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Cálculo aplicado a la física 2 Repaso de Geometría Semana 16 – Sesión 01

LOGROS ✓ Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve ejercicios que involucran las funciones trigonométricas.

AGENDA ✓ Funciones trigonométricas. ✓ Identidades trigonométricas. ✓ Ejercicios. ✓ Cierre.

RECORDANDO

Razones Trigonométricas

Las razones trigonométricas se utilizan fundamentalmente en la solución de triángulos rectángulos, recordando que todo triangulo rectángulo tiene un ángulo de 90° y sus ángulos interiores suman 180° . 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2

B 𝛽

𝑐=

c

a

𝛼 C

b

A

𝑎2 + 𝑏 2

Identidades Trigonométricas Las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las razones o relaciones entre sus lados. Nombre de la función seno coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

Razón o relación 𝐶𝑂 𝐻 𝐶𝐴 𝐻 𝐶𝑂 𝐶𝐴 𝐶𝐴 𝐶𝑂 𝐻 𝐶𝐴 𝐻 𝐶𝑂

Identidades Trigonométricas 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

1 𝑐𝑠𝑐𝜃

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃=1

1 𝑠𝑒𝑐𝜃

1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃

1 𝑐𝑜𝑠𝑐𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑠𝑒𝑛(2θ) = 2senθ𝑐𝑜𝑠θ

1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃

1 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃 ± 𝛽 = senθ𝑐𝑜𝑠𝛽 ± sen𝛽𝑐𝑜𝑠θ

𝑐𝑜𝑠𝜃 1 𝑐𝑜𝑡𝜃 = = 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠 𝜃 ± 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠θ𝑐𝑜𝑠𝛽 ∓ senθ𝑠𝑒𝑛𝛽

𝑠𝑒𝑐𝜃 =

𝑠𝑒𝑛𝜃 1 𝑡𝑎𝑔𝜃 = = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑡𝜃

𝑡𝑎𝑛𝜃 ± 𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑡𝑎𝑛 𝜃 ± 𝛽 = 1 ∓ 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛𝛽

𝑐𝑜𝑠 2θ = 𝑐𝑜𝑠 2 θ − 𝑠𝑒𝑛2 θ 𝑐𝑜𝑠 2θ = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2 θ 𝑐𝑜𝑠 2θ = 2𝑐𝑜𝑠 2 θ − 1 2𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑡𝑎𝑛 2θ = 1 − 𝑡𝑎𝑛2 𝜃

Identidades Trigonométricas

𝜃 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 sen = ± 2 2 𝜃 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 tan = = 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 cos = ± 2 2

𝜃 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 tan = ± 2 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑒𝑛 −𝜃 = −𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠 −𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃+𝛽 𝜃−𝛽 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛 cos( ) 2 2

𝜃−𝛽 𝜃+𝛽 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛 cos( ) 2 2

𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠

𝜃+𝛽 𝜃−𝛽 cos( ) 2 2

Identidades Trigonométricas 𝜃+𝛽 𝜃−𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝛽 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑛( ) 2 2

𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝛽 =

1 cos 𝜃 − 𝛽 − cos(𝜃 + 𝛽) 2

𝑠𝑒𝑛(𝜋 ± 𝜃) = ∓𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠 𝜋 ± 𝜃 = −𝑐𝑜𝑠𝜃

1 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝛽 = cos 𝜃 − 𝛽 + cos(𝜃 + 𝛽) 2

𝜋 𝑠𝑒𝑛( − 𝜃) = 𝑐𝑜𝑠𝜃 2

1 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝛽 = sen 𝜃 + 𝛽 + 𝑠𝑖𝑛(𝜃 − 𝛽) 2

𝜋 𝑐𝑜𝑠( − 𝜃) = 𝑠𝑒𝑛𝜃 2

Ejemplo Un rayo de luz incide en un prisma de índice n = 1,48 sumergido en aire y con una de sus caras espejadas, tal como se indica en la figura. Determine: a) El valor del ángulo de incidencia 𝜀1 para que el rayo emerja del prisma perpendicular a la base del prisma. b) La desviación angular 𝛿 entre el rayo incidente y el emergente. c) ¿Es posible realizar la misma trayectoria sin que la segunda superficie del prisma esté espejada?

NO OLVIDAR! ✓ Las funciones trigonométricas y sus propiedades nos permitirán describir fenómenos ópticos.

Recuerda

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA ✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I. México. Ed. Thomson. ✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física Universitaria Volumen I Undécima Edición. México. Pearson Educación. COMPLEMENTARIA ✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. México Ed. Reverté .

✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo interamericano. ✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen I. México. Ed. Continental.