Baje el 3 ai lado del resto parcial 2.

¿VISTE? AHORA TENEMOS 23 FÓSFOROS SUELTOS (UNIDADES)

Sexto paso CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

AHORA VAMOS A SACAR CONJUNTOS DE 5 FÓSFOROS SUELTOS Traslade 4 conjuntos de 5 fósforos cada uno al lugar destinado (al lado de los 2 conjuntos de 5 decenas c/u) CUANTOS FOSFOROS PUDIMOS SACAR? (o: ¿CUÁNTAS VECES SACAMOS 5 UNIDADES?) ¡CUATRO! Escriba 4 en el cociente. ¿VISTE? DE LOS 23 FÓSFOROS QUE HABÍA ACÁ (señalando al cartón de las unidades) SACAMOS 20 PARA FORMAR LOS 4 CONJUNTOS. Reste 20 de 23, obteniendo 3 de resto. ¿VISTE? SOBRARON 3 FÓSFOROS. YA NO PODEMOS DIVIDIR MAS. ENTONCES 123 : 5 = 24 Y SOBRAN 3 QUE YA NO SE PUEDEN DIVIDIR MAS POR 5. Acá conviene también recalcar que este tres siempre debe ser menor que el divisor. Llegará el momento en que el niño deberá utilizar las tablas de multiplicar para utilizarlas en la división, pues no siempre podrá depender de la resta acumulativa ni de la concretización. Supongamos que debemos dividir

¿Cuántas veces podemos sacar el 4 del 18? {o: ¿cuántas veces entra el 4 en 18?). Veamos la tabla del 4. Para tal efecto se confeccionarán tablitas en cartulina, en las

que el multiplicador figura en color rojo, para rastrear fácilmente las veces que se necesita dividir el número dado. 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

X X X X X X X X X X X

0 = 1 ~ 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 10 =

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

¿Ves? 4 x 4 = 16. El cuatro entrará 4 veces. Ponga un 4 en el cociente. Hágale ver al niño que 4 x 5 no puede ser porque da 20 y sólo tenemos 18 para dividir. Es útil hacerle ver que tampoco 4 x 3 sirve pues en ese caso sobraría un resto parcial de 6, cosa incorrecta pues el resto siempre debe ser menor que el divisor. Inclusive podemos realizar esta operación errada (con números o con fósforos) para ::: roborar el error. Todos estos tanteos son útiles pues una vez retiradas estas tablitas, el niño al averiguar cuál es el cociente debe optar por autorecitarse la tabla de memoria y entonces le conviene recitarla hasta el primer resultado mayor que el dividendo en cuestión, para optar por el resultado anterior a la última operación pronunciada. Así, por ejemplo, al llegar al 4 x 5 = 20, ve que no puede y opta por el 4 x 4 = 16,o sea que el cociente buscado es el 4. Más adelante ese mismo recurso puede ser usado (pero con cuentas escritas, ya no con recitado de tablas) cuando el divisor tiene 2 o más cifras. Por ejemplo:

Este recurso tiene la ventaja de que las multiplicaciones "tanteo" hechas con el 12 ya le sirven para ser usadas en las siguientes divisiones parciales cuando baje nuevas cifras del dividendo. Así, ante el 98, ya tiene ante sí, efectuados los tanteos 12x2, 12 x 3 y 12 x 4. Sólo deberá proseguir con el 12 x 5, 12 x 6, etc., hasta encontrar el cociente conveniente. En divisiones con dividendos mayores, muchas veces con

hallar las dos primeras cifras del cociente ya es suficiente para ubicar las demás cifras del cociente en forma sumamente rápida pues ya están resueltos todos los tanteos y lo único que debe hacer el niño es controlar los resultados de los tanteos para ver el igual o inmediatamente inferior al dividendo parcial que interesa. Hay otro recurso más fácil para la obtención de la primera cifra del cociente. Supongamos la misma operación: 458: 12. El primer tanteo a efectuar sería el 12 x 5. Si este resultado es muy inferior para restarlo de las cifras elegidas para comenzar la división, se tantea con el 12 x 6, y así sucesivamente hasta lograr el número aceptable, mientras que si el 12 x 5 nos diera un resultado demasiado grande (o mayor simplemente) se tantea con el 12 x 4 y así sucesivamente. De este modo se eliminan, de los 9 tanteos posibles, por lo menos cuatro de ellos. Más adelante el niño podrá hallar el primer tanteo, en forma más aproximada, como se enseña en muchas escuelas. Por ejemplo: 657 23 simplemente verá cuántas veces el dos del divisor entra en el 6 del cociente, o sea 3 veces, y por lo tanto procederá con 23 x 3 = 69. Como obtuvo una cifra mayor que el 65, intentará con el 23 x 2, etc. Como hemos visto en toda esta técnica de la división, aquí no se utiliza la forma tradicional: la multiplicación del divisor por una cifra del cociente y su inmediata resta mental de las cifras correspondientes del dividendo, como sería:

123

5

2

2

2 x 5 = 10, al 12 quedan 2

Utilizaremos, en cambio, la forma europea, que consiste en dividir esta operación en dos períodos: multiplicar el divisor por el cociente, y resta real de dicho resultado del dividendo. Esto se justifica por varios hechos, aunque de por sí hay que reconocer que es una técnica que puede tomar tiempo adicional en su ejecución. Se evitan cadenas excesivamente largas y mentales de operaciones, cosa que en niños con problemas de aprendizaje suele ser un escollo bastante severo. El sistema de tanteos en la búsqueda del cociente es más seguro: si bien se comienza por un primer momento de adivinación, al dirigirse al dividendo para restarle la cifra encontrada, se lo hace con la cifra definitiva, sin posibilidades de equivocarse y tener que tachar o borrar cifras y volver a hacer nuevamente operaciones mentales sobre el mismo grupo de cifras y en el mismo espacio de papel. No es necesario aprender tablas de dividir. Este sistema trabaja sólo con las tablas de multiplicar. GRADUACIÓN DE DIFICULTADES EN LA DIVISIÓN UNA SOLA CIFRA EN EL DIVISOR

Todos los casos mencionados preparan las dificultades que se pueden presentar en la división con dos cifras en el divisor y que pueden ser: 1. Hay que tomar 3 cifras del dividendo: 364 [ 85 2. Hay que poner ceros en el cociente: