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• Franck Quispe Coripuna

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Estadística y Probabilidades Mg. Myrna Manco Caycho

1

ORIGEN DE LA PROBABILIDAD En el s. XVII los juegos de azar eran la principal diversión de la alta sociedad francesa. Antoine Gombard, Caballero De Meré, un experto jugador, planteó a Pascal dos problemas sobre apuestas. LA APUESTA INTERRUMPIDA.- Los jugadores A y B apuestan a cara o cruz, tirando una moneda. El jugador que llega primero a cinco puntos gana la apuesta. El juego se interrumpe en un momento en que A tiene 4 puntos y B tiene 3 puntos. ¿Cómo deben repartir la cantidad apostada para ser justos? 2

Pascal

PROBABILIDAD: DATOS HISTÓRICOS Jacob Bernoulli, Abraham de Moivre, el reverendo Thomas Bayes y Joseph Lagrange (1736 - 1813) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad.

Thomas Bayes (1702 – 1761) Abraham de Moivre (1667 – 1754)

3

Jacob Bernoulli (1654 – 1705)

PROBABILIDAD: DATOS HISTÓRICOS En el siglo XIX, Pierre Simon, marqués de Laplace (1749 1827), unificó todas estas primeras ideas y compiló la primera teoría general de la probabilidad

«Las preguntas más importantes de la vida, de hecho, no son en su mayoría más que problemas de probabilidad». 4

ENFOQUES DE PROBABILIDAD 1. la razón del número de resultados favorables del evento, al total de Clásico o “a priori” posibles resultados del experimento. Frecuencia relativa o “a posteriori”

2. proporción de veces que uno observaría el evento si repitiera el experimento muchas veces. Subjetiva

3. creencia que tenemos en que un evento ocurrirá 5

PROBABILIDAD CLÁSICA Dado un experimento aleatorio y Ω su espacio muestral asociado y A un evento de ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A, como:

n( A) P( A)  n()

(1)

donde n(A) - número de casos favorables al evento A n(Ω) - número de casos totales

6

PROBABILIDAD CLÁSICA – EJEMPLO

Sea

ε: Lanzar un dado.

Espacio muestral : Ω = { 1,2,3,4,5,6 }, Sea el evento B: Obtener un número par Hallar P(B)

n( B ) 3 P( B)   n() 6 7

PROBABILIDAD CLÁSICA – EJEMPLO

Sea ε: Lanzar un dado. Espacio muestral : Ω = { 1,2,3,4,5,6 }, Sea el evento C: Obtener un número mayor que 4 Hallar P(C)

8

Juego de dominó Se elige al azar una ficha de dominó. a) ¿Cuál es la probabilidad de haber elegido el cuatro doble? b) ¿Cuál es la probabilidad de haber elegido una ficha doble? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de la ficha sacada sea superior a 9? •Define dos sucesos posibles de este experimento. •Expresa la unión e intersección de los dos sucesos. 9

Ejercicios: Lanzamiento de dos dados 1. Se lanzan dos dados y se suman sus números, a) ¿Cuál es la probabilidad de obtenr una suma mayor que 10? b) ¿cuál es el número que tiene más posibilidades de salir? c) Sean los sucesos A: la suma de los puntos es impar y B: Por lo menos uno de los dos muestra un 1. Calcular p(AB) y p(AB) 2. Se lanzan dos dados. Sea A el suceso “la diferencia entre las puntuaciones obtenidas en los dados es 2”, y B el suceso “obtener, al menos, un seis”. Hallar la probabilidad de AB 3. Se lanza un dado dos veces. Calcular la probabilidad de que en la segunda tirada se obtenga un número menor que en la primera.

10

• Los accidentes en una empresa, que se dedica a la fabricación de Correas para Damas, se clasificaron de acuerdo con la zona del daño en: 1=Dedos 2=Ojos 3=Brazos 4=Piernas; A continuación se tiene una muestra con los siguientes resultados: •¿Cuál es la probabilidad que un trabajador tenga una lesión en los ojos? •¿Cuál es la probabilidad que tenga una lesión en los dedos? •¿Cuál es la probabilidad que tenga una lesión en brazos o piernas?

Zona de lesión Dedos

fi

Ojos

10

Brazos

16

Piernas

8

P(A)

6

Total

11

Fumadores e hipertensos • 2.76 En un experimento para estudiar la relación que existe entre el hábito de fumar y la hipertensión arterial se reúnen los siguientes datos para 180 individuos: No Fumadores

Fumadores moderados

Fumadores Empedernidos

Hipertensión

21

36

30

Sin Hipertensión

48

26

19

Si se selecciona uno de estos individuos al azar, calcule la probabilidad de que la persona… a) Sea hipertensa b) Sea una fumadora empedernida; b) no fume 12

¿Cuál es la probabilidad de que “The Legend of Zelda” sea el mejor juego E3 del 2016? Más de 40 videojuegos presentados en el E3 fueron evaluados por 30 especialistas de la industria en el Game Critics Awards Estos fueron los ganadores: 1) Mejor juego del show: The Legend of Zelda: Breath of the Wild (Wii U) 2) Mejor juego original: Horizon Zero Dawn (PS4) 3) Mejor juego de consola: The Legend of Zelda: Breath of the Wild (Wii U) 4) Mejor juego de realidad virtual: Batman: Arkham VR (PS4) Link: The Legend of Zelda http://elcomercio.pe/tecnologia/videojuegos/estos-fueron-mejores-juegos-e32016-segun-criticos-noticia-1915214

13

¿Cuál es la probabilidad de que el dólar llegue a 20 pesos? “Nosotros estimamos que ver al dólar en 20 pesos tiene un 80% de probabilidad de ser posible, pues la divisa nacional es muy sensible a la volatilidad, declaró Gabriela Siller, directora de análisis económico y financiero de Banco Base.” http://www.dineroenimagen.com/2016-06-27/74884 14

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD

En

1933 Kolmogorov, presentó la Definición Axiomática de la Probabilidad, en donde se define a la probabilidad como una función basada en tres axiomas.

15

PRIMER AXIOMA DE PROBABILIDAD

Sea Ω un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y A un evento, tal que A  Ω, entonces se cumple que 0  P(A)  1

P(A) ___________________________________ • -2 -1 0 1 2 16

SEGUNDO AXIOMA DE PROBABILIDAD La probabilidad del suceso seguro es uno. P(Ω) = 1 Ejemplo.Experimento.- Se lanza un dado Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces.

n( A) n() P( A)   1 n() n() 17

TERCER AXIOMA DE PROBABILIDAD

Sea Ω un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y sean A y B dos eventos tales que A  Ω, B  Ω y A  B = , es decir, dos eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A  B) = P(A) + P(B).

A

B

AB

18

TEOREMA 1: PROBABILIDAD DEL SUCESO IMPOSIBLE

Si  es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de  es igual a 0 N () P()  0 N () Ejemplos: A:Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto. B:Que aparezca un siete al lanzar un dado C:Que una persona viva 250 años En estos casos los eventos son vacíos

19

Teorema 2: Probabilidad complementaria Para un suceso A y su complementario Ac en el espacio muestral Ω:

A

A

c

P()  1 c P( A )  1  P( A) 20

Probabilidad de la Unión: Regla de la suma: Dados dos sucesos A y B en el espacio muestral: P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

A B

21

Ejercicios: Tercer axioma ε: Se lanzan dos monedas Ω = { ss, ,cc sc, cs} n(Ω) = 4 Sean: A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan dos sellos exactamente B: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un sello exactamente. Los elementos de A y B son A = { ss } B = {sc, cs} Ya habíamos visto que A y B son eventos mutuamente excluyentes o incompatibles, por tanto, aplicando el tercer axioma tenemos: P(A  B) = P(A) + P(B) 22

Continuación …

N ( A) 1 P( A)   N () 4 N ( B) 2 P( B)   N () 4 1 2 3 P( A  B)  P( A)  P ( B )    4 4 4

23

Sexo y situación laboral En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un economista estudia la situación de empleo, elige al azar una persona. Si la población total es de 8000 personas, ¿cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea : a) Mujer? b) Hombre y no tenga trabajo? c) Mujer y tenga trabajo? 24

Producción de artículos electrónicos • En una producción de artículos electrónicos, el 25% de los artículos presenta fallas de transistores, el 30% presenta fallas de fusibles y el 10% presenta ambas fallas. ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo elegido al azar de esa producción presente: a) Al menos una de las dos fallas? b) Falla de transistores pero no de fusibles?

25

Encuesta sobre consumo de carne En una encuesta de consumo realizada en un mercado se obtuvieron los siguientes resultados: El 24% compró carne de vacuno, el 25% compró pollo, el 16% carne de cordero, el 17% vacuno y pollo pero no cordero, el 3% vacuno y cordero pero no pollo, el 2% pollo y cordero pero no vacuno y el 1% compraron los tres tipos de carne. Si se selecciona al azar un consumidor, ¿cuál es la probabilidad: a) de que no haya comprado ninguno de los tres tipos de carne b) que haya comprado exactamente dos de los tres tipos de carne. 26

Fumadores e hipertensos • 2.76 Para estudiar la relación que existe entre el hábito de fumar y la hipertensión arterial se realiza un experimento obteniendo los siguientes datos: No Fumadores

Fumadores moderados

Fumadores Empedernidos

Hipertensión

21

36

30

Sin Hipertensión

48

26

19

Total

Total Si se selecciona uno de estos individuos al azar, calcule la probabilidad de que la persona… a) Sea hipertensa b) Sea hipertensa y fumadora empedernida c) Sea hipertensa o fumadora empedernida d) sufra hipertensión, dado que es una fumadora empedernida 27 b) no fume, dado que no padece hipertensión.

Probabilidad condicional • Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que pasa B: E espacio muestral

P( A  B) P( A | B)  P( B) 

A B

Error frecuentíiiiiiisimo: 

No confundir probabilidad condicionada con intersección.  En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…  

En P(A∩B) con respecto 28 a P(Ω)=1 En P(A|B) con respecto a P(B)

Intuir la probabilidad condicionada A

A

B

B

P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,10

P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,08

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0,8

P(A|B)=1 29

Intuir la probabilidad condicionada A

A

B B

P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,005

P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0

P(A|B)=0,05 30

Exprese las siguientes probabilidades … 2.73 Sean los eventos: R: convicto comete un robo a mano armada D: convicto venda drogas exprese en palabras lo que en probabilidades se indica como a) P(R|D) b) P(Dc|R) c) P(Rc|Dc) 31

EJERCICIO

Se tiene la información acerca de los cargos y el sexo del personal de cierta industria. Indique la probabilidad de que al seleccionar una persona este sea: a) Contador b) Abogada. c) Mujer dado que es abogada. Hay 21 varones y 26 mujeres,10 abogados y 15 abogadas, 5 contadores y 4 contadoras 6 ingenieros y 7 ingenieras. 32

Producción de artículos electrónicos • En una producción de artículos electrónicos, el 25% de los artículos presenta fallas de transistores, el 30% presenta fallas de fusibles y el 10% presenta ambas fallas. ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo elegido al azar de esa producción presente: a) Al menos una de las dos fallas? b) Falla de transistores pero no de fusibles? c) Falla de fusibles si no presenta falla en los transistores? d) Falla de transistores si presenta al menos un tipo de falla?. 33

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN Ya que (AB) = (BA) y despejamos a P(AB), se tiene que la probabilidad de la intersección es:

P( A  B) P( A / B)  P( B) P( B  A) P( B / A)  P( A) P( A  B)  P( A / B) P( B)  P( B/A ) P( A ) 34

Ejercicio • 2.84 La probabilidad de que el jefe de familia este en casa cuando llame el representante de marketing de una empresa es 0.4. Dado que el jefe de familia esta en casa, la probabilidad de que la empresa le venda un producto es 0.3. Encuentre la probabilidad de que el jefe de familia esté en casa y compre productos de la empresa. 35

EVENTOS INDEPENDIENTES Situación: Sea ε: Lanzar un dado, y si no sale 6, lanzar de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo lanzamiento? A: El primer lanzamiento es un 6. B: El segundo lanzamiento es un 6.

P( B / A)  P( B)

El hecho de que el primer lanzamiento no es un 6 no cambia la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea un 6.

36

EVENTOS INDEPENDIENTES Se dice que los eventos A y B son independientes si se cumple:

P( A / B)  P( A)

o

P( B / A)  P( B)

P( A  B)  P( A / B) P( B)  P( A) P( B) O

P( A  B)  P( B/A ) P( A )  P(B)P(A)

• Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno, no añade información sobre el otro. 37

Sistema eléctrico Un sistema eléctrico consta de cuatro componentes, como se ilustra en la siguiente figura. El sistema funciona si los componentes A y B funcionan, y si funciona cualquiera de los componentes C o D. La confiabilidad (probabilidad de que funcionen) de cada uno de los componentes también se muestra en la figura 2.9. Suponga que los cuatro componentes funcionan de manera independiente. Calcule la probabilidad de que el sistema completo funcione

38

A1

Partición de un espacio muestral Es una colección de sucesos A2

A1, A2, A3, A4… Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.

A1 A3

A4 Suceso seguro

A2 A3

También se le conoce como Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

A4 39

Divide y vencerás A2

A1

Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )

B

A3

A4

Suceso seguro

Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples.

40

A1

B

A2

B

A3

B

A4

B

Teorema de la probabilidad total A2

A1

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B. P(B|A1)

B P(A1)

A1 P(B|A2)

A3

A4

Suceso seguro

P(A2) P(A3)

P(A4) P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 ) =P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ … 41

A2 A3 A4

P(B|A3)

B B

B

P(B|A4) B

Ejemplo: En cierta aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%. T. Prob. Total. Hombres y mujeres forman una partición de un espacio muestral

0,1 Mujer

• ¿Qué porcentaje de fumadores hay en el aula?

0,7

Fuma

0,9 No fuma

Estudiante

– P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)

0,2

0,3

= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)

Fuma

Hombre

=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 0,8

= 0,13 =13%

No fuma 42

Teorema de Bayes A2

A1

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

B

A3

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

A4

P(B /Ai) P(Ai /B)  P(B)

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) 43

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

Ejemplo (II): En cierta aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. • ¿Qué porcentaje de fumadores hay? – P(F) = =0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13 • (Resuelto antes) 0,1

• Se elije a un individuo al azar y es… fumador 0,7 ¿Probabilidad de que sea un hombre?

Mujer

Fuma

0,9 No fuma

Estudiante

P( H  F ) P( H )  P( F | H ) P( H | F )    P( F ) P( F ) 0,3  0,2   0,46 0,13 44

0,2

0,3

Fuma

Hombre 0,8 No fuma

Pruebas diagnósticas: aplicación T. Bayes. Sensibilidad, verdaderos + P. a priori de enfermedad: incid., preval., intuición,…

T+

Enfermo Falsos -

T-

Individuo

Falsos + T+ Sano

Especificidad, Verdaderos 45

T-

EJERCICIO 1 • La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. • A) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente y haya sonado la alarma ? • B) En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente ?

EJERCICIO 2 Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad; Palacio del Sol, Sicomoros o Fiesta Inn, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente. a. Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio?, b. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que el no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Palacio del Sol?

EJERCICIO 3 Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?