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PROCESOS QUÍMICOS – Control, Modelamiento y Simulación Dinámica M. Coronado - J. Juliao – A. Fuentes

PROCESOS QUÍMICOS Control, Modelamiento y Simulación dinámica Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Química Universidad del Atlántico

AUTORES: Melanio Coronado Hurtado. Jennifer Juliao Paula Alberto Fuentes Enamorado

Documento para uso académico Todos los derechos reservados Barranquilla – Colombia

2012

Ingeniería Química | Uniatlántico|2012

PROCESOS QUÍMICOS – Control, Modelamiento y Simulación Dinámica M. Coronado - J. Juliao – A. Fuentes

PREFACIO En un proceso químico siempre están ocurriendo cambios, y si no se responde con las acciones apropiadas, las variables de proceso más importantes (es decir aquellas relacionadas con la seguridad, la calidad del producto, y el volumen de producción) no alcanzarían las condiciones de diseño adecuadas. Además, si se consideran los desafíos que posee la industria química en el siglo XXI como son: el ahorro energético, el cuidado del medio ambiente, la seguridad de los procesos y el desarrollo de mejores ambientes de trabajo, el control automático es un complemento que sirve a los procesos, tanto para compensar esos cambios inherentes como para hacer más eficientes todos los sistemas de gestión. Sin embargo, la teoría de control es muy extensa y en los últimos tiempos ha avanzado mucho gracias a la creación de herramientas informáticas más sofisticadas, hecho que ha contribuido a que el control de procesos se pueda comprender mucho más fácilmente con la ayuda de lenguajes de programación y simuladores de procesos químicos. Es precisamente gracias a este avance, que en la teoría y la práctica del control automático se han aportado los medios necesarios para obtener un desempeño óptimo de los sistemas dinámicos, mejorar la productividad y aligerar la carga de las operaciones manuales repetitivas y rutinarias antes realizadas por el personal operador. Para llegar a un mejor entendimiento de los procesos y de la mejor forma como controlarlos se hace necesario realizar un estudio riguroso de la teoría de control y para ello se requiere un conocimiento matemático avanzado y complejo. Pero esta dificultad se puede disminuir, sin detrimento de su entendimiento, a través de herramientas informáticas como: Simulink®, LabView®, Aspen Dynamics®, y Aspen-HYSYS®, entre otras, que permiten hacer simulaciones de los procesos reales con la realización interna de una gran cantidad de algoritmos para la solución de los diferentes problemas. Sin embargo, este último es uno de los más utilizados, porque posee una de las interfaces más amigables con el usuario, sumado al hecho de que puede realizar simulaciones tanto en estado estacionario como en estado dinámico, en una misma plataforma. El desarrollo de un curso de control, modelamiento y simulación asistido con Aspen-HYSYS® como éste es, por lo tanto, una oportunidad de multiplicar el conocimiento académico de estudiantes de pre grado de Ingeniería Química y buscar unir las herramientas informáticas actuales con los procesos químicos.

Autores

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TABLA DE CONTENIDO

MÓDULO I: CONTROL DE PROCESOS ...................................................................................................... 1 1.

TEORÍA BASICA DE CONTROL ................................................................................................................ 2

2.

SINTONIZACIÓN EN LAZO CERRADO ............................................................................................... 7431

3.

DINÁMICA DE SISTEMAS: ATRASOS Y ADELANTOS ......................................................................... 1484

4.

SINTONIZACIÓN EN LAZO ABIERTO ................................................................................................. 3156

5.

CONTROL DE MODELO INTERNO - IMC ............................................................................................... 64

6.

TEORÍA DEL CONTROL EN CASCADA................................................................................................ 1714

7.

TEORÍA DEL CONTROL FEEDFORWARD ........................................................................................... 1190

8.

TEORÍA BÁSICA DEL CONTROL EN REACTORES………………………………………………………………………………..90

9.

TEORÍA BÁSICA DEL CONTROL DE RANGO DIVIDIDO ...................................................................... 1194

10. TEORIA DEL CONTROL DE RELACIÓN……………………………………………………………………………………………… 99 11. TEORIA DEL CONTROL SELECTIVO………………………………………………………………………………………………….104

MÓDULO II: DINÁMICA DE PROCESOS ..................................................¡Error! Marcador no definido.108 12. DINÁMICA DE UN SEPARADOR DE FASES……………………………………………………………………….109 13. DINÁMICA DE UN TANQUE DE MEZCLADO…………………………………………………………………… 114 14. DINÁMICA DE UNA COLUMNA DE DESTILACIÓN ………………………………………………………… 119 15. DINÁMICA DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR…………………………………………………………… 127 16. DINÁMICA DE UN CSTR…………………………….…………………………………………………………………… 135 17. DINÁMICA DE UNA DESTILACIÓN DE UNA MEZCLA AZEOTRÓPICA HOMOGÉNEA………………………………………………………………………………………………………………………… 142 MÓDULO III: SIMULACIÓN DINÁMICA ............................................................................................... 147 18. CONTROL BÁSICO: SEPARADOR DE FASES ....................................................................................... 148

19. SINTONIZACIÓN EN LAZO CERRADO ................................................................................................. 184 20. ATRASOS Y ADELANTOS DINÁMICOS .............................................................................................. 1845 21. SINTONIZACIÓN EN LAZO ABIERTO - IMC ......................................................................................... 205 22. CONTROL EN CASCADA ..................................................................................................................... 219 23. CONTROL FEEDFORWARD ................................................................................................................. 233 24. CONTROL DE UN REACTOR CSTR ....................................................................................................... 248 25. CONTROL DE RANGO DIVIDIDO......................................................................................................... 264 26. CONTROL DE RELACIÓN .................................................................................................................... 278 27. CONTROL SELECTIVO ....................................................................................................................... 3014 ii Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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MÓDULO I: CONTROL DE PROCESOS Diseño y Estrategias

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1. TEORÍA BÁSICA DE CONTROL 1.1 Lazo de control por retroalimentación (feedback) Un sistema de control es un sistema compuesto por elementos que tienen la función de mantener la variable de proceso (PV) en un valor deseado conocido (llamado Set-Point o SP) o en un rango permisible que garantice que las especificaciones del producto se mantengan entre los valores deseados. La función de los sistemas de control es monitorear una o varias variables de proceso, y a la hora que se produzca una variación en el sistema, éste debe ser capaz de corregirlo a través de la manipulación de una variable que influya directamente en la que se quiere controlar. Una configuración tradicional de los lazos de control es la de retroalimentación negativa o feedback. En los lazos de control retroalimentados, de una variable específica, se ejecutan tres acciones primordiales en el control que son: medición (M), decisión (D) y acción (A) ensamblados como se muestra en la Figura 1.1.

Figura 1.1. Control automático de proceso por retroalimentación negativa

Los instrumentos que se requieren para hacer este lazo de control son: un sensor/transmisor que es el dispositivo que mide el valor de la variable de proceso a controlar y la transforma en señales entendibles para el siguiente elemento del lazo. Un controlador que es un equipo capaz de interpretar la desviación o diferencia que hay entre el SP y la medida hecha por el sensor (de ahí el nombre del lazo), y genera una señal correctora que busca alcanzar el valor deseado; y por 2 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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último, pero no menos importante, un elemento de control final o dispositivo que recibe la señal del controlador para aplicar la acción correctiva.

1.2 Variables de proceso Las variables de procesos son magnitudes, ya sean intensivas o extensivas, tales como presión, temperatura, composición, flujos másicos o molares, flujos de calor, etc., que son controladas o manipuladas para el buen funcionamiento del proceso. En un sistema de control, normalmente las variables de proceso son clasificadas en variables de entrada y en variables de salida (1).

 Las variables de salida del proceso son aquellas que dan información sobre el estado de éste y usualmente están asociadas con corrientes de salida o con mediciones hechas dentro del proceso. A menudo se refiere a estas como variables controladas, variables de proceso o PV, estas son medidas y reguladas hasta su valor deseado o SP. Las variables comúnmente controladas son: flujo, por ejemplo alimentación a un equipo, nivel de líquido, presión y temperatura de un equipo (separador de fases, tanques de mezclado, tambores de reflujo, intercambiadores de calor, etc.).  Las variables de entrada del proceso son variables independientes que afectan las variables de salida. Estas, a su vez, pueden ser clasificadas en:  Variables manipuladas: (también llamadas variables de control) son ajustadas libremente por un operador o un mecanismo de control a través de un elemento de control final como una válvula de control. Un ejemplo de estas puede ser el flujo másico del fluido caliente en un intercambiador de calor, el flujo de una corriente de agua de proceso, etc.  Perturbaciones (o variables definidas externamente) que están sujetas al medio ambiente externo y por lo tanto no pueden ser controladas. Generalmente estas se relacionan con corrientes de entrada y de salida del proceso. Un ejemplo de estas es la temperatura de vapor de alta como fluido caliente en un intercambiador o la composición de la corriente de alimento de un equipo. Teóricamente, en un proceso deberían controlarse todas las variables de salida, pero en la realidad esto no es posible por diversas razones como: 3 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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 No es posible medir todas las variables de salida al mismo tiempo, como ocurre sobre todo con las composiciones, incluso cuando estas mediciones son posibles, hacerlas puede llegar a ser muy costoso.  Cuando, a través del análisis de los grados de libertad de un proceso, no se encuentran suficientes variables manipulables para controlar todas las variables de salida.  Los lazos de control pueden llegar a ser poco prácticos debido a dinámicas muy lentas, baja sensibilidad de las variables manipuladas, o interacciones con otros lazos de control. A continuación se presentan una serie de directrices que pueden ser usadas para la selección de las variables controladas o de salida y las variables manipuladas o de entrada (2):

 Selección de las variables controladas (variables de salida) Directriz 1: Seleccione las variables que sean inestables o no autorreguladas. Una variable autorregulada es aquella en la que un cambio en una variable de entrada resulta en un nuevo estado estacionario. Por otro lado, una variable no autorregulada es aquella en la que un cambio en la variable de entrada afecta la variable de salida como un proceso integrador puro o nunca alcanza un nuevo estado estacionario. Directriz 2: Elija la variables que pueden exceder los límites de los equipos y de operación cuando no hay control sobre ellas. Directriz 3: Elija las variables que sean una medida directa de la calidad del producto o que la afecten en mayor medida. Directriz 4: Elija como variable de salida a aquella que tenga interacciones significativas con otras variables de salida. Directriz 5: Elija como variables de salida a aquellas que tengan una respuesta dinámica y estática favorable ante las variables manipuladas disponibles.

 Selección de las variables manipuladas (variables de entrada) Directriz 6: Seleccione las variables manipuladas que afecten significativamente las variables controladas.

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Directriz 7: Seleccione como variable manipulada aquella que afecte más rápidamente a las variables controladas. Directriz 8: Seleccione preferiblemente las variables manipuladas que afecten las variables controladas directamente. Directriz 9: Evite perturbaciones por recirculación.

 Selección de las variables medidas (aplica tanto para las variables controladas y manipuladas) Directriz 10: Mediciones confiables y precisas son esenciales para un buen control. Directriz 11: Seleccione los puntos de medición que sean lo suficientemente sensibles. Directriz 12: Seleccione los puntos de medición que minimicen los tiempos muertos y las constantes de tiempo.

Cuando dos de estas directrices parezcan entrar en conflicto, adopte aquella que sea más importante. Por otro lado se debe tener en cuenta que antes de seleccionar cuales son las variables controladas y manipuladas para el sistema de control, por lo cual se debe determinar el número de variables manipuladas permisibles. Esto se hace a través del análisis de grados de libertad, que se determina usando un modelo del proceso y de acuerdo a:

𝑁𝐷 = 𝑁𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 − 𝑁𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

(𝟏. 𝟏)

Donde ND es el número de grados de libertad, NVariables es el número de variables y NEcuaciones es el número de ecuaciones independientes que describen el proceso. Sin embargo, el número de variables manipuladas es generalmente menor que el número de grados de libertad, por lo que una o más variables deben ser externamente definidas. De esta manera, se puede escribir que:

𝑁𝑀𝑎𝑛𝑖𝑝𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 = 𝑁 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 − 𝑁𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑠 − 𝑁𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

(𝟏. 𝟐)

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Donde el número de variables manipuladas es igual al número de variables controladas.

1.3 Elementos de un lazo de control feedback Como se mencionó en la Sección 1.1, el lazo de control feedback posee los siguientes elementos: un sensor/ transmisor, el controlador, y el elemento de control final.

1.3.1 Sensor/ Transmisor Los sensores/transmisores o elementos primarios, generalmente son conocidos como una única unidad. Sin embargo dentro del equipo cumplen dos funciones totalmente diferentes: uno de ellos mide la variable de salida del lazo de control (sensor) y otro que transforma esta medida en una señal, por lo general eléctrica, que la pueda entender el controlador (transmisor). Actualmente existen una gran variedad de instrumentos creados para esta finalidad, estos se puede clasificar en cuatro grandes grupos (3):  Medidores de Presión, como manómetros, Tubo Bourdon (conocido mejor como manómetro Bourdon), celdas de presiones diferenciales (DP cell), etc.  Medidores de nivel de líquido en un contenedor, existen métodos clásicos como el uso de un flotador con una cuerda enganchado a la tapa del tanque, sensores de burbuja o métodos más modernos como el uso de ondas ultrasónicas que se reflejan hacia su punto de origen cuando golpean la superficie del líquido, entre otros.  Medidores de Temperatura, como termocuplas o termopar, termostatos bimetálicos, termómetros, etc.  Medidores de flujo, como tubo Venturi, tubo Pitot, de placa y orificio, rotámetros, vertederos, entre otros. Además de estos medidores, que hacen alusión a las cuatro variables de salida típicas, existen otros instrumentos, especializados para mediciones de variables de salida no convencionales, como cromatógrafos, para medir concentraciones (o composiciones) tanto en la fase liquida o gaseosa, medidores de pH, de conductividad eléctrica o térmica, viscosímetros, entre otros, los cuales en su 6 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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proceso de medición son más lentos, en comparación con los medidores de las 4 variables típicas, generando que el lazo de control sea ineficiente y de actuación muy lenta.

1.3.2 Controlador El controlador se considera como la mente maestra detrás del lazo de control, debido a que este elemento toma la acción correctiva frente a un cambio en la variable de salida ocasionado por una perturbación en el proceso. Para que esta vuelva al valor deseado, esta acción es enviada al elemento de control final. Generalmente los controladores tienen dos modos de trabajar: uno es el manual donde el operario decide que corrección debe hacerse, y el otro es el modo automático en el que el controlador es el que decide cómo actuar frente a la perturbación. Casi todos los controladores industriales emplean como fuente de energía la electricidad o un fluido presurizado, tal como el aceite o el aire. Las señales que le envía al elemento de control final pueden ser del tipo neumático, hidráulico o electrónico. Por último, la escogencia de un controlador adecuado para una industria en particular debe hacerse con base en la naturaleza de la planta y las condiciones operacionales, incluyendo consideraciones tales como: seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, precisión, peso y tamaño.

1.3.2.1

Acciones del controlador

Los controladores poseen dos formas de acción y esto depende del tipo de naturaleza de la variable de salida y del elemento de control final; hay que aclarar que si esto no se escoge correctamente, el lazo de control nunca va a cumplir su función. Los dos tipos de acción son la acción directa y la acción inversa.

 Acción directa Cuando la variable a controlar o de salida aumenta su valor por encima del valor deseado o SP, es necesario que el controlador aumente el valor de la variable manipulable o de entrada, por medio del elemento de control final, y así regresar la variable de salida hasta su valor deseado y viceversa, es decir, cuando disminuye la variable de salida por debajo del SP, el controlador por medio del elemento de control final, disminuye el valor de la variable manipulada.

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Este puede ser el caso del control de nivel de líquido de un tanque, que cuando este nivel aumenta por encima de su valor deseado, debe aumentar el flujo de salida de líquido de tanque, para que regrese a su nivel normal.  Acción Inversa Cuando el valor de la variable de salida aumenta por encima de su SP, se hace necesario que el controlador actué sobre el elemento de control final, para que disminuya el valor de la variable a manipular, y así poder disminuir el valor de la variable de salida hasta su valor deseado y viceversa. Un típico ejemplo seria el control de flujo de un fluido caliente que pasa a través de los tubos de un intercambiador de calor. En caso que aumente demasiado la temperatura del fluido frío, se hace necesario disminuir el caudal del fluido caliente, para que este regrese a su temperatura deseada.

1.3.2.2

Tipos de controladores

Cuando se refiere a tipo de controladores se quiere dar a entender la forma como el controlador interpreta el cambio de la variable de salida (PV), para darle una respuesta adecuada y hacer que la variable vuelva al valor deseado. Los tipos de controladores se pueden clasificar de la siguiente forma:

    

De dos posiciones o de encendido y apagado (on/off) Proporcionales o de ganancia pura Proporcionales-integrales Proporcionales-derivativos Proporcionales-integrales-derivativo

 Control de dos posiciones (4) (5) En un sistema de control de dos posiciones, el elemento de actuación tiene dos posiciones fijas que generalmente es encendido o apagado. El control de dos posiciones o de encendido/apagado es relativamente simple y barato, razón por la cual su uso es extendido en sistemas de control tanto industriales como domésticos (en el módulo B se hablara más a fondo de esto).

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Acción de control proporcional o ganancia pura (4) (5)

Siendo u(t) señal de salida del controlador que va hacia el elemento de control final y e(t) es la señal del error definida como la deviación entre el valor del SP y el valor de la variable a controlar; para un controlador con acción de control proporcional la relación entre estos estaría dada por:

𝑢(𝑡 ) = 𝐾𝑝 𝑒(𝑡 )

(𝟏. 𝟑)

Donde Kp se le conoce como ganancia proporcional o simplemente ganancia, el cual posee un valor positivo cuando el controlador tiene una acción inversa o negativo para una acción directa (para cambiar el signo de la ganancia en la acción directa simplemente se debe invertir la definición de la señal del error).

Otra forma de escribir la ecuación 1.3 es usando la transformada de Laplace y usando las variables desviación, las cuales generan la siguiente ecuación:

𝑈 (𝑠 ) = 𝐾𝑝 𝐸(𝑠)

(𝟏. 𝟒)

La Figura 1.2 muestra una respuesta típica de un controlador proporcional al que se le han asignado varios valores de Kp. Mientras mayor sea el valor de Kp, el controlador tomará una acción “más correctiva”, con respecto a un aumento o disminución de la señal de error, lo que genera una menor desviación entre el valor de la variable de salida y el SP, tal desviación se le conoce como “off-set”, pero al mismo tiempo, la respuesta del controlador se vuelve muy oscilatoria, lenta y puede tender a la inestabilidad. En cambio, mientras más pequeño sea el valor de Kp, el controlador tomara una acción “menos correctiva”, lo que ocasiona que su respuesta sea más rápida y menos oscilatoria, pero generando un mayor off-set. Aunque el control proporcional hace que la variable de salida regrese del estado dinámico al estacionario (respuesta última), o en otras palabras, permite que valor del error se vuelva constante en el tiempo, no significa que alcance una desviación (off-set) igual a cero, por lo que se demuestra que este controlador necesita de otro tipo de acción para superar este percance o tener una ganancia excesivamente grande. 9 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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Generalmente el uso de este tipo de controlador, es a lazos de control que permiten manejar off-set, como lo son los lazos concernientes al control de nivel de líquido.

1.8 Cambio paso en el SP Kp= 2 Kp= 10 Kp=100

Variable de salida (variable desviación)

1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -1

.

0

1

2

3

4 5 Tiempo (s)

6

7

8

9

10

Figura 1.2. Control proporcional con diferentes valores de K p para un cambio paso unitario en el SP

 Acción de control proporcional-integral (4) (5) La acción de control de un controlador proporcional-integral (PI), o también llamado como controlador clásico, se define mediante la siguiente ecuación:

𝐾𝑝 𝑡 𝑢(𝑡 ) = 𝐾𝑝 𝑒(𝑡 ) + ∫ 𝑒(𝑡 )𝑑𝑡 𝜏𝑖 0

(𝟏. 𝟓)

También se puede escribir de la siguiente forma, usando transformada de Laplace y las variables desviación:

𝑈 (𝑠 ) 1 = 𝐾𝑝 (1 + ) 𝐸 (𝑠 ) 𝜏𝑖 𝑠

(𝟏. 𝟔)

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En donde Kp, es la ganancia proporcional y τi se denomina tiempo integral (generalmente este valor se da en min). Tanto KP como τi son ajustables. El tiempo integral ajusta la acción de control integral, mientras que un cambio en el valor de KP afecta las partes integral y proporcional de la acción de control. La adición de un nuevo parámetro al controlador, le da una mejoría al controlador proporcional, en el sentido de que no genera off-set como se aprecia en la Figura 1.3. La razón por la cual la acción integral es capaz de remover el off-set, se explica de la siguiente forma: todo controlador tiene la finalidad de mantener el valor de la variable de salida, puesta en un lazo de control, constante en el tiempo. Lo que implica, que la señal del controlador, al alcanzar su respuesta última (estado estacionario), sea constante. Si se observa el primer término de la ecuación A.5, que representa la acción proporcional, este valor seria constante, si valor del error en el tiempo también fuese constante, mientras que el segundo término, que representa la acción integral, sólo es constante, cuando la integral del error es constante, o en otras palabras, que no existiese área bajo curva de la señal de salida del controlador (curva de color verde en la Figura 1.3), porque esta se encuentra sobre el eje de referencia o SP (curva cambio paso unitario). De esta manera, la señal de controlador comienza a variar en el tiempo hasta que el error sea constante e igual a cero, removiendo así, el off-set.

1.8 Cambio paso en el SP Acción P Acción PI

Variable de salida (variable desviación)

1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

10

20

30 40 Tiempo (s)

50

60

70

Figura 1.3. Comparación entre las acciones solo proporcional proporcional-integral para un cambio paso unitario en el SP

y

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El problema de este controlador es que requiere mucho tiempo para controlar la variable de salida. Es por esto que generalmente es usado en lazos donde la dinámica de las variables de salida es rápida, ejemplo de ello son los controles de flujo, de nivel de líquido o de presión. Otra forma de superar este percance es usar tiempos integrales pequeños que reducen el tiempo en la obtención de la respuesta última. 

Acción de control proporcional-derivativa (4) (5)

La acción proporcional-derivativa (PD) de un controlador se define mediante:

𝑢(𝑡 ) = 𝐾𝑝 𝑒(𝑡 ) + 𝐾𝑝 𝜏𝑑

𝑑𝑒(𝑡) 𝑑𝑡

(𝟏. 𝟕)

O usando transformada de Laplace y las variables desviación:

𝑈 (𝑠 ) = 𝐾𝑝 (1 + 𝜏𝑑 𝑠) 𝐸 (𝑠 )

(𝟏. 𝟖)

En donde Kp es la ganancia proporcional y 𝜏𝑑 es una constante denominada tiempo derivativo (generalmente este valor se da en min). Tanto KP como 𝜏𝑑 son ajustables. La adición de este nuevo parámetro, genera que la función tenga una acción anticipada, lo cual se puede explicar de la siguiente forma, usando la Figura 1.4, con la línea roja que representa la acción del controlador PD: en un principio, cuando se hace un cambio en el SP, por ejemplo, un cambio paso, y comienza actuar el controlador, la derivada del error hace que el valor de la acción derivativa, que es positiva, sea mucho mayor que la acción proporcional. Esto es debido a que la pendiente de la línea tangente que pasa por la curva del error, está casi paralela, con respecto al eje de las ordenadas. Conforme va pasando el tiempo, los valores de las acciones proporcional y derivativa van creciendo hasta que la variable de salida sobrepase el SP, ocasionando que el error pase de ser positivo a negativo. En este momento, el valor la acción proporcional seguirá aumentando, dado que la desviación entre el SP y el valor de la variable de salida aumentará, mientras que la acción derivativa, comenzará a disminuir su valor y se volverá un valor negativo. Puesto que esta acción se anticipa al error, y por ende, hace que el control actué de una manera más rápida para volver al SP, haciendo que se disminuya el sobresalto (overshoot) con respecto a los demás controladores mostrados en la Figura 1.4. Este 12 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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mismo proceso se seguirá repitiendo en las demás oscilaciones, pero de forma más rápida, puesto que el valor de la acción derivativa se va haciendo más grande (sin importar el signo), generando una acción del controlador más anticipativa en el tiempo, disminuyendo drásticamente la amplitud de una oscilación a otra. En resumen, la acción derivativa hace que el número de oscilaciones sea menor, disminuyendo el sobresalto (overshoot) generando un cambio drástico entre la primera oscilación y las siguientes, pero, permitiendo aún la existencia del off-set, puesto que esta es removida con la acción integral.

1.8 Cambio paso en el SP Acción P Acción PI Acción PD

Variable de salida (variable desviación)

1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

10

20

30 40 Tiempo (s)

50

60

70

Figura 1.4. Comparación entre la acción solo proporcional, proporcionalintegral y proporcional-derivativa para un cambio paso unitario en el SP

Aunque este controlador es más rápido que los controladores P, y PI, no es tan usado, porque se obtiene el mismo resultado que el obtenido por un controlador proporcional, con la desventaja que se necesita saber el valor de un parámetro más, que es el tiempo derivativo.

 Acción de control proporcional-integral-derivativa (4) (5) (6) La combinación de una acción de control proporcional, una acción de control integral y una acción de control derivativa se denomina acción de control proporcional-integral-derivativa (PID). Esta acción combinada tiene las ventajas de 13 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción se obtiene mediante:

𝐾𝑝 𝑡 𝑑𝑒(𝑡) 𝑢(𝑡 ) = 𝐾𝑝 𝑒(𝑡 ) + ∫ 𝑒(𝑡 )𝑑𝑡 + 𝐾𝑝 𝜏𝑑 𝜏𝑖 0 𝑑𝑡

(𝟏. 𝟗)

O aplicando Transformada de Laplace y usando las variables desviación:

𝑈 (𝑠 ) 1 = 𝐾𝑝 (1 + + 𝜏𝑑 𝑠) 𝐸 (𝑠 ) 𝜏𝑖 𝑠

(𝟏. 𝟏𝟎)

En donde Kp es la ganancia proporcional, 𝜏𝑖 es el tiempo integral y 𝜏𝑑 es el tiempo derivativo. Los efectos que tiene el agregar el tiempo derivativo y el tiempo integral se ven claramente en la Figura 1.5. El tiempo integral elimina el off-set, mientras que el tiempo derivativo hace que disminuya el tiempo en la obtención de la respuesta última.

1.8 Cambio paso en el SP Acción P Acción PI Acción PID

Variable de salida (variable desviación)

1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

10

20

30 40 Tiempo (s)

50

60

70

Figura 1.5. Comparación entre las acciones solo proporcional y proporcional-integral y Proporcional- Integral-derivativo para un cambio paso unitario en el SP

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Generalmente no se usa la ecuación 1.10, conocida como ecuación de un controlador PID ideal, puesto que si se toma literalmente la derivada de la curva de error, se produce el fenómeno conocido como “kick”. Esto ocurre un cambio en el SP, por ejemplo un cambio paso, la derivada del error toma un valor infinito (pendiente paralela al eje de las ordenadas), lo que ocasionara que el valor de la variable de entrada aumente súbitamente y después caída súbitamente como una púa “spike”. Para superar esta situación se usa la ecuaciones 1.11 a y b, conocidas como ecuación del controlador PID real, la ecuación 1.11a está en su forma de serie o interactuante y la 1.11b está en paralelo.

𝑈 (𝑠 ) 1 𝜏′𝑑 𝑠 + 1 ) = 𝐾𝑝 ′ (1 + ′ ) ( ′ 𝐸 (𝑠 ) 𝜏 𝑖𝑠 𝜏 𝐹𝑠 + 1

(𝟏. 𝟏𝟏𝐚)

𝑈 (𝑠 ) 1 𝜏𝑑 𝑠 ) = 𝐾𝑝 (1 + + 𝐸 (𝑠 ) 𝜏𝑖 𝑠 𝜏𝐹 𝑠 + 1

(𝟏. 𝟏𝟏𝐛)

Donde el termino 𝜏𝐹 = 𝛼𝜏𝑑 y 𝜏′𝐹 = 𝛼𝜏′𝑑 , además α es un parámetro cuyo valor puede variar entre 0.05 hasta 2 y su valor típico es 0.1; cabe notar que si α es igual a cero, la ecuación de PID en su forma paralela (ecuación 1.11b) se convierte en la ecuación para el controlador PID ideal (ecuación 1.10), sin embargo esto no sucede con su forma en serie. La Tabla 1.1, muestra los factores de conversión para transformar los parámetros dinámicos de su forma serie a paralelo y viceversa, suponiendo 𝜏𝐹 y 𝜏′𝐹 son iguales a cero.

Tabla. 1.1. Conversión de los parámetros de un controlador PID Acción

Serie a Paralelo

Paralelo a Serie

Proporcional

𝜏′𝑑 𝐾𝑝 = 𝐾 𝑝 (1 − ) 𝜏′𝑖

4𝜏𝑑 0,5 ) ] 𝐾′𝑝 = 0,5𝐾𝑝 [1 + (1 − 𝜏𝑖

Integral

𝜏𝑖 = 𝜏′𝑑 + 𝜏′𝑖

4𝜏𝑑 0,5 ) ] 𝜏′𝑖 = 0,5𝜏𝑖 [1 + (1 − 𝜏𝑖

Derivativa

𝜏′𝑖 𝜏′𝑑 𝜏𝑑 = 𝜏′𝑑 + 𝜏′𝑖

′

4𝜏𝑑 0,5 ) ] 𝜏′𝑑 = 2𝜏𝑑 [1 + (1 − 𝜏𝑖

−1

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Es importante destacar que las ecuaciones para pasar de paralelo a serie solo son 𝜏 aplicables cuando 𝑑 ≤ 0.25. 𝜏𝑖

El problema de este controlador es el cambio abrupto entre la primera y las siguientes oscilaciones, hasta llegar a la respuesta última, generando que la variable de salida (PV) se salga de los rangos permisibles para el lazo de control, situación que por factores de riesgo, económicos, etc., es indeseable. Razón por la que este tipo de controlador es usado cuando las variables de salida, poseen una dinámica muy lenta, tales como los controles de temperatura y composición.

1.3.3 Elemento de control final El elemento de control final o “final control element” (FCE), es el dispositivo donde llega la acción correctiva proveniente del controlador, para condicionar la variable de entrada y corregir las perturbaciones de las variables de salida. Generalmente se usa una válvula, de operación neumática (también puede ser de operación eléctrica, hidráulica o manual, pero la neumática es la más práctica, por su simplicidad en el diseño (7) ) como FCE, la cual en el argot de los ingenieros de control se le conoce como válvula de control; otro ejemplo pero no tan común por cuestiones económicas, sería las bombas de velocidad variable, las cuales podrían hacer lo mismo que las válvulas de control, pero se limita para lazos donde se maneje corrientes en estado líquido. Puesto que la válvula de control es la que posee más aplicaciones industriales, se ha decidido hablar de ella en detalle.

1.3.3.1 Esquema general de una válvula de control (8) Una válvula de control se puede describir como un mecanismo compuesto de dos partes denominadas el actuador y el cuerpo de la válvula. La Figura 1.6 muestra una ilustración esquemática de una válvula de control. El actuador es la parte superior o carcasa que encierra al diafragma y el resorte adjunto, con el diafragma conectado al vástago. El cuerpo de la válvula o asiento es el bloque a través del cual se mueve el líquido desde la entrada hasta la salida con un flujo que depende del tamaño de la abertura permitido por el vástago y su plomada. Se deduce de la Figura 1.6, que cuando se produce un cambio en la presión sobre el área del diafragma, el vástago se desliza junto con la plomada ensamblada en su extremo y se efectúa un cambio en la abertura a través de la cual se permite el paso del fluido desde la entrada hasta la salida de la válvula de control. Es decir, la magnitud del flujo del fluido a través de la válvula depende de la fracción de la 16 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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abertura total disponible, que su vez depende de la presión ejercida sobre el diafragma.

Presión Diafragma

Resorte

Vástago Y Plomada

Asiento

Figura 1.6. Válvula de control neumática

Nota: en el texto indistintamente se usará el término “válvula de control” o sólo “válvula”, pero ambos tienen el mismo significado.

1.3.3.2

Acción de falla de una válvula de control

Un aspecto importante en el esquema de las válvulas de control, es el tipo de falla con que estas trabajan, o dicho de otra forma, ¿Qué acción toma la válvula de control para mantener la seguridad de los equipos y del personal en una planta cuando, cuando hay una falla energética o la válvula de control tiene una falla interna y por ejemplo se despresuriza de manera súbita? Para responder esta pregunta, hay que decir que existen dos tipos de fallas: uno donde la válvula es de falla cerrada o fail-closed (FC), que se cierra cuando se va la luz o posee una falla interna el FCE y requiere de energía para poder abrirla, es por eso que son llamadas air-to-open (AO), un ejemplo de esta sería, el lazo de control de nivel de líquido de un tanque, donde por lo general después de este recipiente, se encuentra una bomba y después una válvula de control que regula el nivel de líquido, cuando se va la energía o tiene una falla interna la válvula de control, es necesario que exista liquido en la corriente de succión de la bomba, para que no se dañe y también se requiere que líquido se mantenga en el recipiente, por eso este FCE debe ser de tipo FC o AO. 17 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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El otro tipo de falla, seria de falla abierta o fail-open (FO), la cual se abre, cuando sucede algunos de los dos casos mencionados anteriormente y esta requiere de energía para cerrarse o air-to-close (AC), un ejemplo de esta seria el lazo de control de presión de un tanque, que es regulado por vapor que se encuentra en su interior, cuando se va la energía o posee una falla interna el FCE, es necesario liberar todo el vapor para evitar que el tanque explote por aumento de presión a causa del vapor retenido, por lo cual esta válvula debe ser de tipo FO o AC. Para explicar con mayor claridad el tipo de acción de falla con que opera una válvula de control se muestra en la Figura 1.7 un modelo de cada una de ellas.

a)

b)

Figura 1.7. Tipo de falla de la válvula de control de falla abierta o FO a) y de falla cerrada o FC b) (Tomado de Fisher®. Control Valve Handbook. Cuarta edición. Marshalltown : Emerson Process Management, 2005. Pág 62)

En la Figura 1.7 a) la entrada de la señal neumática (puede ser aire comprimido), representada por la flecha roja, que entra por la parte superior del diafragma significa que un aumento en la señal del controlador obliga a bajar el actuador y por ende disminuye la abertura de la válvula de control, es decir, que si la señal del controlador deja de llegar al FCE, no hay ninguna fuerza que empuje el actuador hacia abajo y esta quedará abierta, o en otras palabras, esta válvula de control es del tipo FO o AC. La Figura 1.7 b) la señal neumática que entra por la parte inferior del diafragma significa que un aumento de la señal implica levantar el actuador, es decir, que si la señal deja de llegar al FCE, no hay ninguna fuerza que la empuje el 18 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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actuador hacia arriba, por lo cual esta quedará cerrada, lo que conlleva a decir que esta válvula es del tipo FC o AO. Otro punto a considerar es la acción de falla de las válvulas de control y como está como afecta la acción de controlador, por lo cual se usara el siguiente ejemplo: Suponga que se piensa controlar el nivel de un tanque con la corriente de salida del mismo, en teoría lo que hace el lazo es que si el nivel aumenta por encima de su SP, debe salir más liquido del recipiente para que el nivel vuelva a la normalidad. Ahora si a esta situación se le agrega una válvula de tipo FC, la cual abrirá al aumentar la señal del controlador, eso significa que si el nivel aumenta el controlador mandara la señal y la válvula abrirá y realizar la acción correcta para el lazo, es decir que el controlador es de acción directa. Sin embargo, si se usa una válvula de tipo FO, esta al llegarle señal del controlador lo que hará es cerrarse y esta acción será contraria a lo que el lazo necesita hacer, por eso la acción del controlador debe ser inversa. Con respecto un controlador on/off se puede realizar este mismo análisis y generara los mismos resultados, es decir si la válvula es de FC y el nivel de líquido aumenta, el controlador debe encenderse cuando el valor de la variable controlada supera el límite superior de tolerancia ingresada al controlador y por ende abrirá completamente la válvula hasta que el nivel alcance el límite inferior de tolerancia, momento en que se apagará el controlador y por ende se cerrara el FCE. Si la válvula de control es de FO el controlador se encenderá cuando el valor del nivel de líquido alcance el límite inferior de tolerancia y por consiguiente cerrará por completo la válvula y este controlador se apagará cuando el nivel alcance el límite superior de tolerancia y la válvula se abrirá por completo. En conclusión y para que el lector no se confunda, en este documento la acción del controlador se estimara como si la válvula fuese de falla cerrada, porque es el método más sencillo de asimilar y además esta es la acción de falla que tienen por defecto las válvulas en Aspen-HYSYS® y si el lector quiere estimar la acción del controlador usando un FCE de falla abierta es la acción contraria a cuando se usa uno de falla cerrada.

1.3.3.3 Fabricantes de válvulas de control Los fabricantes más famosos de válvulas de control, conocidos a nivel mundial son: Dresser Masoneilan® y Fisher®. A continuación una corta reseña de estos:

 Dresser Masoneilan® (9) Un negocio de Dresser Inc., ha sido líder mundial en válvulas de control de procesos y soluciones desde 1882. Con una rica historia basada en más de un siglo de 19 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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experiencia, innovación y exitosas relaciones con sus clientes, Dresser Masoneilan tiene una gran reputación como contribuidor crucial en el avance de la industria de la energía. No solo desarrollaron la medida universal de la capacidad de flujo de una válvula, El coeficiente de diseño Cv para las válvulas, Dresser Masoneilan también es también responsable de gran cantidad de productos que han marcado grandes avances en tecnología de válvulas. Desde válvulas de control de alta presión hasta la línea de productos de tecnología digital inteligente y soluciones de software.

 Fisher® (10) Ahora como parte de Emerson Electric Co., es el líder mundial en el suministro de confiables válvulas de control, reguladores y servicios de instrumentación y desempeño a las industrias de control de procesos. Fisher® lleva a cabo innovadoras soluciones diseñadas para ayudar a los clientes a reducir los costos de mantenimiento de planta, reducir los requerimientos de capital, reducir los costos de cumplimientos legales y aumentar la disponibilidad del proceso.

1.3.3.4

Especificaciones para estimar una válvula de control (11)

Generalmente, una válvula de control se especifica por la cantidad de flujo de fluido que permite pasar a través de la abertura del asiento en el cuerpo de la válvula, de la caída de presión que la válvula ejerce sobre el fluido y la gravedad especifica del fluido que circula a través de la misma, esto para el caso de un líquido en el cual las simplificaciones o consideraciones son que trabaja con densidad constante y por ende el fluido es incompresible; en el caso de vapores y gases hay más variables a considerar como un factor que tenga en cuenta la compresibilidad del mismo en las ecuaciones y la temperatura que, en el caso de los gases, hace variar muchas propiedades de interés para el cálculo de la capacidad de la válvula. Como quiera que sea una válvula de control es simplemente, un orificio con área de flujo, los principios básicos que regulan el flujo a través de un orificio facilitan las fórmulas para calcular el flujo de fluido a través de una válvula de control.

 Coeficiente de una válvula de control Cv: Tamaño de una válvula de control Para regular un flujo, la capacidad de una válvula de control varía desde cero, cuando la abertura está cerrada, a un máximo cuando está completamente abierta, es 20 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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decir, cuando la fracción de abertura de la válvula es uno o 100 %. La capacidad de flujo de una válvula de control se determina por su Factor de Capacidad o Coeficiente de la Válvula, Cv, que es una constante específica de una válvula que depende de sus características, principalmente, tipo y tamaño. Por definición, el coeficiente de una válvula es el flujo en gal U.S por minuto (gpm) de agua que fluye a través de la válvula con una caída de presión de 1 psi. Por ejemplo, una válvula con coeficiente de 30, permite el flujo de 30 gpm de agua con una caída de presión de 1 psi. Al estimar el tamaño de la válvula para un nuevo servicio, se calcula para el flujo a través de la válvula en condiciones de diseño estacionarias y para la caída de presión que corresponde a dicho flujo y que se denomina Flujo Nominal 𝑓 .̅ Entonces la fórmula para estimar el tamaño de una válvula para un servicio líquido es:

̅ 𝐶𝑣̅ = 𝑓 √

𝐺𝑓 ̅̅̅̅ Δ𝑝𝑣

(𝟏. 𝟏𝟐)

Siendo  pv , la caída de presión a través de la válvula, en psi, cuando el flujo es el nominal, en gpm y Gf, la gravedad específica del líquido, las unidades de Cv es gpm/psi0.5. Otro valor que se define a partir del Cv, Factor de Sobrecapacidad de la Válvula, como la relación entre el coeficiente de la válvula completamente abierta al coeficiente de la válvula a flujo nominal, es decir:

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑉á𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 =

𝐶𝑣 𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑣̅

(𝟏. 𝟏𝟑)

Los factores de sobrecapacidad típicos son 1.5 (para 50 % de sobrecapacidad) y 2.0 (para 100 % de sobrecapacidad).  Cálculo del flujo de líquido a través de una válvula de control El flujo de una corriente líquida a través de una válvula de control se calcula con la siguiente ecuación la cual es análoga a la ecuación A.13: 21 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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𝑓 = 𝐶𝑣 √

Δ𝑃𝑣 G𝑓

(𝟏. 𝟏𝟒)

Siendo f, el flujo de líquido, en U.S. gpm, Δ𝑃𝑣 la caída de presión a través de la válvula en psi, Gf, la gravedad específica del líquido a las condiciones del flujo y Cv, el factor de capacidad o coeficiente de la válvula. Hay que hacer la aclaración que el Cv calculado con la ecuación 1.12, tiene que ser menor que usado por la ecuación 1.14, debido a que si bien es cierto que las válvulas de control regulan flujos, sería muy poco realista, que en un lazo de control se trabaje con flujos nominales, pero el valor calculado con la ecuación 1.12 se puede usar como referencia para mirar si la válvula que selecciona es la adecuada para el lazo de control. La ecuación 1.14 se puede transformar en la forma de la ecuación 1.15 para el cálculo del flujo másico a través de la válvula en lb/h, mediante las conversiones correspondientes, así:

𝑤 = 500𝐶𝑣 √𝐺𝑓 Δ𝑃𝑣

(𝟏. 𝟏𝟓)

Las ecuaciones de 1.12 hasta 1.15, son las ecuaciones básicas para el diseño de válvulas, cabe decir que de estas ecuaciones, los creadores de válvulas de control, las modifican para el diseño de sus propias válvulas y la creación de sus catálogos y tablas de selección. Además del cálculo de flujo de líquido, a través de las válvulas de control, también existen modelos matemáticos, generados por los fabricantes de válvulas, para predecir el flujo de corrientes gaseosas, fluidos compresibles, flujo bifásico, flujo de vapor, que pasan a través de ellas. Generalmente estas ecuaciones realizan sus cálculos en SCFH (standard cubic feet per hour) o cálculo de flujo volumétrico a condiciones estándar a 14,7 psia (1 atm) y 60 °F (15,556 °C) y otros parámetros específicos, dados por el fabricante.

1.3.3.6

Características de flujo de una válvula de control (12) (13) (14)

El flujo dentro de una válvula de control es dependiente a su coeficiente Cv y este a su vez depende de la abertura o posición x, de la válvula, este varía desde cero cuando la válvula está cerrada a un valor máximo, Cv max, cuando la válvula está completamente abierta, es decir, cuando la fracción que indica la posición de la 22 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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válvula es uno. Esta variación en el Cv es lo que le permite a la válvula regular, continuamente, el flujo. Por otro lado, se sabe también que el caudal que escurre a través de una válvula varía con la presión diferencial a través de la misma, y, por lo tanto, tal variación de presión diferencial debe afectar la característica de caudal. En consecuencia, se definen dos tipos de características de caudal: inherente e instalada. La característica de caudal inherente se define como la relación existente entre el caudal que escurre a través de la válvula y la variación porcentual de la carrera, cuando se mantiene constante la presión diferencial a través de la válvula. En otras palabras, se puede decir que se trata de la relación entre el caudal a través de la válvula y la correspondiente señal del controlador, bajo presión diferencial constante, a través de la válvula. Por su parte, la característica de caudal instalada se define como la característica real de caudal, bajo condiciones reales de operación, donde la presión diferencial no se mantiene constante. La función matemática que relaciona el coeficiente de la válvula con la posición de ella se conoce como la Curva característica de la válvula la cual se puede apreciar en la Figura 1.8.

Figura 1.8. Curvas características de una válvula de control (Tomado de Willian Y. Svrcek, Donald P. Mahoney, Brent R. Young. A Real Time Approach to Process Control. Segunda Edición. Chichester : John Wiley & Sons. Ltd, 2006. pág. 34)

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Los fabricantes de válvulas pueden darle la forma a la Curva característica de una válvula mediante el arreglo de la forma como cambia el área del orificio de la válvula con la posición de la válvula (esto en la partes de la válvula se le conoce como “caja”) como se puede apreciar en la Figura 1.9. Los tres tipos de características más comunes son: Abertura Rápida o quick opening, Lineal e Igual Porcentaje o Equal percentage.

Figura 1.9. Diferentes tipos de características de una válvula de control (Tomado de Willian Y. Svrcek, Donald P. Mahoney, Brent R. Young. A Real Time Approach to Process Control. Segunda Edición. Chichester : John Wiley & Sons. Ltd, 2006. pág. 33)

 Válvula con característica de Abertura Rápida La válvula con característica de abertura rápida, no es recomendable, a excepción de ciertos casos, para la regulación de flujos, porque la mayor parte de la variación del coeficiente de la válvula se realiza en el tercio inferior del desplazamiento de la válvula. Se desarrolla muy poca variación en el coeficiente de la válvula en un tramo considerable del recorrido de la válvula. Un ejemplo para entender su funcionamiento seria usando la Figura 1.8, cuando la abertura de la válvula es apenas del 30% (eje de abscisas) ya está dejando pasar casi el 60% (eje de ordenadas) del flujo total que pasa a través de ella. Las válvulas con característica de abertura rápida son apropiadas para el control de dos posiciones, donde se necesita obtener el flujo deseado tan rápido cuando la válvula comienza abrirse, como es el caso de un control de presión.

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 Válvula de característica lineal Una válvula de característica lineal, cuando la relación entre el factor de capacidad y la posición o abertura x es lineal. Por lo tanto, la función para una válvula de características lineal es:

𝐶𝑣 = 𝐶𝑣𝑚𝑎𝑥 𝑥

(𝟏. 𝟏𝟔)

La válvula de característica lineal produce un coeficiente proporcional a la posición de la válvula. A una abertura, por ejemplo, del 50 % el flujo a través de la válvula es el 50 % de su flujo máximo. Las válvulas de características lineales se utilizan en procesos lineales y en casos en los cuales la caída de presión a través de la válvula no cambia con la variación en el flujo.

 Válvula con característica de Igual Porcentaje Una válvula con característica de igual porcentaje tiene la propiedad de que iguales incrementos en la abertura de la válvula producen iguales aumentos relativos o en porcentajes en el coeficiente de la válvula. Es decir, cuando la abertura de la válvula aumenta, por ejemplo, en 1 % desde el 20 % hasta el 21%, el flujo aumenta en la misma fracción que cuando la válvula aumenta su abertura en 1% desde 60 % hasta 61 %, pero el flujo tiene un mayor valor a una abertura del 60 % con respecto al flujo a una abertura del 20 %. La característica descrita anteriormente se establece mediante una relación entre el factor de capacidad y la abertura de la válvula con la siguiente expresión: 𝐶𝑣 = 𝐶𝑣𝑚𝑎𝑥 𝛼 𝑥−1

(𝟏. 𝟏𝟕)

Donde α, es el parámetro denominado “Rangeability”, que es la razón entre el flujo máximo que se puede controlar y el mínimo flujo que se puede controlar, usando la máxima y mínima abertura permisible respectivamente. Los valores típicos de este valor son 25, 50 o 100, siendo 50 el más común. La característica de tipo igual porcentaje no se ajusta a la ecuación 1.17 en la región inferior próxima a la posición cerrada, porque la función exponencial no puede predecir un flujo de cero para una posición cero en la válvula. En efecto, predice un coeficiente C v ,max /  a una posición cerrada de la válvula, es decir, para x = 0. Por lo anterior, la curva característica 25 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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actual se desvía de la función exponencial en el 5 % del tramo inferior. Este es el tipo de válvula más usado, porque la mayoría de los procesos industriales, poseen dinámicas no lineales lo que ocasiona, situación que beneficia el uso, de esta opción por la forma no lineal con la que regula el flujo que pasa atreves de ella.

Debido a que existen tres tipos de características, para que una válvula regule el flujo, deben existir criterios que permitan la selección de mejor opción. Una forma práctica de hacerlo serian por medio de reglas de dedo gordo o heurísticas que son fruto de la experiencia, estas dictan las siguientes reglas:  Use válvulas con característica lineal e en procesos lineales cuando la caída de presión a través de ellas no cambia con el flujo, es decir que los controles de flujos y nivel de líquido se ajustan a esta situación.  Use válvulas con característica de igual porcentaje se utilizan, generalmente, cuando la caída de presión a través de la válvula varía con el flujo, y cuando se encuentre frente a procesos no lineales como control de presión de un equipo (tanques, separadores de fases, etc.) o controles hechos a estructuras complejas como reactores o columnas de destilación, por eso esta es la característica de las válvulas de control más usada en la industria.  Use válvulas con características de abertura rápida, solo cuando el lazo de control requiera una gran cantidad de flujo, con solo un pequeño porcentaje de abertura, como los casos de control de flujo, aunque es menos usado, que él con característica lineal.

1.3.3.7

Ubicación de las válvulas de control

Debido a que la válvula de control, es el único elemento del lazo de control que interactúa directamente con el proceso, es importante saber la ubicación estratégica que debe poseer este elemento de control final, por lo cual se usaran recomendaciones o heurísticas para su proceso de instalación (15):  Instale las válvulas de control en la corriente de descarga y no en la de succión una bomba centrifuga.  Use una sola válvula de control en una línea de líquido.  Nunca instale una válvula de control en la corriente de descarga de un compresor. 26 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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Con respecto a la primera heurística la explicación es que normalmente los procesos de estrangulamiento, se genera un equilibrio liquido-vapor (EVL), en la corriente de salida de la válvula, el cual si este vapor entra la bomba esta no pueda alcanzar los requerimientos de la cabeza neta de succión positiva o NPSH y la bomba cavita. La segunda hace referencia a que no es necesario instalar más de un FCE, debido a que por ejemplo existieran dos válvulas de control en la misma línea para regular el flujo, con una sola basta. Se debe recordar que el lazo de control solo posee un FCE, y la otra quedaría instalada sin utilidad alguna, solo generando gastos innecesarios. La tercera recomendación es más una cuestión lógica que seguridad de los equipo. Las válvulas de control, están diseñadas para regular flujos y jamás se va a regular el flujo de vapor que entra al compresor, regulando el flujo de la corriente de descarga, esto tendría que hacerse en la corriente de entrada del equipo, además esta situación lo que genera es aumentar el radio de compresión lo que aumenta los costos de compresión más de lo necesario.

1.4

Sintonización de controladores según Willian L. Luyben (16)

De forma breve, la sintonización (ó Tuning), es un procedimiento desarrollado para estimar los valores de los parámetros dinámicos que necesita el controlador para que la respuesta del lazo de control satisfaga algunos requerimientos impuestos por el diseñador o exigidos por el proceso. En otras palabras, estimar los valores de la ganancia proporcional (también se puede decir sólo ganancia), el tiempo Integral y el tiempo derivativo que necesita el controlador para trabajar. Hasta este punto solo se usarán algunas recomendaciones ofrecidas por el Profesor William L. Luyben en su libro: “Plantwide Dynamic Simulators in Chemical Processing and Control” sobre los mejores valores para cada uno de los parámetros de sintonización de controladores típicos: control de flujo, control de nivel de líquido y control de presión.

 Controladores de flujo La dinámica de los lazos en los que se involucran controladores de flujo suelen ser rápidas, estos incluyen generalmente un sensor tipo orificio, un transmisor de diferencial de presión, un controlador y una válvula de control. El tiempo que transcurre para obtener la respuesta en el actuador de las válvulas es bastante corto, a menos que se tengan válvulas muy grandes. Por otro lado, la ganancia que se obtiene en la respuesta ha de ser no muy grande dado que cambios muy bruscos pueden ocasionar flujos aún más turbulentos, llevando así a tener mediciones poco 27 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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precisas en el medidor que se use. Los valores típicos de cada uno de los parámetros serían:

 Ganancia Kp = 0,5  Tiempo integral 𝜏𝑖 = 0,3 minutos  Tiempo derivativo 𝜏𝑑 = no suele ser necesario

 Controladores de nivel Para este tipo de control, generalmente se usa un controlador proporcional, a pesar de que esto implique tener siempre un off-set, pues tener cierto nivel de líquido no es más crítico que alcanzar el estado estacionario, siempre y cuando el nivel de líquido se encuentre dentro de los límites tolerables para el sistema. El valor típico para este controlador seria:  Ganancia Kp = 2

Sin embargo, existen algunas excepciones para este valor:

 Control de nivel de un reactor  Control de nivel en la base de una columna de separación de mezclas  Control de nivel en tambores de reflujo de una columna de destilación

Para estos casos se requieren que el nivel de líquido posea el menor off-set posible, por ende recomienda aumentar el valor Kp de 2 a 10.

 Controladores de presión De igual manera, que los otros 2 controladores, estos son fácilmente sintonizados. La variable de tiempo del sistema se calcula haciendo una razón entre el volumen de gas del sistema y el flujo volumétrico de gas a través del sistema. Donde entonces el tiempo integral es de 2 a 4 veces el tiempo del sistema y junto con una ganancia razonable se obtienen resultados satisfactorios. Los valores recomendados son los siguientes: 28 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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 Ganancia Kp = 2  Tiempo integral 𝜏𝑖 = 2 - 10 minutos  Tiempo derivativo 𝜏𝑑 = no suele ser necesario

Referencias bibliográficas

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[Cited:

4

12,

2012.]

11. Carlos A. Smith, Armando B. Corripio. Principles and Practice of Automatic Process Control. Tercera edición. s.l. : Jhon Wiley & Sons, Inc, 2006. pp. 159-164. 29 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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12. —. Principles and Practice of Automatic Process Control. Tercera edición. s.l. : Jhon Wiley & Sons, Inc, 2006. pp. 164-170. 13. Fisher®. Control Valve Handbook. Cuarta edición. Marshalltown : Emerson Process Management, 2005. pp. 58-60 . 14. —. Control Valve Handbook. Cuarta edición. Marshalltown : Emerson Process Management, 2005. pp. 109-111. 15. Willian L. Luyben. Plantwide Dynamic Simulators in Chemical Processing and Control. New York : Marcel Dekker,Inc, 2002. pp. 17-20. 16. —. Plantwide Dynamic Simulatos in Chemical Processing and Control. New York : Marcel Dekker, Inc, 2002. pp. 26-28.

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2. SINTONIZACIÓN EN LAZO CERRADO 2.1 Introducción En el lenguaje de control de procesos, se conoce como sintonización o “Tuning” al proceso mediante el cual se estiman los valores de los diferentes parámetros dinámicos necesarios para el funcionamiento de un controlador, los cuales son la ganancia proporcional Kp, el tiempo integral 𝜏𝑖 y tiempo derivativo 𝜏𝑑 . Estos valores son necesarios para que el controlador actué de la mejor manera posible, en el sentido de hacer que la variable de salida se mantenga en su valor deseado o SetPoint (SP), o por lo menos que se mantenga dentro de los límites de control permitidos, y que su actuación sea la más rápida posible.

2.2 Estabilidad de un sistema: Ganancia y Periodo último Antes de comenzar a explicar las diferentes técnicas que existen para la sintonización de controladores hay que explicar acerca de la estabilidad de sistemas, el cual es definido de la siguiente forma: Todo sistema de control es estable, cuando al aplicarle un cambio en la variable de entrada del lazo, la variable de salida, después de un tiempo prudente, alcanza el estado estacionario. Esto se puede explicar con el siguiente ejemplo: Se supone un lazo de control como se muestra en la Figura 2.1, el cual posee un controlador proporcional y se le comienzan a asignar diferentes valores de ganancia proporcional, después se grafica como la cambia el valor de la variable de salida en el tiempo a un cambio paso unitario en el SP, los cuales son mostrados en la Figura 2.2.

Otra variable de entrada

Señal de salida del controlador

Señal del error SP

+

-

Controlador

Elemento de control final (válvula de control)

Otras Perturbaciones al proceso

Variable de entrada Proceso

+

+

Variable de salida

Sensor/Transmisor

Figura 2.1 Diagrama de bloques de un típico lazo cerrado de control por retroalimentación

31 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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0.2

a)

0.1

0

variable de salida

variable de salida

M. Coronado - J. Juliao – A. Fuentes

0

10

20

1.5

b)

1 0.5 0

30

0

10

tiempo (s)

20

30

tiempo (s)

variable de salida

2 Pu

1.5

c)

1 0.5 0

0

5

10

15 tiempo (s)

20

25

30

20

25

30

variable de salida

100

d)

50 0 -50

0

5

10

15 tiempo (s)

Figura 2.2 Diferentes tipos de respuestas de la variable de salida en un lazo cerrado de control; mono tónica estable a), sub -amortiguada estable b), oscilatoria de amplitud constante c) e inestable d)

Las figuras 2.2a y 2.2b, se pueden considerar estables porque el valor de la variable de salida se vuelve constante después de haber pasado un tiempo considerable, o en otras palabras estas respuestas pudieron alcanzar el estado estacionario; por su parte, la Figura 2.2d es una respuesta inestable, porque no es capaz de alcanzar el estado estacionario. Por último, la Figura 2.2c se puede considerar un caso intermedio entre la estabilidad y la no estabilidad del lazo, debido a que esta respuesta es oscilatoria de amplitud contante y si se aumenta un poco la ganancia del controlador, la respuesta se vuelve inestable, mientras que si se disminuye un poco este valor la respuesta se vuelve estable. A esta ganancia, que limita la estabilidad del lazo de control, se le conoce como ganancia última Kpu, y el tiempo entre las crestas en cada oscilación se le conoce como periodo último Pu (dado en min o en segundos) o también se puede expresar como frecuencia última wu, dado por la siguiente fórmula.

𝑤𝑢 =

2𝜋 𝑟𝑎𝑑 ⁄𝑠 𝑜 𝑟𝑎𝑑⁄𝑚𝑖𝑛) ( 𝑃𝑢

(𝟐. 𝟏) 32

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2.2.1 Estimación de la ganancia última y el periodo último Para la estimación de estos parámetros existen varios métodos, ya sean numéricos o gráficos, los cuales, pueden calcular alguno de los dos parámetros o ambos. Las técnicas más usadas son las siguientes:      

Ensayo y error Método de sustitución directa Prueba de Routh Lugar de las raíces (Root Locus) Diagrama de Bode y Nyquist ATV (Auto Tuning Variation)

De todos los métodos aquí presentados, solo se explicará el método ATV, porque los otros requieren del planteamiento de un modelamiento matemático, como la dinámica del proceso estudiado afecta a la variable de salida, lo cual en la mayoría de procesos industriales es difícil de realizar por la complejidad que ellos poseen, mientras que con este método no es necesario. Otra razón es porque es un método no necesita mucha fundamentación matemática para su comprensión.

2.2.1.1

Método ATV

El método de ATV (18) (19) (20) o Auto Tuning Variation, es un procedimiento sencillo para la estimación de la ganancia última y el periodo último, el cual viene como algoritmo interno de controladores PID comerciales y es usado cuando el controlador se encuentra modo manual. Este método parte del mismo principio que posee el controlador on/off o “relay”, que consiste que la señal de salida del controlador solo posee dos valores uno máximo y otro mínimo, representando con las siguientes ecuaciones:

𝑆𝑒ñ𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 < 0

𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎

(𝟐. 𝟐)

𝑆𝑒ñ𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 > 0

𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎

(𝟐. 𝟑)

La señal del controlador depende de rango permisible en que puede aumentar o disminuir el valor de la variable de entrada con respecto de su valor en estado 33 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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Variable de salida

estacionario (ideal), el cual se designa como h. Esto significa, que cuando la señal del controlador es mínima, posee un valor igual a –h, y cuando es máxima es igual a +h. La respuesta grafica para un cambio paso en el SP de este método, con un valor de h igual a la unidad, se puede apreciar en la Figura 2.3.

10 5 0 -5

Set-Point de 0.96 -10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

70

80

90

100

Variable de entrada

Tiempo (s) 1 0.5 0 -0.5 -1 0

10

20

30

40

50 60 Tiempo (s)

Figura 2.3 Oscilaciones usando el método ATV

Como se aprecia en la Figura 2.3, cuando el tiempo es igual a cero, el error es positivo (valor de la variable de salida mayor que el SP igual a 0.96), por ende, el valor de la señal del controlador es máxima, o en otras palabras, el valor de la variable de entrada también es máxima con un valor igual a uno. Después de pasado un tiempo, el error sigue siendo positivo, y por consiguiente, el valor de la variable de entrada se mantendrá constante, hasta que han pasado 1,925 s (punto rojo) aproximadamente, momento en el cual el error pasa de ser positivo a negativo (valor de la variable de salida mayor que el SP) y el valor de la variable de entrada pasa a tener su valor máximo a su mínimo que es -1. Este valor se mantendrá constante, hasta que error se vuelva positivo y la variable de entrada tome un valor de la unidad otra vez. Este mismo proceso se repite hasta que las oscilaciones de la variable de salida sean de amplitud constante, lo cual se aprecia para el ejemplo usado donde esta situación se alcanza a partir desde la cuarta oscilación. Las coordenadas de los picos de la cuarta y quinta oscilación, representados por los puntos verde y negro respectivamente son (39.66, 6.8124) y (52.45, 6.8124)

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A partir de esta prueba de on/off o “relay”, se puede calcular la ganancia última de la siguiente forma:

𝐾𝑝𝑢 =

4ℎ 𝑎𝜋

(𝟐. 𝟒𝐚)

O también se puede calcular usando la siguiente formula:

𝐾𝑝𝑢 =

𝜋[ℎ − (−ℎ)] 𝜋ℎ = 2𝐴 𝐴

(𝟐. 𝟒𝐛)

Donde a es la amplitud de la onda, cuando se ha alcanzado, las oscilaciones de amplitud constante y 𝐴 = 2𝑎 . El periodo último se calcula como el tiempo entre los picos o crestas de oscilaciones consecutivas una vez se ha alcanzado la condición previamente mencionada y la frecuencia última se calcula con la ecuación 2.1. Para el ejemplo mostrado la ganancia, el periodo último y la frecuencia última son los siguientes:

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑆𝑃 = 6,8124 − 0,96 = 5,8524

𝐾𝑝𝑢 @ (2.4a) =

𝐾𝑝𝑢 @ (2.4b) =

4(1) = 𝟎, 𝟐𝟏𝟕𝟔 (5,8524)𝜋

𝜋(1) = 𝟎, 𝟐𝟔𝟖𝟒 (2 )( 5,8524)

𝑃𝑢 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 5𝑎 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 − 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 4𝑎 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑃𝑢 = 52,45 𝑠 − 39,66 𝑠 = 𝟏𝟐, 𝟕𝟗 𝒔

35 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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𝑤𝑢 =

2𝜋 = 𝟎, 𝟒𝟗𝟏𝟐 𝒓𝒂𝒅⁄𝒔 12,79 𝑠

Para comprobar la veracidad de estos resultados se usó, el método de lugar de las raíces (Figura 2.4) para comprobar el valor de 𝐾𝑝𝑢 y 𝑤𝑢 . Sus resultados fueron de 0,207 y 0,497 rad/s, los cuales muestra que el cálculo es de la ganancia ultima es más exacto usando la ecuación 2.4a.

Root Locus 1.5 System: untitled1 Gain: 0.207 Pole: -0.000922 + 0.497i Damping: 0.00186 Overshoot (%): 99.4 Frequency (rad/sec): 0.497

1

Imaginary Axis

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Real Axis

Figura 2.4 Obtención de la ganancia y frecuencia última por medio del lugar de las raíces

2.2.1.2

Método ATV con banda muerta (histéresis rectangular)

Un problema presentado para este método, es porque si se hace este “relay”, literalmente cuando el valor de error es inmediatamente mayor o menor que cero, puede ocasionar problemas en la predicción de la ganancia última y el periodo último, en especial cuando existe “ruido en el proceso” o noise, definido como perturbaciones en las mediciones, que son inherentes al sistema, las cuales no pueden ser eliminadas, y son reconocidas puesto que los valores generados a causa de este fenómeno, no poseen correlación estadística con los demás valores (como por ejemplo la primera oscilación de un controlador con que posea acción derivativa). Para evitar esta situación se agrega un valor de una “banda muerta” (deadband o histéresis) (20) (21) cuyo valor es 𝜀, y equivale a 2 a 3 veces mayor del 36 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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valor del “ruido del proceso”. Al agregar este nuevo término a las ecuaciones 2.2 y 2.3, cambia el criterio en el cual la señal del controlador es máxima o mínima de la siguiente manera: . 𝑆𝑒ñ𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 < −𝜀

𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎

(𝟐. 𝟓)

𝑆𝑒ñ𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 > +𝜀

𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎

(𝟐. 𝟔)

Usando el mismo ejemplo presentado y se supone que posee un ruido en el proceso con un valor igual a 0.05, entonces el término 𝜀 sería igual

𝜀 = 0,05(2) = 0,1

Variable de salida

La representación gráfica del método ATV sin banda muerta y con banda muerta, se presenta en la Figura 2.5

10 5 0 Set-Point Sin banda muerta Con banda muerta

-5 -10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Variable de entrada

Tiempo (s) 1 0.5 0 -0.5

Sin banda muerta Con banda muerta

-1 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tiempo (s)

Figura 2.5 Oscilaciones usando el método ATV, con y sin banda muerta

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Como se muestra en la Figura 2.5, las oscilaciones con banda muerta, están desfasadas con respecto a la que no poseen, creando un efecto de histéresis rectangular. Cabe anotar acerca de las líneas que poseen banda muerta, el cambio de la variable de entrada de 1 a -1 se hace en 0,86 (0,96-0,1= 0,86) y de -1 a 1 en 1,06 (0,96+0,1=1,06), lo cual confirma el desfase de las dos respuestas. A pesar que esta mejora al método ATV soluciona el problema con respecto al ruido de proceso, trae como consecuencia, y es debido al desfase producido por la banda muerta, que ocurre un aumento en la amplitud entre las oscilaciones del valor de la variable de salida, con respecto al método sin banda muerta, y por consiguiente genera un cálculo no tan exacto de la ganancia y periodo ultimo usados en la sección 2.2.1.1. Una posible aproximación, tomando como referencia la ecuación 2.4 b sería:

𝐾𝑝𝑢 =

(𝐴 2

𝜋ℎ + 4𝜀 2 )0,5

(𝟐. 𝟕)

Al usar esta ecuación, la ganancia ultima seria 0,2683, valor casi igual al calculado con la ecuación 2.4b, lo que no generaría ningún error usar las ecuaciones 2.4a y 2.4b si el valor de la banda muerta es muy pequeña. Aspen-HYSYS ® posee este método, para la obtención de los parámetros dinámicos para controladores PI o PID (22). Este método posee las siguientes cinco especificaciones:

 Alpha (α) 𝜏 Es la relación entre el tiempo integral y el tiempo derivativo ( 𝑖⁄𝜏𝑑 ). Los límites de este rango son desde 3 hasta 6, y el simulador viene por defecto con un valor de 4,5 (cuando se selecciona sintonizar un controlador PI este parámetro no se toma en cuenta).

 Phi (Φ) Es el ángulo de fase y es entendido, como cuantos radianes o grados está atrasada (valor negativo) o adelantada (valor positivo) la respuesta de la variable de salida, con respecto a la de entrada (esto tiene más significado viendo la teoría del control desde el dominio de la frecuencia). Este valor se toma como referencia y calculara la ganancia a este valor de Φ. El uso de esta ganancia y no la ganancia última, es debido a que internamente el simulador tiene es el algoritmo de un controlador PID, 38 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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y la acción derivativa genera un adelanto dinámico o valores de ángulos de fase positivos, los cuales no se obtienen con un controlador P (para un controlador P la ganancia ultima se obtiene con un ángulo de fase de -180°), por consiguiente, no sería correcto usar el criterio de la ganancia ultima. Los límites de este parámetro en el simulador de 30° hasta 65° y el valor que viene por defecto es 60°.

 Beta (β) También es conocido como margen de ganancia, el cual es definido como o el cociente entre la ganancia obtenida al valor del ángulo de fase seleccionado y la ganancia real del controlador (𝐾𝑝 (𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 Φ)⁄𝐾𝑝 ). Los límites de este parámetro son de 0,1 hasta 1 y el valor que viene por defecto es 0,25.

 Histéresis (𝜺 y en Aspen-HYSYS® se simboliza h) Este es el valor de la banda muerta. Este parámetro no viene definido como un valor, sino como un porcentaje del valor en estado estacionario de la variable de salida a controlar. Los límites de este valor 0,01% hasta 5% y el valor que por defecto es 0,1%.

 Amplitud h (en Aspen-HYSYS® se simboliza d) Es el valor del “relay”. Este valor no viene definido como un valor, sino como un porcentaje con respecto del valor en estado estacionario de la variable manipulada del controlador (generalmente es porcentaje de abertura de la válvula de controlador). Los límites de este valor 0,5% hasta 10% y el valor que por defecto es 5%. Una aclaración con respecto de este parámetro, es que muchas veces el valor que sugiere el simulador, es muy pequeño, ocasionado que la variable de salida no se vea afectada por el relay hecho en la variable de entrada, por cual hace que el controlador no pueda sintonizar. Una solución práctica para este percance, es el aumento de este parámetro.

2.3 Sintonización en lazo cerrado Esta metodología parte del conocimiento, de las características inherentes a la naturaleza del lazo de control que son la ganancia última y el periodo último, y a partir de estos valores, se usan unas heurísticas, para la estimación de los parámetros dinámicos. Los dos métodos más usados son el de Ziegler-Nichols (ZN) y TyreusLuyben (TL). 39 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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2.3.1 Ziegler-Nichols (23) (24) Este es el primer método riguroso ampliamente reconocido y publicado en 1942 por los ingenieros Nathaniel B. Nichols y John G. Ziegler. En una primera instancia, el método consiste en la obtención de la ganancia última y periodo último suponiendo que lazo de control opera con un controlador proporcional. Una vez obtenidos estos valores, simplemente se remplazará estos datos en las ecuaciones presentadas en la Tabla 2.1, dependiendo si lo que necesita es un controlador con acción proporcional, proporcional integral o proporcional integral derivativa (se usa la ecuación de PID real y no la ideal), los cuales generaran un valor de la variable de salida con una razón de decaimiento de ¼, o en otras palabras que la amplitud de la segunda oscilación, es ¼ menor que la amplitud de la primera oscilación, y la amplitud de la tercera oscilación es un ¼ de la segunda y así sucesivamente. Tabla 2.1 Ecuaciones de Z-N para la estimación de los parámetros dinámicos de un controlador sintonizado en lazo cerrado. Tipo de Controlador

Ganancia Proporcional Kp

Tiempo Integral 𝝉𝒊

Tiempo Derivativo 𝝉𝒅

P

Kpu/2

-

-

PI

Kpu/2,2

Pu/1,2

-

PID serie

Kpu/1,7

Pu /2

Pu /8

PID paralelo

0,75Kpu

0,625Pu

Pu /10

Cabe decir que usando los parámetros dinámicos correspondientes a los controladores PID en su forma de serie o paralelo, generarán la misma respuesta de la variable de salida. Una desventaja de usar este método es que la respuesta de la variable de salida, en lazo cerrado, es muy oscilatoria, lo cual puede tender a la inestabilidad. Además por esta misma condición, el controlador operando con estos parámetros dinámicos, se hacen más sensible ante los cambios de condiciones de proceso, dificultando y retardando la acción del lazo.

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2.3.2 Tyreus-Luyben (25) Siguiendo la misma línea que utilizaron Ziegler y Nichols para la determinación de los parámetros dinámicos, William L. Luyben y Björn D. Tyreus en 1997 desarrollaron fórmulas para la sintonización que resultan en respuestas menos oscilatorias y con menor sensibilidad ante los cambios en las condiciones del proceso, es decir, respuestas más estables, las cuales están consignadas en la Tabla 2.2. Tabla 2.2 Ecuaciones de T-L para la estimación de los parámetros dinámicos de un controlador sintonizado en lazo cerrado Tipo de Controlador

Ganancia Proporcional Kp

Tiempo Integral 𝝉𝒊

Tiempo Derivativo 𝝉𝒅

PI

Kpu/3,2

2,2Pu

-

PID paralelo

Kpu/2,2

2,2Pu

Pu /6,3

Una comparación gráfica, usando el ejemplo mostrado en la sección 2.2.1.1, de estos dos métodos, tanto un controlador PI y para un controlador PID en su forma en serie con un valor de α de 0,1, para un cambio paso unitario hecho en el SP, se muestra en la Figura 2.6 y los parámetros dinámicos se muestran en la Tabla 2.3.

Tabla 2.3 Parámetros dinámicos, de ZN y TL para el ejemplo de la sección 2.2.1.1 Tipo de Controlador

PI PID serie PI PID paralelo

Ganancia Proporcional Kp Ziegler - Nichols 0,0989 0,1280 Tyreus - Luyben 0,0680 0,0989

Tiempo Integral 𝝉𝒊

Tiempo Derivativo 𝝉𝒅

10,6583 6,3950

1,5987

28,1380 28,1380

2,0302

Estos resultados comprueban lo mencionado anteriormente.

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Variable de salida

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2

PI con ZN PI con TL

a)

1.5 1 0.5 0

0

10

20

30

40

50

60

70

Variable de salida

Tiempo (s) 2

PID con ZN PID con TL

b)

1.5 1 0.5 0

0

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo (s)

Figura 2.6 Comparación de los métodos de ZN y TL usando un controlador a) PI y b) PID

Este módulo solo trata técnicas de sintonización en lazo cerrado, sin embargo también existen las técnicas de sintonización en lazo abierto, y aunque el simulador Aspen-HYSYS®, permite hacer ambas metodologías, la sintonización en lazo cerrado, es más amigable con la interfaz que provee el simulador., Sin embargo, en un módulo posterior se trataran las técnicas de sintonización en lazo abierto.

Referencias bibliográficas

18. AspenTech. Aspen HYSYS Dynamics, user guide. Burlington, Ma : Aspen Technology, Inc., 2009. pp. 3-47 - 3-48. 19. Michael L. Luyben, William L. Luyben. Essentials of Process Control. s.l. : McGraw-Hill, 1997. pp. 554-556.

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20. Cecil L. Smith. Practical Process Control, Tuning and Troubleshooting. Hoboken,NJ : John Wiley & Sons, Inc, 2009. pp. 253-255. 21. B. Wayne Bequette. Process Control: Modeling, Design and Simulation. Upper Saddle River,NJ : Prentice Hall, 2003. pp. 354-356. 22. AspenTech. Aspen HYSYS, operations guide. Burlington, Ma : Aspen Technology, Inc, 2009. pp. 5-72 - 5-73. 23. Carlos A. Smith, Armando B. Corripio. Principles and Practice of Automatic Process Control. Tercera edición. s.l. : Jhon Wiley & Sons, Inc, 2006. pp. 230-232. 24. Cecil L. Smith. Practical Process Control, Tuning and Troubleshooting. Hoboken,NJ : John Wiley & Sons, Inc, 2009. pp. 248-253. 25. B Wayne Bequette. Process Control: Modeling, Design and Simulation. Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, 2003. pp. 198-201.

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3. DINÁMICA DE SISTEMAS: ATRASOS Y ADELANTOS 3.1 Función de Transferencia Se define la función de transferencia como la relación entre la variable de salida y la variable de entrada del proceso analizado. Esta se determina utilizando la transformada de Laplace, el cual es representado por un diagrama de bloques como se muestra en la Figura 3.1.

Variable de Entrada

Variable de Salida Función de Transferencia

Figura 3.1. Diagrama de bloque de una función de transferencia

La función de transferencia, contiene la dinámica de un proceso estudiado y es la que define que tan rápido o que tan lento puede afectar la variable de salida al hacer un cambio en la variable de entrada. Para la mejor compresión de su importancia se usara el siguiente ejemplo (28): Se considera un tanque bien agitado, el cual recibe un material con un flujo volumétrico f a una temperatura Ti(t), y sale del mismo a una temperatura T(t),con la misma cantidad de flujo f, tal como se muestra en la Figura 3.2.

Medición f, m^3/s Ti(t), °C

Medición f, m^3/s T(t), °C E-1

Figura 3.2. Esquema de un tanque bien agitado

44 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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Debido a que el flujo volumétrico no varía con el tiempo, no habría necesidad de plantear los balances de materia para el proceso, sin embargo dado el diferencial de temperatura a la entrada y salida del contenedor se hace necesario realizar un balance de energía que nos permita explicar el comportamiento del cambio de la temperatura en el transcurso del tiempo y de esta forma entender la dinámica del sistema, por medio de la determinación de la función de transferencia característica de este proceso. Asumiendo de las densidades (𝜌𝑖 𝜌) y las capacidades calóricas (𝐶𝑝 , 𝐶𝑣 ) son constantes, se tienen las siguientes ecuaciones:

𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝜌𝑖 𝑓𝐶𝑝𝑖 𝑇𝑖 (𝑡 ) − 𝜌𝑓𝐶𝑝 𝑇(𝑡 ) = 𝑉𝜌𝐶𝑣

𝑑𝑇(𝑡 ) 𝑑𝑡

(𝟑. 𝟏)

Puesto que en control, lo que interesa saber en cuanto esta desviado la variable de salida con respecto de su valor deseado, se usa las variables desviación que es simplemente la resta entre la variable en modo dinámico y la misma en estado estacionario (la cual se representa con una barra sobre la variable). Entonces la ecuación en estado estacionario es la siguiente:

̅𝑖 − 𝜌𝑓𝐶𝑝 𝑇̅ = 𝑉𝜌𝐶𝑣 𝜌𝑖 𝑓𝐶𝑝𝑖 𝑇

𝑑𝑇̅ =0 𝑑𝑡

(𝟑. 𝟐)

Restando las ecuaciones 3.1 y 3.2

̅𝑖 ) − 𝜌𝑓𝐶𝑝 (𝑇(𝑡 ) − 𝑇̅) = 𝑉𝜌𝐶𝑣 𝜌𝑖 𝑓𝐶𝑝𝑖 (𝑇𝑖 (𝑡 ) − 𝑇

𝑑 (𝑇(𝑡 ) − 𝑇̅) 𝑑𝑡

(𝟑. 𝟑)

𝑑Γ(𝑡 ) 𝑑𝑡

(𝟑. 𝟒)

𝜌𝑖 𝑓𝐶𝑝𝑖 Γ𝑖 (𝑡 ) − 𝜌𝑓𝐶𝑝 Γ(𝑡 ) = 𝑉𝜌𝐶𝑣

Donde ̅𝑖 ) Γ𝑖 (𝑡 ) = (𝑇𝑖 (𝑡 ) − 𝑇

(𝟑. 𝟓)

Γ(𝑡 ) = (𝑇(𝑡 ) − 𝑇̅)

(𝟑. 𝟔) 45 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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Colocando términos semejantes del mismo lado de la ecuación diferencial 3.4, se obtiene:

𝜏

𝑑Γ(𝑡 ) + Γ(𝑡 ) = 𝐾Γ𝑖 (𝑡 ) 𝑑𝑡

(𝟑. 𝟕)

Donde 𝜏=

𝑉𝜌𝐶𝑣 [𝑚3 ][𝐾𝑔⁄𝑚3 ][𝐾 𝐽⁄𝐾𝑔 °𝐶 ] = 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑓𝜌𝑖 𝐶𝑝𝑖 [𝑚3 ⁄𝑠]⌈𝐾𝑔⁄𝑚3 ⌉⌈𝐾 𝐽⁄𝐾𝑔 °𝐶 ⌉

(𝟑. 𝟖)

𝜌𝑖 𝑓𝐶𝑝𝑖 ⌈𝐾𝑔⁄𝑚3 ⌉[𝑚3 ⁄𝑠]⌈𝐾 𝐽⁄𝐾𝑔 °𝐶 ⌉ 𝐾= = = 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 ⌈𝐾𝑔⁄𝑚3 ⌉[𝑚3 ⁄𝑠]⌈𝐾 𝐽⁄𝐾𝑔 °𝐶 ⌉ 𝜌𝑓𝐶𝑝

(𝟑. 𝟗)

Si la ecuación 3.7 se le aplica la transformada de Laplace

𝜏𝑠Γ(𝑠) − 𝜏Γ(0) + Γ(𝑠) = 𝐾Γ𝑖 (𝑠)

(𝟑. 𝟏𝟎)

Puesto que se está usando las variables desviación, la condición inicial es igual a cero (𝜏Γ(0) = 0) porque las variables en estado dinámico son iguales a las del estado estacionario. Entonces la ecuación 3.10 queda:

𝜏𝑠Γ(𝑠) + Γ(𝑠) = 𝐾Γ𝑖 (𝑠) 𝚪(𝒔) 𝑲 = 𝚪𝒊 (𝒔) 𝝉𝒔 + 𝟏

(𝟑. 𝟏𝟏) (𝟑. 𝟏𝟐)

Como se aprecia en la ecuación 3.12, es una función de transferencia de primer orden que representa la dinámica del sistema estudiado y la relación entre la variable de salida Γ y variable de entrada Γ𝑖 . Aquí se presentó un ejemplo de una función de transferencia para un proceso, pero este mismo recurso puede aplicarse a los demás elementos del lazo de control, haciendo que el estudio del control en el dominio de Laplace sea más fácil el tratamiento matemático que en el dominio del tiempo. 46 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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3.2 Atrasos dinámicos Un atraso dinámico o 𝜏 (tao) se puede definir como un tiempo transcurrido que es inherente a la misma naturaleza del proceso ocasionando que un cambio realizado en una variable de entrada no afecte instantáneamente la variable de salida. Para ser más claro con esta definición y tomando de base el ejemplo anterior se supone que a la variable de entrada se le hace un cambio paso unitario (se aumenta en uno el valor de la variable de entrada con respecto a su valor en estado estacionario), entonces:

Γ𝑖 (𝑡 ) = (𝑇(𝑡 ) − 𝑇̅)𝑢(𝑡 ) = 𝑴𝒖(𝒕) = (𝟏)𝒖(𝒕)

(𝟑. 𝟏𝟑)

A esta ecuación se le aplica transformada de Laplace

Γ𝑖 (𝑠) =

𝑀 1 = 𝑠 𝑠

(𝟑. 𝟏𝟒)

Al remplazar la ecuación 3.13 en 3.12 y al aplicarle transformada inversa, se obtiene

𝒕

𝚪(𝒕) = 𝑲(𝟏)(𝟏 − 𝒆− ⁄𝝉 )

(𝟑. 𝟏𝟓)

Usando los siguientes datos para obtener el valor del atraso dinámico. Cp = Cpi = 4,184 Kj/Kg K Cv= 3,7221 Kj/Kg K 𝜌 = 𝜌𝑖 =1000 Kg/ m3 V = 10 m3 f = 0,5 m3/s 10 ∗ 1000 ∗ 3,7221 [𝑚3 ][𝐾𝑔⁄𝑚3 ][𝐾 𝐽⁄𝐾𝑔 °𝐶 ] 𝜏= = 𝟏𝟕, 𝟕𝟗𝟐 𝒔 0.5 ∗ 1000 ∗ 4,184 [𝑚3 ⁄𝑠]⌈𝐾𝑔⁄𝑚3 ⌉⌈𝐾 𝐽⁄𝐾𝑔 °𝐶 ⌉

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Con el valor del atraso dinámico, el valor de K (es igual a uno) y la ecuación 3.15 se hace una gráfica de los valores de las variables de salida y entrada con respecto al tiempo, el cual se puede apreciar en la Figura 3.3

1



0.9

Respuesta última

0.8 0.6321 de la respuesta última



Respuesta

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

Constante de tiempo 

0



0.1 0

10

20

30

40

50 60 Tiempo (s)

Variable de entrada i(t) Variable de Salida (t) 70

80

90

100

Figura 3.3. Comportamiento de las variables de entrada y salida en el tiempo cuando se le realiza un cambio p aso unitario

Como se observa en la Figura 3.3, mientras que a aplicarle un cambio paso unitario a la variable de entrada es instantáneo, la variable no responde instantáneamente debido al atraso dinámico que posee la función de transferencia. Esto se debe a que si en la ecuación 3.15, cuando el tiempo es igual al atraso dinámico, este apenas ha alcanzado el 63,21 % de la respuesta ultima ( Γ(𝜏) = (1)(1 − 𝑒 −1 ) = (1)0,6321) que es igual a la unidad y que la respuesta última se alcanza cuando el tiempo es aproximadamente 5 veces el valor de 𝜏 ( Γ(𝜏) = (1)(1 − 𝑒 −5 ) = (1)0,9932). Otra apreciación que se puede hacer al atraso dinámico, mencionada al principio de esta sección, es que este parámetro depende de la dinámica del sistema, es decir que si se manipula alguna de las variables de proceso, estas pueden favorecer o no, a que una perturbación en la variable de entrada afecte más o menos rápido la variable de salida. Un ejemplo seria aumentando de valor de flujo de alimentación del tanque a 0.7 m3/s (𝜏= 12.708 s) o disminuyéndolo a 0.3 m3/s (𝜏= 29.653 s) y se usa la conclusión, ya deducida, de que la respuesta última se alcanza cuando el tiempo es 5 veces el valor de 𝜏 entonces: 48 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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𝑚3 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 @ 0.7 = 12,708 𝑠(5) = 𝟔𝟑, 𝟓𝟒 𝒔 𝑠 𝑚3 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 @ 0.5 = 17,792 𝑠(5) = 𝟖𝟖, 𝟗𝟒 𝒔 𝑠

𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 @ 0.3

𝑚3 = 29,653 𝑠(5) = 𝟏𝟒𝟖, 𝟐𝟔𝟓 𝒔 𝑠

Esto nos lleva a la conclusión, de entre más pequeño el valor del atraso dinámico sea, más instantánea será la respuesta de la variable de salida frente a una perturbación hecha de la variable de entrada y viceversa. El ejemplo utilizado anteriormente, presenta una dinámica de primer orden, sin embargo, es posible tener funciones de transferencia de órdenes superiores, que pueden definirse mediante las siguientes funciones de transferencia donde Y(s) representa la variable de salida y X(s) la variable de entrada (todo se encuentra en variables desviación):

Segundo orden

Tercer orden

N orden

𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠)

𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠)

𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠)

=

=

1 (𝜏1 𝑠+1)(𝜏2 𝑠+1)

1 (𝜏1 𝑠+1)(𝜏2 𝑠+1)(𝜏3 𝑠+1)

= ∏𝑛𝑖=1

1 (𝜏𝑖 𝑠+1)

(𝟑. 𝟏𝟔)

(𝟑. 𝟏𝟕)

(𝟑. 𝟏𝟖)

En la Figura 3.4 se muestra la respuesta de la variable de salida con una dinámica de sistema de primer, segundo y tercer orden para un cambio paso unitario en la variable de entrada, con atrasos dinámicos iguales a uno. Como se aprecia en la figura al aumentar el orden de la dinámica del sistema la respuesta de la variable de salida se hará lenta, con respecto a una de orden inferior, retardando el tiempo de en el cual se alcance la respuesta última.

49 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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1 0.9 0.8

Respuesta

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 Variable de entrada V.S. con una dinámica de primer orden V.S. con una dinámica de segundo orden V.S. con una dinámica de tercer orden

0.2 0.1 0

0

5

10

15

Tiempo (s)

Figura 3.4. Comportamiento de la variable de salida con dinámicas de diferentes ordenes

3.3 Tiempo Muerto Se conoce como tiempo muerto to, al tiempo que transcurre para que la variable de salida se vea afectada debido a un cambio o perturbación en la variable de entrada. Este tipo de atraso, generalmente es ocasionado por el transporte de fluidos a través de tuberías extensas, o por retrasos por la medición de muestras u otro factor pero nunca por la dinámica propia del sistema. Tomando como referencia el ejemplo anterior y esta vez asumiendo que se tiene un largo tramo de tubería recta desde la salida del tanque hasta el punto de medición de la temperatura de salida y que esta es a próximamente la misma dentro del tanque (29), tal como se muestra en la Figura 3.5.

Medición f, m^3/s Ti(t), °C

Medición f, m^3/s T(t), °C

Figura 3.5. Esquema de un tanque bien agitado, con la medición de la Temperatura del tanque después de un tramo de tubería extenso 50 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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Con esta condición, debe existir un tiempo en variable de entrada, el cual al hacerle perturbación sobre esta, no afectara la variable de salida, sino después que este haya transcurrido (representado por el tramo de tubería). Matemáticamente se aprecia de la siguiente forma: Γ𝑖 (𝑡 ) = Γ𝑖 (𝑡 − 𝑡𝑜 )

(𝟑. 𝟏𝟗)

Aplicando Transformada de Laplace

Γ𝑖 (𝑠) = ℒ [ Γ𝑖 (𝑡 − 𝑡𝑜 )] = 𝑒 −𝑡0𝑠 Γ𝑖 (𝑠)

(𝟑. 𝟐𝟎)

Remplazando en la ecuación C.11 y haciendo los despejes respectivos para que la ecuación tenga la forma característica de la función de transferencia, se obtiene:

𝚪(𝒔) 𝑲𝒆−𝒕𝟎 𝒔 = 𝚪𝒊 (𝒔) 𝝉𝒔 + 𝟏

(𝟑. 𝟐𝟏)

Donde el término 𝑒 −𝑡0𝑠 representa el tiempo muerto en la función de transferencia. Al aplicarle transformada inversa, para un cambio paso unitario en la variable de entrada se obtiene:

𝚪(𝒕) = 𝑲(𝟏)𝒖(𝒕 − 𝒕𝟎 ) (𝟏 − 𝒆−

(𝒕−𝒕𝒐 )⁄ 𝝉)

(𝟑. 𝟐𝟐)

Como se puede apreciar en la ecuación 3.22 mientras el valor 𝑡 ≤ 𝑡𝑜 no será afectado el valor de la variable de salida o Γ(𝑡 )=0. La Figura 3.6 muestra la diferencia de las ecuaciones 3.15 y 3.22 para un cambio paso unitario y tomado un tiempo muerto de 20 s. Como se puede apreciar en la figura, el tiempo muerto no afecta el cambio de la variable de salida, con respecto a una perturbación hecha en la variable de entrada, sino que esta comienza a hacer afectada una vez ha transcurrido el tiempo muerto y no antes.

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1 0.9 0.8

Respuesta

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

Variable de entrada i(t) Variable de salida (t) sin tiempo muerto

0.1

 tiempo muerto to

0 0

10

20

30

Variable de salida (t) con tiempo muerto 40

50 60 Tiempo (s)

70

80

90

100

Figura 3.6. Comportamiento de la variable de salida con tiempo y sin tiempo muerto

3.4 Adelanto dinámico Se le considera un adelanto dinámico (𝜏), a un tiempo de anticipación que ayuda a la variable de salida a alcanzar su respuesta última rápidamente. Físicamente este tiempo no posee un significado apreciable, sin embargo, este concepto es importarle saberlo, dado que estructuras de control como el feedforward o la acción derivativa de un PID, que usan este principio para su funcionamiento. Matemáticamente un adelanto dinámico se puede apreciar en el numerador de la función de transferencia como se muestra en la ecuación 3.23, la cual se le conoce como función de transferencia lead/lag (adelanto/atraso).

(𝜏𝑎𝑑 𝑠 + 1) ← 𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑜 𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠) (𝜏𝑎𝑡 𝑠 + 1) ← 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑜

(𝟑. 𝟐𝟑)

La Figura 3.7 es un ejemplo en el que se muestra cómo responde la variable de salida frente a un cambio paso unitario en la variable de entrada, cuando se tiene una

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función de transferencia con dos atrasos y otra que además posee un adelanto dinámico.

𝑌(𝑠) (0.8𝑠 + 1) = 𝑋(𝑠) (𝑠 + 1)(𝑠 + 1)

(𝟑. 𝟐𝟒)

𝑌(𝑠) 1 = 𝑋(𝑠) (𝑠 + 1)(𝑠 + 1)

(𝟑. 𝟐𝟓)

1 0.9 0.8

Respuesta

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 Variable de entrada Variable de salida con adelanto dinámico Variable de salida sin adelanto dinámico

0.1 0 0

5

10

15

Tiempo (s)

Figura 3.7. Comportamiento de la variable de salida con adelanto y sin adelanto dinámico

Como se muestra en la figura, la respuesta con adelanto alcanza la respuesta última en 10 s, mientras aquella que no posee adelanto, la alcanza en 12 s. Esto demuestra que la primera función de transferencia “responde anticipadamente y más rápida” con respecto a la otra.

3.5 Criterio de estabilidad a partir de las funciones de transferencia Las funciones de transferencia permiten de una forma sencilla decir si un sistema es estable, para lo cual se define una función de transferencia con m adelantos dinámicos, n atrasos dinámicos y un tiempo muerto de la siguiente forma.

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𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠)

𝐾 ∏𝑚 𝑖=1(𝜏𝑖 𝑠 + 1) ∏𝑛𝑗=1(𝜏𝑗 𝑠 + 1)

𝑒 −𝑡𝑜 𝑠

(𝟑. 𝟐𝟔)

A partir de esta ecuación se van a hacer las siguientes dos definiciones:  Zeros: son las raíces del numerador que hacen cero la función de transferencia o 𝑧𝑒𝑟𝑜 = − 1⁄𝜏𝑖 .  Polos: son las raíces del denominador que hacen indeterminada la función de transferencia o 𝑝𝑜𝑙𝑜 = − 1⁄𝜏𝑗 . A partir de estos dos conceptos se hacen los siguientes enunciados (30) (31): Para que un sistema sea real, el número de polos siempre es mayor al número de zeros. Si una función de transferencia posee una respuesta de la variable de salida estable, cuando todos sus polos tienen que ser reales negativos o pares de números complejos conjugados con parte real negativa o en otras palabras los atrasos dinámicos deben ser positivos. Con respecto al segundo enunciado, existen 2 casos en los cuales hay estabilidad del sistema, uno consiste en la estabilidad monotónica (como la respuesta de un cambio paso), se consigue cuando todos los polos son reales negativos y el otro tipo sería la oscilatoria decreciente (como la respuesta de un controlador PI), que sucede cuando al menos alguno un par de los polos, son un par complejo conjugado con parte real negativa.

3.6 Atrasos, Adelantos, y tiempos muertos en Aspen-HYSYS® (32) En la realidad cuando se hacen lazos de control, este posee varios atrasos o tiempo muertos, que son naturales de elementos del lazo, en especial en la medición de las variables controladas y en el elemento de control final, sin embargo AspenHYSYS® no toma en cuenta estos percances, sino que parte del hecho que todo se mide y manipula de forma “casi instantánea”, lo cual puede considerarse que para los lazos de control de flujos, nivel de líquido y presión es válida esta suposición, pero para lazos de control de temperatura o composición no es válida. Por esta razón, el Profesor Willian L. Luyben en su libro: “Plantwide Dynamic Simulators in Chemical Processing and Control”, sugiere atrasos dinámicos y tiempos muertos 54 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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para las mediciones de estos lazos de control, como se muestra en la Tabla 3.1. Con respecto a los elementos de control final, no hay problema con el uso de válvula con acción instantánea, porque este tipo de acción es normalmente representada por el uso de válvulas neumáticas, las cuales de uso común en la industria.

Tabla 3.1 Valores típicos de los atrasos dinámicos debido a la medición Tipo de Lazo

Tipo de Medición

Ganancia

Constante de Tiempo (min)

Tipo de Atraso

Líquido

1

0.5

Atraso de Primer orden

Vapor

1

1

Atraso de Primer orden

1

3 a 10

Tiempo muerto

Temperatura

Composición Cromatografía

Referencias bibliográficas

28. Carlos A. Smith, Armando B. Corripio. Principles and Practice of Automatic Process Control. Tercera edición. s.l. : Jhon Wiley & Sons, Inc, 2006. pp. 67 - 71. 29. —. Principles and Practice of Automatic Process Control. Tercera edición. s.l. : Jhon Wiley & Sons, Inc, 2006. pp. 75-77. 30. B. Wayne Bequette. Process Control: Modeling, Design and Simulation. Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, 2003. pp. 111-113. 31. Carlos A. Smith, Armando B. Corripio. Principles and Practice of Automatic Process Control. Tercera edición. s.l. : Jhon Wiley & Sons, Inc, 2006. pp. 212-215. 32. Willian L. Luyben. Plantwide Dynamic Simulators in Chemical Processing and Control. New York : Marcel Dekker, Inc, 2002. pp. 28-29.

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4. SINTONIZACIÓN EN LAZO ABIERTO 4.1 Introducción En los módulos anteriores, todas las estrategias de control, se han diseñado por medio de técnicas de sintonización en lazo cerrado, debido a que Aspen-HYSYS®, permite el uso de esta técnicas de forma muy sencilla para el lector, sin embargo, los controladores también pueden ser sintonizados, por medio del uso de otras técnicas denominadas como técnicas de sintonización en lazo abierto. Para hacer una clara diferencia entre el significado de lazo cerrado y lazo abierto, primero se mostrara el esquema de típico de un lazo de control como se muestra en la Figura 4.1.

Otra variable de entrada

Señal del error

SP + -

Controlador

Señal de salida Variable de del entrada controlador Elemento de control final (válvula de control)

Otras Perturbaciones al proceso

+ Proceso

+

Variable de salida

Sensor/Transmisor

Figura 4.1 Diagrama de bloques de un típico lazo cerrado de control

Para que la Figura 4.1 se convierta en lazo abierto literalmente se debe hacer un corte de las señales de salida del controlador, con el resto de los elementos que posee el lazo y la señal del sensor/transmisor al controlador, tal como se muestra en la Figura 4.2. La ventaja de trabajar con la Figura 4.2 para la sintonización de controladores, es que no se hace necesario llevar a la variable de salida (controlada) hasta su valor último (respuesta oscilatoria de amplitud constante), situación que no es posible realizar en muchos procesos por cuestiones de seguridad, puesto que conociendo las dinámicas del elemento de control final y del sensor/transmisor, se pueden estimar los parámetros dinámicos que requiere el controlador para actuar frente a la dinámicas de ellos. 56 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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Otra variable de entrada

Cambio Paso

Señal del error

SP + -

Controlador

Elemento de control final (válvula de control)

Otras Perturbaciones al proceso

Variable de entrada

+ Proceso

+

Variable de salida Sensor/Transmisor

Señal del Sensor/transmisor

Figura 4.2 Diagrama de bloques de lazo abierto de control

4.2 Identificación de un sistema: Prueba de cambio paso y FOPDT (67) (68) Como se mencionó en la sección anterior, para poder sintonizar en lazo abierto primero se debe conocer las dinámicas del FCE, el proceso y de los elementos primarios (sensor/transmisor), situación que matemáticamente puede llegar ser tan engorrosa y compleja que el propio lazo de control, por lo cual se hace necesario usar otra estrategia que consiste en aplicarle un cambio paso a la señal de salida del controlador, cuando este se encuentre en modo manual (esto implica lazo de control está abierto), y suponiendo que el lazo de control carece de perturbaciones. Después se registra la señal generada por los elementos primarios, curva conocida como process reaction curve o curva de reacción, y esta se ajusta a una función de transferencia de primer orden con tiempo muerto (First Orden Plus Dead Time o FOPDT), como lo muestra la siguiente ecuación:

𝑲𝒆−𝒕𝒐𝒔 𝐺 (𝑠) = 𝐺𝐹𝐶𝐸 (𝑠)𝐺𝑝 (𝑠)𝐺𝐸𝑃 (𝑠) = 𝝉𝒔 + 𝟏

(𝟒. 𝟏)

Donde 𝐺𝐹𝐶𝐸 (𝑠), es la función de transferencia del elemento de control final,𝐺𝑝 (𝑠) es la función de transferencia del proceso y 𝐺𝐸𝑃 (𝑠) es la función de transferencia de los elementos primarios.

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Una vez obtenida la gráfica correspondiente a la señal medida del sensor/transmisor, la ganancia, el atraso dinámico y el tiempo muerto, se calculan con las siguientes ecuaciones:

𝐾=

Δ𝑆𝑇 𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟/𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑜𝑟 = Δ𝐶𝑂 𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟

(𝟒. 𝟐)

𝜏 = 1.5(𝑡2 − 𝑡1 )

(𝟒. 𝟑)

𝑡𝑜 = 𝑡2 − 𝜏

(𝟒. 𝟒)

Donde 𝑡1 es el tiempo al 28,3% del cambio de la señal del sensor/transmisor (0.283 Δ𝑆𝑇 ) y 𝑡2 es el tiempo al 63,2% del cambio de la señal del sensor/transmisor (0.632 Δ𝑆𝑇 ). Para un mejor entendimiento de lo mencionado anteriormente, se usara el siguiente ejemplo: Suponiendo la siguiente función de transferencia y aplicando un cambio paso unitario, la respuesta es de un perfil como el que se muestra en la Figura 4.3

𝐺 (𝑠) = 𝐺𝐹𝐶𝐸 𝐺𝑝 (𝑠)𝐺𝐸𝑃 (𝑠) =

0.9 (3𝑠 + 1)(𝑠 + 1)(0.5𝑠 + 1)

1

Valor último

0.8

Respuesta

0.89961 0.6

(t2=4.6098 , 0.623ST=0.56046)

0.4

(t1=2.4143 , 0.283ST=0.25459) 0.2

Señal de salida del controlador Señal del Sensor/Transmisor

0 0

5

10

15

20

25

Tiempo (s)

Figura 4.3 Curva de reacción del proceso en lazo abierto 58 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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Entonces, los valores de la ganancia, el atraso dinámico y el tiempo muerto deducidos de la Figura 4.3 son los siguientes:

𝐾=

Δ𝑆𝑇 0,8996 − 0 = = 𝟎, 𝟖𝟗𝟗𝟔 Δ𝐶𝑂 1−0

𝜏 = 1.5(4,6098 − 2,3142)𝑠 = 𝟑. 𝟐𝟗𝟑𝟑𝒔 𝑡𝑜 = (4,6098 − 3.2933)𝑠 = 𝟏, 𝟑𝟏𝟔𝟓𝒔

Entonces el FOPDT sería igual a:

𝑮(𝒔) =

𝟎, 𝟖𝟗𝟗𝟔𝒆−𝟏,𝟑𝟏𝟔𝟓𝒔 𝟑. 𝟐𝟗𝟑𝟑𝒔 + 𝟏

La Figura 4.4, muestra la comparación entre la función de transferencia original y el FOPDT. Cabe destacar que los dos puntos que se han tomado de referencia para hacer el ajuste (tiempo @0.283 Δ𝑆𝑇 y @0.632 Δ𝑆𝑇 ) generan una buena correlación a excepción del intervalo correspondiente al tiempo muerto.

0.9 0.8 0.7

Respuesta

0.6

exp(-1.3165to) FOPDT= 0.89961 -------------------------------3.2933s + 1

0.5 0.4 0.3 0.2

Señal del Sensor/Transmisor FOPDT

0.1 0

0

5

10

15

20

25

Tiempo (s)

Figura 4.4 Señal del sensor/transmisor y FOPDT 59 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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Por último, es importante destacar que este procedimiento es válido cuando de antemano se sabe que la señal del sensor/transmisor es estable al aplicarle un cambio paso en la señal del controlador tal como ocurre en la mayoría de los lazos de control, sin embargo existen algunos casos donde esta condición no es posible: control de nivel de líquido, temperatura de un reactor exotérmico, etc.

4.3 Técnicas de sintonización en lazo abierto Las técnicas de sintonización de lazo abierto son del mismo tipo que su contraparte de lazo cerradas, puesto que ambos parten de parámetros característicos del lazo y se usan para la determinación de los parámetros dinámicos. En este caso se usaran la ganancia, el atraso dinámico y tiempo muerto usados en el FOPDT (𝐾, 𝜏, 𝑡𝑜 ), en vez de la ganancia última y el periodo último usados en el lazo cerrado.. Dentro de estas técnicas heurísticas sobresalen la síntesis directa, las que intentan disminuir el área o la integral del error en el tiempo (en especial el error negativo) ocasionado por las acciones de los controladores, tales como, integral del valor absoluto del error o IAE, Integral del cuadrado del error o ISE, Integral del valor absoluto del error ponderado en el tiempo o ITAE y la Integral del cuadrado del error ponderado en el tiempo o ITSE; además de las técnicas de Ziegler y Nichols (ZN) y de Cohen y Coon (CC), de las que se hablarán en este documento.

4.3.1 Ziegler y Nichols en lazo abierto (ZN) (69) (70) En 1942, el mismo año en el que estos dos ingenieros desarrollaron las técnicas para el cálculo de los parámetros de sintonización en lazo cerrado, se definieron las ecuaciones para la sintonización en lazo abierto para generar una respuesta oscilatoria con ¼ como razón de decaimiento. En la Tabla 4.1 se muestran tales ecuaciones. Sin embargo, es importante mencionar que estas son más aplicables para 𝑡 valores de 𝑜 dentro del siguiente rango: 0,1 – 0,5 y para el control PID se usará la 𝜏 ecuación A.11 a) y b) correspondiente a la ecuación de PID reales.

4.3.2 Cohen y Coon (CC) (71) (72) Siguiendo la misma línea de ZN para la sintonización de controladores en lazo abierto, Cohen y Coon en 1953, propusieron unas relaciones para la determinación de los parámetros, las cuales se encuentran resumidas en la Tabla 4.2. Estos 60 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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parámetros también son diseñados con el criterio de ¼ como tasa de decaimiento, sin embargo estos parámetros tienden a ser más sensibles a cambios en los parámetros de FOPDT, lo que conlleva a pequeñas modificaciones en estos generen una respuesta inestable, e.g, para la acción integral según ZN en lazo abierto, solo depende del tiempo muerto, mientras que según CC depende tanto del tiempo muerto como del atraso dinámico.

Tabla 4.1 Ecuaciones de Ziegler - Nichols para la estimación de los parámetros dinámicos de un controlador sintonizado en lazo abierto Tipo de Controlador

P

PI

Ganancia Proporcional Kp

Tiempo Integral 𝝉𝒊

Tiempo Derivativo 𝝉𝒅

1 𝑡𝑜 −1 ( ) 𝐾 𝜏

-

-

0.9 𝑡𝑜 −1 ( ) 𝐾 𝜏

3.33𝑡𝑜

PID serie

1.2 𝑡𝑜 −1 ( ) 𝐾 𝜏

2𝑡𝑜

0.5𝑡𝑜

PID paralelo

1.5 𝑡𝑜 −1 ( ) 𝐾 𝜏

2.5𝑡𝑜

0.4𝑡𝑜

Una comparación grafica entre estas dos técnicas para controladores PI y PID (con un valor de α de 0.1), y usando el ejemplo de la sección 4.2 se puede apreciar en la Figura 4.5 y los parámetros dinámicos en la Tabla 4.3 para un cambio paso unitario en el SP. Como se puede apreciar en la figura y en la tabla, las dependencias de las acciones integral y derivativa, con el atraso dinámico del FOPDT, son las que genera las discrepancias entre las técnicas de ZN y CC, generando esta última, valores con más sobresalto y por consiguiente respuestas potencialmente inestables.

61 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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Tabla 4.2 Ecuaciones de Cohen - Coon para la estimación de los parámetros dinámicos de un controlador sintonizado en lazo abierto Tipo de Controlador

Ganancia Proporcional Kp

Tiempo Integral 𝝉𝒊

Tiempo Derivativo 𝝉𝒅

P

1 𝑡𝑜 𝑡𝑜 (1 + ) 𝐾𝜏 3𝜏

-

-

PI

1 𝑡𝑜 𝑡𝑜 (0.9 + ) 𝐾𝜏 12𝜏

3𝑡𝑜 ) 𝜏 𝑡𝑜 20𝑡𝑜 (9 + ) 𝜏

-

PD

1 𝑡𝑜 5 𝑡𝑜 ( + ) 𝐾 𝜏 4 6𝜏

-

2𝑡𝑜 ) 𝜏 𝑡𝑜 3𝑡 (22 + 𝑜 ) 𝜏

PID paralelo

1 𝑡𝑜 4 𝑡𝑜 ( + ) 𝐾 𝜏 3 4𝜏

6𝑡𝑜 ) 𝜏 𝑡𝑜 8𝑡 (13 + 𝑜 ) 𝜏

4𝑡𝑜 2𝑡 (11 + 𝑜 ) 𝜏

(30 +

(6 −

(32 +

Tabla 4.3 Parámetros dinámicos del controlador según las reglas de ZN y CC para el ejemplo de la sección 4.2 Tipo de Controlador

Ganancia Proporcional Kp

Tiempo Integral 𝝉𝒊

Tiempo Derivativo 𝝉𝒅

Ziegler - Nichols PI

2,5024

4,3839

-

PID serie

3,3366

2,6330

0,6583

PI PID paralelo

Cohen - Coon 2,5951 2,4167 3,9852

2,7957

0,3251 62

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Variable de salida

1.5

1

a)

0.5

0

PI con ZN PI con CC 0

5

10 Tiempo (s)

15

20

25

Variable de salida

1.5

1

b)

0.5

0

PID con ZN PID con CC 0

5

10 Tiempo (s)

15

20

25

Figura 4.5 Comparación de los métodos de ZN y CC usando un controlador: a) PI y b) PID

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5. CONTROL DE MODELO INTERNO - IMC El método de sintonización de control de modelo interno o Internal Model Control (IMC), fue realizado por los Ingenieros Daniel E. Rivera y colaboradores en 1986 y por Evanghelos Zafiriou y Manfred Morari en 1989. Este método consiste en que a partir de modelos asumidos de las dinámicas de los elementos primarios, proceso y FCE (G(s)), conlleva a resultados analíticos, para el diseño del controlador (parámetros dinámicos). Generalmente cuando se habla de IMC se deben tener en cuenta los siguientes cuatro aspectos (73):    

Modelo del proceso Incertidumbre del modelo Tipo de cambio en la variable de entrada (Paso, Rampa, etc.) Objetivo de desempeño (No off-set, disminuir la integral del error, etc.)

Sin embargo, en la industria no se posee ninguno de estos parámetros, lo cual implica una desventaja para este método, pero a pesar de este percance, este método posee una gran ventaja con las técnicas explicadas y no explicadas en este módulo, que consiste en que los parámetros dinámicos obtenidos por este método, no solo tiene en cuenta G(s), sino también las perturbaciones que entran al lazo. Normalmente cuando se habla de IMC, surgen dos aspectos: la primera es el IMC como controlador, y la otra es la síntesis de controladores PID a partir de la teoría de IMC. Sin embargo, en este documento solo se trata el último de los dos aspectos porque se puede aplicar en Aspen-HYSYS®.

5.1 Estructura de un IMC basado en controlador PID (73) (74) Antes de mencionar el procedimiento a realizar, para la estimación de los parámetros dinámicos, a partir del IMC, primero tiene que realizarse unos artificios matemáticos, para convertir la estructura de un controlador IMC (Figura 5.1), hasta convertirlo en lazo de control feedback convencional (Figura 4.1). Dónde: G(s)

= Proceso (𝐺 (𝑠) = 𝐺𝐹𝐶𝐸 (𝑠)𝐺𝑝 (𝑠)𝐺𝐸𝑃 (𝑠))

Gm(s) = Modelo del proceso Q(s)

= Controlador de modelo interno

U(s)

= Señal de salida del controlador de modelo interno 64 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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Y(s)

= Variable controlada medida

Ym(s) = Variable de salida según el modelo de proceso D(s) = Perturbaciones del lazo Dm(s) = Perturbaciones estimadas del lazo R(s) = SP Rm(s) = SP corregido, para tener en cuenta las perturbaciones del lazo

R(s)

+

Rm(s) -

Q(s)

D(s)

U(s)

G(s)

+

P-32 +

Y(s)

Proceso

Controlador IMC

Gm(s)

Ym(s)

-

+

Modelo del proceso

Dm(s) Proceso realizado internamente por el controlador IMC

Figura 5.1 Estructura de un IMC (todas las variables están como variables desviación)

Cabe notar del lazo las siguientes ecuaciones

𝐷𝑚 (𝑠) = 𝑌(𝑠) − 𝑌𝑚 (𝑠) = 𝑈(𝑠)(𝐺 (𝑠) − 𝐺𝑚 (𝑠)) + 𝐷(𝑠) 𝑅𝑚 (𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐷𝑚 (𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝑌(𝑠) + 𝑌𝑚 (𝑠)

(𝟓. 𝟐) (𝟓. 𝟑)

De la Figura 5.1 se le puede hacer el arreglo mostrado en la Figura 5.2. Cabe notar que las Figuras 5.1 y 5.2 generan iguales resultados, aunque su diagrama de bloques sea diferente, sin embargo en la Figura 5.2 se puede hacer el arreglo mostrado en la Figura 5.3, si lo delimitado por las líneas punteadas de la figura se convierte en un solo bloque, eso significaría que ese bloque fuese equivalente la función de 65 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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transferencia de un controlador convencional Gs(s), donde E(s) es la señal del error en variables desviación.

Controlador Convencional Gc(s)

+

+

-

D(m)

R(s)-Y(s)+Ym(s)

E(s)=R(s)-Y(s)

R(s)

Q(s)

+

U(s)

G(s)

+

+

Ym(s)

Y(s)

Gm(s)

Figura 5.2. Estructura de un IMC Arreglado

E(s)=R(s)-Y(s)

R(s) +

D(m)

Gc(s)

Y(s)

U(s)

G(s)

+

+

Controlador basado en IMC

Figura 5.3. Estructura de un controlador convencional basado en un IMC

Para deducir Gc(s), se usará el álgebra del diagrama de bloques y la Figura 5.2

𝑈(𝑠) = 𝑄 (𝑠)[ 𝐸 (𝑠) + 𝑈(𝑠)𝐺𝑚 (𝑠)]

(𝟓. 𝟒)

Despejando la ecuación (5.4) para obtener el cociente U(s)/E(s) que es igual a Gm(s)

𝑼(𝒔) 𝑸(𝒔) = 𝑮𝒄 (𝒔) = 𝑬(𝒔) 𝟏 − 𝑸(𝒔)𝑮𝒎 (𝒔)

(𝟓. 𝟓)

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A partir de la ecuación (5.5) se deduce lo siguiente : Conociendo como es la estructura de control de modo interno del lazo de control y un modelo que describa el proceso, se puede deducir la forma del controlador convencional, y que acciones debe tener para que el lazo funcione de la mejor manera posible.

5.1.1 Procedimiento para diseñar un controlador basado en un IMC Los pasos son los siguientes (73) (74) (75):  Suponer un modelo de proceso.  Si el modelo del proceso posee tiempos muerto, se usa la aproximación de Padé (puede ser de orden cero, primer orden o segundo orden).  El modelo de proceso se divide en una parte no invertible, representado como Gm+(s) y hace referencia a los ceros positivos de la función de transferencia o tiempo muerto el cual no se le hizo la aproximación de Padé, y una parte invertible, representado como Gm(s) que sería igual al resto de la función de transferencia de Gm(s). 𝐺𝑚 (𝑠) = 𝐺𝑚+ (𝑠)𝐺𝑚− (𝑠)

(𝟓. 𝟔)

 La forma ideal de un controlador de modo interno se hace con la siguiente ecuación. −1 ( ) 𝑄̌(𝑠) = 𝐺𝑚− 𝑠

(𝟓. 𝟕)

 A la ecuación (5.7) se le agrega un filtro de bajo paso, que físicamente reduce las señales producidas por el ruido de proceso y es representada por la siguiente ecuación

𝑓 (𝑠 ) =

1 (𝜆𝑠 + 1)𝑛

(𝟓. 𝟖)

−1 ( ) 𝑄 (𝑠) = 𝑄̌(𝑠)𝑓(𝑠) = 𝐺𝑚− 𝑠 𝑓(𝑠)

(𝟓. 𝟗)

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Donde 𝜆 es un parámetro ajustable, y n es parámetro que debe ajustarse de tal forma que el orden del numerador sea un grado mayor que el orden del denominador, esto generara la acción derivativa del controlador.  Como ya se posee Q(s) y Gm(s), se usa la ecuación (5.5) para el cálculo de la función de transferencia del controlador. 

La ecuación generada se ajusta con la función de transferencia de un controlador PI, PID ideal o PID en cascada con un filtro de primer orden

𝜏𝑖 𝜏𝑑 𝑠 2 + 𝜏𝑖 𝑠 + 1 1 )( ) 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑝 ( 𝜏𝑖 𝑠 𝜏𝐹 𝑠 + 1

Para ser más claro con este procedimiento se realizará el siguiente ejemplo: Se supone que el modelo de proceso viene dado por FOPDT:

𝐺𝑚 (𝑠) =

𝐾𝑒 −𝑡𝑜 𝑠 𝜏𝑠 + 1

(𝟓. 𝟏𝟎)

Se usara una aproximación de Padé de primer orden

𝑒 −𝑡𝑜 𝑠 ≈

−0,5𝑠 + 1 0,5𝑠 + 1

(𝟓. 𝟏𝟏)

Remplazando la ecuación (5.11) en (5.10)

𝐺𝑚 (𝑠) =

𝐾𝑒 −𝑡𝑜 𝑠 𝐾 (−0,5𝑡𝑜 𝑠 + 1) = 𝜏𝑠 + 1 (0,5𝑡𝑜 𝑠 + 1)(𝜏𝑠 + 1)

(𝟓. 𝟏𝟐)

Entonces las partes invertibles y no invertibles son

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𝐺𝑚− (𝑠) =

𝐾 (0,5𝑡𝑜 𝑠 + 1)(𝜏𝑠 + 1)

(𝟓. 𝟏𝟑𝐚)

𝐺𝑚+ (𝑠) = (−0,5𝑡𝑜 𝑠 + 1)

(𝟓. 𝟏𝟑𝐛)

El controlador de modo interno ideal viene dado por la siguiente expresión

−1 ( ) 𝑄̌(𝑠) = 𝐺𝑚− 𝑠 =

(0,5𝑡𝑜 𝑠 + 1)(𝜏𝑠 + 1) 𝐾

(𝟓. 𝟏𝟒)

Y el controlador de modo interno ideal + el filtro de bajo paso, con n igual uno, sería igual a

𝑄 (𝑠) = 𝑄̌(𝑠)𝑓 (𝑠) =

(0,5𝑡𝑜 𝑠 + 1)(𝜏𝑠 + 1) 1 ( ) 𝐾 𝜆𝑠 + 1

(𝟓. 𝟏𝟓)

Reemplazando en la ecuación (5.5)

𝐺𝑐 (𝑠) =

𝑄 (𝑠 ) 𝑄̌ (𝑠)𝑓 (𝑠) = 1 − 𝑄(𝑠)𝐺𝑚 (𝑠) 1 − 𝑄̌(𝑠)𝑓 (𝑠)𝐺𝑚 (𝑠)

−1 ( ) ( ) 𝐺𝑚− 𝑠 𝑓 𝑠 𝐺𝑐 (𝑠) = −1 (𝑠)𝑓 (𝑠) 1 − 𝐺𝑚− (𝑠)𝐺𝑚+ (𝑠)𝐺𝑚−

(𝟓. 𝟏𝟔)

Simplificando de la ecuación (5.16) y reemplazando las variables conocidas

−1 ( ) ( ) −1 ( ) 𝐺𝑚− 𝑠 𝑓 𝑠 𝐺𝑚− 𝑠 𝐺𝑐 (𝑠) = = 1 − 𝐺𝑚+ (𝑠)𝑓(𝑠) 1⁄ ( ) 𝑓(𝑠) + 𝐺𝑚+ 𝑠 1

𝐺𝑐 (𝑠) = ( )

(𝟓. 𝟏𝟕)

(0,5𝑡𝑜 𝑠+1)(𝜏𝑠+1)

𝐾 𝜆𝑠+1−(−0,5𝑡𝑜 𝑠+1)

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𝟏

(𝟎,𝟓𝒕𝒐 𝒔+𝟏)(𝝉𝒔+𝟏)

𝑲

(𝟎,𝟓𝒕𝒐 +𝝀)𝒔

𝐺𝑐 (𝑠) = ( )

(𝟓. 𝟏𝟖)

Eliminando los paréntesis del numerador de la ecuación (5.18)

1 [0,5𝑡𝑜 𝜏𝑠 2 + (𝜏 + 0,5𝑡𝑜 )𝑠 + 1] 𝐺𝑐 (𝑠) = ( ) 𝐾 (0,5𝑡𝑜 + 𝜆)𝑠

(𝟓. 𝟏𝟗)

Si a esta ecuación se le multiplica por el factor (𝜏 + 0,5𝑡𝑜 )⁄(𝜏 + 0,5𝑡𝑜 ) se obtiene

𝐺𝑐 (𝑠) = [

𝜏 + 0,5𝑡𝑜 0,5𝑡𝑜 𝜏𝑠 2 + (𝜏 + 0,5𝑡𝑜 )𝑠 + 1 ][ ] 𝐾 (0,5𝑡𝑜 + 𝜆) (𝜏 + 0,5𝑡𝑜 )𝑠

(𝟓. 𝟐𝟎)

Si esta ecuación se compara con la ecuación del PID ideal,

𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑝 (1 +

1 𝜏𝑖 𝑠

+ 𝜏𝑑 𝑠) = 𝐾𝑝 (

𝑲𝒑 =

𝜏𝑖 𝜏𝑑 𝑠 2 +𝜏𝑖 𝑠+1 𝜏𝑖 𝑠

)

𝝉 + 𝟎, 𝟓𝒕𝒐 𝑲 (𝟎, 𝟓𝒕𝒐 + 𝝀)

𝝉𝒊 = 𝝉 + 𝟎, 𝟓𝒕𝒐

Para deducir el tiempo derivativo se hace lo siguiente,

𝜏𝑖 𝜏𝑑 = 0,5𝑡𝑜 𝜏

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Entonces,

𝝉𝒅 =

𝟎,𝟓𝒕𝒐 𝝉 𝝉𝒊

=

𝟎,𝟓𝒕𝒐 𝝉 𝝉+𝟎,𝟓𝒕𝒐

=

𝒕𝒐 𝝉 𝟐𝝉+𝒕𝒐

Para este caso en la bibliografía citada (74), se recomienda usar 𝝀 > 0.8𝒕𝒐 . El lector debe notar que para este caso se optó el uso de una aproximación de Padé de primer orden, pero si se hubiese usado series de Taylor de primer orden 𝑒 −𝑡𝑜 ≈ (−𝑡𝑜 𝑠 + 1), el resultado hubiese sido un controlador PI con los siguientes parámetros.

1 𝜏 𝐾𝑝 = ( ) 𝐾 𝜆 + 𝑡𝑜

𝜏𝑖 = 𝜏

Lo que lleva a pensar que entre más o menos robusto se quiere que sea el controlador así serán las ecuaciones generadas para los parámetros dinámicos. Generalmente eso se logra usando una ecuación de filtro mejorado y que n se ajuste de tal forma que el orden del numerador sea igual que el denominador (función semi impropia) y no un grado mayor, usar el artificio matemático de “factorización all pass” o aumentado el orden de aproximación de Padé, aproximación de Taylor o inclusive no usar ninguna de las dos, sin embargo en este documento no se hondara sobre esto, pero el lector puede revisar las bibliografía de este módulo para poder profundizar en este tema. (Nota: Cuando se refiere a un control robusto hace referencia a un control que no se ve menos afectado por las perturbaciones del lazo). Por último en la Tabla 5.1 se resume el diseño de los más representativos casos de modelo de proceso hay que mencionar que para los modelos de proceso sin tiempo muerto, uno puede aumentar o disminuir 𝜆 a gusto del lector, pero debe tener en cuenta que entre más grande es el valor más robusto será el controlador, sin embargo cuando este posee tiempo muerto se debe aumentar desde un límite inferior recomendado. De la tabla presentada, solo el ejemplo que intencionalmente se demostró en este módulo y está en negrilla de la tabla puede ser aplicado directamente en AspenHYSYS® conociendo los parámetros de ajuste de FOPDT, sin embargo el lector puede con otras técnicas de ajuste pero tiene que realizar los cálculos de los parámetros dinámicos manualmente.

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Tabla 5.1. Resumen de los controladores más representativos basados en IMC para procesos estables 𝑮𝒎 (𝒔)

Kp

𝝉𝒊

𝝉𝒅

𝝉𝑭

𝑲 𝝉𝒔 + 𝟏

𝜏 𝐾𝜆

𝜏

-

-

𝑲 (𝝉𝟏 𝒔 + 𝟏)(𝝉𝟐 𝒔 + 𝟏)

𝜏1 + 𝜏2 𝐾𝜆

𝜏1 + 𝜏2

𝜏1 𝜏2 𝜏1 + 𝜏2

-

𝑲 (𝝉𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝉𝒔 + 𝟏)

2𝜏𝜉 𝐾𝜆

2𝜏𝜉

𝜏 2𝜉

-

𝑲 (𝝉𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝉𝒔 + 𝟏)

𝜏𝜉 𝐾𝜆

2𝜏𝜉

𝜏 2𝜉

𝜆 2

𝑲 𝒔

1 𝐾𝜆

-

-

-

𝑲 𝒔(𝝉𝒔 + 𝟏)

1 𝐾𝜆

𝑲𝒆−𝒕𝒐 𝒔 𝝉𝒔 + 𝟏

𝜏 + 0,5𝑡𝑜 𝐾 (0,5𝑡𝑜 + 𝜆)

𝜏 + 0,5𝑡𝑜

𝑡𝑜 𝜏 2𝜏 + 𝑡𝑜

-

𝝀 > 0.8𝒕𝒐 Padé 1er orden

𝑲𝒆−𝒕𝒐 𝒔 𝝉𝒔 + 𝟏

𝜏 𝐾𝜆

𝜏

-

-

No se usó Padé 𝜆 > 1,7𝑡𝑜

𝑲𝒆−𝒕𝒐 𝒔 𝝉𝒔 + 𝟏

1 𝜏 ( ) 𝐾 𝜆 + 𝑡𝑜

𝜏

-

-

Serie de Taylor de primer orden

𝑲𝒆−𝒕𝒐 𝒔 𝝉𝒔 + 𝟏

𝜏 + 0,5𝑡𝑜 𝐾 (𝑡𝑜 + 𝜆)

𝜏 + 0,5𝑡𝑜

𝑡𝑜 𝜏 2𝜏 + 𝑡𝑜

𝜆𝑡𝑜 2(𝑡𝑜 + 𝜆)

𝑲𝒆−𝒕𝒐 𝒔 𝒔

𝑡𝑜 + 2𝜆 𝐾(𝑡𝑜 + 2𝜆)2

𝑡𝑜 + 2𝜆

-

-

𝑲𝒆−𝒕𝒐 𝒔 𝒔

2 𝐾(𝜆 + 0,5𝑡𝑜 )

𝑡𝑜 + 2𝜆

𝜆𝑡𝑜 + 0,25𝑡𝑜 𝑡𝑜 + 2𝜆

-

𝜆 > 0,2𝜏

𝑲𝒆−𝒕𝒐 𝒔

𝑡𝑜 𝐾(𝑡𝑜 + 2𝜆)

𝑡𝑜 2

-

-

Padé 1er orden 𝜆 > 0,2𝜏

𝑲𝒆−𝒕𝒐 𝒔

𝑡𝑜 𝐾(𝑡𝑜 + 2𝜆)

𝑡𝑜 2

𝑡𝑜 6

𝑡𝑜 2 6 𝑡𝑜 + 4𝜆

Padé 2do orden 𝜆 > 0,2𝜏

2𝜆2 −

Recomendaciones

𝑓(𝑠) 𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 2

𝑓(𝑠)𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 2 Factorización 𝜆 > 0,25𝑡𝑜 Serie de Taylor de primer orden 𝜆 > 0,2𝜏

Referencias bibliográficas 67. Carlos A. Smith, Armando B. Corripio. Principles and Practice of Automatic Process Control. Tercera edición. s.l. : Jhon Wiley & Sons, Inc, 2006. págs. 234239. 68. B. Wayne Bequette. Process Control: Modeling, Design and Simulation. Upper Saddle River,NJ : Prentice Hall, 2003. págs. 129-135. 72 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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69. Carlos A. Smith, Armando B. Corripio. Principles and Practice of Automatic Process Control. Tercera edición. s.l. : Jhon Wiley & Sons, Inc, 2006. págs. 242244. 70. Cecil L. Smith. Practical Process Control, Tuning and Troubleshooting. Hoboken,NJ : John Wiley & Sons, Inc, 2009. págs. 271-273. 71. Steven E. LeBlanc, Donald R. Coughanowr. Process Systems Analysis and Control. Tercera edición. s.l. : McGrawHill, 2009. págs. 397-402. 72. B. Wayne Bequette. Process Control: Modeling, Design and Simulation. Upper Saddle River,NJ : Prentice Hall, 2003. págs. 202-203. 73. Steven E. LeBlanc, Donald R. Coughanowr. Process Systems Analysis and Control. Tercera edición. s.l. : McGrawHill, 2009. págs. 378-385. 74. B. Wayne Bequette. Process Control: Modeling, Design and Simulation. Upper Saddle River,NJ : Prentice Hall, 2003. págs. 287-306. 75. Dale E. Seborg, Thomas F. Edgar, Duncan A. Mellichamp. Process Dynamics and Control. Segunda edición. s.l. : Jhon Wiley & Sons, Inc, 2004. págs. 304-309.

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6. TEORÍA DEL CONTROL EN CASCADA 6.1 Introducción El sistema de control en cascada es, básicamente, una de las herramientas de control más utilizadas cuando utilizar el control por retroalimentación simple no es la mejor ni la más simple de las estrategias para controlar el proceso deseado. Un ejemplo que permite entender mejor esta estrategia es el caso de un reactor alimentado con una corriente que ha sido previamente calentada en un horno, en caso de una reacción exotérmica, para mantener una temperatura constante dentro del mismo se utiliza una chaqueta con agua de enfriamiento alrededor de las paredes del reactor, sin embargo en ocasiones esta no es suficiente y es cuando se considera procurar mantener en un valor determinado la temperatura de la corriente a la entrada del reactor (37) (38). Teniendo un lazo de control feedback sencillo, se tiene que la temperatura al interior del tanque es controlada modificando de manera indirecta la temperatura de entrada del alimento al reactor manipulando el flujo de combustible a la entrada del horno pre-calentador. Sin embargo dados los atrasos para finalmente obtener nuestra variable de respuesta y las muchas perturbaciones que pueden ocurrir dentro del proceso en el horno hasta llegar al reactor donde es nuevamente censada nuestra variable a controlar, hacen que este tipo de estrategia demore mucho más de lo necesario en controlar la variable de salida. Son estos casos en los que entonces se hace necesario utilizar otro tipo de estrategia de control, en la que se utilizan 2 controladores de temperatura, uno que controle la temperatura del reactor (TC1) y otro que nos permita controlar la temperatura de la corriente de alimento a la salida del horno (TC2). Donde el elemento de control final para el primer controlador (Temperatura del reactor) al que se le llama “maestro” corresponde el SP del controlador de la temperatura de la corriente de alimento, el cual es llamado: “esclavo”. Resumiendo el proceso dependiendo del valor censado de la temperatura al interior del reactor, el controlador decide de acuerdo con el SP definido cuál ha de ser la temperatura deseada para el controlador de temperatura de la corriente de entrada, el cual dependiendo de la temperatura que haya medido a la salida del horno, definirá que acción tomar en la válvula de combustible a la entrada del horno lo que finalmente modificara dicha temperatura. En la Figura 6.1 se esquematiza lo anteriormente explicado. Es a este tipo de estrategias a la que se les llama control en cascada donde la variable primaria es controlada ajustando el SP del controlador de una variable 74 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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secundaria directamente relacionada que envía la señal de acción al elemento de control final. Siendo el control en cascada la estrategia más recomendada en aquellas aplicaciones en las que se puedan incluir el mayor número de perturbaciones en el lazo de control secundario y el mayor atraso en el lazo de control primario. Las ventajas de este tipo de control radican básicamente en permitir una recuperación más rápida de los efectos de las perturbaciones en el proceso, mejorar el desempeño dinámico del mismo, brindar un mejor control de la variable primaria que a su vez es menos afectada por las perturbaciones, pero esto genera una gran desventaja que los sistemas de control se vuelven más complejos, entre más controles se coloque en cascada, lo que puede ocasionar que el lazo de control sea más complejo que la misma dinámica del proceso que se va a controlar.

SP

TR

TC1

TH SP TT1

TH TT2

Horno

TC2

TH

Agua de Enfriamiento

Alimento

Reactor

Producto

FC

Aire

Combustible

Figura 6.1. Esquema de control en cascada

Siendo el control en cascada la estrategia más recomendada en aquellas aplicaciones en las que se puedan incluir el mayor número de perturbaciones en el lazo de control secundario y el mayor atraso en el lazo de control primario. Las ventajas de este tipo de control radican básicamente en permitir una recuperación más rápida de los efectos de las perturbaciones en el proceso, mejorar el desempeño dinámico del mismo, brindar un mejor control de la variable primaria que a su vez es menos afectada por las perturbaciones, pero esto genera una gran desventaja que los sistemas de control se vuelven más complejos, entre más controles se coloque en cascada, lo que puede ocasionar que el lazo de control sea más complejo que la misma dinámica del proceso que se va a controlar. 75 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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Otra forma de apreciar el funcionamiento del controlador en cascada para el ejemplo usado, es por medio del diagrama de bloques el cual se muestra en la Figura 6.2 (se recuerda que todas las variables son variables desviación), en el cual se puede apreciar que el control en cascada presentado posee, dos controladores, 2 variables a controlar (PV), 2 SP (Set-Point), pero un elemento de control final que es la válvula que regula el combustible y que usa la misma secuencia del control feedback.

Lazo de Control Secundario

R(s)

E(s)

+

CO1(s)

-

+

CO2(s)

Taire (s) °C Dinámica del flujo de aire

gpm

°C

-

Controlador primario

Controlador Secundario

Elemento de control final

+

TH (s) °C

T(s) °C

+

Dinámica del flujo de combustible

Dinámica del Reactor

%TO2(s)

Sensor/ Transmisor del control esclavo

%TO1(s)

Sensor/ Transmisor del control maestro

Figura 6.2. Diagrama de bloques del control en cascada

Dónde: R(s) = Set-Point del lazo de control primario. E(s) = Señal de error que entra al controlador maestro. CO1(s) = Señal de salida del controlador primario (maestro), que sería el Set-Point del lazo de control secundario. CO2(s) = Señal de salida del controlador secundario (esclavo). TO1(s) = Señal de salida del transmisor del lazo de control primario. TO2(s) = Señal de salida del transmisor del lazo de control secundario. TH(s) = Temperatura del fluido antes de entrar al reactor. 76 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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T(s) = Temperatura del reactor.

6.2 Sintonización de controles en cascada Para el Proceso de sintonización de este tipo de configuración de controladores, es recomendable empezar por el controlador más rápido hasta el más lento. Los pasos son los siguientes (39):  Colocar tanto el controlador maestro (lento) y esclavo (rápido) en modo manual.  En este modo, sintonizar el controlador esclavo.  Cambiar de modo a manual a automático el controlador esclavo.  En modo manual sintonizar el controlador maestro, y después se cambia a modo automático. Generalmente como el control que nos interesa es el maestro, se usan técnicas de sintonización para controles PI o PID (en especial el ultimo si es control de temperatura o composición), mientras que el control esclavo se sintoniza como un controlador proporcional, por efectos prácticos y porque el off set que genere no es de importancia, aunque también puede sintonizarse como un controlador PI, pero nunca como un PID.

6.3 Acción de los controladores en Cascada Un aspecto importante en estrategia de control, es la acción del controlador, debido a que si no se instala la acción correctamente, el lazo de control no funcionara adecuadamente. Cabe aclarar que este proceso es necesario e importarle, porque no en todos los casos, la acción de control, cuando se encuentra en un lazo de control por retroalimentación sencillo, es igual al realizado a este mismo controlador en cascada. Para deducir la acción que poseen los controladores se comienza por el control más rápido hacia el más lento, entonces para ejemplo mostrado, se empieza con el controlador de temperatura de la corriente de entrada del reactor (Tc2), el cual posee una acción inversa, porque un aumento de la temperatura de los reactivos, por encima de su SP, implicaría una disminución de la abertura de la válvula (que es de tipo falla cerrada) que regula la entrada de combustible al horno; con respecto al control de temperatura del reactor (Tc1), es acción inversa porque un aumento de esta variable por encima del SP, implicaría que tendría que disminuir la abertura de la válvula, que regula la entrada de combustible al horno, esto se explica así: el control 77 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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primario disminuye el SP del control secundario, entonces Tc2 quedaría con un valor por encima de su SP y como su acción es también inversa, obliga que la abertura de la válvula que regula el flujo de combustible disminuya. Todo lo mencionado anteriormente se puede resumir de esta forma: el control maestro usa el sistema de control regulatorio (SP constante perturbaciones variable), mientras que el control o controles esclavos usa el sistema de servo control (SP variable, perturbaciones constante), que para ambos casos la acción de controlador depende de gran medida del elemento de control final que posee lazo de control en cascada. En el ejemplo presentado, se mostró un control en cascada de segundo nivel, pero también pueden existir de niveles superiores, sin embargo solo es recomendable hasta el tercer nivel, puesto que si se usan órdenes superiores, la configuración de los lazos de control se vuelve más compleja, que la dinámica del proceso que obligo el uso de esta estrategia de control.

6.4 Heurística del control de cascada Una forma práctica de deducir en qué ocasiones, se hace necesario esta estrategia de control, se puede recurrir a la siguiente heurística: para asegurar que el control en cascada funcione, el periodo de respuesta del controlador primario, cuando está instalado en lazo feedback sencillo, tiene que ser mayor o igual a 4 veces, que el periodo de respuesta del controlador secundario instalado en lazo feedback sencillo (40). Una forma práctica de apreciar esto es con el tiempo integral 𝜏𝑖 , debido a que entre más pequeño sea este valor, el lazo obtiene la respuesta última rápidamente, lo que demuestra que la dinámica de la variable a controlar es rápida, entonces la heurística seria:

𝜏𝑖 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 ≥ 4𝜏𝑖 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜

(𝟔. 𝟏)

Referencias bibliográficas

37. Carlos A. Smith, Armando B. Corripio. Principles and Practice of Automatic Process Control. Tercera edición. s.l. : Jhon Wiley & Sons, Inc, 2006. pp. 310-315. 38. B. Wayne Bequette. Process Control: Modeling, Design and Simulation. Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, 2003. pp. 314-317.

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39. AspenTech. Aspen HYSYS Dynamics, user guide. Burlington, Ma : Aspen Technology, Inc., 2009. pp. 3-28 - 3.29. 40. Willian Y. Svrcek, Donald P. Mahoney, Brent R. Young. A Real Time Approach to Process Control. Segunda edición. Chichester : John Wiley & Sons. Ltd, 2006. p. 134.

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7. TEORIA DE CONTROL FEEDFORWARD 7.1 Introducción En los módulos anteriores se han abordado diferentes estrategias de control en base a una configuración denominada feedback, en la que el controlador toma una acción correctiva ante una variación en la variable de salida con respecto a un valor deseado a causa de una perturbación dentro del proceso mismo. En este módulo se mostrará una nueva configuración en la que el controlador toma una acción preventiva que evita que la variable de salida se vea afectada por las perturbaciones del proceso. Esta configuración recibe el nombre de “Control Anticipado” o Control Feedforward. En la Figura 7.1 se puede ver más claramente lo anteriormente dicho.

SP

Perturbación

Controlador Feedforward

Proceso Salida del controlador CO% a)

Perturbación SP

Controlador Feedback

Salida del controlador CO%

Proceso

Variable de salida

b)

Figura 7.1. Diagrama de bloques simplificado del a) control feedforward y b) control feedback 80 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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7.2 Ejemplo del uso de un control feedforward Este tipo de configuración es aplicada a una gran variedad de aplicaciones y en especial en procesos donde se tienen re-hervidores, evaporadores, secadores de sólidos, entre otros. Razón por la que un buen ejemplo para entenderla mejor sería un proceso de un rehervidor que calienta un flujo de agua por medio de un serpentín con gas caliente (77). El vapor que se genera sale del recipiente por una corriente en la parte superior, mientras que el líquido sin evaporar se mantiene dentro del mismo. Por medio de un lazo de control feedback el nivel dentro del recipiente es medido y utilizado para ajustar el flujo de la corriente de agua, como se muestra en la Figura 7.2.

LT SP

LC

Controlador Feedback Vapor

Tanque Hervidor Agua de alimento Gas Caliente

Figura 7.2. Control feedback de nivel de líquido en un rehervidor

Sin embargo, este sistema se ve afectado por pequeños cambios en la corriente de vapor, como resultado de la poca capacidad de almacenamiento del recipiente. En otras palabras, en caso de una disminución en el nivel dentro del recipiente, una restricción en el flujo de vapor se convierte en una perturbación no considerada en el lazo de control establecido, pues esta generaría un aumento en la presión del recipiente que no permitiría la entrada de más líquido y por lo tanto no se tendría el aumento de nivel del líquido deseado. En cambio, si se tiene un buen conocimiento de la naturaleza del proceso ocurrido en el sistema y se utiliza una configuración feedforward, donde en vez de medir el nivel de líquido, se mida una de las variables que más directamente perturba o afecta a esta, en este caso, el flujo de la corriente de vapor, y con esta decidir qué acción tomar sobre la corriente de entrada de líquido de tal manera que se mantenga un balance con la demanda de vapor, se puede mantener un nivel constante y en rango, dentro del recipiente, como se muestra en la Figura 7.3.

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FFC

Controlador Feedforward FT Vapor

Tanque Hervidor

Agua de alimento Gas Caliente

Figura 7.3. Control feedforward de nivel de líquido en un rehervidor

Sin embargo, es preciso hacer un comparación entre estos dos tipos de configuraciones mostrando las ventajas y desventajas, resumidos en la Tabla 7.1 (77) (78) , del uso de las mismas permitiendo de esta manera hacer una mejor elección al momento de definir qué estrategia utilizar para el proceso requerido.

FEEDBACK Ventajas

Desventajas

1. La acción correctiva ocurre tan pronto la variable se desvía de su SP independientemente del origen y tipo de perturbación

1. Espera hasta que la perturbación haya afectado al proceso para tomar acciones. Entonces el "control perfecto" donde la variable controlada no se desvía de su Set-Point durante una perturbación o cambios en el SP, es teóricamente imposible.

2. No requiere una medida de la perturbación

2. Es susceptible a perturbaciones cuando el proceso el lento o cuando un tiempo muerto significativo está presente, en cuyo caso el proceso operaría continuamente en un estado transitorio y nunca llegaría al estado estacionario. 3. Puede llevar a la inestabilidad del sistema de lazo cerrado debido a no-linealidades.

3. Efectivamente puede rechazar perturbaciones para procesos de respuesta

las

4. Simple de implementar

4. No provee un acción de control predictiva para compensar los efectos de las perturbaciones medibles

5. Requiere un mínimo conocimiento del proceso a controlar

5. La variable controlada no siempre puede ser medida haciendo el control feedback no factible

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FEEDFORWARD Ventajas

Desventajas

1. Compensa las perturbaciones antes de 1. Requiere una medida de la perturbación y en que estas afecten el proceso muchas aplicaciones esto no es posible. 2. Puede mejorar la confiabilidad del 2. No compensa las perturbaciones no medidas controlador feedback reduciendo la y además requiere de un buen conocimiento del desviación desde el SP modelo del proceso. 3. Ofrece notables ventajas para procesos 3. Debido a que es una corrección linear, su lentos o proceso con un tiempo muerto desempeño se deteriora con no-linealidades significativo

Tabla 7.1. Comparación entre el control feedback y el control feedforward

Teniendo en cuenta la información anterior, en la industria actual normalmente se encuentra que la configuración feedforward se use en combinación con el control feedback, donde el control feedforward es utilizado para reducir los efectos de las perturbaciones medibles, mientras que el feedback compensa las inexactitudes en el modelo del proceso, los errores en las mediciones y las perturbaciones no medidas. Una de las tantas formas de hacer este arreglo es el que se muestra en la Figura 7.4 donde las salidas del controladores feedback y feedforward se suman y la señal combinada se envía a la válvula de control.

Controlador Feedback +

LC

SP FFC

LT

Controlador Feedforward

FT

Vapor

Tanque Hervidor Agua de alimento Gas Caliente

Figura 7.4. Control feedback/ feedforward de nivel de líquido en un rehervidor 83 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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En el ejemplo aquí presentado solo se tomó la mayor perturbación medible que afecta el nivel del tanque hervidor, sin embargo la estrategia de control feedforward no solo se limita a el control de una perturbación, sino que también puede ser aplicado a otras mediciones de perturbaciones como el flujo o la temperatura del gas caliente y las salida o salidas de este controlador(es), se suma a la salida del control feedback, generando un control más robusto con respecto a las perturbaciones del proceso.

7.3. Ecuación del controlador feedforward Como se mencionó en un principio, para poder dimensionar un controlador feedforward, es una necesidad saber acerca de la dinámica del proceso a controlar, por lo cual para el ejemplo presentado en este módulo, se le realizara el diagrama de bloques (todas las variables se encuentran en forma desviación) para el proceso estudiado usando el control feedback/feedforward, como se muestra en la Figura 7.5, y a partir de este se deducirá la ecuación del controlador feedforward (FFC) (79) (80) (81) .

D(s) FFC(s)

%TOD

GD(s)

UFF(s) %CO FF

R(s) %TO

+

E(s) -

%TO

GC(s)

UFB(s) %CO FB

+

+

U(s) %CO

FV(s) Lb/h

HD(s)

GM(s)

+ +

C(s) %TO

Figura 7.5. Diagrama de bloques para el control feedback/feedforward para el control de nivel

Siendo: Gc(s) = Controlador del lazo feedback 84 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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FFC(s) = Controlador feedforward HD(s) = Medidor de la perturbación GD(s) = Función de transferencia que representa el flujo de vapor GM(s) = Función de transferencia que representa las dinámicas del elemento de control final, proceso y sensor/transmisor de la variable controlada (nivel de líquido). Si está presente en el diagrama de bloques un control en cascada, el lazo esclavo estaría incluido en este término, siempre y cuando este posea un comportamiento cuasi lineal. C(s) = Variable controlada medida %TO (porcentaje de transmitter output) D(s) = Perturbación medida (flujo de vapor) %TOD R(s) = SP en %TO E(s) = Señal del error %TO UFB(s) = Señal de salida del controlador feedback % CO (porcentaje de controller output) UFF(s) = Señal de salida del controlador feedforward %CO U(s) = Señal sumada del controlador feedback y feedforward FV(s) = Flujo de vapor Lb/h

Si de la Figura 7.5 se desconecta el controlador feedback (modo manual), solo quedara la parte feedforward (dentro de la circunferencia punteada) y a partir del algebra de los diagramas de bloques se obtiene la siguiente ecuación:

𝐶(𝑠) = 𝐹𝑉(𝑠)𝐺𝐷 (𝑠) + 𝐹𝑉(𝑠)𝐻𝐷 (𝑠)𝐹𝐹𝐶(𝑠)𝐺𝑀 (𝑠)

(𝟕. 𝟏)

Debido que la función del FFC es que un cambio en la perturbación no afecte la variable controlada, entonces C(S)=0. Remplazando esto en la ecuación (7.1) y haciendo los despejes respectivos se obtiene:

𝑭𝑭𝑪(𝒔) = −

𝑮𝑫 (𝒔) 𝑯𝑫 (𝒔)𝑮𝑴 (𝒔)

(𝟕. 𝟐)

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Debido a que generalmente la deducción de GD(s) y GM(s), puede ser engorrosa, una forma sencilla de deducir estos parámetros es por medio del ajuste de FOPDT, con el método enseñado en la lección 4, y las ecuaciones son las siguientes:

𝐾𝐷 𝑒 −𝑡𝑜𝐷 𝑠 %𝑇𝑂 𝜏𝐷 𝑠 + 1 𝐿𝑏/ℎ

(𝟕. 𝟑𝐚)

𝐾𝑀 𝑒 −𝑡𝑜𝑀 𝑠 %𝑇𝑂 𝜏𝑀 𝑠 + 1 %𝐶𝑂𝐹𝐹

(𝟕. 𝟑𝐛)

𝐺𝐷 (𝑠) =

𝐺𝑀 (𝑠) =

Y el termino HD(s), generalmente viene dado por la siguiente ecuación

𝐻𝐷 = 𝐾𝑇𝐷

%𝑇𝑂𝐷 𝐿𝑏/ℎ

(𝟔. 𝟑𝐜)

Reemplazando las ecuaciones (7.3a), (7.3b) y (7.3c) en la ecuación (7.2) se obtiene

𝑭𝑭𝑪 = −

𝑮𝑫 (𝒔) 𝑲𝑫 𝝉𝑴 𝒔 + 𝟏 −(𝒕 −𝒕 ) =− ( ) 𝒆 𝒐𝑫 𝒐𝑴 (𝒔)𝑮 (𝒔) 𝑯𝑫 𝑲𝑻𝑫 𝑲𝑴 𝝉𝑫 𝒔 + 𝟏 𝑴

(𝟕. 𝟒)

De la ecuación (7.4) es importante destacar que se puede dividir en tres partes: una parte que contiene solo ganancias y es conocida como controlador feedforward en estado estacionario (FFCSS), un compensador que posee la forma de una función de transferencia de adelanto/atraso y un compensador de tiempo muerto. El producto de los tres elementos de la ecuación (7.4) también es conocido como control feedforward dinámico (FFCDYN), los cuales van a hacer estudiados individualmente a continuación. Si se observa primer elemento, correspondientes al producto y división de las ganancias (FFCSS), este posee las siguientes unidades:

%𝑇𝑂 𝐺𝐷 (𝑠) %𝑪𝑶𝑭𝑭 𝐿𝑏/ℎ = = 𝐻𝐷 (𝑠)𝐺𝑀 (𝑠) %𝑇𝑂𝐷 %𝑇𝑂 %𝑻𝑶𝑫 𝐿𝑏/ℎ %𝐶𝑂𝐹𝐹

(𝟕. 𝟓)

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Lo cual demuestra que este término es adimensional. Para entender el significado del signo menos debe hacerse el siguiente análisis: la ganancia del sensor del flujo de vapor siempre generada un valor positivo (+), porque fuese ilógico lo contrario. KM tendrá un valor positivo (+) porque un aumento de %CO implicara un aumento de la abertura de la válvula, suponiendo que es FC, y aumentara el nivel de líquido y KD tendrá un valor negativo (-) porque entre más aumente el flujo de vapor, el nivel de líquido disminuirá, entonces

𝐾𝐷 (−) = =− 𝐾𝑇𝐷 𝐾𝑀 (+)(+)

(𝟕. 𝟔)

Si el signo de la ecuación (7.6) no se le multiplica por el menos uno (-1) de la ecuación (7.4), significaría que un aumento en el flujo de valor disminuiría la señal de salida del controlador feedforward lo que genera que la válvula comience a cerrarse. Esta situación será ilógica porque al disminuir el flujo de agua que entra al tanque aumentando el flujo de vapor, eso traerá como consecuencia lógica que el nivel de líquido comience a descender. Si el signo de la ecuación (7.6) si se le multiplica por el menos uno (-1), significa que la ganancia sería positiva y se vería reflejado en que un aumento en el flujo de vapor, aumentara la señal de salida del controlador feedforward y aumentara la abertura de la válvula i.e., aumentara el flujo de agua que entra al tanque para suplir los nuevos requerimientos de vapor, actuando antes que el nivel de líquido comience a variar. Esta situación es muy lógica, porque hará que la variación de nivel del líquido sea menor que solo te tuviera el control feedback, el cual comenzara a trabajar después de que el nivel comience a variar. De lo mencionado anteriormente el lector puede inferir dos cosas: lo primero es que el signo negativo de la ecuación (7.4) le da acción correcta al controlador feedforward y lo segundo es que el control feedforward comienza a controlar las perturbaciones antes de que estas afecten la variable controlada. Los otros 2 términos de la ecuación (7.4) que corresponden a compensaciones dinámicas en forma adelanto/atraso (lead/lag) y el de tiempo muerto ayudan a que la variable controlada oscile menos, que usando el FFCSS, sin embargo, existen situaciones en que estas compensaciones no pueden ser aplicadas porque no son físicamente realizables o los resultados obtenidos usándolos, sean en muy parecidos al usar solo la compensación en estado estacionario FFCSS. Al lector se le recomienda las siguientes heurísticas (79) (82) para tomar la mejor decisión de usar o no los compensadores dinámicos.

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 Cuando la relación

𝜏𝑀 𝜏𝐷

se encuentre en el siguiente rango:0,3


PV2

%CO PV3

TT

TT

TT

Flujo de refrigerante Reactor

Producto

Figura 11.1. Control de temperatura de un reactor usando auctioneering 104 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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 Instrumentación redundante (63) (64) Este caso hace referencia a situación es en las que para procurar tener siempre una medición segura de las variables de proceso, se utilizan más de un instrumento para medir la misma propiedad en puntos cercanos. En momentos en los que uno de los equipos de medición falle por falla en la calibración del equipo o falsa medición, se tiene un segundo equipo para confirmar la veracidad de la información obtenida. Dado esto en caso de tener un lazo de control dependiente de esa medida se hace necesario tener un elemento selector capaz de escoger la correcta medición entre los diferentes datos emitidos por los diferentes instrumentos. En el ejemplo de la Figura 11.2 se selecciona el mayor valor como el más crítico para controlar el flujo del reactivo limitante a la entrada del reactor.

SP

>

CC PV1

%CO

PV2

Analizador

Reactivo limite

Reactivo en exceso

Analizador

Producto

Reactor

Figura 11.2. Control de Composición del producto usando instrumentación redundante Otro ejemplo de situaciones en las que hay instrumentación aparentemente redundante puede ser cuando se necesita mantener algunas de las variables dentro de un rango estricto de especificación, ya sea para mantener la calidad de un producto o para garantizar las especificaciones de alguna corriente de alimento de un reactor. Como se puede apreciar en la Figura 11.3 se tiene un esquema de una situación como esta donde es crítico mantener el valor del flujo dentro de los límites. Por tal motivos se tienen 3 medidores de flujo con un selector que tomará el valor intermedio de las mediciones como entrada a un controlador de flujo que actuara sobre una válvula a la entrada del reactor, de esta manera se consigue que el alimento entre en las cantidades precisas dentro de los límites ya establecidos de la reacción. 105 Ingeniería Química | Uniatlántico | 2012

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Mediana

PV1 FT

PV2 FT

PV

PV3

FIC FC

SP

%CO

FT

Alimento del reactor Reactor

Figura 11.3. Control de Flujo de alimento de un reactor

 Control Override (65) Este tipo de control también conocido como “constraint control” o control por sobremando, se caracteriza por utilizar un selector de baja o de alta que es alimentado por múltiples señales generalmente provenientes de la salida de otros controladores (señales Controller Output o CO). Dicho selector escogerá la señal más baja o más alta dependiendo de la naturaleza del proceso a mantener en control, evitar altas presiones, bajos niveles, altas temperaturas, etc. La señal de salida del selector será entonces la que definirá la acción a realizar sobre el elemento de control final o en algunos casos se convertirá en el SP de otro controlador configurado en cascada. Tal selector es entonces quien escogerá que controlador manipulará a tal elemento de control final. Para ejemplificar lo anterior tomemos como ejemplo la situación de la Figura 11.4 donde el selector de baja recibe la señales de salida de los controladores de nivel LC (acción directa) y de flujo FC (acción inversa) y toma la señal más baja para definir la acción a realizar sobre la bomba de velocidad variable, que sería el FCE, de la corriente de salida del tanque. Es decir que cuando el nivel del taque está por debajo de su SP, como por ejemplo la altura h2, se tendrán bajas señales del control de nivel mientras que la señal del controlador de flujo será alta, haciendo que el selector escoja la señal del controlador de nivel por ser la más baja, y actúa disminuyendo la velocidad de la bomba para disminuir el alto flujo y de esta manera tratar de aumentar el nivel en el tanque y lo contrario para el caso en el que se tenga un alto nivel en el tanque (arriba de su SP como en la altura h1).

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Otra de los grandes usos de este tipo de control es que mientras los interlocks deciden tomar una acción súbita de parada de un equipo cuando se alcanza alguna condición peligrosa para la seguridad del proceso, los equipos o para el personal en el área, esta estrategia de control puede evitar este tipo de situaciones haciendo que el sistema tome medidas correctivas antes de que se alcance una condición accionante de un interlock de seguridad, logrando de esta forma que el sistema continúe operando aunque no sea a su óptimo nivel, es por esto que esta estrategia es método sencillo de tener un control robusto.

Flujo A

h1

SP

LT LT

h

LC

%CO