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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA (E.U.I.T.I.) AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS (PLAN 2.002) CURSO 2.007 / 2.008 MATERIAL PARA PROFESORES

INTRODUCCIÓN

A continuación, y Tema a Tema, se recogen los correspondientes Objetivos así como enunciados de Cuestiones y Problemas. Las Cuestiones y Problemas con asterisco (*) NO se realizarán en clase: son para que el Alumno practique por su cuenta. ══════════════════════════════════

I.- CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES 1.- FUNCIONES DE DERIVACIÓN PARCIAL

VARIAS

VARIABLES.

LÍMITES.

CONTINUIDAD.

OBJETIVOS: Analizar los conceptos de límite, continuidad, derivadas parciales y direccionales de una función real de varias variables reales. Se hará especial énfasis en los aspectos de tipo gráfico y geométrico.

CUESTIONES 1) REPRESÉNTENSE GRÁFICAMENTE CADA UNO DE LOS CONJUNTOS SIGUIENTES: 2 2 y x 2 } b) B = { ( x, y ) ��/ x > 2} a) A = { ( x, y ) γ �/ 2) HÁLLESE EL DOMINIO DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES: 1 2 2 a) f ( x, y ) = 4 - x - y + 2 b) h ( x, y ) = arcsen ( x + y ) x + y2 -1 3) Dada f : �n � � se define conjunto de nivel de valor C como el conjunto dado por { xr ��/n f ( xr) = C} . Cuando n = 2 se denominan curvas de nivel, y cuando n = 3 superfiCIES DE NIVEL. DESCRÍBANSE LAS CURVAS O SUPERFICIES DE NIVEL DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES: 2 2 2 2 2 a) f ( x, y ) = x + y b) f ( x, y ) = 25 - x 2 - y 2 c) f ( x, y, z ) = x + y + z 4) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: � x2 � y2 si ( x, y ) �( 0, 0 ) � 2 y2 + ( x - y ) f ( x, y ) = �x 2 � es continua en ( 0, 0 ) . � 1 si ( x, y ) �( 0, 0 ) � (Cuestión 1 propuesta en Junio del 2.007)

5) Estúdiese si es verdadero o falso la que dados r tg f . a = ( cos f ,sen f ) se verifica que D ar f ( 0, 0 ) = sen f �

� xy 2 � f ( x, y ) = �x 2 + y 4 � 0 �

si

y �0

si

y=0

y

(Cuestión 1 propuesta en Febrero del 2.007)

6) Dada la función f ( x, y ) =

1 - cos ( x 2 + y 2 ) x2 + y 2

si

( x, y ) �( 0, 0 ) ,

f ( 0, 0 ) = 0 , estúdiese su

continuidad. (Cuestión 1 propuesta en Septiembre del 2.006)

══════════════════════════════════

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PROBLEMAS 1) CALCÚLENSE LOS SIGUIENTES LÍMITES CUANDO EXISTAN: 4 x2 - 3 y 2 a) lim ( x , y ) �( 0,0 ) 2 x 2 + 5 y 2

2) Calcúlese

lim

( x , y ) �( 0,0 )

b)

lim

( x , y ) �( 0,0 )

xy 3 x2 + y6

x2 y 2

lim

c)

( x , y ) �( 0,0 )

p p � x sen + y sen � f ( x, y ) donde f ( x, y ) = � y x � 0 �

3

( x2 + y 2 ) 2

si

xy > 0

si

xy = 0

.

3) Estúdiese si existen las derivadas parciales de primer orden en ( 0, 0 ) de la función �x 2 sen y + y 3 � f ( x, y ) = � 5 x 2 - y 3 � 0 �

si 5 x 2 �y 3 si 5 x = y 2

.

3

(Cuestión 2 propuesta en Septiembre del 2.007) 2 4) Sea f ( x, y ) = y sen

D21 f ( 0, 0 ) (

x �2 f y � 0 f x , 0 = 0 D f 0, 0 si y ( ) . Calcúlense 12 ( ) ( ( 0,0 ) ) y y �� x y

�2 f ( 0, 0 ) ). �� y x ══════════════════════════════════

2.- FUNCIONES

VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL.

LA

DIFERENCIAL

OBJETIVOS: Definir los conceptos de límite, continuidad y diferenciabilidad para funciones vectoriales de variable vectorial. Se comenzará por la diferencial de una función real de dos variables reales remarcando las implicaciones geométricas.

CUESTIONES � 4x - y2 1) Hállese el dominio de la función f ( x, y ) = � x - y , � ln ( 1 - x 2 - y 2 ) � 2) Dada la función lim

( x , y ) �( 0,0 )

f ( x, y ) .

� x2 y sen ( x 2 + y 2 ) x2 f ( x, y ) = � 2 , , �x + y 2 x 2 + y 2 x2 + y 2 �

3) Estúdiese la continuidad de � xy � g ( x, y ) = � 2 ,sen ( x - y ) �. 2 �x + y + 2 �

la

función

vectorial

� � . � �

� �, obténgase, si existe, � �

de

variable

vectorial

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4) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: La densidad de una sal en un disolvente viene dada por r ( x, y, z ) = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 - 5 . La dirección que debe seguirse empezando en el punto ( 1, 2,1) para que la variación de densidad sea máxima es ( 1,1,1) . (Cuestión 1 propuesta en Febrero del 2.006)

══════════════════════════════════

PROBLEMAS 1) Hállese el plano tangente a la superficie z = x 2 + 2 y 2 paralelo al plano x + 2 y - z = 10 . �3 x 2 y 2 �4 4 2) Dada la función f ( x, y ) = �x + y � 0 �

( x, y ) �( 0, 0 ) ( x, y ) = ( 0, 0 )

:

a) Estúdiese la continuidad de f en �2 . b) Estúdiese la diferenciabilidad de f en �2 . (Problema 1 propuesto en Junio del 2.004)

� x2 y � 3) (*) Dada la función f ( x, y ) = �x 3 + y 3 � 0 �

si

x �- y

si

x = -y

:

a) Estúdiese continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad de f en ( 0, 0 ) . b) Estúdiese la diferenciabilidad de f en ( 1,1) . (Problema 1 propuesto en Septiembre del 2.004 [modificado])

�2 xy 3 - 3 y 4 � 2 2 4) Dada la función f ( x, y ) = � x + y � 0 �

( x, y ) �( 0, 0 ) ( x, y ) = ( 0, 0 )

, se pide:

a) Estúdiese la continuidad de f . b) Hállense las derivadas parciales de f . c) Estúdiese la diferenciabilidad de f en ( 0, 0 ) . (Problema 1 propuesto en Junio del 2.006)

══════════════════════════════════

3.- DERIVACIÓN

DE FUNCIONES COMPUESTAS.

REGLA

DE LA CADENA

OBJETIVOS: Analizar, comprender y manejar la diferencial de una función de función.

CUESTIONES 1) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: 2 Sean f : �2 � �2 con f ( 0, 0 ) = ( 1,1) y g : �2 � � con g ( x, y ) = x + y . Sea 1 1� � h = g o f . Si la matriz jacobiana de f en ( 0, 0 ) es � �, obténganse �2 3 � � h � h ( 0, 0 ) y �y ( 0, 0 ) . � x (Cuestión 1 propuesta en Junio del 2.006 [modificada]) UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA (E.U.I.T.I.) – AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS (PLAN 2002) CURSO 2.007 / 2.008 - MATERIAL PARA PROFESORES - 4 de 16

xy

2) Dada f ( x, y ) = � e - t dt con x > 0 e y > 0 , calcúlense D1 f ( 0 2

� f � f ) y D2 f ( ). � y � x

3) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: Si f es una función derivable, entonces la función z = f ( x 2 y ) verifica la ecuación xz x = 2 yz y . (Cuestión 1 propuesta en Febrero del 2.007)

══════════════════════════════════

PROBLEMAS x+ y 2 2 1) Dadas f ( x, y, z ) = ( e , z + y ) y g ( x, y ) = ( x , xy ) , pruébese que f es diferenciable en

( 1, 0,1)

y g lo es en ( e,1) . Calcúlese la matriz jacobiana de g o f en ( 1, 0,1) .

xyz 2 2 2) Dadas f ( x, y, z ) = ( x + y + z , e ) y g ( u , v ) = ( u ln v, v, u + v ) , calcúlense:

a) d ( g o f b)

) ( 0, 0, 0 ) . (*) d ( f og ) ( 0,1) . ══════════════════════════════════

4.- FUNCIONES

INVERSAS E IMPLÍCITAS

OBJETIVOS: Analizar y comprender el enunciado de los teoremas de la función inversa y de la función implícita. Aprender a obtener la diferencial de la función inversa y diferenciales y derivadas de funciones implícitas, insistiendo en los casos que se presentan más frecuentemente y en los aspectos geométricos involucrados.

CUESTIONES 1) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: Sea f : �� � derivable y con derivada continua tal que "t ��. Entonces la función F ( x, y ) = ( x + f ( y ) , y + f ( x ) ) local diferenciable en todo punto de �2 .

f� ( t ) �K < 1

admite inversa

(Cuestión 2 propuesta en Septiembre del 2.005)

2) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: p2 2 La ecuación x � sen x � y � y = 0 define implícitamente a y como 16 �p 2 � función de x , y = y ( x ) , en un entorno del punto � ,1�. Entonces se �4 �

(

)

verifica que la derivada de y = y ( x ) en el punto x =

8 p2 es 2 . p 4

(Cuestión 2 propuesta en Junio del 2.007)

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3) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: ( 1) = 1 . La ecuación Sea F : �� � derivable de orden dos con F ( 1) = F � F ( xy ) - 2 F ( x ) + F ( y ) = 0 define implícitamente en un entorno del punto

( 1,1) ( 1,1)

una función y = f ( x ) , y la recta tangente a dicha curva en el punto es x - 2 y + 1 = 0 .

(Cuestión 1 propuesta en Septiembre del 2.005)

4) Obténgase la tangente a la curva intersección de las superficies y 2 - x 2 = 16 , z 2 - x 2 = 16 en el punto ( 3,5,5 ) . (Cuestión 2 propuesta en Junio del 2.006 [modificada])

══════════════════════════════════

PROBLEMAS x 1) Dada f : �2 � �2 definida por f ( x, y ) = ( e cos y,sen ( 2 xy ) ) , se pide:

�p� 0, �. a) Pruébese que f es diferenciable en �2 y calcúlese la matriz jacobiana en � � 2� b) Calcúlese f -1 �0, 0 .

(

)(

)

x y x y 2) Dada f : �2 � �2 definida por f ( x, y ) = ( e + e , e - e ) , se pide:

a) ¿Existe inversa de f ? En caso afirmativo hállese dicha función. -1 b) Calcúlese d f ( 4, 2 ) . 3 3) Dada f ( x, y, z ) = z + x ( z - y ) - 1 :

a) Pruébese que f ( x, y, z ) = 0 define a z como función implícita de x e y , z = z ( x, y ) , en un entorno de ( 0,1,1) . b) Hállese el plano tangente a z = z ( x, y ) en ( 0,1) .

c) Dada la función g ( x, y ) = ( x + z ( x, y ) , y ) , pruébese que g es localmente invertible en ( 0,1) . Calcúlese la matriz jacobiana de g -1 en ( 1,1) . (Problema 1 propuesto en Septiembre del 2.007)

�x 2 + y 2 + u 2 + v 2 = 1 4) Pruébese que el sistema � define a u y v como funciones implícitas � x + y + u + v =1 diferenciables de x y de y en un entorno del punto P �( 0, 0, 0,1) . Calcúlense du y dv . ══════════════════════════════════

5.- FÓRMULA

DE

TAYLOR. EXTREMOS

OBJETIVOS: Analizar, comprender y manejar la fórmula de Taylor. Establecer las condiciones necesarias y suficientes de los extremos relativos para funciones reales de clase 2 insistiendo en las de dos variables. Introducir los extremos condicionados y manejar el método de los multiplicadores de Lagrange.

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CUESTIONES 1) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: x- y 2 2 La función f ( x, y ) = e ( x - 2 y ) tiene un mínimo en ( 0, 0 ) y un punto de silla en el punto ( -4, -2 ) . (Cuestión 2 propuesta en Septiembre del 2.006)

2) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: 2 Sea f ( x, y ) = ( x + 2 ) sen y y P ( x, y ) el polinomio de Taylor de grado 2 de f en ( 0, 0 ) . Entonces P ( 1,1) = P ( 1, -1) . (Cuestión 2 propuesta en Septiembre del 2.004)

3) Calcúlense los polinomios de Taylor de orden 2 y de orden 3 de la función f ( x, y ) = 3 xy 2 + 2 x3 + xy + y + 5 en ( 0, 0 ) y en ( -1, 2 ) . ══════════════════════════════════

PROBLEMAS 1) Hállense tres números positivos, x , y y z , tales que su suma sea 120 y la suma de sus productos tomados de dos en dos sea máxima. (Problema 1 propuesto en Junio del 2.007)

e 4 du : ( u + 3 ) eu

2 2 2) Dada la función f ( x, y ) = ln ( x + 2 y + 3) + � 0 x2

a) Estúdiese la diferenciabilidad de f en �2 . b) Calcúlense los extremos relativos de la función f . (Problema 1 propuesto en Junio del 2.005)

3) Hállense las dimensiones del más económico recipiente con forma de paralelepípedo recto abierto por arriba, de 96 cm.3 de capacidad sabiendo que la base cuesta 30 u.m./cm.2 y los laterales 10 u.m./cm.2. (u.m. significa unidades monetarias). 4) Obténganse los extremos de la función f ( x, y ) = x + y con la restricción 2 x 2 + y 2 = 1 . ══════════════════════════════════ 2

II.- CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES 6.- OPERADORES DIFERENCIALES

EN

CAMPOS ESCALARES

Y

VECTORIALES

OBJETIVOS Definir y analizar los conceptos de campo escalar y campo vectorial, así como los de gradiente, rotacional y divergencia. Analizar sus diferentes propiedades. Introducir el operador nabla de Hamilton, establecer algunas igualdades notables y las condiciones para que campos vectoriales sean gradientes o rotores.

CUESTIONES 1) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: 2 3 Sea F ( x, y , z ) = ( f ( x ) , g ( y ) , h ( z ) ) siendo F �C ( � ) . Entonces rot ( F ) = 0 y div ( F ) = 0 .

(Cuestión 4 propuesta en Septiembre del 2.004)

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2) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: r r r r F ( x, y , z ) = ( y + 2 y 2 + ayz 3 ) i + ( x + 4 xy + axz 3 ) j + ( 3axyz 2 ) k . Sea r uuuur F = grad ( U ) , siendo U un campo escalar, solo cuando a > 0 .

Entonces

(Cuestión 4 propuesta en Septiembre del 2.007)

══════════════════════════════════

PROBLEMAS

r 2 4 2 1) Supuesto que el campo F ( x, y, z ) = ( 2 y - 3 z y, yx + 3cos ( xz ) , F3 ) representa el campo de velocidades de un fluido, ¿cómo ha de ser F3 = F3 ( x, y, z ) , para que el fluido sea incompresible? r 2) Calcúlense las líneas de rotor del campo vectorial F ( x, y, z ) = ( xy, z, x ) . Obténgase la que pasa por ( 0, 0, 0 ) . ══════════════════════════════════

7.- INTEGRACIÓN MÚLTIPLE OBJETIVOS Definir la integral doble. Analizar sus propiedades e interpretación geométrica. Calcular integrales dobles sobre rectángulos [ a, b ] �[ c, d ] y sobre recintos convexos. Aprender la técnica del cambio de variables. Realizar el trabajo análogo para integrales triples. Analizar el concepto de las integrales múltiples impropias.

CUESTIONES Razónese si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: 1) Sea D = [ 0,1] �[ 0,1] , entonces

1

1

� �2 - x dxdy = 2 . D

(Cuestión 4 propuesta en Septiembre del 2.005)

2) (*)

F ( x, y , z ) = f ( x ) g ( y ) h ( z )

Sea

continua

en

W = [ -1,1] �[ 0,1] �[ 1, 2]

tal

que

� �F ( x, y, z ) = 8 . �f ( t ) dt = 1 , �g ( t ) dt = -2 , �h ( t ) dt = -4 . Entonces � 1

1

-1

0

2

W

1

(Cuestión 3 propuesta en Junio del 2.005)

3)

)

(

1 1 � 2 x - x2 � f ( x, y ) dy � dx = �� 2 f ( x, y ) dx dy . � 2 �� 1 �- 2 x - x -1 1- 1- y � 2

(Cuestión 4 propuesta en Junio del 2.004)

4) (*)

22

y )-�� | x ( x,� � �x dxdy = 15 , siendo D =γ{ +2

D

0, x 2

y 2 2 0, x y 2

0} .

(Cuestión 3 propuesta en Junio del 2.007)

5) Hállese: 4

2

2

a)

y ��e dydx

b)

��

0

x 2

1

0

y

y

sen x dxdy . x

6) (*) Hállese

� �x dxdy 2

D

siendo D el recinto limitado por las rectas y = x , y = - x , x = 1 .

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p 2

p 2

���sen ( y ) dzdydx .

7) Calcúlese

0

3

x

2

1

8) Sea D el subconjunto de �3 delimitado por las superficies y 2 = 1 - z , x = 0 , x = 4 y 3 2 2 2 z = 0 . Hállese � � �y sen ( x + y + z ) dxdydz . D

══════════════════════════════════

PROBLEMAS

� �xydxdy

1) (*) Hállese

siendo I la región del primer cuadrante encerrada entre las pará-

I

bolas y = x e y = x . 2

2) Hállese

2

x- y

� �cos x + y dxdy D

siendo D el triángulo limitado por las rectas x = 0 , y = 0 ,

x + y = 1.

3) Hállese el área comprendida entre las circunferencias x 2 + y 2 = 2 x y x 2 + y 2 = 4 x y las rectas y = x e y = 0 . (Problema 2 propuesto en Febrero del 2.004)

4) Hállese de

�

�e

(

- x2 + y 2

� �e

)

D

- x2

-�

dxdy siendo D el primer cuadrante. Dedúzcase del resultado el valor

dx .

5) Calcúlese, utilizando coordenadas esféricas, el volumen del sólido W=Σ{++ y , z ) +��� �3 |1 x 2 y 2 z 2 16, z 2 x 2 y 2 , x 0, y 0, z ( x,��

0} .

(Problema 2 propuesto en Junio del 2.007)

6) Calcúlese

� � �ze

(x

2

+ y2

D

)

dxdydz siendo D el recinto limitado por la superficie cilíndrica

x 2 + y 2 = 4 y los planos z = 2 , z = 3 .

7) Calcúlese el volumen del sólido limitado por z 2 + x 2 = 4 , x = 3 y , z = y con z �0 . (Problema 2 propuesto en Septiembre del 2.007)

8) El depósito de gasolina de una refinería tiene forma esférica de radio a . ¿Qué volumen a de gasolina hay dentro del depósito si el nivel de la misma está a una altura . 2 (Problema 2 propuesto en Junio del 2.003)

9) Hállese el volumen de la región limitada por z = 9 x 2 + 9 y 2 , z = 36 , z = 81 . (Problema 2 propuesto en Junio del 2.006)

10) Hállese el volumen del cuerpo limitado por las superficies x 2 + y 2 - ay = 0 y x2 + y 2 + z 2 - a 2 = 0 . ══════════════════════════════════

8.- INTEGRALES

DE

LÍNEA

Y DE

SUPERFICIE

OBJETIVOS Definir la integral curvilínea en �2 y en �3 . Analizar su utilidad y propiedades. Definir el concepto de función potencial. Aprender a obtenerla. Introducir el elemento de área de una superficie y el cálculo del área de superficies. Definir y calcular integrales de superficie. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA (E.U.I.T.I.) – AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS (PLAN 2002) CURSO 2.007 / 2.008 - MATERIAL PARA PROFESORES - 9 de 16

CUESTIONES 1) Calcúlese la integral de línea

�( 2 x y ) dx + ( 3 yx ) dy 2

G

siendo G :

a) el segmento de recta que une A = ( 4, 0 ) y B = ( 0, 4 ) , desde A hasta B . b) el arco de circunferencia de centro el origen que une A y B , en el mismo sentido. 2 z 2 2 z 2) Sea la forma diferencial ( 2 xyz ) dx + ( x z + 2 ye ) dy + ( x y + y e ) dz . ¿Admite función po-

tencial? En caso afirmativo, hállese dicha función potencial. 3) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: �� 4 2 2 3� 7 � p - �yx + x y �+ x � dx + ( xy 4 + y 3 ) dy = , siendo G = g 1 �g 2 �g 3 La integral � G� � 3 12 � � �x = cos ( 2p t ) �x = t 2 recorrida en sentido positivo y g 1 �� , 0 �t � ; g 2 �� , 2 �y = t �y = sen ( 2p t )

�

�x = t 1 3 2 �t � ; g 3 �� , �t �0 . 8 8 2 �y = -t (Cuestión 3 propuesta en Septiembre del 2.006)

4) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: 1 F = , siendo F ( x, y, z ) = ( 0, 0, z ) y G = g 1 �g 2 �g 3 con La integral de línea G 2 ( ) �x = cos p t �x = cos ( p t ) �x = -1 � � � g 1 ��y = sen ( p t ) , 0 �t �1 ; g 2 ��y = 0 , 0 �t �1 ; g 3 ��y = sen ( p t ) , 1 �t �2 . � z=0 �z = t � z =1 � � �

�

(Cuestión 3 propuesta en Febrero del 2.007)

5) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: r r r Bajo el efecto del campo vectorial F ( x, y, z ) = -e xyz ( yzi + xzj + xyk ) el trabajo

p� � realizado al moverse una partícula desde el punto A = � 2, 2, �al punto � 2� B = ( 0, 2, p ) siguiendo el camino rectilíneo es menor que haciéndolo sobre la curva g ( t ) = ( 2 cos ( 2t ) , 2sen ( 2t ) , 4t ) . (Cuestión 4 propuesta en Febrero del 2.007)

══════════════════════════════════

PROBLEMAS 1) Hállese el trabajo realizado por una partícula sometida al campo de fuerzas r F ( x, y ) = ( y, x ) cuando recorre las curvas: a) g dada por y = x entre los puntos ( 0, 0 ) y ( 1,1) . b) g dada por y = x 2 entre los puntos ( 0, 0 ) y ( 1,1) . c) g dada por y = x 3 entre los puntos ( 0, 0 ) y ( 1,1) . 3 d) g dada por y = x ( x - 1) ln ( x + 2 ) + x entre los puntos ( 0, 0 ) y ( 1,1) .

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2) Calcúlese el trabajo realizado por una partícula sometida al campo de fuerzas r F ( x, y, z ) = ( 2 xyz 2 , x 2 z 2 + z cos ( yz ) , 2 x 2 yz + y cos ( yz ) ) al desplazarse desde A = ( 2, 0, 0 ) �x 2 + y 2 = 4 B = 0 , 2 , 2 hasta en el primer octante. ( ) a lo largo de la curva � �y = z 3) Calcúlese el área de la superficie z = 9 x 2 + 9 y 2 limitada por z = 36 , z = 81 . (Problema 2 propuesto en Septiembre del 2.006)

4) Calcúlese el área de la superficie cilíndrica z 2 + x 2 = 4 , z  0 comprendida entre los planos z = 3 y , z = y . 5) Supuesta la tierra esférica de radio a km., determínese el área de la porción de superfip p cie terrestre comprendida por los meridianos de longitud y , y los paralelos de la6 3 p p titud y . 4 3 (Problema 2 propuesto en Junio del 2.005)

6) Calcúlese

� �x

x2 y 2 z 2 + - =0 9 9 4 7) Calcúlese

+ y 2 dS

2

S

S

la cara externa de la superficie cónica

limitada por z = 2 en el primer octante.

� �xyzdS S

siendo

siendo S la superficie cilíndrica x 2 + y 2 = R 2 situada en el primer

octante y limitada por z = h . ══════════════════════════════════

9.- TEOREMAS INTEGRALES OBJETIVOS Establecer el teorema de Green-Riemann, así como el de Stokes y el de Gauss-Ostrogradski o de la divergencia. Aprender a utilizarlos en las aplicaciones.

CUESTIONES 1) Indíquese razonadamente si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: r Sea F = ( P, Q ) un campo vectorial de clase C2 y D un recinto cerrado y acotado del plano cuya frontera es la curva cerrada G . Se sabe que r r uu uu r F g dl � = 26 , recorriendo G en sentido positivo y siendo dl el elemento de G

longitud de arco, y que

� P � Q = - 2 . Entonces el área de D es 13 . � y � x

(Cuestión 4 propuesta en Febrero del 2.004)

2) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: �x 2 + y 2 + z 2 = a 2 1 � y 2 dz = 0 , siendo G �� 2 La integral sen xdx + e dy + 2 �a � 2 G 1+ z �x + y = � � �2 � �

�

z>0 a �0

(Cuestión 4 propuesta en Septiembre del 2.006)

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.

3) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: 2 3 Sean F , G : �3 � �; F , G �C ( � ) , armónicas. Entonces el flujo exterior del uuuur uuuur grad ( G ) - G � grad ( F ) a través de cualquier superficie cerrada de campo F � R3 es CERO. (Cuestión 3 propuesta en Junio del 2.003)

4) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: ( x �y + e y ) dx + ( x �y + x �e y - 2 y ) dy = 0 , siendo G �x 2 + y 2 = a 2 . � G (Cuestión 4 propuesta en Junio del 2.007)

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PROBLEMAS 1) Calcúlese

�( arctg x + y ) dx + ( e 2

y

C

- x 2 ) dy , siendo C la curva que encierra el dominio D

de la figura en el sentido que indican las flechas.

(Problema 1 propuesto en Junio del 2.003)

2) Aplicando el teorema de Stokes, calcúlese: 2 ydx + 3 xdy - z 2 dz , siendo G la circunferencia de ecuaciones paramétricas a) � G x = 3cos l , y = 3sen l , z = 0 , para 0 �l �2p . �x 2 + y 2 = 3z � 2 2 2 yz dx + xz dy + 3xyzdz siendo G �� b) � sabiendo que su proyección sobre G 2 2 �x + y = 3x XOY está orientada positivamente.

3) Calcúlese el flujo, primero aplicando la definición y después mediante el Teorema de la Divergencia, del campo vectorial F ( x, y, z ) = ( 9 x,9 y,9 z ) a través de la superficie x 2 + y 2 + z 2 = 25 . (Problema 2 propuesto en Febrero del 2.007) z 2 n +1 4) Calcúlese el flujo del campo F ( x, y, z ) = ( e ,sen x, y ) , n ��, a través de la superficie

�z = 1 - x 2 - y 2 S �� . �z �0 (Problema 2 propuesto en Septiembre del 2.005)

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III.- ECUACIONES DIFERENCIALES Y TRANSFORMADA DE LAPLACE

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10.- ECUACIONES DE UNICIDAD. DIFERENTES

PRIMER ORDEN. TEOREMA DE EXISTENCIA TIPOS DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

Y

OBJETIVOS: Conseguir la capacidad de identificar distintos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, determinar su resolubilidad y aplicar técnicas de resolución adecuadas.

CUESTIONES 1) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = 0 Si es una diferencial

exacta,

entonces

xP ( x, y ) dx + xQ ( x, y ) dy = 0 también lo es. (Cuestión 5 propuesta en Febrero del 2.007)

2) Hállese la solución general de la ecuación diferencial yy� ( 1 + x2 ) - x ( 1 + y 2 ) = 0 . 3) Obtenga la curva que pasa por el punto ( 0, 2 ) y es tal que, en cada uno de sus puntos, la pendiente de la recta tangente tiene por valor el doble del producto de la abscisa por la ordenada. 2

4) Hállese la solución general de la ecuación diferencial y � - 2 xy = 2 xe x . 5) (*) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: 2 y sen ( y 2 ) dy = 0 admite un factor La ecuación diferencial 3cos ( y ) dx - 2 x �� integrante que sólo es función de x . (Cuestión 5 propuesta en Junio del 2.007)

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PROBLEMAS - ( x + y + 1) = 0 . 1) Hállese la solución general de la ecuación diferencial ( 2 x + 2 y + 3) y � 2 2 2) Hállese la solución general de el problema de valor inicial ( x + y ) dx = 2 xydy , y (1) = 0 . 2 2 2 3) Hállese la solución general de la ecuación ( 3 x + 2 y ) dx + ( 4 xy + 3 y ) dy = 0 . 3 2 4) Hállese la solución general de la ecuación diferencial ydx + ( x - 3 x y ) dy = 0 sabiendo

que admite un factor integrante m de la forma m = m ( xy ) . (Problema 3 propuesto en Junio de 2.006)

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11.- LA

TRANSFORMADA DE

LAPLACE

Y SUS APLICACIONES

OBJETIVOS: Manejar las técnicas básicas de obtención de la transformada de Laplace y de su inversa. Aplicarlas a la resolución de ecuaciones diferenciales, sobre todo lineales.

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CUESTIONES 1) (*) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: La transformada inversa de Laplace de F ( z ) = es la función real de variable real f ( t ) =

1

( 2 z - 3)

2

(ó F ( s ) =

1

( 2 s - 3)

2

)

te3t . 4

(Cuestión 5 propuesta en Septiembre del 2.004)

2) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: Si f y g son funciones de R en R para las que existen L [ f ] y L [ g ] , y � � ( f �g ) � teniendo en cuenta la expresión de L � , se verifica la igualdad: � � � 1 L[ f � g] = ( L [ f � � g] + L [ f � g� ] + f ( 0 ) �g ( 0 ) ) . z (Cuestión 7 propuesta en Junio del 2.003)

3) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: � + a 2 y = f ( x ) con La ecuación diferencial y � 1 x y ( x ) = �f ( t ) sen ( a ( x - t ) ) dt como solución. a 0

y ( 0 ) = y� ( 0) = 0

tiene

a

(Cuestión 6 propuesta en Septiembre del 2.005)

4) Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace calcúlese la transformada de: � p� 2 2 7x 5 x + �. a) f ( x ) = 2 x + sh ( 5 x ) + 3e + sen � 4� � 2 x x b) f ( x ) = � t cos ( 2t ) dt + + sen 2 x . 0 2 �k 5) Calcúlese la transformada de Laplace de la función periódica f ( x ) = � -k �

0 �x < a . a �x < 2a

6) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: 2z3 + 6z 2s3 + 6s 2 � L� x Ch x = 3 (ó 3 ). � � 2 ( z - 1) ( s 2 - 1) (Cuestión 5 propuesta en Septiembre del 2.007)

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PROBLEMAS x -p 1) Calcúlese la transformada de Laplace de f ( x ) = up ( x ) e cos ( x - p ) . 3 2) Hállese la función y = y ( t ) que satisface y ( t ) = t +

t

�sen ( t - x ) y ( x ) dx . 0

(Problema 3 propuesto en Febrero del 2.007) t

+ 6 y + 9� y ( x ) dx = t con y ( 0 ) = 0 . 3) (*) Hállese la solución de la ecuación y � 0 (Problema 3 propuesto en Septiembre del 2.005)

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� + ay� + by = f ( t ) , a, b ��, siendo f ( t ) una función perió4) Sea la ecuación diferencial y � dica. La transformada de Laplace de una solución de dicha ecuación es 3 1 z 3 1 s F ( z) = + + 2 + + 2 (ó F ( s ) = ). Hállense a , b y f ( t ) . 2 2 ( z - 2) z z + 4 ( s - 2) s s + 4 (Problema 3 propuesto en Junio del 2.004)

5) Hállese � 4e r ( t) = � �0

la t

solución

de

la

ecuación

diferencial

� y� - 5 y� + 6y = r ( t)

siendo

0 �t �2 ( 0) = 4 . , y ( 0 ) = 0 , y� t>2

(Problema 3 propuesto en Septiembre del 2.006) x

y ( t ) dt = sen ( 2 x ) . 6) Obténgase la función y = y ( x ) que satisface y + � 0 (Problema 3 propuesto en Junio del 2.007)

+ x - y = 1 + sen t �x� 7) Dado el sistema de ecuaciones diferenciales � , con las condiciones - x� + y = t - sen t �y� x ( 0 ) = 0 , y ( 0 ) = 1 , hállense x ( t ) e y ( t ) . ══════════════════════════════════

12.- ECUACIONES

DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

OBJETIVOS: Obtener la capacidad de identificar distintos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior, determinar su resolubilidad y aplicar las técnicas de resolución adecuadas.

CUESTIONES 1) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: Sea una ecuación diferencial lineal homogénea de orden dos que tiene como solución y = x 2 . Entonces no puede ser de coeficientes constantes. (Cuestión 6 propuesta en Junio del 2.004)

2) Analice la dependencia o independencia lineal de las funciones x { 1,sen 2 x, cos 2 x} , 1, cos x, cos 2 . 2

{

}

{ 1,sen x, cos x} ,

(El tercer sistema se propuso como la Cuestión 5 en Junio del 2.004)

3) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: � + 42 y� + 39 y = 0 , con La solución de la ecuación diferencial y iv + 13 y� ( 0 ) = y� ( 0 ) = y� ( 0 ) = 0 está acotada en �. � � � y ( 0 ) = y� (Cuestión 6 propuesta en Febrero del 2.007)

4) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: Si las raíces de la ecuación característica asociada a una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes son 1 �2i y 3 , la � � � - 5 y� + 11 y� - 14 y = 0 . ecuación es y � (Cuestión 6 propuesta en Junio del 2.007)

5) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: � � � + b2 y� = sen ( 2bt ) , con b �0 , son periódicas. Todas las soluciones de y � (Cuestión 6 propuesta en Septiembre del 2.007)

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PROBLEMAS 1) Halle las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas: � - 5 y� + 6y = 0 . a) y � � � � b) y - 6 y + 9 y = 0 . � - 2 y� + 10 y = 0 . c) y � 6) 5) d) y - 4 y + 6 y 4) - 4 y 3) + y 2) = 0 . e) y 6) + 18 y 4) + 81y 2) = 0 . 2) (*) Se considera la ecuación diferencial con coeficientes constantes � � � y� + a1 y � + a2 y� + a3 y = 1 , ai �R , que admite por soluciones particulares y1 = x e y2 = x + sen x . a) Calcúlense los coeficientes ai �R . b) Hállense la solución general de la ecuación homogénea asociada a la anterior y la � particular con los valores iniciales y ( 0 ) = y� ( 0 ) = y� ( 0) = 0 . � � � + a1 y� + a2 y� + a3 y = f ( x ) donde los ai son los calculados c) Hállese la solución de y� z-2 anteriormente y f ( x ) es tal que L [ f ] = 2 . z +4 (Problema 3 propuesto en Junio del 2.003) 3)

a) Determínese la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden tres que tiene como soluciones y1 = cos x , y2 = e x . � � � + ay � + by� + cy = 0 es la ecuación del apartado anterior, resuélvase b) Si y � � � � � y� + ay� + by� + cy = x - 1 con y ( 0 ) = y� ( 0 ) = 0 , y� ( 0) = 1 . (Problema 3 propuesto en Septiembre del 2.007)

4) El movimiento de un electrón de masa m y carga e en un campo eléctrico y otro magnético constantes de intensidades de campo respectivas E y H , viene dado por el � mx� + Hey� = Ee � sistema de ecuaciones � . Sabiendo que m , e , H y E son constantes, y � - Hex� =0 �my �

suponiendo que x ( 0 ) = y ( 0 ) = x� ( 0 ) = y� ( 0 ) = 0 , hállense x = x ( t ) e y = y ( t ) , es decir, las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del electrón. ══════════════════════════════════

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