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• Tatiana Rivera

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BUYING TIME El concepto de interés compuesto permite conectar el valor del dinero con el tiempo. Al no contar con liquidez inmediata para realizar transacciones, las personas pueden solicitar un préstamo por cualquier cantidad pactada con la obligación de pagarla al vencimiento de un cierto periodo. Disponer del dinero al momento tiene su precio: los intereses generados durante el periodo de endeudamiento.

Ejemplo 1: al comprar software con valor de $1,000 USD para incrementar la productividad del trabajo, se contrata un préstamo a una tasa de interés del 10% anual sobre el valor del equipo (los $ 1,000 USD). Al cabo de un año se deberá pagar tanto el principal de la deuda como los intereses generados, obteniendo un total de $ 1,100 USD de endeudamiento. Pagar el interés es equivalente a comprar el uso del dinero para poder adquirir el software de forma inmediata.

Ejemplo 2: también se puede deducir el interés del préstamo una vez que éste se ha hecho. Esto se puede ilustrar de la siguiente forma: se compra una impresora a un precio de $ 909 USD contratando un préstamo a una tasa de interés del 10% anual sobre la base mencionada. Al cabo de un año se deberá pagar un endeudamiento total de $ 1,000 USD, donde $ 91 USD serán únicamente intereses.

Ambos ejemplos explican el costo que implica comprar tiempo a cambio de intereses. La terminología adecuada para describir esto es la siguiente: 

VALOR PRESENTE (VP): cantidad prestada



VALOR FUTURO (VF): valor al que ha crecido la deuda al momento del pago

En los ejemplos: PRÉSTAMO 1 PRÉSTAMO 2

VALOR PRESENTE $ 1,000 $ 909

TASA DE INTERÉS 10% Anual 10% Anual

VALOR FUTURO $ 1,100 $ 1,000

1

La tasa de interés permite representar la misma cantidad de dinero en dos puntos en el tiempo, el presente y el futuro. Esto se puede apreciar claramente en las siguientes fórmulas: VF = VP (1+i)n VP =

VF (1+i)n

Por último, es importante mencionar que los intereses pueden ser simples o compuestos, es decir, que se descuenten o no se descuenten a valor presente. Generalmente las cantidades pactadas por pagar en periodos mayores o iguales que un año generan intereses compuestos, mientras que los préstamos a corto plazo difícilmente lo harán.

ANUALIDADES Las anualidades representan pagos iguales a lo largo de un cierto periodo de tiempo fijando una tasa de interés. La fórmula es la siguiente: A 1 VP = i 1− ( 1+i )n

[

]

PREGUNTAS DEL EJEMPLO PRÁCTICO RENT A LEMON INC.

La empresa Rent a Lemon necesita pedir dinero prestado para expandir rápidamente la compañía abriendo dos nuevas oficinas de rentas y comprando una flotilla de coches de segunda mano en buen estado. La asistente del dueño, Ms. I. Countem, le sugiere pedir el dinero al banco Money For Nothing Inc. (MFNI).

1. Explica cómo calculó la Sra. Countem que la empresa Rent- a- Lemon obtendría un préstamo de aproximadamente $3,763,360.24. Utiliza los siguientes supuestos: una tasa de interés del 9.5% nominal anual y tres pagos anuales de $1.5 millones. Justifica teóricamente y numéricamente tu respuesta. La Sra. Countem utilizó una anualidad vencida para el cálculo del valor presente del total del préstamo, ya que los tres pagos son iguales:

2

A 1 VP = i 1− ( 1+i )n

[

 VP =

]

1,500,000 1 1− 0.095 ( 1.095 )3

[

]

 VP = $ 3,763,360.24 2. Si el banco MFNI está dispuesto a prestarle a la empresa a cambio de cobrar tres pagos de $1.5 millones en cada uno de los siguientes tres años: a) ¿A cuánto ascenderá la deuda de Rent- a- Lemon el día en que el préstamo se realiza? VP = $ 3,763,360.24 b) ¿A cuánto ascenderá la deuda un año después, justo antes de que la empresa realice el primer pago de $1.5 millones a MFNI? Esto equivale a calcular una anualidad inmediata: (1+i) n−1 ] VP = A[ i (1+ i)n−1

 VP = 1,500,000[

(1.095)3−1 ] 0.095(1.095)2

 VP = $ 4,120,879.46 *También equivale a multiplicar el valor presente de la deuda inicial por la deuda en sí (1) más los intereses generados a lo largo del primer año, antes del primer pago (9.5%): VP = (3,763,360.24)*(1.095)

 VP = $ 4,120,879.46 c) ¿Cuál será el monto de la deuda de Rent- a- Lemon justo después de realizar el primer pago de $1.5 millones? 3

VP = $ 2,620,879.46, que es el saldo insoluto al finalizar el primer año. SALDO INICIAL (SI)

CAPITAL (K)

INTERESES (I)

PAGO TOTAL (PT)

SALDO FINAL (SF)

AÑO 1

$ 3,763,360.24

$ 1,142,480.77

$ 357,519.22

$ 1,500,000

$ 2,620,879.46

AÑO 2

$ 2,620,879.46

$ 1,251,016.45

$ 248,983.54

$ 1,500,000

$ 1,369,863.00

AÑO 3

$ 1,369,863.00

$ 1,369,863.00

$ 130,136.98

$ 1,500,000

$ 0.00

3. Calcula el monto de la deuda y el monto de los intereses al final del segundo año, una vez realizado el segundo pago. Repita el ejercicio para el tercer año. ¿A qué se refiere el banco MFNI cuando dice que desea obtener una tasa de interés del 8.5% nominal anual? Final del segundo año Monto de la deuda: VP = $ 1,369,863.00 Monto de los intereses pagados: $ 606,502.76 Intereses por pagar: $ 130,136.98 Final del tercer año Monto de la deuda: VP = $ 0.00, pago de la deuda y de los intereses completamente cubiertos Monto de los intereses pagados: $ 736,639.74 Intereses por pagar: $ 0.00 *Cuando el banco MFNI dice que desea obtener una tasa de interés del 8.5% nominal anual se refiere a que su costo de prestar dinero será compensado a esa tasa. Es el precio que tiene que pagar Rent – a – Lemon por disponer del dinero inmediatamente.

4. La Sra. Countem piensa que podría estar equivocada acerca de la tasa de interés a la que el banco MFNI estaría dispuesto a prestarle a Rent- a Lemon por lo que decide realizar un análisis con las siguientes dos tasas: 7% nominal anual y 13 % nominal anual. Si la empresa debe realizar tres pagos anuales de $1.5 millones ¿cuánto le prestaría MFNI a Rent- a- Lemon, y de cuánto serían los intereses de cada año del préstamo? Muestre sus resultados en una tabla considerando ambas tasas. 4

Con i = 7% Nominal Anual VP =

1,500,000 1 1− 0.07 ( 1.07 )3

[

]

 VP = $ 3,936,474.06 le prestaría MFNI a Rent - a - Lemon. SALDO INICIAL (SI)

CAPITAL (K)

INTERESES (I)

PAGO TOTAL (PT)

SALDO FINAL (SF)

AÑO 1

$ 3,936,474.06

$ 1,224,446.81

$ 275,553.18

$ 1,500,000

$ 2,712,027.24

AÑO 2

$ 2,712,027.24

$ 1,310,158.09

$ 189,841.91

$ 1,500,000

$ 1,401,869.14

AÑO 3

$ 1,401,869.14

$ 1,401,869.14

$ 98,130.84

$ 1,500,000

$ 0.00

Con i = 13% Nominal Anual VP =

1,500,000 1 1− 0.13 ( 1.13 )3

[

]

 VP = $ 3,541,728.89 le prestaría MFNI a Rent - a - Lemon. SALDO INICIAL (SI)

CAPITAL (K)

INTERESES (I)

PAGO TOTAL (PT)

SALDO FINAL (SF)

AÑO 1

$ 3,541,728.89

$ 1,039,575.24

$ 460,424.75

$ 1,500,000

$ 2,502,153.64

AÑO 2

$ 2,502,153.64

$ 1,174,720.02

$ 325,279.97

$ 1,500,000

$ 1,327,433.61

AÑO 3

$ 1,327,433.61

$ 1,327,433.61

$ 172,566.36

$ 1,500,000

$ 0.00

5. ¿Cuál sería la tasa equivalente nominal semestral con capitalización mensual a la que el banco MFNI estaría indiferente para realizar el préstamo con respecto a las condiciones del préstamo original en el periodo de un año? i 6

6∗2

[ ]

1.095 = 1+

5

6+i

1

[1.095]12 = 6

 i = 4.5549 % sería la tasa equivalente nominal semestral con capitalización mensual a la que el banco MFNI estaría indiferente para realizar el préstamo a Rent - a – Lemon con respecto a las condiciones del préstamo original en un periodo de un año.

6. ¿Cuál sería la tasa equivalente nominal cuatrimestral con capitalización continua a la que MFNI estaría indiferente con respecto a las condiciones del préstamo original en el periodo de un año? 1.095 = e 3∗i

 ln [1.095] = 3*i  0.090754 = 3*i i = 3.0251 %, sería la tasa equivalente nominal cuatrimestral capitalizable continuamente a la que MFNI estaría indiferente con respecto a las condiciones del préstamo original en un periodo de un año.

7. ¿Qué tasa simple anual garantiza el mismo rendimiento en los tres años del préstamo que la tasa del 9% nominal anual con capitalización semestral para MFNI?

[

1+

0.09 2

2∗3

]

= [1+(3*i)]

 1.302260 = [1+(3*i)]  0.302260 = 3*i  i = 10.0753 % garantiza el mismo rendimiento en los tres años que la tasa del 9% anual con capitalización semestral.

8. Si se propusiera un esquema de 6 pagos semestrales vencidos (regulares) para el préstamo de $3.8 millones a una tasa del 2% nominal bimestral capitalizable mensualmente en donde los pagos mantuvieran un patrón tal que el tercer pago fuera el doble del primero, el segundo la

6

mitad del tercero, el cuarto un tercio del tercero y el quinto y sexto iguales al tercero. ¿De cuánto serían estos pagos semestrales?

[

ief. Semestral = 1+

0.02 2

2∗3

]

- 1 = 6.1520 %

Ahora: P1 P1 2 P1 3,800,000 = 1 + 2 + 3 + (1.06152) (1.06152) (1.06152)

2 P1 2 P1 2P1 3 + 5 + 6 (1.06152) (1.06152) (1.06152)4

 3,800,000 = P 1[6.90827]  P 1= $ 550,065.3565  P 2 = $ 550,065.3565  P 3= P 5 = P 6 = $ 1,100,130.7130  P 4 = $ 366,710.2376

9. Si la inflación mensual esperada es del 0.4123% y la tasa impositiva es del 6% por año, ¿cuál es la tasa efectiva neta real anual que recibirá MFNI de acuerdo con las condiciones originales del préstamo? De acuerdo a las condiciones originales del préstamo la tasa de interés era de 9.5% nominal anual. Para obtener la tasa de interés neta se hace lo siguiente: i Neta = (0.095)*(1 – 0.06)

i Neta = 8.93 % Una vez que se pagan impuestos se descuenta el valor de la inflación:

 i Real = [1.0893/(1.004123)12] -1  i Real = 3.6822 %  La tasa efectiva neta real anual que recibirá MFNI es i= 3.6822 % 10. De acuerdo con los flujos de efectivo de Rent-a-Lemon, el Sr. Ford decide proponerle a MFNI un nuevo esquema de amortización del préstamo de $3.7 millones. Dicho esquema consiste en realizar pagos mensuales crecientes vencidos al 4% efectivo mensual, siendo el primer pago de 7

$48,000. De acuerdo con la tasa originalmente pactada del 9.5% efectiva anual. ¿En cuántos meses liquidará el préstamo? Justifica tu respuesta. 1

ief. Mensual = [1.095]12 - 1 = 0.759153 % g Mensual = 4% A1 = $ 48,000 *Aplicando la siguiente fórmula: VPCREC. =

A ¿ i−g

* Tenemos lo siguiente: 3,700,000 =

48,000 ¿ (−0.032409)

*Despejando el tiempo (n), se obtiene que la deuda será liquidada dentro de 39.56 meses.

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