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ACTIVIDAD 10 TRABAJO COLABORATIVO 2 CODIGO : 100402

ANA JULIETH BAOS ORTEGA CRISTIAN MAMIAN LUNA ERIKA JOHANA TABARES JAIVER HERNANDO SOLANO YIMI ARMANDO JANSASOY ESTUDIANTES

JORGE ENRIQUE TABOADA TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA – ECBTI PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS PROBABILIDAD OCTUBRE DE 2013

INTRODUCCIÓN La teoría de la probabilidad esta estrechamente vinculada con las matemáticas, la estadística la filosofía y la ciencia, quienes sacan conclusiones respecto a los sucesos potenciales que la ocupan. Esta rama se cuantifica por resultados aleatorios y como en toda ciencia el estudio científico de la probabilidad se ha profundizado en acontecimientos, como es el caso del estudio de las variables aleatorias quienes se encargan de tomar valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio. Desde épocas remotas el ser humano se ha destacado por utilizar diversas ciencias y tecnologías pero en especial la estadística con sus derivaciones aleatorias como las variables discretas, continuas, valor esperado y la varianza de una variable con algunos teoremas que nos ayudan a solucionar los diversos problemas para llegar a la solución. Nos queda muy claro que en las mayorías de las carreras el uso de estas herramientas sirve como complemento para determinar los resultados esperados

que veremos en las aplicaciones prácticas. Con el fin de poner en práctica los conocimientos adquiridos se ha tomado ejercicios expuestos para realizar el cálculo y análisis correspondiente.

ASPECTOS TEÓRICOS “PROBABILIDAD ALEATORIA” Resumen Podemos realizar un recuento de la teoría de la probabilidad y expresar que la probabilidad

matemática

tiene

sus

comienzos

en

los

juegos

de

azar,

especialmente dados y cartas; se puede decir que la teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas que se ocupa del análisis de los fenómenos aleatorios y además tiene como objetivo primordial las variables aleatorias. La aleatoriedad ha sido una preocupación para la especie humana, quienes se han preocupado desde los tiempos prehistóricos por dar significado a muchos eventos aleatorios, en ocasiones se ha utilizado la famosa adivinación, que no ha sido el mejor método para dar explicación a muchos eventos sucedidos. En la parte científica se han realizado investigaciones para llegar a conclusiones mas lógicas o por lo menos con una explicación mas argumentada del origen de cualquier evento aleatorio. para dar avance a la probabilidad aleatoria podemos resaltar que a través de la historia la evolución de la variable aleatoria ha trascendido progresivamente; como muchos otros conceptos científicos se ha demostrado por medio de eventos que el progreso aleatorio ha conceptualizado etapas de mayor o menor desarrollo, ha proporcionado herramientas para interpretar y comprender este concepto como ente matemático. Podemos decir que en gran número de experimentos aleatorios es necesario para su tratamiento matemático cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales. En probabilidad y estadística una variable aleatoria o variable estocástica es una variable cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Formalmente, una variable aleatoria es una función que asigna eventos. Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles

resultados de un experimento aun no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor existente es incierto. Intuitivamente una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo, pero que a la vez se puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores. Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos. El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de un proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo).

Es importante poder describir los rasgos principales de una distribución, es decir, caracterizar los resultados de los ejercicios aleatorios mediante unos parámetros y llegar así al estudio de las características asociadas a una variable aleatoria introduciendo los conceptos matemáticos relacionados con los conceptos de variable aleatoria

Entendido lo anterior, podemos resaltar que la función de las variables aleatorias es asociar un numero real a cada elemento del espacio muestral y se indica con letras mayúsculas tales como X. Las variables aleatorias están clasificadas en dos variables, variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas. En las variables discretas solo se pueden tomar valores enteros y en las variables continuas se puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Definiendo la probabilidad aleatoria se enmarca una gran importancia en los experimentos aleatorios, cuyo resultado no es conocido de antemano con certeza.

EJERCICIOS CORRESPONDIENES A LA UNIDAD DOS DEL MODULO DE PROBABILIDAD

EJERCICIOS CAPITULO 4 Ejercicio 1. Una urna contiene cuatro balotas con los números 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Si se toman dos balotas de la urna sin sustitución y X es la suma de los números de las dos balotas extraídas, determine la distribución de probabilidad de X y represéntela por medio de un histograma. Solución del ejercicio. Espacio maestral = {1, 2, 3,4} Correspondencia entre el valor de los resultados de sacar dos balotas de la urna y la variable aleatoria que representa la suma de las balotas. Resultado (1,2) (2,1) (1,3) (3,1) (1,4) (4,1) (2,3) (3,2) (2,4) (4,2) (3,4) (4,3)

Valor de la variable aleatoria 3 4 5 6 7

Distribución de probabilidad: La variable X corresponde a 3, 4, 5, 6 y 7 P3=(1,2) (2,1)=2/12=0,16 P4=(1,3) (3,1)=2/12=0,16 P5=(1,4) (4,1) (2,3) (3,2)=4/12=0,13 P 6=(2,4) (4,2)=212=0,16 P7=(3,4) (4,3)=212=0,16

Numero de ocurrencias 2 2 4 2 2

Probabilidad 2/12 2/12 4/12 2/12 2/12

PX=x=0,16+0,16+0,13+0,16+0,16=1 PX=x= 1

Ejercicio 2. El rango de la variable aleatoria X es [0, 1, 2, 3, x], donde x es una incógnita. Si cada valor es igualmente probable y la media de X es 6, calcule x. Rango de valores de la variable aleatoria X = 5 Valor de probabilidad 1/5 = 0.2 Teoría de distribuciones discretas de probabilidad EX=μ=i=15x*Pxi=6 μ=i=15x*Pxi μ=0*0.2+1*0.2+2*0.2+3*0.2+x*0.2=6 μ=0+0.2+0.4+0.6+0.2x=6 0.2x=6-1.2 0.2x=4.8 x=4.8 /0.2=24 El valor de x que satisface las condiciones dadas es 24

Ejercicio 3.

n=5

Sea X una variable aleatoria discreta. Determine el valor de k para que la función f ( x )=

k x , x = 1, 2, 3, 4, sea la función de probabilidad de X. Determine además

P(1 ≤ X ≤ 3) . Solución del ejercicio. Para que la función f(x) sea la función de probabilidad de X, se debe cumplir que: k k k k + + + =1 2 3 4 12 k +6 k +4 k +3 k =1 12 25 k=12 k=

12 25

El valor de k debe ser

12 25 .

P (1 ≤ X ≤3 )=P ( X=1 ) + P ( X=2 )+ P (X=3)

P (1 ≤ X ≤3 )=

12 12 12 + + =0,88 25 50 75

Ejercicio 4.

En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una línea de ensamble. Se piensa que la proporción de unidades defectuosas es de 0.05. Cual es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la segunda que se encuentre defectuosa?

Solución del ejercicio.

-1 x P ( x ; 5) = е . 1 x! -1 2 P ( x = 2) = е . 1 = 0,183 % = 18,39 % 2!

EJERCICIOS CAPITULO 5

Ejercicio 5. En promedio, el 10% de las varillas de madera usadas en cierto producto presentan problemas para ser usadas. ¿cuál es la probabilidad de que en un paquete de 15 varillas, a) encuentre exactamente 5 con defectos. b) por lo menos 10 estén nudosas, c) no más de 4 estén nudosas.

Solución del ejercicio a). exactamente 5 estén demasiado nudosas? S/n: n= 15 X=5 P=0.1 q=0.9 Px=5=155(0.1)5 (0.9)15-5 Px=5=15!15-5!5!(0.1)5 (0.9)10 Px=5=1.307674368×10124354560000.00001(0.3486784401) Px=5=0.01047080034 ×100 Px=5=1.047080034% = 1.05% b). por lo menos 10 estén demasiado nudosas. S/n. n=15 p=0.1 q=0.9 x≥10 x= 10, 11,12,13,14,15. Px≥10=1510(0.1)10 (0.9)15-10 Px≥10=15!15-10!10!(0.1)10 (0.9)5

Px≥10=1.307674368×10124354560001×10-10(0.59049) Px≥10=0.00000017732×100 Px=5=0.000017732% = 0.00002% c). más de 4 estén demasiado nudosas. p=0.1 n=15 q=0.9 x›4 x= 5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15. Px>4=1-[150(0.1)0 (0.9)15-0+151(0.1)1 (0.9)15-1+152(0.1)2(0.9)152+153(0.1)3(0.9)15-3+154(0.1)4(0.9)15-4] Px>4=1-[15!15-0!0!(0.1)0 (0.9)15+(15!15-1!1!)(0.1)1(0.9)14+(15!15-2!2!) (0.1)2(0.9)13+(15!15-3!3!)(0.1)3(0.9)12+(15!15-4!4!)(0.1)4(0.9)11] Px>4=11.307674368×10121.307674368×101210.2058911321+1.307674368×10128.7178 2912×10100.10.2287679245+1.307674368×10121.24540416×10100.010.2541865 828+1.307674368×101228740096000.0010.2824295365+1.307674368×10129580 032000.00010.3138105961 Px>4=10.2058911321+0.3431518868+0.2668959111+0.1285054362+4.2678228×10-14 Px>4=1-0.9444443662 Px>4=0.0555556338×100 Px>4=5.55556338% =5.6%

Ejercicio 6. Una compañía de seguros considera que alrededor del 25% de los carros se accidentan cada año. Cual es la probabilidad de que por lo menos 3 de una muestra de 7 vehículos asegurados, se haya accidentado? Solución del ejercicio P= 0,25

n=7

P(x=x)= C(n.x)‫٭‬pᶺx‫(٭‬1-p)ᶺ(n-x) P(x=x)= C(7.x)0,25 ‫٭‬ᶺx*0,75ᶺ(7-x) P(x≥3)= 1-p(x≤2)= 1-p(x=0)-p(x=1)-p(x=2) P(x=0)=c(7.0)*0,25ᶺ0*0,75ᶺ(7-0)=0,1335 P(x=1)=c(7.1)*0,25ᶺ1*0,75ᶺ(7-1)=0,3115

P(x=2)=c(7.2)*0,25ᶺ2*0,75ᶺ(7-2)=0,3115 P(x≥3)=1-o,1335-0,3115-0,3115=0,2435*100=24,35%

EJERCICIOS CAPITULO 6 Ejercicio 7. En una panadería se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribución normal de media 100 g y desviación típica 9. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre 80 g y la media? Solución del ejercicio. P(80≤X≤100)= P

(

80−100 100−100 ≤ Z≤ 9 9

(

❑

)

P(-2,22≤Z≤0) P(Z≤0)-P(Z≤-2,22) P(Z≤0)-(1-P(Z≤2,22) 0,5-1+0,9868 =0,4868*100 =48,68%

Ejercicio 8. El peso de las naranjas sigue una distribución normal de media 180 g y desviación típica 20 g. Un almacenista ha comprado 10.000 kg. Calcular: μ = 180 g dt = 20g a.

Kilos

de

naranjas

Solución del ejercicio.

que

se

espera

pesen

menos

de

150

g.

(Inteligencia lógico matemática 11- Ángela Julieta Peña Pinzón.) Z = 150 -180= - 1.5 = 0.06681 = 6.7% 20 10.000.000 x 6.7% = 668100g = 668 Kg. Ejercicio 9. Una maquina automática con funcionamiento electrónico hace pernos de 3/8 de pulgada los cuales deben tener una longitud de 3 pulgadas. Si en realidad las longitudes de los pernos de 3/8 se distribuyen uniforme en el intervalo (2,5 : 3,5) pulgadas ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los pernos elegido al azar, de un lote determinado tenga una longitud de: a.- este entre 2.75 y 3.25 pulgadas b.- sea mayor de 3.25 pulgadas c.- sea exactamente igual a 3 pulgadas Solución del ejercicio. Como es distribución uniforme, luego: a) P (2.75 < X < 3.25) = (3.25-2.75) / (3.5 - 2.5) = 0.5 / 1 = 0.5 = 50% b) P(X>3.25) = P(3.25 < X < 3.5) = (3.5-3.25) / (3.5 - 2.5) = 0.25 / 1 = 0.25 = 25% c) P(X=3) = 100% Ejercicio 10. Una empresa de productos de hule fabrica pelotas esféricas de hule baratas, cuyos diámetros oscilan entre 4 y 8 cm. Suponga que el diámetro de una pelota elegida al azar es una variable aleatoria que se distribuye de modo uniforme entre dichos valores. ¿Cuál es el valor esperado del volumen de una pelota?

Solución del ejercicio. f (x) = 1 si a < x < b b-a 0 en otro caso En otro caso f(x) = 1 si 4 < x < 8 8-4 0 en otro caso f(x) = 1 si 4 < x < 8 4 0 en otro caso f(x) = a+b = 8+4 = 12 = 6 222

Ejercicio 11. El peso de un bebe recién nacido en un país es una variable aleatoria continua que sigue una distribución normal, con media 3.2 kg y desviación típica de 0.4 kg. Determine el porcentaje de bebes recién nacidos que pesan 3.5 kg o mas. Solución del ejercicio N = 3,2 kg peso= w D= 0,4 kg z= 7 - n 3,2 3,5 5 z= 3,5 – 3,2 0,4 Z 0 0.75 z= 0.3

0.4 z= 0,75 p (w > 3,5) = P (z > 0,75) =1 – p (z < 0,75) = 1 – 0,7733 = 0,2266 Entonces el porcentaje es de 22.66%

CONCLUSIONES  Cada una de las etapas del contenido, los procesos y desarrollo, nos permite adquirir habilidades y conocimiento para la interpretación de los ejercicios planteados.  La variable aleatoria esta cuantificada por asociar un numero real a cada elemento del espacio muestral 

En la teoría de probabilidad se ve la aplicación y manejo de las distribuciones más comunes, la binomial, la de posición y finalmente la distribución normal.

 La variable aleatoria están clasificada en dos variables, variables aleatorias discretas y variables aleatorias continúas.

 La probabilidad esta enfocada en acontecimientos aleatorios.  La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio

 Es posible calcular la probabilidad utilizando un diagrama de árbol, o tablas y gráficas.

BIBLIOGRAFÍA Morales Robayo Adriana/ Julio de 2010/ Modulo de Probabilidad, consultado el 07 de octubre/ 2013, desde el enlace http://sanbemo.files.wordpress.com/2010/07/modulo_estadistica_compleja.pdf http://www.slideshare.net/RRVSRRVS/modulo-probabilidad-i-2010 Introducción a variables aleatorias, consultado el día 08 de noviembre del 2013 desde el enlace http://www.youtube.com/watch?v=XXTfKo14Q0Y

Función de distribución de probabilidad de variable aleatoria, consultado el día 12 de octubre del 2013 desde el enlace de http://www.youtube.com/watch?v=prOG_KfMYtw

Probabilidad Variables Aleatorias - SlideShare consultado el día 10 de noviembre del 2013 desdehttp://www.slideshare.net/PZB200/probabilidad-variablesaleatorias