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• Rocyta Caceres Perez

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1 FUERZAS Y CAMPOS ELECTRICOS La ley de Coulomb permite calcular la fuerza eléctrica ejercida sobre una carga puntual debido a otra. La magnitud de la fuerza es:

F

k q1 q2 r2

donde la constante de Coulomb es:

k  8,99 x 10 9

N .m2 C2

La dirección de la fuerza sobre una carga puntual debida a otra puede ser directamente hacia la otra carga (sí las cargas tienen signos opuestos) o direcciones hacia afuera (si las cargas tienen el mismo signo). El campo eléctrico (E) es la fuerza eléctrica por unidad de carga. Es una cantidad vectorial. 



F E q Si una carga puntual q se localiza en un lugar donde el campo eléctrico debido a todas las demás cargas es E, entonces la fuerza eléctrica sobre la carga puntual es: 



F q E Las unidades del SI para el campo eléctrico sin N/C. Las líneas de campo eléctrico son útiles para representar un campo eléctrico. La dirección del campo eléctrico en cualquier punto es tangente a la línea de campo que pasa por ese punto y apunta en al dirección indicada por las flechas sobre al línea de campo. El campo eléctrico es intenso en los lugares donde las líneas de campo están cercanas entre sí y es débil donde están muy alejadas una de otras. Las líneas de campo nunca se cruzan Las líneas de campo empiezan en cargas positivas y terminan en cargas negativas. El número de líneas de campo que empiezan en una carga positiva (o terminan en una carga negativa) es proporcional a la magnitud de la carga. El principio de superposición establece que el campo eléctrico debido a un conjunto de cargas en cualquier punto es el vector suma de los campos eléctricos originados por cada carga por separado. POTENCIAL ELECTRICO Y CAPACITANCIA La energía potencial eléctrica se puede almacenar en un campo eléctrico. La energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales separadas por una distancia r es:

EP 

k q1 q2 r

(EP = 0 a r = )

Los signos de q1 y q2 determinan si al energía potencial eléctrica es positiva o negativa. Cuando se trata de más de dos cargas, la energía potencial eléctrica es la suma escalar de las energías potenciales individuales para cada par de cargas. El potencial eléctrico V en un punto es la energía potencial eléctrica por unidad de carga:

V 

EP q

2 En la ecuación (17.3), EP es la energía potencial eléctrica debida a la interacción de una carga móvil q con una serie de cargas fijas y V es el potencial eléctrico debido a esa serie de cargas fijas. Tanto E P como V son funciones de la posición de la carga móvil q. El potencial eléctrico, igual que la energía potencial, es una cantidad escalar. La unidad del SI para el potencial es el volt (1 V = 1 J/C). Si una carga puntual q se mueve a través de una diferencia de potencial V, el cambio resultante en la energía potencial eléctrica es:

EP  q V El potencial eléctrico a una distancia r de una carga puntual Q es:

V 

kQ r

(V = 0 a r = )

El potencial en un punto P debido a N cargas puntuales es la suma de potencial debido a cada una de las cargas. Una superficie equipotencial tiene el mismo potencial en todos sus puntos. Una superficie equipotencial es perpendicular al campo eléctrico en todos sus puntos. No se produce ningún cambio en al energía potencial eléctrica cuando una carga se mueve de un punto a otro sobre una superficie equipotencial. Si se hace un dibujo de superficies equipotenciales, de manera que la diferencia de potencial entre las superficies adyacentes sea constante, entonces dichas superficies estarán más cerca una de otras en las regiones donde el campo es más intenso. El campo eléctrico siempre apunta en al dirección de la máxima disminución de potencial. La diferencia de potencial que se produce cuando se recorre una distancia d en la dirección de un campo eléctrico uniforme de magnitud E es:

V   E d

El campo eléctrico se expresa en unidades de:

N V  C m En el equilibrio electrostático, todos los puntos de un conductor deben estar al mismo potencial. Un capacitor consiste en dos conductores (las placas) que tienen cargas opuestas. Un capacitor almacena carga y energía potencial eléctrica. La capacitancia es la razón éntrela magnitud de la carga en cada placa (Q) y la diferencia de potencial eléctrica entre las placas (V). La capacitancia se mide en farads (F):

C

Q V

Q CV

1F  1

C V

La capacitancia de un capacitor de placas paralelas es:

CK

 A A K 0 4 k d d

donde A es el área de cada placa, d es la separación entre ellas y 0 es la permitividad del espacio libre:

0 

1 4 k

 8,854 x 10 12

C2 N . m2

3 Si en la separación entre las placas hay vacío, K = 1; y si no es así, K > 1 es la constante dieléctrica del dieléctrico (el material aislante). Si un dieléctrico está inmerso en un campo eléctrico externo, la constante dieléctrica es la razón entre el campo eléctrico externo E0 y el campo eléctrico E que hay en el dieléctrico:

K

E0 E

La constante dieléctrica es una medida de la facilidad con al cual un material aislante puede ser polarizado. La resistencia dieléctrica es la intensidad del campo eléctrico a la cual se produce el rompimiento dieléctrico y el material se convierte en conductor. La energía almacenada en un capacitor es:

EP 

1 1 Q2 Q V  C (V ) 2  2 2 2C

La densidad de energía  la energía potencial eléctrica por unidad de volumen asociada a un campo eléctrico es:



1 1 1 K E2  K 0 E2 2 4 k 2

CORRIENTES Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS 

La corriente eléctrica es la razón del flujo de carga neto

I

Q t

La unidad del SI para la corriente es el ampere. (1 A = 1 C/s), una de las unidades básicas del SI. Por convención, la dirección de la corriente es la dirección del flujo de carga positiva. Si los portadores son negativos, la dirección de la corriente es opuesta a la dirección del movimiento de los portadores. 

Se requiere un circuito completo para que haya un flujo continuo de carga.



La corriente en un metal es proporcional a la rapidez de arrastre (v0) de los electrones de conducción, el número de electrones por unidad de volumen (n) y el área se la sección transversal del metal (A):

I 

Q  n e A vD t

La resistencia eléctrica es la razón entre al diferencia de potencial a través de un metal conductor y la corriente a través de dicho material. Se mide en ohms: 1  = 1 V/A:

R

V I

Para un conductor óhmico, R es independiente de V y de I; por consiguiente, V es proporcional a I. 

La resistencia eléctrica de un alambre es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional a su área transversal:

R 

L A

La resistividad de  es una característica intrínseca de un material específico a una temperatura en particular y se mide en  . m. Para muchos materiales, la resistividad varía linealmente con la temperatura:

   0 (1   T )

4 

Un aparato que suministra carga se llama fuente de fem. La fem  es el trabajo realizado por unidad de carga  W =  q: ecuación (18.2). El voltaje terminal puede ser diferente de la fem a causa de la resistencia interna r de la fuente.

V   Ir



La regla de los nodos de Kirchhoff nos dice:

I

  I afuera  0

adentro

en cualquier nodo. La regla de las mallas de Kirchhoff no dice:

 V

0

MALLA

para cualquier trayectoria que empiece y termine en el mismo punto de un circuito. Las elevaciones de potencial son positivas; las caídas de potencial son negativas. 

La misma corriente circula a través de los elementos de un circuito conectado en serie. Para un circuito en serie la resistencia total o equivalente es:

RT   Ri Existe la misma diferencia de potencial a través de los elementos de un circuito conectado en paralelo: Para un circuito en paralelo, la resistencia total o equivalente es:

1 1  RT Ri 

La potencia la razón de conversión entre la energía eléctrica y otra forma de energía para cualquier elemento de un circuito es:

P  I V 

I 2 (V ) 2  R R

La unidad SI para la potencia es el watt (W). La energía eléctrica se disipa (transformándose en energía interna) en un resistor. 

La cantidad  = RC se conoce como la constante de tiempo de un circuito RC. Las corrientes y los voltajes son: t     VC (t )   1  e 

VC (t )   e

I (t ) 

 R

e





   

(capacitor cargado)

t



(capacitor descargado)

t



(ambos estados)

FUERZAS Y CAMPOS MAGNÉTICOS 

Las líneas de campo magnético se interpretan igual que las líneas de campo eléctrico. El campo magnético en cualquier punto es tangente a la línea del campo; la magnitud del campo es proporcional al número de líneas por unidad del área perpendicular a las líneas.



Las líneas del campo magnético siempre son espiras cerradas porque no existen monopolos magnéticos.

5 

La unidad de magnetismo más pequeña es el dipolo magnético. Las líneas de campo salen del polo norte y vuelven a entrar en el polo sur. Un imán puede tener más de dos polos, pero deben tener por lo menos un polo norte y por lo menos un polo sur.



La magnitud del producto cruz de dos vectores es la magnitud de un vector multiplicado por la componente perpendicular del otro: 



A B  A B sen 



La dirección del producto cruz es la dirección perpendicular de los dos vectores que se elige aplicando la regla de la mano derecha 1.



La fuerza magnética sobre una partícula cargada es: FB = q v x B Si la carGa está en reposo (v, 0, 0) o sí su velocidad no tiene una componente perpendicular al campo magnético (v = 0) entonces la fuerza magnética es cero. La fuerza siempre es perpendicular al campo magnético y a la velocidad de la partícula. La magnitud de la fuerza magnética es: F = q v B sen  La dirección: use la regla e la mano derecha para hallar v x B, inviértela después si q negativa.



La unidad del SI para el campo magnético es el tesla (T):

1T  1

N A·m



Si una partícula cargada se mueve en un ángulo recto con respecto a un campo magnético uniforme, entonces su trayectoria es un círculo. Si la velocidad tiene una componente paralela al campo y también una componente perpendicular al campo, entonces si trayectoria tiene forma helicoidal.



La fuerza magnética sobre un alambre recto que conduce una corriente I es: F=ILxB donde L es un vector cuya magnitud es la longitud del alambre y cuya dirección apunta a lo largo del alambre en la dirección de la corriente.



El momento de torsión magnético sobre una espira plana con corriente I es:  = N I AB sen  donde  es el ángulo entre el campo magnético y el vector del momento dipolar de la espira. La dirección del momento bipolar es perpendicular a la espira según se haya elegido aplicando la regla de la mano derecha 1 (utilice el producto cruz de L, para cualquier lado con L para el lado siguiente, avanzando en la misma dirección que la corriente).



El campo magnético a una distancia r de un alambre recto y largo tiene la magnitud:

B

0 I 2 r

La alineas de campo son círculos en torno al alambre y tienen la dirección que se obtiene aplicando la regla de la mano derecha 2. 

La permeabilidad del espacio libre es:

6

 0  4x10 7 

T ·m A

El campo magnético en el interior de un solenoide largo devanado con las espiras muy juntas es uniforme:

B

 0 NI L

  0 nI

Si dirección apunta a lo largo del eje del solenoide según se haya encontrado con la regla de la mano derecha 3. 

El campo magnético en el interior de una toroide con espiras muy juntas es uniforme:

B 

 0 NI 2 R

Las propiedades magnéticas de los materiales ferromagnéticos se deben a una interacción que mantiene a los dipolos magnéticos alineados dentro de regiones conocidas como dominios magnéticos, incluso en ausencia de un campo magnético externo.

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 

Un conductor que se mueve a través de un campo magnético desarrolla una fem en movimiento dada por: =vBL si tanto v como B son perpendiculares a la varilla.



La fem producida por un generador de ca con una bobina plana de alambre que gira en un campo magnético uniforma es sinusoidal y tiene una amplitud NBA: (t) =  N B A sen t Aquí  es la rapidez angular de la bobina, A es su área y N es el número de vueltas.



El flujo magnético a través de una superficie plana es: B = B A = B A = BA cos  ( es el ángulo entre B y la normal). El flujo magnético es proporcional al número de líneas del campo magnético que atraviesa una superficie. La unidad del SI para el flujo magnético es el weber. ( 1 Wb = 1 T · m2)



La ley de Faraday nos da la fem inducida siempre que haya un flujo magnético variable, independientemente de la razón por la cual cambia el flujo:

  N

 B t



Ley de Lenz: la dirección de una fem inducida o de una corriente inducida se opone al cambio que la causó.



La contra fem de un motor aumenta a medida que la rapidez rotacional se incrementa



Para un transformador ideal:

 2 N 2 I1    1 N1 I 2

La razón N2/N1 se conoce como la razón de vuelta. No hay pérdida de energía en un transformador ideal, por lo cual la potencia de entrada es igual a la potencia de salida.

7 

Las ondas EM consisten en campos eléctricos y magnéticos oscilatorios que se propagan alejándose de su fuente. Las ondas EM siempre tienen campos eléctricos y magnéticos.



El espectro electromagnético el rango de frecuencia y longitudes de onda EM esta dividido tradicionalmente en las regiones mencionadas. En orden de frecuencia, de las más bajas a las más altas, son ondas de radio, microondas, infrarroja, viables, ultravioletas, rayos X y rayos gamma.



Las ondas EM de cualquier frecuencia viajan en el vacío con una rapidez:

c 

1

 0 0

1

 (8,85 x10

12

C / N ·m )( 4x10 T ·m / A) 2

7

2

 3x108 m / s

Las ondas EM se pueden propagarse a través de la materia, pero lo hacen con rapidez menor que c. El índice de refracción de un material se define como.

n

c v

donde v es la rapidez de las ondas EM a través del material 

La rapidez de las ondas EM (y, por tanto, también el índice de refracción) en al materia depende de la frecuencia de la onda.



Cuando una onda EM pasa de un medio a otro, la longitud de onda cambia, pero la frecuencia permanece igual. La onda que llega al segundo medio es generada por las cargas oscilatorias en su frontera con el primero, por lo cual los campos debe oscilar en el segundo medio a la misma frecuencia que los campos en el primero.



Propiedades de las ondas EM en el vacío: Los campos eléctrico y magnético oscilan a la misma frecuencia y están en fas: E(x,y,z,t) = c B(x,y,z,t) E, B y la dirección de propagación son tres direcciones perpendiculares entre sí. E x B está siempre en la dirección de propagación.

CORRIENTE ALTERNA 

En la ecuación:

v  V sen ( t   ) La letra (v) con minúscula representa el voltaje instantáneo, mientras que la letra (V) con mayúscula representa la amplitud (valor máximo) del voltaje. La cantidad  se conoce como la constante de fase. 

El valor rms de una cantidad sinusoidal es 1/2 multiplicada por la amplitud.



Las reactancias (XC, XL) y la impedancia (Z) son generalizaciones del concepto de resistencia y se miden en omhs. La amplitud del voltaje a través de un elemento o de una combinación de elementos de un circuito es igual a la amplitud de la corriente a través del o de los elementos multiplicada por la reactancia ola impedancia de dicho elemento o elementos. Excepto en el caso de un resistor, existe una diferencia de fase entre el voltaje y la corriente. Amplitud Resistor Capacitor

Inductor

VR  I R VC  I X C 1 XC  C VL  I X L

Fase vR, i están en fase i precede a vC por 90º

vL precede a i por 90º

8

Circuito RLC en serie

XL  L m  I Z

 precede a/se atrasa de i por:

Z  R2  ( X L  X C )2



 XL  XC   R  

  tan 1 

La potencia promedio disipada en un resistor es: 2 Pprom  I rms Vrms  I rms R

2 Vrms R

La potencia promedio disipada en un capacitor ideal o en un inductor ideal es cero 

La potencia promedio disipada en un circuito RLC en serie se puede escribir así;

Pprom  I rms  rms cos  donde  es la diferencia de fase entre i(t) y (t). El factor de potencia cos  es igual a R/Z. 

Para sumar voltajes sinusoidales, podemos representar cada voltaje por medio de un objeto semejante a un vector, que se llama fasor. La magnitud del fasor representa la constante de fase del voltaje. En consecuencia, podemos sumar fasores de la misma manera que sumamos vectores.



La frecuencia angular a la cual se produce la resonancia en un circuito RLC enserie es:

0 

1 LC

En la resonancia, la amplitud de la corriente tiene su valor máximo, la reactancia capacitiva es igual a la reactancia inductiva y la impedancia es igual a la resistencia. Si la resistencia del circuito es pequeña entonces la curva de resonancia (la gráfica de la amplitud de la corriente como una función de la frecuencia) tiene un pico agudo. Si se ajusta la frecuencia resonante, este circuito se puede usar para seleccionar un rango estrecho de frecuencia, a partir de una señal compuesta por una amplia gama de frecuencias, como las transmisiones de radio o televisión. 

El factor de calidad de un circuito RLC en serie se escribe así:

Q



0

9 PROBLEMAS DE CAMPO ELÉCTRICO 3-1.

¿Cuál es la diferencia de potencial entre dos puntos A y B si para transportar una carga de 12,5 C de un punto al otro el campo realiza un trabajo de 6,25 J? ¿Cuál de los puntos está a un potencial eléctrico más elevado?

Respuesta: 0,5 V; A 3-2.

¿Qué trabajo ha de realizar un campo eléctrico para transportar una carga de 0,2 coulombs entre dos puntos A y B cuya diferencia de potencial es: (a) 2,2 volts; (b) 1,5 volts? Diga en cada caso cuál es el punto que está a un potencial eléctrico mayor.

Respuesta: (a) 0,44 J; punto A; (b) 0,3 J; punto B 3-3.

Resolver el problema anterior para el caso en que la carga sea negativa.

Respuesta: (a) 0,44 J; punto B; (b) 0,3 J; punto A 3-4.

Calcular el potencial eléctrico creado por una carga de 12 C en un punto situado a 4 cm de distancia. Resolver también para el caso en que la carga sea negativa.

Respuesta: 2,7 x 106 V; 2,7 x 106 V; 2,7 x 106 V 3-5.

¿A qué distancia de una carga de 100 C es el potencial eléctrico de 20 V?

Respuesta: 4,4 x 104 m 3-6.

Dos cargas positivas de 2 x 106 C y 3 x 106 C están separadas 10 cm en el vacío. Calcular el potencial: (a) en el punto medio de la recta que las une; (b) en un punto a 2 cm de la primera y entre ellas; (c) en un punto a 2 cm de la primera, sobre la línea que las une pero no entre ellas. ¿En qué punto es nulo el potencial?

Respuesta: (a) 9 x 105 V; (b) 12,4 x 105 V; (c) 11,25 x 105 V; En el infinito 3-7.

Repetir el problema anterior considerando negativa la segunda carga

Respuesta: (a) 1,8 x 105 V; (b) 5,62 x 105 V; (c) 6,75 x 105 V. A 4 x 102 m hacia la derecha de 2 C 3-8.

En cuatro vértices consecutivos de un hexágono se disponen cargas de 100 C, 150 C, 250 C y 300 C. Si el lado del hexágono mide 10 cm, calcular el potencial en el centro y en cada vértice libre.

Respuesta: 0 V; 12,45 x 106 V; 5,53 x 106 V 3-9.

En los vértices de un cuadrado de 10 cm de lado, se sitúan cargas de 100 C, 150 C, 250 C y 300 C. ¿Qué trabajo es necesario realizar para mover una carga de 2 x 106 C desde el centro del cuadrado hasta el punto medio del lado ocupado por las dos primeras cargas?

Respuesta: 103 J 3-10.

En los vértices del rectángulo de la figura se colocan las cargas q1 = 2 x 106 C, q2 = 4 x 106 C y q3 = 5 x 106 C. ¿Cuál es el potencial eléctrico en los puntos A y B del rectángulo? ¿Qué trabajo es necesario realizar para mover una carga de 3 x 106 C desde A hasta B?

Respuesta: 5 x 105 V; 6,5 x 105 V; 3,45 J 3-11.

En la figura, los puntos A y B distan 2 m y 1 m, respectivamente, de la carga positiva q = 1 x 106 C. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre A y B? Una carga de 2 x 106 C se mueve desde B hasta A siguiendo la trayectoria indicada. ¿Qué trabajo realiza el campo eléctrico? ¿Qué trabajo realiza al desplazarse desde A hasta B? ¿Y si se desplaza desde B hasta A y regresa a B?

Respuesta: 4,5 x 103 V; 9 x 103 J; 9 x 103 J; 0 J

10

3-12.

Resuelva el problema anterior suponiendo que los puntos A y B están situados como en la figura. ¿A qué conclusión llega?

Respuesta: 4,5 x 103 V; 9 x 103 J; 9 x 103 J; 0 J. El trabajo es independiente de la taryectoria 3-13.

El potencial eléctrico a cierta distancia de una carga es 600 V y el campo eléctrico es 200 N/C. ¿Cuál es la distancia a la carga? ¿Cuál es la magnitud de ésta?

Respuesta: 3 m; 0,2 C 3-14.

Dos cargas, de 12 C y de 8 C, están separadas 4 cm. Determinar los puntos sobre la línea que une las cargas en los que: (a) V = 0; (b) E = 0. Supóngase en ambos casos que d = 1,0 m.

Respuesta: (a) 2,4 x 102 m a la derecha de 12 C 3-15.

Calcular la energía potencial de la carga q3 en el sistema de cargas eléctricas de la figura, y la energía potencial total del sistema, si q1 = 1,5 x 103 C, q2 = 0,5 x 103 C, y q3 = 0,2 x 103 C; AC = 1 m y BC = 0,5 m.

Respuesta: 4,5 x 103 J; 24,6 x 103 J 3-16.

Calcular la energía potencial total del sistema de cargas del problema 3-10.

Respuesta: 12 J 3-17.

¿Qué diferencia de potencial debe aplicarse entre dos placas paralelas separadas 1 mm para que el campo eléctrico entre ellas sea de 105 N/C?

Respuesta: 100 V 3-18.

En tres vértices consecutivos de un hexágono de 20 cm de lado se disponen cargas de 400 C, 800 C y 600 C. Calcular el trabajo necesario para transportar una carga de 5 C desde el vértice adyacente a la primera carga hasta: (a) el centro; (b) el vértice intermedio sin carga; (c) el otro vértice sin carga adyacente a la tercera carga. Resolver también el problema suponiendo la tercera carga negativa.

Respuesta: 3-19.

Una molécula de CO equivale a un dipolo eléctrico en el que las cargas positivas y negativas están separadas una distancia tal que el momento dipolar de la molécula es 0,4 x 1030 mC. Calcular el potencial eléctrico en un punto situado a 2 x 102 m de la molécula y sobre el eje de la misma.

Respuesta: 9 x 1018 V 3-20.

Dos cargas, de 3 x 108 C y 2 x 108 C, están separadas 20 cm una de otra. Represente gráficamente cómo varía el potencial eléctrico resultante a lo largo de la línea que las une. ¿Dónde tiene el potencial eléctrico su valor mínimo?

Respuesta: 3-21.

Repita el problema anterior, suponiendo esta vez que la segunda carga es negativa.

Respuesta: PROBLEMAS DE ESTRUCTURA ATÓMICA

11 4-1.

Un protón parte del reposo y se acelera en un campo eléctrico uniforme de 2 x 105 N/C. ¿Qué energía cinética habrá adquirido cuando haya recorrido 0,5 m? ¿Cuál será la velocidad del protón?

Respuesta: 105 eV; 4,37 x 106 m/s 4-2.

Un átomo de helio ionizado (partícula ) se acelera en una diferencia de potencial eléctrico de 600 000 V. ¿Cuál es la variación de su energía cinética? ¿Cuál será su velocidad si partió del reposo?

Respuesta: 1,2 x 106 eV; 7,6 x 106 m/s 4-3.

El potencial eléctrico requerido para detener un electrón es 60 V. ¿Cuál era la velocidad inicial del electrón?

Respuesta: 4,6 x 106 m/s 4-4.

Se aceleran protones mediante una diferencia de potencial eléctrico de 2kV. ¿Cuál es su energía cinética final expresada en keV? ¿Y su velocidad? Repetir el problema para partículas .

Respuesta:2 keV; 6,2 x 105 m/s; 4 keV; 4,4 x 105 m/s 4-5.

Un electrón con velocidad de 105 m/s se dispara horizontalmente entre dos placas paralelas separadas 5 mm, a las que se ha aplicado una diferencia de potencial eléctrico de 30 V. (a) ¿Hacia qué placa se desvía el electrón? (b) ¿Cuáles son las componentes de la velocidad del electrón justamente antes de que éste choque con la placa? ¿Qué distancia horizontal habrá recorrido el electrón?

Respuesta: (a) Hacia la placa positiva; (b) 105 m/s; 2,3 x 106 m/s. El electrón ha recorrido 2,17 x 104 m 4-6.

Un protón con velocidad de 105 m/s se dispara en dirección perpendicular a las placas de la figura. ¿Cuál debe ser la diferencia de potencial eléctrico entre las placas para que el protón se detenga justamente antes de chocar con la placa de la derecha?

Respuesta: 52,2 V 4-7.

Las dos placas de la figura están separadas 1 cm, y entre ellas se aplica un campo eléctrico de 103 N/C en el sentido indicado por las flechas. Un protón, moviéndose con velocidad de 106 m/s en la dirección indicada, penetra en A. ¿Con qué velocidad emerge en B? ¿Aumentará o disminuirá su velocidad? ¿Qué ocurre si se invierte la dirección del campo eléctrico?

Respuesta: 1,001 x 106 m/s; Aumenta; Disminuye su velocidad 4-8.

Repita el problema anterior, suponiendo que la partícula es un electrón.

Respuesta: No llega a B; Disaminuye. Sale a 2,12 x 106 m/s 4-9.

Un electrón se mueve en un campo eléctrico de 106 N/C. ¿Cuántas veces mayor que g es su aceleración? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar una velocidad igual a la décima parte de la velocidad de la luz? ¿Qué distancia habrá recorrido si parte del reposo? ¿Cuál será su energía cinética final expresada en keV? ¿Qué hipótesis ha empleado usted en todos sus cálculos que no es totalmente cierta?

Respuesta: 1,8 x 106 g; 1,7 x 1010 s; 0,25 x 102 m; 2,56 keV; la hipótesis de la masa constante 4-10.

Repetir el problema anterior, suponiendo que se aceleran (a) protones, (b) partículas alfa, empleando la misma diferencia de potencial.

12 Respuesta: (a) 9,77 x 1012 g; 0,3 x 106 s; 4,3 m; 4696,8 keV; (b) 4,88 x 1012 g; 0,6 x 106 s; 8,6 m; 18 787,5 keV; la hipótesis de la masa constante 4-11.

Probar que, de acuerdo con la teoría de Bohr, la velocidad del electrón en un átomo de hidrógeno está dada por V 

h . Calcular la velocidad del electrón para los estados K, L, M y N. 2  m a1 n

Respuesta: PROBLEMAS DE DIELECTRICOS Y CONDUCTORES 5-1.

Calcular la fuerza con que se atraen en el agua (K = 79) dos cargas eléctricas de 3 C y de 5 C, respectivamente, separadas una distancia de 0,5 m.

Respuesta: 6,835 x 103 N 5-2.

Calcular el campo creado a una distancia de 103 m por una partícula , de carga +2e, en una cámara de niebla de vapor de agua (K = 79).

Respuesta:3,67 x 105 N 5-3.

Dos cargas eléctricas se repelen en el aire con una fuerza de 0,4 N. Cuando se encuentran las mismas cargas en un medio gaseoso, se repelen con una fuerza de 0,02 N. ¿Cuál es la constante dieléctrica de este medio gaseoso?

Respuesta: 20 5-4.

Una carga eléctrica de 5 x 109 C situada en cierto medio crea a una distancia de 10 cm de ella un campo con potencial de 100 V. ¿Cuál es la constante dieléctrica de este medio?

Respuesta: 4,5 5-5.

¿Qué carga es necesaria para obtener un potencial eléctrico de 104 V en la superficie de una esfera metálica de 10 cm de radio localizada en el aire? ¿Y si la esfera está sumergida en agua (K = 79)?

Respuesta: 1,11 x 107 C en el aire; 8,760 x 106 C en el agua. 5-6.

En cada caso del problema anterior, ¿cuál será la densidad superficial de carga sobre la esfera metálica?

Respuesta: 8,83 x 107 C/m2 en el aire; 6,97 x 105 C/m2 en el agua. 5-7.

¿Cuál será la densidad de carga superficial sobre la superficie de la Tierra en un lugar donde el campo eléctrico sea de 250 V/m? ¿Cuál será la fuerza que se ejerce sobre 1 m2 de superficie terrestre en ese lugar?

Respuesta: 2,21 x 109 C/m2; 5,52 x 107 N 5-8.

¿Cuál será el radio de una esfera metálica que adquiere en el aire un potencial de 106 V con una carga de 300 C?

Respuesta: 2,7 m 5-9.

El momento dipolar eléctrico de una molécula polar es m = qd, siendo d la distancia entre las distribuciones positiva y negativa de carga de la molécula. Los momentos dipolares eléctricos del agua y del HCI son 0,6 x 1029 C/m y 0,34 x 1029 C/m, respectivamente. ¿De qué orden de magnitud es la separación entre las cargas? ¿Coincide esta distancia con el orden de las dimensiones de la molécula?

Respuesta: 3,75 x 1011 m; 2,125 x 1011 m 5-10.

Una nube eléctrica de forma esférica tiene una densidad eléctrica  por unidad de volumen y radio R. Calcular el valor del campo a una distancia r del centro de la nube. Considerar los casos en que r es mayor que R y menor que R.

Respuesta:

13

5-11.

El mayor campo eléctrico que se puede sostener en el aire sin que se produzca una descarga es aproximadamente de 3 x 106 V/m. Suponiendo que este campo es producido por un conductor cargado y que el campo se mide en la superficie del conductor, ¿cuál será su densidad de carga superficial?

Respuesta: 2,65 x 105 C/m2. PROBLEMAS DE CAPACITORES 6-1.

Un conductor aumenta su potencial en 20 volts al recibir una carga de 8 x 102 C. ¿Cuál es su capacitancia? ¿Qué energía es necesario emplear para cargarlo?

Respuesta: 4 x 103 F; 0,8 J 6-2.

¿Qué carga adquieren las láminas de un capacitor de 0,9 F al aplicarle una diferencia de potencial de 6 V? ¿Qué energía se emplea en este proceso?

Respuesta: 5,4 x 106 C; 16,2 x 106 J 6-3.

Calcular la diferencia de potencial que hay que aplicar entre las láminas de un capacitor de 0,56 F para que adquieran cargas de 8,2 C.

Respuesta: 14,6 V 6-4.

¿Cuál es la capacitancia de la Tierra si K = 1 y R = 6400 km? ¿Necesita la Tierra estar cargada para tener capacitancia?

Respuesta: 7,12 x 104 F; No 6-5.

¿Cuál es el potencial eléctrico de una esfera de 0,5 m de radio, rodeada de agua, si posee una carga de 5 x 106 C? Kagua = 80.

Respuesta: 1,125 x 103 V 6-6.

Un capacitor tiene una capacitancia de 2,000 x 109 F cuando el espacio entre sus láminas está vacio. Al llenarlo de benceno, adquiere una capacitancia de 4,570 x 109 F. ¿Cuál es la constante dieléctrica del benceno?

Respuesta: 2,285 6-7.

¿Cuál será el radio de una esfera rodeada de un dieléctrico de constante K = 2,0 si su capacitancia es 2 F? ¿Qué energía se necesita para cargarla a un potencial de 106 V? ¿Qué energía se obtendrá al descargarla?

Respuesta: 9 x 103 m; 106 J; 106 J 6-8.

Entre las dos láminas paralelas de un capacitor, separadas 0,20 mm, se coloca un material cuya constante dieléctrica es 3,0. Si se aplica una diferencia de potencial de 100 V, ¿cuál es la densidad de carga en la superficie de cada lámina? ¿Cuál es el valor del campo eléctrico entre ellas? ¿Cuál es la capacitancia del sistema?

Respuesta: 1,33 x 105 C/m2; 1,33 x 105 C/m2; 5 x 105 N/C; 1,33 x 107 A F, (A = área de la placa) 6-9.

Expresar en F la capacitancia de un capacitor plano formado por dos láminas metálicas de 40 cm2 de área cada una y separadas por una hoja de mica de 0,1 mm de espesor. Kmica = 5.

Respuesta: 1,77 x 103 F 6-10.

Dos esferas conductoras de radios 10 cm y 15 cm están cargadas con 2 x 106 C y 6 x 106 C, respectivamente. Se ponen en contacto y luego se separan. ¿Cuál es la carga que adquiere cada una y cuáles son sus potenciales respectivos?

Respuesta: 1,96 C; 1,96 C; 3,6 x 103 V; 4,77 x 105 V

14 6-11.

La figura ilustra la asociación de capacitadores en serie. Comprobar que todos los capacitores adquieren la misma carga al aplicar al conjunto el voltaje V. Comprobar también que V = V1 + V2 + ... + Vn. Probar que la capacitancia del conjunto está dada por:

1 1 1 1 1     ....  C C1 C 2 C 3 Cn

Respuesta: 6-12.

La figura a continuación ilustra la asociación de capacitores en paralelo. Cuando se aplica al conjunto un voltaje V; los capacitores adquieren cargas Q1, Q2, Q3, ..., Qn.. Verificar que la carga de cada capacitor es proporcional a su respectiva capacitancia. Probar que la capacitancia del conjunto es:

C  C1  C2  C3  ....  Cn

Respuesta: 6-13.

Se tienen tres capacito res cuyas capacitancias son 1,5 F, 2 F y 3 F. Hállar la capacitancia resultante cuando se conectan: (a) en serie; (b) en paralelo. Calcular además la carga y la diferencia de potencial de cada capacitor si se aplica al sistema una diferencia de potencial de 20 V.

Respuesta: (a) 0,66 F; (b) 6,5 F; 30 C; 40 C; 60 C para el caso apralelo 6-14.

Se disponen 21 láminas de metal de 600 cm2 de área cada una, separadas por papel de parafina de 0,025 mm de espesor y con constante dieléctrica igual a 2,6. Calcular la capacitancia del sistema formado.

Respuesta: 1,1 F 6-15.

Se tiene una batería de 20 capacitores iguales, de 2 F cada uno. Calcular la capacitancia resultante si se conectan: (a) en serie; (b) en paralelo; (c) 4 grupos en paralelo, de 5 capacitores en serie cada uno.

Respuesta: (a) 0,1 ; (b) 40 F; (c) 1,6 F PROBLEMAS DE LEY DE OHM 7-1.

A través de la sección transversal de un conductor pasan 6000 C en 5 minutos. Determinar la corriente.

Respuesta: 20 a 7-2.

¿Cuántos electrones deben pasar a través de la sección de un conductor en un segundo para producir una corriente de un ampere?

Respuesta: 6,25 x 1018 electrones 7-3.

¿Cuál es la intensidad de la corriente en una sección de un conductor por la que pasa un millón de electrones en un microsegundo?

Respuesta: 1,6 x 107 A 7-4.

¿Cuántos electrones de conducción existen en un alambre de cobre de 2 m de longitud y 0,1 cm de diámetro? (Suponga que existe un electrón de conducción por átomo; datos: masa molecular del cobre = 64 uma; densidad = 9000 kg/m3.)

Respuesta: 1,32 x 1023 electrones

15

7-5.

En un tubo de televisión el haz de electrones que llega a la pantalla produce una corriente de 1 mA. ¿Cuántos electrones golpean la pantalla por segundo?

Respuesta: 6,25 x 1015 electrones 7-6.

Cierto material radiactivo cuya actividad es de 1 microcurie emite electrones en cada desintegración. Sabiendo que un curie equivale a 3,7 x 1010 desintegraciones por segundo, ¿cuál será la corriente que produce?

Respuesta: 5,92 x 1015 A 7-7.

Hallar la resistencia de una lámpara por la que pasa una corriente de 0,5 A al aplicarle una diferencia de potencial de 120 V.

Respuesta: 240  7-8.

Calcular la diferencia de potencial entre los extremos de un conductor por el que pasa una corriente de 4,5 A si su resistencia es 6 .

Respuesta: 27 V 7-9.

Calcular la resistencia de un conductor de cobre de 4 x 106 m2 de sección y 20 m de longitud.

Respuesta: 0,086  7-10.

Un alambre de 10 m de longitud y 1 mm de diámetro tiene una resistencia de 1 . Hallar la resistencia de otro alambre del mismo material que tiene: (a) un diámetro cuatro veces mayor; (b) una longitud 10 veces mayor; (c) es cuatro veces más largo y tiene doble diámetro.

Respuesta: (a) (a) 6,25 x 102 ; (b) 10 ; (c) 1  7-11.

Un hilo de cierto material de 1 m de longitud y 1 mm2 de sección tiene una resistencia de 1,7 x 108 . ¿Cuál es la resistividad del material?

Respuesta: 1,7 x 1014  . m 7-12.

¿Cuál debe ser la relación entre las longitudes de dos alambres, uno de aluminio y otro de cobre, de igual sección, para que tengan la misma resistencia?

Respuesta: LAL = 0,526 LCu 7-13.

¿Cuál debe ser la relación entre los diámetros de dos alambres, uno de aluminio y otro de cobre, de igual longitud, para que tengan la misma resistencia.

Respuesta: dCu = 0,725 dAl 7-14.

¿Qué longitud debe tener un alambre de cobre de 0,1 cm2 de sección para que su resistencia sea igual a 5 ?

Respuesta: 2,9 x 103 m 7-15.

Expresar la resistividad del cobre en ohm-mm2/m.

Respuesta: 0,0172  . mm2/m 7-16.

Hallar la resistencia del filamento de una lámpara de carbón que tiene 20 cm de longitud y 0,01 mm2 de sección.

Respuesta: 800  7-17.

Un alambre de cobre tiene 1 km de longitud y 1 mm de diámetro. Hallar su resistencia.

Respuesta: 51,6 

16 7-18.

Un alambre de 10 m de longitud y 1 mm de diámetro tiene una resistencia de 1 . Hallar la resistencia de otro alambre del mismo material que tiene 50 m de longitud y 0,5 mm de diámetro.

Respuesta: 20  7-19.

Un alambre metálico tiene una resistencia de 50  a 0 °C. Hallar su resistencia a 30 °C si su coeficiente de temperatura es 1,08 x 103 °C1.

Respuesta: 51,6  7-20.

Un alambre tiene a 0 °C una resistencia de 273  y a 80 °C una resistencia de 303 . Hallar su coeficiente de temperatura. ¿Cuál será su resistencia a 120 °C?

Respuesta: 1,37 x 103 ºC1; 302,9  7-21.

Un alambre de níquel a 0 0C tiene una resistencia de 184 . Se sumerge en un líquido caliente y su resistencia aumenta hasta 284 . Hallar la temperatura del líquido. Para el níquel  = 0,0387 °C1.

Respuesta: 14 ºC 7-22.

La diferencia de potencial entre los extremos de un conductor por el que pasa una corriente de 1,2 A es de 6 V. Calcular la energía consumida y el calor desprendido en 3 minutos y la potencia necesaria para mantener la corriente.

Respuesta: 1296 J; 311 cal; 7,2 W 7-23.

Un conductor cuya resistencia es 10  es recorrido por una corriente de 0,5 A. Calcular la energía consumida y el calor desprendido en 20 segundos y la potencia necesaria para mantener la corriente.

Respuesta: 50 J; 12 cal; 2,5 W 7-24.

La diferencia de potencial entre los extremos de una lámpara de 220  es 110V. Calcular la energía consumida y el calor desprendido en una hora, y la potencia necesaria para mantenerla encendida.

Respuesta: 1,98 x 105 J, 4,73 x 104 cal; 35 W 7-25.

Una lámpara de 60 W trabaja a 115 V. Calcular la intensidad de la corriente y la resistencia de la lámpara.

Respuesta: 0,52 A; 222  7-26.

¿Cuánto cuesta mantener encendida durante 4 horas la lámpara anterior dado el precio del kilowatt-hora que usted paga? (1 kw-h = 3 600 000 joules.)

Respuesta: 7-27.

Un reloj eléctrico se conecta a una línea de 110 V. La corriente es de 0,05 A. Hallar la potencia, la energía consumida en 1 mes (700 horas, aproximadamente) y el costo de operación por mes según el precio del kilowatt-hora que usted paga.

Respuesta: 7-28.

¿Qué calor desprende en un minuto una plancha eléctrica de 500 W?

Respuesta: 7 200 cal 7-29.

Un recipiente contiene un litro de agua a 20 °C. En él se introduce un alambre de 30  por el que pasa una corriente de 1,5 A. Calcular el tiempo necesario para que el agua comience a hervir.

Respuesta: 20,8 s 7-30.

Hallar la sección de un conductor de cobre de 100 m de longitud que tiene una resistencia de 20 .

Respuesta: 0,086 mm2 PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELECTRICOS

17

8.1.

Se conectan en serie tres resistencias de 6 , 8  y 12 . La diferencia de potencial aplicada al conjunto es de 10 V. Calcular: (a) la resistencia total; (b) la corriente total; (c) la corriente en cada resistencia; (d) la caída de potencial en cada resistencia.

Respuesta: (a) 26 ; (b) 0,38 A; (c) 0,38 A; (d) 2,28 v; 3,04 V; 4,56 V 8.2.

Resolver el problema anterior si las resistencias se conectan en paralelo.

Respuesta: (a) 2,67 ; 3,74 A; (c) 1,66 A; 1,25 A: 0,83 A: (d) 10 V 8.3.

Una batería de acumuladores tiene fem de 60 V y resistencia interna de 0,2 . Calcular la intensidad de la corriente que produce a través de una resistencia externa de 39,8 , la diferencia de potencial entre los polos de la batería, la potencia de ésta y la potencia útil.

Respuesta: 1,5 A; 59,7 V; 90 W; 89,55 W 8.4.

Un generador tiene fem de 20 V y resistencia interna de 40 . Representar gráficamente la diferencia de potencial entre sus polos cuando la corriente varía desde cero hasta 3,2 A. ¿Para qué corriente es cero la diferencia de potencial?

Respuesta: 0,5 A 8.5.

Una pila seca tiene fem de 1,5 V. Hallar su resistencia interna si, al conectarla en cortocircuito (sin resistencia externa), la intensidad de la corriente es 15 A. Hallar también la corriente si la resistencia externa es 5 .

Respuesta: 0,1 ; 0,29 A 8.6.

Una fuente con fem de 12 V y resistencia interna de 1  se conecta con dos resistencias en serie de 2  y 3 . Calcular: (a) la corriente; (b) la diferencia de potencial entre los polos de batería; (c) la caída de potencial en cada resistencia; (d) la corriente en cada resistencia.

Respuesta: (a) 2 A; (b) 10 V, (c) 4 V; 6 V; (d) 2 A 8.7.

Resolver el problema anterior si las resistencias se conectan en paralelo.

Respuesta: (a) 5,45 A; (b) 6,55 v; (c) 6,55 V; (d) 3,27 a; 2,18 A 8.8.

Un generador que tiene fem de 37 V y resistencia interna de 1  envía una corriente de 5 A hasta unos equipos en un almacén distante 80 m, mediante dos alambres de cobre con resistencia de 1  por cada 25 m. Calcular: (a) la caída de potencial a lo largo de los alambres; (b) la diferencia de potencial entre los alambres en el almacén; (c) la resistencia conectada en el almacén.

Respuesta: (a) 2,5 V; (b) 29,5 V, (c9 5,9  8.9.

Una resistencia de 2  se conecta en paralelo con otra de 4  por la que pasa una corriente de 10 A. Hallar la diferencia de potencial a través del conjunto, la corriente en la primera y la resistencia total.

Respuesta: 40 V; 20 A; 1,33  8.10. ¿Cuántas lámparas, de 200  cada una, pueden conectarse en paralelo a través de una diferencia de potencial de 100 V si la máxima corriente permisible es de 10 A? Respuesta: 20 8.11. La diferencia de potencial entre los polos de un generador es 32 V. La corriente producida se trasmite, mediante dos alambres con una resistencia total de 0,2 , a un sistema de 10 lámparas en paralelo, siendo la resistencia de cada una de 40 . Hallar: (a) la corriente; (b) la caída de potencial en los alambres; (c) la caída de potencial en las lámparas; (d) la corriente en cada lámpara. Respuesta: (a) 7,62 A; (b) 1,52 V; (c) 30,48 V, (d) 0,762 A

18 8.12. Dos generadores iguales, cada uno con fem de 2 V y resistencia interna de 3 , se conectan en serie con una resistencia externa de: (a) 0,2 ; (b) 20 . Calcular la intensidad de la corriente. Respuesta: (a) 0,64 a; (b) 0,154 A 8.13. Resolver el problema anterior si los dos generadores se conectan en paralelo. Respuesta: (a) 1,17 A; (b) 0,093 A 8.14. Calcular la corriente producida por una batería de 16 pilas secas, cada una con fem de 1,4 V y resistencia interna de 2 , a través de una resistencia externa de 50 . Respuesta: 0,273 A 8.15. Resolver el problema anterior suponiendo las pilas en paralelo. ¿Qué diferencias hay entre ambos casos? Respuesta: 0,03 A 8.16. Cuatro grupos de pilas, compuesto cada uno de 5 pilas en serie, se conectan en paralelo. Cada pila tiene fem de 1,8 V y resistencia interna de 0,8 . La resistencia externa es de 2 . Calcular la fem y la resistencia interna del sistema, la corriente total y la corriente en cada pila. Respuesta: 9 V; 1 ; 3 A; 0,75 A 8.17. En los circuitos dibujados a continuación, determinar: (a) la resistencia total; (b) la corriente total; (c) la corriente en cada conductor.

Respuesta: (a) 5 ; (b) 24 A; (c) I1 = I2 = 24 a; I4 = 12 a; I6 = 8 A; I12 = 4 A 8.18. En las combinaciones de resistencias dibujadas a continuación, determinar la resistencia total y la corriente en cada conductor.

19

Respuesta: 10 ; I3 = 4 a; I6 = 2 A; I7 = 24 a; I9 = 8 A; I10 = 6 a; I12 = 6 a; I18 = 4 A 8.19. En las redes dibujadas a continuación, plantear las ecuaciones de kirchhoff necesarias y determinar la corriente en cada conductor.

Respuesta: I10 = 1,5 A; I6 = 1,5 A, I4 = 1 A; I12 = 0,5 A 8.20. En la figura, V es un voltímetro y A y A' son dos amperímetros. Hallar: (a) las indicaciones de A y A' cuando V marca 20 V; (b) las indicaciones de V y A' cuando A indica 5 A; (c) las indicaciones de V y A cuando A' indica 20 A.

Respuesta: (a) 2 a, 1,66 A; (b) 50 V; 4 A; (c) 250 V; 25 A 8.21. Encontrar la resistencia equivalente a la malla de la figura. La fem de la fuente es 20 V y su resistencia interna es 1 . ¿Cuál es el voltaje entre A y B? ¿Y entre A y C?

Respuesta: 8.22. Encontrar la resistencia equivalente en la malla de la figura. ¿Cuál es la fem de la fuente, expresada en V? ¿Cuál es su resistencia interna? Hállense además: (a) el voltaje a través de la resistencia de 2 ; (b) la corriente que pasa por ella; (c) la corriente que pasa por la resistencia de 6 .

20

Respuesta: PROBLEMAS DE CONDUCTORES NO METÁLICOS 9.1.

En una resitemncia de 10 M en serie con un tubo de emisión termoiónica se produce una diferencia de potencial de 0,414 mV. ¿Cuantosa iones por segundo se producen en el tubo?

Respuesta: 1,95 x 108 iones/s 9.2.

La relación entre la corriente de saturación y la temepratura absoluta del cátodo está dada por la ley de Richardson, que estableció que: siendo IS la corriente de saturación, T la temepratura absoluta,  la energía necesaria para arrancar un electrón del amterial y k la constante de Boltzmann. Valores típicos de /k para diferentes metales son: /k

Mo 50 900

Th 38 900

W 52 400

Pt 61 700

(a) ¿Cuáles serían las unidades de /k en el sistema SI? (b) Dibuje una curva de IS para T entre 2 000 K y 5 000 K Respuesta: (a) K 9.3.

En un diodo se tiene una corriente de 0,050 A. ¿Cuántos electrones pasan por segundo del cátodo a la placa?

Respuesta: 3,125 x 1017 electrones/s 9.4.

En la cuerva característica del diodo de la figura 4.9, ¿qué magnitud física representa la pendiente de la recta que une dos puntos de dicha curva?

Respuesta: 9.5.

En un diodo los electrones pasan del cátodo a la placa, pero no d ela placa al cátodo, cuando se invierte el sentido de la corriente. ¿Qué sucede en un diodo que se alimenta con corriente alterna?

Respuesta: 9.6.

En un diodo existe una diferencia d epotencial de 300 V entre el cátodo y la placa. ¿Cuál es la energía de un electrón que golpea la placa’ Suponiendo que esta energía cinética se convierte toda en energía térmica de la placa, ¿Cuántas calorías por minuto debe radiar la placa para mantener constante su temepratura si la corriente es 0,1 A?

Respuesta: 429 cal/min

21 PROBLEMAS DE MAGNETISMO 10-1.

Un haz de electrones con velocidad de 106 m/s penetra en una región donde existe un campo magnético. Si los electrones describen una trayectoria de 0,10 m de radio, ¿cuál es la intensidad del campo magnético? ¿Cuál es la velocidad angular del electrón?

Respuesta: 5,7 x 105 T; 107 rad/s 10-2.

Se aplica un campo magnético de 0,5 T, en la dirección del eje Z, a un electrón que se mueve en el plano XY; con velocidad de 106 m/s. ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre el electrón? ¿Cuál es el radio de la órbita del electrón? ¿Cuál es el período del movimiento circular descrito? ¿Cuántas revoluciones efectúa por segundo?

Respuesta: 0,8 x 1013 N; 1,14 x 105 m; 0,72 x 1010 s; 1,4 x 1010 s1 10-3.

Un protón acelerado por una diferencia de potencial de 1000 000 V penetra en dirección perpendicular a un campo magnético de 2,0 T. ¿Cuál es el radio de la trayectoria y la velocidad angular del protón? Repetir el problema si se trata de una partícula .

Respuesta: 7,3 x 102 m; 1,9 x 108 rad/s; 10,4 x 102 m; 0,96 x 108 rad/s 10-4.

En cierta región del espacio existen a la vez un campo eléctrico uniforme de 1000 N/C y un campo magnético también uniforme de 0,5 T, ambos en la misma dirección, que designamos por X. Si tenemos tres cargas A, B, C iguales a 0,4 C y tales que A está fija, B se mueve en la misma dirección X que el campo eléctrico con velocidad de 100 m/s, y C se mueve en la dirección perpendicular a los campos, o sea, según el eje Y con velocidad de 5 x 102 m/s, ¿cuáles son la dirección y la magnitud de las fuerzas eléctricas, magnéticas y totales que actúan sobre cada partícula? Resolver el mismo problema suponiendo que los campos eléctrico y magnético tienen direcciones perpendiculares coincidentes, respectivamente, con los ejes X e Y.

Respuesta: (a) 4 x 102 N; 0 N; 4 x 102 N; (b) 4 x 102 N; 0 N; 4 x 102 N; (c) 4 x 102 N; 102 N; 412,31 N 10-5.

En un espectrómetro de masas se introducen iones 25Mg+ y Hallar la relación entre los radios de sus respectivas órbitas.

25

Mg++, acelerados por un mismo voltaje.

Respuesta: r =(v/v’)r’ 10-6.

Un ion de masa desconocida y carga +e se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 104 V. Moviéndose horizontalmente, entra en un espectrómetro, donde existe un campo magnétíco vertical de magnitud 1 T; describe una trayectoria semicircular de 0,2 m de diámetro y sale del espectrómetro. ¿Cuál es la masa del ion?

Respuesta: 8 x 1026 kg 10-7.

En un ciclotrón, el radio de la órbita de salida de los protones es 0,40 m. La frecuencia con que varía el voltaje entre las D del ciclotrón es de 107 Hz. Calcular el campo magnético aplicado, la velocidad de salida de los protones y su energía. ¿Cuál es el mínimo número de vueltas que debe dar un protón si el máximo voltaje entre las D es 20 000 V?

Respuesta: 0,65 T; 2,5 x 107 m/s; 3,26 MeV; 81 vueltas 10-8.

Repetir el problema anterior para un deuterón y para una partícula .

Respuesta: 10-9.

Un alambre metálico de 30 cm de longitud se mueve con una velocidad de 20 m/s perpendicularmente a un campo magnético de 0,05 T. Calcular la diferencia de potencial inducida entre los extremos del alambre.

Respuesta: 0,3 V 10-10. Un aeroplano se mueve a 360 km/h. La distancia entre los extremos de las alas es de 20 m. Si la componente vertical del campo magnético terrestre es 6,2 x 104 T, ¿cuál es la diferencia de potencial entre los extremos de las alas? ¿Qué ocurre a esta diferencia de potencial si el avión aumenta su velocidad? ¿Cuál es la diferencia de potencial cuando el avión aterriza y se detiene?

22 Respuesta:1,24 V; aumenta; 0 V PROBLEMAS DE MAGNETISMO Y CORRIENTES ELECTRICAS 11-1.

Un conductor recto de 60 cm de longitud, por el que pasa una corriente de 8A, se dispone perpendicularmente a un campo magnético de 12 x 102 T. ¿Qué fuerza experimenta?

Respuesta: 5,76 x 101 N 11-2.

Resolver el problema anterior si el conductor forma un ángulo de 60° con el campo magnético.

Respuesta: 4,98 x 101 11-3.

Un alambre de 1 m de longitud se dispone perpendicularmente al campo magnético terrestre en un lugar donde su intensidad es 3 x 105 T. Calcular la fuerza que experimenta si circula por él una corriente de 20 A.

Respuesta: 6 x 104 N 11-4.

Por un conductor rectilíneo pasa una corriente de 300 A. Calcular el campo magnético en un punto situado a: (a) 150 cm; (b) 6 m.

Respuesta: (a) 0,4 x 104 T; (b) 0,1 x 104 T 11-5.

Calcular el campo magnético en el centro de una espira circular de 12 cm de radio si circula por ella una corriente de 0,225 A. Calcularlo también para el caso de un multiplicador con 100 espiras.

Respuesta: 1,18 x 106 T; 1,18 x 104 T 11-6.

¿Cuántas espiras debe tener un multiplicador de 15 cm de radio para producir en su centro un campo magnético de 6 x 103 T si la corriente es de 3 A?

Respuesta: 477 11-7.

Una bobina circular tiene 40 espiras y 8 cm de radio. La corriente que circula por ella tiene una intensidad de 5 A. Calcular el campo magnético en su centro.

Respuesta:1,57 x 103 T 11-8.

Un solenoide tiene 50 cm de longitud y consta de 800 espiras. Calcular el campo magnético en el centro y en los extremos si la intensidad de la corriente que lo recorre es 1,2 A.

Respuesta: 2,4 x 103 T; 1,2 x 103 T 11-9.

Un solenoide tiene 20 espiras por cm y la corriente que circula por él es de 15 A. Calcular el campo magnético en el centro y en los extremos.

Respuesta: 3,76 x 102 T; 1,88 x 102 T 11-10. Calcular el campo magnético en el punto medio entre dos corrientes rectilíneas paralelas: (a) del mismo sentido; (b) de sentido opuesto. Las corrientes están separadas 20 cm y su intensidad es 10 A. Respuesta: (a) 0; (b) 4 x 105 T 11-11. Para el problema anterior, calcular el campo magnético en los siguientes casos: (a) en un punto de la mediatriz de la recta que une las corrientes y a 10 cm de la misma; (b) en un punto cuyas distancias a las corrientes son 12 cm y 16 cm, respectivamente; (c) en un punto de la recta que las une, situado entre ellas, y a 5 cm de una; (d) en un punto de la recta que las une, situado fuera de ellas, y a 5 cm de una Respuesta: 11-12. Calcular el campo magnético creado por un electrón que se mueve con una velocidad de 2 x 108 m/s en un punto situado a 4 x 108 m de distancia: (a) en la dirección del movimiento; (b) en una dirección que forma un ángulo de 30° con la velocidad; (c) en la dirección perpendicular a la velocidad.

23 Respuesta: (a) 0; (b) 0,1 x 102 T; (c) 0,2 x 102 T 11-13. Entre dos barras de acero paralelas, situadas horizontalmente y separadas entre sí 1 m, se establece un campo magnético de 1 tesla, en dirección vertical. Las barras se utilizan como rieles para dos ruedas unidas por un eje con una masa total de 1 kg. Si las ruedas se mueven por efecto de la corriente, con una aceleración de 1 m/s2, ¿cuáles son la magnitud y la dirección de la corriente? Respuesta: 1 A; perpendicular al campo 11-14. Dos corrientes rectilíneas de 6 A y 8 A, respectivamente, están separadas 20 cm. Calcular: (a) el campo magnético producido por cada una sobre la otra; (b) la fuerza ejercida por cada una sobre una longitud de 2 m de la otra. Respuesta: (a) 6 x 106 T; 8 x 106 T; (b) 9,6 x 105 N 11-15. Un circuito multiplicador de radio r, formado por N espiras por las que circula una corriente I, está situado en un plano vertical de modo que el campo magnético terrestre BT coincida con un diámetro del circuito. Demostrar que el campo magnético resultante en el centro forma un ángulo con el plano del circuito dado por: tan   (10 7 )

2 N I El sistema se llama galvanómetro de tangentes cuando se sitúa en el centro r BT

del circuito una pequeña aguja magnética que se orienta según el ángulo . Respuesta: 11-16. Un galvanómetro de tangentes tiene 30 cm de diámetro y consta de 20 espiras. Está situado en un lugar donde la componente horizontal del campo terrestre es 2 x 105 T. Calcular la intensidad de la corriente que desvía 25° a la aguja respecto, al plano del circuito. Respuesta: 0,5 A 11-17. Calcular la componente horizontal del campo magnético terrestre en un lugar donde la aguja del galvanómetro anterior se desvía un ángulo de 30° respecto al plano del circuito cuando pasa por él una corriente de 0,6 A. Respuesta: 2,9 x 105 T 11-18. ¿Qué ángulo se desviará la aguja de un galvanómetro de tangentes de 10 cm de radio y 50 espiras, situado en un lugar donde la componente horizontal del campo terrestre es 3 x 105 T, si la corriente es 1 A. Respuesta: 5,45º 11-19. La bobina de un galvanómetro tiene 3 cm de longitud y 1,5 cm de anchura y consta de 200 espiras. La constante de la fibra de suspensión es 3 x 1010 N· m/grado. El campo magnético es 8 x 103 T. Calcular la intensidad de la corriente que lo hace girar 40°. Hallar el ángulo que gira cuando pasa por él una corriente de 0,2 x 106 A. Respuesta: 1,66 x 105 A; 0,5º PROBLEMAS DE PROPIEDADES MAGNETICAS DE LOS MATERIALES 12-1.

Calcular el momentum angular y el momento magnético orbital de un electrón en los niveles de energía L y M de un átomo de hidrógeno, suponiendo que describe una trayectoria circular de radio (mv/kb).

Respuesta: 1,0545 x 1034 m2 . kg/s; 2,1090 x 1034 J/T; 18,55 x 1024 J/T 12-2.

Recordando que el momentum angular de un electrón está dado por (h/2)ℓ(ℓ + 1), calcular el momento magnético orbital de un electrón en los estados s, p, d y f.

Respuesta: 0; 13,11 x 1024 J/T; 22,61 x 1024 J/T; 32,12 x 1024 J/T 12-3.

El magnetón nuclear se define por (e/2mp)(h/2), siendo mp la masa del protón. Calcular el valor del magnetón nuclear.

Respuesta: 5,0504 x 1027 J/T

24

12-4.

Una esfera metálica de radio r y masa m gira con velocidad angular . Calcular su momentum angular (ver cap. 14-6 del tomo 1). Si la esfera tiene carga Q, ¿cuál es su momento magnético? (Sugerencia: Reemplazar -e por Q en la ecuación (12-2).)

Respuesta: L = ½ m r2 ; N = ¼ Q r2  12-5.

Una corriente rectilínea de 10 A está situada en un medio paramagnético cuya permeabilidad magnética es 1,087. Calcular el campo magnético en un punto a 2 mm de distancia de la corriente.

Respuesta: 1,087 x 103 T 12-6.

Un solenoide de 20 cm de largo y 500 espiras está arrollado alrededor de una barra de hierro con permeabilidad magnética de 2 400. Si por el solenoide pasa una corriente de 100 A, calcular el campo magnético en el centro y en los extremos del solenoide.

Respuesta: 7,54 x 102 T 12-7.

En la tabla se dan los valores de   1 de alúmina de amonio a ciertas temperaturas. Calcular el valor del producto (  1)T: siendo T la temperatura absoluta. ¿A qué conclusión llega? Haga una gráfica que represente 1/(  1) en las ordenadas y T en las abscisas. ¿Qué resulta? Temperatura (oC) 1

 258 75,4 x 104

 173 11,3 x 104

 73 5,65 x 104

27 3,77 x 104

Respuesta: 12-8.

Se tiene una barra de hierro magnetizada de densidad 7870 kg/m3. Suponiendo que cada átomo del material tiene momento magnético de 1023 A · m2 y que todos los momentos magnéticos se encuentran alineados a lo largo de la barra, ¿cuál es el valor del momento magnético por metro cúbico?

Respuesta: 8,44 x 105 J/T . m3 PROBLEMAS DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 13-1.

Una espira situada en un campo magnético se desplaza en t s de un lugar donde el flujo es 0,2 Wb a otro donde el flujo es 0,6 Wb. Calcular la fem inducida.

Respuesta:3.2 V 13-2.

Un multiplicador compuesto de 20 espiras se desplaza en 0,02 s de una región donde el flujo a través de cada espira del mismo es 3,6 x 10c Wb a otra donde el flujo es 1,2 x 103 Wb. Calcular la fem inducida.

Respuesta: 2,4 V 13-3.

Una bobina de 100 espiras y 20 cm2 de área está situada perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 0,5 T. Calcular la fem inducida en la bobina cuando en 0,01 s gira: (a) 90°; (b) 30°.

Respuesta: (a) 10 V; (b) 1,3 V 13-4.

Una bobina de 20 espiras y 400 cm2 de área gira uniformemente a razón de 10 r.p.s. alrededor de un diámetro perpendicular a un campo magnético uniforme de 0,1 T. Calcular la fem inducida en cada cuarto de período.

Respuesta: 3,2 V 13-5.

Una bobina cuadrada tiene 20 cm de lado y consta de 50 espiras. Está situada perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 4 x 102 T. Calcular la fem inducida en la bobina si el campo magnético se anula en 0,04 s. Resolver también el problema si el plano de la bobina forma un ángulo de 60° con el campo magnético.

Respuesta: 2 V; 1,72 V 13-6.

Calcular la fem inducida durante medio periodo en una bobina de área 30 cm2 si gira alrededor de un diámetro a razón de 360 r.p.m. y está situada en un campo magnético de 0,8 T.

25

Respuesta: 13-7.

Una bobina circular de 150 espiras tiene radio de 15 cm y está situ da perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 1,2 T. Calcular la fem inducida si el campo magnético se triplica en 0,6 s. Resolver también el problema si la normal al plano de la bobina forma un ángulo de 60° con el campo.

Respuesta: 42,4 V; 21,2 V 13-8.

Si la resistencia de la bobina del problema anterior es 5 , calcular: (a) la corriente inducida; (b) la cantidad de electricidad que ha circulado; (c) el calor desprendido en la bobina.

Respuesta: (a) 8,48 A; (b) 5,08 C; (c) 86 cal 13-9.

Un multiplicador de 80 espiras está situado en un plano horizontal en un lugar donde la componente vertical del campo magnético terrestre es 0,5 x 105 T. El multiplicador tiene radio de 15 cm y resistencia de 5 . Está conectado a un galvanómetro cuya resistencia es 12 . Calcular la cantidad de electricidad que pasará por el circuito si la bobina gira media vuelta rápidamente.

Respuesta: 13-10. Se tienen dos bobinas B y B', de 200 y 800 espiras, respectivamente. Una corriente constante de 2 A en B produce en B' un flujo de 0,018 Wb a través de cada espira. Calcular: (a) el coeficiente de inductancia mutua; (b) el flujo en B cuando en B' hay una corriente de 4 A; (c) la fem inducida en B' cuando la corriente en B disminuye de 3 A a 1 A en 0,3 s. Respuesta: (a) 0,036 H; (b) 0,576 Wb/espira; (c) 0,24 V/espira 13-11. La inductancia mutua entre el primario y el secundario de un transformador es 0,3 H. Calcular la fem inducida en el secundario cuando en el primario la corriente varia a razón de 4 A/s. Respuesta: 1,2 V 13-12. Un solenoide consta de 2 000 vueltas y tiene 30 cm de longitud y 12 cm2 de sección. En el centro del mismo se ha arrollado una bobina de 300 espiras. Calcular su inductancia mutua. Si por el solenoide pasa una corriente de 2 A y se invierte su sentido en 0,2 s, ¿cuál es la fem inducida en la bobina? Respuesta: 1,5 H; 9 x 103 V 13-13. Se tiene un multiplicador circular de 15 cm de radio y 200 espiras. En el centro del mismo se ha dispuesto otro multiplicador pequeño, de 1 cm de radio y 100 espiras. Calcular su inductancia mutua y la fem inducida en uno de ellos cuando en el otro la corriente varia a razón de 20 A/s. Respuesta: 13-14. Un electroimán tiene una autoinducción de 3 H. ¿Cuál es la fem auto inducida cuando en 0,01 s se suprime una corriente de 10A. Respuesta: 3 x 103 V 13-15. En un circuito, una corriente de 2 A produce a través del mismo un flujo de 0,8 Wb. Calcular su autoinducción y la fem autoinducida cuando la corriente aumenta de 3 A a 5 A en 0,08 s. Respuesta: 0,4 H; 10 V 13-16. ¿Cuál es la autoinducción de un circuito en el que se induce una fem de 8 V cuando la corriente varía a razón de 32 A/s? Respuesta: 0,25 H PROBLEMAS DE CORRIENTE ALTERNA 14-1.

Una corriente alterna viene dada en amperes por la expresión i = 10 sen 120t. Calcular la frecuencia, el periodo, el valor máximo y el valor eficaz de la corriente.

26 Respuesta: 60 Hz; 1,66 x 102 s; 10 A; 7,07 A 14-2.

Una corriente alterna tiene un valor eficaz de 14,14 A y una frecuencia de 30 Hz. Demostrar que su valor en cualquier instante viene dado por la expresión i = 20 sen 60t. ¿Cuál es su periodo?

Respuesta: 3,33 x 102 s 14-3.

Por una resistencia de 20  pasa una corriente alterna dada por expresión i = 4 sen 300t. Calcular la potencia media requerida para mantener la corriente y la energía consumida en l0 s.

Respuesta: 160 W; 1600 J 14-4.

La diferencia de potencial eléctrico entre los conductores de una línea de trasmisión es v = 156,51 sen 120t. Calcular el valor eficaz, la frecuencia y el periodo de la diferencia de potencial.

Respuesta: 110,6 V; 1,66 x 102 s; 60 Hz 14-5.

Cuando una bobina se conecta a una bateria de 120 V, se obtiene una corriente continua de 0,40 A. Si se conecta a un alternador cuya fem eficaz es 120 V, se obtiene una corriente eficaz de 0,24 A. Calcular: (a) la resistencia; (b) la impedancia; (c) el desfase de la corriente en la bobina; (d) la potencia media.

Respuesta: (a) 300 ; (b) 500 ; (c) 53,1 º; (d) 17,3 W 14-6.

Un circuito tiene una resistencia de 12 . Se le aplica una fem eficaz de 110 V, cuya frecuencia es de 25 Hz. Si la impedancia es 25 , calcular: (a) la corriente eficaz; (b) el desfase; (c) el factor de potencia; (d) la potencia media.

Respuesta: (a) 4,38 A; (b) 61º; (c) 0,478; (d9 230,2 W 14-7.

Un circuito posee una resistencia de 100  y una impedancia de 138  cuando tiene aplicada una fem eficaz de 110 V y 60 Hz. Calcular: (a) la corriente eficaz; (b) el desfase; (c) la potencia media.

Respuesta: (a) 0,8 a; (c) 64 W 14-8.

El primario de un transformador tiene 100 espiras y la fem aplicada al mismo es de 120 V. ¿Cuántas espiras deberá tener el secundario para obtener una fem de 1800 V?

Respuesta: 1500 14-9.

El primario de un transformador está conectado a una línea de 120V. Si la corriente en el secundario es 2 A y la fem 900 V, ¿cuál es la corriente en el primario? ¿Cuál es la potencia?

Respuesta: 15 A; 1800 W 14-10. El primario de un transformador tiene 10 000 espiras. Está conectado a una línea de 220 V, y por él pasa una corriente de 0,2 A. Calcular la corriente, la fem y la potencia en el secundario si éste tiene 1 000 espiras. Respuesta: 2 A; 22 V; 44 W 14-11. El primario de un transformador está conectado a una línea de 2 200 V. La fem en el secundario es 110 V. Calcular el número de espiras en el primario si el secundario tiene 25 espiras. Respuesta: 500 14-12. El primario de un transformador opera en una línea de 1 650 V. En el secundario, la fem es 110 V y la corriente 4,5 A. Calcular la potencia y la corriente en el primario si el rendimiento del transformador es: (a) 100 %; (b) 80 %. Respuesta: (a) 68,2 A; 112,5 kW 14-13. La razón de los números de espiras de los arrollamientos del primario y del secundario de un transformador es 1 : 25. La fem en el primario es 110 V y la corriente en el secundario 2 A. Calcular la fem en el secundario y la corriente y la potencia en el primario si el rendimiento del transformador es: (a) 100%; (b) 90%. Respuesta: (a) 2750 V; 50 A; 5,5 kW

27

BIOELECTRICIDAD Y BIOMAGNETISMO Fundamentos de electricidad. Naturaleza eléctrica de la membrana celular. Potencial de Nernst. Ecuación de Goldman. Fuerza electromotriz de la membrana celular. Bomba de sodioPotasio (NaK). Potencial de reposo. Potencial de acción. Modelo eléctrico de la membrana celular. Célula nerviosa. Impulso nervioso. Circuito eléctrico de la célula nerviosa. Propagación del impulso nervioso: ecuaciones de Hodgkin  Hxley. Electricidad del corazón. Potenciales generados por el corazón. Física de las ondas de despolarización. Vector cardiaco instantáneo. Triangulo de Einsthoven. Electrocardiograma. Electroencefalograma. Señales eléctricas del ojo: Electrorretinograma. Electrooculograma. Problemas

FUNDAMENTOS BASICOS DE ELECTRICIDAD FUERZA ELECTRICA: La fuerza entre dos cagas eléctricas Q y q es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, esto es: 

F k

Qq uˆ r r2

(1) 

donde k es la constante e proporcionalidad y uˆ es un vector unitario en la dirección de r El valor de k en el sistema internacional es:

k  9 x 109 N ·m 2 / C 2 o bien:

k

1 4  0

donde: 0 = 8,85 x 1012 C2/N · m2 es la permitividad del vacío. La ecuación (1) es la representación matemática de la ley de Coulomb. Si F es negativa, la fuerza es atractiva; si F es positiva la fuerza es repulsiva. En la figura 1 se representa la fuerza que la carga Q ejerce sobre q.

Figura 1 CAMPO ELECTRICO: En cualquier región del espacio donde una carga eléctrica experimenta una fuerza de atracción o repulsión. La intensidad del campo eléctrico en un punto, tal como P, es igual a la fuerza por unidad de carga en ese punto, o sea: 



F E q

(2)

Figura 2 La intensidad del campo en e sistema internacional se expresa en N/C. De la ecuación (2), se deduce que si q es positiva, la fuerza F que actúa sobre la carga tiene la misma dirección del campo, pero si q es negativa la fuerza F tiene la dirección contraria a E (figura 3)

Figura 3 El campo eléctrico de un plano cagado uniformemente, tal como el representado en la figura (4) se obtiene con la formula:

28 E

 2 0

donde  es la densidad superficial de carga:

 

Q A

Figura 4 El campo eléctrico entre dos planos que tienen cargas iguales pero signos opuestos + Q y  Q es:

E

Q

(3)

0

El campo eléctrico a la izquierda o derecha de los planos es cero

Figura 5 POTENCIAL EECTRICO. Toda partícula cargada en un campo eléctrico tiene energía potencial por su interacción con el campo. La energía potencial por unidad de carga se llama potencial eléctrico, esto es:

V

W q

La unidad de potencial eléctrico es el voltio (V) (= 1 joule/1 coulomb). En la figura 6 consideramos una carga positiva q en un campo eléctrico E que se mueve a velocidad constante de A hacia B. El trabajo que se hace es igual al cambio de la energía potencial de la carga:

W  qEL de donde obtenemos la diferencia de potencial eléctrica:

V  E L definido como el trabajo que se hace para llevar una unidad de carga de un punto a otro contra la fuerza del campo eléctrico E.

Figura 6 CAPACIDAD ELECTRICA. Un condensador esta formado por dos conductores separados por un dieléctrico (figura 7). Cada conductor se llama placa o armadura y tienen cargas iguales y opuestas.

29

Figura 7

Figura 8

La capacidad de un condensador se calcula con a formula:

C

Q V

(5)

donde Q es la carga de cada placa y V es la diferencia de potencial entre ellas. La capacidad por el símbolo: y se expresa en faradios (= 1 coulomb/1 voltio); como esta unidad es muy grande se usa el microfafardio (F), el nanofaradio (nF) y el picofaradio (pF):

1 F  10 6 F

1 nF  10 9 F

1 pF  10 9 F

La capacidad de un condensador e placas paralelas (figura 8) se determina con a formula:

C

K 0 A d

(6)

donde K es la constante dieléctrica, A el área y d la separación entre ellas. CORRIENTE ELECTRICA: es el flujo de partículas cagadas a través de un conductor cuando se aplica un campo eléctrico. Las partículas cargadas pueden ser electrones como en un conductor metálico, o iones negativos o positivos como en una solución electrolítica o en un gas iónico (figura 9)

Figura 9 La intensidad de corriente eléctrica se define como la carga que pasa por la sección transversal de un conductor en la unidad de tiempo, esto es:

I

Q t

I

dq dt

La intensidad de corriente en el sistema internacional se expresa en amperios (A):

1 A

1C 1s

pero a menudo se usa el miliamperio y el microamperio:

1 mA  10 3 A

1  A  10 6 A

RESISTENCIA ELECTRICA: La resistencia eléctrica es la oposición que ofrece un conductor al paso de la corriente eléctrica. Esta magnitud depende de las dimensiones geométricas del conductor, del material del que esta constituido y también de la temperatura. A temperatura constante, la resistencia de un conductor de longitud L y sección transversal de área A es:

30 R

L A

(7)

donde  es la resistividad del material. La resistencia se representa por una línea quebrada unidad es el ohmio .

y su

LEY DE OHM: La ley de Ohm establece lo siguiente: A temperatura constante la intensidad de corriente que circula por un conductor metálico s directamente proporcional a la diferencia de potencial en sus extremos e inversamente proporcional a su resistencia, esto es:

I

V R

Figura 10 FUERZA ELECROMOTRIZ: En una pila se convierte energía química en energía eléctrica y las reacciones químicas mantienen una diferencia de potencial entre los terminales de la batería, también si circula corriente como si no. A esta diferencia de potencial suele dársele el nombre de fuerza electromotriz (FEM) para distinguirla de la diferencia d potencial que aparece en los extremos de una resistencia en virtud a la ley de Ohm. En consecuencia, la fuerza electromotriz se define como el trabajo para transportar la unidad de carga del polo negativo al polo positivo de un generador, esto es:



W q

(8)

La unidad de FEM es el voltio (V). El símbolo que se usa para representar una pila en los esquemas de circuitos es , y una batería de tres pilas:

Figura 11 LEYES DE KIRCHHOFF. Las leyes de Kirchooff se usan para determinar las intensidades de corriente en términos de resistencias y fuentes existentes en una red eléctrica, tal como la representada en la figura 12. Estas leyes son: Primera ley: En cualquier nodo de una red, la suma algebraica de las corrientes es igual a cero.

I

nodo

0

Por ejemplo, en el nodo A tenemos:

I  I1  I 2  I 3  0 Segunda ley: la suma de las diferencias de potencial a lo largo de un circuito cerrado o malla es cero:

V

malla

0

Por ejemplo, en las mallas (1), (2) y (3) tenemos:

 2  1  I1 R1  0

31

I 2 R2  I 3 R3  0

I1 R1  I 2 R2  0

Figura 12 CIRCUITOS CON RESISTENCIA Y CAPACIDAD: En el circuito RC mostrado en la figura 13ª cuando en el instante t = 0 se cierra el interruptor, la caga del condensador y la intensidad de corriente en la resistencia varían con el tiempo como en las figura 13b y 13c

Figura 13 La carga q del condensador es:

q  q 0 (1  e  t /  ) donde q0 =  C y  = RC la constante de tiempo del circuito. La intensidad de corriente es:

i  i0 e  t / 

(10)

donde i0 = /R y  es la constante d tiempo. La descarga q del condensador es:

q  q0 e t /  donde q0 =  C y  = RC la constante de tiempo del circuito.

BIOELECTRICIDAD La bioelectricidad se estudia desde dos puntos de vista: (a) Como la fuente de energía eléctrica en el interior de la célula y (b) como la corriente electrolítica (o corriente iónica) debido a los campos eléctricos en el exterior de la célula. Las células son las fuentes fundamentales de los potenciales bioeléctricos, entendiéndose como tales a las diferencias de potencial existente entre el interior y exterior de la célula. BOMBA DE SODIOPOTASIO: Entre los iones que pueden atravesar la membrana célula las concentraciones de Na+ y Cl son mayores en el exterior de la célula, mientras que el K + tiene mayor concentración en el interior (Tabla 1). Los flujos netos de Na+ hacia el interior y de K+ hacia el exterior de la ulula debidos a la difusión y a la fuerza eléctrica, se denominan flujos pasivos porque no se necesita suministrar energía para que se produzca. El proceso inverso, es decir, la extracción de Na+ el interior de la célula y la devolución de K+ a través de la membrana requiere consumo constante de energía metabólica y se denomina transporte activo de NaK. En la figura 14 se representan esquemáticamente el flujo pasivo y el transporte activo de NaK. Tabla 1

32 ION Na+ K+ Cl Otros

CONCENTRACION (mol/m3) Extracelular Intracelular 145 12 4 155 120 4 29 163

a) Flujo pasivo b) Flujo activo Figura 14 POTENCIAL DE REPOSO: Es la diferencia e potencial existente entre el interior y el exterior de una célula en reposo. Este potencial se debe a la desigual distribución de iones entre el líquido intracelular y el extracelular. El potencial de membrana se detecta introduciendo un microelectrodo que atraviesa la membrana celular y aplicando otro en la superficie, siendo negativo el interior respecto al exterior (figura 15). Por convenio, el potencial V 0 del fluido extracelular se toma igual a cero y el del liquido intracelular, de un axón por ejemplo, es Vi =  90 mV.

Figura 15 POTENCIAL DE NERNST: es el potencial de equilibrio d un ión para el cual o hay flujo neto de dicho ión para el cual no hay flujo neto de dicho ión a través de la membrana celular. Este potencial se calcula con la formula:

Vi  V0 

k B T C0 ln q Ci

(11)

donde kB = 1,38 x 1023 J/K es la constante de Boltzmann, T la temperatura absoluta, q la caga del ión, C0 y Ci las concentraciones en el exterior e interior de la célula. POTENCIAL DE ACCION: Es la alteración del potencial de reposo de una célula por acción de un estimulo superior al umbral, dando lugar a la sucesión de la despolarización y repolarización de la membrana celular. Estas etapas se representan en la figura 16 y se explican de la siguiente manera: 1)

Durante el estado de reposo no circula ninguna corriente a través de la membrana. Al actuar el estímulo, superior al umbral, la permeabilidad del sodio aumenta transitoriamente, una corriente de iones de Na+ penetran en el interior de la célula cambiando la carga de la membrana (despolarización y fase ascendente del potencial de acción). Poco después se presenta una subida de la permeabilidad del K+; la corriente externa de K+ que de este modo se produce ocasiona el regreso del potencial de membrana al de reposo (repolarización y fase descendente del potencial de acción)

2)

El regreso del potencial al valor de reposo depende de dos mecanismos: por un lado, la nueva disminución que se presenta durante la larga despolarización, de la permeabilidad del Na + y en segundo lugar, el aumento desencadenado en forma retardada por la despolarización, de la permeabilidad del potasio; ambos mecanismos producen un restablecimiento de la relación PK = PNa y con ellos un reingreso al valor de reposo.

Figura 16

ELEMENTOS ELECTRICOS DE LA CELULA NERVIOSA

33

Una célula nerviosa tiene la forma y partes que se muestran en la figura 17. La información que se transmite en el cuerpo humano se hace mediante pulsos eléctricos en las fibras nerviosas denominadas axones. Los axones tienen diámetros comprendidos entre 1 y 20 micrómetros y pueden ser bastante largos. La vaina de mielina que rodea a algunos axones reduce la capacidad eléctrica de la membrana, al tiempo que aumenta su resistencia eléctrica. Cada vaina de mielina, formada por células Schwann, tienen aproximadamente 1 mm de longitud, pero la distancia entre vainas de mielina sucesivas es 1 m = 106 m. En estos espacios celulares, denominados nodos de Ranvier, el axón está en contacto directo con el líquido extracelular (o interticial). Precisamente, en estos nodos se lleva a cabo la amplificación de los pulsos nerviosos en un nervio revestido de mielina.

Figura 17 RESISTENCIA ELECTRICA DE UN AXON: Suponiendo que el axón consiste en una membrana cilíndrica que tiene un liquido conductor (el axoplasma), la corriente puede viajar a lo largo del axón en este fluido y también puede escapar a través de la membrana (figura 18a)

Figura 18 La resistencia R de una longitud L determinada de axón al paso de la corriente Iaxón es:

R  A

L A

(12)

donde A es la resistividad del axoplasma y A es el área de su sección transversal. La resistencia de la unidad de área de la membrana a la corriente de perdida Ipérdida se denota por RM (figura 18b) y la resistencia de perdida para una superficie de área A’ es:

R'

RM RM  A ' 2 r L

(13)

La distancia L =  para la cual las resistencias R y R’ son iguales se llama parámetro espacial y se calcula con la fórmula:



RM r 2 A

(14)

Este parámetro indica que distancia recorre una corriente antes que la mayor parte de ella se pierde a través de la membrana. CAPACIDAD ELECRICA DE UN AXON: La membrana celular es muy fina por lo cual una pequeña sección parece casi plana y a ambos lados de ella se acumulan cargas eléctricas de signo opuesto (figura 18c). La carga por unidad de superficie dividida por la diferencia de potencial resultante es la capacidad eléctrica por unidad de área:

CM 

QM V

(15)

Un trozo de axón de longitud L y radio r tiene un área A = 2  L y su capacidad es:

C  CM (2 r L)

(16)

34

Las resistencias RM, capacidades CM y resistividades del axón con o sin mielina se muestran en la Tabla 2. TABLA 2. MAGNITUD Resistividad del axoplasma, A Capacidad por unidad de area de membrana, CM Resistencia por unidad de área de membrana, RM Radio, r

AXON CON MIELINA 2·m 5 x 105 F/m2

AXON SIN MIELINA 2·m 102 F/m2

40  · m2

0,2  · m2

5 x 106 m

5 x 106 m

CIRCUITO ELECTRICO DEL AXON: El circuito análogo del axón puede desarrollarse dividiéndolo en muchos segmentos cortos. El fluido extracelular tiene una resistencia eléctrica muy pequeña y puede considerarse como un conductor perfecto. Cada segmento de axón presenta una resistencia R debida al fluido intracelular (o axoplasma) al paso de la corriente Iaxón a lo largo de su longitud. La membrana tiene una resistencia R’ a una corriente de perdida Iperdida más una capacidad C (figura 19).

Figura 19 Una serie de nervios segmentados de axón es entonces análoga a la compleja red de resistencias y condensadores mostrados en la figura 20. La FEM del circuito representa el estimulo aplicado.

Figura 20 Los diagramas de las diferencias de potencial en función del tiempo de los circuitos mostrados en las figuras (19b) y (20), se representan en la figuras (21 a y b) . Por consiguiente, para el circuito análogo de la figura (19b) la diferencia de potencial en el condensador es menor que la FEM debido a la resistencia R del axoplasma del segmento. A medida que nos alejamos del estimulo, los cambios se producen más lentamente y sus valores finales disminuyen tal como se representa en la figura (21b)

Figura 21 RESPUESTA DEL AXON A ESTIMULOS DEBILES: Cuando un estimulo inferior al umbral actúa sobre un axón sin mielina, se produce un pulso que recorre el axón y se atenúa después de pocos milímetros. En el lugar del estimulo, x = 0, el potencial Vi cambia lentamente de 90 mV a 60 mV; para otros valores de x los potenciales cambian más lentamente alcanzando un potencial final entre estos extremos. Si la diferencia de potencial entre el potencial de reposo y el potencial final en x = 0 es V 0 entonces la diferencia a una distancia x es: V ( x) V 0 e   x (17) donde  es el parámetro espacial y x la distancia entre el estimulo y el pulso en consideración. Por el contrario, cuando un estimulo superior al umbral actúa sobre un axón se produce un pulso que recorre la longitud del axón sin atenuación.

35

IMPULSO NERVIOSO: El impulso nervioso es un potencial de acción que se propaga a lo largo del axón de una célula nerviosa. En la figura 22 se representa la conducción del impulso en las fibras nerviosa miclínicas y amiclínicas. En el punto estimulado, las membranas se despolarizan al hacerse más permeables al Na+, aparece una diferencia de potencial entre esa región particular y una región vecina, inactiva, de la membrana, donde el potencial es próximo al potencial de equilibrio de K+. A consecuencia de la diferencia de potencial entre esas dos regiones pasa una corriente local entre la región activa y la inactiva, por el líquido intracelular, hasta descargar la membrana. La corriente regresa nuevamente a la región activa por el líquido extracelular, y a través de la membrana. Esta corriente local reduce la carga de la membrana en la región inactiva.

Figura 22 La velocidad de proporción del impulso en un fibra miclinica es:

v

X

(18)



donde X es la distancia entre dos nodos sucesivos y  es el tiempo necesario para reducir la carga de la membrana y aumentar por encima del umbral el potencial en el segundo nodo:

  R C   A CM

X2 r

(19)

Aquí, X = 103 m, r el radio del axón y los valores de A y CM se dan en la Tabla 2. ELECTROCARDIOGRAMA: Cundo atraviesa el impulso cardiaco el corazón, se difunden corrientes eléctricas hacia los tejidos que lo rodean, y una pequeña parte de ella llega hasta la superficie corporal, la cuales se detectan colocando electrodos sobre el cuerpo en lados opuestos del corazón. El registro grafico de los cambios de potenciales eléctricos en función del tiempo, generados por el corazón se llama electrocardiograma.

Figura 23 El electrocardiograma correspondiente a un latido cardiaco se representa en la figura 23 con la notación propuesta por Eindhoven. Este electrocardiograma se obtuvo mediante tres electrodos colocados al cuerpo; uno en la muñeca izquierda, otro en la derecha y el otro en la pierna izquierda cerca al tobillo (figura 24). A estos electrodos se les llama L, R y F y se puede medir la diferencia de potencial entre cada par de ellos como función del tiempo.

36

VI  VL  VR

VII  VF  VR VIII  VF  VL

Figura 24

Estos resultados son validos para las diferencias de potencial registradas en las tres derivaciones en el mismo instante. PROBLEMAS RESUELTOS En una molécula de NaCl, un ión Na+ con carga e esta a 2,3 x 1010 m del Cl con carga e. ¿Cuánto vale la fuerza eléctrica entre ambos? Solución 1.

Las cargas de los iones Na+ y Cl son qNa = 1,6 x 1019 C y qCl = e = 1,6x 1019 C; r = 2,3 x 1010 m y k = 9 x 109 N · m2/C2:

F k

19 q Na qCl C ) (1,6 x10 19 C ) 9 2 2 (1,6 x 10  ( 9 x 10 N · m / C )  4,36 x 10 7 N 2 10 2 r (2,3 x 10 m)

El signo menos significa que la fuerza entre estas partículas es atractiva tal como se muestra en la figura 25

Figura 25 Una membrana celular de 108 m de espesor tiene iones positivos a un lado e iones negativos al otro. ¿Cuál es la fuerza entre dos iones de carga +e y e a esta distancia? Solución 2.

La membrana celular representada en la figura 26 mostrando las capas de carga. Como la distancia entre los iones de carga q+ y q es de 108 m, la fuerza entre ellos es: 19 q q C ) (1,6 x10 19 C ) 9 2 2 (1,6 x 10 F k  (9 x 10 N ·m / C )  2,304 x 10 12 N 2 8 2 r (10 m)

Así como el problema anterior, la fuerza entre los iones a través de la membrana es atractiva.

Figura 26 3.

Una membrana plana y delgada separa una capa de iones positivos en el exterior de una célula de una capa de iones negativos en el interior de dicha célula. Si el campo eléctrico debido a estas cargas es 10 7 N/C, hallar la caga por unidad de área Q/A en las capas de cada lado de la membrana. Solución Usando la formula (3) del campo eléctrico entre dos placas uniformemente cargada, con +Q y Q, tenemos:

37

Q  0 E A Reemplazando E = 107 N/C y 0 = 8,85 x 1012 C2/N · m2, el resultado pedido es:

C Q   0 E  (8,85 x 10 12 C 2 / N · m 2 ) (10 7 N / C )  88,5 A m2 Así pues, 1 m2 de membrana tendrá una carga de +88,5 C en la superficie exterior y 88,5 C en la interior (Figura 27)

Figura 27 Una cierta fibra nerviosa (axón) es un cilindro de 104 m de diámetro y 0,1 m de longitud. Su interior está a un potencial de 0,09 V por debajo del fluido circundante y se halla separado de dicho fluido por una membrana delgada. Los iones de Na+ son transportados por una reacción química al exterior de la fibra a un ritmo de 3 x 1011 mol por segundo por cm2 de membrana celular. (a) Cuantos coulombs por hora se transportan fuera de la fibra. (b) ¿Cuánto trabajo se ha de realizar por hora contra las fuerzas eléctricas? Solución 4.

Figura 28 El diámetro del axón es d = 104 m, su longitud L = 0,1 m y la diferencia de potencial ente el interior y el exterior de la membrana V =  0,090 voltios. a) Como el flujo es:  

Q t A

tenemos:

Qt A donde A es el área del axón:

A  2  r L   d L   (10 4 m) (0,1m)  0,31416 m 2 y el flujo de iones por segundo y por centímetro cuadrado es:  = 3 x 1011 moles/cm2 = 1,807 x 1013 iones/cm2 puesto que 1 mol = 6,024 x 1023 iones.

Reemplazando datos en (22), la carga transportada en una hora es:

Q   t A  1,807 x 1013 iones / s ·cm 2 ) (3600 s) (0,31416 cm 2 )  2,044 x 1016 iones  3,27 x 10 3 C W (b) Como: V  , el trabajo por hora contra las fuerzas electrostáticas es: Q W  Q V  (3,27 x 10 3 C ) (0,09 V )  2,9 x 10 4 J

38 Una fibra nerviosa (axón) se puede considerar como un largo cilindro. Si su diámetro es de 10 5 m y su resistividad es 2  · m, ¿cuál es la resistencia de una fibra de 0,3 m de longitud? Solución 5.

El radio del axón es r = 0,5 x 10-5 m; A = 2  · m y L = 0,3 m. La resistencia eléctrica del axón se calcula con la formula:

R  A

L A

donde:

A   r 2   (0,5 x 10 5 m) 2  7,85 x10 11 m 2 Reemplazando datos y operando, tenemos:

R  A

  0,3 m L   7,64 x 10 9   (2  · m)  11 2  A  7,854 x 10 m 

Esta resistencia es enorme, es equivalente a la resistencia de 2,23 x 106 km d alambre de cobre de 8 x 105 m de diámetro. 6.

En la excitación del axón de un solo nervio intervienen corrientes iónicas a través de l membrana y en dirección longitudinal, en el interior del axón. Suponga que la resistividad del liquido interno del nervio, llamado axoplasma es de 40  · cm. (a) Halle la resistencia por unidad de longitud en el interior de un nervio de 16 m de diámetro. (b) Compre la resistencia de una sección de 10 cm de longitud de este nervio con al de un alambre de cobre del mismo diámetro y la misma longitud. Solución a) El rea de la sección transversal del axoplasma es:

A   r 2   (8 x10 6 m) 2  25,1 x10 12 m 2  2,51 x 10 6 cm 2 y su resistencia por unidad de longitud es:

40  · cm R A     19,9 x108 6 2 L A 2,51 x10 cm cm (b) La resistividad del cobre es Cu = 1.72 x 108  · m = 1,72 x 106  · cm y su resistencia por unidad de longitud es:

RCu  Cu 1,72 x 10 6  · cm     0,856 6 2 L A cm 2,51 x 10 cm Luego, la razón de las resistencias del axoplasma y del cobre son:

R A 19,9 x 10 6  / cm   2,325 x10 7 RCu 0,856  / cm La resistividad de los fluidos del cuerpo es aproximadamente unos 0,15  · m. Evaluar la resistencia de un dedo, de extremo a extremo, ignorando la resistencia de la piel. Solución 7.

Figura 29

39 Suponga que el dedo es un cilindro de radio r = 1 cm = 102 m y longitud L = 9 cm = 9 x 102 m. El área de la sección transversal del dedo es:

A   r 2   (10 2 m) 2  3,1416 x10 4 m 2 y su resistencia:

R

 9 x10 2 m)  L   43   (0,15  · m)  4 2  A  3,1416 x 10 m 

8.

Calcúlese la carga por micra cuadrada para cualquier membrana nerviosa. D su respuesta en numero de iones por micra cuadrada Solución La carga por unidad de superficie es igual a la diferencia de potencial a través de la membrana multiplicada por la capacidad eléctrica por unidad de área, es decir:

Qm  Cm V La capacidad por unidad de área para un axón sin mielina es C m = 102 F/m2 y la diferencia de potencial entre el interior y exterior de la célula es: V =  90 mV =  90 x 103 V

Figura 30 Luego, la carga por unidad de área es:

Qm  C m V  (90 x 10 3 V ) (10 2 F / m 2 )  90 x 10 5 C / m 2 Como la carga d cada ión es q = 1,6 x 10-19 C, el número de iones por metro cuadrado es:

Q 90 x10 5 C / m 2 n   56,25 x 1014 iones / m 2 19 q 1,6 x 10 C de donde:

  1   5,625 iones / m 2 n  (56,25 x1014 iones )  12 2   10 m  La membrana de un axón particular tiene 5 x 109 m de espesor. Hállese la rigidez dieléctrica de la membrana. Solución 9.

Figura 31 La rigidez dieléctrica es un campo eléctrico crítico bajo el cual se produce un gran numero de iones y electrones transformando al material en un buen conductor. Como d = 5 x 109 m y V = - 90 mV =  90 x 103 V, la rigidez dieléctrica es:

40

E

V 90 x 10 3 V V   18 x 10 6 9 d m 5 x10 m

Los iones del interior y exterior de una célula están separaos por una membrana plana de 10 3 m de espesor y de constante dieléctrica K = 8. Hallar la capacidad de 1 cm2 de membrana (figura 32) Solución 10.

(a)

(b) Figura 32

Considerando a la célula como un condensador de placas paralelas su capacidad se calcula con la fórmula:

C

K 0 A d

Reemplazando K = 8, A = 1 cm2 = 104 m2 y d = 108 m en la formula anterior, tenemos:

C

K  0 A (8) (8,85 x 10 12 C 2 / N · m 2 ) (10 4 m 2 )   0,708 F d 10 8 m

Un segmento de axón sin mielina tiene un radio de 2 m y una longitud de 1 cm. Hallar: (a) la capacidad de la membrana y, (b) la resistencia de la pérdida de la membrana. Solución 11.

El radio del axón es r = 2 m = 2 x 106 m y la longitud del segmento L = 1 cm = 102 m; para el axón sin mielina Cm = 102 F/m2 y Rm = 0,2  · m. a) La capacidad de la membrana es:

C  C m ( 2  r L)  (10 2 F / m 2 ) (2) ( ) (2 x 10 6 m) (10 2 m)  1,256 x 10 9 F b) La resistencia de perdida de la membrana es:

R* 

Rm 0,2  · m 2   1,59 x 10 6  6 2 2  r L 2  (2 x 10 m) (10 m)

Un segmento de axón con mielina tiene un radio de 2 m y una longitud de 1 cm. Hallar (a) la capacidad de la membrana y (b) la resistencia de perdida de la membrana Solución 12.

Para el axón con mielina Cm = 5 x 105 F/m2 y Rm = 40  · m2

C  C m ( 2  r L)  (5 x 10 2 F / m 2 ) (2) ( ) (2 x 10 6 m) (10 2 m)  6,28 x 10 12 F b) La resistencia de perdida es:

R* 

Rm 40  · m 2   3,18 x10 8  2  r L 2  (2 x 10 6 m) (10 2 m)

La membrana de un axón tiene 7,5 x 109 m de espesor. (a) En el estado de reposo, el potencial del axón vale  90 mV. ¿cuál es la dirección, sentido y módulo del campo eléctrico en la membrana? (b) Si la membrana tiene una capacidad de 0,01 F/m2, ¿cuál es su constante dieléctrica? Solución 13.

41

Figura 33 Datos: d = 7,5 x 109 m, V =  90 mV y C = 102 F/m2. a) Como la célula se considera como un condensador de placas paralelas, el módulo del campo eléctrico es:

E

90 x10 3 V V V   1,2 x 10 7 9 d m 7,5 x10 m

y está dirigido del exterior al interior de la célula como se muestra en la figura 33. b) La constante dieléctrica de la membrana se calcula despejando K de la fórmula (6):

K

dC 0 A

Luego, asumiendo que A = 1 m2 y reemplazando datos obtenemos:

dC (7,5 x 10 9 m) (10 2 F / m 2 ) K   8,48  0 A (8,85 x10 12 C 2 / N ·m 2 ) (1 m 2 ) 14.

Calcular el parámetro espacial de un axón de 0,2 m de radio si: (a) posee mielina, (b) no tiene mielina

15.

Una membrana tiene una diferencia de potencial de 90 mV ente sus dos lados- ¿Qué carga por metro cuadrado hay en cada lado si: (a) posee mielina, (b) no tiene mielina?

16.

Una axón con mielina tiene un parámetro espacial de 1 cm. Halle su radio.

17.

Un axón con mielina y un axón sin mielina tienen el mismo parámetro espacial. Evaluar la razón de sus radios.

18.

Hallar el radio de un axón sin mielina cuyo parámetro espacial s 2 x 104 m.

19.

Cuantos iones de potasio hay en el interior de un segmento de axón de 1 cm de longitud y 2 m de radio?

20.

¿Cuantos iones de sodio hay en un segmento de axón de 1 cm de longitud y 6 m de radio?

21.

El plasma sanguíneo es un fluido extracelular típico que contienen alrededor de 145 mmol/lt de iones Na + y 125 mmol/lt de iones Cl. Si el diámetro de la aorta es 1 cm y la sangre fluye a una velocidad de 30 cm/s, ¿cuál es la corriente eléctrica a través de la aorta debido a los iones de sodio?

22.

Durante la propagación de un potencial de acción, entran al nervio iones de sodio y salen iones de potasio. Como la fase de ascenso se debe a la entrada de iones de sodio, se puede demostrar que el número de iones que entran al axón es suficiente para producir cambios observables en el potencial de membrana. Para el axón gigante del a tibia, C = 1 F/cm2 y el cambio de potencial es 110 mV. Encuentre la entrada de sodio en mol/cm2 y compare su respuesta con un valor observado de 3 x 1012 mol/cm2.

23.

Si la pared de la célula fuese permeable a los iones orgánicos de carga negativa, A, de los fluidos celulares (Ce = 29 mol/m2, C1 = 163 mol/m2), ¿Cuál sería el potencial de Nerst debido a estos iones?

24.

Para el axón de loligo (calamar) Na+, Na+ = 1/9. Calcule el potencial de Nerst a 27 ºC para esta relación de concentraciones. Con base a lo estudiado, puede deberse el potencial observado a los iones de Na +? Si no es así, por qué?

25.

Supongamos que la concentración intracelular de Cl fuese 0,025 mol/lt. ¿Cuál sería la concentración extracelular si el potencial de Nernst dbido al Cl fuera de 72 mV?

42 26.

El transporte activo de sodio, debido al bombeo NaK se realiza a un ritmo de 3 x 107 mol/m2 · g. Para 1 m2 de membrana, hallar (a) la corriente en amperios debida a los iones de sodio, (b) la potencia consumida contra las fuerzas eléctricas si el potencial de reposo es 90 mV.

27.

La concentración de K+ en el interior de un axón es de 165 moles/m3 y en el exterior es de 8 moles/m3. (a) ¿Cuál es el potencial de equilibrio a 37 ºC? (b) ¿En qué sentido van los flujos de potasio debidos a la difusión y al campo eléctrico si el potencial del axón es de 90 mV? ¿Qué flujo será mayor?

28.

Evaluar el perímetro espacial del axón de la figura 36.

Figura 36 29.

Un axón con mielina de 3 m de radio es estimulado de tal forma que el potencial en x = 0 es 100 mV, que es 10 mV inferior al potencial de reposo. (a) ¿Cuál es el parámetro espacial? (b) Dibujar la grafica del potencial del axón en función de la distancia cuando el potencial ha llegado a su estado estacionario final.

30.

Un nervio con mielina cuyo parámetro espacial vale 0,5 cm se perturba en un punto donde su potencial se eleva desde su valor de reposo 90 mV hasta 80 mV. Hallar en el estado estacionario el potencial a: (a) 0,5 cm y (b) 1 cm, a partir de este punto.

31.

Hallar la velocidad de propagación de un potencial de acción y el tiempo necesario para que recorra 2 m en un nervio con mielina (a) de radio 1 m, (b) de radio 20 m.

32.

Un pulso nervioso puede recorrer un axón de 0,5 m de longitud en 0,05 s. ¿Cuál es su radio?

33.

En los nervios amielinico las corrientes iónicas de Na+ y K+ que acompañan la propagación de un potencial de acción, son aproximadamente como las que se muestran en la figura 38. En el medio de la región activa el factor más importante es el flujo d iones Na+ hacia el interior, el cual está acompañado por una disminución en la resistencia de la membrana desde 2000  · cm2 en el estado de reposo hasta cerca 5  · cm2 en el estado activo. Encuentre la corriente de iones Na+ que traviesa una sección de axón de 1 cm de longitud y radio de 25 m si durante el pico del impulso se produce un cambio total de potencial de 120 mV a través de la membrana. Exprese su respuesta en amperios/centímetro y en iones Na+/s · cm.

Figura 38 34.

Evaluar el número de axones en la columna vertebral humana si el axón medio tiene 10 m de diámetro y la columna vertebral tiene 1 cm de diámetro.

35.

Una axón de 1 m de longitud tiene nodos de Ranvier cada 103 m. ¿Cuántas veces se amplifica un pulso nervioso cuando se transmite a lo largo de este axón?

36.

Cuando un impulso nervioso llega a una unión sináptica con otro nervio, ocurre una reacción química que produce un retardo de tiempo (llamado retardo sináptico) de cerca de 2 ms. Estime el tiempo de reacción de una jirafa que tiene un cuello de 18 pies de longitud, cuando ve un cazador. Suponga que el impulso nervioso debe pasar a través de 3 sinápsis en su camino del cerebro al músculo de la pata.

37.

Se define la conductancia de la membrana m como 1/Rm y tiene unidades de ( · cm2)1. Considere una porción de axón de calamar d 1 cm de longitud con un diámetro de 0,5 mm. Halle los valores de RK y RNa, mostrados en la figura 41 para este nervio, si K = 12 x 103 ( · cm2)1 y Na = 9 x 103 ( · cm2)1

43

Figura 41 38.

Un metro cuadrado de membrana de axón tiene una resistencia de 0,2 . La membrana tiene un espesor de 7,5 x 109 m. (a) ¿Cuál es la resistividad de la membrana? (b) Supóngase que la resistencia de la membrana se debe a poros cilíndricos llenos de fluido que la atraviesan. Los poros tienen un radio de 3,5 x 1010 m y una longitud igual al espesor de la membrana, 7,5 x 109 m. El fluido de los poros tiene una resistividad de 0,15  · m y el resto de la membrana se supone un aislador perfecto. ¿Cuántos poros ha de haber para dar cuenta de la resistencia observada? (c) Si los poros forman una red cuadrada, ¿a qué distancia están los unos de los otros?

39.

Si un ión en un campo eléctrico E tiene una velocidad de arrastre v, entonces la “movilidad” del ión es  = v/E. (a) Demostrar que la resistividad de un fluido que contienen un solo tipo de iones es (q n )1, donde q es el valor de la carga de un ión y n es el número de iones por unidad de volumen. (b) Demostrar que si hubieran m tipos diferentes de iones en una disolución, la resistividad seria (q 1 n1 1 + q2 n2 2 + ……. + qm nm m)1.

40.

Utilizando la relación entre movilidad y resistividad y las concentraciones iónicas de la Tabla 1, evaluar las resistividades del axoplasma y del fluido interticial. Explicar las diferencias con los valores calculados para  y el valor de la Tabla 2. (Las movilidades del Na+, K+ y Cl son 5,2 x 103, 7,64 x 103 y 7,91 x 108 m2/V · s, respectivamente. Desprecie los efectos de otros iones)

41.

Un segmento de axón con mielina tiene 1 cm de longitud y 105 m d radio. Su capacidad vale 6 x 109 F y el potencial de reposo se debe a un exceso de iones positivos en el exterior de la membrana del axón y a un exceso igual de cargas negativas en su interior. (a) ¿Qué carga de exceso hay a cada lado? (b) Si estos excesos se deben a iones con una sola carga, ¿cuántos iones de exceso hay a cada lado? (c) Hallar la razón de este número de iones y el número total de iones negativos del interior del segmento.

42.

Un segmento de axón sin mielina de 1 cm de longitud tiene una capacidad de 3 x 10 9 F. (a) Si el potencial del axoplasma cambia de 90 mV a +40 mV, ¿cuánto cambia la carga de exceso a cada lado de la membrana? (b) Si este cambio se debe a un flujo entrante de iones Na+, ¿cuántos iones de sodio entran en el axón?

43.

Un segmento de axón sin mielina tiene 1 cm de longitud, 5 x 106 m de radio y 3 x 109 F de capacidad. (a) Si el potencial del axoplasma cambia desde +40 a 90 mV, ¿cuánto cambia la carga de exceso a cada lado de la membrana? (b) Si este cambio se debe a un flujo hacia afuera de iones de potasio, cuántos iones han de salir del segmento de axón? (c) Si la concentración original de potasio en el interior del axón es 155 mol/m 3, qué fracción de los iones potasio del interior del axón salen por la membrana?

El circuito análogo del axón de la figura 20 puede completarse añadiendo fem’s que simulen el potencial en reposo. Muestrese como se podrá conseguir. Solución 44.

Esto se consigue instalando una fem en serie con cada resistencia de perdida R’, tal como d representa en la figura 43.

Figura 43 45.

La ecuación de Goldman:

Vi  V0 

 C  C0 K ( PK / PNa )  kB T ln  0 Na  e  CiNa  CiK ( PK / PNa ) 

da la diferencia de potencial neto de equilibrio para un axón, donde PK/PNa es la razón de las permeabilidades de la membrana para el potasio y el sodio, las C son las concentraciones iónicas y e es la carga del protón.

44 Supóngase que T = 310 K. (a) Si el potencial de reposo es 90 mV, cuál es la razón de permeabilidades? (b) Un estímulo por encima del umbral modifica las permeabilidades de manera que el potencial salta a + 40 mV. ¿Cuál es la razón de permeabilidades? (c) Explicar hasta que punto es correcto utilizar las mismas concentraciones en las partes (a) y (b). 46.

Dibujar una grafica aproximada del potencial de equilibrio frente a la razón de permeabilidades utilizando la ecuación de Goldman dada en el problema 45. Solución La grafica e la ecuación de Goldman determinada para T = 310 K y las concentraciones dadas en la Tabla 2, se muestra en la figura 44

47.

Figura 44 Utilizando la ecuación de Goldman del problema 45, hallar el potencial de reposo de un axón si las concentraciones son las de la Tabla 2 y si la razón de permeabilidad ente el potasio y el sodio vale 100.

48.

El flujo total entrante de Na+ durante la transmisión de un solo pulso de potencial de acción de 4 x 104 moles por metro cuadrado de superficie activa de axón. (a) ¿Cuántos pulsos pueden transmitirse en un nervio sin mielina de 5 m de radio antes de que la concentración de Na+ en el interior del axón aumente en un 10 por ciento? (Despréciese los efectos del bombeo NaK). (b) ¿Cuántos pulsos se necesitan en un axón con mielina de 5 m de radio para aumentar la concentración de Na+ en un 10 por ciento? (Supóngase que la superficie activa es solo la de los nodos, que tienen 1 m de longitud y una separación entre ellos de 1 mm. Despréciese de nuevo los efectos del bombeo NaK).

49.

Los problemas del 49 al 53 tratan sobre la membrana eléctrica del axón gigante del calamar. Suponga que el espesor de la membrana es 7,5 x 109 m, l capacidad 1 F/cm2 = 102 F/m2 y la diferencia de potencial transmural 75 mV = 7,5 x 102 V (interior negativo de la membrana). Asumiendo que el campo eléctrico es uniforme y constante dentro de la membrana, ¿cuál es su magnitud y dirección?

50.

¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre un ión de sodio en la membrana debido al campo eléctrico calculado en el problema anterior?

51.

¿Cuánta carga por unidad de área almacenada por la membrana se debe l potencial de reposo? Calcular la respuesta en Colulombs por metro cuadrado y moles de iones univalentes por centímetro cuadrado?

52.

Un axón tiene 100 m d diámetro y 10 cm de longitud. Lo iones de sodio son transportados activamente fuera del axón a razón de 3 x 1011 moles/cm2 · s. ¿Cuánto trabajo debe hace por hora el mecanismo de transporte activo contra las fuerzas eléctricas solamente, para mantener los iones de sodio en la célula?

53.

La fórmula para la capacidad de un condensador de placas paralelas es C = K 0A/d, donde K es la constante dieléctrica del material aislante, A el área de las placas y d la separación entre ellas. ¿Cuál es la constante dieléctrica del material de la membrana, si la membrana considerada como el aislante es un condensador de lacas paralelas de 7,5 x 108 m de espesor que tiene una capacidad de 1 F/cm2? (respuesta: 9,5)

54.

La resistencia de 1 cm2 de membrana del axón de calamar es 1000  · cm2, uniforme y de 75 Ǻ de grosor. ¿Cuál es la resistividad especifica de la membrana?

55.

Suponga que la resistencia de la membrana del axón de calamar del problema 49 se debe a la presencia de huecos cilíndricos o poros de 0,7 x 109 m de diámetro y 75 Ǻ de largo (espesor de la membrana) en una membrana de material aislante perfecto y lleno con un fluido de 0,15  · cm2 de resistividad especifica (agua de mar). Si se aplica la ley de Ohm al fluido en los poros, ¿cuántos poros deben existir en 1 cm2 de la membrana para justificar una Rm de 1000  · cm2. ¿Qué distancia estarán separados los poros si están arreglados en un modelo cuadrado?

45 56.

Calcular la resistividad especifica en  · m de 0,15 M de una solución de NaCl cuando la movilidad de los iones de Na es 3,2 x 1011 m/s · N y los iones de Cl es 4,9 x 1011 m/s · N. (Respuesta: 0,53  · m)

57.

La resistencia de la membrana que recubre la unidad de longitud de una laga célula delgada de 1,25 x 105  · cm y la capacidad por unidad de longitud es 0,008 F/cm. La resistencia por unidad de longitud del citoplasma es 4,1 x 107  · cm. Calcular el parámetro espacial y la constante de tiempo de esta célula.

58.

Un célula cilíndrica delgada de 120 m de diámetro está recubierta por una membrana con resistencia especifica de 1000  · cm2 y con una constante de tiempo de 103 s. Si el citoplasma de está célula tiene una resistividad especifica de 1  · m. ¿Cuál es el parámetro espacial y la capacidad de la membrana por metro cuadrado de esta célula?

59.

La reobase de un músculo para un estimulo externo en miliamperios y la constante de tiempo promedio 30 milisegundos. Calcule y grafique varios puntos de la curva intensidadduración. Mida la cronaxia de la curva y compare con el valor de la cronaxia calculada = m ln 2

60.

(a) Si la membrana de la placa unicelular Chara tiene un coeficiente de permeabilidad para el glicerol de 2 x 106 cm/s. ¿Cuál es el movimiento de glicerol en moles por segundo a través de un área de 102 cm2 si existe una diferencia de concentración de 102 moles/lt a través de la membrana? (b) Calcular el movimiento neto de glicerol a través de una “membrana” hecha de agua de la misma area (102 cm2) y del mismo grosor (supuesto como 7,5 x 109 m) que los de la membrana de la Chara para el mismo gradiente de concentración, si la constante de difusión del glicerol (DG) en agua es 7,2 x 105 cm2/s.

61.

Calcular el potencial de equilibrio del ión hidrogeno a través de la membrana de una célula muscular si el pH del liquido intracelular es 7 y el pH del liquido extracelular es 7,4. Si el potencial transmural es 90 mV (interior negativo), ¿está equilibrado el ión hidrógeno? RT/F tiene el valor de 26,7 mV.

62.

En un experimento de voltaje fijado (voltaje camping), se encuentra que el pico de la conductancia de sodio (Na) que sigue a un cambio súbito en el potencial de membrana desde el nivel de reposo a un valor de 20 mV (interior negativo) es 5 x 102 mhos/cm2. ¿Cuál es la densidad de corriente del pico de sodio de acuerdo con este potencial de membrana si el potencial de equilibrio del sodio es 35 mV? ¿Cuál es la dirección de la corriente?

63.

Usando la ecuación

F 2 Z a2 Vm  ( S ) i e F Z a Vm / R T  (S ) 0  I a  PK   RT 1  e FZa Vm / R T  

(42)

para la corriente iónica como una función de V m y PK calcule el flujo neto de potasio. Considere que Ki = 155 mM/lt, K0 = 4 mM/lt; Vm = 90 mV (interior negativo), PK = 106 cm/s. 64.

Usando la ecuación de Goldman calcule el potencial de membrana para una célula muscular en la que Ki = 155 m mol/lt, Nai = 12 m mol/lt, K0 = 4 m mol/lt, Na0 = 145 m mol/lt y PK/PNa = 100.

65.

La corriente no circula espontáneamente a través de la membrana celular. Eso significa que tanto el líquido extracelular como el líquido intracelular son electivamente neutros. ¿Qué concentraciones (en m mol/lt) d iones orgánicos negativos son necesarios en las dos regiones para mantener la neutralidad?

66.

Use la información conocida de una célula típica y obtenga un valor para la constante dieléctrica de la membrana. ¿Es razonable su valor? (Para lípidos K = 3).

67.

Estime el número de iones de sodio que penetra a una célula típica durante el inicio del potencial e acción. ¿Qué fracción aumenta la concentración de iones Na+ intracelular durante el proceso?

68.

En la figura 54 de muestra un modelo simplificado de la corriente iónica en una membrana. E K = 75 mV, Na = 55 mV; i = 55 mV, e I1  I2 = 0,0778 mA. Halle las caídas de potencial a través de RK, RNa y Ri y los valores de I1 e I2.

46 Figura 54 69.

70.

Un circuito que representa un modelo de membrana es el que se muestra en la figura 55. Si se produce un impulso que sigue una ecuación: V (t )  V (0) (1  e t /  ) donde V(0) = 25 mV y  = 5 ms, calcular la corriente Im en función del tiempo, sabiendo que VK, VNa y Vd son, respectivamente, los potenciales en reposo del potasio, del sodio y de otros iones, respectivamente y que Rd = 3300  · cm2; RK = 30  · cm2 y RNa = 10  · cm2, siendo Cm = 5 x 102 F/cm2. Se consideran que las concentraciones de K, Na y otros iones son: Interior: Na+ = 15,

K+ = 150,

otros = 165

Exterior: Na+ = 145,

K+ = 5,

otros = 155

Refiriéndose a los potenciales de un electrocardiograma. (a) dado que VI = 0,5 V, VII = 0,7 mV y VF = 0,9 mV, encuentre VIII, VL y VR. (b) Demuestre que al conocer el voltaje en dos derivaciones cualesquiera, podemos determinar el tercero.

Figura 56