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3. Asociaciones de resistencias y de condensadores. 3.1

OBJETIVO.

Esta práctica tiene como objetivo ampliar los conocimientos adquiridos en la práctica de Caracterización Eléctrica en cuanto al manejo de fuentes, multímetros y capacímetros. Se planteará el montaje de circuitos con asociaciones de resistencias en serie y en paralelo, así como otras configuraciones más complicadas, comprobándose experimentalmente las leyes de dichas asociaciones y las leyes de Kirchhoff. A continuación, se comprobarán experimentalmente las leyes de asociación de condensadores en serie y en paralelo.

3.2

FUNDAMENTO TEÓRICO.

3.2.1

CIRCUITOS SERIE Y PARALELO. LEYES DE ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS.

En muchos circuitos eléctricos no suele haber una única resistencia, sino que generalmente hay varias conectadas entre sí en diferentes configuraciones. En estos casos es posible encontrar la denominada resistencia equivalente del conjunto, que es aquella que disipa la misma potencia que el conjunto cuando se le aplica la misma diferencia de potencial. Para ciertas configuraciones es posible encontrar una relación sencilla entre la resistencia equivalente y aquellas que forman dicho conjunto. En este sentido se distinguen dos tipos principales de conexiones. A) Asociación de resistencias en serie. Tiene lugar cuando un extremo de una resistencia está conectado con un extremo de otra, y los extremos inicial y final se conectan con la fuente de tensión (figura 3.1). Al tratarse de un circuito conectado en serie, la corriente que atraviesa los diferentes elementos resistivos es la misma. Teniendo esto en cuenta es posible demostrar que se puede simplificar y obtener un circuito análogo al de la figura 3.1b con una resistencia RT equivalente a la asociación en serie. R1

R2

R3

R2

R1

+

I E + –

E + –

– I

a)

I

RT

b)

Figura 3.1. a) Asociación de dos resistencias en serie. b) Circuito equivalente de la asociación.

Considerando el circuito de la Figura 3.1, la diferencia de potencial E se reparte en las dos resistencias, habiendo en cada una de ellas una caída de potencial IRi. Entonces:

E  IR1  IR2  I R1  R2  .

(3.1)

Aplicando la ley de Ohm, en el circuito equivalente se cumplirá:

E  IRT .

(3.2)

Comparando las relaciones (3.1) y (3.2), se obtiene que:

RT  R1  R2

(3.3)

Este resultado puede extenderse para cualquier número de resistencias, de forma que, en general, para la asociación de resistencias en serie se tiene: RT   Ri .

(3.4)

i

B) Asociación de resistencias en paralelo. Tiene lugar cuando se conectan entre sí ambos extremos de las resistencias a conectar y a su vez con la fuente de tensión, tal y como puede verse en la

1

Figura 3.2. Ahora la diferencia de potencial entre los extremos de cada una de las resistencias es la misma, con lo que, para cada resistencia Ri de la Figura 3.2.a), se verifica:

Ii 

Vi E  . Ri Ri

(3.5)

La suma de las corrientes que atraviesan cada una de las resistencias es la corriente total que proviene de la fuente de alimentación:  1 1  . I  I1  I 2  E     R1 R2 

(3.6)

R1

R1 I1

R2 I2 E

E + –

– I

a)

R2

I

+

I1

RIT2

E + –

R3

b)

I3

I

b Figura 3.2. a) Asociación de dos resistencias en paralelo. b) Circuito equivalente de la asociación. Si, como en el caso anterior, suponemos un circuito equivalente como el representado en la Figura 3.2.b), caracterizado por una corriente total I y una resistencia equivalente R T se verifica que:

1 1 1 .   RT R1 R2

(3.7)

De nuevo, este resultado puede extenderse para cualquier número de resistencias, de forma que, en general, la resistencia equivalente de una disposición de las mismas en paralelo resulta ser:

1  RT 3.2.2

R

1

i

.

(3.8)

i

LEYES DE KIRCHHOFF.

No todas las redes de resistencias pueden reducirse a combinaciones sencillas de resistencias en serie y en paralelo. Para calcular las corrientes en estos casos no se precisan nuevos principios físicos, pero sí que existen diferentes técnicas que permiten tratar este tipo de problemas de forma sistemática. Explicaremos una de ellas, la desarrollada por Gustav Robert Kirchhoff. Definiremos en primer lugar dos conceptos. Un nudo de una red es un punto donde se unen tres o más conductores. Una malla es cualquier trayecto conductor cerrado. Así, en la Figura 3.3, el punto marcado con una (a) es un nudo, mientras que el trayecto marcado con una (b) es una malla. Las leyes de Kirchhoff constan de los dos enunciados siguientes y son sólo aplicables en el caso de que las corrientes sean estacionarias: R1

E1

R3

(a)

R2

(b)

E2

+

Figura 3.3. Ejemplo de nudo (a) y malla (b) en un circuito.

A) Ley de los nudos: “La suma algebraica de las corrientes en cualquier nudo ha de ser cero.”

I

i

i

2

0.

(3.9)

La regla de los nudos es una aplicación del principio de conservación de la carga eléctrica: como no puede acumularse carga en un nudo, la corriente total que entra debe ser igual a la que sale, o (considerando positivas las que entran y negativas las que salen) la suma algebraica de las corrientes en un nudo debe ser cero. B) Ley de las mallas: “La suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier malla ha de ser cero.”

E  I i

i

j

Rj  0 .

(3.10)

j

La regla de las mallas es una expresión de la conservación de la energía: cuando una carga atraviesa una malla y vuelve al punto de partida, la suma de las subidas de potencial en las fuentes de la malla debe ser igual a la suma de las caídas de potencial en las resistencias. Es necesario tener en cuenta el sentido de las diferencias de potencial a la hora de sumarlas; se tomará el que se indica en la Figura 3.3. 3.2.3

CIRCUITOS DIVISORES DE TENSIÓN.

Frecuentemente, los circuitos de corriente continua están alimentados por un único generador o pila que suministra una diferencia de potencial constante que no es posible variar. Sin embargo, en ocasiones suele ser necesario obtener diversas diferencias de potencial (inferiores a la proporcionada por la fuente) en algunas partes del circuito. Para evitar tener que poner tantos generadores como diferentes tensiones necesitemos en un circuito (algo que por otra parte no es siempre posible con el empleo de pilas electroquímicas), se emplean los circuitos divisores de tensión. I A E + –

R1

V1

R2

V2

B C

Figura 3.4. Circuito divisor de tensión.

En la Figura 3.4 se representa el divisor de tensión más sencillo, formado por una fuente con una tensión constante E y dos resistencias, R1 y R2. Aplicando la ley de Ohm, sabemos que la corriente total que circula por este circuito es:

I

E E .  RT R1  R2

(3.11)

Por otra parte, la caída de potencial en cada una de las resistencias será, de acuerdo con la ley de Ohm para cada resistencia:

Vi  IRi .

(3.12)

Teniendo en cuenta la ecuación (3.11), se tiene, de forma general:

Vi 

Ri E, RT

(3.13)

y, en particular, para el caso de dos resistencias se verifica que:

V1 

R1 E, R1  R2

(3.14)

V2 

R2 E. R1  R2

(3.15)

Luego, se pueden obtener tensiones inferiores a E (en nuestro ejemplo, dos tensiones) sin más que elegir adecuadamente los valores de las resistencias empleadas.

3

3.2.4

ASOCIACIONES DE CONDENSADORES.

Al igual que sucede con las resistencias, los circuitos eléctricos pueden contener varios condensadores (como los vistos en la primera práctica). De esta forma, se distinguirán de nuevo los dos tipos principales de conexiones: serie y paralelo. A) Asociación de condensadores en serie. Esta asociación tiene lugar cuando un extremo de un condensador está conectado con el extremo de otro, y únicamente con éste, como se indica en la Figura 3.5. Una comparación de los circuitos a) y b) demuestra que es necesario que Q1  Q2  Q , siendo también necesario, por otra parte, para que se cumpla el principio de conservación de la

E

+Q1 –Q2

+ +

–Q1– +Q2+

– +

– –

C1

+Q

E

+ +

C2

a)

– –

–Q

CT

b)

Figura 3.5. a) Asociación de dos condensadores en serie. b) Circuito equivalente de la asociación.

carga eléctrica. Tomando en primer lugar el circuito de la Figura 3.5.a), la diferencia de potencial E se reparte en Q los dos condensadores, habiendo en cada uno de ellos una caída de potencial Cii . E

 1 Q1 Q2 1  .   Q   C1 C2  C1 C2 

(3.16)

Si ahora se considera el circuito de la Figura 3.5.b), la diferencia de potencial E es igual a:

E

Q . CT

(3.17)

Comparando las ecuaciones (3.16) y (3.17), se obtiene que:

1 1 1 .   CT C1 C2

(3.18)

Este resultado puede extenderse a números superiores de condensadores, de forma que, en general, para la asociación de condensadores en serie se escribe la relación:

1 1  . CT i Ci

(3.19)

B) Asociación de condensadores en paralelo. Esta asociación tiene lugar cuando los condensadores se conectan entre sí por sus dos extremos y directamente (es decir, sin ningún elemento adicional entre ellos), como se indica en la Figura 3.6.

E

+Q2

+Q1 + +

–Q1

– –

C1

E

+ + –

C2 – –Q2

+Q + +

–Q

a)

– –

CT

b)

Figura 3.6. a) Asociación de dos condensadores en paralelo. b) Circuito equivalente de la asociación.

Una comparación de los circuitos a) y b) demuestra que la diferencia de potencial es la misma en ambos condensadores. Además, la carga Q total que proporciona la fuente se debe repartir entre los dos condensadores, es decir:

Q  Q1  Q2  EC1  EC2  EC1  C2  . Considerando ahora el circuito de la Figura 3.6.b), la carga total es:

4

(3.20)

Q  ECT .

(3.21)

Comparando las dos expresiones anteriores, se obtiene que:

CT  C1  C2 .

(3.20)

Este resultado puede extenderse a números superiores de condensadores, de forma que, en general, para la asociación de condensadores en paralelo se calcula mediante la expresión: CT   C i . i

5

(3.20)

3.3

REALIZACIÓN PRÁCTICA.

3.3.1

MATERIAL.       

3.3.2

Fuente de alimentación. Multímetros. Capacímetro. Cajas de resistencias variables. Condensador variable y condensadores fijos de diferentes tipos. Cables de conexión. Placa de montaje.

ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS EN SERIE.

Se realizará el montaje experimental del circuito representado en la Figura 3.7. Inicialmente se fijará un valor de la tensión total E que suministra nuestra fuente y los valores de las resistencias R1 y R2 (sendas cajas de resistencias variables con valores de al menos cientos de ohmios). A continuación, se medirá tanto la corriente I que circula por el circuito como las caídas de tensión V1 y V2 entre los extremos + de las resistencias R1 y R2 respectivamente, utilizando para ello los tres multímetros. Este proceso se repetirá A para diferentes valores, al menos diez, de la tensión E. – +

A

– +

R1

V V1 –

E + –

+

R2 V V2 –

Figura 3.7. Circuito experimental para la determinación de la asociación en serie de resistencias.

Las medidas obtenidas permiten comprobar la veracidad de la relación (3.4). Para ello, se representarán en una misma gráfica las parejas de valores (I, E), (I, V1) e (I, V2). Las respectivas pendientes, que se obtendrán mediante regresión lineal, deben verificar dicha relación. A continuación, se procederá de la misma manera para otra pareja de valores R1 y R2. ¿Qué ocurre cuando una de las resistencias tiene un valor notablemente superior a la otra? 3.3.3

ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS EN PARALELO.

El procedimiento experimental es análogo al apartado anterior. Se realizará el montaje experimental del circuito representado en la Figura 3.8.

R1 +

R2 +

I2 E

+

–

A 1 A 2

–

I1 –

a +

A 3 –

I Figura 3.8. Circuito experimental para la determinación de la asociación en paralelo de resistencias.

Inicialmente se fijará un valor de la tensión total E que suministra nuestra fuente y de las resistencias R1 y R2 (sendas cajas de resistencias variables con valores de al menos cientos de ohmios). A continuación, se medirá tanto la corriente total I que circula por el circuito como las corrientes I1 e I2 que circulan por cada una de las resistencias, utilizando para ello los tres multímetros. Este proceso se repetirá para diferentes valores, al menos diez, de la tensión E. Finalmente, las medidas obtenidas permiten comprobar la veracidad de la relación (3.8). Para ello, se representarán en una misma gráfica las rectas (E, I), (E, I1) y (E, I2). Las respectivas pendientes (1/RT, 1/R1 y 1/R2, respectivamente), obtenidas mediante regresión lineal, deben verificar dicha relación.

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Proceder de la misma manera para otros valores de R1 y R2. ¿Qué ocurre cuando una de las resistencias tiene un valor notablemente superior a la otra? 3.3.4

LEYES DE KIRCHHOFF EN CIRCUITOS RESISTIVOS.

Ley de Kirchhoff de los nudos. La primera ley se comprobará mediante los datos experimentales obtenidos en el apartado 3.3.3 (asociación de resistencias en paralelo) para las corrientes eléctricas I1, I2 e I en el nodo a de la misma (Figura 3.8). Ley de Kirchhoff de las mallas. Para comprobar la segunda ley debe montarse el circuito de la Figura 3.3. La fuente E1 se obtiene conectando la salida de tensión fija de 5V de la fuente de alimentación, mientras que para la fuente E2 se empleará la salida de tensión variable en un determinado valor diferente del utilizado para E1. Importante: verificar la polaridad de ambas conexiones. Utilizando cajas de resistencias variables escoger un valor de las resistencias R1, R2 y R3 de un valor mínimo de 1k cada una. Utilizar los tres multímetros para medir las tensiones en cada uno de los elementos de circuito presentes en la malla y comprobar así que se verifica la citada ley. Proceder de la misma manera para otros valores de las resistencias. 3.3.5

CIRCUITOS DIVISORES DE TENSIÓN.

El circuito experimental corresponde al representado en la Figura 3.4. Puesto que este circuito es idéntico al de la asociación de resistencias en serie, bastará utilizar las medidas experimentales obtenidas en el apartado 3.3.2 para comprobar las relaciones (3.14) y (3.15). Con este fin, representar las diferencias de potencial en cada resistencia V1 y V2 en función de la tensión de alimentación E para valores fijos de las resistencias. Con las pendientes calculadas obtener los valores experimentales de R1 y de R2. Estimar los errores observados. 3.3.6

ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES EN SERIE.

Es importante recordar que la capacidad a medir mediante un capacímetro debe estar desconectada de cualquier circuito o fuente de tensión. Antes de realizar las medidas es preciso ajustar el nivel del 0 en el capacímetro: ese ajuste se llevará a cabo con el mando destinado a tal efecto, y utilizando la escala de mayor precisión (200pF). En primer lugar, se medirá mediante el capacímetro la capacidad entre los extremos inicial y final de dos condensadores dispuestos en serie. Comprobar la relación (3.19) para diferentes valores de las dos capacidades y estimar los errores detectados. ¿Qué ocurre cuando uno de los condensadores tiene una capacidad notablemente superior al otro? 3.3.7

ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES EN PARALELO.

Seguidamente, se realizará el mismo tipo de medida, utilizando dos condensadores conectados en paralelo, recordando las mismas precauciones del apartado anterior. Comprobar la relación (3.23) para diferentes valores de las dos capacidades y estimar los errores detectados. ¿Qué ocurre cuando uno de los condensadores tiene una capacidad notablemente superior al otro?

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