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• Gustavo de diego

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´ Rodr´ıguez Luis Eduardo Cortes ´ Ocana ˜ Santiago Cortes Ricardo Vivas Reyes

Oscilaciones y Ondas Notas de clase. Universidad de Cartagena ´ Primera edicion

Agradezco profundamente a todas las personas que de alguna u otra manera me colaboraron a construir cada uno de los elementos necesarios para la real´ de este libro. En especial a estas personas. A mis alumnas del programa izacion ´ de Ingenier´ıa Civil del periodo academico 2013 - II actualmente egresadas ya del ´ programa, quienes me transcribieron a realizar el primer borrador de este documento. A ellas mi especial gratitud. Al Doctor Ricardo Vivas Reyes por su con´ de este libro. A todos los estudiantes de Instante apoyo cient´ıfico en la edicion ´ genier´ıas de la Universidad de Cartagena por su incondicional retroalimentacion ´ de este ´ en el aula de clase, sin ellos no hubiese sido posible la culminacion documento. Finalmente, agradezco a mis dos hijos Santiago y Luis Gabriel, por su ´ definitiva y edicion ´ grafica ´ apoyo incondicional, en la transcripcion en formato La´ del texto. A ellos mi total amor. TeX y optimizacion ˜ Paz, que durante todo el Este libro lo dedico a mi esposa Maria Esther Ocana ˜ ´ trasegar de la vida, ha sido una companera fiel. A ella le otorgo los creditos de ´ ´ esta produccion.

´ Rodr´ıguez. Luis Eduardo Cortes

Prefacio

´ Mi vida profesional como docente del area de F´ısica, la he dedicado a transmitir y difundir el conocimiento, con el objetivo de sembrar en los estudiantes el amor hac´ıa la f´ısica. El libro esta ˜ ´ disenado para que el estudiante de manera autonoma se apropie de los conocimientos y le sirva como texto gu´ıa mejorando el proceso de aprendizaje. ´ de informacion ´ y notas de clases durante mas ´ de Este texto es el resultado de la recopilacion ˜ veinte anos en el desarrollo de mi vida profesional como docente de la Universidad de Carta´ revision ´ y correccion ´ he contado con la participacion ´ gena, durante el proceso de redaccion, activa de los estudiantes de ciencias e ingenier´ıa, estos ultimos han utilizado, desde hace algun ´ ´ tiempo, este texto como libro base para el desarrollo de la asignatura de F´ısica III. El libro con´ tiene ejemplos y problemas propuestos de oscilaciones, ondas, optica y teor´ıa especial de la ´ de los estudiantes de Ingenier´ıa gracias a la retroalimentacion ´ relatividad priorizando el interes de los mismos estudiantes. ´ El libro contiene apuntes personales de los autores y material teorico seleccionado de otros ´ didactica ´ textos de F´ısica para ciencias e ingenier´ıa, con el fin de configurar una presentacion y ´ pedagogica facilitando el proceso de estudio.

Cartagena de Indias,

´ Rodriguez Luis Eduardo Cortes Junio de 2017.

Contents

1

Movimiento oscilatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.1 Movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ en el movimiento armonico ´ 1.2 Posicion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.3 Velocidad en el movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ en el movimiento armonico ´ 1.4 Aceleracion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.5 Movimiento armonico simple con fase inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ caracter´ıstica del m.a.s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Ecuacion 1.6 Movimiento rotacional y movimiento rectil´ıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.7 Energ´ıa en el movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ diferencial de segundo orden y homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Ecuacion 1.7.2 Formula ´ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.8 Pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.9 Oscilador armonico ........................................................ ´ 1.10 Pendulo f´ısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 Teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ ........................................................ 1.11 Pendulo de torsion 1.12 Movimiento oscilatorio amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 Movimiento oscilatorio forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.14 Aplicaciones del movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14.1 Figuras de Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.15 Oscilaciones electricas ..................................................... ´ 1.15.1 Circuito LC: Oscilaciones electricas .................................... ´ 1.15.2 Circuito RLC: Oscilaciones electricas amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.15.3 Oscilaciones electricas forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 3 5 7 8 9 11 13 13 14 18 23 26 27 28 33 37 37 40 40 41 42 43

2

Movimiento Ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.1.1 Ondas Mecanicas ................................................... ´ 2.1.2 Ondas electromagneticas ............................................ 2.1.3 Onda transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Onda longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Frentes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.2 Ondas periodicas ......................................................... ´ de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Funcion ´ 2.4 Fenomenos ondulatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ........................................................... 2.4.1 Reflexion

47 47 47 47 47 48 49 49 51 53 53

X

Contents

2.5

2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12

2.13 2.14

´ ......................................................... 2.4.2 Refraccion ´ .......................................................... 2.4.3 Difraccion ´ ........................................................ 2.4.4 Polarizacion 2.4.5 Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Interferencia - Metodo anal´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 M´ınimo desplazamiento (nodo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.5.2 Maximo desplazamiento (antinodo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energ´ıa en las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas estacionarias en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas viajeras unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ diferencial de onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuacion Ondas transversales en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas longitudinales en una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.1 Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.2 Desarrollo en serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ en una columna de gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas de presion Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 56 57 58 61 61 62 63 65 67 70 74 79 81 82 82 83 86

3

Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.1 Naturaleza del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2 Velocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.3 Cualidades del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.3.1 Tono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.3.2 Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.3.3 Nivel de intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 ´ de la intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.3.4 Variacion ´ 3.3.5 Ondas sonoras periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 ´ 3.3.6 Energ´ıa y potencia en las ondas sonoras periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.3.7 Timbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.4 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.4.1 Ondas de Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.5 Sistemas resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.5.1 Tubos sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.5.2 Tubos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.5.3 Tubos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4

´ Ondas Electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.1 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 ´ vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.1.1 Divergencia de una funcion 4.1.2 Rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.1.3 Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.1.4 Teorema del rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.1.5 Ecuaciones de Maxwell forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.1.6 Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 ´ 4.2 Ondas electromagneticas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 ´ de la ecuacion ´ de onda electromagnetica ´ 4.2.1 Deduccion plana . . . . . . . . . . . . . . . 115 ´ 4.3 Energ´ıa electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 ´ 4.4 Energ´ıa magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 ´ 4.5 Energ´ıa en las ondas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5.1 Densidad de energ´ıa total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Contents

XI

´ 4.6 El espectro electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 ´ de radiacion ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.7 Cantidad de movimiento y presion ´ completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.7.1 Reflexion ´ 4.8 Campo magnetico de una lamina de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 ´ procedente de una lamina ´ 4.9 Radiacion infinita de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 ´ 4.10 Ondas electromagneticas en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.11 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5

´ Optica Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.1 Teor´ıas sobre la naturaleza de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.1.1 Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.2 Leyes de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.2.1 Ley de reflexion ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.2.2 Ley de refraccion ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.2.3 ´Indice de refraccion ´ absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3 ´Indice de refraccion ´ interna total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.4 Reflexion 5.5 Profundidad aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 ´ en un prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.7 Refraccion ´ 5.8 Dispersion de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.9 Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.10 Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.11 Espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.11.1 Espejos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.11.2 Espejos esfericos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 ´ esferica ´ 5.11.3 Aberracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 ´ 5.11.4 Imagenes formadas en un espejo cuya abertura es grande . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.12 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 ´ de las imagenes ´ 5.12.1 Formacion por lentes delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.12.2 Aumento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 ´ de las lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.12.3 Ecuacion 5.12.4 Aumento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.13 Microscopio compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.13.1 Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.13.2 Aumento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 ´ en una superficie esferica ´ 5.13.3 Refraccion refringente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 ´ en las lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.13.4 Refraccion 5.14 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6

´ Optica F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.1 Interferencia de las ondas de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.2 Experimento de Young de la doble rendija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 ´ de intensidades en el patron ´ de interferencia de la doble rendija 181 6.2.1 Distribucion 6.2.2 Intensidad luminosa en P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 ´ ´ de fasores de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.2.3 Metodo de la adicion ´ de interferencia de tres rendijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.2.4 Patron ´ de Fraunhofer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.2.5 Interferencia de N rendijas (Difraccion ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.3 Cambio de fase debido a la reflexion. 6.4 Interferencia en pel´ıculas delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 ´ de las ondas de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.5 Difraccion ´ por una rendija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.6 Difraccion

XII

Contents

´ de difraccion ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.7 Intensidad del patron ´ de rendijas simples y aperturas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.8 Resolucion 6.9 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7

Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.1 Transformadas Galileanas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.2 Transformadas Galileanas de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.3 Invarianza de las leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 ´ del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.4 Invarianza de la conservacion 7.5 Experimento de Michelson y Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 7.6 Postulados de la teor´ıa Especial de la Relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7.7 Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 ´ de las velocidades de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.8 Composicion ´ 7.9 Cinematica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 7.10 Cantidad de movimiento relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.11 Momento relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.12 Fuerza relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 ´ 7.13 Energ´ıa cinetica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.14 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

1 Movimiento oscilatorio

´ 1.1 Movimiento armonico simple ´ ´ o recuperacion ´ la cual es Es un movimiento periodico producido por una fuerza de restitucion ´ directamente proporcional al desplazamiento. El movimiento armonico simple (m.a.s.) se realiza ´ y es una proyeccion ´ del movimiento circular uniforme (m.c.u.) sobre una en una sola direccion, ´ pantalla. El resorte helicoidal y el pendulo simple son dos ejemplos t´ıpicos de un movimiento ´ armonico simple [13][14][15][16][17]. ´ llamado oscilador armonico, ´ El Resorte helicoidal tambien consiste en un resorte (muelle) de ´ constante elastica k el cual puede oscilar verticalmente (eje y) debido a una esfera de masa m que cuelga en uno de los extremos fijos, ver Figura 1.1 muelle

k

´ para un resorte helicoidal Fig. 1.1: Diferentes posiciones de oscilacion

Se observa de la Figura 1.1 que si unimos los distintos puntos por donde oscila la esfera colgada ´ seno o coseno. al resorte, resulta una funcion ´ ´ El Pendulo simple, otro ejemplo t´ıpico de un movimiento armonico simple, consta de una cuerda de longitud L suspendida de un punto fijo O. En el otro extremo se amarra una esfera y todo ´ de que el este sistema puede oscilar alrededor del punto O realizando un m.a.s. con la condicion ´ ´ θ sea menor a 15o , ver Figura 1.2. Bajo esta´ condicion ´ la trayector´ıa de la angulo de oscilacion esfera se aproxima a una l´ınea recta, en este caso el eje x.

2

1 Movimiento oscilatorio 0

q L

´ ´ ´ θ Fig. 1.2: Pendulo simple de longitud L con un angulo de oscilacion

´ en el movimiento armonico ´ 1.2 Posicion simple Consideremos una part´ıcula M que realiza un movimiento circular uniforme (m.c.u) de radio A y en el plano cartesiano (x,y). En el tiempo t = 0 la part´ıcula M inicia su movimiento y en otro tiempo ´ t, la part´ıcula M a barrido de un angulo wt, donde w es la frecuencia angular, ver Figura 1.3. Al proyectar el punto M sobre el eje x se obtiene el punto m situado a una distancia x del origen ´ de equilibrio). (posicion M,t A

wt x

0

m

t=0

´ x en el movimiento armonico ´ Fig. 1.3: Posicion simple

´ Del triangulo rectangulo M OM m que se observa en la Figura 1.3, se obtiene: x coswt = A despejando x, obtenemos que : (1.1)

x = Acoswt

´ y A es la amplitud o elongacion ´ maxima. ´ ´ (1.1) representa donde x es la elongacion La ecuacion ´ del m.a.s. de frecuencia w para una part´ıcula m cuya trayectoria es el eje x. Para la posicion ´ ´ (x) - tiempo (t) construimos una tabla de datos y asumimos unos elaborar la grafica posicion ´ del periodo T, como por ejemplo: valores para la variable dependiente t, en funcion •

para t =

T . 4

 x = Acos

2π T × T 4

 =0

´ 1.3 Velocidad en el movimiento armonico simple

•

para t = 0  x = Acos

•

3

para t =

T . 2

 x = Acos

 2π ×0 =A T

2π T × T 2

 = −A

y de esta forma podemos obtener los datos que se relacionan en la Tabla (1.1). ´ - tiempo para una part´ıcula con m.a.s. Table 1.1: Datos posicion x A 0 -A 0 A t 0

T T 3T T 4 2 4

´ de la posicion ´ con respecto al tiempo, obtenemos la Figura 1.4 Graficando la variacion x A

T 4

T 2

3T 4

T

t

-A ´ de la posicion ´ con respecto al tiempo para una part´ıcula dotada de un m.a.s. Fig. 1.4: Variacion

´ 1.3 Velocidad en el movimiento armonico simple Consideremos el circulo de referencia de radio A con una part´ıcula M que realiza un movimiento ´ armonico simple. Proyectemos el vector velocidad tangencialmente v = ωA sobre el eje x y − → obtenemos la velocidad (Vx ) de la part´ıcula m, ver Figura 1.5 [17].

4

1 Movimiento oscilatorio V

M,t

wt Vx

A wt

0

Vx

t=0

m

´ Fig. 1.5: Velocidad en el movimiento armonico simple

´ Del triangulo rectangulo M 0Mm de la figura anterior, se obtiene: senwt =

−Vx wA

despejando Vx , obtenemos : vx = −wAsenwt

(1.2)

´ maxima ´ donde A es la amplitud o elongacion y w es la frecuencia angular. El signo menos se debe ´ (1.2) representa la magnitud de a que la part´ıcula se mueve a la izquierda del eje x. La ecuacion la velocidad Vx para una part´ıcula con m.a.s. . ´ Para construir la grafica velocidad (Vx ) - tiempo (t), asumimos unos valores para la variable inde´ del periodo de oscilacion ´ T, por ejemplo: pendiente t en funcion •

Para t = 0.

 Vx = −wAsen

•

Para t =

T . 4

 Vx = −wAsen

 2π ×0 =0 T

2π T × T 4

 = −wA

´ la tabla de datos Tabla (1.2) y as´ı podemos elaborar a continuacion

Table 1.2: Datos de la velocidad para una part´ıcula con m.a.s. Vx 0 -wA 0 wA 0 t 0

T 4

T 3T T 2 4

´ del tiempo t, obtenemos la Figura 1.6. Al graficar la velocidad Vx en funcion

´ en el movimiento armonico ´ 1.4 Aceleracion simple

5

Vx wA

t T 2

T 4

3T 2

T

-wA ´ de la velocidad con respecto al tiempo para una part´ıcula dotada de una m.a.s. Fig. 1.6: Variacion

´ en el movimiento armonico ´ 1.4 Aceleracion simple Nuevamente consideremos el c´ırculo de referencia de radio A y una part´ıcula M que realiza un ´ centripeta ac = w2 A es proyectado movimiento c´ırcular uniforme (m.c.u.). El vector aceleracion ´ ax de la part´ıcula m la cual realiza un m.a.s., ver Figura sobre el eje x y se obtiene la aceleracion 1.7.

M

ac P

wt

Q

wt

0

ax

m

M

´ en el movimiento armonico ´ Fig. 1.7: Aceleracion simple

´ Del triangulo rectangulo M MPQ de la Figura 1.7, se obtiene: coswt =

−ax w2 A

y despejando ax resulta: ax = −w2 Acoswt

(1.3)

´ maxima ´ donde A es la amplitud o elongacion y w la frecuencia angular. El signo menos se debe ´ de la part´ıcula m se encuentra a la izquierda del eje x. Para construir a que el vector aceleracion ´ ´ ax en funcion ´ del tiempo t, procedemos de igual manera como se hizo con la grafica aceleracion ´ es decir: la velocidad y la posicion,

6

•

1 Movimiento oscilatorio

Para t = 0. ax = −w2 Acos

•

Para t =



T . 4

2π ×0 T



2

ax = −w Acos



= −w2 A

2π T × T 4

 =0

As´ı, podemos construir los datos mostrados en la Tabla (1.3).

´ de una part´ıcula dotada con m.a.s. Table 1.3: Datos para la aceleracion ax -w2 A 0 w2 A 0 -w2 A t

0

T 4

T 2

3T 4

T

Al graficar ax - t mostrado en la anterior tabla, se obtiene la Figura 1.8.

ax 2

wA

t

0 T 4 -w A

T 2

3T 2

T

2

´ de la posicion ´ con respecto al tiempo para una part´ıcula dotada de un m.a.s. Fig. 1.8: Aceleracion

´ En la Figura 1.9 se observa el resumen del movimiento armonico simple es un movimiento variado, para el cual: • •

´ es cero (x = 0) se presenta la maxima ´ En el punto de equilibrio donde la elongacion velocidad, ´ es nula. y la aceleracion ´ es maxima ´ ´ ´ y la velocidad Cuando la elongacion (x = ±A) se presenta la maxima aceleracion, es cero.

x = -A

Vx= 0 ax= w 2 A

x=0

Vx = -wA ax= 0

x = -A

Vx = 0 ax= w 2 A

´ velocidad y aceleracion ´ en el ´ m.a.s. Fig. 1.9: Resumen de la posicion,

´ 1.5 Movimiento armonico simple con fase inicial

7

´ ´ ´ velocidad y acelEn la Figura 1.10, se presenta simultaneamente las graficas de la posicion, ´ asumiendo que w = 1rad/s. eracion,

x,v,a A

3T 2

T 4

T 2

-A

T

t

v x a x

x

´ ´ velocidad y aceleracion ´ en el m.a.s. Fig. 1.10: Graficas simultaneas de la posicion,

´ 1.5 Movimiento armonico simple con fase inicial ´ En f´ısica ondulatoria la fase indica un angulo en radianes. Supongamos que el cuerpo M no inicia ´ su movimiento en t = 0 sino con un angulo inicial de fase ϕ, ver Figura 1.11, por lo tanto las ecuaciones que resultan son: x = Acos(wt + ϕ)

(1.4)

vx = −wAsen(wt + ϕ)

(1.5)

2

ax = −w Acos(wt + ϕ)

(1.6)

´ En donde, graficamente el m.a.s. con fase inicial, puede estar representado en la Figura 1.11 M A

M

wt j

0

m

x

´ Fig. 1.11: Movimiento armonico simple con fase inicial

´ (1.4) aplicando el calculo diferenLas ecuaciones (1.5) y (1.6) se pueden obtener de la ecuacion cial, veamos. Vx =

dx = −wAsen(wt + ϕ) dt

y

ax =

dVx = −w2 Acos(wt + ϕ) dt

8

1 Movimiento oscilatorio

´ caracter´ıstica del m.a.s. 1.5.1 Ecuacion ´ (1.4) en (1.6), se obtiene: Si reemplazamos la ecuacion ax = −w2 x ´ se denomina ecuacion ´ caracter´ıstica del m.a.s., cualquier movimiento periodico Esta ecuacion ´ se denomina armonico ´ que cumpla con esta ecuacion simple. Ejemplo 1.1 ´ y la velocidad de un oscilador Demostrar que si yo y voy son los valores iniciales de la posicion ´ armonico, se cumple que: r   2 voy wyo −1 ; A = yo2 + 2 ϕo = tan voy w ´ Solucion: ´ y la velocidad son : En el tiempo t = 0, la posicion yo = Asen(ϕo )

(1.7)

voy = wAcos(ϕo )

(1.8)

´ Ahora, dividimos la ecuaciones de (1.8) con (1.7) obtenemos que: yo 1 = tanϕo voy w wyo = tanϕo voy   wyo −1 ϕo = tan voy

(1.9)

´ para la posicion ´ (1.7) y (1.8) y de la Figura(1.12) obtenemos: De la ecuacion wyo yo = A q 2 + w2 y 2 voy o

(1.10)

´ anterior (1.10), obtenemos finalmente la amplitud A: despejando de la ecuacion

A=

q 2 + w2 y 2 voy o w

r =

2 voy w2 yo2 + 2 = 2 w w

r yo2 +

2 voy w2

´ ´ de un triangulo rectangulo ´ En la Figura 1.12, se puede observar una manera geometrica a traves las velocidades iniciales y su amplitud en el tiempo t = 0.

9

y 2

+w

y2o

2

1.6 Movimiento rotacional y movimiento rectil´ıneo

vo

wyo

jo voy ´ geometrica ´ Fig. 1.12: Representacion velocidades iniciales

Ejemplo 1.2 ´ ´ Mostrar que la velocidad de un movimiento armonico simple se le puede expresar en terminos de √ ´ x de la forma v = ±2πf A2 − x2 , donde f es la frecuencia [1]. la amplitud A y la elongacion ´ Solucion: ´ ´ Realizando un desarrollo, y adoptando conceptos de la energ´ıa mecanica, potencial y cinetica, se tiene que: w = 2πf 1 1 1 mv 2 + kx2 = kA2 2 2 2 despejando de la ecuaciones (1.11) y (1.12) la velocidad, obtenemos finalmente:

(1.11) (1.12)

kA2 − kx2 m
k = A2 − x 2 m
= w 2 A2 − x 2 p = ±w A2 − x2 p = ±2πf A2 − x2

v2 = v2 v2 v v

1.6 Movimiento rotacional y movimiento rectil´ıneo ´ constante y el movimiento Existe una similitud entre el movimiento rectil´ıneo con aceleracion ´ angular constante cuyas expresiones matematicas ´ circular con aceleracion se resumen en la ´ Tabla (1.4) a continuacion. ´ α la aceleracion ´ andonde w es la velocidad angular, θ el desplazamiento angular, x la posicion, ´ ´ gular, v la velocidad, I el momento de inercia, K la energ´ıa cinetica, F la fuerza, a la aceleracion, m la masa, r la distancia, P la potencia, y τ el torque. Ejemplo 1.3 ´ ´ a constante descritas en el grupo ¿ Se pueden usar las ecuaciones cinematicas con aceleracion ´ para interpretar el movimiento armonico ´ de ecuaciones a continuacion, simple ? v = vo + at 1 x = xo + vo t + at2 2 v 2 = vo2 + 2ax

10

1 Movimiento oscilatorio Table 1.4: Ecuaciones comparativas entre el movimiento rotacional y rectil´ıneo Movimiento rotacional θ (rad) Movimiento rectil´ıneo x(m) w=

dθ dt

v=

dx dt

α=

d2 θ dt2

a=

d2 x dt2

I = mr2 K=

1 2 Iw 2

τ = Tα

F = ma K=

1 mv 2 2

P = FV

´ Solucion: ´ ´ variable. Estas El movimiento de un oscilador armonico se realiza con velocidad y aceleracion ecuaciones se usan para interpretar un movimiento con velocidad creciente o decreciente y por ´ constante. Por consiguiente, no es posible emplear estas ecuaciones. tanto con aceleracion Ejemplo 1.4 ´ horizontal de masa m y longitud L esta´ articulado en un extremo y en el otro esta´ unido Un tablon ´ alrededor del pivote es de 31 mL2 . A a un resorte de constante k. El momento de inercia del tablon ´ de equilibrio horizontal se suelta. Demostrar partir de la posicion que se desplaza con movimiento r 3k ´ armonico simple y que su frecuencia angular es w = [2]. m

k q ´ unido a un resorte de constante k Fig. 1.13: Tablon

´ Solucion: ´ para el equilibrio rotacional, tenemos que: Aplicando la condicion L + kxo L = 0 2 ´ Para un desplazamiento pequeno, ˜ el angulo ´ donde xo es la longitud del resorte sin deformacion. ˜ por lo tanto: debe ser pequeno, X

τo = −mg

L L + kxL = −mg + kL (x − Lθ) = Iα 2 2 X L 2 τo = −mg + kxL − kθL = Iα 2 ´ para el equilibrio rotacional, se obtiene: Sustituyendo la ecuacion X

τo = −mg

(1.13)

´ 1.7 Energ´ıa en el movimiento armonico simple

−kθL2 =

11

d2 θ 1 mL2 2 3 dt

y de aqu´ı: d2 θ 3k =− θ dt2 m Por tanto, w2 =

3k , entonces T = 2π m

r

(1.14)

m . 3k

´ 1.7 Energ´ıa en el movimiento armonico simple ´ la suma de la energ´ıa cinetica ´ ´ la energ´ıa potencial llamada energ´ıa En ausencia de friccion mas ´ mecanica es igual a una constante [3]. Em =

1 1 mv 2 + kx2 2 2

(1.15)

´ (1.15), tenemos que: Reemplazando las ecuaciones (1.1) y (1.2), en la ecuacion Em =

1 1 mw2 A2 sen2 wt + kA2 cos2 wt 2 2

(1.16)

k ´ (1.16), queda de la Pero w2 = m , entonces k = mw2 , tenemos que al reemplazar en la ecuacion siguiente manera: 1 1 Em = kA2 sen2 wt + kA2 cos2 wt 2 2
1 2 Em = kA sen2 wt + cos2 wt 2 1 Em = kA2 = constante 2 ´ ´ ´ (1.17), tenHaciendo el analisis dimensional de la energ´ıa mecanica, mostrada en la ecuacion emos que:

[Em ] = m2 ·

N =N ·m=J m

(1.17)

K,U

K U

-A

0

A

x

´ energ´ıa potencial U y energ´ıa cinetica ´ ´ Fig. 1.14: Variacion K respecto a la posicion.

12

1 Movimiento oscilatorio

´ de la energ´ıa potencial U y la energ´ıa cinetica ´ De acuerdo con la figura que muestra la variacion ´ de la posicion ´ de un objeto que realiza un movimiento armonico ´ K en funcion simple, se observa ´ que en los puntos de maximo desplazamiento, es decir en x = ±A la energ´ıa potencial y la ´ ´ energ´ıa total son maximas y en x = 0 la energ´ıa cinetica es igual a la energ´ıa total y tienen el ´ valor maximo. Ejemplo 1.5 ´ en funcion ´ de la amplitud tal que la energ´ıa cinetica ´ Encontrar la elongacion sea igual a la energ´ıa potencial [3][2]. ´ Solucion: Elevando al cuadrado las ecuaciones (1.1) y (1.2), tenemos que: x2 = A2 cos2 wt

(1.18)

v 2 = w2 A2 sen2 wt

(1.19)

´ Igualando la energ´ıa cinetica y la energ´ıa potencial obtenemos. 1 1 mv 2 = kx2 2 2

(1.20)

´ (1.17) y k = mw2 en la expresion ´ anterior, y simplificando se tiene Reemplazando la ecuacion que : 1 1 mw2 A2 sen2 wt = mw2 A2 cos2 wt 2 2 2 sen wt = cos2 wt senwt = coswt tanwt = 1 wt = arctan(1) π wt = 4 Por tanto, sustituyendo wt =

π ´ (1.1) de la posicion, ´ tenemos que: en la ecuacion 4 x = Acos

y finalmente

π 4

(1.21)

√ x=A

2 ≈ 0.7A 2

(1.22)

Ejemplo 1.7 ´ Un bloque de masa M esta´ conectado a un resorte de constante elastica k y de masa m el cual ´ ´ La longitud del oscila con movimiento armonico simple sobre una pista horizontal y sin friccion. ´ equilibrio es L, ver Figura 1.15. Demostrar que la energ´ıa cinetica del sistema caja - resorte es m 2 1 M+ v [2]. K= 2 3

´ 1.7 Energ´ıa en el movimiento armonico simple

dm

dx

13

v

M Fig. 1.15: Bloque de masa M conectado a un resorte de masa m

´ Solucion: Se puede realizar una proporcionalidad entre la velocidad infinitesimal vx y la distancia x, en un ´ una proporcionalidad entre un diferencial de masa (dm) y la masa segmento de resorte, y tambien ´ (1.23). total(M ) del resorte, mostrado en la ecuacion v vx vx = −→ vx = x l l (1.23) dm dx mdx = −→ dm = m l l ´ Entonces, la energ´ıa cinetica total del sistema compuesta por la caja y el resorte es: Z Z 1 1 l 2 1 l  vx 2 m 1 K = M v2 + dx (1.24) v dm = M v 2 + 2 2 0 2 2 0 l l Z Z 1 l v 2 x2 m 1 1 mv 2 l 2 1 2 2 dx = M v + x dx K = Mv + 2 2 0 l2 l 2 2 l3 0 1 1 mv 2 x3 l K = M v2 + | (1.25) 2 2 l3 3 0   2 1 1 mv 3 1 1 1 m K = M v2 + l = M v 2 + mv 2 = M v2 + v2 (1.26) 3 2 2 3l 2 6 2 3   1 m 2 K= M+ v (1.27) 2 3 ´ diferencial de segundo orden y homogenea 1.7.1 Ecuacion ´ de segundo orden y homogenea, Segun ´ la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales, una ecuacion tiene la forma: d2 x dx a 2 +b + cx = 0 (1.28) dt dt donde a, b y c son constantes. ´ de la ecuacion ´ (1.28) es: La solucion
bt x(t) = e− 2 Aekt + Bekt (1.29) donde

√ k=

b2 − 4ac 2a

(1.30)

1.7.2 Formula ´ de Euler ´ de euler atribuida a Leonhard Euler establece que: La relacion e±iθ = cosθ ± isenθ

(1.31)

Para todo numero real x, e es la base del algoritmo natural, i es la cantidad imaginaria igual a ´ √ −1

14

1 Movimiento oscilatorio

´ 1.8 Pendulo simple ´ ´ El pendulo simple es un cuerpo idealizado que consiste en una part´ıcula suspendida de un cordon ´ de equilibrio y ligero inextensible, ver Figura(1.16). Cuando se le lleva a un lado de su posicion ´ se le suelta, el pendulo oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad y realiza ´ ´ ´ θ sea menor a 15o , un movimiento armonico simple siempre y cuando el angulo de oscilacion aproximadamente.

0

q

T

x

mg y

Fig. 1.16: Part´ıcula suspendida de un hilo inextensible.

Haciendo el diagrama del cuerpo libre, ver Figura 1.16 y aplicando las condiciones de equilibrio para las fuerzas, obtenemos: X Fy = T − mgcosθ = 0 T = mgcosθ X

Fx = −mgsenθ = ma a = −gsenθ

De la Figura 1.16 se tiene que: x senθ ∼ = L por lo tanto: a = −g

x g =− x L L

´ anterior, se tiene que: Comparando el anterior resultado con la ecuacion w2 = w=

g L r

g L

´ Por tanto, el per´ıodo para el pendulo simple esta´ dado por:

´ 1.8 Pendulo simple

2π 2π = pg w L s L T = 2π g

15

(1.32)

T =

´ del periodo ´ Finalmente, para comprobar la dimension calculado, se hace un anal´ısis dimensional ´ (1.33). para la ecuacion r √ m s2 = s (1.33) [T ] = m = s2

´ ´ se puede calcular mediante de la siguiente forma. De El per´ıodo de un pendulo simple tambien la Figura 1.16 se tiene que: X Fx = −mgsenθ = ma = Fr ´ la cual produce un torque τo alrededor del punto 0: donde Fr es la fuerza de restitucion τo = mgsenθL = mL2 donde I = mL2 es el momento de inercia y

d2 θ dt2

(1.34)

d2 θ ´ angular. = α es la aceleracion dt2

g d2 θ τo = − θ = 2 L dt ´ ˜ ya que para angulos pequenos, se tiene que senθ ≈ θ, entonces: d2 θ g + θ=0 (1.35) dt2 L ´ (1.35) corresponde a la ecuacion ´ de segundo orden y homogenea ´ La ecuacion que identifica el ´ ´ se realiza como se muestra a continuacion. ´ De movimiento de un pendulo simple y su solucion ´ (1.28) se observa que : a = 1, b = 0, c = Lg , por lo tanto al reemplazar en la ecuacion ´ la ecuacion (1.30), se obtiene: q
p g p 0 − 4(1) Lg 2 − Lg −4 L κ= = = 2 2 r2 g κ=i L ´ (1.29), tenemos que: Sustituyendo en la ecuacion s  sg g  (0)b i t −i t − L  x(t) = e 2 Ae L + Be

´ Empleando la formula de Euler, tenemos que: r  r   r  r g g g g x(t) = A cos t + isen t + B cos t − isen t L L L L r r g g x(t) = (A + B)cos t + (A − B)isen t L L Reemplazando A + B = C y A - B = D, donde C y D son constantes, tenemos que :

16

1 Movimiento oscilatorio

r r g g x(t) = Ccos t + Dsen t L L ´ Como la funcion ´ seno y coseno estan ´ defasadas Aqu´ı se ha escogido la parte real de la ecuacion. π ´ ´ ´ ´ un angulo de , se puede utilizar el siguiente artificio matematico del triangulo rectangulo, ver 2 Figura (1.17).

H

D

j C ´ ´ Fig. 1.17: Angulo de fase ϕ para un pendulo simple

De la Figura 1.17 se tiene que: D ∴ D = Hsenϕ H C ∴ C = Hcosϕ cosϕ = H

senϕ =

Reemplazando C y D, se tiene que: r x(t) = Hcosϕcos

g t + Hsenϕsen L

r

g t L

´ y utilizando las identidades trigonometricas se obtiene finalmente:  r g t−ϕ x(t) = Hcos L r ´ corresponde a la solucion ´ de la ecuacion ´ diferencial (1.34), donde Esta ultima ecuacion ´ r L y por lo tanto el periodo es T = 2π . g Ejemplo 1.8 ´ Hallar el periodo del pendulo interrumpido de la Figura (1.18).

g =w L

´ 1.8 Pendulo simple

17

L L/2

´ Fig. 1.18: Pendulo interrumpido

´ Solucion: ´ ˜ Se considera que para este pendulo as´ı disenado, el periodo total corresponde a la suma de dos ´ para periodos tanto para la longitud L y para la longitud L2 pero considerando media oscilacion cada longitud, es decir: q q L 2π 2g 2π Lg y T2 = (1.36) T1 = 2 2 Sumando T1 y T2 , estos dos periodos, obtenemos el periodo total Tt . q q L 2π Lg 2π 2g Tt = T1 + T2 = + 2 s 2 r L L Tt = π +π 2 2g s   1 L 1+ √ Tt = π g 2 Ejemplo 1.9 ´ Hallar el periodo del pendulo con longitud efectiva de la Figura (1.19).

a

b L

L1

L2

´ Fig. 1.19: Pendulo con longitud efectiva

´ Solucion: ´ Este pendulo no puede oscilar en el plano de la hoja sino en un plano perpendicular entrnado y saliendo de la hoja. De la Figura 1.19 se tiene que:

18

1 Movimiento oscilatorio

L L2 L senα = L1

−→ L = L2 senβ

senβ =

−→ L = L1 senα

Donde L se denomina longitud efectiva. Sumando miembro a miembro, de estas dos ecuaciones se obtiene: 2L = L1 senα + L2 senβ L1 senα + L2 senβ L= 2 q ´ El periodo de un pendulo simple es T = 2π Lg , donde L es la longitud efectiva. Reemplazando el valor hallado anteriormente, se tiene que: s T = 2π

L1 senα + L2 senβ 2g

´ 1.9 Oscilador armonico ´ ´ El oscilador armonico representa cualquier sistema que realiza un movimiento periodico, el ejem´ conocido es el resorte helicoidal caracterizado por tener una constante elastica ´ plo mas k, y ´ ´ dada por la ley de Hooke, ver realiza un movimiento periodico debido a una fuerza de restitucion Figura (1.20) [2][11].

k Fr x=0 x m ´ Fig. 1.20: Oscilador armonico

´ y debe cumplir la Segun ´ la ley de Hooke, la fuerza es directamente proporcional a la elongacion segunda Ley de Newton, por lo tanto: Fr = −kx = ma

a=−

k x m

(1.37)

´ 1.9 Oscilador armonico

19

´ x representa la elongacion ´ del resorte. Comparando la donde Fr es la fuerza de restitucion, ´ (1.37) con la ecuacion ´ caracter´ıstica se tiene: ecuacion r k w= m Por tanto el periodo del resorte es : T =

2π 2π =q w k m

r T = 2π

m k

(1.38)

´ ´ (1.38), obtenemos: Haciendo el analisis dimensional de la ecuacion s s √ Kg (Kg)m = [T ] = = s2 = s N/m (Kg)m/s2 ´ ´ se puede calcular por medio de ecuaciones diferenEl periodo del oscilador armonico tambien ciales de la siguiente forma:

Fr = −kx = ma = m

d2 x dt2

Por tanto,

−kx = m

m

d2 x dt2

d2 x + kx = 0 dt2

(1.39)

´ (1.39) corresponde a la ecuacion ´ diferencial de segundo orden homogenea ´ La ecuacion que ´ ´ se realiza de la siguiente manera. identifica el movimiento del oscilador armonico, y su solucion ´ (1.28) se observa que: De la ecuacion k a = 1; b = 0; c= m ´ (1.30): y al reemplazar en la ecuacion q 0 − 4(1) K=

2

k m




2 = 2

r

k − = m

r

k i m

´ (1.40) en (1.29), tenemos: Sustituyendo la ecuacion  √k √k  −0t x(t) = e 2 Ae m it + Be− m it ´ Aplicando la formula de Euler, tenemos:

(1.40)

20

1 Movimiento oscilatorio

r ! r r ! k k k k x(t) = A cos t + isen t + B cos t − isen t m m m m r r r r k k k k x(t) = (A + B)cos t + (A − B)isen t = Ccos t + Dsen t m m m m r

´ seno y coseno donde A + B = C y A − B = D, C y D son constantes. Como la funcion π ´ ´ ´ defasadas un angulo ´ del triangulo estan de , se puede utilizar el siguiente artificio matematico 2 ´ rectangulo, ver Figura (1.21).

H

D

j C Fig. 1.21: Angulo de fase ϕ para un resorte de constante K.

´ De la Figura 1.21 se obtienen las siguientes relaciones trigonometricas: D ∴ D = Hsenϕ H C ∴ C = Hcosϕ cosϕ = H

senϕ =

´ x(t), se obtiene: Al reemplazar estas constantes en la ecuacion r ! r ! k k x(t) = Hcosϕcos t + Hsenϕsen t m m ´ Utilizando la identidad trigonometrica finalmente se obtiene: r x(t) = Hcos

k t−ϕ m

! (1.41)

x(t) = Hcos(wt − ϕ) (1.42) r k ´ por lo tanto la frecuencia angular es w = y periodo del oscilador armonico esta´ dado por: m r m T = 2π k Ejemplo 1.10 Una masa m se conecta a dos resortes de constantes k1 y k2 , la masa se mueve sobre una mesa ´ que se desplaza de la posicion ´ de equilibrio y se suelta, ver Figura (1.22). Demostrar sin friccion que el periodo de este sistema es [2]:

´ 1.9 Oscilador armonico

s T = 2π

21

m(k1 + k2 ) k1 k2

K2

K1

m

Fig. 1.22: Dos resortes conectados en serie conectados a una masa m

´ Solucion: ´ del resorte de constante k1 y k2 respectivamente, entonces la elonSea x1 y x2 la elongacion ´ de todo el sistema de resorte es: gacion x = x1 + x2 ´ para los dos resortes son iguales, entonces: Las fuerzas de restitucion F1 = F2 Usando la ley de Hooke, se tiene que: − k1 x1 = −k2 x2 k2 k2 k2 x1 = (x − x1 ) = x − x1 k1 k1 k1   k2 k2 x1 1 + = x k1 k1 Luego, x1 =

k2 k1 + k2

Usando la ley de Hooke para el resorte de constante k1 , se tiene que : F1 = −k1 x1 = ma −k1 k2 x = ma k1 + k2 ´ se obtiene una ecuacion ´ de la forma de la ecuacion ´ caracter´ıstica del Despejando la aceleracion ´ movimiento armonico simple:

22

1 Movimiento oscilatorio

a=−

k1 k2 x m(k1 + k2 )

Por lo tanto s w=

k1 k2 m(k1 + k2

As´ı, el periodo de este sistema de resortes en serie esta´ dado por:

2π T = = 2π w

s

m(k1 + k2 ) k1 k2

Ejemplo 1.11 Demostrar que el periodo del sistema mostrado en la Figura (1.23) es [2]: r T = 2π

m k1 + k2

F1

F2 K2

K1 m

Fig. 1.23: Sistemas de resortes conectados en paralelo a una masa m

´ Solucion: Supongamos que estiramos el sistema hacia la izquierda del eje x. Realizando una sumatoria de fuerzas sobre el eje x, tenemos que: X

Fx = ma;

F1 + F2 = ma

´ para los dos resortes es la misma Aplicando la ley de Hooke y considerando que la elongacion se tiene: ma = −k1 x − k2 x = −(k1 + k2 )x

(1.43)

´ de la ecuacion ´ anterior (1.43) se obtiene una ecuacion ´ que correDespejando la aceleracion ´ caracter´ıstica del movimiento armonico ´ sponde a la ecuacion simple:

a=−

(k1 + k2 ) x m

´ 1.10 Pendulo f´ısico

r Por tanto, w =

23

(k1 + k2 ) , y as´ı el periodo de dos resortes en paralelo esta´ dado por : m T =

2π = 2π w

r

m (k1 + k2 )

´ 1.10 Pendulo f´ısico ´ es conocido como pendulo ´ Tambien compuesto, es cualquier cuerpo r´ıgido que puede oscilar alrededor de un punto de equilibrio diferente del centro de masa, ver Figura (1.24).

o

q b cm Fr mg

´ Fig. 1.24: Pendulo F´ısico o compuesto

´ Fr realiza un torque alrededor del punto 0, obteniendose: ´ La fuerza de restitucion τo = Fr b = Iα

(1.44)

´ b el brazo de palanca, I el donde Fr = −mgsenθ que corresponde a la fuerza de restitucion, ´ angular. momento de inercia y α la aceleracion ´ (1.44), los valores de Fr , I e α se obtiene: Reemplazando en la ecuacion d2 θ dt2 ´ ˜ por lo que se puede hacer la aproximacion ´ senθ = θ, obtedonde θ es un angulo muy pequeno niendo : −(mgsenθ)b = I

−mgθb = I

d2 θ dt2

d2 θ mgb + θ=0 (1.45) dt2 I ´ (1.45) corresponde a la ecuacion ´ diferencial de segundo orden homogenea ´ La ecuacion que ´ ´ se realiza en forma similar a la realizada identifica el movimiento del pendulo f´ısico. La solucion con el resorte y el pendulo simple, es decir: mgb a = 1; b = 0; c= I

24

1 Movimiento oscilatorio

´ (1.34), se obtiene: y reemplazando estos valores en la ecuacion r   r r 0 − 4(1) mgb I 2 mgb mgb κ= = = i − 2 2 I I ´ (1.29), obtenemos. Sustituyendo κ en la ecuacion √ mgb   √ mgb −0t θ(t) = e 2 Ae I it + Be− I it Aplicando la formula de Euler, se tiene que : ! ! r r r mgb mgb mgb mgb θ(t) = A cos t + isen t + B cos t − isen t I I I I r r r r mgb mgb mgb mgb t + (A − B)isen t = Ccos t + Dsen t θ(t) = (A + B)cos I I I I r

donde A+B =C y A−B =D ´ seno y coseno estan ´ defasadas un angulo ´ Como la funcion de ´ ´ ´ artificio matematico del triangulo rectangulo, ver Figura (1.25).

H

π , se puede utilizar el siguiente 2

D

j C ´ ´ Fig. 1.25: Angulo de fase ϕ para un pendulo f´ısico

´ En donde se encuentras las siguientes relaciones trigonometricas: D ∴ D = Hsenϕ H C cosϕ = ∴ C = Hcosϕ H

senϕ =

Luego, al reemplazarlos en la ultima ecuacion se obtiene: ´ ! ! r r mgb mgb θ(t) = Hcosϕcos t + Hsenϕsen t I I ´ Recordando las relaciones trigonometricas, obtenemos:

´ 1.10 Pendulo f´ısico

r θ(t) = Hcos

25

!

mgb t−ϕ I

(1.46)

donde la frecuencia angular es: r w=

mgb 2π =q I mgb I

y por lo tanto: θ(t) = Hcos(wt − ϕ)

(1.47)

´ ´ As´ı el periodo del pendulo f´ısico sera: T =

2π 2π =q w mgb I

Luego, s T = 2π

I mgb

(1.48)

´ Haciendo el analisis dimensional se tiene que : s r √ (Kg)m2 s2 m2 = [T ] = = s2 = s m (Kg) s2 m m2 Ejemplo 1.12 ´ Una barra homogenea de longitud L tiene un pivote a una distancia d por arriba de su centro de ˜ respecto de la condicion ´ de equilibrio vertical, la barra masa. Para un desplazamiento pequeno ´ exhibe movimiento armonico. Determine la frecuencia angular de este movimiento y si la barra es una regla de un metro con el pivote en la marca de 75cm, ver Figura 1.26. Hallar el periodo [2].

Pivote d

L cm

Fig. 1.26: Oscilando alrededor del pivote a una distancia d del centro de masa

26

1 Movimiento oscilatorio

´ Solucion: ´ F origina un torque alrededor del pivote ubicado a una distancia d del La fuerza de restitucion centro de masa m. Por lo tanto: τ = F d = Iα,

F = −mgsenθ

´ angular. Por el teorema de los ejes donde I es el momento de inercia y α es la aceleracion ´ (1.49) paralelos mostrado en la ecuacion I = Icm + md2

(1.49)

donde Icm es el momento de inercia respecto al centro de masa. Haciendo un desarrollo ´ matematico para obtener el momento de inercia Icm , obtenemos. Z −L 2 m m dx = x2 dx −→ dm = dx = r dm = x L l l 2 L  3  L2  3  Z − L2 Z − L2 m m m x m L L3 = x2 dx = x2 dx = = + L L L L2 L 3 −L L 24 24 2 Z

Icm Icm

2

Z

2m

2

1 Icm = mL2 12 Ahora reemplazando en el teorema de Steiner, resulta:   1 1 2 2 2 2 I= mL + md = m L +d 12 12 r mgd Sabemos que la frecuencia angular es: w = , donde I es el momento angular obtenido en I ´ Con esto, y conociendo que el valor de la distancia es d = 0.25m, tenemos la ultima expresion. ´ que la frecuencia angular w es: s gd w= 1 2 2 12 L + d y por lo tanto el periodo es: s T = 2π

1 2 12 L

+ d2 = 2π gd

s

1 12

+ 0.252 = 1.533seg (9.8)(0.25)

T = 1.533seg 1.10.1 Teorema de Steiner El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos, plantea que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa es igual al momento ´ el producto de de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa de un cuerpo, mas la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes. El teorema se puede resumir en la ´ (1.50) ecuacion I = Icm + md2

(1.50)

donde Icm es el momento de inercia respecto al centro de masa, y d es la distancia del eje de ´ al centro de masa. rotacion

´ ´ 1.11 Pendulo de torsion

27

´ ´ 1.11 Pendulo de torsion ´ ´ consiste en un cuerpo r´ıgido suspendido mediante un alambre desde lo alto El pendulo de torsion ´ ´ de un soporte fijo. Cuando el cuerpo gira un angulo θ el alambre ejerce un momento de torsion restaurador,ver Figura (1.27), dado por: τ = −κθ

(1.51)

t q q=0° ´ ´ Fig. 1.27: Pendulo de torsion

´ y τ es el momento de torsion. ´ donde κ es una constante de torsion τ = −κθ = Iα = I

d2 θ dt2

Por tanto, d2 θ κ + θ=0 (1.52) dt2 I ´ (1.52) corresponde a la ecuacion ´ diferencial de segundo orden homogenea ´ La ecuacion que ´ ´ y su solucion ´ esta´ dada por la ecuacion ´ (1.29), en identifica el movimiento del pendulo de torsion, donde se tiene que los valores a, b y c, estan dados por : a = 1; b = 0; c = κI . r κ r r 0 − 4(1) 2 κ κ I = − = i κ= 2 2 I I ´ (1.29), se tiene que: Sustituyendo κ en la ecuacion  √κ √κ  −0t θ(t) = e 2 Ae I it + Be− I it ´ Aplicando la formula de Euler, se tiene que : r  r   r  r κ κ κ κ θ(t) = A cos t + isen t + B cos t − isen t I I I I r r r r κ κ κ κ θ(t) = (A + B)cos t + (A − B)isen t = Ccos t + Dsen t I I I I

28

1 Movimiento oscilatorio

´ Aqu´ı se ha hecho que A + B = C y (A − B) = D, donde C y D son constantes. Como la funcion ´ defasadas un angulo ´ ´ seno y coseno estan de π2 , se puede utilizar el siguiente artificio matematico ´ ´ del triangulo rectangulo, ver Figura (1.28).

H

D

j C ´ ´ ´ Fig. 1.28: Angulo de fase ϕ para un pendulo de torsion

´ De la Figura 1.28 encuentras las siguientes relaciones trigonometricas: D ∴ D = Hsenϕ H C cosϕ = ∴ C = Hcosϕ H

senϕ =

Reemplazando estas relaciones tenemos: r θ(t) = Hcosϕcos

κ t + Hsenϕsen I

r

κ t I

´ ´ Por ultimo, usando las identidades trigonometricas, se obtiene la solucion: ´ r θ(t) = Hcos

 κ t−ϕ I

(1.53)

r

mgb ´ por lo tanto el periodo del pendulo de I

r

κ I

donde el frecuencia angular esta´ dado por w = ´ esta´ dado por: torsion T = 2π

(1.54)

´ Haciendo el analisis dimensional se tiene que : s r √ (Kg)m2 (Kg)m [T ] = = = s2 = s 2 Nm (Kg)m/s

1.12 Movimiento oscilatorio amortiguado Consideremos un cuerpo de masa m sumergido en un fluido viscoso cuya constante de viscosi´ dad es γ. El cuerpo esta suspendido por un resorte de constante elastica k, el cual ejerce una ´ Fr opuesta al desplazamiento, vease ´ fuerza de restitucion Figura (1.29). Se ha comprobado experimentalmente que la fuerza de viscosidad Fr que experimenta el cuerpo sumergido en el fluido es directamente proporcional a la velocidad [11][12][13].

1.12 Movimiento oscilatorio amortiguado

29

Realizando el diagrama de cuerpo libre sobre el cuerpo de masa m, aplicando la segunda ley de Newton, se obtiene: X Fy = m · a Entonces, Fr + Fv = m · a

(1.55)

´ y Fv la fuerza de viscosidad. donde Fr es la fuerza de restitucion Por la ley de Hooke, se tiene que: Fr = −kx dx Fv = −γ dt

k

Fv

Fr

Fluido

m

´ Fig. 1.29: Oscilador armonico amortiguado

´ (1.55), se tiene : Reemplazando lo anterior en la ecuacion dx d2 x =m 2 dt dt d2 x γ dx k + + x=0 dt2 m dt m −kx − γ

´ Sea ademas

γ m

= 2µ,

k m

= wo2 , luego: d2 x dx + 2µ + w02 x = 0 2 dt dt

(1.56)

´ (1.56) representa la ecuacion ´ diferencial de segundo orden que identifica un La ecuacion ´ (1.29) para resolver la ecuacion ´ movimiento oscilatorio amortiguado. Empleando la ecuacion diferencial (1.56) y (1.30) se tiene:

30

1 Movimiento oscilatorio

a = 1, b = 2µ, c = wo2 r p 4µ2 − 4wo2 κ= = µ2 − wo2 2  √ 2 2 √ 2 2 x(t) = e −ut Aet µ −wo + Be−t µ −wo

(1.57)

Consideraciones: • • •

p ´ de µ2 − wo2 pertenece a los numeros Si µ > wo entonces la solucion reales y se presenta ´ un sobre-amortiguamiento, p por tanto no hay oscilaciones. Si µ ≈ wo entonces µ2 − wo2 = 0 y se presenta un amortiguamiento critico, por lo que tampoco hay oscilaciones. p ´ de µ2 − wo2 pertenece a los numeros imaginarios y se preSi µ < wo entonces la solucion ´ ´ senta un subamortiguamiento, por lo tanto hay oscilaciones, debido a que aparece la funcion ´ seno y coseno que son periodicas y oscilantes.

Considerando el tercer caso: p Sea wo2 − µ2 = W ´ en la ecuacion ´ (1.57), tenemos : Reemplazando la anterior consideracion x(t) = e−µt AeW ti + Be−W ti




Por la formula de Euler: x(t) = e−µt (Acos(W t) + Aisen(W t) + Bcos(W t) − Bisen(W t)) x(t) = e−µt ((A + B)cos(W t) + (A − B)isen(W t)) Sea (A + B) = C, Entonces:

y(A − B) = D x(t) = e−µt (Ccos(W t) + Dsen(W t))

´ seno y coseno estan ´ defasadas un angulo ´ Como la funcion de ´ ´ ´ artificio matematico del triangulo rectangulo, ver Figura (1.30).

H

π , se puede utilizar el siguiente 2

C

j D ´ Fig. 1.30: Angulo de fase ϕ para un movimiento oscilatorio amortiguado

´ Del triangulo de la Figura (1.30) se obtienen las siguientes relaciones: C = Hsen(ϕ) D = Hcos(ϕ)

1.12 Movimiento oscilatorio amortiguado

31

Reemplazando C y D, se tiene que: x(t) = e−µt (Hsen(ϕ)cos(W t) + Hcos(ϕ)sen(W t)) ´ y utilizando las identidades trigonometricas se obtiene: x(t) = He−µt sen(W t + ϕ)

(1.58)

´ (1.58) representa la solucion ´ a la ecuacion ´ de segundo orden y homogenea ´ Esta ecuacion para un movimiento oscilatorio amortiguado. Luego la amplitud de este movimiento es: A = He−µt

(1.59)

´ grafica ´ Una aproximacion al movimiento oscilatorio amortiguado, sobre su comportamiento bajo el tiempo, se muestra en la Figura (1.31) . x(t)

t

´ x(t) en funcion ´ del tiempo t para un movimiento oscilatorio amortiguado Fig. 1.31: Posicion

Ejemplo 1.13 ´ ´ ´ de 1000 Un pendulo de un metro de longitud se suelta desde un angulo inicial de 15o . Despues γ ◦ ´ su amplitud se ha reducido a 5.5 , ¿ Cual ´ es el valor de segundos, debido a la friccion, ? 2m ´ Solucion: γt Sabemos que θ(t) = θo e− 2m cos(wt − ϕ), donde la frecuencia excitatriz es: r  γ 2 g w= − wo 2m ´ ´ es: y la amplitud maxima de oscilacion γt

A = θo e− 2m γt

´ En t = 0, θ = θo cuando t > 0 , entonces θ = θo e− m . Reemplazando los datos en la ecuacion anterior se obtiene: θo = 15o , θ = 5.5, t = 1000s Entonces obtenemos:

32

1 Movimiento oscilatorio γ 5.5 = 15e−t( 2m ) γ 5.5 = e−t( 2m ) 15    γ  5.5 −t = ln , 2m 15

t = 1000s.

Por lo tanto,    γ 1 5.5 =− ln 2m 1000 15 γ −3 −1 = 10 seg 2m Ejemplo 1.14 ´ Muestre que la rapidez de cambio con el tiempo de la energ´ıa mecanica correspondiente a un ´ oscilador armonico sin impulso es : dE = −γv 2 dt y en consecuencia siempre es negativa [2]. ´ Solucion: ´ de la energ´ıa mecanica, ´ De acuerdo con el teorema de conservacion se tiene que: 1 (mv 2 + kx2 ) 2 !  2 1 dx = m + kx2 2 dt

Em = Em

´ con respecto al tiempo, se obtiene: derivando esta expresion dx d2 x dx dEm =m + kx dt dt dt2 dt ´ que identifica el movimiento oscilatorio amortiguado es: La ecuacion m

(1.60)

d2 x dx +γ + kx = 0 dt2 dt

(1.61)

d2 x dx = −γ − kx 2 dt dt

(1.62)

Luego de (1.61) , se tiene que: m Reemplazando (1.62) en (1.60) :  dx dx dx + kx dt dt dt  2 dE dx dx dx = −kx −γ + kx dt dt dt dt

dE = dt



−kx − γ

Luego dE = −γv 2 dt

1.13 Movimiento oscilatorio forzado

33

Ejemplo 1.15 Un oscilador amortiguado forzado de masa m, tiene un desplazamiento variable con el tiempo x = Asen(wt). La fuerza resistente es −γv. Hallar el trabajo que se realiza contra la fuerza re´ sistente durante un ciclo de oscilacion. ´ Solucion: Teniendo en cuenta que: fv = −γv x = Asen(wt) v = Awcos(wt) dx = wAcos(wt)dt Z Z W = f dx = −γvdx Z W = −γAwcos(wt)dt Z W = −γ(Awcos(wt))(wAcos(wt))dt Z W = −γA2 w2 cos2 wtdt Sea wt = θ,

dθ = wdt,

dt =

dθ w Z

dθ w Z 2π dθ W = −γA2 w2 cos2 θ w 0 W = −γA2 w2

Como cos2 θ =

cos2 θ

1 (1 + cos2θ) 2 W = W = W = W =

Z −γA2 w2 2π (1 + cos2θ) dθ 2w 0 Z  Z 2π 2π −γA2 w dθ + (cos2θ) dθ 2 0 0  2π sen2θ −γA2 w θ+ 2 2 0     2 −γA w sen4π sen(0) 2π + − 0+ 2 2 2

W = −γA2 wπ

1.13 Movimiento oscilatorio forzado Un oscilador forzado se obtiene cuando un oscilador amortiguado es sometido a una fuerza ´ externa, llamada fuerza excitatriz fex , la cual var´ıa periodicamente en el tiempo. Este agente ex´ ´ Supongase ´ terno entrega al sistema la energ´ıa necesaria para compensar la perdida por friccion.

34

1 Movimiento oscilatorio

´ el montaje de la Figura (1.32) pero esta vez el resorte, de constante elastica k, esta siendo im´ el cual presenta un movimiento armonico ´ pulsado por la fuerza que ejerce el timbre unido a el, simple. El cuerpo de masa m, sumergido en un fluido viscoso cuya constante de viscosidad es γ, ´ y [11][14][17]. realizara´ un movimiento oscilatorio en la direccion

k fex timbre

Fv Fluido

m

Fr

´ Fig. 1.32: Oscilador armonico forzado

´ de la fuerza excitatriz actuan ´ Como se puede ver, en este sistema, ademas ´ la fuerza de restitucion y la fuerza de viscosidad. Realizando el diagrama de cuerpo libre del sistema representado en la Figura (1.32) a plicando la segunda ley de Newton, se obtiene: X Fy = m · a Entonces Fr + Fv + fex = m · a

(1.63)

´ Fv la fuerza de viscosidad y fex la fuerza de excitatriz donde Fr es la fuerza de restitucion, ´ periodica cuya forma es fo coswe t, donde fo es la amplitud maxima y we es la frecuencia excitatriz. ´ (1.63) se obtiene: Reemplazando en la ecuacion dx d2 x − kx + fo cos(we t) = m 2 dt dt 2 d x dx m 2 +γ + kx = fo cos(we t) (1.64) dt dt ´ obtenida es una ecuacion ´ diferencial de segundo orden no homogenea. ´ La ecuacion Para re´ ´ ´ x(t) en solverla se utiliza el metodo de igualacion de coeficientes, y se supone una solucion ´ de seno y coseno, de la siguiente forma: funcion −γ

x(t) = Ccos(we t) + Dsen(we t) ´ (1.65) con respecto al tiempo, se tiene: Derivando la ecuacion dx = −Cwe sen(we t) + Dwe cos(we t) dt ´ (1.65), se obtiene: Al aplicar segunda derivada sobre la ecuacion d2 x = −Ce we2 cos(we t) − Dwe2 sen(we t) dt2

(1.65)

1.13 Movimiento oscilatorio forzado

35

´ diferencial (1.64) se tiene: Reemplazando en la ecuacion m(−Cwe2 cos(we t) − Dwe2 sen(we t)) + γ(−Cwe sen(we t) + Dwe cos(we t)) + · · · κ(Ccos(we t) + Dsen(we t)) = fo cos(we t) ´ obtenemos: Factorizando esta expresion, (−mCwe2 + γDwe + κC)cos(we t) + (−mDwe2 − γCwe + κD)sen(we t) = fo cos(we t) ´ ´ de coeficientes se tiene: Por el metodo de igualacion −mCwe2 + γDwe + κC = fo ´ se tiene: Factorizando esta expresion C(κ − mwe2 ) + γDwe = fo

(1.66)

´ y ademas: −mDwe2 − γCwe + κD = 0 y de aqu´ı: D=

γCwe (κ − mwe2 )

(1.67)

Reemplazando (1.67) en (1.66), factorizando y luego despejando se tiene que:

C=

fo (κ − mwe2 ) (κ − mwe2 )2 + (γwe )2

´ (1.67) se obtiene: Luego al reemplazar C en la ecuacion

D=

γwe fo (k − mwe2 )2 + (γwe )2

´ (1.65), se puede hacer el siguiente artificio matematico ´ ´ Volviendo a la ecuacion del triangulo ´ rectangulo, ver Figura (1.33).

H

C

j D ´ Fig. 1.33: Angulo de fase ϕ para un movimiento oscilatorio forzado

De la Figura 1.33 se obtiene que:

36

1 Movimiento oscilatorio

C = Hsen(ϕ) D = Hcos(ϕ) p H = C 2 + D2 ´ (1.65) se obtiene: Al reemplazar estas relaciones en la ecuacion x(t) = Hsen(ϕ)cos(we t) + Hcos(ϕ)sen(we t) x(t) = Hsen(we t + ϕ) p x(t) = C 2 + D2 sen(we t + ϕ)

(1.68)

´ (1.68),se tiene que: Reemplazando C y D, en la ecuacion s

2  2 γwe fo fo (k − mwe2 ) + sen(we t + ϕ) x(t) = (k − mwe2 )2 + (γwe )2 (k − mwe2 )2 + (γwe )2 fo x(t) = p sen(we t + ϕ) (k − mwe2 )2 + (γwe )2 fo /m x(t) = q

sen(we t + ϕ) k 2 2 + γwe 2 − w e m m x(t) = q

fo /m 2

(wo2 − we2 ) +


γwe 2 m

sen(we t + ϕ)

(1.69)

´ de la frecuencia we En la Figura (1.34), donde se muestra una curva de amplitud A en funcion de la fuente externa para un oscilador amortiguado, se puede observar que si la constante de amortiguamiento aumenta, para cualquier frecuencia, la amplitud del sistema disminuye. A g=0

g pequeño

g grande wo

w

´ de la frecuencia w de la fuerza externa de un oscilador amortiguado Fig. 1.34: Amplitud A en funcion

´ Existe un valor caracter´ıstico de la frecuencia impulsora we , para el cual la amplitud de oscilacion ´ es maxima, llamada frecuencia de resonancia. Entre menor sea el amortiguamiento en un sis´ se aproxima a la frecuencia de resonancia a la frecuencia natural w0 no amortema dado, mas tiguada. Ejemplo 1.16 ´ Una fuerza impulsora que varia de forma sinusoidal se aplica a un oscilador armonico amortiguado con constante de fuerza k y una masa m. Si la constante de amortiguamiento tiene un

´ 1.14 Aplicaciones del movimiento armonico simple

37

´ valor b, la amplitud es A cuando la frecuencia angular impulsora al cuadrado es k/m . En terminos ´ de A, cuanto vale la amplitud con la misma frecuencia impulsora y la misma amplitud de la fuerza ´ es 3 γ ? impulsora fmax , si la constante de amortiguacion ´ Solucion: ´ (1.69) y segun Empleando la ecuacion ´ el problema, la frecuencia angular natural wo es igual a la ´ frecuencia angular excitatriz o impulsora we , obteniendose: fo sen(wt + ϕ) m γw m fo A= sen(wt + ϕ) γw fo Af = sen(wt + ϕ) 3γw A=

Por ultimo la amplitud final se la puede escribir en terminos de la amplitud inicial A, asi: Finalmente, A Af = 3

´ 1.14 Aplicaciones del movimiento armonico simple 1.14.1 Figuras de Lissajous ´ cuyas coordenadas rectangulares Una figura de Lissajous es la trayectoria de un punto movil ´ ´ ´ (x, y) se describen por movimientos armonicos simples. Es un movimiento periodico de vaiven, ´ de equilibrio en una direccion ´ en el cual un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posicion determinada y en intervalos iguales de tiempo. Una part´ıcula sometida a este tipo de movimiento tendra´ un punto central, alrededor del cual oscilara. Cuando se superponen dos movimientos ´ armonicos con direcciones perpendiculares, se obtiene un movimiento plano que es descrito por ´ las ecuaciones parametricas siguientes: x(t) = A1 sen(w1 t + α) (1.70) y(t) = A2 cos(w2 t + β)

(1.71)

Las funciones (1.70) y (1.71) representan el movimiento horizontal y vertical respectivamente. ´ de las frecuencias y la diferencia de fase, La figura resultante depende entonces de la relacion ´ asociadas a las condiciones iniciales del sistema y definen el punto de partida donde α y β estan de coordenadas x(0), y(0) en el instante t = 0. Posteriormente, las coordenadas (x, y) que var´ıan con el tiempo definen puntos para diferentes instantes de tiempo t describiendo las trayectorias ´ ´ general para dibujar estas figuras consiste en denominadas figuras de Lissajous. El metodo mas ´ evaluar las ecuaciones parametricas en valores discretos de t, tomando como base un multiplo ´ ´ de las frecuencias que interactuan. Las ecuaciones parametricas del movimiento pueden ree´ scribirse mediante las ecuaciones (1.72) y (1.73) x(t) = A1 sen(w1 t) (1.72) y(t) = A2 sen(w2 t + δ)

(1.73)

Para construir las figuras de Lissajous se deben tener en cuenta los siguientes pasos: 1. Se dibujan dos circunferencias cuyos ejes sean perpendiculares entre si y cuyo radio sea igual a la amplitud de cada movimiento

38

1 Movimiento oscilatorio

´ 2. Se ubica el angulo de fase en cualquiera de las dos circunferencias. w2 ´ entre las frecuencias w y se divide cada circunferencia segun 3. Se considera la relacion ´ lo 1 ´ Se recomienda multiplicar por un factor de 2 o 3 esta relacion ´ con el fin de indique la relacion. ampliar el numero de divisiones en la circunferencia. ´ ´ con los otros puntos 4. Se prolonga cada punto en forma paralela hasta encontrar la interseccion de la otra circunferencia. ´ con una l´ınea continua. 5. Se unen los puntos demarcados en la interseccion Ejemplo 1.17 ´ entre las frecuencias [4]: Construir la figura de Lissajous para la siguiente relacion

3 w1 = w2 4 ´ con un angulo de fase de δ =

π y con amplitudes A1 6= A2 . 6

´ Solucion: Para construir esta figura de Lissajous, seguimos los 5 pasos anteriores, ver Figura 1.35. Multi´ a continuacion: ´ plicamos por dos para ampliar las divisiones, ver ecuacion w1 3 6 = = w2 4 8

(1.74)

Ejemplo 1.18 ´ entre las frecuencias: Construir la Figura de Lissajous para la siguiente relacion

w1 1 = w2 3 ´ un angulo de fase gamma = 0 y amplitudes A1 6= A2 ´ Solucion: w1 2 ´ entre frecuencias ´ Amplificamos la relacion = . Utilizando los mismos criterios de contruccion w2 6 del caso anterior, obtenemos:

´ 1.14 Aplicaciones del movimiento armonico simple

2 1

3 p 6

4

6 5 1 2

8

3

7 6

4 5 ´ Fig. 1.35: Figura de Lissajous para la relacion

w1 w2

=

3 4

3 2

4 p

1

4

5 6

8 7 1

4

2

3 ´ Fig. 1.36: Figuras de Lissajous para la relacion

w1 w2

=

1 3

39

40

1 Movimiento oscilatorio

´ 1.15 Oscilaciones electricas ´ 1.15.1 Circuito LC: Oscilaciones electricas ´ El equivalente mecanico del circuito LC (L: Inductancia, C: Capacitancia) son las oscilaciones de un sistema masa-resorte. En primer lugar, se estudiara´ las oscilaciones que se producen en un circuito LC , Figura (1.37). La diferencia de potencial entre las placas de un condensador es igual a. q VC = C ´ de la corriente Teniendo en cuenta que, segun ´ el circuito de la Figura (1.37), la circulacion ´ electrica genera una ca´ıda de potencial debido a que se debe transportar una carga positiva desde la terminal positiva a la negativa. Por lo anterior se deduce que: q C y la diferencia de potencial en la bobina de inductancia L, es: VC = −

VL = −L

(1.75)

di dt

(1.76)

a i

C

+

-q +q

L b

Fig. 1.37: Circuito LC

´ ya que la inductancia en la bobina es una medida de la inercia de este; es decir a mayor induc´ complicado cambiar la corriente que circula en el circuito. Si la corriente va en tancia, sera´ mas aumento, di >0 dt y VL < 0 ´ del inductor. Por esta razon, ´ el Lo que corresponde a una ca´ıda de potencial entre a y b a traves punto a tiene mayor potencial que el punto b, como se ilustra en la Figura (1.37). Aplicado la ley de mallas de Kirchoff al circuito de la Figura (1.37) se obtiene: VC + VL = 0 Luego: − Como i =

q di −L =0 C dt

dq ´ diferencial de segundo orden y homogenea. ´ , llegamos a la siguiente ecuacion dt d2 q 1 + q=0 (1.77) dt2 LC

´ 1.15 Oscilaciones electricas

41

´ diferencial (1.77) describe un movimiento armonico ´ Esta ecuacion simple (m.a.s.) de frecuencia angular propia o natural, dada por: w= √

1 LC

´ de la ecuacion ´ diferencial (1.77) es: La solucion q = Qsen(wt + ϕo )

(1.78)

donde la amplitud Q y la fase inicial ϕo se determinan a partir de las condiciones iniciales: la dq ´ carga del condensador q y la intensidad de la corriente electrica en el circuito en el instante dt inicial t = 0. La energ´ıa del circuito en el instante de tiempo t es la suma de la energ´ıa almacenada ´ ´ la energ´ıa almacenada en el campo magnetico ´ en campo electrico en el condensador mas en la ´ (1.79) bobina, mostrada en la ecuacion 1 1 q2 + Li2 (1.79) 2C 2 ´ La energ´ıa almacenada en la bobina tiene ”naturaleza” de energ´ıa cinetica, y la almacenada en el condensador, tiene ”naturaleza” de energ´ıa potencial. Esto se concebira´ con mayor claridad ´ adelante, donde se hara´ una analog´ıa mecano-electromagnetica ´ un poco mas entre un sistema ´ de este proceso cada cuarto de masa-resorte y un circuito oscilante LC. Una breve descripcion per´ıodo, es la siguiente: Etotal = Eelectrica + Emagnetica =

• •

•

•

•

Inicialmente el condensador esta´ completamente cargado con una carga Q. Toda la energ´ıa ´ esta´ almacenada en el campo electrico existente entre las placas del condensador. Cuando el condensador se empieza a descargar, la corriente aumenta y en la bobina se produce una fem (fuerza electromotriz) autoinducida que se opone al incremento de la corriente. ´ Al cabo de un cuarto de periodo, se alcanza la corriente maxima imax = Qw La corriente empieza a disminuir y en la bobina se produce una fem que se opone a que la corriente disminuya. El condensador se empieza a cargar y, el campo entre las placas del ´ el condensador ha condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo mas, ´ adquirido la carga maxima Q , y la corriente en la bobina se ha reducido a cero. Ahora comienza de nuevo a descargarse el condensador, la corriente aumenta, el campo ´ ´ la corriente magnetico en la bobina cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo mas, ´ alcanza su valor maximo. ´ La corriente decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo electrico entre las placas ´ se ha alcanzado del condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo mas, ´ inicial. la situacion

´ 1.15.2 Circuito RLC: Oscilaciones electricas amortiguadas Aplicando la ley de las mallas de Kirchoff para los voltajes de resistencia y condensador. Ver Figura 1.38. VR + VC + VL = 0 Pero i =

dq dt

d2 q R dq 1 + + q=0 (1.80) 2 dt L dt LC ´ diferencial de las oscilaciones amortiguadas (1.80), cuya solucion ´ que corresponde a la ecuacion ´ (1.81). es la ecuacion q = Qe−γt sen(wt + ϕo ) (1.81)

42

1 Movimiento oscilatorio

R ´ es similar a la obtenida para las oscilaciones . Esta solucion 2L ´ (1.58). La amplitud Q y la fase inicial ϕo se determinan a partir de amortiguadas, ver la ecuacion dq ´ las condiciones iniciales: la carga del condensador q y la intensidad de la corriente electrica dt en el circuito en el instante inicial t = 0. En las oscilaciones amortiguadas la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. La ´ carga maxima del condensador va disminuyendo. La energ´ıa del sistema disminuye debido a que se disipa en la resistencia por efecto Joule. En el caso en que γ = w, o que γ > w no habra´ oscilaciones y que corresponden respectivamente al amortiguamiento cr´ıtico y al sobre amortiguamiento. donde w =

p

w2 − γ 2 y γ 2 =

a +

C

-q +q

L i

b

Fig. 1.38: Circuito RLC

´ 1.15.3 Oscilaciones electricas forzadas Aplicando la ley de las mallas de Kirchoff al circuito de la Figura (1.38), se obtiene: VR + VC + VL = Vo sen(wf + ϕo ) Reemplazando cada uno de los potenciales, tenemos que: −Ri −

di q − L sen(wf + ϕo ) C dt

(1.82)

´ ´ Pero i = − dq dt y ademas la carga disminuye con el tiempo, se obtiene una ecuacion diferencial de ´ segundo orden y homogenea (1.83) de la forma: d2 q R dq 1 Vo + + q= sen(wf + ϕo ) dt2 L dt LC L

(1.83)

´ (1.83) es similar a la estudiada en el analisis ´ Esta ultima ecuacion de las oscilaciones forzadas ´ ´ ´ (1.64). En la tabla 1.5 se hace una analog´ıa entre las diferentes magnimecanicas, ver ecuacion ´ ´ tudes f´ısicas involucradas para un sistema mecanico masa resorte y un sistema electromagnetico RLC [5].

1.16 Ejercicios propuestos

43

Table 1.5: Analog´ıa entre movimiento oscilatorio y circuito resonante RLC ´ ´ Sistema mecanico masa-resorte Sistema electromagnetico RLC Masa

m

Inductancia

L

´ Elongacion

x

´ Carga electrica

q

Velocidad

vx

´ Capacitancia electrica

C

´ Constante elastica

k

Capacitancia inversa

1 C

r Frecuencia angular natural w =

k Frecuencia angular natural m

1 w= √ LC

´ Energ´ıa cinetica

K=

1 ´ mv 2 Energ´ıa magnetica 2

Emag =

1 2 Li 2

Energ´ıa potencial

U=

1 2 ´ kx Energ´ıa electrica 2

Eelec =

1 q2 2C

1.16 Ejercicios propuestos ´ 1. Una esfera A de masa m, esta unida a un resorte de constante elastica k. En el instante t = 0 se ´ Simultaneamente ´ comprime una distancia x y se suelta sobre una mesa sin friccion. otra esfera ´ de la gravedad). igual B se deja caer verticalmente (R es el radio de la esfera y g la aceleracion ´ ´ ver Figura (1.39), En el instante que por primera vez el resorte alcanza su maxima elongacion, hallar la distancia que ha descendido el centro de la segunda esfera. 1 m R/ π 2 . g k

x k

k A B

t=0

A

d B

´ ´ Fig. 1.39: Resorte comprimido y estirado hasta su maxima elongacion

2. Un cuerpo fijado a un resorte oscila con una amplitud de 0.5m, un periodo de π segundos y ´ ´ ´ una energ´ıa cinetica maxima de 0.25J. Encontrar la energ´ıa mecanica total. R/ 0.25J. ´ general para el periodo de un movimiento armonico ´ 3. Demostrar que la relacion simple y un ´ movimiento angular armonico simple son, respectivamente: r r x θ T = 2π − y T = 2π − α α ´ ´ 4. Un cuerpo oscila con un movimiento armonico simple, segun ´ la ecuacion.

44

1 Movimiento oscilatorio

 π x = 6cos 3πt + 3 ´ x y el tiempo t estan ´ expresados en el sistema internacional SI. Para el en donde la elongacion ´ d) fase inicial e) frecuencia f) tiempo t = 2s, hallar: a) desplazamiento b) velocidad c) aceleracion periodo del movimiento. m R/ a) 3m b) − 49 m s c) − 270 s2 d) 20rad e) 1.5Hz f ) 0.67s

5. Un disco de radio r esta pivoteado en su orilla, ver la Figura(1.40). a) Determinar el periodo ˜ oscilaciones y la longitud del pendulo ´ para pequenas simple equivalente [5]. P

r c

´ Fig. 1.40: Pendulo f´ısico en forma de un disco pivoteado en su orilla.

´ 6. Demostrar que la rapidez de un movimiento armonico simple se la puede escribir como: r k v = (x2o − x2 ) m ´ donde xo es la amplitud, k es la constante elastica y m es la masa. ´ ˜ 7. Una barra metalica uniforme de longitud l cuelga de un extremo y oscila con amplitud pequena. ´ Hallar la frecuencia angular de oscilacion. q R/ 6g l ´ 8. La Figura (1.41) es el resultado de combinar dos movimientos armonicos simples x = Ax coswx t y y = Ay cos(wy + ϕ) [6]. y

x

´ de dos movimientos armonicos ´ Fig. 1.41: Combinacion simples combinados

1.16 Ejercicios propuestos

Encontrar el valor de : a) R/ a) 1 b) 0.5 c) ±

45

Ax wx b) c) ϕ Ay wy

π 2

´ (1.69), determinar la velocidad v en el movimiento oscilatorio forzado 9. Partiendo de la ecuacion y demostrar que la amplitud de la velocidad es: fo 

k we

− mwe

2

 12 +

γ2

´ de la trayectoria del movimiento resultante de la combinacion ´ de dos 10. Encontrar la ecuacion m.a.s perpendiculares cuyas ecuaciones son x = 4sen(πt) y y = sen(πt + ϕo ), cuando a) ϕo = 0, π 3π b) ϕo = , c) ϕo = π, d) ϕo = 2 2 3 x2 y2 3 x2 y2 R/ a) y = x b) + =1 c) y = − x d) + =1 4 16 9 4 16 16

2 Movimiento Ondulatorio

2.1 Onda ´ que se Cuando se lanza una piedra en una alberca con agua, se origina una perturbacion ´ propaga en c´ırculos concentricos y que al final alcanza todas las partes de la alberca. Un corcho ˜ que flota sobre la superficie del agua se mueve hacia arriba y hacia abajo a medida pequeno ´ Se ha transmitido energ´ıa desde el punto de impacto de la piedra en que pasa la perturbacion. el agua hasta cierta distancia donde se encuentra el corcho, esta energ´ıa se transmite mediante ´ de las part´ıculas (moleculas) ´ ´ de la energ´ıa por medio de la agitacion del agua.“La propagacion ´ en un medio elastico, ´ una perturbacion en un lugar del espacio y el tiempo, se llama movimiento ´ la direccion ´ de ondulatorio” Las ondas se pueden clasificar segun ´ el medio de propagacion, ´ de las part´ıculas y el frente de onda [18][19][20][21]. vibracion ´ 2.1.1 Ondas Mecanicas ´ ´ f´ısica de las propiedades mecanicas ´ ´ velociUna onda mecanica es una perturbacion (posicion, ´ ´ dad y energ´ıa) que se propaga en un medio elastico. Son ejemplos de ondas mecanicas: ondas en un resorte, en una cuerda, las ondas s´ısmicas, el sonido. ´ 2.1.2 Ondas electromagneticas ´ ´ conocidas como ondas no mecanicas, ´ Las ondas electromagneticas, tambien son aquellas que ´ ´ su energ´ıa se propaga por medio de perturbaciones electricas y magneticas, y puede difundirse ´ del vac´ıo. Las ondas de luz, los rayos X (R-X), rayos ultravioletas UV, infrarrojo, ondas a traves ´ termica ´ ´ ´ de radio y la radiacion son algunos ejemplos de ondas electromagneticas. Por esta´ razon ´ con destellos de luz en la luna, se ver´ıa desde la tierra, la luz emitida, si hubiese una explosion ´ pero nunca el sonido de la explosion. 2.1.3 Onda transversal ´ de las part´ıculas individuales del medio vibran en forma perpenSe originan cuando la vibracion ´ de propagacion ´ de la onda, ver Figura 2.1. Al moverse el extremo libre de la dicular a la direccion cuerda de la Figura 2.1 hacia arriba y hacia abajo se env´ıa un pulso a lo largo de esta, tres puntos de la cuerda igualmente espaciados a, b, c demuestran que las part´ıculas individuales se mueven ´ se desplaza hacia la derecha con velocihacia arriba y hacia abajo en tanto que la perturbacion dad v, y perpendicular al movimiento de las part´ıculas. Son ejemplos de ondas transversales las ´ ondas en una cuerda, en un resorte, las ondas s´ısmicas y todas las ondas electromagneticas [7].

48

2 Movimiento Ondulatorio

v a a

b

c

b

c

v

b

v c

a

c a

v

b

´ de un pulso transversal Fig. 2.1: Propagacion

2.1.4 Onda longitudinal ´ de las part´ıculas individuales del medio es paralela a la direccion ´ Se originan cuando la vibracion ´ de la onda, ver Figura 2.2. de propagacion

v

v v v

´ en ondas longitudinales Fig. 2.2: Pulso de compresion

´ En la Figura 2.2 se aprecia como las espiras del resorte en el extremo izquierdo se comprimen ´ Cuando se comprime el resorte la fuerza de distorsion ´ para formar un pulso de compresion. ´ que se propaga a lo largo de la longitud del muelle. Si se fuerzan origina un pulso de compresion ´ las espiras del resorte a separarse hacia la izquierda entonces se propaga un pulso de dilatacion a lo largo del resorte. En general una onda longitudinal consiste en una serie de compresiones ´ determinada. El sonido es un y dilataciones que se propagan en un medio y en una direccion ´ ejemplo de onda longitudinal y mecanica .

´ 2.2 Ondas periodicas

49

v

v

v

´ en ondas longitudinales Fig. 2.3: Pulso de dilatacion

´ pueden ser clasificadas segun Las ondas tambien ´ su frente de onda en ondas circulares, planas ´ y esfericas [7]. 2.1.5 Frentes de onda ´ se genera un frente de Cuando se unen todos los puntos de un medio en igual estado de vibracion ´ sucede a lo largo de la superficie del medio se generan ondas planas. Si onda. Si la propagacion ´ se presenta en un punto de la superficie del medio se generan ondas circulares. Si la perturbacion ´ se presenta en un espacio tridimensional se generan ondas esfericas. ´ la perturbacion As´ı mismo ´ si se traza una l´ınea perpendicular a estos frentes de ondas y desde el foco de la perturbacion se originan los denominados rayos.

a) Frente esfé ricos

b) Frente circulares

c) Frente planos

Fig. 2.4: Tipos de frente de onda de una onda en el espacio

´ 2.2 Ondas periodicas Supongamos que el extremo izquierdo de una cuerda se sujeta en uno de los bordes de un vi´ ´ brador electromagnetico (timbre). El extremo metalico del vibrador se mueve con desplazamiento ´ ´ armonico debido a un campo electromagnetico oscilatorio. Debido a que la cuerda esta´ sujeta a ´ uno de los extremos del vibrador, una serie de pulsos transversales periodicos se env´ıa a lo largo de la cuerda. La onda resultante consiste en una serie de crestas y valles que se desplazan a lo largo de la cuerda con velocidad constante. A medida que la onda viaja a lo largo de la cuerda, ´ de equilibrio con la misma frecuencia cada una de sus part´ıculas vibra alrededor de su posicion ´ ver Figura 2.5 [21]. y amplitud que la fuente de vibracion,

50

2 Movimiento Ondulatorio

c

c

c

A

A

l

cuerda

Timbre l v

v

v

v

Laminilla metálica ´ ´ Fig. 2.5: Una fuente periodica de ondas genera una onda armonica

Longitud de onda λ Es la distancia entre dos crestas o dos valles consecutivos, de manera general la longitud de ´ en fase. Las unidades en el SI onda es la distancia entre dos part´ıculas cualesquiera que esten de la longitud de onda es el metro, ver Figura 2.5. Frecuencia Es el numero de longitudes de onda que pasan por un punto en particular en una unidad de ´ tiempo. En el SI la frecuencia se mide en Hertz (Hz). ´ Velocidad de propagacion ´ completa, la onda se desplazara´ una distancia Cada vez que el vibrador efectua ´ una oscilacion igual a una longitud de onda en un intervalo de tiempo correspondiente a un periodo T, por lo ´ (2.1) tanto se puede observar esto en la ecuacion λ (2.1) T Las ondas viajan a una rapidez definida, la cual depende de las propiedades del medio perturbado. Por ejemplo, las ondas sonoras viajan por el aire a temperatura ambiente a una rapidez ´ aproximada de 343 m/s en tanto que la rapidez del sonido en casi todos los solidos es aproximadamente 5000 m/s. v=

Amplitud de onda (A) ´ ´ alta de la part´ıcula Es el maximo desplazamiento de una part´ıcula del medio o la distancia mas ´ de equilibrio. medida a partir de la posicion Periodo T ´ Tiempo empleado por una part´ıcula del medio perturbado para realizar un ciclo, una revolucion o vuelta completa. En otras palabras, el periodo es el tiempo necesario para que la onda recorra una longitud de onda, sus unidades en el SI es el segundo. Ejemplo 2.1 Un hombre se sienta en el borde de un muelle para pescar y cuenta las ondas en el agua que golpean un poste de soporte del muelle, en un minuto cuenta 80 ondas. Si una cresta en particular viaja 20 metros en 8 segundos, hallar la longitud de onda de las ondas. ´ Solucion: Primero, hallemos el periodo y velocidad de esta onda. T =

60s = 0.75s 80ondas

v=

20m m = 2.5 8s s

´ (2.1). Teniendo el periodo y la velocidad se puede calcular la longitud de onda usando la ecuacion  m λ = vT = 2.5 (0.75s) = 1.88m s

´ de onda 2.3 Funcion

51

Ejemplo 2.2 ´ de 0.1 segundos la ondulacion ´ avanza 0.9 Un estudiante hace ondular una cuerda. Despues metros a lo largo de la cuerda. Hallar la frecuencia mostrada en la Figura 2.6.

cm 0

30

60

90

Fig. 2.6: Onda espacial a lo largo de una cuerda

´ La velocidad esta´ dada por : Solucion: v=

x 0.9m m = =9 t 0.1s s

De la Figura 2.6 se puede observar que la longitud de onda es de 60 cm, entonces se puede usar ´ (2.1), teniendo en cuenta que el periodo es el rec´ıproco de la frecuencia. la ecuacion f=

9m v s = = 15Hz λ 0.6m

´ de onda 2.3 Funcion ´ de onda es una expresion ´ matematica ´ ´ y de una La funcion que permite obtener la posicion ´ de equilibrio x, para cualquier instante de tiempo part´ıcula del medio con respecto a su posicion t, es decir y = f (x, t). ´ ´ Consideremos una onda armonica producida por un movimiento periodico la cual se propaga a lo ´ v es constante, largo de una cuerda, sobre el eje x y en un tiempo t. La velocidad de propagacion como se muestra en la Figura 2.7 [3].

y v

O

t

O´ x v

t´

P

t ´ del eje x Fig. 2.7: Onda temporal que se propaga en direcion

El desplazamiento de una part´ıcula en el extremo izquierdo de la cuerda x = 0, donde se origina ´ (2.2): la onda, esta´ dado en la ecuacion y = Acoswt0

(2.2)

52

2 Movimiento Ondulatorio

donde A es la amplitud de la onda, t0 es el tiempo contado desde el origen O0 hasta el punto P, y ´ w la frecuencia angular. Observando la Figura 2.7, se tiene la expresion. t0 = t −

x v

(2.3)

´ se define el numero Ademas, de onda angula k, cuyas unidades en el SI son los rad/m, mostrada ´ ´ (2.4). as´ı en la ecuacion 2π (2.4) λ ´ El numero de onda angular representa f´ısicamente el numero de longitudes de onda en un angulo ´ ´ de 2π radianes. k=

2π 2π w = = λ vT v ´ (2.2), se obtiene la ecuacion ´ (2.6). Sustituyendo los valores de k y t0 en la ecuacion     x w y = Acosw t − = Acos wt − x v v y = Acos(wt − kx) k=

(2.5)

(2.6)

´ (2.6) representa la funcion ´ de onda para una onda armonica ´ La ecuacion que avanza de izquierda a derecha en el eje x. ´ de onda correspondiente, se Si la onda avanza de derecha a izquierda en el eje x, la funcion ´ (2.7). describe en la ecuacion y = Acos(wt + kx) ´ (2.6), tambien ´ se puede escribirse como: La ecuacion    x t − y = Acos 2π T λ

(2.7)

(2.8)

Ejemplo 2.3 ´ de onda y(x, t) = 3sen2π(0.2x + 5t), unidades en el SI. Hallar el valor de la ampliSea la funcion ´ tud, el numero de onda, la frecuencia angular y la velocidad de propagacion. ´ ´ Solucion: ´ de onda general de la ecuacion ´ (2.6). Si comparamos con la funcion y(x, t) = Acos(wt − kx) y(x, t) = 3sen2π(0.2x + 5t) Por lo tanto, se puede concluir que: La amplitud: A = 3cm, numero de onda: k = 2π(0.2) = 0.4π ´ ´ (2.5), se obtiene la rad/cm, frecuencia angular : w = 2π(5) = 10π rad/s. Usando la ecuacion ´ velocidad de propagacion. 10πrad/s w = = 25cm/s v= k 0.4πrad/cm Ejemplo 2.4 Un estudiante lanza una piedra a un lago. El tiempo que mide en llegar la onda producida a la ´ mide orilla a la orilla es t y cuenta que hay N ondas por segundo que alcanzan la orilla. Ademas la longitud L entre dos crestas. Hallar la distancia desde la orilla a donde cayo´ la piedra [3].

´ 2.4 Fenomenos ondulatorios

53

´ Solucion:

w = 2πN x = vt =

k=

2π L

L w t = (2πN ) t = N Lt k 2π

Por lo tanto la distancia desde la orilla a donde cayo´ la piedra es: x = N Lt. Ejemplo 2.5 ´ de onda descrita por En una cuerda colocada a lo largo del eje x, determinada por la funcion ´ y(x, t) = 0.02cos(8t − 4x). Hallar el tiempo que tarda la perturbacion ´ en la siguiente ecuacion recorrer 8 metros. ´ Solucion ´ (2.5) se puede calcular la velocidad v. Usando la ecuacion v=

w 8rad/s = = 2m/s k 4rad/m

´ La onda se propaga con velocidad constante, por tanto el tiempo sera. t=

x 8m = = 4s v 2m/s

´ 2.4 Fenomenos ondulatorios ´ 2.4.1 Reflexion ´ Cuando una onda llega a un obstaculo o al final del medio material donde se propaga, una parte ´ consiste en el cambio de direccion ´ que exde la onda se refleja, se devuelve. As´ı, la reflexion ´ ´ perimenta una onda cuando choca contra un obstaculo. La onda que se dirige hacia el obstaculo ´ se denomina onda incidente, mientras que la onda que se aleja del obstaculo se denomina onda reflejada. ´ ´ se conserva el medio de propagacion, ´ la longitud de onda, la freEn el fenomeno de reflexion ´ de la velocidad. Este cuencia y la magnitud de la velocidad, lo unico que cambia es la direccion ´ ´ de la onda depende de la diferencia de elasticidad de los medios. Si la dencambio de direccion sidad del segundo medio es mayor que la del primero, la onda reflejada sufre un desfase de 180o , es decir, si la onda incidente al chocar estaba en cresta, se devuelve en valle o viceversa. Se dice que existe una acople fuerte y en consecuencia se presenta un desfase, ver Figura 2.8 [18][20].

54

2 Movimiento Ondulatorio

v Pulso incidente

Acople fuerte

v ´ en las ondas con acople fuerte Fig. 2.8: Reflexion

Si la densidad del segundo medio es menor que la del primero, la onda reflejada no sufre un ´ cambio de fase, y se presenta un acople suave. Para mirar estos fenomenos se pueden observar las Figuras 2.9 y 2.10.

v

v

Acople suave

´ en las ondas con acople suave Fig. 2.9: Reflexion

´ imagen en espejos planos y esfericos, ´ Son ejemplos de reflexion: el eco, el sonar, el radar.

Frente de onda reflejada

Frente de onda incidente

qi qr qi

qr

´ de un frente de onda cuando choca con un obstaculo ´ Fig. 2.10: Direccion

´ el angulo ´ ´ ´ θr , ver Figura 2.9. Ley de la reflexion: de incidencia θi igual al angulo de reflexion

´ 2.4 Fenomenos ondulatorios

55

´ 2.4.2 Refraccion Cuando una onda llega a la frontera con otro medio diferente al medio en que se propaga, una parte de ella se refleja mientras que la otra se transmite, a esta onda se llama onda refractada. En ´ ´ cambia el medio de propagacion, ´ la longitud de onda, la velocidad el fenomeno de la refraccion ´ mas ´ y se mantiene constante la frecuencia. Si se genera un pulso plano que viaje en una region ´ menos profunda, en un estanque con agua, la velocidad de propagacion ´ profunda a una region disminuira´ a medida que la profundidad sea menor. En el instante en que la onda sea menor ´ cruza la frontera, se produce una diferencia en la longitud de onda que ocasiona una desviacion ´ de propagacion. ´ El fenomeno ´ ´ se puede apreciar al sumergir un en la direccion de la refraccion ´ ´ ´ lapiz dentro de un vaso con agua y cuando la luz del sol atraviesa la atmosfera, la descomposicion ´ de un prisma (arcoiris), imagenes ´ de la luz blanca a traves en lentes.

B

qi medio 1

qi

A qr

B

A qr

medio 2

´ ´ Fig. 2.11: Cambio en el frente de onda debido al fenomeno de refraccion

´ de la onda cuando penetra al medio 2 y En la Figura 2.11 se observa el cambio en la direccion ´ es menor en el medio 2 que en el medio 1, de tal modo por tanto la velocidad de propagacion ´ de la onda se acerca a la l´ınea normal o a la superficie de separacion, ´ siendo θr que la direccion ´ ´ menor que el angulo ´ el angulo de refraccion, de incidencia. El frente de onda plano AB viaja por ´ un angulo ´ el medio 1 con velocidad v1 y forma con la superficie de separacion θi . Al propagarse 0 0 ´ un por el medio 2 con velocidad v2 , el frente de onda A B forma con la superficie de separacion ´ angulo θr .

56

2 Movimiento Ondulatorio B

medio 1 v1t

A

qi qr

B

medio 2 v2 t

A

´ de la ley de refraccion ´ Fig. 2.12: Deduccion

En la Figura 2.12 el frente de onda plano AB viaja por el medio 1 con velocidad v1 y forma con ´ un angulo ´ la superficie de separacion θi . Al propagarse por el medio 2 con velocidad v2 , el frente 0 0 ´ un angulo ´ de onda A B forma con la superficie de separacion θr . Las ondas se propagan con 0 mayor velocidad en el medio 1. La onda en el medio 1 recorre una distancia v1 t desde BB y en 0 0 0 0 ´ el medio 2 recorre una distancia v2 t desde AA . Puesto que los triangulos ABB y AA B son ´ rectangulos, se puede escribir: senθi =

v1 t AB 0

y

senθr =

v2 t AB 0

De esto se obtiene que:  senθi = senθr

Por lo tanto :

v1 t AB 0 0

AB v2 t

 !=

v1 t v2 t

senθi v1 = senθr v2

(2.9)

´ (2.9), se conoce como la Ley de Snell. Tambien ´ se puede comprobar que la ley de La ecuacion Snell se puede escribir de la la siguiente forma: v1 λ1 n2 senθi = = = senθr v2 λ2 n1

(2.10)

donde λ1 es la longitud de onda del medio 1 y λ2 es la longitud de onda del medio 2, n2 es el ´ del medio 2 y n1 es el ´ındice de refraccion ´ del medio 1. ´ındice de refraccion ´ 2.4.3 Difraccion ´ Las ondas se dispersan al propagarse y cuando encuentran un obstaculo, lo rodean y se doblan ´ Por ejemplo, cuando estamos en un cuarto cerrado y deseamos escuchar una alrededor de el. ´ que se da en el pasillo, abrimos ligeramente la puerta y as´ı logramos escuchar a conversacion ´ de la rendija. Esto sucede porque la onda sonora bordea el obstaculo ´ traves (la puerta) y sigue

´ 2.4 Fenomenos ondulatorios

57

´ ´ ver Figura 2.13. su camino propagandose a la habitacion, ´ es una propiedad de las ondas que consiste en reproducirse a traves ´ de orificios La difraccion ´ ´ La condicion ´ para que se presente o bordear (curvar) obstaculos en el medio de propagacion. ´ es que la longitud de onda λ y el tamano ˜ del orificio S comparado con la longitud difraccion de onda λ debe ser mucho menor (S n2

n2

n1 n2

n1 < n2

qr qr

´ de acuerdo con la relacion ´ entre los ´ındices de refraccion ´ Fig. 5.7: Cambios de la direccion

´ que la luz se frena cuando el medio es Cuando el rayo de luz se refracta se observa tambien ´ ´ denso y por lo tanto la longitud de onda disminuye. Finalmente la ley de reopticamente mas ´ sera: ´ fraccion senθi v1 n1 λ1 = = = senθr v2 n2 λ2

(5.4)

donde λ1 es la longitud de onda del primer medio y λ2 es la longitud de onda del segundo medio. En resumen, las velocidades son directamente proporcionales a las longitudes de onda e inver´ samente proporcionales a los ´ındices de refraccion. Ejemplo 5.1 ´ de la lamina ´ Demostrar que el desplazamiento lateral d a traves de vidrio, ver Figura 5.8 puede ´ [7]: calcularse con la siguiente expresion   n1 cosθi d = tsenθi 1 − n2 cosθr

146

´ 5 Optica Geometrica

qi

n1 n2

O

qr

a

t

d O qi

Fig. 5.8: Un rayo de luz se desplaza una distancia d cuando se refracta

´ Solucion: Se puede deducir que: senα =

d OO0

Pero α = θi − θr Entonces sen (θi − θr ) =

d OO0

Luego d = OO0 (senθi cosθr − senθr cosθi ) Ademas, se conoce que: t OO0 ´ se tiene: Y as´ı, reemplazando en la anterior expresion, cosθr =

d=

t (senθi cosθr − senθr cosθi ) cosθr

Empleando la ley de Snell y factorizando, llegamos finalmente a:   n1 cosθi d = tsenθi 1 − n2 cosθr Ejemplo 5.2 ´ ´ n, el angulo ´ Demostrar que en una lamina de caras planas y paralelas de un ´ındice de refraccion ´ de incidencia es igual al angulo de emergencia .

´ absoluto 5.3 ´Indice de refraccion

147

qi

O n qr

qr

qi

´ lamina ´ Fig. 5.9: Esquema demostracion caras planas

´ Solucion: De la ley de Snell, se tiene que: senθi =n senθr Entonces: senθi = nsenθr Aplicando nuevamente la ley de Snell en la segunda cara, obtenemos: 0

1 senθr 0 = n senθi Entonces, 0

0

nsenθr = senθi 0

´ alternos internos, entonces: pero θr = θr , por ser angulos 0

nsenθr = senθi 0

Luego senθi = senθi , y finalmente obtenemos: 0

θi = θi

´ absoluto 5.3 ´Indice de refraccion ´ Si un rayo de luz incide del vac´ıo con la velocidad de la luz c a otro medio con ´ındice de refraccion ´ (5.2) obtenemos: n y con velocidad v, en la ecuacion velocidad de la luz en el vacio c = velocidad de la luz en el medio v ´ nos permite calcular directamente la Como c > v, se tiene que siempre n ≥ 1. Esta´ expresion ´ velocidad de la luz en diferentes medios conociendo el ´ındice de refraccion. n=

148

´ 5 Optica Geometrica

Ejemplo 5.3 Calcular la velocidad de la luz en el agua. ´ Solucion: ´ n= Usando la relacion

c . Se tiene que: v v=

3 × 108 = 225000Km/s 1.33

´ (5.2), obtenemos: Si remplazamos nuevamente en la ecuacion λ1 v1 c/n1 n2 = = = λ2 v2 c/n2 n1 Entonces (5.5)

λ1 n1 = λ2 n2 Si el medio uno es vac´ıo, se tiene n1 = 1, por lo tanto:

(5.6)

λ 0 = λ m nm

donde λ0 es la longitud de onda en el vacio, λm la longitud de onda en el medio y nm el ´ındice de ´ en el medio. refraccion

l0

Aire

lm

n1

n2

Aire

Fig. 5.10: Rayo de luz cuando pasa del vac´ıo a un medio

´ denso su longitud de onda se De la Figura 5.10 se observa que la luz al pasar a un medio mas c λo ´ denso se reduce a vm = ; reduce a λm = nm . De igual forma la velocidad en el medio mas nm donde c es la velocidad de la luz en el aire.

´ interna total 5.4 Reflexion ´ denso opticamente y con ´ındice de Supongamos que un rayo de luz pasa de un medio mas ´ n1 a otro medio menos denso que por ejemplo el aire, y en este caso n2 = 1, y segun refraccion ´ la ley de Snell se tiene que [7]: senθ1 = nsenθr

(5.7)

´ denso opticamente ´ Cuando la luz penetra de un medio mas a uno menos denso, el rayo refrac´ ´ tado se aleja de la normal. Cuando el angulo de incidencia llega a ser θc , llamado angulo cr´ıtico o l´ımite y el refractado es 90o , en este caso se tiene que:

´ interna total 5.4 Reflexion

149

1 (5.8) n ´ ´ Cuando un rayo llega sobre la superficie con un angulo mayor que el angulo cr´ıtico, toda la luz se ´ ´ interna total, en el caso contrario, cuando el angulo ´ refleja, a este fenomeno se le llama reflexion ´ de incidencia es menor que el angulo cr´ıtico el rayo de luz se refracta, como puede evidenciarse en la Figura 5.11. senθc =

´ interna total se presenta en la “fibra optica” ´ Una de las aplicaciones de la reflexion la cual permite ´ ˜ senales ˜ transmitir por un tubo de diametro muy pequeno, de internet con una fidelidad muy alta. Ejemplo 5.4 ´ es el angulo ´ ´ 1.5? ¿ Cual cr´ıtico del vidrio de ´ındice de refraccion ´ Solucion: ´ (5.7) se tiene θc = sen Usando la ecuacion

N

−1



1 1.5

N



= 42o

N

N

qr

n2

90°

n1

qc

P q2

q2

q1

S Fig. 5.11: Una fuente de luz S dentro de una piscina que emite rayos de luz en todas las direcciones

Ejemplo 5.5 ´ Un rayo luminoso pasa del agua n = 4/3 al aire con un angulo de incidencia de 37o , calcular: ´ es el angulo ´ ´ a. ¿ Cual de refraccion? ´ es el angulo ´ ´ si el rayo luminoso dentro del agua incide con un angulo ´ b. ¿Cual de refraccion de 53o ? ´ es el angulo ´ c. ¿Cual cr´ıtico del agua? ´ Solucion: ´ (5.6) se obtiene: a) Empleando la ecuacion 4 sen(37o ) 3 θr = 53o

senθr =

b) Aplicando la ley de Snell, tenemos: senθr =

4 sen(53o ) = 1.067 3

150

´ 5 Optica Geometrica

´ seno sea mayor que uno, por tanto el rayo luminoso no puede No es posible que la funcion ´ ´ total. salir del agua, y se presenta el fenomeno de reflexion ´ (5.8), se obtiene: c) Aplicando la ecuacion sen(90o ) = 1 =

4 senθc 3

θc = 49o ´ Para angulos mayores de 49o el rayo de la luz se refleja totalmente dentro del mismo medio.

5.5 Profundidad aparente ´ ocasiona que un objeto sumergido dentro de un l´ıquido con un ´ındice de refraccion ´ La refraccion ´ cercano a la superficie de lo que realmente esta, como se evidencia en la mayor aparezca mas ´ Figura 5.12, donde el objeto O parece estar en I a causa de este fenomeno [7]. N

d

q2

n2 A

B

n1 q

q2 q1

I

p

q1

O ´ entre la profundidad aparente y profundidad real Fig. 5.12: Relacion

Si se denota por q la profundidad aparente, y la profundidad real por p, la ley de Snell se aplica en la superficie y se obtiene. senθ1 n2 = (5.9) senθ2 n1 De la Figura 5.12 se obtiene que: d OA d senθ2 = IA ´ Reemplazando en la ecuacion(5.9) se obtiene: senθ1 =

senθ1 d/OA IA = = senθ2 d/IA OA

(5.10)

5.6 Aplicaciones

151

´ Si se restringe a los rayos cercanos a la vertical llamados rayos paraxiales, los angulos θ1 y θ2 ´ pequenos, ˜ seran as´ı que se pueden hacer las siguientes aproximaciones: OA ≈ p AI ≈ q Si se aplican estas aproximaciones a las ecuaciones (5.9) y (5.10), estas pueden escribirse como sigue: senθ1 n2 q = = senθ2 n1 p Luego n2 q(prof undidad aparente) = n1 p(prof undidad real)

(5.11)

Ejemplo 5.6 En el fondo de un recipiente lleno de agua se encuentra una moneda en reposo. La distancia ´ es la profundidad del recipiente? aparente de la moneda a la superficie es de 15cm. ¿Cual ´ Solucion: ´ (5.10) se tiene que: A partir de la ecuacion p=

15 × 1.33 n1 = 19.95 ≈ 20cm q= n2 1.0

5.6 Aplicaciones ´ ´ interna total. La luz Periscopio: es un instrumento que usa el principio basico de la reflexion que proviene de un objeto se refleja totalmente en un prisma de vidrio permitiendo visualizar los ´ [34]. objetos con mayor resolucion

prisma

agua aire

prisma Fig. 5.13: El periscopio

´ ´ La luz que ´ıncide en el prisma con un angulo de 45o el cual es mayor que el angulo cr´ıtico del ´ total de la luz que proviene de un objeto que se encuentra prisma, originandose una reflexion sobre la superficie del mar, ver Figura 5.13.

152

´ 5 Optica Geometrica

´ de la Fuente de agua luminosa: una fuente de luz ilumina un surtidor de agua en la direccion salida del agua. Debido a las reflexiones internas totales, la luz no puede salir del chorro de agua que canaliza la luz.

Fig. 5.14: Fuente de agua luminosa, reflejando luz totalmente sobre el chorro

´ Fibras opticas: con el mismo principio que en la fuente de agua, se utilizan haces de fibras ´ ´ de vidrio o de plastico muy finos que permiten conducir luz o transmitir imagenes de un lugar ´ a otro. Si se construye en un haz de fibras de modo que estas aumenten su diametro progresi´ vamente, se tendra´ un amplificador de imagenes. Por el contrario si las fibras son entrelazadas, aplicando una imagen de un lado, tendremos del otro lado una imagen del otro lado completamente irreconocible. Pero si inversamente se aplica esta imagen a este haz de fibras invertidas, ´ por los esp´ıas para transportar imagenes ´ se reconstruira´ la imagen original. De aqu´ı su utilizacion secretas.

´ ´ total Fig. 5.15: Fibras optica principio reflexion

Espejismos: durante los d´ıas calientes del verano, las capas de aire en contacto con el suelo ´ disminuye. Si un rayo de luz llega sobre ella, con se dilatan y por tanto su ´ındice de refraccion ´ ´ ´ un angulo de incidencia mayor al angulo cr´ıtico, este se reflejara´ completamente y se podran ´ observar imagenes invertidas de los objetos lejanos.

´ en un prisma 5.7 Refraccion

153

´ del aire Fig. 5.16: El espejismo se origina por el cambio en el ´ındice de refraccion

´ en un prisma 5.7 Refraccion ˆ ´ n y angulo ´ Un rayo incidente se dirige hacia un prisma de ´ındice de refraccion de prisma A, ´ ´ de la luz a traves ´ del prisma, esta se desv´ıa de su trayectoria debido al fenomeno de refraccion ´ ´ D [3]. inicial ocasionando el angulo de desviacion

N A qi O

N D

qi

qr

qr n

O

qi qr

A M

Fig. 5.17: Rayo incidente en la cara de un prisma 0 M , el angulo \ ´ Sea M el punto de encuentro de las dos normales. En el triangulo OO exterior Aˆ es: 0 Aˆ = θr + θr

´ Por otra parte, en el punto N se encuentran los rayos emergentes e incidentes, y el angulo externo 0 \ ´ al triangulo N OO , es igual a: 0

0

0

D = (θi − θr ) + (θi − θr ) = θi − θi − A Por ley de Snell: senθi = nsenθr 0

0

senθi = nsenθr ´ ˜ podemos concluir que: Considerando los angulos muy pequenos θi = nθr 0

0

θi = nθr

(5.12)

154

´ 5 Optica Geometrica

´ (5.12) se tiene: Y remplazando en la expresion D = (n − 1)A

(5.13)

En la Tabla 5.2 se pueden observar las frecuencias y longitudes de ondas para cada uno de los colores del espectro, producidos por un rayo de luz al atravesar un prisma.

Table 5.2: Longitudes de onda y frecuencias del espectro visible Longitud de onda (nm) Frecuencia (Hz) Color 400 a 440 7.32 × 1014 Violeta 440 a 480 6.38 × 1014 Azul 480 a 560 5.56 × 1014 Verde 560 a 590 5.17 × 1014 Amarillo 590 a 630 4.92 × 1014 Naranja 630 a 700 4.54 × 1014 Rojo

Ejemplo 5.7 0 ´ ´ ´ Si en un prisma de angulo A el angulo de incidencia θi es igual al angulo emergente θi entonces ´ ´ D es m´ınimo, ver Figura 5.17. Demostrar que en este caso, el ´ındice de el angulo de desviacion ´ esta dado por: refraccion
sen A+D 2
n= sen A2 ´ Solucion: Se conoce que:

0

A = θr + θr = 2θr Entonces θr = Por otra parte,

A 2

0

D = θi + θi − A = 2θi − A Por ley de Snell: n=

senθi senθr

Luego: n=

A+D 2
sen A2

sen




Ejemplo 5.8 Para construir el rayo refractado se utiliza el siguiente proceso: sea un rayo incidente AO, desde O como centro dibujemos un semic´ırculo de radio 1 y otro de radio n. Se prolonga el rayo incidente hasta M y aqu´ı se dibuja la perpendicular a la superficie MH, hasta que encuentre el circulo de ´ es correcta. radio n en N, como se muestra en la Figura 5.18. Mostrar que esta construccion

5.9 Ecuaciones de Fresnel

qi O

H

155

n1= 1

M n N

´ geometrica ´ Fig. 5.18: Construccion para dibujar correctamente el rayo refractado.

´ Solucion: De la Figura 5.17 se deduce que: OH OM OH senθr = ON senθi =

Por ley de Snell: n=

senθi OM OH/OM = = senθr OH/ON ON

´ de la luz 5.8 Dispersion ´ crece cuando aumenta la freExperimentalmente se ha demostrado que el ´ındice de refraccion ´ de un rayo aumenta.Si la luz blanca incide sobre un cuencia de la luz, y por tanto la desviacion ´ prisma, se observa un espectro continuo de todos los colores del arco´ıris, a este fenomeno se le ´ ´ conoce con el nombre de ”fenomeno de la dispersion”, evidenciable en la Figura 5.19, esto nos demuestra que la luz esta conformada por una serie de colores llamada espectro visible [31] [32]. ´ y los gases y vapores a baja presion, ´ producen espectros disconAlgunas luces, de sodio, neon, ´ conformados solamente de algunos colores. tinuos, debido a que solo estan

Rojo Luz blanca Espectro

Violeta

Fig. 5.19: Espectro visible formado por la luz blanca al atravesar un prisma

5.9 Ecuaciones de Fresnel Consideremos un rayo de luz que atraviesa la frontera entre dos medios refringentes de ´ındice de ´ n1 , n2 . Suponga que el angulo ´ ´ θ2 son muy pequenos. ˜ refraccion de incidencia θ1 y el de refraccion

156

´ 5 Optica Geometrica

Si Io es la intensidad de la luz incidente, Ir la intensidad de la luz reflejada, IT la intensidad transmitida, entonces [8]:  2 n2 − n1 Ir = Io (5.14) n2 + n1 IT =

4n1 n2 Io (n2 + n1 )2

(5.15)

Si n1 ∼ = n2 , entonces Ir = 0, IT = Io , no existe frontera, la luz no se refracta. Si n1 >> n2 , entonces Ir ∼ Io , IT ∼ = 0, la luz se refleja totalmente en el primer medio, tampoco ocurre el ´ ´ fenonmeno de refraccion.

Ir

Io q1

n1 n2 q2 IT

´ diferentes Fig. 5.20: Un rayo luminoso atraviesa dos medios de ´ındice de refraccion

´ La mayor parte de la luz se refleja cuando incide sobre un espejo o sobre una superficie metalica. ´ de la energ´ıa se debe cumplir que: Segun ´ el principio de conservacion Io = Ir + IT

(5.16)

Ejemplo 5.10 Un rayo de luz de intensidad Io en el aire incide normalmente sobre una hoja de vidrio n = 1.52. Calcular la intensidad luminosa reflejada y transmitida. Repetir el anterior procedimiento para el Silicio. ´ Solucion: Hoja de vidrio: 2  2 n2 − n1 1.52 − 1 Io = Io = 0.043 Io , es decir , 4.3% Se ref leja n2 + n1 1.52 + 1 4(1)(3.54) 4n1 n2 Io = Io = 0.69Io , es decir, 69% Se transmite IT = 2 (n2 + n1 ) (1 + 3.54)2 

Ir =

5.10 Principio de Fermat ´ corto para ir de un lugar a otro, este´ principio aplicado a La naturaleza escoge el camino mas un rayo de luz significa que: ”Cuando un rayo de luz viaja entre los puntos P y Q, su trayectoria real sera´ aquella que requiera del m´ınimo tiempo”. Por tanto, un rayo que viaja en un medio ´ ´ corta homogeneo, las trayectorias son l´ıneas rectas ya que una l´ınea recta es la distancia mas

5.10 Principio de Fermat

157

entre dos puntos, ver Figura 5.21 [8].

P

d r1

a

q1 n1 n2

d-x

Interfase

x q2

r2

b

Q Fig. 5.21: Un rayo de luz sale de P y se refracta hasta llegar a Q

c c y la rapidez en el medio 2 es , por lo tanto el tiempo para n1 n2 recorrer la distancia de P a Q es: p √ b2 + (d − x)2 a 2 + x2 r1 r2 + t= + = c c v1 v2 n1 n2

La rapidez en el medio 1 es

Si derivamos con respecto al tiempo e igualamos a cero, se obtiene el tiempo m´ınimo entre P y Q. dt n1 d p 2 n2 d p 2 = a + x2 + b + (d − x)2 dx c dx c dx dt n1 1 2x n2 1 2(d − x)(−1) √ p = + dx c 2 a2 + x2 c 2 b2 + (d − x)2 n1 x n2 (d − x) dt = √ − p =0 2 2 dx c a +x c b2 + (d − x)2 n x n2 (d − x) √ 1 = p 2 2 c a +x c b2 + (d − x)2 Por la geometr´ıa se ve que: senθ1 = obtenemos:

d−x x ´ anterior y senθ2 = . Sustituyendo en la ecuacion r1 r2

n1 r1 senθ1 n2 r2 senθ2 √ =p a2 + x2 b2 + (d − x)2 Por tanto, simplificando obtenemos: n1 senθ1 = n2 senθ2

(5.17)

158

´ 5 Optica Geometrica

´ corresponde a la Ley de Snell, eso significa que la construccion ´ de la Figura Esta´ ultima ecuacion ´ 5.21 es correcta y corresponde a la trayector´ıa por donde la luz emplea el menor tiempo para ir del punto P a Q.

5.11 Espejos ´ ´ La optica geometrica es el estudio de la luz considerando el rayo como un vector que viaja en l´ınea recta y a gran velocidad. Un espejo es una superficie pulida que refleja la luz incidente ´ que proviene de un objeto cumpliendose la primera ley de Snell, el angulo de incidencia igual al ´ ´ Los espejos se clasifican en planos y esfericos. ´ angulo de reflexion. 5.11.1 Espejos planos ´ ´ especular, ver Es una superficie bien pulida en la que se forman imagenes virtuales por reflexion Figura 5.22 [7].

M

p

q

O

O

´ de la imagen de un objeto puntual formada por un espejo Fig. 5.22: Construccion

Para un espejo plano M , la distancia del espejo al objeto O es siempre de igual magnitud que la distancia a la imagen O0 , es decir: p=q (5.18) ´ Las imagenes formadas por un espejo plano son, realmente, reflexiones de los objetos reales. Imagen virtual: Es aquella que parece formarse por luz proveniente de la imagen, aunque en realidad los rayos de la luz no pasen por ella. ´ de rayos reales en el espejo M . El objeto Y produce una Imagen real: Se forman por la reflexion ´ del cristalino la luz se refracta formando una imagen imagen real en el ojo, que al pasar a traves invertida en la retina.

imagen real Y

imagen virtual

Fig. 5.23: Esquema de una imagen real y virtual en un espejo M

5.11 Espejos

159

5.11.2 Espejos esfericos: ´ de una esfera reflectante. Si la luz se refleja Es aquel que puede imaginarse como una porcion ´ por la parte interior se denominan espejos concavos, pero si la luz se refleja por la parte externa ´ se llaman espejos convexos, ver Figura 5.25. En los espejos esfericos se identifican los siguientes ´ elementos: centro de curvatura C, radio de curvatura R, foco f , vertice V , eje de simetr´ıa. En los ´ espejos concavos el foco f y el radio R son positivos, pero en los espejos convexos el radio de curvatura y el foco f son negativos. El punto medio del radio de curvatura se denomina foco f y por lo tanto f = 2r [34].

A Espejo cóncavo C v r

f

B f : foco real Espejo convexo

´ Punto focal en un espejo concavo. El foco f es positivo

´ Espejo AB convexo y concavo

f

C

f : foco virtual Punto focal de un espejo convexo. El foco f es negativo ´ ´ ´ ´ Fig. 5.25: a) Espejos esfericos concavos y convexos. b) espejos esfericos. c) espejo esferico convexo

´ ´ Imagenes formadas en espejos esfericos ´ Para construir imagenes en espejos esfericos se usan ciertos rayos llamados notables, y en cuya ´ se forma la imagen real o virtual. interseccion Rayos notables: 1) Un rayo paralelo al eje de simetr´ıa se refleja pasando por el foco. ´ del foco f se refleja paralelo al eje de simetr´ıa. 2) Un rayo que incide en la direccion ´ del centro de curvatura t se refleja en la misma direccion. ´ 3) Un rayo que incide en la direccion

160

´ 5 Optica Geometrica

f C

V f

´ Formacion ´ concavos

de

imagenes

en

C

´ de imagen en espejos convexos Formacion

espejos

´ Fig. 5.27: Imagenes formadas por espejos esfericos

´ De la Figura 5.27 se concluye que todos los espejos divergentes (convexos) forman imagenes vir´ tuales derechas y menores. para los espejos concavos el unico sitio donde se forman imagenes ´ ´ virtuales es cuando el objeto se localiza entre el foco y el vertice V. ´ Ecuaciones de los espejos esfericos ´ Supongamos un espejo concavo y un objeto puntual O0 a una distancia p del espejo. Al incidir ´ y formar la imagen puntual O0 a una un rayo de luz este refleja cumpliendo la ley de la reflexion distancia q del espejo, ver Figura 5.28. ´ Espejos esfericos:

i q O

a O

i

h q´

V q

p

Fig. 5.28: Espejo convergente da una imagen puntual de un objeto puntual

De la Figura 5.28 se deduce que: 0

α = θ + i, θ = α + i 0

i = α − θ, i = θ − α 0

0

por lo tanto α − θ = θ − α entonces 2α = θ + θ ∼ θ = h , tanθ0 = θ0 = h Si los angulos son pequenos : tanθ = p p h tanα = α = r ´ Formula de Descartes para la reflexion: 2 1 1 1 + = = p q r f Si p → ∞, entonces

1∼ = 0. p

(5.19)

5.11 Espejos

161

2 =f (5.20) r Para los espejos planos el radio r se localiza en el infinito, es decir si r → ∞ , entonces al ´ (5.19) obtenemos: reemplazar en la ecuacion q=

P = −q

(5.21)

Es decir, en un espejo plano la distancia del objetivo plano, la distancia del objetivo al espejo es ´ igual a la distancia del espejo a la imagen y es virtual. Ejemplo 5.11 ´ es Una persona de 1.8 metros de altura se encuentra de pie delante de un espejo plano. ¿ Cual ˜ m´ınimo del espejo para que se vea de cuerpo entero? el tamano

A E

M D C

A’ E’

H

D

R

B’

˜ del espejo para poder verse de cuerpo Fig. 5.29: El m´ınimo tamano

´ Solucion: Se conoce de la Figura 5.29 que y suponiendo las siguientes dimensiones, tenemos que: ˜ persona; E : Ojos y A0 B 0 : tamano ˜ imagen AD : tamano Se conoce por triangulos que: ∆s : DCE y DM A0 son congruentes, por lo tanto CD = DM ∆s : CHE ∼ = HRB 0 , donde CH = HR ˜ m´ınimo para poderse ver de cuerpo entero. Tambien ´ por geometr´ıa se tiene HD: es el tamano que: MR M R = M D + DC + CH + HR = 2DC + 2CH entonces = HD. 2 ˜ m´ınimo del espejo para que se vea el cuerpo Finalmente as´ı se puede afirmar que el tamano entero es de 0.9 metros. Aumento de un espejo ´ ´ ˜ Las imagenes formadas por espejos esfericos pueden ser de mayor, menor, o de igual tamano ´ del tamano ˜ de la imagen al tamano ˜ del objeto es el aumento o amplifique los objetos; la razon ´ lateral del espejo, ver Figura 5.30 [9]. cacion

162

´ 5 Optica Geometrica

p y y´

i i´ q

´ del aumento de un espejo Fig. 5.30: Deduccion

0

tan(i) =

y y =− p p 0

Ae =

y q =− y p

(5.22)

´ esferica ´ 5.11.3 Aberracion ˜ Si las aperturas de los espejos son razonablemente pequenos comparadas con sus longitudes ´ focales, entonces las imagenes son n´ıtidas, pero si los espejos tienen grandes aperturas, los rayos que inciden en los bordes externos, se enfocan en diferentes puntos sobre el eje, ver Figura 5.31.

´ esferica ´ Fig. 5.31: Aberracion

´ se muestra la Tabla (??) que representa las convenciones de signos en espejos A continuacion ´ esfericos. ´ Table 5.3: Convenciones para espejos esfericos Signo (+) (-) ´ Radio (r) Concava Convexa Foco (f) Convergente Divergente Objeto (p) Real Virtual Imagen (q) Real Virtual

5.11 Espejos

163

´ 5.11.4 Imagenes formadas en un espejo cuya abertura es grande ´ A partir de la Figura 5.32 se deducen las ecuaciones para las imagenes formadas por espejos de gran abertura [9].

O i A

h i

q a c A

q´ V

r q

p

´ Fig. 5.32: Imagen formada por un espejo de abertura grande

Ley del seno: seni CA0 seni CA = , = AO sen(π − α) A0 O senα ´ pero de la identidad trigonometrica, se tiene que: sen(π − α) = senα Entonces:

CA CA0 p−r r−q = 0 o = 0 o AO AO AO AO



1 1 − r p



p = AO



1 1 − q r



q A0 O

0

´ ˜ tenemos la ecuacion ´ de Descartes: Si θ y θ , son angulos muy pequenos p∼ = AO

q∼ = A0 O

´ (5.23), queda expresada de la siguiente manera: es decir de la ecuacion 1 1 2 + = p q r Del ∆OCA, tenemos que: AO2 = r2 + (p − r)2 + 2r(p − r)cosα AO2 = r2 + p2 − 2pr + r2 + 2r(p − r)cosα AO2 = p2 + 2r2 − 2pr + 2r(p − r)cosα AO2 = p2 − 2r(p − r) + 2r(p − r)cosα 1 1 AO2 = p2 − 2r(p − r)(1 − cosα), teniendo en cuenta que sen2 α = (1 − cosα), tenemos: 2 2

(5.23)

164

´ 5 Optica Geometrica

1 AO2 = p2 − 2r(p − r)(2)sen2 α 2     r2 1 1 1 2 2 21 − sen2 α AO = p − 4r(p − r)sen α = p2 1 − 4 2 p r p 2 ´ ˜ entonces senα ∼ tanα ∼ α, por tanto: Pero si α es un angulo muy pequeno 1 1 h h sen α ∼ = α∼ = , entonces senα = 2 2 2r r       12 2 h 1 1 h2 1 1 , por tanto AO = p 1 − AO2 = p2 1 − − − p r p p r p 1 1 Aplicando la serie (1 + x)− 2 = 1 + x, obtenemos: 2 AO = P



h2 1− p



1 1 − r p

 12

h2 ∼ =1+ 2p



1 1 − r p



Del mismo modo ∆CAO0 : q h2 0 = 1 + OA 2p



1 1 − r p



´ (5.23), se obtiene que: Reemplazando en la ecuacion         h2 1 1 1 1 h2 1 1 1 1 − 1+ − = − 1+ − r p 2p r p q r 2p r q    2    2 2 2 1 1 h 1 1 1 1 h 1 1 − − − − + = + r p 2p r p q r 2q r q (    2 ) 2 1 1 2 h2 1 1 1 1 1 1 + = + − + − p q r 2 p r p q r q Si h = 0, entonces: 1 1 2 + = 0 p q r Tenemos: 1 1 2 + = + h2 p q r



1 1 − r q

2 (5.24)

5.12 Lentes ´ Se define como un instrumento optico de color transparente que altera la forma de un frente de ´ de ella, son construidos en vidrio o plastico. ´ onda que pasa a traves Cuando se hace incidir rayos ´ a la base de luz sobre un prisma la trayector´ıa del rayo es tal que siempre se refracte en direccion del prisma, ver Figura 5.34 [8].

5.12 Lentes

Rayos paralelos de luz que se desv´ıan al incidir en un prisma

165

b) Rayos de luz que se desvi´ıan o deflectan ´ siempre dirigiendose a la base del prisma

Fig. 5.34: a) Trayector´ıa de rayos de luz al incidir en un prisma

Supongamos ahora que unimos base con base de los dos prismas de la Figura 5.34. La trayector´ıa de los rayos de luz de estos dos prismas unidos se observa en la Figura 5.36a. En la Figura 5.36b se pulen los dos prismas en las puntas, y se obtienen una lente convergente.

f

a) Dos prismas que no convergen sus rayos en el foco

b) Lente convergente con dos superficies que convergen en un punto focal f

Fig. 5.36: Dos formas de lentes convergentes

´ Una lente convergente es un instrumento optico que refracta y converge la luz en un punto focal.

Fig. 5.37: Ejemplos de lentes convergentes: Biconvexa, Planoconvexa y menisco convergente

Una lente divergente es aquella que refracta y diverge la luz paralela, ver Figura 5.38, de tal ´ de los rayos refractados que pasan por el foco virtual f . manera que la prolongacion

166

´ 5 Optica Geometrica

Fig. 5.38: Lente divergente que refracta la luz

´ ´ Fig. 5.39: Ejemplos de lente divergente: Biconcava, Planoconcava y menisco divergente

´ n del La longitud f, no es la mitad del radio de curvatura, y depende del ´ındice de refraccion material.

R2

n R1

Fig. 5.40: Una lente biconvexa tiene dos radios R1 y R2

´ del fabricante es: La ecuacion

1 = (n − 1) f

Convenciones: 1. Si R1 o R2 > 0, se dice que es convexa. ´ 2. Si R1 o R2 < 0, se dice que es concava.



1 1 − R1 R2

 (5.25)

5.12 Lentes

R1> 0 (Convexa)

167

R1< 0 (Cóncava)

´ de signos para el radio de la superficie de una lente Fig. 5.41: Convencion

As´ı: 1. Si f > 0, el lente es convergente. 2. Si f < 0, el lente es divergente. ´ de las imagenes ´ 5.12.1 Formacion por lentes delgadas ´ de una En las Figuras 5.42 y 5.43, se pueden analizar los principales rayos para la construccion ´ imagen empleando lentes convergentes utilizando los rayos notables: ´ a) Un rayo que incide paralelo al eje optico se refracta por la lente pasando por el foco f2 . ´ ´ b) Un rayo que incide por el centro optico O se refracta sin desviacion. ´ c) Un rayo que incide por el foco 1 se refracta paralelo al eje optico.

A f2 f1

B

B’

O A’

´ de una imagen ´ Fig. 5.42: Rayos principales en la construccion con lente convergente

B’ B f2 A’

f1

A

O

´ de una imagen ´ Fig. 5.43: Rayos principales en la construccion con lente convergente

˜ distancia focal destinada a producir imagenes ´ La lupa es una lente convergente de pequena virtuales. 0 θ (radianes) P otencia (Dioptrias) = AB(metros)

168

´ 5 Optica Geometrica

Esta potencia se calcula colocando el ojo en el foco del objeto para que la imagen este´ en el infinito, ver Figura 5.44.

A y

O

q´

f

f´ B

Fig. 5.44: La imagen en el infinito 0

0

Aproximando con Gauss que, tanθ = θ =

AB , entonces: f 0

AB

θ 1 f P = = = AB AB f

(5.26)

5.12.2 Aumento angular ´ entre el angulo ´ ´ La razon si se observa con la lupa y el angulo cuando se observa sin lupa, ver Figura 5.45.

A y q B

0.25m

´ del aumento angular Fig. 5.45: Deduccion

y θ 0.25 f Aθ = = y = = P × 0.25 θ f 0.25 0

(5.27)

´ Imagenes en lentes divergentes ´ Las imagenes de objetos reales formadas por lentes divergentes siempre son virtuales, derechas ˜ ver Figura 5.46. y de menor tamano,

5.12 Lentes

169

B f2

B’ A

f1

A’

O

´ Fig. 5.46: Imagenes en las lentes divergentes

´ de las lentes 5.12.3 Ecuacion ´ de las lentes se define por: La ecuacion 1 1 1 + = p q f

(5.28)

Conveciones: 1. 2. 3. 4.

´ Si p y q > 0, son objetos e imagenes reales. ´ Si p y q < 0, son objetos e imagenes virtuales. Si f > 0, es una lente convergente. Si f < 0, es una lente divergente.

5.12.4 Aumento lateral El aumento lateral de la lente tiene la misma forma que la hallada para los espejos, ver Figura 5.47.

q y p

O

y´

´ del aumento lateral Fig. 5.47: Deduccion 0

y q AL = =− y p As´ı: ´ 1. Si AL > 0, la imagen es derecha. ´ 2. Si AL < 0, la imagen es invertida.

(5.29)

170

´ 5 Optica Geometrica

5.13 Microscopio compuesto ˜ y ocuEl microscopio compuesto consta de dos lentes convergentes, el objetivo (f pequeno) lar(imagen virtual), ver Figura 5.48. La primera lente es el objetivo y el resulta del objeto AB = y, 0 0 0 una imagen invertida y real, A B = y . La segunda lente es el ocular y da de esta´ imagen real a 00 00 00 ´ ampliada y virtual, generalmente en el infinito [7]. otra imagen A B = y mas

fobj A

foc

L

B’’ f’obj

B fob

f’oc

B’ foc

q´ y’

Ooc

A´

y’’

Fig. 5.48: Microscopio compuesto

5.13.1 Potencia La potencia de un microscopio es igual al aumento lateral del objetivo multiplicado por la potencia del ocular [3]. 0 0 y L θ 1 (AL )obj = = , (P )oc = 0 = y fobj y foc Entonces: P =

L fobj foc

(5.30)

5.13.2 Aumento angular El aumento angular en el microscopio se define de la siguiente forma: y θ Py f Aθ = = y = y = P × 0.25 θ 0.25 0.25 0

(5.31)

´ en una superficie esferica ´ 5.13.3 Refraccion refringente ´ en una superficie esferica, ´ ´ Consideremos la refraccion es decir, en una interfase esferica entre ´ ´ n1 y n2 . Sea un objeto puntual A dos materiales opticos con diferente indices de refraccion, ´ situado a una distancia p de la superficie esferica de radio R y de centro de curvatura C, ver ´ El rayo Figura 5.49. El rayo AV que incide normalmente pasa al segundo medio sin desviacion.

5.13 Microscopio compuesto

171

´ ˜ θ incide con un angulo ´ AM que forma un angulo pequeno i con la normal y se refracta segun ´ el 0 ´ angulo r. Estos rayos se cortan en A a una distancia q de la superficie. Por geometr´ıa; de los 0 0 ´ tr´ıangulos AMC y CMA se obtiene por angulos exteriores: i = θ + α y α = r + θ . Como los h h 0 ´ ˜ tenemos: tanθ ∼ θ ; tanθ ∼ θ ∼ ; tanα = α = angulos son muy pequenos y segun ´ la ley de q R Snell: n1 i = n2 r, reemplazando obtenemos [3]: n2 n2 − n1 n1 + = p q R

(5.32)

N M

i v

A

p n1

q

r a c

A’

n2

Fig. 5.49: Microscopio compuesto

´ en las lentes 5.13.4 Refraccion Se considera un objeto A a una distancia p de la primera superficie de radio R1 que separa los ´ q1 de la imagen A1 es segun ´ (5.32): medios de indice 1 y n. La posicion ´ la ecuacion 1 n n−1 + = p q1 R1

R1

n

(5.33)

n A’1

A

A1

A’

q1

q1

p

R2

q

a)

b) Fig. 5.50: Microscopio compuesto

La imagen A1 situada a la distancia q1 de la primera superficie, es ahora un objeto situado a la distancia - q1 de la segunda superficie de radio R2 que separa dos medios de ´ındices n y 1, las 0 lentes se las considera delgadas, ver Figura 5.50. La imagen final A estara´ a una distancia dada por: n 1 1−n + = −q1 q R2

(5.34)

172

´ 5 Optica Geometrica

Sumando las dos ecuaciones (5.33) y (5.34) obtenemos:   1 1 1 1 + = (n − 1) − p q R1 R2 0

Si el objeto esta´ en el infinito p → ∞, la imagen se localiza en el foco imagen F y esta´ distancia es f , por lo tanto: 1 1 1 + = p q f Ejemplo 5.12 ´ ´ de la imagen ´ Un espejo concavo tiene un radio de curvatura de 60cm. Hallar la ubicacion y el aumento de un objeto situado frente al espejo a una distancia de a) 9cm. y b) 20cm. [3] ´ Solucion: a) 2 1 1 + = q p r 1 1 1 2 = − = q 30 90 90 q = 45cm −q −45 −1 A1 = = = p 90 2 b) 2 1 1 + = p q r 1 1 1 1 = − =− q 30 20 60 q = −60cm 60 −q = =3 AL = p 20 Ejemplo 5.13 ´ ´ de la imagen virtual Un espejo esferico convexo tiene un radio de 40cm. Determinar la ubicacion y el aumento del espejo para distancias objeto de: a)30cm. b)60cm. ´ Solucion: a) 2 1 1 + = p q r 1 2 1 1 =− − =− q 40 30 12 q = −12cm −q 12 A1 = = = 0.4 p 30 b)

5.13 Microscopio compuesto

173

1 1 2 + = p q r 1 2 1 1 =− − =− q 40 60 15 q = −15cm 15 1 −q = = A2 = p 60 4

Ejemplo 5.14 Un extremo de una varilla larga de vidrio n = 1.5 esta arreglado en la forma de una superficie ´ esferica convexa de radio 6cm. Un objeto esta´ situado en el aire a lo largo del eje de la varilla. ´ de la imagen que corresponde al objeto con distancia de: Hallar la ubicacion a) 20cm b) 3cm desde el extremo de la varilla. ´ Solucion: a) n1 n2 n2 − n1 + = p q r 1 1.5 1.5 − 1 + = 20 q 6 q = 45cm b) n1 n2 n2 − n1 + = p q r 1.5 − 1 1 1.5 + = 3 q 6 q = −6cm Ejemplo 5.15 Repetir cuando el objeto esta´ en agua rodeando a la varilla de vidrio en vez de aire. ´ Solucion: n1 n2 n2 − n1 + = p q r 1.33 1.5 1.5 − 1.3 + = 20 q 6 q = −39.3cm Ejemplo 5.16 ´ Una moneda de 2cm de diametro incrustada en una bola salida de vidrio de radio 30cm. El ´ındice ´ de la bola es 1.5 y la moneda esta´ a 20cm de la superficie. Hallar la posicion ´ y de refraccion altura de la imagen, ver Figura 5.51.

´ 5 Optica Geometrica

30c

m

174

q n1

n2 20

Fig. 5.51: Moneda del ejemplo 5.16

´ Solucion: n1 n2 n2 − n1 + = p q r 1.5 1 1.5 − 1 + = 20 q −30 q = −17cm ´ ´ La imagen esta´ en el mismo medio que el objeto, por tanto la imagen es virtual. 0

n1 q −1.5(−17cm) y AL = − = = n2 p 1(20cm) y 0

y = 1.28y 0

y = 1.28(2cm) = 2.56cm y = 2.56cm Ejemplo 5.17 ´ es la profundidad aparente Un pescado esta´ en el fondo de un estanque de profundidad d. ¿ Cual a que se encuentra el pescado, cuando se observa directamente desde arriba?

n2= 1 q d

Fig. 5.52: Pescado del ejemplo 5.17

´ Solucion: La superficie refractada es un plano, por tanto r → ∞

n1= 1.33

5.14 Ejercicios propuestos

175

n1 n2 n2 − n1 + = =0 p q r n2 q=− p n1 1 q=− d = −0.75 d 1.33 Como q < 0, la imagen del pescado es virtual.

5.14 Ejercicios propuestos 1. Mostrar que la intensidad de la luz incidente I0 es igual a la suma de las intensidades de la ´ luz reflejada Ir y transmitida It cuando el rayo de luz viaja de un medio de ´ındice de refraccion ´ n2 [8]. n1 a otro de ´ındice de refraccion ´ n2 hay un pequeno ˜ objeto. La 2. En el fondo de una vasija llena de l´ıquido de ´ındice de refraccion vasija tiene una altura h. Hallar la altura aparente a la que se encuentra el objeto cuando se ´ ´ del medio donde se encuentra mira este con incidencia normal siendo el ´ındice de refraccion el observador n1 . R/ ha =

hn1 n2

´ 3. Hallar el desplazamiento lateral que experimenta un rayo de luz al atravesar una lamina de 1 ´ 1,5 si el rayo incidente forma un angulo ´ cm de espesor e ´ındice de refraccion de 45o con la normal. R/ dl = 0.329cm ´ 1,655. Sobre la 4. Un rayo de luz incide sobre la cara exterior de un vidrio con ´ındice de refraccion ´ cara superior se condensa un l´ıquido desconocido. La reflexion interna total sobre la superficie ´ vidrio-l´ıquido se produce cuando el angulo de incidencia en la superficie vidrio-l´ıquido es ≥ ´ es el ´ındice de refraccion ´ del l´ıquido desconocido? Si se eliminase el l´ıquido, 53,7o . ¿Cual ´ ser´ıa el angulo ´ ´ interna total? Para el angulo ´ ¿Cual de incidencia para la reflexion de incidencia ´ es el angulo ´ ´ del rayo dentro de la pel´ıcula hallado en el apartado anterior, ¿Cual de refraccion ´ de la pel´ıcula del l´ıquido hacia el aire que esta´ del l´ıquido? ¿Emergera´ un rayo a traves encima?. Ver Figura 5.53

liquído 53,7° aire Vidrio, n = 1.655 Fig. 5.53: Ejercicio propuesto 4

R/ nl = 1.33 ; θi = 37, 17o ; θr = 48, 74o ; no emergera´ el rayo. ´ angular que experimenta un rayo de luz despues ´ de atravesar un prisma 5. Calcular la desviacion ´ de vidrio, α = 60o y n = 1, 6, sobre el que incide con un angulo de 40o cuando el medio que lo rodea cambia de aire a agua.

176

´ 5 Optica Geometrica

R/ δ = 51.21 ´ de las lentes puede escribirse de otra forma. Si se considera x la distancia del 6. La ecuacion 0 0 objeto al foco objeto F y x la distancia de la imagen al foco imagen F , demostrar que la 0 2 ´ de las lentes es: xx = f , donde f es la distancia focal. ecuacion 7. Un objeto de 4 cm de altura esta´ situado a 12 cm de un espejo convexo de radio 8 cm. Hallar ´ tamano ˜ y naturaleza de la imagen. Construir la imagen. la posicion, R/ -3cm; 1cm; imagen virtual y derecha ˜ m´ınimo que debe tener 8. Demostrar que si una persona se mira en un espejo plano, el tamano el espejo para que se vea su cuerpo completo, es igual a la mitad de la estura de la persona. ˜ se situa 9. Un objeto de 5 cm de tamano, ´ a 18 cm frente a una lente convergente de distancia ´ de esta lente a 38 cm, se coloca otra lente convergente de distancia focal focal 12 cm y detras ´ el tamano, ˜ la naturaleza de la imagen y construir las imagenes ´ 4 cm. Calcular la posicion, [3]. R/4cm de la segunda lente; 20 cm virtual invertida 10. Demostrar que cuando dos lentes de distancia focal f1 y f2 se ponen en contacto, la distancia 1 1 1 + [3]. focal f del conjunto de lentes es: = f f1 f2

6 ´ Optica F´ısica

6.1 Interferencia de las ondas de luz Debido a la naturaleza ondulatoria de la luz, es posible observar que dos haces de luz generan ´ interferencia, constructiva o destructiva. Para observar este fenomeno es necesario que las on´ de fase constante, es decir, que las fuentes tengan la das individuales mantengan una relacion ´ se presenta se dice misma frecuencia y sus haces sean casi paralelos. Cuando esta condicion que las fuentes son coherentes [35][36][37][38]. En resumen, para observar la interferencia de luz se debe tener en cuenta: • • •

Las fuentes deben ser coherentes, es decir, la diferencia de fase entre ellas debe ser constante. ´ La luz debe ser monocromatica. ´ de ondas. Se debe aplicar el principio de superposicion

6.2 Experimento de Young de la doble rendija El cient´ıfico ingles Thomas Young comprobo´ experimentalmente, por primera vez, que la luz tiene ´ naturaleza de caracter ondulatorio. En la Figura 6.1 se observa el esquema del dispositivo usado en el experimento de Young, en el cual un frente de onda incide sobre dos rendijas circulares, llamadas difractores S1 y S2 . De ´ estos dos orificios o rendijas se generan dos nuevos frentes de onda coherentes, con un patron ´ de interferencia esta´ conformado por de interferencia constante sobre una pantalla. Este patron franjas brillantes y oscuras alternadas, que representan la interferencia constructiva y destructiva respectivamente. En la Figura 6.2 se representa algunas maneras en las que se combinan las ondas luminosas para para producir franjas oscuras o brillantes.

178

´ 6 Optica F´ısica

máx min máx

S1

min So min S2

máx min máx

Fig. 6.1: Esquema del dispositivo para observar la interferencia de la luz por dos difractores S1 y S2

´ cuantitativa del experimento de Young, considere un punto P ubicado a Para una descripcion ´ como se ilustra en la Figura 6.3. Si la fuente es una distancia L de la pantalla de observacion ´ monocromatica, las ondas que salen de los dos orificios se encuentran en fase, es decir, tienen la misma frecuencia y amplitud.

S1

S1

S1

P

P

brillante

S2

S2

P S2

R

oscuro

Q

Q

brillante (a)

(b)

(c)

Fig. 6.2: (a) Interferencia constructiva en P, no hay diferencia de camino, llegan en fase. (b) En Q hay interferencia constructiva, pero hay diferencia de camino, llegan en fase. (c) Interferencia destructiva en R, ´ de fase, hay diferencia de camino llegan en oposicion

Se puede observar que la distancia recorrida por las ondas que salen del orificio inferior es mayor que la distancia recorrida por las ondas del orificio superior. Esta diferencia se denomina diferencia de camino δ. δ = r2 − r1 = dsenθ

(6.1)

6.2 Experimento de Young de la doble rendija

P

r1 S1 d Fuente S2

179

y r2

q

O

Q d

L ´ geometrica ´ Fig. 6.3: 3 Representacion del experimento de Young

Interferencia Constructiva: Si la diferencia de camino es cero o un multiplo entero de la longitud ´ ´ en fase. de onda, las dos ondas estan δ = r2 − r1 = dsenθ = mλ

(6.2)

´ se llama numero donde m = 0, ±1, ±2, ±3, ... , donde m tambien de orden en la franja. ´ Interferencia destructiva: Si la diferencia de camino es un multiplo impar de λ/2, las dos ondas ´ ´ de fase, es decir, desfasadas en 180o . llegan en oposicion   1 λ (6.3) δ = r2 − r1 = dsenθ = m + 2 donde m = 0, ±1, ±2, ±3, ... ´ Distancia franjas brillantes: Del triangulo OPQ de la Figura 6.3 y considerando que θ es un ´ ˜ se obtiene que: angulo pequeno y senθ ≈ tanθ = L Por tanto: λL m (6.4) ybrillante = d donde ybrillante es la distancia de la franja central a cualquier franja brillante. Distancia franjas oscuras: Similarmente se obtiene la franja central a una franja oscura.  λL ybrillante = m+ d

yoscura , es decir, la distancia desde la 1 2

 (6.5)

Distancia entre franjas brillantes adyacentes: Para hallar la distancia entre franjas brillantes adyacentes se resta de la siguiente manera. ym+1 − ym =

λL λL λL (m + 1) − m= d d d

´ se puede comprobar que la distancia entre franjas oscuras adyacentes es igual a Tambien

(6.6) λL d

180

´ 6 Optica F´ısica

Ejemplo 6.1 ´ Una luz de 546 nm de longitud de onda (la l´ınea verde de una lampara de descarga de Hg) pro´ de interferencia de Young, en el cual el m´ınimo de orden 2 esta´ a lo largo de una duce un patron ´ que forma un angulo ´ ´ del maximo ´ direccion de 18 minutos respecto a la direccion central.Hallar la distancia entre los difractores [8] ´ Solucion:   1 λ m+ 2 (−2 + 0.5)(546 × 10−9 ) d= sen(0o 180 )

dsenθ =

d = 1.56 × 10−4 m = 156 µm Ejemplo 6.2 Un par de ranuras paralelas angostas separadas 0.25mm se iluminan con luz verde (λ = 546nm). ´ de interferencia se observa sobre una pantalla a 1.2m de las ranuras. Calcular la distanEl patron ´ ´ brillante en ambos lados del maximo ´ cia del maximo central a la primera region entre la primera ´ de interferencia. y segunda banda oscura del patron ´ Solucion:

yb =

λL m d

Entonces: yb =

(546.1 × 10−9 )(1.2)(1) 0.25 × 10−3

Por tanto se obtiene: y0 = yb = 2.62 × 10−3 m Ejemplo 6.3 ´ ´ La separacion ´ entre Se realiza un experimento de Young con luz azul-verde de un laser de argon. ´ de interferencia en una pantalla localizada a 3.3 m, muestra las ranuras es de 0.5mm y el patron ´ ´ Hallar la longitud de onda del el primer maximo a una distancia de 3.4mm del centro del patron. laser ´ Solucion:

yb =

λL m d

Entonces: 3.4 × 10−3 =

λ(3.3)(1) 0.5 × 10−3

´ se tiene que: Despejando λ de la anterior expresion, λ = 5.15 × 10−7 m = 515nm

6.2 Experimento de Young de la doble rendija

181

Se puede concluir que el experimento de Young permite encontrar la longitud de onda de un rayo laser que se desconozca. Ejemplo 6.4 La componente amarilla de la luz emitida por un tubo de descarga de helio tiene una longitud de onda de λ = 587.5nm. Se coloca una pantalla de tal forma que la segunda banda brillante del ´ de interferencia se encuentra del maximo ´ patron central a una distancia de diez veces la sepa´ de las ranuras. Hallar la distancia de la fuente a la pantalla racion ´ Solucion: yb = 10d = 10(0.2 × 10−3 ) yb = 0.2 × 10−2 m Pero yb =

λL m d

Entonces, L=

(0.2 × 10−2 )(0.2 × 10−3 ) yb d = Lm 2(587.5 × 10−9 ) L = 0.340m

´ de intensidades en el patron ´ de interferencia de la doble rendija 6.2.1 Distribucion Supongamos que por las dos rendijas se difractan ondas de luz coherentes y senoidales con ´ frecuencia angular w y fase φ constante. La intensidad de campo electrico total en el punto P que se encuentra sobre la pantalla como se puede apreciar en la Figura 6.4 es igual al vector ´ de las dos ondas que salen de las ranuras S1 y S2 [8]. resultante de la superposicion E1 = E0 senwt E2 = E0 sen(wt + φ) ´ ´ donde Eo es la maxima intensidad del campo electrico.

182

´ 6 Optica F´ısica

P r1 y

S1

r2

d

L

S2

´ para el analisis ´ ´ de interferencia de la doble rendija. Fig. 6.4: Construccion del patron

Dado que : δ = λ para m = 1, por tanto φ = 2πrad δ = λ/2 para m = 0, por tanto φ = πrad Por tanto se deduce que: δ λ = φ 2π ´ Por tanto, despejando φ, el cual corresponde a un maximo de intensidad en el punto O se tiene:

φ=

2π 2π δ= dsenθ λ λ

(6.7)

´ Segun ´ el principio de superposicion: Ep = E1 + E2 = E0 [sen(wt) + sen(wt + φ)]     a+b a−b ´ Usando la identidad trigonometrica sena + senb = 2sen cos , obtenemos 2 2     φ φ Ep = 2E0 cos sen wt + 2 2

(6.8)

´  en el punto P tiene la misma frecuencia w pero la amplitud esta´ multiplicada As´ı el campo electrico φ por el factor 2cos . 2 Si φ = 0, 2π, 4π, ... la amplitud en P es 2E0 y presenta interferencia constructiva. Si φ = 3π, 5π, ..., se presenta una interferencia destructiva y la amplitud es cero. 6.2.2 Intensidad luminosa en P La intensidad luminosa es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud.     φ φ 2 2 2 2 IαEp = 4E0 cos sen wt + 2 2

6.2 Experimento de Young de la doble rendija

183

´ y el valor medio de la intensidad sera:       1 φ φ Imedia = E¯p2 = 4E02 cos2 = 2E02 cos2 2 2 2 Teniendo en cuenta que Io = Imax = 2E02 entonces:     πdsenθ φ = Io cos2 Imedia = Io cos2 2 λ pero senθ ∼ tanθ ∼

y entonces: L Imedia = Io cos2



πdy λL

 (6.9)

Ejemplo 6.5 En el arreglo de la Figura 6.3, L = 120cm y d = 0.25cm. Las ranuras se iluminan con luz coher´ entes de λ = 600nm. Calcule la distancia arriba Y del maximo central para el cual la intensidad ´ promedio sobre la pantalla es 75% del maximo. ´ Solucion: La intensidad de la onda en P es: I = Imax cos2 Como

  φ 2

δ λ = entonces, φ 2π φ=

2π(dsenθ) 2πδ = λ λ

´ ˜ se tiene que, Para angulos pequenos senθ ≈ tanθ ≈ θ Por tanto y 2πdy y θ= L  Lλ  πdy 2 I = Imax cos Lλ   πdy 0.75Imax = Imax cos2 Lλ √ 180(0.25 × 10−2 )y cos−1 0.75 = (600 × 10−9 )(120 × 10−2 ) senθ =

y = 4.8 × 10−5

184

´ 6 Optica F´ısica

Imáx

-2l

-l

l

2l dsenq

´ de intensidad contra dsenθ para el patron ´ de la doble rendija Fig. 6.5: Distribucion

Ejemplo 6.6 ´ en el patron ´ de interferencia de Young, la intensidad sobre la pantalla es 64% En cierta posicion ´ de maximo. a) Calcule la diferencia de camino m´ınima para este caso. b) Si λ de la luz es de 587.5nm (de un tubo de descarga de helio), determine δ. ´ Solucion:  2 φ ´ I = Imax cos2 a) Utilizando la expresion: , reemplazamos: 2   φ 0.064Imax = Imax cos2 2 √ −1 o 2cos 0.064 = φ = 150.7 φ = 2.63rad b) 150.7λ φλ = 2π 360 (150.7)(587 × 10−9 ) δ= 360 δ = 246nm δ=

Ejemplo 6.7 ´ de interferencia de Young se mide la distribucion ´ de intensidad. Para un valor parEn el patron I ticular de y (la distancia desde el centro de la pantalla), se encuentra que = 0.81. ¿Hallar la I0 longitud de onda λ para reducir la intensidad al 64% [8]? ´ (6.9): ´ De la ecuacion Solucion: 2

I = I0 cos



πdy λ



6.2 Experimento de Young de la doble rendija

Teniendo que I = 0.81I0 , entonces: 0.81I0 = I0 cos2



πdy λ



Cancelando I0 en ambos lados de la igualdad, se tiene que:   πdy 2 0.81 = cos λL   πdy 0.9 = cos λL   πdy −1 cos (0.9) = λL cos−1 (0.9)λL y= πd 1.55 × 10−5 L y= πd Para I = 0.64I0 , se tiene que: 

πdy 0.64I0 = I0 cos λL   πdy 0.64 = cos2 λL   πdy 0.8 = cos λL   πdy cos−1 (0.8) = λL πdy λ= cos−1 (0.8)L 2



Reemplazando y se obtiene: πdL πdLcos−1 (0.64) 1.55 × 10−5 λ= cos−1 (0.8) λ=

λ = 4.205 × 10−7 m ´ ´ de fasores de ondas 6.2.3 Metodo de la adicion ´ ondulatoria puede representarse por la magnitud del vector E0 . La perturbacion

185

186

´ 6 Optica F´ısica

E1

E2

E0

E0

wt + f

wt (a)

(b)

´ vectorial de la onda perturbadora E1 = E0 senwt. (b) Representacion ´ vectorial Fig. 6.6: (a) Representacion de la onda E2 = E0 sen(wt + φ)

La onda resultante de las dos ondas representadas en la Figura 6.6 esta´ dada por EP = E1 + E2 y se representa con el vector ER con la misma frecuencia w como se aprecia en la Figura 6.7.

E2

E0

Ep ER

E1

f E0

a wt ´ vectorial de la onda resultante ER Fig. 6.7: Representacion

Fasores en t = 0 ´ De la geometr´ıa del triangulo de la Figura 6.8, se obtiene: E¯r = E¯0 cosα 2 Por tanto, despejando E¯R se tiene E¯R = 2E¯0 cosα pero α + α = φ, entonces α = φ/2, por lo que: E¯R = 2E¯0 cos

  φ 2

6.2 Experimento de Young de la doble rendija

187

a ER E0

f

a E0

´ ´ vectorial de E¯R Fig. 6.8: Triangulo formado por la representacion

´ de E¯R sobre el eje Y Proyeccion ´ de E¯R sobre el eje vertical, representa la variacion ´ con el tiempo de la onda resulLa proyeccion tante.       φ φ φ = 2Eo cos sen wt + E¯P = E¯R sen wt + 2 2 2   φ El fasor tiene una amplitud resultante de 2E¯0 cos . 2

E0 EP

f E0

f

ER E0

f E0

a wt

´ vertical de E¯R Fig. 6.9: Representacion

Diagrama de fasores para dos fuentes coherentes ´ vectorial resultante E¯R es maxima ´ ´ Intensidad maxima: La representacion cuando φ = 0, 2π, 4π, ...,, ver Figura 6.10.

188

´ 6 Optica F´ısica

ER = 2E0

ER = 2E0

E0

E0

E0

f= 0 d=0

E0

f = 360 d=l

´ de intensidad maxima ´ Fig. 6.10: Representacion

λ 3λ 5λ ´ vectorial de E¯R es cero cuando φ = π y δ = , , , ..., Intensidad m´ınima: La representacion 2 2 2 ver Figura 6.11.

ER = 0

f = 180°

E0

d= l 2 E0 ´ de intensidad m´ınima Fig. 6.11: Representacion

Para otros valores, ver Figura 6.12. E0

1.8 ER =

5 E0 E0

ER

=

2E

270°

0

E0

ER

90°

45°

=

2E

E0

0

E0

E0

f = 90° d= l 4

f = 45° d= l 8

f = 270° d = 3l 4

´ para otros valores Fig. 6.12: Representacion

Ejemplo 6.8  π Determine la resultante de las ondas E1 = 6sen(100πt) y E2 = 8sen 100πt + . 2

ER

E0

a Fig. 6.13: Ejemplo 6.8

f

6.2 Experimento de Young de la doble rendija

189

´ Solucion: E¯R = (62 + 82 )1/2 = 10 8 tanθ = = 1.33 6 Entonces θ = 0.93rad, E¯R = E¯R sen(wt + θ) As´ı, se tiene que: E¯P = E¯R sen(100πt + 0.93) Ejemplo 6.9 ˚ ´ separadas 0.85mm y se ilumina con una luz de λ = 6000 A. Dos ranuras angostas estan ´ es la diferencia de fase entre las ondas que interfieren sobre una pantalla localizada a a)¿ Cual 2.8m de distancia en un punto localizado a 2.5mm de la franja brillante central? ´ de la intensidad en ese punto respecto a la intensidad de la franja brillante b)¿ Cual ´ es la razon central? ´ Solucion: y ´ ˜ θ ≈ senθ ≈ tanθ = . Entonces: a) Para angulos pequenos L φ δ = λ 2π Por consiguiente, δ = dsenθ =

dy φ = L 2π

2πdy λL 2π(8.5 × 10−4 )(2.5 × 10−3 ) φ= (2.8)(6 × 10−7 ) φ = 7.95rad φ=

b) 7.95 × 180 π φ = 455.5o   φ I = I0 cos2 2   455.5 I = I0 cos2 2

φ=

Por tanto, I = 0.452I0

190

´ 6 Optica F´ısica

´ de interferencia de tres rendijas 6.2.4 Patron Supongamos ahora el experimento de Young con tres rendijas o difractores S1 , S2 y S3 . La pantalla se localiza a una distancia L y en el punto P, sobre la pantalla, se presenta una interferencia constructiva o destructiva segun ´ aparezca una franja brillante u oscura, respectivamente [8].

P

y

S3 d S2

q

S1

d = dsenq

d

L

´ geometrica ´ Fig. 6.14: Representacion para tres rendijas

´ ´ geometrica ´ A partir de la geometr´ıa de los triangulos que se forman en la representacion de la Figura 6.14 se obtiene :

φ=

2π λ

δ=

2π dsenθ λ

δ y = d L Por tanto, φ=

2π λ

δ=

2πd y λL

(6.10)

donde y  L. ´ Los campos electricos de las ondas que salen de los tres orificios en un punto P sobre la pantalla ´ dados por: estan E¯1 = E¯0 senwt E¯2 = E¯0 sen(wt + φ) E¯3 = E¯0 sen(wt + 2φ) donde φ es la diferencia de fase entre las ondas adyacentes.

6.2 Experimento de Young de la doble rendija

191

f ER

f a wt Fig. 6.15: Diagrama de fasores para tres rendijas, E¯P = E¯R sen(wt + α)

Diagrama de fasores para tres fuentes coherentes

ER = 0

60° ER

ER = E0

120°

ER = 3E0

180° 60°

E0

E0 f= 0 d=0

120°

E0

f = 60° d= l 6

f = 120° d= l 3

f = 180° d= l 2

Fig. 6.16: Diagrama de representaciones vectoriales de tres rendijas

´ ´ Interferencia de valor maximo: El maximo principal es 3E¯0 y se presenta si φ = 0, ±2π, ±4π, .... ´ El maximo secundario es E¯0 y se presenta cuando φ = ±π, 3π, ... En estos puntos la onda que procede de una rendija se cancela con la que sale de la otra rendija. 2π 4π Interferencia destructiva total: Los puntos donde E¯0 corresponden cuando φ = ± , ± , .... 2 3 ´ de Fraunhofer) 6.2.5 Interferencia de N rendijas (Difraccion Supongamos varias fuentes de luz coherentes distribuidas simetr´ıcamente. Supongamos que la interferencia ondulatoria se presenta a una distancia muy lejana comparada con la distancia entre rendijas S, as´ı se presentan una interferencia con rayos paralelos.

192

´ 6 Optica F´ısica

y

S1 S2 S3 S4 S5 S6

q x

d = dsenq

´ de N fuentes sincronicas ´ Fig. 6.17: Representacion

En el punto P muy distante, ver la Figura 6.17, que corresponde al punto de la pantalla donde ´ llegan las vibraciones de S1 hasta Sn , el angulo desfase φ esta´ dado por: φ=

C

2π dsenθ λ

P

R Nf 2

f

R

f

P’ ER

f f O

E0

Fig. 6.18: Diagrama de fasores para N rendijas

A partir del pol´ıgono circunscrito o inscrito de la Figura 6.18, donde C es el radio de la circunferencia, R el radio y ER = OP , se tiene:   φ 0 ER = 2P P = 2Rsen N 2 Entonces para N fuentes ER esta´ dado por:   φ ER = 2Rsen N 2 Para una fuente, es decir, cuando N = 1, se tiene:

(6.11)

6.2 Experimento de Young de la doble rendija

  φ ER = 2Rsen 2

193

(6.12)

´ Dividiendo las ecuaciones (6.11) y (6.12), se tiene la ecuacion: 2  sen(N φ/2) ER = ER1 sen(φ/2)

(6.13)

´ (6.13) se tiene que: de la ecuacion Si N = 1, entonces I = I0 . Si N = 2, entonces I = I0

sen(N φ/2) sen(φ/2)

2

 = I0

2sen(φ/2)cos(φ/2) sen(φ/2)

2

= I0 4cos2 (φ/2)

resultando finalmente que: I = I0 4cos2 (φ/2)

(6.14)

Ejemplo 6.10 Cuando son iluminadas cuatro ranuras paralelas igualmente espaciadas estas actuan como ´ ´ fuentes coherentes multiples, cada una difiere en fase un angulo φ respecto a la adyacente. ´ ´ vectorial para determinar el valor m´ınimo de φ para el cual Utilice el diagrama de representacion la resultante de las cuatro ondas es cero, suponiendo que las amplitudes son iguales. Ver Figura 6.19. ´ Solucion: E¯1 = E¯0 senwt E¯2 = E¯0 sen(wt + φ) E¯3 = E¯0 sen(wt + 2φ) E¯4 = E¯0 sen(wt + 3φ) Se puede deducir que: E¯R = 2Rsen



Nφ 2

 =0

2Rsen(2φ) = 0 2R 6= 0 π Entonces se tiene que sen(2φ) = 0, por lo cual φ = . 2

E3

E2

E4

E1 Fig. 6.19: Ejemplo 6.10

194

´ 6 Optica F´ısica

´ 6.3 Cambio de fase debido a la reflexion. ´ de interferencia con una unica El espejo de Lloyd permite producir un patron fuente luminosa. Las ´ ´ de reflejarse ondas pueden alcanzar el punto P tanto por el camino directo SP, como despues 0 en el espejo por el camino S P. Los rayos reflejados inciden sobre el espejo como si fuesen 0 ´ originados por una fuente situada en S . Las posiciones de las franjas brillantes y oscuras estan invertidas respecto al diagrama de dos fuentes reales coherentes, esto se debe a que las fuentes 0 ´ [8][35]. coherentes (S,S ) tienen una diferencia de fase de 180o por la reflexion

Pantalla de observación

P

Fuente real S’ Espejo S Fig. 6.20: Espejo de Lloyd

´ Una onda electromagnetica sufre un cambio de fase de 180o al reflejarse en un medio de mayor ´ que aquel en que se mueve. ´ındice de refraccion Analog´ıa ondas luminosas y cuerdas

n1 n2

Soporte rígido n1> n2 (a)

n1 n2 n1 >n2

(b)

Soporte libre

´ de ondas luminosas y ondas en una cuerda Fig. 6.21: Reflexion

En la Figura 6.21(a) el pulso reflejado sufre un cambio de fase de 180o , debido al extremo fijo ´ ´ y de igual manera una onda electromagnetica cuando el medio tiene un ´ındice de refraccion

6.4 Interferencia en pel´ıculas delgadas

195

mayor. Mientras que en la parte (b) de la Figura 6.21 el pulso reflejado no sufre un cambio de ´ fase cuando el extremo o soporte es libre, de igual manera una onda electromagnetica no cambia ´ al cual incide es menor comparado con el del medio en que se de fase si el ´ındice de refraccion propaga.

6.4 Interferencia en pel´ıculas delgadas ´ Es comun de interferencia en pel´ıculas de aceite esparcidas con agua o las pom´ ver fenomenos ´ que suben por el aire o la superficie de un CD expuesto a la luz del sol. Supongamos pas de jabon ´ n . La pel´ıcula un rayo de luz que incide desde el aire y penetra a un medio de onda de refraccion tiene un espesor t. Para saber si los rayos interfieren constructiva o destructivamente debemos tener en cuenta que: •

•

´ ´ n1 a un medio de ´ındice Si la onda electromagnetica va de un medio de ´ındice de refraccion ´ n2 , sufre un cambio de fase de 180o cuando n2 > n1 , si por el contrario n2 < n1 de refraccion entonces no hay cambio de fase. ´ n es: La longitud de onda λn de la luz en un medio de ´ındice de refraccion λn =

λ n

(6.15)

donde λ corresponde a la longitud de onda en el vac´ıo. En la Figura 6.22 el rayo 1 esta´ 180o fuera de fase respecto al rayo 2, entonces el rayo 2 recorre λn una distancia 2t y δ = . 2

Cambio de fase de 180° 1 Aire

Sin cambio de fase

2

naire> npiel A t B

´ de rayos refleFig. 6.22: Interferencia en la luz reflejada en una pel´ıcula delgada, debido a la combinacion jados por la superficie superior e inferior de la pel´ıcula

Interferencia Constructiva: La interferencia constructica puede expresarse como:   1 2t = m + λn 2 ´ puede escribirse como: Tambien

196

´ 6 Optica F´ısica

 2nt =

m+

1 2

 (6.16)

λ

donde m = 0, 1, 2, 3, .... Interferencia destructiva: ´ para interferencia destructiva esta´ dada por: La ecuacion (6.17)

2nt = mλ con m = 0, 1, 2, 3, ....

´ Algunos ejemplos de interferencia en pel´ıculas delgadas son las bandas de colores Aplicacion: ´ iluminada con luz blanca, entre otros. en una pel´ıcula de aceite sobre agua, pompa de jabon Ejemplo 6.11 ´ (n = 1.33) para que se produzca una interCalcular el espesor m´ınimo de una pel´ıcula de jabon ferencia constructiva en la luz reflejada sobre la pel´ıcula, si esta es iluminada con luz de longitud de onda 600nm. ´ Solucion: El espesor m´ınimo para que se produzca una interferencia constructiva en la luz reflejada corre´ (6.16) se tiene que: sponde a m = 0, entonces usando la ecuacion 2nt =

λ 2

Por lo tanto: t=

λ 600 = = 113nm 4n 4(1.33)

Ejemplo 6.12 ´ n se corta en forma de cuna ˜ Un trozo de material transparente que tiene un ´ındice de refraccion ´ ˜ es pequeno ˜ y una luz monocromatica ´ como se muestra en la Figura 6.23. El angulo de la cuna ˜ tiene una altura h y una de longitud de onda λ incide perpendicularmente sobre ella. Si la cuna longitud L, demuestre que las franjas brillantes ocurren en las mismas posiciones   1 m+ 2 x = λL 2hn donde m = 0, 1, 2, 3, ... y x se mide como se muestra.

t

x

x

L

˜ del ejemplo 6.12 Fig. 6.23: Cuna

L

h

6.4 Interferencia en pel´ıculas delgadas

197

´ Solucion: ´ de triangulos ´ Por relacion se tiene que: t h tL = ; x= x L h ´ para la interferencia constructiva en una pel´ıcula de espesor t con ´ındice de reLa condicion ´ n es: fraccion   1 2nt = m + λ ; m = 0, 1, 2, 3... 2   1 m+ λ 2 t= 2n  1 λL m + tL 2 x= = h 2hn Por tanto se obtiene que:   1 λL m + 2 x= 2hn ´ para interferencia destructiva es: La condicion 2nt = mλ ; m = 0, 1, 2, 3, ... mλ t= 2n Por tanto para la interferencia destructiva se tiene que: x=

λLm 2hn

Ejemplo 6.13 ´ del interferometro ´ ´ de franjas de una luz En el campo de vision de Michelson se forma un patron ´ que tiene una longitud de onda de 580 nm. Una lamina de espesor 2.5 µm con caras paralelas de un material transparente se coloca frente a uno de los espejos en un plano perpendicular a los haces de luz incidente y reflejada. Un observador detecta un conocimiento de seis franjas ´ es el ´ındice de refraccion ´ de la lamina? ´ oscuras. ¿Cual ´ Solucion:  nt =

m+

1 2



λ ; m=7   1 (2.5 × 10−6 )n = 7 + (580 × 10−4 ) 2 n = 1.74

´ de la lamina ´ As´ı, el ´ındice de refraccion es de 1.74. Anillos de Newton

198

´ 6 Optica F´ısica

´ se puede observar colocando un lente plano convexo La interferencia de las ondas de luz tambien ´ sobre un plano optico de vidrio como se muestra en la Figura 6.24 [8].

R>>r R 2

1 Lente

r t Vidrio ´ de los rayos reflejados en el plano optico ´ Fig. 6.24: Combinacion y la superficie curva de la lente

2nt = λnm ; m = 0, 1, 2, 3...

t=

λm 2n

(6.18)

  1 2nt = λn m + 2

p t = R − R2 − r 2 = R − R

r 1−

 r 2 R

r2 ∼ = 2R

(6.19)

Igualando las ecuaciones (6.18) y (6.19) se obtiene λm r2 = 2n 2R Por tanto se obtiene que: r r=

Rλm n

(6.20)

´ de las ondas de luz 6.5 Difraccion ´ de la luz de su trayectoria rectil´ınea se llama difraccion. ´ En la Figura 6.25(a) las La desviacion ondas se dispersan o difractan al salir de las aberturas, mientras que en la Figura 6.25(b) ni es ´ de interferencia ya que no se superponen, es decir, no hay difraccion. ´ posible observar patron ´ ´ en la luz se puede apreciar cuando un objeto opaco se coloca entre En fenomeno de difraccion una fuente puntual y una pantalla como en la Figura 6.26(a), dado que la luz se desv´ıa se ob´ que queda fuera de la sombra se forma una serie de bandas oscuras y tiene que en la region

´ de las ondas de luz 6.5 Difraccion

199

brillantes, como se muestra en la Figura 6.26(b). La intensidad de la primera banda es mayor que ´ de iluminacion ´ uniforme. La mancha brillante en el centro de la sombra la intensidad en la region se explica mediante el modelo ondulatorio de la luz, que predice una interferencia constructiva en ese punto.

(a)

(b) ´ de ondas de luz Fig. 6.25: Difraccion

F

Sombra Objeto opaco

Pantalla

(a)

(b)

´ de la luz alrededor de un objeto opaco. (b) Bandas oscuras y brillantes resultado Fig. 6.26: (a) Desviacion ´ de la luz. de la desviacion

´ de los fenomenos ´ ´ Clasificacion de difraccion. •

´ de Fraunhofer: Los rayos que llegan a la pantalla son paralelos. Se puede lograr Difraccion colocando la pantalla lejos de la abertura utilizando una lente convergente para enfocar rayos paralelos sobre la pantalla.

200

´ 6 Optica F´ısica

q

Pantalla

Entrada ondulatoria

´ de interferencia de Fraunhofer de una sola ranura Fig. 6.27: Patron

•

´ de Fresnel: La fuente esta´ proxima ´ Difraccion a la abertura y la pantalla a una distancia finita, no se utilizan lentes para enfocar rayos paralelos.

´ por una rendija 6.6 Difraccion En el principio de Huygens se planteaba que cada punto de un frente de onda se convierte en un foco secundario de nuevos frentes de ondas, entonces la luz que sale de cada punto de la rendija ´ θ. puede interferir con la luz que sale de los otros puntos y la intensidad depende de la direccion ´ en fase. Entre las ondas 1 y 3 de las Figura Todas las ondas que se originan en la rendija estan a 6.28 hay una diferencia de fase de 180o y una diferencia de camino de δ = senθ, de igual forma 2 ocurre para las ondas 2 y 4, lo cual indica que las ondas que provienen de la mitad superior de la abertura interfieren destructivamente con las de la mitad inferior. La diferencia de camino para estas ondas esta´ dada por [8]: δ=

λ a senθ = 2 2

Por tanto senθ =

λ a

Si la rendija se divide en cuatro partes en lugar de dos partes como se muestra en la Figura 6.28, la pantalla se vera´ oscura cuando: senθ =

2λ a

Al dividir la rendija en seis partes la pantalla se oscurece si: senθ =

3λ a

´ por una rendija 6.6 Difraccion

201

5 4 a2

3

q

a

2 1

a2

a senq 2

´ de la luz mediante una ranura de ancho a. Fig. 6.28: Difraccion

´ general para interferencia destructiva Condicion senθ =

mλ a

(6.21)

donde m = ±1, ±2, ±3, ...

y2 senq = 2l/a senq = l/a 0 senq = 0 -y1 senq = -l/a y1

a

q

Intensidad

-y2

senq = -2l/a

L ´ de intensidad de la luz para un diagrama de Fraunhofer. Fig. 6.29: Distribucion

´ (6.21) da los valores de θ para los cuales el patron ´ de difraccion ´ tiene intensidad La ecuacion cero, es decir, cuando se presentan franjas oscuras en la pantalla.

202

´ 6 Optica F´ısica

´ de difraccion ´ 6.7 Intensidad del patron

x C dx

q

B

A

D A’

C’

q

B’

´ de difraccion ´ de Fraunhofer. Fig. 6.30: Intensidad del patron

˜ Suponiendo que la rendija se divide en un gran numero de zonas pequenas con un ancho de ´ dx como se aprecia en la Figura 6.30, cada zona es una fuente de ondas de amplitud dE0 , la diferencia de camino de estas ondas esta´ dada por: 2πxsenθ 2π CD = λ λ δ λ 2πδ = ; φ= φ 2π λ

δ=

(6.22)

δ = xsenθ

´ (6.22) se puede concluir que la diferencia de camino aumenta gradualmente con De la ecuacion x. En la Figura 6.31 se puede obtener la pendiente en cualquier punto del arco OP de la siguiente forma: δ=

2πxsenθ λ

´ de la tangente es: En el punto P x = b, la inclinacion a=

2πbsenθ λ

´ se tiene que: Ademas ER = cuerda OP = 2QP = 2Rsen

α 2

Entonces  ER = 2Rsen

2πxsenθ λ

 (6.23)

´ de rendijas simples y aperturas simples 6.8 Resolucion

203

C a 2

R R P ER Q

d

dE0 O ´ ´ Fig. 6.31: Diagrama de representaciones vectoriales que muestran el calculo de los maximos y m´ınimos del ´ de difraccion. ´ patron

´ normal, todos los dE0 son paralelos y su resultante es simplemente la suma de Para observacion ´ normal esta´ dado por: sus longitudes. La amplitud resultante E0 para observacion   2πbsenθ E0 = arco OP = Rα = R (6.24) λ ´ (6.23) entre la ecuacion ´ (6.24) se tiene: Dividiendo la ecuacion   2πxsenθ sen ER λ = πbsenθ E0 λ Dado que la intensidad resultante es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud resultante se tiene que   2 2πxsenθ sen   λ  ER = E0    πbsenθ λ 

(6.25)

´ de rendijas simples y aperturas simples 6.8 Resolucion Si un coche se acerca a una carretera o desierto por la noche con luces encendidas, no podemos distinguir si es un auto con dos faros o una moto con un faro. Si el auto comienza a acercarse a nosotros, seremos capaces de distinguir los dos faros y sabremos que se trata de un coche y decimos que las fuentes luminosas han sido resueltas.

204

´ 6 Optica F´ısica

S1

S1

q

q S2 S2

Rendija

Rendija

Pantalla

Pantalla (b)

(a)

˜ abertura, cada una produce una patron ´ Fig. 6.32: Dos fuentes puntuales a cierta distancia de una pequena ´ de difraccion

´ de difraccion ´ sea distinEn la Figura 6.32(a) θ es lo suficientemente grande para que el patron ´ muy separadas para garantizar que los maximos ´ guible en la pantalla. Las fuentes S1 y S2 estan ´ ´ resueltas. Por el centrales no se traslapen. Sus imagenes son distinguibles y decimos que estan ˜ los patrones de difraccion ´ se traslapan y contrario en la Figura 6.32(b) θ es demasiado pequeno, ´ ´ resueltas, dado que si las imagenes ´ ´ muy cerca una de la otra, los las imagenes no estan estan ´ maximos se pueden traslapar. ´ separados por lo que se resuelven bien, en la parte de En la Figura 6.33(a) los objetos estan ´ mas ´ cerca una de otra y se dice que las fuentes estan ´ en el la Figura 6.33(b) las fuentes estan ´ Por otra parte las fuentes en la Figura 6.33(c) estan ´ resueltas porque ellas umbral de resolucion. ´ muy cerca una de otra. estan ´ de difraccion ´ de una sola ranura satisface Segun ´ Fraunhofer, el primer m´ınimo en el patron cuando: senθ =

λ a

6.9 Ejercicios propuestos

(a)

205

(c)

(b)

´ individual de difraccion ´ de dos fuentes individuales (l´ıneas continuas) y patron ´ resultante Fig. 6.33: Patron (l´ınea punteada). En Cada caso la l´ınea punteada es la suma de las continuas.

´ ´ ´ para una ranura de ancho α esta´ dado por la Angulo umbral: El angulo l´ımite de resolucion ´ expresion. θ=

λ a

(6.26)

´ El angulo entre las dos fuentes debe ser mayor que λ/a para poder resolver las fuentes. ´ ´ de difraccion ´ Muchos sistemas opticos utilizan aberturas circulares en vez de rendijas. El patron ´ de una abertura circular consiste de un disco central brillante rodeado de anillos cada vez mas ´ debiles. ´ ´ de una abertura circular es: El angulo de resolucion θmin = 1.22

λ D

(6.27)

´ donde D es el diametro de abertura. ´ (6.27) tiene que ver con la dificultad para ver los faros del auto. Cuando observamos La ecuacion ´ con el ojo, D es el diametro de la pupila.

6.9 Ejercicios propuestos 1. Una fuente de luz coherente se encuentra con dos rendijas a una distancia de 0,08 mm. La ´ luz que atraviesa las rendijas se encuentra con una lamina a 4 m de las mismas. La primera franja iluminada esta a 3 cm de la l´ınea central. Calcular a) La longitud de onda de la luz. b) La distancia entre dos franjas iluminadas consecutivas. R/ 3cm ´ ´ de N fuentes sincronicas ´ 2. Mostrar grafica y anal´ıticamente que en la difraccion separadas cada ´ una de ellas en una distancia d , la intensidad maxima es I = N 2 I0 . ´ en el patron ´ de interferencia de Young, la intensidad sobre la pantalla es 3. En cierta posicion ´ ´ de 6,4 % del maximo. Calcular el angulo φ para este caso. Si la longitud de onda es de 587,5 nm. Hallar la diferencia de camino δ. R/ 157o , 245nm

206

´ 6 Optica F´ısica

4. Considere N fuentes coherentes: E1 = Eo sen(wt + φ)) ; E2 = Eo sen(wt + 2φ)) ; E3 = Eo sen(wt + 3φ)) · · · , EN = Eo sen(wt + N φ)). Encuentre el m´ınimo valor de φ para que ER = E1 + E2 + E3 + · · · + EN sea igual a cero. R/ 360o /N ´ 5. Considere los campos electricos E1 = 5.77senwt y E2 = sen(wt+φ) y Ep = E1 +E2 . Encontrar ´ ´ el angulo φ y Eo tal que Ep = sen(wt + π/6)). Utilizar el metodo de suma de representaciones vectoriales. R/ Eo = 5.77N/C, φ = 2π/3rad. ´ de interferencia que es el resultado 6. En un punto p sobre una pantalla se observa un patron ´ de un rayo directo que sale de la fuente con longitud de onda de 500 nm, de la superposicion con un rayo reflejado en un espejo. Si la fuente se encuentra a 100 mm a la izquierda de la pantalla y a 1 cm arriba del espejo, hallar la distancia y (en mm) a la primera franja oscura localizada arriba del espejo. Ver Figura 6.34. R/ 0.2mm

Pantalla

Fuente

o

y

q Espejo Fig. 6.34: Ejercicio propuesto 6

7. La luz blanca llega a una pel´ıcula de poliestireno (n=1.595) de 0.50 µm de espesor. Calcular ´ las longitudes de onda de los maximos para la luz visible reflejada (de 400 a 650nm) cuando ´ el angulo de incidencia es a) 30o b) 60o c) 0o , que color parece tener la pel´ıcula. R/ a) 530 nm verde, 410 nm violeta b) 580 nm amarillo, 490nm azul, 425 nm violeta c) 456 nm azul, 638 nm rojo. ˚ ´ separadas 0.85 mm y se iluminan con una luz de 6000A. 8. Dos ranuras angostas estan a) Cual es la diferencia de fase entre las ondas que interfieren en una pantalla situada a 2.8 m de distancia en un punto localizado a 2.5 mm de la franja brillante central. ´ de la intensidad en este punto respecto a la intensidad de la franja brillante b) Cual es la razon central. Ipro R/ a) φ = 7.94rad, b) I

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

Por relatividad se entiende la apariencia que presenta la naturaleza ante un observador y su ´ que presenta la naturaleza ante otro observador, que puede estar en movimiento con relacion ´ respecto al primero. Segun de la relatividad, todas las leyes de la naturaleza ´ el principio clasico deben ser las mismas para todos los observadores que se mueven los unos con respecto a los otros con velocidad constante, denominados marcos de referencia inercial. La teor´ıa Especial de la Relatividad esta relacionada con todos los movimientos que se efectuan con velocidad ´ constante y si la velocidad no es constante, es decir es acelerado, estamos en el campo de la Teor´ıa General de la Relatividad [45][39][40][41][42][43][44].

7.1 Transformadas Galileanas de coordenadas Llamaremos “sistema de referencia inercial” a un sistema en donde se verifican las leyes de New´ ton de la mecanica y todas las leyes del electromagnetismo. En un sistema de referencia S1 un evento f´ısico (suceso que se realiza en el tiempo y en el espacio, es decir donde y cuando) A tiene coordenadas X1 ,Y1 ,Z1 en el tiempo t1 . Un observador situado en el otro sistema inercial S2 ´ X1 , encontrara´ que se mueve con velocidad constante con respecto al primero r en la direccion que el mismo evento ocurre en el tiempo t2 y tiene coordenadas X2 ,Y2 ,Z2 . Se desea obtener ´ relacionadas las medidas X1 ,Y1 ,Z1 con las X2 ,Y2 ,Z2 . como estan A partir de la Figura 7.1 se observa que en el origen de coordenadas los dos sistemas de coordenadas coinciden en los tiempos t1 = t2 = 0. De los sistemas de coordenadas se observa que: x2 = x1 − vt

(7.1)

y2 = y1 , z2 = z1 , t2 = t1 As´ı, t2 = t1 significa segun ´ Galileo que el tiempo es absoluto. A estas relaciones se denominan “ ´ “transformadas clasicas ´ transformadas galileanas de coordenadas” o tambien de coordenadas”.

208

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

y1

y2

S1

y1

t1 = t2 = 0

S2

y2

S1

A

S2

x2

vt x1 O2

x2

O2

x1

O1

A

x2 x1

O1 (b)

(a)

Fig. 7.1: a) En el origen de coordenadas los dos sistemas de referencia coinciden en t1 = t2 = 0. b) El sistema S2 se desplaza con respecto al sistema S1 con velocidad constante v a lo largo del eje X

7.2 Transformadas Galileanas de velocidad ´ x en un tiempo Si el evento f´ısico en A, que puede ser una part´ıcula, se mueve en la direccion ´ ∆t, podemos deducir las velocidades clasicas derivando con respecto al tiempo t las relaciones ´ (7.1): de la ecuacion dx2 dx1 vdt = − dt dt dt Obteniendose: v2 = v1 − v

(7.2)

´ Estas son las llamadas transformadas clasicas de velocidades. ´ indica que si “A” es una senal ˜ luminosa, la velocidad de la luz medida en los Esta transformacion ´ (7.2) tomar´ıa la forma: dos sistemas sera´ diferente. La ecuacion c = c0 + v

(7.3)

Muchos experimentos demuestran que la velocidad de la luz es siempre la misma en todas las direcciones e independientemente del movimiento uniforme del observador y la fuente, estas pruebas afirman que c = c0 . Por lo tanto, las ecuaciones (7.1) y (7.2) no pueden ser exactamente ´ y es necesario modificarlas para que esten ´ correctas a pesar de nuestra convincente deduccion de acuerdo a los resultados experimentales. ´ se basa en la idea de suponer que los sistemas de referencia S1 y S2 emplean Esta modificacion ´ no es correcta y los dos la misma escala de tiempo enunciada por t1 = t2 = 0. Esta suposicion observadores deben tener escalas de tiempo diferentes, o mejor, medir tiempos distintos. ´ Las transformaciones galileanas son validas para velocidades inferiores a la velocidad de la luz c, eventos tales como el movimiento de un aeroplano, un auto o simplemente el caminar de una persona. Ejemplo 7.1 ´ de radar fijada a la Tierra rastrea dos naves cohete muy rapidas ´ Una estacion que se aproximan una a la otra a velocidades de 0.6c y 0.8c, respectivamente. Segun ´ las transformaciones

´ del momento lineal 7.4 Invarianza de la conservacion

209

´ es la velocidad con que se aproximan entre si las dos naves segun galileanas ¿ Cual ´ un astronauta situado en una de ellas? ´ Solucion: v2 = v1 − v = 0.8c − (−0.6c) = 1.4c Con esto se confirma lo afirmado anteriormente, es decir que no se pueden obtener velocidades superiores a la de la luz, violando uno de los postulados de la Relatividad Especial.

7.3 Invarianza de las leyes de Newton Consideremos una part´ıcula de masa mo en reposo con velocidades v1 y v2 vista desde los marcos de referencia S1 y S2 , respectivamente, y v es la velocidad constante con que S2 se ´ (7.2) [45]: mueve con respecto a S1 . Por lo tanto, de acuerdo con la ecuacion v2 = v1 − v Derivando respecto al tiempo, se transforma en : dv1 dv dv2 = − dt dt dt a2 = a1 ´ entonces: y as´ı ma2 = ma1 y las fuerzas seran F2 = mo a2 F1 = mo a1 ´ Son las mismas en cada sistema. Por lo tanto, la segunda ley de Newton de la mecanica es invariable para todos los marcos de referencia inercial.

´ del momento lineal 7.4 Invarianza de la conservacion En la Figura 7.2, las dos part´ıculas de masas en reposo mo y m0o forman un sistema aislado sin fuerzas externas. Sea S1 un marco de referencia inercial y S2 otro que se mueve con respecto ´ del momento lineal a S1 con velocidad constante v. Para el sistema S1 , la ley de conservacion establece que [45]: mo v1 + m0o v10 = constante donde v1 y v10 son las velocidades de mo y m0o respectivamente.

(7.4)

210

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

y1

y2 S2

S1

mo v1

v1’ m’o

O2

x2

O1

x1

z2 o

z1 Fig. 7.2: El momento lineal total de las part´ıculas en reposo mo y m0o es invariable cuando se transforma al sistema S2

Ahora sea v2 y v20 las velocidades respectivas de las mismas dos part´ıculas con respecto a S2 . De acuerdo con las transformaciones de Galileo: v1 = v2 + v v10 = v20 + v ´ (7.4), tenemos: Sustituyendo en la ecuacion mo (v + v2 ) + m0o (v + v20 ) = constante mo v2 + m0o v20 = constante − (mo + m0o )v ´ del momento l´ıneal para el sistema inercial S2 es: Finalmente, la ley de la conservacion mo v2 + m0o v20 = constante

(7.5)

´ del momento lineal Comparando las ecuaciones (7.4) y (7.5) se observa que la conservacion permanece invariante para todos los sistemas inerciales que se mueven los unos con respecto a los otros con velocidad constante.

7.5 Experimento de Michelson y Morley En 1887 Albert Michelson y Walter Morley idearon y ejecutaron un experimento para probar la ´ naturaleza lumin´ıfera del eter y para intentar determinar la velocidad de la luz con respecto al ´ ´ ´ eter. Este instrumento optico preciso, se denomino Interferometro que hab´ıa sido desarrollado ´ de las ondas de luz con un patron ´ con franjas oscuras para observar la interferencia y difraccion desfasadas y brillantes en fase. ´ Michelson y Morley construyeron el Interferometro que consiste de dos espejos M y N, siendo N ´ una fuente de luz F y un espejo traslucido S que divide el haz de luz en dos partes iguales movil que se dirigen hacia los espejos M y N situados a igual distancia L. Los dos rayos se combinan ´ de interferencia que consta de una serie de y llegan a la pantalla P donde se presenta el patron anillos brillantes y oscuros concentricos, ver Figura 7.3.

7.5 Experimento de Michelson y Morley

211

N

2 L 1

F

L S

P

M

v

Fig. 7.3: La luz enviada por la fuente F se divide en dos haces en el espejo semitransparente

´ paralela a la velocidad relativa v de la Tierra con respecto al sol. El haz 1 se dirige en direccion Cuando el haz 1 se dirige hacia el espejo M, su velocidad es c − v, mientras que en el regreso es c + v . Por lo tanto, el tiempo transcurrido ida y vuelta es: t1 =

L 2LC L + = 2 = c−v c+v c − v2

t1 =

2LC   v2 2 c 1− 2 c

2LC   v2 c2 1 − 2 c

(7.6)

´ perpendicular a v. Cuando el haz 2 se dirige de S a N y reEl haz 2 se dirige en la direccion ´ ´ gresa a S 0 , el interferometro avanza de S a S 0 con velocidad v. Algo similar ocurre, logicamente guardando las proporciones, cuando un nadador intenta cruzar un r´ıo de ida y regreso con plena corriente, la trayector´ıa es un triangulo, ver Figura 7.4. Por lo tanto, el tiempo transcurrido de ida y regreso es: c2



t2 2

2

= v2



t2 2

2

+ L2

Despejando t2 2Lc r

t2 = c2

v2 1− 2 c

(7.7)

212

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

N

t C 22

F S

t C 22

L

v t2 2

v t2 2

S’

´ Fig. 7.4: El interferometro avanza a la derecha con velocidad v mientras que el haz “viaja de S a N y N a S 0 ”

Se nota que los tiempos t1 y t2 son diferentes (t2 > t1 ) y por tanto cuando se encuentran los dos ´ desfasados y produciran ´ una figura de interferencia diferente de la figura de haces de luz estaran interferencia cuando este´ en fase. La experiencia muestra que los tiempos son iguales (t1 = t2 ) por que la velocidad relativa V de la ˜ con tierra es cero, el experimento se repitio´ de d´ıa, de noche durante todas las estaciones del ano, ´ diferentes tecnicas y siempre dio resultados negativos. Un conflicto surge, porque de acuerdo con las transformaciones Galileanas, un observador que efectua ´ este experimento deber´ıa observar ´ Por tanto, si se rechaza las transformadas Galileanas de que t2 > t1 y este hecho no se observo. velocidades y aceptamos que la velocidad de la luz es la misma para ambos sistemas inerciales S1 y S2 , tendremos. t1 =

2L 2L y t2 = c c

y por consiguiente t1 = t2 . Este resultado concuerda con la evidencia experimental. Por tanto, los resultados experimentales de Michelson y Morley forzaron a lo f´ısicos a aceptar la invariancia de la velocidad de la luz y se puede concluir que la velocidad de la luz es la misma sin importar que esta velocidad sea medida por un observador en un sistema estacionario o por un observador en un sistema que se mueve a velocidad constante respecto a la fuente de luz.

7.6 Postulados de la teor´ıa Especial de la Relatividad En 1905, Albert Einstein enuncia su teor´ıa de la Relatividad Especial en la cual regresa a la ´ antigua idea que el espacio es vac´ıo (no existe eter) y formula dos postulados: •

•

Las leyes de la F´ısica son las mismas en todos los sistemas de referencia inercial. Esto ´ significa que las leyes de la F´ısica tienen la misma forma matematica para todos los observadores que se mueven entre s´ı con velocidad constante. No existen marcos de referencias preferenciales. La velocidad de la luz en el vac´ıo tiene el mismo valor c en cualquier marco de referencia inercial. No se encontraran velocidades superiores a la velocidad de la luz c.

El primer postulado, implica que el movimiento en l´ınea recta y a velocidad constante solo es observable si se compara con algo, es decir, no existe un sistema de referencia absoluto con respecto al cual se pueden comparar todos los movimientos. El segundo postulado contradice las transformaciones de Galileo y confirma los resultados experimentales de Michelson y Morley: si la velocidad de la luz es constante, no hay diferencia de

7.7 Transformaciones de Lorentz

213

tiempo entre los dos recorridos de la luz y no puede haber corrimiento de las franjas de inter´ ´ este postulado dice que la velocidad de la luz c es ferencia al girar el interferometro. Ademas, independiente del movimiento de la fuente o del observador.

7.7 Transformaciones de Lorentz Para grandes velocidades v ≈ c, nos vemos forzados a rechazar las transformaciones de Galileo ´ generales y compatibles. Estas transformaciones se denominan y buscar otras ecuaciones mas ´ “Transformaciones de Lorentz” en honor a Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), f´ısico holandes. Supongamos dos observadores O1 y O2 que se mueven con velocidad relativa v. Ambos observadores ajustan sus relojes de modo que t1 = t2 = 0 cuando coinciden en el origen comun, ´ ver Figura 7.5. ´ comun. ´ de un tiempo t1 En el tiempo t = 0 se emite un destello de luz en la posicion ´ Despues el observador O1 notara´ que la luz ha llegado al punto A y as´ı podemos escribir la magnitud del ´ vector de posicion: (7.8)

r1 = ct1

´ (7.8) y reemplazando en la donde c es la velocidad de la luz. Elevando al cuadrado la ecuacion ´ (7.9); obtenemos. ecuacion r12 = x21 + y12 + z12

(7.9)

x21 + y12 + z12 = C 2 t21

(7.10)

y2

y1

S2

S1

A

r1 O2 O1

r2 x2 x1

z2 z1 Fig. 7.5: El sistema de referencia S2 se mueve a velocidad constante respecto al sistema estacionario S1

Similarmente el observador O2 notara´ que la luz llega al mismo punto A en un tiempo t2 , pero ´ para el observador O2 es: con la misma velocidad c. El vector de posicion r2 = ct2

(7.11)

214

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

Similarmente, x22 + y22 + z22 = C 2 t21

(7.12)

Por simetr´ıa y1 = y2 z1 = z2 ´ entre las coordenadas del sistema S1 y S2 de la siguiente Lorentz supuso que existe una relacion forma: x2 = k(x1 − vt1 )

(7.13)

donde k es una constante a determinarse. Similarmente para el tiempo y teniendo en cuenta que t1 6= t2 . t2 = a(t1 − bx1 )

(7.14)

donde a y b son constantes a determinar. De las ecuaciones (7.13) y la (7.14) se puede observar que si k = a = 1 y b = 0 obtenemos las transformaciones de Galileo. Sustituyendo las ecuaciones (7.14), (7.13) y (7.12), tenemos que: k 2 (x21 − 2vx1 t1 + v 2 t1 ) + y12 + z12 = c2 a2 (t21 − 2bx1 t1 + b2 x21 )   k2 v2 c2 t21 (k 2 − b2 a2 c2 )x21 − 2(k 2 v − ba2 c2 )x1 t1 + y12 + z12 = a2 − 2 c ´ con la ecuacion ´ (7.10) e igualando los coeficientes, obtenComparando esta ultima ecuacion ´ emos: k 2 − b2 a2 c2 = 1

(7.15)

k 2 v − ba2 c2 = 0

(7.16)

a2 −

k2 v2 =1 c2

(7.17)

Resolviendo este sistema de ecuaciones para k, b y a se obtiene finalmente que: k=a= r

1

v2 1− 2 c

b=

v2 c2

(7.18)

(7.19)

Reemplazando los resultados de las ecuaciones (7.18) y (7.19) en las ecuaciones (7.13) y (7.14), obtenemos las transformadas de Lorentz. x1 − vt1 x2 = r v2 1− 2 c

(7.20)

7.7 Transformaciones de Lorentz

v t1 − 2 x1 c t2 = r v2 1− 2 c

215

(7.21)

y2 = y1 z2 = z1 Ejemplo 7.2 ´ Resolver el sistema de ecuaciones planteado a continuacion: k 2 − b2 a2 c2 = 1 k 2 v − ba2 c2 = 0

a2 −

k2 v2 =1 c2

´ Solucion: ´ (7.16) despejamos a2 , obteniendo: De la ecuacion a2 =

K 2v bc2

(7.22)

´ (7.22) en (7.15), obtenemos: Reemplazando la ecuacion  2  k v 2 2 2 k −c b = 1 o k 2 − k 2 vb − 1 = 0 bc2 Factorizando k 2 (1 − vb) = 1 y de aqu´ı: k2 =

1 1 − vb

(7.23)

k2 v c2 a2

(7.24)

´ (7.16). De la ecuacion b= ´ (7.24), se obtiene: De la ecuacion k2 =

c2 a2 b v

´ en (7.17) Sustituyendo esta´ ecuacion a2 −

c2 a2 b 2 v =1 vc2

Factorizando a2 (1 − bv) = 1, y despejando se obtiene: a2 =

1 1 − bv

(7.25)

216

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

Igualando las ecuaciones (7.23) y (7.25), se obtiene a2 = k 2 . ´ (7.24), se obtiene: Reemplazando en la ecuacion b=

v C2

(7.26)

´ (7.23) Sustituyendo en la ecuacion k2 =

1

1 v = v2 1 − 2v 1− 2 c C

Por ultimo, ´ k=a= r

1

(7.27)

v2 1− 2 c

Reemplazando las ecuaciones (7.26) y (7.27) en (7.13) y (7.14), obtenemos: x1 − vt1 x2 = r v2 1− 2 c

(7.28)

v t1 − 2 x1 c t2 = r v2 1− 2 c

(7.29)

Estas transformaciones se conocen como transformaciones de Lorentz. En 1923, Niels Bohr propuso el “Principio de Correspondencia”. Este establece que cualquier ´ teor´ıa nueva en la f´ısica debe reducirse a la bien establecida teor´ıa clasica correspondiente, ´ especial en que la teor´ıa menos general se acepta cuando la nueva teor´ıa se aplica a la situacion ´ como valida. Este principio se aplica si la velocidad v es mucho menos que c, v  c y entonces las ecuaciones (7.28) y (7.29) se transformaran en: x2 = x1 − vt y t2 = t1 ´ que son las transformadas clasicas de Galileo.

´ de las velocidades de Lorentz 7.8 Composicion De acuerdo con la Figura 7.5, la velocidad de A medida por el sistema S1 es [45]: v1x =

dx1 dt1

v1y =

dy1 dt1

v1z =

dz1 dt1

(7.30)

dy2 dt2

v2z =

dz2 dt2

(7.31)

y la velocidad de A medida por el sistema S2 es:

v2x =

dx2 dt2

v2y =

´ de las velocidades de Lorentz 7.8 Composicion

217

Diferenciando las ecuaciones de Lorentz, obtenemos: (v1x − v) dt1 dx2 = r v2 1− 2 c

(7.32)

dy2 = dy1 dz2 = dz1 vv1x  1− 2 dt1 dt2 = r c v2 1− 2 c 

(7.33)

Sustituyendo las ecuaciones (7.32) y (7.33) en las ecuaciones (7.30) obtenemos: v2x =

v1x − v vv1x 1− 2 c

(7.34)

r

v2 1− 2 c vv1x 1− 2 c

v1y v2y =

(7.35)

r

v2 1− 2 c vv1x 1− 2 c

v1z v2z =

(7.36)

Se puede observar que si v  c, obtenemos v2x = v1x − v v2y = v1y v2z = v1z ´ que corresponden a las transformaciones de Galileo para las velocidades. En este caso, tambien se aplica el Principio de Correspondencia. Se obtiene las transformaciones inversas de velocidades intercambiando los sub´ındices 1 y 2 y reemplazando v por -v. v1x =

v2x + v vv2x 1+ 2 c

(7.37)

r

v2 1− 2 c vv1x 1+ 2 c

v2y v1y =

(7.38)

r

v2 1− 2 c vv1x 1+ 2 c

v2z v1z =

(7.39)

218

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

Ejemplo 7.3 ´ tarde decide explorar y Un cohete A pasa por la Tierra a una velocidad de 4c/5. Un tiempo mas ˜ cohete explorador que se mueve con respecto al coenv´ıa de regreso hacia la Tierra un pequeno hete A, a una velocidad de 3c/5. Hallar la velocidad del cohete explorador con respecto a la Tierra. ´ Solucion:

v2x

v1x − v = vv1x = 1− 2 c

4c 3c 1 − c 5 5 5    = 5 = c 12 4c 3c 13 1− 25 5 5 1− 2 c

Ejemplo 7.4 Un cohete de longitud L (medido en el sistema del cohete) sale de la Tierra a una velocidad de ˜ luminosa se produce en la cola del cohete cuando t = 0. De acuerdo a los relojes 4c/5. Una senal que hay en la Tierra y el cohete: ˜ luminosa llegue a la cabeza del cohete, de acuerdo con el a) Hallar el tiempo para que la senal reloj del cohete ˜ luminosa llegue a la cabeza del cohete, de acuerdo con el b) Hallar el tiempo para que la senal reloj ubicado en la Tierra. ˜ se refleja sobre un espejo en la cabeza del cohete y regresa a la cola. De acuerdo c) La senal ´ ˜ en llegar a la cola? con el reloj del cohete ¿Cuanto tiempo emplea la senal ´ ˜ en llegar a la cola d) De acuerdo con el reloj de la Tierra ¿Cuanto tiempo se denomina la senal del cohete? ´ Solucion: ˜ luminosa recorra todo el cohete de longitud L es, de acuerdo a a) El tiempo to para que la senal un reloj ubicado en el cohete es: to =

L c

˜ luminosa recorra una distancia L de acuerdo a un reloj ubicado b) El tiempo t1 para que la senal en tierra es: v L 4L t 2 − 2 x1 + 9L c C 5c t1 = r =v =   u 3c v2 4c 2 u 1− 2 u c u1 −  5    t c ˜ se refleja en un espejo ubicado en la cabeza del cohete, el tiempo t2 de ida y regreso c) La senal to de acuerdo a un reloj en el cohete es: t2 =

L L 2L + = , c c c

t2 es llamado tiempo propio d) El tiempo t3 en regresar a la cola del cohete, segun ´ un reloj ubicado en tierra es: t3 = r

to 2

1−

v c2

=r

to 16 1− 25

=

5to 10L = 3 3c

´ 7.9 Cinematica relativista

219

Ejemplo 7.5 2 2 2 Use la transformada de Lorentz para mostrar que si v1x + v1y + v1z = c2 en S1 , entonces 2 2 2 2 v2x + v2y + v2z = c en S2 . ´ Solucion: 2 2 2 Reemplazando las ecuaciones (7.34) (7.35) y (7.36) en v2x + v2y + v2z = c2 obtenemos:

2  r 2 v2 v2  v1z 1 − c2   v1y 1 − c2  2     v1x − v  +  vv1x vv1x  +  vv1x  = c  1− 2 1− 2 1− 2 c c c 

2



r

v2 2 v2 2 2 2 2 v1x − 2v1x v + v 2 + v1y − 2 v1y + v1z − 2 v1z c c = c2  vv1x 2 1− 2 c 2 2 2 Pero v1x + v1y + v1z = c2 , entonces:

v2 2 v2 2 c2 − 2v1x v + v 2 − 2 v1y − 2 v1z C c = c2  vv1x 2 1− 2 c   v2 2 v2 2 v v2 2 2 2 c − 2v1x v + v − 2 v1y − 2 v1z = c2 1 − 2 2 v1x + 4 v1x C c c c 2 2 2 v 2 v 2 v 2 c2 − 2v1x v + v 2 − 2 v1y − 2 v1z = c2 − 2v1x v + 2 v1x c c c 2 2 2 v v v 2 2 2 −2v1x v + v 2 − 2 v1y − 2 v1z = −2v1x v + 2 v1x c c ! c 2 v1y v2 v2 2 v 2 1 − 2 − 1z = v c c2 c2 1x 2 2 2 Finalmente, v1x + v1y + v1z = C2

´ 7.9 Cinematica relativista ´ del tiempo Dilatacion Un reloj en reposo con respecto a un observador inercial mide intervalo de tiempos mayores que otro reloj en movimiento uniforme con respecto al mismo observador y para el mismo suceso ´ despacio, es decir se atrasan [46]. f´ısico. Esto significa que los relojes en movimiento andan mas Supongamos un reloj especial que consta de dos grandes espejos colocados uno en frente del otro y separados una distancia Lo llamada longitud propia y un haz de luz que realiza un recorrido de ida y vuelta desde el espejo inferior al superior, ver Figura 7.6.

220

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

Espejo

L0

(a) t=0

t

t

2

(b) Fig. 7.6: a) Observador en reposo. b) Reloj en movimiento respecto al observador

Cuando el reloj esta´ en reposo, el intervalo de tiempo del haz de la luz en el recorrido completo es: to =

2Lo c

(7.40)

donde to se denomina el tiempo propio. Consideremos ahora el mismo reloj especial pero en movimiento con velocidad constante v con ˜ respecto a un observador en Tierra. El intervalo de tiempo entre dos senales consecutivas es t. La mitad del tiempo se empleara´ para llegar al espejo superior y la otra mitad para regresar al ˜ luminosa. Pero mientras el haz de la luz viaja al espejo superior y regresa, inferior y emitir la senal el espejo se mueve horizontalmente hacia la derecha y la luz debera´ recorrer una distancia mayor que cuando el espejo estaba en reposo, este recorrido triangular del haz de la luz se muestra en ´ ocurrir´ıa cuando un nadador desea cruzar un r´ıo y regresar en la Figura 7.7. Similar situacion presencia de la corriente del agua. ´ La Figura 7.7 ilustra esquematicamente el recorrido de ida y vuelta del haz luminoso.

´ 7.9 Cinematica relativista

221

Ct

Ct

2

Lo

2

vt

vt

2

2

´ del recorrido del haz cuando el espejo esta´ en movimiento Fig. 7.7: Triangulacion

Utilizando el teorema de Pitagoras, obtenemos: 

2  2 1 1 ct = L2o + vt 2 2

(7.41)

´ para el tiempo t, obtenemos: Al realizar la solucion Lo t= r c 2

v2 1− 2 c

(7.42)

´ (7.40) en (7.42) obtenemos que: Al sustituir la ecuacion t= r

to

v2 1− 2 c

(7.43)

r

v2 < 1 entonces se concluye que t > to . Esto significa que el reloj en c2 v ´ del tiempo ya que tiende a cero y por tanto movimiento se atrasa. Si v  c no existe dilatacion c ´ se concluye que el tiempo no es absoluto. t = to . Ademas ´ de la longitud Contraccion Como el factor

1−

´ Otra consecuencia de los postulados de la Teor´ıa de la Relatividad especial es la “contraccion ´ del de la longitud” lo que significa que las dimensiones de los cuerpos paralelos a la direccion ´ del movimiento relativo disminuyen. Supondremos el mismo reloj construido para la dilatacion ´ paralela a la longitud de la barra. tiempo, pero ahora se movera´ en direccion El espejo tiene una longitud propia Lo cuando esta en reposo. Sea L su longitud observada cuando se encuentra en movimiento, llamada longitud propia y t el tiempo durante el cual se observa el movimiento del haz de luz en ir y volver del espejo de la izquierda al espejo de la derecha. Sea t1 el intervalo de tiempo necesario para que la luz llegue al espejo de la derecha y t2 el intervalo de tiempo necesario para que el haz de la luz regrese al espejo de la izquierda, ver Figura 7.8.

222

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

d1 v

L

vt2

v

vt2

d2

v

Fig. 7.8: La luz sale del espejo de la izquierda

´ El tiempo total para que el rayo de luz vaya y vuelva sera: t = t1 + t2

(7.44)

De la Figura 7.8 observamos que: d1 = ct1 = vt1 + L d2 = ct2 = L − vt2 Sumando d1 + d2 y restando d1 − d2 , se obtiene: ct = v(t1 − t2 ) + 2L c(t1 − t2 ) = vt Realizando operaciones algebraicas, obtenemos: ct =

v2 t + 2L c

´ para t, se obtiene: Realizando la solucion L c t= v2 1− 2 c 2

(7.45)

Pero el tiempo t es el mismo intervalo de tiempo calculado mediante las ecuaciones (7.42) y (7.43). Si reemplazamos (7.45) en (7.42) y (7.43) se obtiene: r v2 L = Lo 1 − 2 (7.46) c Se r observa que la longitud de un cuerpo en movimiento relativo se acorta. As´ı que como el factor v2 1 − 2 < 1, entonces L es menor que Lo . C L < Lo Donde Lo se denomina longitud propia.

´ 7.9 Cinematica relativista

223

´ tiene aplicaciones aun ´ generales, ya que puede aplicarse a cualquier Esta conclusion ´ mas cuerpo, es independiente de la naturaleza del objeto y debe aplicarse, por lo tanto al espacio ´ de Lorentz se considera una ley fundamismo. Albert Einstein propuso que la transformacion mental de la naturaleza, que reemplazara´ a las ecuaciones de Galileo, cuando la velocidad se ´ vuelve lo suficientemente grande para ser medida en terminos de C. Ejemplo 7.6 La longitud medida de una nave en movimiento es igual a la mitad de su longitud propia. a) Hallar la velocidad de la nave relativa a un observador en Tierra. ´ del tiempo de la nave. b) Hallar la dilatacion ´ Solucion: a) Sea L la longitud en movimiento y Lo la longitud propia. Segun ´ las condiciones del problema: L=

Lo 2r

v2 c2 r Lo v2 = Lo 1 − 2 2 c 1−

L = Lo

Resolviendo para v, obtenemos: √ v=

3 c 2

´ del tiempo, usamos la ecuacion ´ (7.42) b) Para calcular la dilatacion t= r

t1 v2 1− 2 c

=t= v u u u u t 1−

to

= 2t1 √ !2 3 2 c2

t2 = 2t1 Ejemplo 7.7 Una nave en reposo mide 100 metros, se mueve con respecto a la Tierra con una velocidad de ´ 3c/5. En la nave hay dos relojes sincronizados, ver Figura 7.9. Un observador en la Tierra tambien ´ tanto el tiene un reloj, y en el momento en que la parte delantera de la nave cruza frente a el, reloj en la nave como el del observador indican tB = tC = 0. a) En el instante t = 0. ¿ Que´ tiempo marca el reloj que se encuentra en la parte trasera de la nave? ´ b) ¿ Cuanto tiempo se requiere para que la parte trasera de la nave pase frente al observador? ´ los relojes de la nave? c) En ese instante, ¿ Que´ tiempo indicaran

224

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

t=0 B

A

v

t=0 C

Tierra

Fig. 7.9: Una nave con velocidad v con dos relojes A y B sincronizados con un reloj ubicado en Tierra

´ Solucion: ´ a) El tiempo que marca el reloj de la parte trasera de la nave, sera: v tA = tB + Lo 2 , como tB = 0 y Lo = 100m  c 3c 100 60 5 = seg tA = c2 c b) Primeramente la longitud relativa de la nave es: v  2 u u 3c r r u t v2 16 5 L = Lo 1 − 2 = 100 1 − = 80m = 100 c c2 25 ahora el tiempo para que la parte trasera de la nave pase frontal al observador es: L 80 133.3 = = seg 3c v c 5 133.3 t= seg c t=

c) El tiempo que marcan los tres relojes cuando la nave pasa frente al observador es:

tB = r

1

1− tB =

v2 C2

133.3 166.6 = c = seg 4 c 5

166.6 seg c

tA = tAo + tB =

60 166.6 266.6 + = seg c c c

Ejemplo 7.8 Una persona viaja a la rapidez de 0.6c. Cuando regresa nota que su hermano gemelo de la Tierra ˜ ´ ´ ha envejecido 10 anos.¿ Cuanto envejecio el?

´ 7.9 Cinematica relativista

225

´ Solucion: Sea t1 el tiempo de la persona que viaja a 0.6c y t2 el tiempo de la persona gemela en tierra, por lo tanto: r √ √ v2 t1 = t2 1 − 2 = 10 1 − 0.36 = 10 0.64 c t1 = 8 Ejemplo 7.9 Una nave espacial se acerca a la Tierra con una velocidad de 0.6c. Un observador de la Tierra ´ env´ıa un mensaje al piloto de mide la longitud de la nave y encuentra que es 80 metros, despues la nave durante 16 minutos, segun ´ su reloj. ˜ de la nave para el piloto? a) ¿ Cual ´ es el tamano ´ b) ¿ Cuanto tiempo duro´ el mensaje para el piloto? ´ Solucion: a) La longitud de la nave es: r 1−

L = Lo

v2 80 =√ = 100m c2 0.64

Lo = 100m b) El tiempo que mide el piloto de la nave es: t1

t= r

2

1−

v c2

16 =√ = 20min 0.64

t = 20min Finalmente, se observa que el tiempo se dilata. Ejemplo 7.10 Una barra r´ıgida AB de longitud L2 = 1.5m esta´ en reposo respecto al sistema S2 . Si la barra ´ ´ θ1 de la barra hace un angulo de θ2 = 45o con respecto a X2 . Hallar la longitud L1 y la orientacion con respecto a S1 cuando v = 0.98c.

y1

y2 B

S2

S1

A

O2 O1

45°

x2 x1

Fig. 7.10: Una barra AB inclinada 45o con respecto al sistema S2

226

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

´ Solucion: Las componentes a los ejes X2 y Y2 medidas por S2 son: L2x = L2 cosθ2 L2y = L2 senθ2 ´ La componente vertical es perpendicular a la velocidad v y no experimentara´ ninguna contraccion cuando se ve desde S1 . Por lo tanto: L1y = L2y = L2 senθ2 ´ (7.46), se obtiene: La componente horizontal es paralela a v y segun ´ la ecuacion r r v2 v2 L1x = L2x 1 − 2 = L2 1 − 2 cosθ2 c c ´ La longitud de la barra medida por O1 sera: s   q v2 2 2 L1 = L1x + L1y = L22 1 − 2 cos2 θ2 + L2 sen2 θ c r v2 L1 = L2 1 − 2 cos2 θ c Reemplazando los valores: r L1 = 1.5

1−

(0.98c)2 cos2 45 c2

L1 = 1.07m ´ ´ respecto al sistema S1 . Para hallar el angulo de inclinacion tgθ1 =

L1y = L1x

tgθ2 L senθ2 r 2 =r v2 v2 L2 1 − 2 cos2 θ 1− 2 c c tg45o = 25.25 tgθ = r (0.98)2 1− c2 o θ = 88

7.10 Cantidad de movimiento relativista ´ Las expresiones clasicas para el momento lineal y la energ´ıa deben ser reemplazadas con ex´ del momento y conserpresiones relativistas antes de ser convertidas en leyes de conservacion ´ de la energ´ıa. La cantidad de movimiento desde el punto de vista de la mecanica ´ vacion clasica para un cuerpo de masa en resposo m y velocidad v es [46]: P = mv Para un sistema aislado de part´ıculas m1 , m2 , m3 , ..., mn sobre el cual no actuan fuerzas, el sis´ tema evolucionara´ en el espacio y tiempo, as´ı: n X

mi vi = m1 v1 + m2 v2 + · · · + mn vn = constante

i

Las nuevas expresiones relativistas deben cumplir dos condiciones:

7.10 Cantidad de movimiento relativista

227

´ 1. Deben conservarse de la misma manera que lo hacen clasicamente. ´ debe cumplirse que para las velocidades pequenas ˜ 2. La nueva expresion comparadas con la ´ clasica, ´ luz c, reproduzca la expresion es decir se cumple el principio de correspondencia. Condiciones con el principio de correspondencia ´ totalmente inelastica ´ Consideremos una colision entre dos part´ıculas A y B que en reposo con respecto al observador tienen la misma masa, y se mueven con la misma velocidad, el uno hacia ´ se realiza en un marco de referencia inercial S1 en movimiento relativo con veel otro. La colision locidad constante v con respecto a otro marco de referencia inercial S2 , desde donde se observa ´ la colision, ´ ver Figura 7.11a. tambien Por simplicidad supondremos que la velocidad de las part´ıculas y la velocidad relativa del sistema S1 son iguales (v = v1 ).

v = v1

S1 m1

v1

v1

S2 m1

m

ANTES

v

mO

DESPUES

DESPUES O1

MO En reposo

ANTES

O2

M

´ inelastica ´ ´ inelastica ´ Fig. 7.11: a)Colision vista desde el marco de referencia S1 . b)Colision vista por un observador S2 en movimiento relativo con respecto a S1 .

´ de la cantidad de Para el observador O1 ubicado en el sistema S1 se cumple la conservacion movimiento. m1 v1 + m1 (−v1 ) = 0 ´ desde el sistema de referencia S2 no se puede asegurar que Pero, al observar la misma colision las masas de las part´ıculas en movimiento siguen siendo las mismas ya que sus velocidades son distintas. As´ı, mientras que el observador O1 ve las dos masas, cuando chocan, en reposo, el ´ observador O2 la ve moviendose con velocidad v. Sean m y M las masas de las part´ıculas en movimiento y mo la masa de la part´ıcula en reposo, ver Figura 7.11b. La part´ıcula A se mueve ´ de la colision ´ se movera´ con velocidad v1 . con velocidad v y la part´ıcula resultante despues ´ del momento. Para el observador O2 en el sistema S2 se cumple la ley de conservacion mv = M v1

(7.47)

De acuerdo con las transformadas de velocidades de las ecuaciones (7.37), (7.38) y (7.39), se obtiene: v=

v1 + v 2v1 = v12 v2 1+ 2 1 + 12 C C

Observe que si v  C, entonces v = 2v1 . ´ de acuerdo con la ley de conservacion ´ de la masa, se tiene: Ademas,

(7.48)

228

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

m + mo = M Dividiendo las ecuaciones (7.47) por (7.49), obtenemos:   v1 m= mo v − v1

(7.49)

(7.50)

Se observa que m depende de mo . ´ (7.48), obtenemos: Resolviendo para v1 de la ecuacion ! r C2 v2 v1 = 1± 1− 2 v C v cuando v  C, el signo apropiado sera´ el signo menos, de lo 2 ´ al principio de la relatividad, es decir, v = 2c. contrario tendr´ıamos una violacion ! r v2 C2 1− 1− 2 (7.51) v1 = v C Puesto que v1 debe ser igual a

´ (7.50), se obtiene: Reemplazando este resultado en la ecuacion !   r   C2 v2        v 1 − 1 − C2  ! mo m= r    C2 v2      v − v 1 − 1 − C2   Obteniendo finalmente, m= r

mo 1−

v2 C2

Por lo tanto, la masa de un cuerpo no es, en general, una constante ni la misma para todos los observadores, sino que es una cantidad que: 1. Depende del sistema de referencia desde el cual es observado el cuerpo y. 2. Es menor o igual a mo cuando el cuerpo esta´ en reposo en el marco de referencia desde el cual el cuerpo es observado.

7.11 Momento relativista ´ relativista para el momento lineal se obtiene de la expresion ´ clasica ´ La expresion al reemplazar la masa relativista. P = mv = r

mo v v2 1− 2 C

(7.52)

donde v es la velocidad del objeto y mo la masa en reposo. Ejemplo 7.11 Una part´ıcula en reposo mo se mueve con velocidad de 0.6c en sentidos opuestos para realizar ´ frontal inelastica ´ ´ una colision con otra part´ıcula identica en resposo.

7.11 Momento relativista

229

a) Hallar la velocidad ´ es la masa en reposo de la part´ıcula resultante? b) ¿ Cual ´ Solucion: ´ es inelastica ´ a) Como la colision se conserva la cantidad de movimiento y la energ´ıa por la ley ´ del momento lineal, tenemos: de conservacion m v M v m v r o A −r o B =r o C 2 2 2 v vB vC 1− A 1 − 1 − c2 c2 c2 Pero vB = 0. El cuerpo B se encuentra en reposo, entonces: m (0.6c) M o vc r o =r 2 2 (0.6) vC 1− 1 − c2 c2 3 M o vC mo c = r 4 v2 1 − C2 c

(7.53)

´ de la energ´ıa, obtenemos: Por la ley de conservacion m c2 m o c2 M o c2 r o −r =r v2 v2 v2 1− A 1− B 1 − C2 2 2 c c c Pero vB = 0 y vC = 0.6c, entonces al reemplazar obtenemos: mo Mo c2 + mo = r 0.8 v2 1 − C2 c 9 Mo mo = r 4 v2 1 − C2 c Dividiendo las ecuaciones (7.53) y (7.54), obtenemos: vC =

c 3

´ (7.53), obtenemos: b) Reemplazamos vC en la ecuacion c M o 3 3 mo c = v  c 2 u 4 u t 1 − 32 c 3 Mo mo = √ 4 2 2 Mo = 2.1mo

(7.54)

230

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

7.12 Fuerza relativista ´ De acuerdo con la segunda ley de Newton clasica, y considerando que la fuerza actua ´ en la ´ x. La variacion ´ del momento con respecto al tiempo de la masa m produce una fuerza. direccion Veamos − 21 ) v2 mo vx 1 − 2 c  2 vx mo dvx dvx mo c2 Fx = r +  23 dt 2 dt 2 v v 1− 2 1− 2 c c    2   2  vx  v     mo 1 − c2 + mo c2   dv mo dvx x Fx = = 3    32 dt   2 2 dt 2   v v     1− 2 1− 2 c c

dPx d d Fx = = (mvx ) = dt dt dt

(



Finalmente, Fx = γ 3 mo ax

(7.55)

  −1 v2 2 ´ en la direccion ´ x. donde γ = 1 − 2 y ax es la aceleracion c ´ Si v  c entonces, Fx = mo ax , que corresponde a la segunda Ley de Newton Clasica.

´ 7.13 Energ´ıa cinetica relativista ´ para la enCuando la velocidad de una part´ıcula se aproxima a valores relativistas, la expresion ´ ´ ´ erg´ıa cinetica clasica debe ser cambiada a una forma relativista. A fin de encontrar una expresion ´ para la energ´ıa cinetica relativista, calcularemos el trabajo hecho para aumentar la velocidad de una part´ıcula desde O hasta un valor final v. Por simplicidad, supondremos que la fuerza y el ´ en la misma direccion ´ [45]. desplazamiento estan Z x2 Z x2 dP W = F dx = dx x1 x1 dt dP dP dv dP dv dx dP dx = dx = dx = · vdv dt dv dt dv dx dt dv Derivando el momento lineal P con respecto a la velocidad v, obtenemos:

´ 7.13 Energ´ıa cinetica relativista

   

231

   

(   −1 ) dP d v2 2 mo v d r = v 1− 2 = mo 2  dv dv  dv c   1− v   2 c   2   v       2 1 dP =  c 3 +  · mo 1   2 2 2 2  dv   v v   1−   1− 2 c2 c   2  2  v v     2 +1− 2   dP mo c = mo c = 3  3   2 dv 2   v2 2  1− v    1− 2 c2 c ´ en la integral para el trabajo W , obtenemos: Al reemplazar esta ultima expresion ´ Z vdv W = mo  3 v2 2 1− 2 c ´ Sea u = 1− Para resolver esta integral, realizamos la sustitucion: Sustituyendo, obtenemos:

v2 −2v c2 , du = dv, vdv = − du. c2 c2 2 

W =−

m o c2 2

Z

v

− 12

  1 mo c2 u  r |v0 = mo c2    2 −1/2 v2 1− 2 c 0 mo c2 W =r − mo c2 = (m − mo )c2 v2 1− 2 c 3

u− 2 du = −

´ se denomina energ´ıa cinetica ´ ´ como la ecuacion ´ Esta ultima expresion relativista, conocida tambien ´ de Einsten. K = (m − mo )c2

(7.56)

Ejemplo 7.12 ´ se mueve con rapidez de 0.95c. Calcular la energ´ıa total, la energ´ıa en reposo y la Un proton ´ energ´ıa cinetica. ´ Solucion: Energ´ıa total: mo c2 ET = K + mo c2 = r = 3.2mo c2 v2 1− 2 c Energ´ıa en resposo: Eo = mo c2

232

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

´ Energ´ıa cinetica: K = (m − mo )c2 = 2.2mo c2 Ejemplo 7.13 La masa de un viajero espacial que viaja a la velocidad v es ´ la energ´ıa cinetica y la velocidad de este viajero.

3 de su masa en resposo mo . Hallar 2

´ Solucion: 

2

K = (m − mo )c = mo r

2

1−

=

v c2

 3 mo 2 mo − m c2 = c 2 2

3 mo 2 r

2

(2) =

3

v2 1− 2 c

!2

Al solucionar para v, obtenemos: √ v=

5 c 3

Ejemplo 7.14 ´ cuya energ´ıa cinetica ´ Hallar la velocidad de un electron es igual a su energ´ıa en reposo. ´ Solucion: ´ Como la energ´ıa cinetica es igual a su energ´ıa en reposo, entonces: E0 = K mo c2 mo c2 = r − mo c2 2 v 1− 2 c 2 m c o 2mo c2 = r v2 1− 2 c Resolviendo para v, obtenemos: √ v=

3 c 2

Ejemplo 7.15 ´ para la energ´ıa cinetica ´ ´ A partir de la energ´ıa relativista K. Obtener la expresion clasica. ´ Solucion: ˜ x  1, usamos la serie binomial para obtener: Si x es una cantidad muy pequena,

´ 7.13 Energ´ıa cinetica relativista

233

(1 + x)m = 1 + mx, si x  1 ( )  −1 v2 2 2 −1 K = mo c 1− 2 c ´ obtenemos: Utilizando la aproximacion,   2    1v −1 v 2 2 2 − 1 = mo c K = mo c 1 − 2 c2 2 c2 1 K = mo v 2 2 Ejemplo 7.16 Un cubo de lados a,b,c volumen Vo , masa en reposo mo y densidad ρo , se mueve hacia la derecha con velocidad v. Para el observador ubicado en el sistema S. Hallar: a) El volumen. b) La masa. c) La densidad. d) La densidad si v  c.

y1 S1

c x1 b a z1 S ´ X1 respecto al observador S Fig. 7.12: Cubo con movimiento en la direccion

´ Solucion: a) Sea Vo = ao bo co el volumen del cubo para el observador ubicado en el sistema S1 con ´ X1 . La longitud del cubo se contrae en la direccion ´ movimiento unicamente en la direccion ´ X1 , es decir, r v2 a = ao 1 − 2 , b = bo , c = co c ´ Para el sistema S, el volumen del cubo sera:

234

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

r

v2 1 − 2 bo co rc v2 Vo = ao bo co 1 − 2 c r 2 v Vo = Vo 1 − 2 c Vo = ao

´ b) La masa sera: mo

m= r

1−

v2 c2

´ c) La densidad para el sistema S sera: mo r

v2 1 − 2 m m  o 2 ρ= = = r c 2 V v v Vo 1 − 2 Vo 1 − 2 c c ρo ρ= v2 1− 2 c Esto significa que para grandes velocidades del cubo comparadas con la velocidad de la luz c, la densidad tiende al infinito.   v2 d) Si v  c,entonces el factor 1 − 2 ∼ 1. Por lo tanto: ρ = ρo . La densidad del cubo se c mantiene constante si la velocidad v  c Ejemplo 7.17 Demostrar que la velocidad v de un cuerpo que tiene un momento lineal p y una masa en reposo mo es: c

v=s 1+

(mo c)2 p2

´ Solucion: ´ para el momento lineal relativista y luego solucionamos para la velocidad Partimos de la expresion v. p= r

po 1−

elevando al cuadrado, obtenemos:

v2 c2

´ 7.13 Energ´ıa cinetica relativista

p2 =

p2 −

235

m2o v 2 v2 1− 2 c

p2 v 2 = m2o v 2 C2 p2 v 2 p2 = m2o v 2 + 2 c   p2 p2 = v 2 m2o + 2 c

p2 p2 m2o + 2 c v=r

= v2

p 2

m2o + v=s

p c2

1

p

=s

 p2

=

1 m2o + 2 p2 c



1 1p 2 2 mo C + p2 pc

m2o c2 + p2 p2 C 2 pc c v=s  =s  m2 c2 m2 c2 p2 1 + o2 1 + o2 p p Finalmente, obtenemos: c

v=s 1+

(mo c)2 p2

Ejemplo 7.18 ´ energ´ıa-momento es: Mostrar que la relacion E 2 = (mo c2 )2 + p2 c2 donde E es la energ´ıa total, p el momento lineal, mo la masa en reposo. ´ Solucion: La masa se puede escribir: r mo = m

1−

v2 c2

´ por c2 elevando al cuadrado y simplificando, obtenMultiplicando ambos lados de esta ecuacion emos: m2o c4 = m2 c2 − m2 v 2 c2 Ya que p = mv, y m2o c4 = Eo2 , se obtiene finalmente:

236

7 Fundamentos de la teor´ıa especial de la relatividad

E 2 = Eo2 + p2 c2

(7.57)

´ ´ (7.57), si un cuerpo se mueve a altas velocidades, entonces Eo2 es desAnalisis de la ecuacion preciable comparado con p2 C 2 y entonces: E = pc ˜ comparada con la energ´ıa cinetica ´ A altas velocidades, Eo es pequena K y por tanto la energ´ıa total es ET = Eo + K. ´ K = pc. Las part´ıculas a altas velocidades se encuentran en Se convierte en ET ∼ = K, o tambien ´ “ Relativista extrema”. la region

7.14 Ejercicios propuestos ´ en reposo es 9,1 x 10−27 Kg. Si el electron ´ viaja a traves ´ de un aceler1. La masa del electron ´ con respecto al ador de part´ıculas a una velocidad de 6 x 107 m/s. Hallar la masa del electron ´ acelerador de part´ıculas y energ´ıa total del electron. ´ tarde decide explorar 2. Un cohete A pasa por la tierra a una velocidad de 3c/5. Un tiempo mas ˜ cohete que se mueve con respecto al cohete A y env´ıa de regreso hacia la tierra un pequeno a una velocidad de 4c/5. Hallar la velocidad del cohete explorador con respecto a la tierra. ´ de propulsion ´ a chorro se coloca un reloj atomico. ´ 3. En un avion El reloj mide un intervalo de ´ se mueve a una velocidad de 300 m/s. Hallar el intervalo de tiempo de 3600s cuando el avion ´ tiempo medido por un reloj identico que sostiene un observador en tierra. R/ 1 h + 1.8 nS ´ es proyectado a un angulo ´ 4. Un electron de 37o con respecto al eje x, a la velocidad c/2. De´ medida desde un sistema inercial que se mueve a la terminar la velocidad de este electron velocidad de c/2. Ver Figura 7.13.

y1

y2 c Vo= 1 2

c V=1 2

37 o

x2 x1

Fig. 7.13: Esquema ejercicio 4.

R/ -0.125c ˆi + 0.3c ˆj; 67.5o 5. Dos trenes, A y B se desplazan en rieles paralelos a 70 Km/h y a 90 Km/h, respectivamente. Calcular la velocidad relativa de B con respecto a A, cuando. a) Se mueven en las mismas direcciones. b) Cuando se mueven en direcciones opuestas R/ a) 20 Km/h b) 160 Km/h

7.14 Ejercicios propuestos

237

6. Una nave espacial que se dirige hacia la luna pasa la tierra con una velocidad relativa de 0.6c. a) ¿ Que tiempo demora el viaje de la tierra a la Luna, de acuerdo a un observador terrestre?. b) ¿ Cual es la distancia tierra-luna y el tiempo que demora el viaje de acuerdo a un pasajero en la nave? R/ a) 1.6s b) 2.3 x 108 m , 0.96s ´ 7. Un r´ıo tiene un kilometro de ancho. La velocidad de la corriente es de 2 Km/h. Determina el ´ del r´ıo de una tiempo que demorar´ıa un hombre para llevar y traer, remando, un bote a traves ´ orilla a la otra. Comparar este tiempo con el que tomar´ıa un hombre para remar un kilometro ´ de la corriente y regresar nuevamente. El bote a remos se mueve con una en la direccion velocidad de 4 Km/h con respecto al agua. R/ 34.64 minutos el hombre de ida y vuelta. 40 minutos el hombre de arriba a abajo. ´ 8. Muestre que la energ´ıa total en terminos de la cantidad de movimiento se la puede expresar como E 2 = p2 c2 + (mo c2 )2 . 9. Hallar la velocidad de una barra de un metro de longitud, si la longitud que se observa es de 0.5m. R/ 0.866c 10. Se sabe que el sol irradia 3.9 x 1026 J de energ´ıa por segundo. Hallar la cantidad de masa que ˜ el sol disminuye en un ano. R/ 1.1 x 1017 Kg

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