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• Marco Antonio Benavides

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Ingeniería Sísmica Sesión 4 : Modelos Dinámicos

Escuela profesional de Ingeniería Civil

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO FACULTAD DE INGENIERIA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

CURSO INGENIERÍA SISMICA Modelos Dinámicos.-Principio de D’alambert.Sistemas de un grado de Libertad.- Ecuación de Equilibrio Dinámico

Ing. Omart Tello Malpartida

Modelos Dinámicos 





En problemas de ingeniería no siempre es posible obtener soluciones matemáticas rigurosas. Cuando los problemas implican propiedades de los materiales, distribución de carga y condiciones de contorno complejas, es necesario introducir simplificaciones o idealizaciones para reducir el problema a una solución matemática que sea capaz de dar resultados aceptables desde el punto de vista de la seguridad y la economía. El nexo entre el sistema físico y la posible solución matemática se obtiene con el “modelo matemático”. Esta es la designación simbólica del sistema idealizado de sustitución que incluye todas las simplificaciones impuestas al problema físico.

Ingeniería Sismorresistente

Ing. Omart Tello Malpartida

Características del Problema Dinámico. ▪

▪

Características del problema Dinámico ▪

Presenta una sucesión de soluciones – los desplazamientos y esfuerzos dependen del tiempo.

▪

Las fuerzas de inercia son parte del sistema de cargas.

▪

Se presentan fuerzas de amortiguamiento – el amortiguamiento genera que el movimiento se disipe.

Características del Problema Estático. ▪

Las cargas no dependen del tiempo.

▪

La magnitud de la carga es independiente de el mecanismo de respuesta.

Ingeniería Sismorresistente

Ing. Omart Tello Malpartida

Dinámico vs. Estático

▪

Dinámico. El resultado de los desplazamiento esta asociado con la aceleración el cual es producto de la fuerza de inercia opuesta al movimiento.

▪

Estático. La respuesta estructural es función de la aplicación de las cargas y es independiente del tiempo. Ingeniería Sismorresistente

Ing. Omart Tello Malpartida

El Principio de D’alembert FI  M .u Un sistema puede ser puesto en equilibrio dinámico agregándole a las fuerzas externas una fuerza ficticia, comúnmente conocida como fuerza de inercia. La fuerza de inercia es igual a la masa multiplicada por la aceleración y debe estar siempre dirigida en dirección contraria al movimiento.

Ingeniería Sismorresistente

Ing. Omart Tello Malpartida

Grados de Libertad 



En dinámica estructural, el numero de coordenadas independientes necesario para especificar la configuración o posición de un sistema en cualquier instante del tiempo se conoce como el numero de grados de libertad. Toda estructura continua tiene un numero infinito de grados de grados de libertad. Sin embargo, el proceso de selección o idealización de un modelo matemático apropiado permite reducir los grados de libertad a un numero discreto y en algunos casos a uno solo.

Ingeniería Sismorresistente

Ing. Omart Tello Malpartida

Estructuras de un gdl p (t) F (t) y

a)

y F (t)

y b)

Estructuras que pueden ser modeladas con un grado de libertad c) Ingeniería Sismorresistente

Ing. Omart Tello Malpartida

Modelo de un gdl Donde: Las estructuras vistas anteriormente pueden ser representadas por el siguiente modelo matemático:





y k c

m

F(t)





Ingeniería Sismorresistente

Un elemento masa “m”, que representa la masa o propiedad de inercia de la estructura. Un elemento resorte “k”, que representa las fuerzas internas del sistema y la capacidad de la estructura a almacenar energía potencial. Un elemento de amortiguación “c”, que representa las características friccionantes y las perdidas de energía de la estructura. La fuerza de excitación F(t), que representa las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema estructural, la fuerza F(t) se escribe de esta forma para indicar que es función del tiempo Ing. Omart Tello Malpartida

Resortes en paralelo y en serie a) En paralelo

b) En serie

y

y

k1 k2

ke = k1 + k2

k1

k2 P

P

y1 = P / k1

y2 = P / k2

y = y1 +y2 1 / ke = 1 / k1 + 1 / k2

ke =

S ki

Ingeniería Sismorresistente

1 / ke =

S 1 /ki Ing. Omart Tello Malpartida

Ecuación de Equilibrio Dinámico Sistema de un grado de libertad u F(t)

Donde :

m

F(t) = Fuerza que varia con el tiempo

k k

c

c u

Ingeniería Sismorresistente

= Constante total de los resortes de los elementos resistentes = Coeficiente de amortiguamiento = Desplazamiento lateral

Ing. Omart Tello Malpartida

Ecuación de Equilibrio Dinámico Sistema de un grado de libertad u F(t)

FI

m

FI + FD + Fs = F(t)

.

FD

= Fuerza de amortiguamiento de sentido contrario al movimiento.

= c. u

Fs

= Fuerza elástica de resorte o fuerza recuperadora, de sentido contrario al movimiento.

= k. u

k

c

..

= Fuerza de inercia de = m. u sentido contrario al movimiento.

.. . m. u + c. u + k. u = F(t) Ingeniería Sismorresistente

Ing. Omart Tello Malpartida

Ecuación de Equilibrio Dinámico Sistema de un grado de libertad ut u

m

k

c

ug

Feff(t) = Fuerza efectiva resultante del movimiento del suelo Ingeniería Sismorresistente

Para el caso de excitación sísmica, la única carga externa tiene la forma de un movimiento aplicado al nivel del suelo, ug(t) ,entonces la aceleración total de la masa “m” es:

.. .. .. ut = u + ug .. .. .. FI = m. ut = m.( u + ug ) FI + FD + Fs = 0 .. .. . m.(u + ug) + c. u + k. u = 0 .. . .. m.u + c. u + k. u = - m.ug .. . m.u + c. u + k. u = Feff(t) Ing. Omart Tello Malpartida

¿ Preguntas ?

“Solo para los que quieren salir adelante”