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• Hugo Juan Donini

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BASES DE HORMIGÓN ARMADO Construidas con hormigones con f’c ≤ 30 MPa INTRODUCCIÓN 1.-

Generalidades

En nuestro medio es muy común la construcción de bases que tienen su parte superior en forma tronco-piramidal. Hasta la versión disponible al momento de la redacción de estos ejemplos (Diciembre de 2003), el Reglamento CIRSOC 201-2002 no contempla específicamente el análisis de secciones transversales de esta forma. Las hipótesis generales permiten el análisis en flexión y punzonamiento con comentarios menores. No ocurre lo mismo en el caso del corte. En particular se analizarán bases aisladas construidas con hormigones con f’c ≤ 30 MPa al sólo efecto de simplificar la secuencia de cálculo. La misma puede ser generalizada a otros hormigones con muy poco esfuerzo adicional. Estas notas, las expresiones y los ejemplos desarrollados están basados en columnas y bases hormigonadas “in situ”, construidas con hormigones de calidades similares y cubren los esquemas estructurales mostrados en la Figura 1.1.

Figura 1.1 La superficie de contacto de las bases se supone determinada en función de las recomendaciones dadas por el Estudio de Suelos. En lo que sigue, se supondrá que la base verifica adecuadamente los aspectos relacionados con seguridad del suelo frente a la rotura y a asentamientos absolutos y relativos admisibles como así también a los aspectos relacionados con la rigidez relativa suelo-base. Los criterios que se exponen arrojarán como resultado bases que no tendrán armaduras de corte ni de punzonamiento como así tampoco armadura comprimida por flexión (doble armadura).

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2.-

Condición Resistente

2.1.- Formato General Como en otros casos, el procedimiento consiste en identificar las secciones críticas para las diferentes solicitaciones y verificar que en ellas se cumpla: ≤

Solicitación calculada para cargas mayoradas

Resistencia Minorada

donde Resistencia Minorada = φ · Resistencia Nominal con φ = Coeficiente de Reducción de Resistencia

Flexión = 0,90 Punzonamiento = 0,75 Corte = 0,75

2.2.- Secciones Críticas Por brevedad se analiza una sola de las dos bases medianeras mostradas en la Figura 1.1 aunque luego se dan las expresiones de cálculo correspondientes a las dos. En todas las figuras las secciones críticas se indican en línea de puntos y las áreas rayadas representan la superficie de acción de reacciones del suelo a considerar en cada sección crítica. 2.2.1.- Flexión

(a)

(b)

(c)

Figura 2.2.1.1 Las secciones críticas para flexión son planos verticales que pasan por las caras de la columna (Figura 2.2.1.1). Se trata en definitiva de líneas de rotura que pasan tangentes a las caras de la columna. En los cálculos se introduce una simplificación que deja los resultados del lado seguro: se supone que la sección resistente es de ancho constante e igual al menor ancho de la sección transversal (Figura 2.2.1.2).

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Figura 2.2.1.2 2.2.2.- Corte

(a)

(b)

(c)

Figura 2.2.2.1 El CIRSOC 201-2002 indica que las secciones críticas para el corte, en las condiciones de carga de los elementos estructurales en estudio, se deben ubicar a una distancia “d” de las caras de las columnas (Figura 2.2.2.1) pero no contempla específicamente el análisis bajo solicitaciones de corte de secciones de ancho variable. Si bien una hipótesis conservadora podría consistir en tomar como ancho resistente el menor ancho de la sección, tal como se ha hecho al ver flexión, esta hipótesis resulta exageradamente conservadora y obligaría bien a proyectar bases con alturas innecesariamente grandes o bien a utilizar bases de ancho constante con la altura. Esta última solución es utilizada en otros lugares del mundo aunque no es la costumbre más difundida en nuestro medio. En la bibliografía se indica que en elementos sin armadura de alma, la resistencia al corte puede suponerse compuesta por: a)

El aporte de la zona de hormigón comprimido

b)

El efecto pasador de las armaduras de flexión (dowel action)

c)

El efecto de engranamiento de agregados en la zona fisurada (aggregate interlock)

Los ensayos que se han venido realizando en los últimos treinta años [Referencia (2)] muestran que el aporte de la zona comprimida, aún cerca de la rotura, representa solamente alrededor del 25% de la resistencia total al corte. Las secciones resistentes al corte mostradas en la Figura 1.1 presentan su menor ancho en la zona comprimida y anchos crecientes al aproximarse a las armaduras.

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En estos ejemplos se propone adoptar el siguiente criterio para evaluar la resistencia al corte: a)

b) Figura 2.2.2.2 Es decir:

Suponer que la resistencia al corte de la zona comprimida de hormigón está provista por un sector de ancho constante e igual al menor ancho de la sección. Suponer que el resto del corte está provisto por una sección con un ancho igual al ancho promedio entre el mínimo y el máximo que presenta la sección (Figura 2.2.2.2)

Vn = Vc = [0,25 · bmín + 0,75 · (bmáx + bmín) / 2 ] · d · f’c1/2 / 6 = Vn = (5 · bmín + 3 · bmáx) · d · f’c1/2 / 48

La expresión anterior: a) Subvalora ligeramente el aporte de la zona comprimida dado que ésta es de ancho variable y creciente con el aumento de la profundidad del eje neutro. b) Subestima el efecto de engranamiento de agregados pues el mismo es proporcional al área de la sección transversal y en la Figura 2.2.2.2 se observa que no toda la sección interviene en la expresión. c) Subestima el efecto pasador dado que el mismo tiene alguna relación con el ancho de la zona donde se encuentran las armaduras. d) No considera el efecto favorable de la inclinación de la resultante de compresiones que se produce por la pendiente que presenta la cara de la zapata. Aún sin contar con una expresión específica para este tipo de problemas, todo indicaría que la expresión anterior debería resultar segura para la verificación de este tipo de secciones. No existiendo aún indicaciones reglamentarias ni referencias bibliográficas más específicas, se propone este criterio simplificado para el cálculo de estas secciones. En los ejemplos la expresión toma un aspecto algo diferente por la adaptación de unidades. 2.2.3.- Punzonamiento El CIRSOC 201-2002 indica que, a los efectos del cálculo, los perímetros críticos pueden tomarse a una distancia no menor que d/2 del perímetro de las columnas. Se admite no redondear los perímetros críticos alrededor de las esquinas de las columnas. De esta forma, los perímetros críticos resultantes son los mostrados en la Figura 2.2.3.1.

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(a)

(b)

(c)

Figura 2.2.3.1 La carga efectiva de punzonamiento puede calcularse bien considerando la reacción del suelo que se encuentra por fuera del perímetro crítico o bien como la carga de la columna descontada de la reacción del suelo que se encuentra encerrada por el perímetro crítico. Las columnas medianeras y de esquina presentan una resultante de las tensiones de contacto en el terreno que no se encuentra alineada con el eje de la columna. En estas condiciones se hace necesario transferir un momento entre la base y la columna. El CIRSOC 201-2002 indica dos caminos a seguir cuando actúan momentos. El más sencillo consiste en limitar la capacidad resistente al punzonamiento al 75% del aporte del hormigón para el caso en que no actúen momentos para bases medianeras y al 50% para bases de esquina. El segundo camino trata el tema mediante un análisis de distribución de tensiones similar al visto en Resistencia de Materiales para el tratamiento de la flexión compuesta. Este segundo enfoque es extremadamente laborioso por lo que aquí se ha adoptado el primero de ellos. El valor de “Vc” se calcula utilizando las siguientes expresiones:

Vc ≤

 2  f 'c ⋅ b0 ⋅ d  ⋅ Vc =  1 + 6  βc  α ⋅d  f' ⋅ b ⋅ d Vc =  s + 2  ⋅ c 0 12  b0  Vc =

f 'c ⋅ b0 ⋅ d 3

La primera de estas expresiones es de aplicación cuando βc > 2 mientras que la última es válida cuando βc ≤ 2

donde βc : αs : bo : d: f 'c :

Relación entre el lado mayor y el lado menor de la columna. 40 para bases centradas 30 para bases medianeras 20 para bases de esquina Perímetro de la Sección Crítica, en mm Altura Útil en la Sección Crítica, en mm f’c en MPa, el resultado de la raíz en MPa

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En los cálculos se utilizará la altura media entre las correspondientes a cada una de las armaduras principales. En los ejemplos las expresiones anteriores toman un aspecto algo diferente por la adaptación de unidades y el ordenamiento de los cálculos. 2.2.4.- Anclajes Las secciones críticas para el desarrollo de las longitudes de anclaje son las vistas para flexión. En bases es común mantener el 100% de la armadura hasta los bordes libres y además utilizar ganchos normales. 3.-

Cuantía Mínima y Máxima de Flexión

La armadura mínima debería ser capaz de resistir adecuadamente un momento igual a 1,2 veces el momento de fisuración. En secciones no rectangulares esto conduce a un cálculo bastante engorroso. En el CIRSOC 201-2002 está contemplado el caso de los voladizos con el ala traccionada. Tratándose de una situación bastante similar, se ha adoptado este criterio para la adopción de la cuantía mínima en bases. El procedimiento es muy sencillo dado que se trata de aplicar las expresiones de cuantía mínima a un ancho de alma igual a dos veces el ancho de la zona comprimida. Para evitar la realización de cálculos intermedios la cuantía mínima se expresa en términos de momentos reducidos: Para voladizos con alas traccionadas y f’c ≤ 30 MPa:

As mín ≥ 2 · 1,4 · bw · d / fy

Llamando “a” a la profundidad del eje neutro de tensiones y “ka” a: ka = a / d amín = As mín · fy / (0,85 · f’c · bw) ⇒ ka mín = 2,8 / (0,85 · f’c) En los ejemplos de flexión se vio que: mn = Mn / (0,85 · f’c · bw · d2) = ka · (1 – ka /2) Por lo tanto corresponderá adoptar cuantía mínima siempre que se verifique: mn ≤ mn mín = ka mín · (1 – ka mín /2) Cabría una verificación adicional para el caso poco frecuente en que el lado de la base resulte menor que dos veces el ancho de la parte superior de la misma. En ese caso habría que tomar la cuantía mínima referida al lado de la base. La cuantía máxima se calcula en base a una deformación máxima del hormigón comprimido de 0,003 y a una deformación mínima del acero traccionado de 0,005. En estas circunstancias el coeficiente de minoración de resistencia valdrá siempre 0,90. Para evitar la realización de cálculos intermedios la cuantía máxima se expresa en términos de momentos reducidos “mn”. En los ejemplos de flexión se vio que, para las condiciones de deformación anteriores se tiene que: 0,003 / c = 0,005 / (d – c) ⇒ c = 0,375 · d ⇒ a = β1 · c = 0,85 · 0,375 · d

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Operando se llega a que, para hormigones con f’c ≤ 30 MPa será necesario disponer armadura de compresión (doble armadura) cuando: mn ≥ 0,268 En los ejemplos se evita esta situación pues conduce a soluciones poco económicas a bases muy flexibles (poca altura) que difícilmente verificarán las condiciones de corte y punzonamiento. 4.-

Predimensionamiento

Los textos de origen norteamericano suelen predimensionar la altura de las bases teniendo en cuenta las condiciones de punzonamiento. Cabe recordar que en esos casos se trata de bases de ancho constante con la altura. En el caso de bases de ancho variable estas expresiones con frecuencia no son válidas. En los ejemplos que siguen se propone predimensionar de modo de obtener cuantías de armaduras de flexión superiores a las mínimas pero suficientemente bajas como para que las bases tengan una razonable rigidez y que las alturas no estén exageradamente alejadas de las necesarias por corte y punzonamiento para evitar un número muy grande de iteraciones. Las expresiones propuestas son las siguientes: dx ≈ [65 · Mnx / (by · f’c)]1/2 dy ≈ [65 · Mny / (bx · f’c)]1/2

donde

(en cm) (en cm)

Momentos Nominales en kNcm Anchos de cálculo en cm f’c en MPa El factor “65” que figura en las expresiones anteriores surge de haber adoptado un ka ≅ 0,2 , sin embargo podrá ser adaptado por cada proyectista según su propia experiencia. Las expresiones para el cálculo de los momentos solicitantes se encuentran en la Tabla 2. 5.-

Unidades

Para utilizar las unidades que siguen algunas de las expresiones del reglamento han tenido que ser adaptadas. f’c , fy Lx , Ly , h , d , ..... Asx , Asy Pu , Pn

(resistencias) (dimensiones lineales) (áreas de armaduras) (cargas)

MPa cm cm2 KN

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6.-

Secuencia de Cálculo

a)

Determinar las dimensiones en planta de la base de acuerdo con los datos del Estudio de Suelos.

b)

Son datos del problema: Pu = carga de la columna calculada para cargas mayoradas Lados de la columna y Lados de la base

c)

d) e)

Calcular: βc = lado mayor columna / lado menor columna ; αs ; Y ; bx ; by ; bwx ; bwy ; kx ; ky ; ka mín ; mn mín qu = tensión ficticia de contacto para Pu , qu = Pu / (L× · Ly) Calcular los momentos flectores en el borde de la columna: Mux y Muy (ambos en kNcm)

(kN) (ambos en cm) (Tabla 1) (Tabla 2) (en kN/cm2) (Tabla 2)

Predimensionar la altura total de la base para obtener cuantías razonables de flexión: (en cm) dx ≈ [65 · Mnx / (by · f’c)]1/2 1/2 dy ≈ [65 · Mny / (bx · f’c)] (en cm) Altura total mínima = rec. mín + db armadura x + db armadura y + 15 cm ≈ 23 cm

f)

Adoptar alturas útiles para las verificaciones de punzonamiento (dmedio) y corte (dx y dy).

g)

Verificar si la altura adoptada proporciona una seguridad adecuada al punzonamiento: Pu – qu · Ao ≤ 0,75 · Y · F · bo · d · f’c1/2 / 120 (en kN) Ao = área de la base encerrada por el perímetro crítico en cm2 (Tabla 1) (Tabla 1) bo = perímetro crítico en cm F = mínimo entre F1 y F2 donde, para todos los casos: y F1 = 4 si βc ≤ 2 o F1 = (2 + 4 / βc) si βc > 2 F2 = (αs · d / bo + 2)

h)

Si la altura resulta insuficiente para proveer una resistencia adecuada al punzonamiento, se incrementa la altura y se repiten los cálculos del punto anterior. Si resulta suficiente se pasa al paso siguiente.

g)

Verificar si la altura adoptada proporciona una seguridad adecuada al corte en ambas direcciones: Vux = qu · Ly · (kx – d) ≤ 0,75 · bwy · dx · f’c1/2 / 60 (en kN) 1/2 (en kN) Vuy = qu · Lx · (ky – d) ≤ 0,75 · bwx · dy · f’c / 60

i)

Si la altura resulta insuficiente para proveer una resistencia adecuada al corte, se incrementa la altura y se repiten los cálculos del punto anterior. Si resulta suficiente se pasa al paso siguiente.

j)

Dimensionamiento de las armaduras de flexión

(Tabla 2)

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Centrada 40 1 cx + 5 cm (*) cy + 5 cm (*)

Medianera (a) Medianera (b) Esquina 30 30 20 αs Y 0,75 0,75 0,50 bx (cm) cx + 2,5 cm (*) cx + 5 cm (*) cx + 2,5 cm (*) by (cm) cy + 5 cm (*) cy + 2,5 cm (*) cy + 2,5 cm (*) bwx (cm) (5 · bx + 3 · Lx) / 8 bwy (cm) (5 · by + 3 · Ly) / 8 kx (cm) (Lx – cx) / 2 Lx – cx (Lx – cx) / 2 Lx – cx ky (cm) (Ly – cy) / 2 (Ly – cy) / 2 Ly – cy Ly – cy bo (cm) 2 · (cx + cy) + 4 · d 2 · cx + cy + 2 · d cx + 2 · cy + 2 · d cx + cy + d 2 Ao (cm ) (cx + d) (cy + d) (cx + d/2) (cy + d) (cx + d) (cy + d/2) (cx + d/2) (cy + d/2) (*) Los valores 2,5 y 5 cm no son reglamentarios y dependen de cada Proyectista Tabla 1 ka mín = 2,8 / (0,85 · f’c) Cuantía Mínima Voladizos Si en cualquier caso mn ≤ mn mín = ka mín · (1 – ka mín / 2) adoptar: As mín = 2,8 · b · d / fy y A’s = 0 Muy = qu · Lx · ky2 / 2 Momento Solicitante Mux = qu · Ly · kx2 / 2 Mny = Muy / 0,90 Momento Nominal Necesario Mnx = Mux / 0,90 2 2 Momento reducido mnx = 10 Mnx / (0,85 by d f’c) mny = 10 Mny / (0,85 bx d f’c) Si en cualquier caso mn > 0,268 correspondería adoptar doble armadura, situación que no se contempla en esta secuencia de cálculo recomendándose aumentar la altura por resultar una solución más racional zx = dx [ 1 + ( 1 – 2 mnx)1/2 ] / 2 zy = dy [ 1 + ( 1 – 2 mny)1/2 ] / 2 Calculo de Armaduras Asx = 10 · Mnx / (zx · fy) Asy = 10 · Mny / (zy · fy) Totales de Flexión A’s = 0 A’s = 0 Adoptar la altura del talón de la base para respetar recubrimientos reglamentarios (≈ 23 a 25 cm) y pendiente del hormigón fresco (≈ h – voladizo mínimo) adoptando el mayor valor entre ambos Distribución de las Armaduras de Flexión L = lado mayor base ; B = lado menor base ; β = L / B * Armadura paralela al lado mayor: Se distribuye en forma uniforme * Armadura paralela al lado menor: Se divide en tres fajas - Faja Central de ancho B centrada con la Columna: Se distribuye en forma uniforme una armadura igual a 2 / (β + 1) de la armadura total - Fajas Laterales de ancho (L – B)/ 2 : se distribuye en forma uniforme el resto de la armadura * La separación entre armaduras debe ser menor que el menor entre: - 2,5 veces el espesor total de la base ; 25 veces el diámetro menor de la armadura ; 30 cm Tabla 2

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EJEMPLOS BASES DE HORMIGÓN ARMADO EJEMPLO 1 Enunciado: Proyectar una base centrada de la que se conocen los siguientes datos: f’c = 25 MPa ; fy = 420 MPa ; Pu = 1400 kN cx = 30 cm ; cy = 25 cm ; Lx = Ly = 225 cm cc = 5 cm ; αs = 40 ; Y = 1 Resolución: a)

Valores Intermedios βc = cx / cy = 30 / 25 = 1,20 bx = cx + 5 cm = 30 + 5 = 35 cm by = cy + 5 cm = 25 + 5 = 30 cm bwx = (5 · bx + 3 · Lx) / 8 = (5 · 35 + 3 · 225) / 8 = 106,3 cm bwy = (5 · by + 3 · Ly) / 8 = (5 · 30 + 3 · 225) / 8 = 103,1 cm kx = (Lx – cx) / 2 = (225 – 30) / 2 = 97,5 cm ky = (Ly – cy) / 2 = (225 – 25) / 2 = 100 cm ka mín = 2,8 / (0,85 · f’c) = 0,132 mn mín = ka mín · (1 – ka mín / 2) = 0,123 qu = Pu / (L× · Ly) = 0,0277 kN/cm2 Mux = qu · Ly · kx2 / 2 = 0,0277 kN/cm2 · 225 cm · 97,52 cm2 / 2 = 29575 kNcm Muy = qu · Lx · ky2 / 2 = 0,0277 kN/cm2 · 225 cm · 100,02 cm2 / 2 = 31111 kNcm Mnx = Mux / 0,90 = 32861 kNcm Mny = Muy / 0,90 = 34568 kNcm

b)

Predimensionamiento de la Altura por Flexión dx ≈ [65 · Mnx / (by · f’c)]1/2 = [65 · 32861 kNcm / (30 cm · 25 MPa)]1/2 = 53 cm dy ≈ [65 · Mny / (bx · f’c)]1/2 = [65 · 31111 kNcm / (35 cm · 25 MPa)]1/2 = 51 cm Se adopta: Para punzonamiento: d = 52 cm Para corte: dx = 52,5 cm ; dy = 51,5 cm

c)

Verificación de la Altura por Punzonamiento bo = 2 · (cx + cy) + 4 · d = 2 · (30 + 25) + 4 · 52 = 318 cm Ao = (cx + d) · (cy + d) = (30 + 52) · (25 + 52) = 6314 cm2 Como βc ≤ 2 ⇒ F1 = 4 F2 = (αs · d / bo + 2) = (40 · 52 / 318 + 2) = 8,54 ⇒ F = mínimo(F1 ; F2) = 4 se debe verificar que:

Pu – qu · Ao ≤ 0,75 · Y · F · bo · d · f’c1/2 / 120

Pu – qu · Ao = 1400kN – 0,0277 kN/m2 · 6314 cm2 = 1225 kN 0,75 · Y · F · bo · d · f’c1/2 / 120 = 0,75 · 1 · 4 · 318 · 52 · 251/2 / 120 = 2067 kN

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Por lo tanto verifica a punzonamiento. d)

Verificación de la Altura por Corte se debe verificar que:

Vux ≤ 0,75 · bwy · dx · f’c1/2 / 60 Vuy ≤ 0,75 · bwx · dy · f’c1/2 / 60

Vux = qu · Ly · (kx – dx) = 0,0277 kN/cm2 · 225 cm · (97,5 – 52,5) = 280 kN 0,75 · bwy · dx · f’c1/2 / 60 = = 0,75 · 103,1 cm · 52,5 cm ·251/2 / 60 = 338 kN

⇒ verifica

Vuy = qu · Lx · (ky – dy) = 0,0277 kN/cm2 · 225 cm · (100 – 51,5) = 302 kN 0,75 · bwx · dy · f’c1/2 / 60 = = 0,75 · 106,3 cm · 51,5 cm · 251/2 / 60 = 342 kN

⇒ verifica

Por lo tanto verifica al corte en ambas direcciones. e)

Cálculo de las Armaduras de Flexión Suponiendo que db = 10 mm, se adopta una altura total: h = dmáx + db / 2 + cc = 52,5 + 0,5 + 5 ≈ 60 cm Se adopta: dx = 54,5 cm ; dy = 53,5 cm mnx = 10 · Mnx / (0,85 · by · dx2 · f’c) mnx = 10 · 32861 / (0,85 · 30 cm · 54,52 cm2 · 25 MPa) = 0,17354 mny = 10 · Mny / (0,85 · bx · dy2 · f’c) mny = 10 · 34568 / (0,85 · 35 cm · 53,52 cm2 · 25 MPa) = 0,16238 Ambos momentos reducidos son mayores que el mínimo y menores que el máximo zx = dx · [ 1 + (1 – 2 · mnx)1/2 ] / 2 = 54,5 cm · [1 + (1 – 2 · 0,17354)1/2] / 2 = 49,3 cm zy = dy · [ 1 + (1 – 2 · mny)1/2 ] / 2 = 53,5 cm · [1 + (1 – 2 · 0,16238)1/2] / 2 = 48,7 cm Asx = 10 · Mnx / (zx · fy) = 10 · 32861 kNcm / (49,3 cm · 420 MPa) = 15,87 cm2 Asy = 10 · Mny / (zy · fy) = 10 · 34568 kNcm / (48,7 cm · 420 MPa) = 16,90 cm2

f)

Adopción y Distribución de la Armadura de Flexión Por tratarse de una base cuadrada se adopta armadura uniformemente distribuida en ambas direcciones. Asx = db 12 c / 16 cm Asy = db 12 c / 15 cm

(1,13 cm2 · 225 cm / 16 cm = 15,89 cm2 ) (1,13 cm2 · 225 cm / 15 cm = 16,95 cm2 )

La separación entre armaduras debe ser menor que: - 2,5 veces el espesor total de la base = 2,5 · 60 = 150 cm

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- 25 veces el diámetro menor de la armadura = 25 · 1,2 cm = 30 cm - 30 cm g)

Talón de la Base El talón de la base debe tener una altura mayor o igual que: - h – kmín = 60 cm – 97,5 cm menor que cero - cc + dbx + dby + 15 cm = 5 cm + 1,2 cm + 1,2 cm + 15 cm = 22 cm Se adopta un talón de 25 cm.

EJEMPLO 2 Enunciado: Proyectar una base medianera tipo a) de la que se conocen los siguientes datos: f’c = 25 MPa ; fy = 420 MPa ; Pu = 420 kN cx = 30 cm ; cy = 25 cm ; Lx = 90 cm ; Ly = 180 cm cc = 5 cm ; αs = 30 ; Y = 0,75 Resolución: a)

Valores Intermedios βc = cx / cy = 30 / 25 = 1,20 bx = cx + 2,5 cm = 30 + 2,5 = 32,5 cm by = cy + 2,5 cm = 25 + 5 = 30 cm bwx = (5 · bx + 3 · Lx) / 8 = (5 · 32,5 + 3 · 90) / 8 = 54,1 cm bwy = (5 · by + 3 · Ly) / 8 = (5 · 30 + 3 · 180) / 8 = 86,3 cm kx = Lx – cx = 90 – 30 = 60,0 cm ky = (Ly – cy) / 2 = (180 – 25) / 2 = 77,5 cm ka mín = 2,8 / (0,85 · f’c) = 0,132 mn mín = ka mín · (1 – ka mín / 2) = 0,123 qu = Pu / (L× · Ly) = 0,0259 kN/cm2 Mux = qu · Ly · kx2 / 2 = 0,0259 kN/cm2 · 180 cm · 60,02 cm2 / 2 = 8400 kNcm Muy = qu · Lx · ky2 / 2 = 0,0259 kN/cm2 · 90 cm · 77,52 cm2 / 2 = 7007 kNcm Mnx = Mux / 0,90 = 9333 kNcm Mny = Muy / 0,90 = 7786 kNcm

b)

Predimensionamiento de la Altura por Flexión dx ≈ [65 · Mnx / (by · f’c)]1/2 = [65 · 9333 kNcm / (30 cm · 25 MPa)]1/2 = 28,4 cm dy ≈ [65 · Mny / (bx · f’c)]1/2 = [65 · 7786 kNcm / (32,5 cm · 25 MPa)]1/2 = 25,0 cm Se adopta: Para punzonamiento: d = 28 cm Para corte: dx = 28,5 cm ; dy = 27,5 cm

c)

Verificación de la Altura por Punzonamiento bo = 2 · cx + cy + 2 · d = 2 · 30 + 25 + 2 · 28 = 141 cm

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Ao = (cx + d/2) · (cy + d) = (30 + 28/2) · (25 + 28) = 2332 cm2 Como βc ≤ 2 ⇒ F1 = 4 F2 = (αs · d / bo + 2) = (30 · 28 / 141 + 2) = 7,96 ⇒ F = mínimo(F1 ; F2) = 4 se debe verificar que: Pu – qu · Ao ≤ 0,75 · Y · F · bo · d · f’c1/2 / 120 Pu – qu · Ao = 420 kN – 0,0259 kN/m2 · 2332 cm2 = 360 kN 0,75 · Y · F · bo · d · f’c1/2 / 120 = 0,75 · 0,75 · 4 · 141 · 28 · 251/2 / 120 = 370 kN Por lo tanto verifica a punzonamiento. d)

Verificación de la Altura por Corte se debe verificar que:

Vux ≤ 0,75 · bwy · dx · f’c1/2 / 60 Vuy ≤ 0,75 · bwx · dy · f’c1/2 / 60

Vux = qu · Ly · (kx – dx) = 0,0259 kN/cm2 · 180 cm · (60 – 28,5) = 147 kN 0,75 · bwy · dx · f’c1/2 / 60 = = 0,75 · 86,3 cm · 28,5 cm · 251/2 / 60 = 154 kN

⇒ verifica

Vuy = qu · Lx · (ky – dy) = 0,0259 kN/cm2 · 90 cm · (77,5 – 27,5) = 117kN 0,75 · bwx · dy · f’c1/2 / 60 = = 0,75 · 54,1 cm · 27,5 cm · 251/2 / 60 = 93 kN Iterando se llega a que el corte verifica para e)

⇒ no verifica dy = 31,7 cm

Cálculo de las Armaduras de Flexión Suponiendo que db = 10 mm, se adopta una altura total: h = dmáx + db / 2 + cc = 31,7 + 0,5 + 5 ≈ 38 cm Se adopta: dx = 31,5 cm ; dy = 32,5 cm mnx = 10 · Mnx / (0,85 · by · dx2 · f’c) mnx = 10 · 9333 / (0,85 · 30 cm · 31,52 cm2 · 25 MPa) = 0,1475 mny = 10 · Mny / (0,85 · bx · dy2 · f’c) mny = 10 · 7786 / (0,85 · 32,5 cm · 32,52 cm2 · 25 MPa) = 0,1067 mnx es mayor que el mínimo y menor que el máximo; mny es menor que el mínimo zx = dx · [1 + (1 – 2 · mnx)1/2 ] / 2 = 31,5 cm · [1 + (1 – 2 · 0,1475)1/2 ] / 2 = 29 cm Asx = 10 · Mnx / (zx · fy) = 10 · 9333 kNcm / (29 cm · 420 MPa) = 7,67 cm2 Asy = As mín = 2,8 · bx · dy / fy = 2,8 · 32,5 cm · 32,5 cm / 420 MPa = 7,04 cm2

f)

Adopción y Distribución de la Armadura de Flexión

Bases de Hormigón Armado – Proyecto de Reglamento CIRSOC 201.- 14

Por tratarse de una base rectangular se adopta armadura uniformemente distribuida en la dirección “y” mientras que la armadura según “x” se concentra en una banda central de 90 cm de ancho centrada con la columna. La armadura a disponer en esa banda será: siendo:

L = Ly = 180 cm ; B = Lx = 90 cm ; β = L / B = 2

Asx central = 2 · Asx / (β +1) = 2 · 7,67 cm2 / 3 = 5,11 cm2 Asx cada lateral = (7,67 – 5,11) / 2 = 1,28 cm2 Asy = db12 c / 14

(db12 c / 19) (db10 c / 25)

La separación entre armaduras debe ser menor que: - 2,5 veces el espesor total de la base = 2,5 · 38 = 95 cm - 25 veces el diámetro menor de la armadura = 25 · 1,0 cm = 25 cm - 30 cm g)

Talón de la Base El talón de la base debe tener una altura mayor o igual que: - h – kmín = 38 cm – 60 cm menor que cero - cc + dbx + dby + 15 cm = 5 cm + 1,2 cm + 1,2 cm + 15 cm = 22,4 cm Se adopta un talón de 25 cm.

EJEMPLO 3 Enunciado: Proyectar una base de esquina de la que se conocen los siguientes datos: f’c = 25 MPa ; fy = 420 MPa ; Pu = 240 kN cx = 30 cm ; cy = 25 cm ; Lx = 105 cm ; Ly = 110 cm cc = 5 cm ; αs = 20 ; Y = 0,50 Resolución: a)

Valores Intermedios βc = cx / cy = 30 / 25 = 1,20 bx = cx + 2,5 cm = 30 + 2,5 = 32,5 cm by = cy + 2,5 cm = 25 + 2,5 = 27,5 cm bwx = (5 · bx + 3 · Lx) / 8 = (5 · 32,5 + 3 · 105) / 8 = 59,7 cm bwy = (5 · by + 3 · Ly) / 8 = (5 · 27,5 + 3 · 110) / 8 = 58,4 cm kx = Lx – cx = 105 – 30 = 75 cm ky = Ly – cy = 110 – 25 = 85 cm ka mín = 2,8 / (0,85 · f’c) = 0,132 mn mín = ka mín · (1 – ka mín / 2) = 0,123 qu = Pu / (L× · Ly) = 0,0208 kN/cm2 Mux = qu · Ly · kx2 / 2 = 0,0208 kN/cm2 · 110 cm · 752 cm2 / 2 = 6429 kNcm Muy = qu · Lx · ky2 / 2 = 0,0208 kN/cm2 · 105 cm · 852 cm2 / 2 = 7882 kNcm Mnx = Mux / 0,90 = 7143 kNcm Bases de Hormigón Armado – Proyecto de Reglamento CIRSOC 201.- 15

Mny = Muy / 0,90 = 8758 kNcm b)

Predimensionamiento de la Altura por Flexión dx ≈ [65 · Mnx / (by · f’c)]1/2 = [65 · 7143 kNcm / (27,5 cm · 25 MPa)]1/2 = 26,0 cm dy ≈ [65 · Mny / (bx · f’c)]1/2 = [65 · 8758 kNcm / (32,5 cm · 25 MPa)]1/2 = 26,5cm Se adopta: Para punzonamiento: d = 26 cm Para corte: dx = 25,5 cm ; dy = 26,5 cm

c)

Verificación de la Altura por Punzonamiento bo = cx + cy + d = 30 + 25 + 26 = 81 cm Ao = (cx + d/2) · (cy + d/2) = (30 + 26/2) · (25 + 26/2) = 1634 cm2 Como βc ≤ 2 ⇒ F1 = 4 F2 = (αs · d / bo + 2) = (20 · 26 / 81 + 2) = 8,42 ⇒ F = mínimo(F1 ; F2) = 4 se debe verificar que:

Pu – qu · Ao ≤ 0,75 · Y · F · bo · d · f’c1/2 / 120

Pu – qu · Ao = 240 kN – 0,0208 kN/m2 · 1634 cm2 = 206 kN 0,75 · Y · F · bo · d · f’c1/2 / 120 = 0,75 · 0,50 · 4 · 81 · 26 · 251/2 / 120 = 132 kN Por lo tanto no verifica a punzonamiento. Iterando se llega a que el punzonamiento verifica para d = 35,2 cm Para las verificaciones a corte se utilizará: dx = 35,0 cm ; dy = 36,0 cm d)

Verificación de la Altura por Corte se debe verificar que:

Vux ≤ 0,75 · bwy · dx · f’c1/2 / 60 Vuy ≤ 0,75 · bwx · dy · f’c1/2 / 60

Vux = qu · Ly · (kx – dx) = 0,0208 kN/cm2 · 110 cm · (75 – 35) = 91 kN 0,75 · bwy · dx · f’c1/2 / 60 = = 0,75 · 58,4 cm · 35,0 cm · 251/2 / 60 = 128 kN ⇒ verifica Vuy = qu · Lx · (ky – dy) = 0,0208 kN/cm2 · 105 cm · (85 – 36) = 107 kN 0,75 · bwx · dy · f’c1/2 / 60 = 0,75 · 59,7 cm · 36,0 cm · 251/2 / 60 = 134 kN ⇒ verifica Por lo tanto verifica al corte en ambas direcciones. e)

Cálculo de las Armaduras de Flexión Suponiendo que db = 10 mm, se adopta una altura total: h = dmáx + db/2 + cc = 36,0 + 0,5 + 5 ≈ 42 cm Se adopta: dx = 35,5 cm ; dy = 36,5 cm

Bases de Hormigón Armado – Proyecto de Reglamento CIRSOC 201.- 16

mnx = 10 · Mnx / (0,85 · by · dx2 · f’c) mnx = 10 · 7143 / (0,85 · 27,5 cm · 35,52 cm2 · 25 MPa) = 0,09699 mny = 10 · Mny / (0,85 · bx · dy2 · f’c) mny = 10 · 8758 / (0,85 · 32,5 cm · 36,52 cm2 · 25 MPa) = 0,09519 Ambos momentos reducidos son menores que el mínimo por lo tanto corresponde adoptar armadura mínima. Asx = As mín = 2,8 · by · dx / fy = 2,8 · 27,5 · 35,5 / 420 = 6,5 cm2 Asy = As mín = 2,8 · bx · dy / fy = 2,8 · 32,5 · 36,5 / 420 = 7,9 cm2 f)

Adopción y Distribución de la Armadura de Flexión Por tratarse de una base prácticamente cuadrada se adopta armadura uniformemente distribuida en ambas direcciones. Asx = db12 c / 19 cm ; Asy = db12 c / 15 cm La separación entre armaduras debe ser menor que: - 2,5 veces el espesor total de la base = 2,5 · 42 = 105 cm - 25 veces el diámetro menor de la armadura = 25 · 1,2 cm = 30 cm - 30 cm

g)

Talón de la Base El talón de la base debe tener una altura mayor o igual que: - h – kmín = 42 cm – 75 cm menor que cero - cc + dbx + dby + 15 cm = 5 cm + 1,2 cm + 1,2 cm + 15 cm = 22,4 cm Se adopta un talón de 25 cm.

REFERENCIAS (1) (2)

Proyecto de Reglamento CIRSOC 201 , INTI, Noviembre 2002 Collins M., Mitchell D. ; Prestressed Concrete Basics ; CPCI ; 1987

Bases de Hormigón Armado – Proyecto de Reglamento CIRSOC 201.- 17