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Curso a distancia (on-line): El neoclasicismo musical a través de Bartók y de Hindemith: Aproximación al pensamiento musical y a las técnicas de ambos compositores Jaime Martín/ Enrique Igoa Béla Bartók Introducción Uno de los hilos conductores de la composición musical occidental en la primera mitad del siglo XX es el representado por los compositores clasificados en la posición estética convencionalmente llamada “Neoclasicismo”. En ella se reinterpretan gran parte de las bases teóricas que han regido durante algunos siglos la música occidental, con un sentido crítico que –al igual que intentan otras corrientes- permiten a estos creadores alejarse del pensamiento musical romántico y posromántico. La inclusión del folclore como parte intrínseca del discurso y la forma en Bartók puede hacer dudar de dicha clasificación en el caso de este compositor. Sin embargo, su no negación del centro tonal como norma vertebradora en el sistema tonal/modal es una razón de peso para la consideración de los aspectos teóricos que más se acercan a esa idea de reinterpretación de las formas clásicas o provenientes de otras épocas o ámbitos (como la música popular). Por ello hablaremos de "tonalidad" en estos dos compositores en un sentido parcialmente restringido, no a la tonalidad clásica, pero sí a sistemas basados en diversos esquemas de funcionalidad armónica (o armónicomodal en el caso de Bartók). El curso se estructura a través de uno de los textos más importantes sobre el compositor: “Béla Bartók. An Analysis of his Music”, del musicólogo húngaro Ernö Lendvai (1971), quizá la obra más importante para conocer las técnicas compositivas empleadas por Bartók. Encuadre en los "ismos". Planteamiento artístico y técnicas compositivas en Bartók Dentro de las tendencias generales en la primera mitad del siglo XX, Bartók se suele encasillar dentro de la que busca derivaciones de los lenguajes folklóricos (Grout): en ella sigue vigente la neomodalidad iniciada a finales del siglo anterior en el Nacionalismo e Impresionismo, lo cual ha permitido asimismo la denominación de "Neonacionalismo" (término acuñado a propósito de Stravinsky); finalmente, el uso de las formas clásicas por los compositores de esta corriente le han supuesto también la denominación de Neoclasicismo, que por otro lado, viene siendo corregido recientemente de forma acertada por "Neobarroquismo" en casos como el de Hindemith. En realidad, lo más exacto sería una combinación de ambos términos, pues del Barroco toman más bien procedimientos constructivos y contrapuntísticos que se rehabilitan tras el paréntesis clásico y romántico (suite, invención, fuga ...), mientras que del Clasicismo toman otros (sonata, variación, sinfonía, concierto...) y además la inspiración de sus planteamientos formales. Tendencia que engloba compositores muy diversos, que quizá comparten solamente el intento de buscar una prolongación de los sistemas afines a la tonalidad, los compositores "neoclásicos", aunque deban rubricar su defunción como sistema suficiente, parecen valorar como universales sus principios (centros tonales, funcionalidad armónica, diatonismo predominante, formas clásicas...) aunque no consideren que su realización deba seguir siendo la misma. Compositores que han sido encasillados en esta clasificación son Hindemith, Stravinsky, Bartók, Carter o incluso Messiaen, figura ésta última bastante independiente como para ello. Bartók y Stravinsky, además, han sido clasificados también como “nacionalistas tardíos”.

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Su fuerte tendencia al uso de formas clásicas es compartida en un principio por escuelas diferentes, como la de Viena, que no han sido denominadas así. En cualquier caso el grupo de compositores que ha recibido esas denominaciones no pertenece a ninguna escuela común. Comparten el hecho de que, a diferencia de la escuela de Viena, evolucionan en general desde la tonalidad (o de otros supuestos de música con contenido modal) y no rompen del todo con el centro tonal. Dentro de este grupo podríamos distinguir un subgrupo de compositores en los que prima un enfoque modal, como es el caso de Bartók, de los que lo hace un enfoque tonal- triádico. La distinción es en todo caso compleja pues el papel del cromatismo en ambos es casi inverso al esperable. En Bartók podemos apreciar la influencia del folklore, del que fue un importante investigador, y por tanto de la música nacionalista, incluyendo por supuesto la eslava; pero también de Bach, Beethoven y Liszt, en el campo de la tradición tonal, y de Debussy y Schoenberg entre las tendencias impresionistas y expresionistas provenientes de la época inmediatamente anterior. Pero del mismo modo que otros grandes compositores de la primera mitad de siglo (de los más importantes desde el Impresionismo: Schoenberg, Hindemith...), en el terreno armónico- tonal este compositor no se conformó con la aplicación de una armonía heredada, sino que intentó si no un sistema personal, sí una nueva síntesis, una generalización de aquélla. El sistema musical de Bartók es complejo. Sus bases formales tienen una gran solidez, como veremos, con el uso de reglas de proporción y numerológicas. La aplicación de tipo "fractalizado" de estas reglas a los distintos niveles formales (macro y microforma) y en las distintas dimensiones de la música (ritmo/ duración, interválica/ armonía/ modalidad/ melodía) se consigue con una coherencia envidiable para tratarse del trabajo de un compositor individual. En el aspecto rítmico (metro, ritmo y tempo) una de las aportaciones de Bartók es su variedad en la agógica. En parte, debida al uso de la métrica compuesta derivada del propio folklore (compases quebrados o aksak). El sistema tonal de Bartók supone una generalización de la tonalidad cromática entendida como el total del sistema disponible en el sistema más extendido posible que conserve un centro tonal o tónica como referencia constante. Esto no quiere decir que se manifieste dicha centralidad de forma literalmente igual que en el sistema clásico, ni mucho menos. Los últimos compositores románticos, que Bartók estudió en profundidad, habían llegado a un punto sin retorno en la extensión del sistema, incrementando constantemente la carga cromática y modulante, lo cual complicaba el mantenimiento del centro tonal. Este efecto sigue siendo notable en Bartók, pero el uso del sistema de ejes y, caso quizá único entre los compositores del siglo XX que no siguieron la tonalidad clásica en su integridad, conservando la funcionalidad armónica (e incluso las funciones concretas de tónica, dominante y subdominante) en una interpretación más completa a partir del sistema cromático y no como en el sistema clásico desde el inicial enfoque diatónico. Pero el sistema compositivo de Bartók es incluso más complejo. Intenta una síntesis entre la tonalidad así entendida y una multitud de sistemas modales tanto folklóricos (modos tradicionales y exóticos, sin excluir los modos mayor y menor tradicionales) como sintéticos (baste como ejemplo el modo cuya escala recibe su nombre). A nivel muy general el propio sistema de ejes le permite una indiferencia diatónica que permite integrar una rica variedad modal, sin embargo el problema es la preservación de cada uno de esas modalidades en un sistema de raíz cromática. Por ello

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Bartók (o, quizá, más aún sus analistas) establece una distinción entre los sistemas o estilos "diatónico" y cromático", que supone reconocer que ambos sistemas no están totalmente integrados en su música. Un ejemplo de esta complejidad lo tenemos en el famoso acorde "mayor- menor" (mi-sol- do- mi b), a su vez una derivación del acorde llamado "alfa". Es evidente que este acorde no pertenece al modo mayor ni al menor y que el cromatismo que lleva implícito lo hace alejarse de una idea diatónica de dichos modos. Podemos entender así cómo aparece el cromatismo modal en el sistema de este compositor, o en cualquier sistema modal en general. Otras de las extensiones analizadas frecuentemente del sistema armónico de B. son las llamadas "politonalidad" y "polimodalidad". Es dudosa la exactitud del primer término en algunos casos, pero en otros es evidente la intención, o el propio compositor apela a él en los títulos de algunas de sus piezas ("Juego con dos gamas de cinco notas", "Y los sonidos se entrechocan"...). Por otro lado, la politonalidad está implícita en el uso de modos simétricos, tan usados por Bartók, ya que el hecho de que éstos dispongan de un centro tonal "declarado" no evita que la simetría invertible o transportable de los mismos permita una audición de efectos polimodales. Es lo que Messiaen denominaba "perfume de politonalidad" en sus modos. Ocurre asímismo en Bartók, como las escalas octatónica, hexátona, etc., pero en ocasiones lo podemos apreciar también, simplemente, en su uso de los ambiguos sistemas pentatónicos. La adopción de un sistema como el de "ejes" hace que en Bartók podamos hablar de un centro tonal armónico, pero no siempre de un sonido en concreto, pues como se verá cualquier posible tónica puede ser sustituída por otros tres sonidos; esto posibilita una interpretación politonal desde otros supuestos armónicos que en este caso no es real. Y finalmente, la construcción modal de Bartók hace que muchas veces se llegue a la politonalidad a través de la modalidad y quede insertada en una polimodalidad. Es por tanto este último concepto, el de polimodalidad, el que me parece de uso más general en este autor. Por supuesto otras técnicas en plena investigación en aquéllos años (armonías no triádicas, acordes por segundas, cuartas, etc.) fueron experimentadas por Bartók. Debemos contemplar no obstante su compleja armonía con más generalidad. En el terreno de la construcción formal desde el punto de vista motívico y temático, podemos apreciar la contribución de Bartók en las técnicas de construcción motívico- interválica ya conocidas desde Bach, como Beethoven, Wagner, Brahms, Mussorgsky, Debussy, Schoenberg o Webern. Si consideramos que algunos de estos compositores han priorizado el trabajo motívico puro sobre la imperiosidad del fraseo y otros más bien han tratado de compatibilizar la composición interválica con la retórica fraseológica tradicional componiendo "frases" con especial valor interválico (pero frases), Bartók estaría en el centro de este dilema, pues la de la construcción fraseológica (simétrica o no) fue una preocupación constante de este autor. En lo tocante al (desde el Clasicismo vienés hasta el siglo XX) creciente entendimiento de la obra musical como un proceso de desarrollo (en el que la elaboración motívico- temática citada juega un papel fundamental, al que Schoenberg aportó la idea de "variación en desarrollo"), podemos decir que Bartók aporta a su vez un diferente concepto del desarrollo como "metamorfosis" (Solomon). La planificación estructural de las obras de B. es en algunos casos de una gran ambición y complejidad (la de la "Música para cuerdas, percusión y celesta", que se analiza en este curso, dará idea de ello). A partir de una preferencia general por las formas simétricas pero contando con la

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asimetría básica aportada por la sección áurea (proporción empleada en el clasicismo griego, consistente en la relación a:b como b:a+b), Bartók despliega recursos de construcción macroformal extraordinarios. La sección áurea entra en un concepto simétrico, al ponerse en juego la confrontación entre la sección áurea directa y la retrogradada (a la que, impropiamente, llamaremos a menudo "inversa" siguiendo la literatura). Su uso de ésta y otras formas en espejo nos retrotrae desde la consideración de la gran forma al propio contrapunto. Otros conceptos utilizados por este autor y relacionados con los anteriores son la Bogen- form y las series de Fibonacci. En los aspectos tímbrico y textural se ha destacado a menudo el uso "percutivo" del piano por B. ("Allegro bárbaro"), aunque es mucho más justo decir que pone en juego esta cualidad además y en contraste con la del ideal legato más tradicional; y en general su tendencia en algunos casos a una "música sin acordes". Es evidente que no era ese su supuesto estético general pero sí uno de sus lenguajes (por lo que usó frecuentemente y virtuosísticamente como pocos en su tiempo la percusión, incluso como solista junto a instrumentos como el piano), pero es una tendencia general en esta época el buscar texturas sustitutivas de la de la melodía acompañada. La modalidad dificulta en algunos casos, si se quiere mantener el estrato melódico intacto, mantener ese tipo de textura. Cabe destacar también tanto su escritura cuartetística como para orquesta. 1. Elementos rítmicos y formales 1.1

Principios formales

Bartók utiliza principios basados en tradiciones que sobrepasan el ámbito de un estilo o generación. Al adoptar sus principios formales se aleja de muchos de sus contemporáneos, estableciendo las proporciones de duración de sus obras en base a criterios de proporción. En definitiva, fija un concepto rítmico para toda la composición, el cual, en vez de dejarse a la intuición, es precalculado minuciosamente. La sección áurea resulta de la división de una cantidad lineal (magnitud de distancia, duración, etc., abstraíbles mediante la longitud de un segmento) de manera que la relación entre la longitud total y la parte más larga sea idéntica a la que se da entre la parte más larga y la más corta. Resuelta la ecuación necesaria, el valor de la sección larga (sobre un segmento de longitud 1) es de 0.618 aproximadamente, y la de la más corta 0.382. Al aplicar esta proporción a una estructura formal (en el espacio, arquitectónica, o en el tiempo, musical o dramática) en una dimensión, el resultado es el seccionamiento de la misma en dos partes de longitudes o duraciones desiguales, proporcionales a 0.618 (algo menos de 2/3) y 0.382 (algo más de 2/3). La separación debe ser aclarada por una articulación clara o un punto de inflexión fácilmente perceptible. En una dimensión también, pero en este caso vertical, podemos plantear estructuras armónicas o de registros basados en esta relación. Otra aplicación posible, en dos dimensiones, proporciona el "canon" que se puede comprobar en la arquitectura clásica, por ejemplo, en la relación entre anchura y altura de un edificio. Finalmente cabe generalizar la relación a sucesiones de más de dos secciones, por aplicación sucesiva de la sección áurea, de lo que son un ejemplo aproximado las series truncadas de Fibonacci. En la "Sonata para dos pianos y percusión" (en adelante S2PP), 1º mov., Bartók plantea las proporciones áureas a diferentes niveles (introducción aislada, movimiento completo). Por ejemplo, la sección expositiva más el desarrollo abarca los 273 primeros compases y la reexposición, los siguientes 170 hasta el 443 (273/443=0.616, 170/273=0.622); por otro lado el desarrollo ocupa desde el compás 175 de modo que la exposición en sí dura 174 compases (174/273=0.637) y el

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desarrollo 99, etc. Del mismo modo de la reexposición, la coda ocupa los cc. 332-443, es decir un total de 112 que sobre los 170 totales suponen una farcción 0.658 de su duración total, etc. Evidentemente el gusto por la simetría de Bartók no queda del todo satisfecho con el uso de la sección áurea tal cual. Esto lo demuestra el uso de relaciones áureas directas e inversas. Hablamos de sección áurea directa cuando la primera sección es la más larga, y de inversa en caso contrario. Así vemos que este primer movimiento se estructura en sección áurea inversa (o directa si nos atenemos a la articulación principal al inicio de la reexposición. Desde el punto de vista de la forma sonata, tradicionalmente binaria, la primera sección abarca la exposición y la segunda el desarrollo y la Reexposición. Sin embargo Bartók articula más fuertemente la aparición de ésta última como señala Lendvai), pero la propia segunda sección (desde el punto de vista tradicional) guarda una proporción inversa entre la duración del desarrollo y la recapitulación; asimismo la reexposición vista aisladamente se divide en dos secciones en proporción inversa, etc. En esta obra la aplicación de la sección áurea (SA) se da a todos los niveles especialmente en los movimientos I y III. Los 16 primeros cc. de la Sonata representan por sí mismos una SA modélica: cc. 2-5 tema directo y armonía Fa#/Do =T cc. 8-11 tema directo y armonía Sol- Reb = D cc. 12-17 tema invertido y armonía Lab-RE = S. Las proporciones en este pasaje son áureas no sólo a nivel principal (tema principal- invertido) sino también secundario (T/D en tema principal), terciario (señalado por los golpes de plato en la parte no invertida y de tam-tam en la invertida), e incluso a un nivel más abajo. Por tanto la SA (en sus variantes directa e inversa) domina desde las proporciones de la gran forma hasta la rítmica del menor nivel fraseológico. E D R | 174 | 99 ->coda (112) | |-----------------------------------|-----------------|-----------------------------------| | | | | 273 | 170 | 1.2

Series de Fibonacci

Los elementos de esta serie numérica se obtienen restando los dos anteriores. Comenzando por el 1, se va obteniendo 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89... Según se avanza en la serie la relación entre dos elementos consecutivos se va aproximando progresivamente a la SA, que es su límite y se alcanza en el infinito. En la MCPC, el primer movimiento, de textura fuguística, el mov. I sigue las proporciones de la SA (directa al nivel más elevado, destacado por la inversión del sujeto a partir de la gran articulación) utilizando a varios niveles (duraciones de las secciones, subsecciones, temas, y partes de los temas, intervalos melódicos y armónicos, número de repeticiones de un sonido consecutivas, etc.) números de Fibonacci. Las transiciones entre secciones se remarcan por procedimientos variados (armónicos, melódicos, contrapuntísticos, dinámicos, tímbricos, etc.).

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2. Aspectos armónico- modales 2.1 Funcionalidad clásica y sistema de ejes La estructura tonal se fundamenta en el sistema de ejes, relacionado con la tonalidad mediante las relaciones de quinta justa y de tercera menor, de modo que establece un triple eje de tónica, dominante y subdominante más general que el de la propia tonalidad. La secuencia S-T-D se repite cuatro veces, lo cual indicado en el círculo de quintas genera la construcción de tres ejes en forma de cruz: Tónica: do, mib, solb, la Subdominante: re, fa, lab, si Dominante: reb, mi, sol, sib [fig. 1] En este sistema cada contrapolo puede sustituir al polo original a distancia de tritono, y en su uso B. distingue entre el uso del eje principal (por ejemplo, en Do, Do- Fa#) y el secundario (Mib- la). Parece haber una cierta ambigüedad no obstante en el hecho de que en muchas de sus obras el contrapolo a distancia de tritono asuma el papel de sustitutivo de la dominante. El sistema de ejes absorbe las relaciones de terceras del Romanticismo (relativos y paralelos) que resultan libremente intercambiables y sustituible también por su contrapolo. Una de las consecuencias interesantes de ello es la generación del acorde mayor- menor: así en Do tenemos: -

sustitución T por su relativo (antes llamado Tp): mi-sol-do pasa a mi-la-do sustitución Tp por su contrapolo: la-do-mi pasa a mib- sol- sib

Uniendo este último acorde con el de tónica se forma el agregado mi- sol- do- mib. La ordenación no es arbitraria sino que según Lendvai Bartók privilegia los intervalos con un número de semitonos basado en la serie de Fibonacci (a su vez basados en otro principio, este matemáticoestético: la sección áurea): así escribirá mi-do (8) y do-mib (3) en vez de mib-do (9) y do-mi (4). El conjunto de tonalidades relativas mayores y menores a partir de Do siguiendo el sistema de ejes queda: DoM (T) La m (antes Tp) La M (TP) Fa# m (TPp)

do m (t) Mi bM (tP) mi b m (tp) Sol b M (tpP)

La relación entre contrapolos (extremos de cada brazo de las cruces) es decisiva pues permite la sustitución armónica en cualquier momento. Esta técnica se utiliza también en el jazz. Asímismo, los sonidos a distancias de tercera menor ascendente y descendente (polo y contrapolo secundarios) forman el otro brazo del eje, cuyos sonidos también pueden sustituir al elegido como referencia. Sin embargo, Bartók mantiene una cierta ambigüedad sobre el papel de la relación armónica de tritono, pues se manifiesta como sustitución funcional en muchas ocasiones, pero en otras da lugar a una nueva relación dominante- tónica deformada (suponiendo que nos centramos en el eje de la

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tónica), lo cual ya no estaría justificado por el sistema de ejes. Se diría que el intercambio del centro tonal por su contrapolo le permite simultáneamente mantener la unicidad tonal profunda pero generando una superficie armónica contrastante, lo cual hace que el papel del contrapolo sea algo ambiguo entre. Es muy frecuente en Bartók articular la armonía en torno a las relaciones de polo- contrapolo primarios y secundarios, como en "El castillo de barbazul": Fa#- Do- Fa#. Aquí se ve como la parte central disfruta de una sonoridad contrastante sin alejarse en realidad del eje de tónica. El uso más común de estas relaciones es la de la sustitución armónica, que en el caso de Bartók se extiende a cualquier tercera menor. Dado que son cuatro, vemos ya que la gama octatónica jugará un papel importante en la armonía de Bartók, ya que se adapta perfectamente a esta simetría. Una progresión de quintas descendentes como Mi-La-Re-Sol-Do-Fa puede reemplazarse por otra como Mi- Do- Lab- Reb- Fa#-Fa. En la "Música para cuerdas, percusión y celesta" (en adelante MCPC), el esquema de los cuatro movimientos genera la siguiente secuencia: Mov. Inicio y Climax final I La Mib II Do Fa# III Fa# Do IV La Mib Como se ve, utiliza el polo y contrapolo principales dentro de cada movimiento dejando las relaciones con polo y contrapolo secundarios para ir ubicando los centros tonales de cada movimiento. El esquema resulta prácticamente simétrico, considerando la igualdad arbitraria entre los contrapolos. El sistema de ejes permite la construcción de un sistema tonal cromático con centralidad tonal. El uso de la serie de Fibonacci permitirá la construcción de armonías en dicho sistema. 2.2 Sistema cromático con centro tonal El sistema de ejes permite conservar y ampliar las relaciones de relativos de la armonía tradicional, bien es cierto que todo lo extendidas que llegaron a ser en el Romanticismo y bajo un prisma necesariamente cromático, lo cual ya estaba latente en la sustitución de homónimos del Clasicismo. La T, D y S pueden ser sustituidas por sus relativos tradicionales, siguiendo la notación funcional Tp, Dp y Sp. En Fa M, por ejemplo, donde T es Fa M, D es Do M y S es Sib M, éstos son respectivamente re m, la m y sol m. En el siglo XIX también se consideran relativos los homónimos de los mismos (TP= Re M, DP= La M y SP = Sol M, los relativos de los homónimos (tP, dP, sP) y los "relativos superiores" o "paralelos" y sus homónimos (Tg, TG, tG, tg, Dg, DG, dG, dg, Sg, SG, sG, sg). En total, partiendo de Fa M tendremos: Función respecto aT T/t

Tonalidad relativa Fa/fa

Ubicación en sistema de ejes PP

Función Tonalidad respecto relativa aT D/d Do/do

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Ubicación en sistema de ejes PP

Función Tonalidad respecto a relativa T S/s Sib/sib

Ubicación en sistema de ejes PP

Tp/TP Tg/TG tP/tp tG/tg PP CP PS CS

re/Re PS Dp/DP la/La PS la/La No válido Dg/DG mi/Mi No válido Lab/lab CS dP/dp Mib/mib CS Reb/reb No válido dG/dg lab/Lab No válido polo principal contrapolo principal polo secundario a dchas/ contrapolo secundario a a izqdas. polo secundario a izqdas./ contrapolo secundario a dchas.

Sp/SP Sg/SG sP/sp sG/sg

sol/Sol re/Re Reb/reb Solb/solb

PS No válido CS No válido

Como vemos algunas de las relaciones del sistema diatónico no son válidas en el cromático: concretamente, las de tercera mayor y sexta menor. Nos abstenemos de catalogar la función asignada por el sistema de ejes en estos casos pues no sería válida para el sistema diatónico (La, por ejemplo, sería una D para Fa). El sistema de ejes (así como la armonía de Bartók y la escala octatónica) privilegia las relaciones de tercera menor y sexta mayor, al permitir los ciclos S-T-D. Las relaciones de 3ª M y 6ª m, en cambio, entrarían en un sistema de ejes diferente, basado en la tercera mayor y quinta aumentada, que requerirían un funcionamiento con dos (imposible) ó cuatro (difícil) funciones tonales. En resumen el sistema de ejes abarca gran parte de las relaciones tonales clásicas y románticas, pero no todas: incluye las de los homónimos, relativos y combinaciones, pero excluye las de los paralelos, por otro lado algo más artificiosos. 2.2.1 Dos dominantes armónicas adicionales Unido a todo esto, Bartók también incluye las relaciones armónicas que incluyen la relación T/D de quinta justa clásica, pero que también engloban como dominante a otros armónicos: Mi y Si b (compatible con el sistema de ejes, que incluye incluso otra dominante, el tono napolitano): T1 D1 D2 D3 S1 S2 S3 S4

Do Sol Mi Si b Re Si Fa Sol #

D1(D1) = S1 D1(D2) = S2 D1(D3) = S3 D1(S1) = T2 D1(S2) = T3 D1(S3) = T1 D1(S4) = T4

Re Si Fa La Fa # (sol b) Do Re # (mi b)

D2(D1) = S2 D2(D2) = S4 D2(D3) = S1 D2(S1) = T3 D2(S2) = T4 D2(S3) = T2 D2(S4) = T1

Si Sol # (La b) Re Fa # (Sol b) Re # (Mi b) La Do

D3(D1) = S3 D3(D2) = S1 D3(D3) = S4 D3(S1) = T1 D3(S2) = T2 D3 (S3) = T4 D3 (S$) = T3

Fa Re La b Do La Mi b Fa #

Resultado total a partir de Do: T: Do, La, Fa #, Mi b D: Sol, Mi, Si b S: Re, Si, Fa, La b A excepción del tono napolitano, este sistema coincide con el de ejes. Pero su inclusión es sencilla, basta tomar como referencia T3 (Fa #) en vez de T1 (Do) para ver que Do # es la D1(T4)= D4 de Do. El sistema completo es complicado pero de una gran unicidad. Esta síntesis del sistema cromático permite a Bartók utilizar una armonía completamente funcional de tipo T/D/S utilizando toda la gama cromática.

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2.3 Construcción de armonías en el sistema cromático Utilizando las series de Fibonacci se privilegian los intervalos con 2, 3, 5, 8 y 1/13 semitonos. Esto permite la construcción de ciertos sistemas melódico- armónicos tanto asimilables a modalidades como a acordes: -

-

escala pentáfona 0 +2 +3 +2 +3 +2 (la-si-re-mi-sol) el conocido acorde clásico de 7ª de dominante con 5º rebajada y novena menor: 0 +3 +3 +2 +3 (do-mi b- fa#- la b- si = si- re#- fa- la b- do). Presenta el "fallo" de que el último intervalo es de un semitono. Mixturas: - paralelismos de 3ªs y 6ªs menores (3, 8) (y no mayores, 4-9) - paralelismos de triadas menores en segunda inversión (5-3) o de triadas mayores en primera inversión (3-5) - lo anterior lleva inmediatamente al acorde menor- mayor (3-5-3-13: mi-sol-do-mi b). A veces se amplía con una 7ª menor sobre la fundamental do, sib, resultando mi-sol-si bdo-mi b (3-3-2-3-13) escalas tetráfonas 0-1-6-7 (+1 +5 +1 +5) y 0-5-6-11 escalas hexáfonas 0 1 4 5 8 9 (+1 +3 +1 +3 +1 +3) y 0 3 4 7 8 11 escalas octatónicas 0 1 3 4 6 7 9 10 y 0 2 3 5 6 8 9 11

En teoría de pitch class sets, son respectivamente 0 1 4 9 y 0 1 4 7 9. Sin embargo esta teoría es de poca validez aquí pues ests acordes no son invertibles. Derivados del acorde mayor- menor: acordes alfa, beta, gamma, delta y epsilon Podemos ver el acorde M/m como la unión de T (do-mib) y D (sol- sib). Si lo ampliamos a cuatriadas, uniendo los acordes T1/T2/T3/T4 (do- mib- fa#-la) y D1/D2/D3/D4 (sol- sib- do#- mi) resulta: ALFA: do#- mi- sol- sib- do- mib- fa#-la - por definición siendo los sonidos generadores de ALFA Do y Sol, la fundamental es Do. - la interválica de ALFA es un reflejo de la serie de Fibonacci: las combinaciones de sonidos de cada cuatríada produce 2-5-8-11 - La escala ordenada con los sonidos de ALFA nos da una escala octatónica (do-do#-mib-mi-fa#sol- la- sib) 0 1 3 4 6 7 9 10 - ALFA engloba al acorde M/m [fig. 2] Las denominaciones con otras letras griegas se reservan para subconjuntos de ALFA. Estos acordes están formados eligiendo una cuatríada sobre un solo polo y añadiendo el siguiente sonido, perteneciente a la otra, para conseguir el efecto unificador de los dos polos y la disonancia de segunda menor: BETA: formado por la cuatriada D y el sonido T1: do #- mi- sol- si b- do que también se puede escribir eliminando el si b o incluso éste y el mi.

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Podemos ver a ALFA y BETA como versiones "en estado fundamental" de esta familia (la base es Do aunque la fundamental es Do). BETA guarda un parecido con el acorde M/m. GAMMA: "primera inversión reducida": mi-sol- si b- do- mi b o mi-sol- do- mi b. Una de sus formas es el acorde M/m. DELTA: "segunda inversión reducida": sol- si b- do- mi b- fa#. Se puede eliminar el si b o también el mi b. EPSILON: "tercera inversión reducida": sib- do- mi b- fa#- la. Para el relativo la síntesis es distinta y se genera otro acorde ALFA distinto: La ALFA es la combinación de do m y LA M. [fig. 3] 3. Sistema diatónico -

escala armónica: do-re-mi-fa#-sol-la-sib acorde armónico: do- mi- sol- si b- (re)- fa# [fig. 4]

Lo que hace a Bartók especial es la manera magistral en que combina ese rígido planteamiento tonal con la modalidad y la armonía cromática: utiliza escalas folklóricas y sintéticas, cromatismo y diatonismo por igual, y todo tipo de relaciones disonantes independizadas justificadas por el propio sistema de ejes, la numerología basada en la sección áurea y la series de Fibonacci y, en última instancia, un sistema modal muy abstracto derivado de su conocimiento de la rica modalidad de Europa oriental. Las mismas relaciones numerológicas sirven de fundamento para la construcción de las proporciones formales. Una de las primeras derivaciones de la serie de Fibonacci son las escalas y los acordes “áureos” (por estar basados en relaciones de intervalos ½, 1/3, 1/5, 2/5, 3/5...): -

1/2: escala octatónica 2m/2M do-do#- mib- mi- fa#- sol- la –sib [fig. 5]

-

2/3: escala hexátona 2m/3m (do-do#-mi-fa-sol#-la) 1/5: 2m/4J acordes tipo cromático (do-do#-fa#-sol) [fig. 6]

-

y en especial las escalas- acorde - 3/5/3: Alfa de Bartók (mi- sol- do- mib), mayor- menor. - 2/2: Omega de Bartók: escala de tonos enteros

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La fuerte disonancia estructural presente en muchas de sus obras (cacofonías de 7ª y 8ª) no son tan explicables como tonalidad extendida sino como politonalidad /polimodalidad, y en ocasiones como un planteamiento interválico rayano en la atonalidad (por influencia, especialmente, de la música dodecafónica), a la que sin embargo no sucumbe; simplemente, plantea una armonía muy dura, que no excluye ningún choque con explicación contrapuntística, ni ninguna disonancia. Armonías de 2ªs ó 4ªs utilizadas por autores de la época y clusters son otros de los elementos armónicos que encontramos. Bartók practica desde luego una armonía que se ha querido interpretar (dudosamente) como politonal: no cabe duda de que existe polimodalidad (especialmente en la década de los 20), siendo su concepto básicamente modal (horizontal), en contraposición a los planteamientos más armónicoverticales de dicha técnica de Stravinsky, Casella o Milhaud. Importante en Bartók es también el empleo de ritmos irregulares basados en el folklore (aksak). 4. Aplicación de la teoría analítica de los "PC sets" a Bartók 4.1 Aplicaciones analíticas mediante el "Set" proyectado 5. Ritmos aditivo, divisivo y de contorno en Bartók 6. Análisis de obras 6.1 Sonata Pf (1926) 6.2 Piezas seleccionadas del "Mikrokosmos" 6.3 "Música para cuerdas, percusión y celesta" 6.4 "Sonata para dos Pfs. y percusión" Bibliografía BARTÓK, B., "Escritos sobre música popular", trad. Castellano 1979, Siglo XXI editores BARTÓK, B., "Studies in ethnomusicology, sel. Benjamin Suchoff, Univ. Nebraska Press, 1997 DE LA MOTTE, DIETHER: Harmonielehre, 1976, ed. Castellano Luis Romano, 1989, Labor GROUT, DONALD J., “A history of western music”, 3ª ed., 1980, trad. León mames, Alianza Música, 1984 GROVE, Diccionario online de la música, www.grovemus.com IGOA, E., materiales previos del curso IGOA, E:, apuntes de la asignatura de Armonía Analítica LENDVAI, E., "Béla Bartók: An Analysis of his music", Kahn & Averill, 1971 PERSICHETTI, V., “Armonía del s. XX”), Ed. Real Musical, trad. Alicia Santos SOLOMON, LARRY J., "Symmetry as a compositional determinant", ed. Solomon, 1973 WILSON, P., "The music of Béla Bartók", Yale Univ. Press, 1992

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