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• Mauro Moya Pianista

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Trabajo hecho en la licenciatura de Física en 2005 ( Asignatura de dinámica de sistemas no lineales) Revisado en 2012 y 2014 (Afinación y El temperamento estirado)

Dinámica de sistemas no lineales en la armonía Armonía, Acústica y Temperamentos - Afinación de pianos

Índice:

1· El sonido

2

2· Las notas y sus intervalos

2

3· Armonía

2

4· Acústica

4

5· Temperamento

5

6· Temperamento justo

7

7· Temperamento igual - por octavas justas

8

8· Afinación electrónica (Herzs y cents)

10

9· Temperamento por quintas justas

11

10· Temperamento por terceras mayores justas

13

11· Conclusiones y otros temperamentos

15

12· Temperamento de la curva Railsback

16

13· Temperamento igual estirado

17

14· Temperamento igual estirado por quintas justas

18

15· Temperamento igual estirado por terceras mayores justas

19

16· Conclusiones de los temperamentos estirados

19

17· Afinar un piano

20

18· Dinámica de sistemas no lineales

23

2

1· El sonido El sonido son ondas de presión. Es junto al silencio la base de la música. Un objeto vibrando puede ser el origen del sonido, la vibración empuja el aire haciendo que se comprima y descomprima. Las modulaciones de presión se desplazan por el aire hasta poder llegar a nuestros sentidos mientras el objeto se atenúa. Si el objeto que vibra es pequeño las vibraciones son rápidas y hará un sonido más agudo. Si el objeto es grande las vibraciones son lentas y hará un sonido más grave. Si la onda desplaza muchas partículas de aire será un sonido intenso. Y si desplaza pocas será suave. Las vibraciones del aire, como cualquier onda, tienen un espectro de frecuencias (transformada de Fourier): se puede descomponer el sonido en frecuencias e intensidad para cada frecuencia. Para un objeto vibrando, la frecuencia más grave del espectro es el primer armónico que se llama frecuencia fundamental - f1 que tiene un ancho de banda. El resto de frecuencias del espectro se llaman armónicos - f2 ,f3 , f4,... Los armónicos (sin inharmonicidades) son múltiplos de la frecuencia fundamental: y también tienen un ancho de banda. El espectro de frecuencias es el timbre característico del objeto que vibra. Por ejemplo, se simplifica una cuerda vibrando a un conjunto de frecuencias sinusoidales de diferentes intensidades. 2· Las notas y sus intervalos El piano actual se afina normalmente en la nota ‘la’ a A4 = 440 Hz. Las notas de un piano estándar van desde A0 hasta C8, un registro de más de 7 octavas.

Las notas del pentagrama y del piano. Los intervalos es la distancia entre notas, y su nombre viene de la escala diatónica (7 notas): Nota Intervalo

A 1

A# 2b

B 2

C 3m

C# 3M

D 4

D# 4#/5b

E 5

F 5#/6m

F# 6

G 7

G# maj7

A 8

Los intervalos de una octava respecto a la nota ‘la’. En naranja el acorde de ‘la mayor’. 3· Armonía El sonido son ondas con picos y valles de presión. Cuando dos o más ondas se trasladan en el mismo medio se suman sus amplitudes. Aunque el sonido es 3D se representa en 2D. Suma de ondas constructiva:

Suma de ondas destructiva:

En rojo y azul dos onda de la misma frecuencia e intensidad. En verde el resultado de la suma.

3

Si las ondas tienen frecuencia diferente su suma hace una onda envolvente, que puede ser regular de una manera más o menos sencilla, o irregular. Por ejemplo: a) La suma de f1 y f2 es muy constructiva. El intervalo se llama octava justa.

Patrón 2:1. f1 en azul, f2 (2·f1) en rojo. La suma en verde es un patrón regular.

En una cuerda f2 es un valor un poco mayor que 2·f1, a esto se le llama inharmonicidad. b) La suma de f2 y f3 también es constructiva. El intervalo se llama quinta justa. f3 es también la quinta justa de f1, pero una octava por encima.

Patrón 3:2. f2 en azul, f3 (3·f1=3/2·f2) en rojo, la suma en verde es un patrón regular. Aunque es un patrón regular, es un poco más complicado que el anterior, y se escuchan dos notas diferentes claramente. c) A medida que se utilizan proporciones con números mayores su suma muestra un patrón más complicado y lo escuchamos disonante, más cercano al ruido.

Patrón 37:20. La suma en verde es un patrón regular pero complicado. d) Si se utiliza una proporción irracional el resultado es un patrón irregular (no periódico) que puede ser más o menos consonante. En el siguiente caso es disonante y corresponde al intervalo de quinta bemol: f1

1,0

·f1

1,0

0,5

0,5

0,0

0,0

-0,5

-0,5

-1,0

-1,0

f1

2

·f1

1

0

-1

0

10

0

10

-2

0

Patrón

10

. La suma es un patrón irregular.

En la escala cromática actual se utilizan relaciones irracionales (2 1/12) por lo que los patrones de los intervalos son irregulares, aunque suelen ser cercanos a intervalos justos (armónicos).

4

4· Acústica

El sonido en un piano parte del accionamiento de la tecla. Este movimiento de palanca se traslada a través del mecanismo (palancas) hasta el martillo para que éste golpee las cuerdas correspondientes. Las cuerdas entonces vibran, y su timbre depende tanto de las cuerdas (ancho, largo, densidad, material, tensión), como del martillo, y de cómo y dónde les golpea el martillo (enfatizará unos armónicos más que otros). La cuerda vibrará de una manera complicada y en 3D (aunque se puede simplificar su espectro en la frecuencia fundamental y sus armónicos). La cuerda en movimiento tiene nodos y valles (antinodos), y está vibrando a la vez en diferentes armónicos, por lo que tendrá a la vez los nodos y valles de sus armónicos. A todo esto, además, la cuerda tiene un diámetro y una elasticidad que hace que los nodos no sean un punto de la cuerda sino que tienen un tamaño, lo cual causa inharmonicidad, porque el valle de los armónicos es más pequeño de lo que sería idealmente, y hacen frecuencias más agudas. Dicho más sencillo, los armónicos de una cuerda no son múltiples exactos de f1 sino que son frecuencias más elevadas. La inharmonicidad no ocurre solo en las cuerdas, pasa en cualquier objeto que vibre y tenga rigidez, que no sea perfectamente elástica.

Nodo de una cuerda vibrando

La vibración de las cuerdas se transmite por medio del puente a la tabla armónica, que son láminas de madera de abeto que actúan como amplificador añadiendo timbre al sonido producido, que también se ve afectado por la sala, el ambiente y lo que haya cerca. El aire alrededor de la tabla armónica vibra y llega a nuestros oídos que lo transforma en señales eléctricas para el sistema nervioso.

5

5· Temperamento El temperamento son las frecuencias fundamentales que cogemos para hacer música, con uno o varios instrumentos. La definición es muy amplia, y así definida cualquier grupo de sonidos pueden ser un temperamento. Pero como hay intervalos que son más consonantes que otros (relación de frecuencias simples) se entiende que el temperamento es un conjunto de notas consonantes. Dentro del temperamento se puede partir de una frecuencia base y a partir de ahí ir haciendo relaciones simples para obtener el resto de frecuencias, de esta manera se obtienen instrumentos como las armónicas tonales (hay una para cada tono) o el sitar (que está en un tono concreto y hay cuerdas que vibran por resonancia - cuerdas simpáticas). Este temperamento es muy consonante pero solo hay una frecuencia base. Otra manera de hacer el temperamento y que veremos más adelante, es buscar alguna manera de que todas las notas que obtengamos puedan ser la frecuencia base y el instrumento nos permita cambiar de tono, todas las notas tengan disponibles los mismos intervalos. Este tipo de temperamento se puede decir que es la manera occidental y actual de hacer música, se llama temperamento igual. Si los intervalos disponibles para todas las notas no son iguales pero son parecidos, es un caso intermedio a las dos maneras de hacer el temperamento comentadas. Estos temperamentos se llaman temperamento desigual o well-temperament (buen temperamento). En esta categoría hay muchos temperamentos históricos. Históricamente (con instrumentos como el monocordio o la cítara, que son los predecesores de los instrumentos de cuerda, del arpa, y por tanto también del piano) el temperamento ha estado relacionado con las matemáticas, por ejemplo Pitágoras, Euclides, Ptolomeo o Kepler hicieron estudios sobre afinación. Pitágoras básicamente cogía una cuerda y miraba como cambiaba el sonido si la hacía más larga o corta, si le ponía más tensión, si era más gruesa,... Se parte de una frecuencia base (lo normal es coger la frecuencia fundamental de una cuerda en tensión, f1). Para la siguiente nota, se coge el intervalo más simple, que es f2 = 2·f1, la octava. El siguiente es f1 = 3·f1, la quinta de la octava superior, y así ir sacando más notas. De esta manera es fácil entender el uso de la escala pentatónica (5 notas) en todas las culturas, y también de la escala diatónica (7 notas), son las escalas con las notas más consonantes. La escala diatónica es la que utilizamos para designar los intervalos, como octava, quinta, tercera mayor,... pero la escala diatónica tiene una nota que no tiene quinta dentro de esa escala, sino que tiene una quinta bemol también llamada tritono. Pitágoras hizo un temperamento a partir de ir haciendo quintas sobre cada nota, y resultó que al hacer 12 notas prácticamente se obtenía la nota inicial. Y es la base de la afinación occidental actual donde cada nota tiene casi una quinta justa. Es la escala cromática. Un vez se tuvieron las 12 notas se vio que el temperamento no podía ser perfecto para cada nota de la escala, a partir de ahí se dio más importancia a unos intervalos que a otros, y se hicieron métodos de afinación diversos a lo largo de la historia. Entre estos temperamentos se encuentra el temperamento por terceras mayores (en vez de utilizar la octava o la quinta como referencia, lo hace con la tercera mayor), los temperamentos desiguales (Werkmeister, Vallotti, Kirnberger,... tienen la octava como referencia y la dividen) o el temperamento igual que es el más utilizado actualmente.

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Históricamente el temperamento tenía el intervalo base en las terceras mayores. Luego se utilizó el temperamento desigual (Well-temperament). Y actualmente se usa el temperamento igual. El temperamento igual tiene todos los tonos iguales con los mismos intervalos para cada nota, y por eso se dice que tiene menos colores.

Curiosamente, aunque los intervalos con relaciones más simples son la octava (2:1) y la quinta (3:2), el uso de temperamentos en que su intervalo base sea la octava y la quinta es posterior al uso de temperamentos con la tercera mayor como base (relación 5:4). Con el paso del tiempo se ha ido paulativamente desafinando la tercera mayor, para ir haciendo temperamentos desiguales (welltemperament) y finalmente en el siglo XX ir al temperamento igual donde la base es la octava justa y la quinta un poco desafinada. El temperamento igual es una afinación muy concreta, al afinar por el propio error de afinar se consigue una aproximación a ese temperamento, muchas veces se privilegia un intervalo respecto a otros y no es perfectamente igual.

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6· Temperamento justo - Just intonation Para poder hacer melodías o acordes se necesitan diversas notas dentro de la octava que sean sonidos consonantes con f1. Cuanto más consonantes sean las notas de un acorde, más consonante será el acorde. Lo mismo para las melodías y escalas, también serán más consonantes. Así que la manera de obtener notas consonantes es haciendo los armónicos de f1. Los intervalos entre las notas obtenidas y f1 se llaman intervalos justos. Como hemos visto, f2 es la octava justa y f3 la quinta justa. f4 es otra octava, f5 es la tercera mayor justa,... La mayoría de múltiplos sencillos de f1 tienen la equivalencia dentro de la escala diatónica, o sea, una nota con frecuencia parecida. Algún múltiplo no está en la escala diatónica ni cromática. En la siguiente tabla yo he cogido las relaciones más simples que puedan coincidir con notas de la escala diatónica (algunos valores pueden ser diferentes con otros temperamentos justos):

Frecuencia fundamental y armónicos justos de una cuerda. Los valores son la división de la cuerda, el valor es la inversa de la relación de fn con f1.

Nota

A4

A#4

B4

C5

C#5

D5

D#5

E5

F5

F#5

G5

G#5

A5

Relación con f1

1:1

17:16

9:8

6:5

5:4

4:3

7:5

3:2

8:5

5:3

9:5

15:8

2:1

Temperamento justo (Hz)

440

467,5

495

528

550

586,67

616

660

704

733,33

792

825

880

Intervalos justos a partir de 440Hz y comparando con las notas de la escala diatónica. En rojo los intervalos 1, 3M, 5 y 8. El acorde mayor. Viendo la tabla se puede entender el extenso uso de la escala pentatónica y diatónica, son escalas que contienen notas con intervalos muy consonantes. El problema de una escala como ésta (hecha a partir de armónicos), es que al cambiar f1 y utilizar otra nota de esa escala como fundamental, las demás notas de la escala pierden la consonancia. Por ejemplo, si cogemos f1=495Hz que corresponde al B4, su quinta justa F#5 (relación 3/2) es: f3=742,5Hz, lo cual no coincide con el F#5 de la escala que teníamos (733,33Hz). Por tanto, una escala hecha a partir de armónicos (aunque sea otra escala diferente o con otros valores) solo puede tocarse en un tono, en f1.

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7· El Temperamento igual - por octavas justas - Equal temperament Es el temperamento que llevan por defecto los aparatos electrónicos y es el más extendido en la afinación actual de pianos. Se divide la octava justa para que cada nota de la escala pueda ser f1, que los intervalos sean los mismos para cada nota. Se necesita dividir la octava logarítmicamente. La escala se divide en 12 notas porque de esta manera se obtienen notas que están muy cercanas a notas consonantes, a los intervalos justos, especialmente los intervalos mayores (ver ANEXO I). Los demás tipo de divisiones, por ejemplo 17, 19, 21 o 22, tienen algunas notas cercanas a las consonantes, pero no tantas como al dividir en 12. Dividir la octava en 24 notas no aporta nuevas consonancias aunque sí nuevas disonancias. Así que, a cambio de perder consonancia, cualquier nota de la escala puede ser la tónica. Para pasar de una nota al siguiente semitono se utiliza el factor

Relación justa Temperamento justo (Hz)

A4 1 1:1 440

A#4 2b 17:16 467,5

Relación logarítmica Temperamento igual (Hz) Diferencia (Hz)

2 440 0,0

0/12

2 466,2 -1,3

Nota

1/12

B4 2 9:8 495 2/12

2 493,9 -1,1

C5 3m 6:5 528 3/12

2 523,3 -4,7

C#5 3M 5:4 550 4/12

2 554,4 4,4

1,059463094 . D5 D#5 4 5b 4:3 7/5 586,67 616,00 5/12

2 587,3 0,7

6/12

2 622,3 6,3

E5 5 3:2 660 7/12

2 659,3 -0,7

F5 F#5 6m 6 8/5 5:3 704,00 733,33 8/12

2 698,5 -5,5

9/12

2 740 6,7

G5 7 9:5 792 10/12

2 784 -8

G#5 maj7 15:8 825

A5 8 2:1 880

11/12

2 880 0,0

2 830,6 5,6

Tabla comparativa entre el Temperamento justo y el Temperamento igual. En la última línea aparece la diferencia entre las frecuencias de los temperamentos en Herz. Se puede ver en la tabla como con el Temperamento igual se obtienen notas más y menos afinadas comparadas con los intervalos justos. Por ejemplo, quedan desafinados los intervalos 3m, 3M, 6m, 6 y 7. El intervalo 5 queda un poco corto y el 4 un poco largo, pero mucho más afinados. En general el oído humano capta sonidos de entre 20 y 20000 Hz, y distingue tonos de diferente frecuencia a partir de 3,6Hz de diferencia (entre 1000 y 2000 Hz). Pero también se pueden distinguir sonidos de tono más parecido: Cuando los sonidos son simultáneos y de frecuencias muy parecidas, se diferencian porque se capta la onda envolvente (se oyen batidas). A medida que las frecuencias se acercan las batidas se hacen más lentas, y si se acercan mucho las batidas son tan lentas que dejan de ser apreciables. Cuando las frecuencias se alejan las batidas son más rápidas, y al ir aumentando se deja de oír batidas para oír frecuencias diferentes. Las batidas entre dos notas pueden ser causados por la frecuencia fundamental de cada nota si son notas muy cercanas en frecuencia, pero también puede haber batidas por los armónicos respectivos de cada nota. En los intervalos justos sencillos no hay batidas porque las notas fundamentales son lejanas y porque los armónicos coincidentes de cada nota tienen la misma frecuencia (esto sin inharmonicidades). En cambio en los intervalos temperados, aunque la frecuencia fundamental es muy diferente y no habría batidas, como los armónicos no son exactamente coincidentes y hay pequeñas diferencias entonces hay batidas que son audibles, esas batidas se pueden medir en Hz (ver ANEXO II). De hecho en los intervalos justos también hay batidas por culpa de las inharmonicidades de cada nota, que hace que los armónicos no sean exactamente coincidentes. Las batidas de los intervalos se pueden utilizar para afinar pianos, desafinando la quinta justa (acortándola) o la tercera mayor justa (alargándola) para conseguir un temperamento igual (que

12/12

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solo tiene la octava justa). Cada intervalo según desde que nota se haga hace más o menos batidas, las notas agudas como tienen más frecuencia hacen batidas más rápidas que el mismo intervalo con notas graves. El problema de contar batidas para afinar es que la cantidad de batidas depende de las notas. En el temperamento igual no son las mismas batidas entre las notas A4-E5 (batidas de 1,49Hz), que entre las notas E5-B5 (batidas de 2,23Hz), a pesar de ser el mismo intervalo (quintas del Temperamento igual). La quinta E5-B5 bate más rápido que la quinta A4-E5, porque son notas más agudas, con más Hz. Por tanto, para afinar contando batidas hay que tener un método de contar batidas y seguirlo, porque cada nota y el intervalo que cojamos batirá con diferente frecuencia. Otra opción para afinar es utilizar las batidas para que estén equilibradas en vez de contar batidas: 1) haciendo las quintas un poco cortas de manera intuitiva, o 2) por terceras mayores, se hacen las terceras mayores largas para que cuadren con la octava justa (se explica más adelante). El cálculo de batidas para las quintas y las terceras mayores en el temperamento igual está dentro del apartado de temperamento por quintas justas y temperamento por terceras mayores justas respectivamente (páginas 12 y 14). Como en el Temperamento igual hay más batidas por segundo en la tercera mayor que en la quinta, si se afina un piano contando batidas suele ser más cómodo utilizar las terceras mayores.

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8· Afinación electrónica (Herzs y cents) Además de afinar de oído un piano, también se puede afinar con un aparato electrónico. En los aparatos electrónicos las unidades de frecuencia son Hz y cents, son escalas diferentes y difíciles de comparar entre sí: · Los Herz (Hz) son la inversa del segundo, las variaciones por segundo, que es una medida lineal. · Los cents son una división uniforme de la octava justa. En una octava justa hay 1200 cents, por lo que en un semitono del Temperamento igual hay 100 cents. El cent es una medida muy pequeña pero cómoda por ser independiente de la frecuencia de la nota o sonido, por tanto muy útil para comparar frecuencias o para medir la desviación respecto a una frecuencia. El cent es una escala logarítmica. Para expresarlo matemáticamente, en una octava (entre f1 y f2) hay 1200 cents:

‘x’ es el factor de conversión, resolviendo se obtiene que Así, para convertir el valor de las frecuencias a cents o Hz:

Temperamento igual entre A4 y A6 expresado en cents.

.

Temperamento igual entre A4 y A6 expresado en Hz.

Expresando el Temperamento igual en Hz o cents se puede notar que la representación es diferente. Hay 100 cents entre cada semitono del Temperamento igual. En cambio en Hz no se puede hacer una consideración parecida, cada intervalo tiene distintos Hz (es exponencial). Para utilizar un aparato electrónico es más útil mirar los cents. A partir de aquí (Temperamento igual), se pueden formar diferentes temperamentos para tratar de conseguir más consonancias, otras sonoridades, o porque son otras maneras de afinar un piano.

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9· Temperamento por quintas justas - Pythagorean tuning Este temperamento se obtiene a partir de la quinta justa de cada nota. Se multiplica por 3/2 para hacer la quinta justa, y se multiplica por 3/4 para obtener la quinta de la octava inferior. En este caso se ha empezado por el A4, para ir obteniendo las quintas: E5, B4, F#5, ..., C5, G5, D5 y A5. Nota

A4

A#4

B4

C5

C#5

D5

D#5

E5

F5

F#5

G5

G#5

A5

T. igual (Hz)

440

466,16

493,88

523,25

554,37

587,33

622,25

659,26

698,46

739,99

783,99

830,61

880

T. quintas (Hz)

440

469,86

495,00

528,60

556,88

594,67

626,48

660,00

704,79

742,50

792,89

835,31

892,01

Frecuencias del Temperamento igual y del Temperamento por quintas justas, ordenado por notas.

El problema de este temperamento es que no cierra la octava o produce una quinta del lobo. Por tanto no es un temperamento igual. Como A5 tiene 892,01Hz en vez de 880 (una diferencia de 23,5 cents que se redondea a 24 cents), el círculo de quintas no queda cerrado. La quinta del lobo sería el intervalo que se produce entre el D5 de este temperamento (594,67Hz) y la octava justa (880Hz). Esa quinta en vez de tener 700 cents tiene 678,5 y suena disonante, muy lejos del intervalo justo 3:2. Cuando se afina de oído por quintas, se acortan las quintas justas para obtener el Temperamento igual. Dicho de otro modo, se reparten los -24 cents entre todas las quintas (12 quintas), y a cada quinta le corresponden -2 cents (llamado schisma).

A cualquier quinta justa, desde cualquier f1, le sobran 2 cents para hacer el Temperamento igual. Pero el número de batidas de las quintas cortas es diferente para cada nota, depende de f 1.

En el temperamento por quintas justas (Pitágoras) sobran 24 cents para poder cerrar la octava. Para obtener un temperamento igual hay que repartir los -24 cents entre todas las quintas. Por eso al afinar un piano por quintas, éstas se hacen -2 cents cortas.

12

El número de batidas de una nota con su quinta por temperamento igual se calcula comparando el tercer armónico de la primera nota (3·f1) con el segundo armónico de la quinta (2·f3), porque esos armónicos tienen frecuencias cercanas (como se puede ver en los valores de la tabla) y las batidas se notan. Los armónicos que tienen frecuencias distantes no hacen batidas. Las batidas son la diferencia (la resta) entre el 3º armónico de la nota y el 2º armónico de su quinta:

nota A3 A#3 B3 C4 C#4

3º armónico nota (Hz) 660 699,2 740,8 784,8 831,5

quinta E4 F4 F#4 G4 G#4

2º armónico quinta (Hz) 659,2 698,4 739,9 783,9 830,6

Batidas por segundo 0,74 0,79 0,84 0,89 0,94

Duración de la batida en segundos 1,34 1,27 1,20 1,13 1,06

D4 D#4 E4 F4 F#4 G4 G#4 A4

880,9 933,3 988,8 1047,6 1109,9 1175,9 1245,9 1320

A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5

880 932,3 987,7 1046,5 1108,7 1174,6 1244,5 1318,5

0,99 1,05 1,12 1,18 1,25 1,33 1,41 1,49

1,01 0,95 0,90 0,84 0,80 0,75 0,71 0,67

Cálculo de batidas de una nota con su quinta en temperamento igual entre A3 y A4

13

10· Temperamento por terceras mayores justas - Meantone Se aplica un factor 5/4 para obtener la tercera mayor justa (3M justa) de cada nota. Nota

A4

C#5

F5

A5

T. igual (Hz)

440,0

554,4

696,7

880

T. terceras mayores (Hz)

440,0

550,0

687,5

859,375

Frecuencias de tres 3M en temperamentos de igual y Temperamento por terceras mayores justas. Con tres 3M ya se llega a la octava. Se puede ver que esta octava es muy corta (859,4Hz) y será disonante. Para afinar pianos se pueden alargar las 3M justas para llegar al temperamento igual. Aunque cada 3M tiene un número de batidas diferente. Se afina por grupos: A-C#-F; A#-D-F#; B-D#-G; C-E-G#. Las 3M más agudas baten más rápido que las terceras más graves, y la octava es justa. Por tanto hay que conseguir que batan diferente pero de manera equilibrada, o calcular las diferentes batidas de cada intervalo. De hecho hay diferentes temperamentos por terceras mayores. El más común se llama Meantone. Este temperamento hace uso del cuarto de coma sintónica (también llamada syntonic comma, chromatic diesis, the comma of Didymus, the Ptolemaic comma, or the diatoniccomma). La coma sintónica es la diferencia entre la 3M justa (386,41 cents) y la 3M del Temperamento por quintas justas (407,82 cents). La coma sintónica es de unos -21,5 cents. Por tanto el cuarto de coma sintónica es de unos -5,37 cents. Lo que se hace es quitar a la quinta igual (700 cents) esos -5,37 cents. Y queda una quinta de 694,62 cents. Con esa quinta reducida se hace el ciclo de quintas hasta llegar al A5. Nota

A4

A#4

B4

C5

C#5

D5

D#5

E5

F5

F#5

G5

G#5

A5

T. igual (Hz)

440

466,16

493,88

523,25

554,37

587,33

622,25

659,26

698,46

739,99

783,99

830,61

880

T. terceras mayores (Hz)

440,00

459,76

491,93

514,03

550,00

574,70

614,92

657,95

687,50

735,61

768,65

822,44

859,37

Frecuencias del Temperamento por terceras mayores justas La octava es muy corta como habíamos visto (859,37Hz). Y vemos como también la quinta es corta (657,95Hz). Por lo que si se afina el Temperamento igual por terceras mayores, hay que alargar las terceras mayores, como ya habíamos dicho.

En el temperamento Meantone la coma sintónica se redondea a -5,5 cents. Si se hacen todas las quintas con esa diferencia respecto a la quinta justa, quedaría una quinta del lobo con 36,5 cents de más.

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Para calcular las batidas de una nota con su tercera mayor en temperamento igual se hace parecido a como se ha hecho con la quinta del apartado anterior, se cogen los armónicos que tengan una frecuencia similar. En este caso es el quinto armónico de la primera nota (5·f1) y el cuarto armónico de la tercera mayor (4·f5), que como se puede ver en la tabla, tienen una frecuencia parecida. Las batidas son la diferencia (la resta) entre el 5º armónico de la nota con el 4ª armónico de su 3M, y son mucho más rápidas que en Temperamento anterior por quintas justas:

nota A3 A#3 B3 C4

5º armónico nota (Hz)

3M C#4 D4 D#4 E4

4º armónico 3M (Hz)

Batidas por segundo

Duración de la batida en segundos

1108,7 1174,6 1244,5 1318,5

8,73 9,25 9,80 10,38

0,114 0,108 0,102 0,096

C#4 D4 D#4 E4 F4 F#4 G4 G#4

1385,9 1468,3 1555,6

1396,9 1479,9 1567,9

11,00 11,65 12,35

0,091 0,085 0,081

1648,1 1746,1 1849,9 1959,9 2076,5

F4 F#4 G4 G#4 A4 A#4 B4 C5

1661,2 1760 1864,6 1975,5 2093,0

13,08 13,86 14,68 15,56 16,48

0,076 0,072 0,068 0,064 0,061

A4

2200

C#5

2217,4

17,46

0,057

1100 1165,4 1234,7 1308,1

Cálculo de batidas de una nota con su tercera mayor en temperamento igual entre A3 y A4

15

11· Conclusiones y otros temperamentos En el Temperamento igual, la octava es justa (0 cents), la quinta queda corta (-2 cents) y la tercera mayor es muy larga (+13,7 cents) respecto a los intervalos justos. En el Temperamento de quintas justas, la octava es justa (0 cents), la quinta es justa (0 cents) y la tercera mayor es muy larga (+21,5) respecto a los intervalos justos. Pero además no es un temperamento igual y queda una octava con (+24 cents) además de otros intervalos que tampoco serán iguales. En el Temperamento de terceras mayores justas, la octava es muy corta (-36,5 cents), la quinta es corta (-5,38 cents) y la tercera mayor es justa (0 cents) respecto a los intervalos justos. Hay muchos otros temperamentos irregulares de la octava (Kimberger, Vallotti, Werkmeister,...), que reparten los -24 cents de diferentes maneras entre sus quintas. Esto hace que las tonalidades tengan distintas sonoridades (cada tono tiene un “color”), con distintos intervalos para cada tono. Estos temperamentos suelen tener importancia histórica y sirven para tocar piezas clásicas con el temperamento con las que fueron compuestas, aunque esas mismas piezas se pueden tocar con el temperamento igual sin ningún problema. Además, los valores para cada intervalo varían según la fuente de información. Un libro con mucha información de temperamentos es el de J. Javier Goldáraz Gainza - Afinación y temperamento en la música occidental.

Diferentes temperamentos. En todos la octava es justa, se reparten -24 cents entre sus quintas. Cada temperamento tiene una sonoridad y beneficia intervalos de ciertos tonos. También hay temperamentos en que la octava no es justa, en estos temperamentos se estira la octava para que sea más larga. Cuando la octava es más larga de lo que debería se dice que se ha estirado, es una octava con 'stretch'.

16

12· Temperamento de la curva Railsback Hasta ahora hemos hablado de armónicos justos de una cuerda sin inharmonicidades, en una cuerda unidimensional sus armónicos son múltiples de la frecuencia fundamental: fn=n·f1. Sin embargo, los objetos están en el espacio tridimensional 3D, y no en 1D o en 2D. Por ejemplo las cuerdas del piano, además de longitud, tienen un grosor, una composición, una tensión y pueden empezar a vibrar de maneras diversas. De hecho, todo eso define el timbre de cada tecla del piano. Esto provoca que el nodo de vibración de los armónicos no sea puntual, sino que tiene un tamaño y un comportamiento que depende del material del objeto y de sus dimensiones. Como el nodo tiene un tamaño, la longitud de vibración de los armónicos (el valle) es más pequeña y por tanto producen inharmonicidad: armónicos con frecuencias más elevadas que los múltiples de f 1 del objeto. Por ejemplo, el primer armónico de 440Hz en vez de ser 880Hz puede ser 880,5Hz (1 cent más alto). Y cuanto mayor es el armónico, más nodos tiene, y mayor es la inharmonicidad. Además, en los extremos del piano las cuerdas son más inharmónicas, porque son proporcionalmente más gruesas a su longitud que en el registro central, y además deben coincidir con los armónicos elevados del registro central. En la curva Raisback (la gráfica a continuación) las octavas del extremo del piano tienen 30 cents de diferencia respecto a si no hubiera inharmonicidad. Railsback fue el primero en medir las inharmonicidades de las cuerdas del piano en 1937:

Curva Railsback.

Ecuación aproximada de la curva Railsback a partir de las notas C1, C2, C7 y C8.

Viendo la curva de Railsback se pueden sacar los puntos: C8 +30 cents, C7 +10 cents, C2 -10 cents, C1 -30 cents. Sacando el polinomio podemos obtener la ecuación aproximada, y de ahí los cents extra de cada nota y sus frecuencias. La parte central de la gráfica es muy plana y en los extremos la curvatura es muy pronunciada. En la parte central hay octavas justas (con Temperamento igual) y en los extremos las octavas están muy estiradas, incluso las quintas quedan largas en las 2 últimas octavas. Notas

A4

A#4

B4

C5

C#5

D5

D#5

E5

F5

F#5

G5

G#5

A5

T. Igual (Hz)

440

466,16

493,88

523,25

554,37

587,33

622,25

659,26

698,46

739,99

783,99

830,61

880

T. Railsback (Hz)

439,95

466,10

493,81

523,16

554,27

587,23

622,16

659,18

698,41

739,99

784,06

830,76

880,27

Las frecuencias con temperamento Railsback de la octava central son muy cercanas al Temperamento igual. En cambio las octavas del extremo del piano están muy estiradas.

17

13· Temperamento igual estirado Este temperamento estirado se puede hacer con muchos valores. El siguiente ejemplo es un stretch de octava de 1,8 cents, repartidos de manera lineal respecto al Temperamento igual: notas

a

a#

b

c

c#

d

d#

e

f

f#

g

g#

a

a#

b

c

c#

d

cents extra

0

0,15

0,3

0,45

0,6

0,75

0,9

1,05

1,2

1,35

1,5

1,65

1,8

1,95

2,1

2,25

2,4

2,55

Estiramiento lineal, cada octava de cada nota tiene +1,8 cents respecto a la octava justa. Respecto a los intervalos justos, la octava queda larga (+1,8 cents), la quinta queda corta (-0,91 cents), y la tercera mayor queda larga (+14,29 cents). Notas

A4

C#5

E5

A5

Temperamento justo (Hz)

440

550,00

660,00

880,00

Temperamento igual (Hz)

440

554,37

659,26

880,00

Diferencia entre T.justo y T.igual (cents)

0

13,69

-1,96

0,00

Temperamento estirado (Hz)

440

554,56

659,66

880,92

Diferencia entre T.justo y T.estirado (cents)

0

14,29

-0,91

1,80

Diferencia entre T.igual y T.estirado (Hz)

0

0,6

1,05

1,8

El Temperamento estirado igual y el Temperamento igual comparados con los intervalos justos Teniendo en cuenta las inharmonicidades de una cuerda de piano, la octava puede que quede mejor con el estiramiento de 1,8 cents, la quinta también queda mejor afinada, y la tercera mayor si que pierde un poco de consonancia pero ya estaba muy desafinada. Se puede hacer una gráfica con las frecuencias obtenidas del Temperamento estirado (ANEXO III): 12000,00 11700,00 11400,00 11100,00 10800,00 10500,00 10200,00 9900,00 9600,00 A3 A#3 B3 C4 C#4 D4 D#4 E4 F4 F#4 G4 G#4 A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5

9300,00

Temperamento igual estirado en cents Como se puede ver en la gráfica, la diferencia de cents es lineal (recta azul). A diferencia de la curva Railsback que la diferencia en cents seguía una función polinómica o no-lineal.

18

14· Temperamento igual estirado con quintas justas Otro ejemplo de Temperamento igual estirado es hacer que la quinta sea justa. La quinta justa tiene +1,96 cents extra respecto al Temperamento igual como habíamos visto. De esta manera la octava tiene +3,35 cents. Repartidos estos cents de manera lineal queda así: notas

a

a#

b

c

c#

d

d#

e

f

f#

g

g#

a

cents extra

0

0,28

0,56

0,84

1,12

1,40

1,68

1,96

2,23

2,51

2,79

3,07

3,35

Temperamento igual con estiramiento. El estiramiento son los cents extra.

A partir de los cents extra respecto al Temperamento igual, se pueden calcular las frecuencias del Temperamento igual estirado (ver ANEXO IV).

Notas

A4

C#5

E5

A5

Temperamento justo (Hz) Temperamento estirado con quintas justas (Hz) Diferencia (cents)

440,00

550,00

660,00

880,00

440,00

554,72

660,00

881,70

0,00

14,80

0,00

3,35

Temperamento igual estirado con quintas justas En este caso de estiramiento tenemos quintas justas para cualquier nota, y la octava estirada hasta 3,35 cents. La quinta cumple la relación 3/2, pero bajada una octava no es la relación 3/4. A diferencia del Temperamento por quintas justas, este temperamento también consigue quintas justas pero sin hacer una quinta del lobo o una octava totalmente disonante. La octava está desplazada +3,35 cents (en el Temperamento por quintas justas sobraban 24 cents). Las terceras mayores quedan más desafinadas de lo que ya estaban, pero sin ser un gran cambio (14,80 cents contra 13,69 cents del Temperamento igual).

Reparto de cents en el ciclo de quintas. El Temperamento igual estirado (stretched octave +1,8) y Temperamento igual estirado con quintas justas (stretched octave +3,35) no tienen octavas justas.

19

15· Temperamento igual estirado con terceras mayores justas En el caso de hacer un Temperamento estirado con terceras mayores justas realmente dará un temperamento encogido, con la octava corta. Los resultados son muy parecidos a los obtenidos en el apartado del Temperamento por terceras mayores justas (Meantone). Solo cambian algunas notas porque antes se han obtenido con un ciclo de quintas. La tercera mayor justa tiene -13,69 cents respecto al temperamento igual. Si se reparte de manera lineal se obtiene: notas

a

a#

b

c

c#

d

d#

e

f

f#

g

g#

a

cents extra

0

-3,42

-6,84

-10,26

-13,69

-17,11

-20,53

-23,95

-27,37

-30,79

-34,22

-37,64

-41,06

A partir de los cents extra respecto al Temperamento igual, se pueden calcular las frecuencias del Temperamento igual estirado por terceras mayores (ver ANEXO V).

16· Conclusiones de los temperamentos estirados Los temperamentos estirados mejoran algunos intervalos y empeoran otros. Los temperamentos estirados que tienen un estiramiento positivo de la octava mejoran los intervalos 2, 3m, 5, 6m y 7. Los temperamentos estirados que tienen un estiramiento negativo de la octava mejoran los intervalos 3, 4, 6 y maj7. Pero estos cambios son relativos a la cantidad de estiramiento que se haga. El intervalo de octava puede mejorar en estiramientos ligeramente positivos (por ejemplo el que se alarga la octava 1,8 cents), debido a la inharmonicidad de las cuerdas.

Nota A4 C5 C#5 D5 E5 F5 F#5 A5

Frecuencia de las notas TJ TI TE 1,8 440 440 440 528 523,25 523,39 550 554,37 554,56 586,67 587,33 587,58 660 659,26 659,66 704 698,46 698,94 733,33 739,99 740,57 880 880 880,92

Diferencia (cents) respecto la nota justa TI vs TJ TE 1,8 vs TJ 0 0 -15,64 -15,19 13,69 14,29 1,96 2,71 -1,96 -0,91 -13,69 -12,49 15,64 16,99 0 1,8

· TJ: Temperamento justo · TI: Temperamento igual · TE 1,8: Temperamento estirado igual de 1,8 cents la octava En verde los intervalos que mejoran

Intervalo Relación 1:1 1 6:5 3m 5:4 3M 4:3 4 3:2 5 8:5 6m 5:3 6 2:1 8

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17· Afinar un piano Todos los datos que hemos ido viendo sirven de orientación para afinar un piano y para conocer cómo funciona un afinador electrónico. Pero cada piano es diferente y tiene sus inharmonicidades: · Las cuerdas que tiene (para cada tecla) tienen una longitud, un grosor, una tensión y una elasticidad que no son los mismos en otro piano. Hay pianos con diversos tamaños y construcciones, y pianos más antiguos y más nuevos que afecta al material y el estado de la cuerda. · El golpeo del martillo en cada piano es diferente. Golpea con más o menos superficie, más o menos fuerza, y en una posición u otra de la cuerda (más arriba o más abajo), y con un martillo con una forma y una dureza diferente en cada piano y cada tecla. Destacando unos armónicos por encima de otros. · Las cuerdas graves del piano tienen un entorchado de cobre para dar peso a la cuerda, este entorchado también es diferente para cada piano, el grosor y la longitud es diferente. De entrada los aparatos electrónicos vienen con Temperamento igual y sin curva de estiramiento. Por eso afinar un piano con un aparato electrónico directamente no es una afinación óptima. Aún así, coger el programa y poner un temperamento y una stretch puede mejorar la afinación pero no nos garantiza una buena afinación porque puede no tener nada que ver con el piano que estemos afinando. Además, para utilizar un aparato electrónico conviene comprobar que esté calibrado en todas las notas. En cambio la afinación de oído permite tener en cuenta las inharmonicidades de cada piano, además de la propia percepción de las frecuencias del oído humano. Orientativamente la curva Railsback implica estirar mucho la octava en los extremos del piano. Sin embargo es útil estirar también las octavas centrales del piano porque la octava queda afinada y las quintas mejoran mucho. Además, las afinaciones utilizando un Temperamento estirado en las octavas centrales, éstas aguantan mejor la desafinación del piano, ya que a medida que un piano se desafina las octavas tienden a contraerse un poco, las cuerdas agudas pierden más tono que las cuerdas graves. Para los extremos del piano se pueden estirar más las octavas haciendo que las quintas sean justas, o incluso más como en el temperamento Railsback. Por ejemplo: 20 15

10

TR TE TEQ

5

-5

A0 C1 D#1 F#1 A1 C2 D#2 F#2 A2 C3 D#3 F#3 A3 C4 D#4 F#4 A4 C5 D#5 F#5 A5 C6 D#6 F#6 A6 C7 D#7 F#7 A7 C8

0

-10 -15 -20

Aproximación con Temperamentos estirados al Temperamento Railsback (TR). Aparece el Temperamento estirado (TE) entre A2 y A5, y el Temperamento estirado por quintas justas (TEQ) entre A0 y A2, y entre A5 y C8.

21

El primer paso en la afinación de un piano es el temperamento, entre 1,5 y 2 octavas del piano, por ejemplo entre A3 y A5. Después o mientras se afina el temperamento se hacen los unísonos. Las teclas entre A3 y A5 tienen 3 cuerdas por tecla, esas 3 cuerdas deben tener la misma frecuencia y no hacer batidas dentro de lo posible. Por último, el temperamento se extiende al resto del teclado, hasta las notas de los extremos, normalmente por octavas y comprobando las quintas y los acordes.

Cuerdas de un piano de cola La desafinación de un piano se nota especialmente por la desafinación de los unísonos. - Los coros de 3 cuerdas de acero se pueden afinar para que no haya batidas, porque las cuerdas tienen la misma longitud y están hechas del mismo material. Si el material es diferente pueden hacer armónicos diferentes y causar batidas. - Si los coros de 3 cuerdas son percutidos de manera diferente por el martillo, porque no golpea a la misma altura a la cuerda o porque el martillo tenga diferente dureza o superficie en cada cuerda, también pueden hacer batidas porque las cuerdas hacen diferentes armónicos. - Los coros de bordones (normalmente 2 cuerdas), como tienen un entorchado de cobre que suele ser ligeramente diferente de una cuerda a otra, puede hacer que cada bordón tenga armónicos ligeramente distintos y que sean difíciles de afinar o que provoquen batidas. Después de la desafinación de los unísonos, lo siguiente que más se nota en un piano desafinado es que las octavas están acortadas y los intervalos varían perdiendo el temperamento. Dicho de otra manera: primero se nota la desafinación de los unísonos, luego la desafinación del stretch y por último la desafinación del temperamento y la sonoridad de los acordes. La estabilidad de la afinación dependerá de que no se haya hecho una subida de tono, del estado de las clavijas y del clavijero. El tono de un piano se pierde con el tiempo, las cuerdas van perdiendo tensión. Si durante años un piano no se afina, cuando se afine la afinación no será estable: los unísonos harán batidas en poco tiempo (incluso mientras se van afinando otras cuerdas las primeras ya se desafinan), las octavas se acortarán, el temperamento se pierde, y además el piano baja de tono mientras se va afinando por la elasticidad del arpa, la tabla armónica, las clavijas y las cuerdas del piano. Por tanto, es mucho mejor afinar regularmente un piano que no dejarlo años sin afinar.

22

Aunque la afinación aural pueda ser más óptima que la afinación electrónica, es mucho mejor un piano afinado electrónicamente que un piano que está desafinado. También se puede combinar la afinación electrónica con comprobaciones de oído. Para afinar un piano hay múltiples métodos, según la sucesión de notas que se utilice, si se cuentan batidas en algunos momentos, o si se hacen comprobaciones con intervalos. El método más sencillo para afinar el Temperamento igual es utilizar quintas un poco cortas, y bajar la octava para que las notas afinadas estén dentro de las octavas centrales. El método más habitual con el que se puede afinar contando batidas es utilizar las terceras mayores. Hay diversos métodos utilizando terceras mayores, por ejemplo hay dos métodos en los ANEXOS VI y VII. La afinación profesional suele ser con terceras mayores, más que contar batidas es por comparación de las batidas entre unos intervalos y otros.

23

18· Dinámica de sistemas no lineales (del trabajo de la licenciatura de física) El número de variables define la dimensión del sistema y sus grados de libertad. Donde el tiempo se define como una variable independiente, una comparación de la duración. Dentro del sistema, si es continuo, habrá trayectorias y bifurcaciones. Una bifurcación es un desdoblamiento de la trayectoria a otra por ejemplo apareciendo el doble de la frecuencia de la trayectoria estable. Dentro de las trayectorias si son cerradas nos encontramos con puntos fijos o con órbitas estables o inestables. Si las órbitas no son cerradas son señales aperiódicas o caóticas. Las órbitas pueden ser periódicas (por ejemplo una frecuencia formaría un circulo en el espacio de fases; o dos frecuencias con cociente racional, formarían la superficie de un toroide cerrado) o pueden ser cuasiperiódicas (por ejemplo dos frecuencias con cociente irracional, formarían la superficie de un toroide sin llegar nunca a una posición repetida).

Los sistemas se pueden catalogar como más estables o menos estables por su trayectoria. Cuanto más sencillo más estable. No es difícil imaginar la música como un sistema de 12 grados de libertad (notas) por octava, donde una sola nota es un círculo (1 frecuencia con 1 amplitud), donde dos notas forman una órbita en forma de toroide (cerrada o abierta dependiendo de si su cociente es racional o irracional), donde N notas forman un toroide de dimensión N, donde una melodía es una trayectoria por esas doce notas con diferentes intensidades. Tampoco es difícil imaginar que es más estable un intervalo con proporciones racionales como 3:2, que otro de irracionales como 21/2:1. O que un conjunto de notas forman formas o toroides más estables si tienen proporciones racionales. O que en una melodía o pasaje haya atractores según la tonalidad en que se esté, que haya frecuencias más inestables, y cambios a otras tonalidas / atractores. Otro parámetro musical es el ritmo, que es una discretización del tiempo. La aparición y desaparición de las notas se hace de forma ordenada. Nuevamente con proporciones estables: corcheras, tresillos, negras,... o mirando los compases: 2/4, 3/4, 4/4, 6/8, 9/8, 12/8, los irregulares,... Puede que con aceleraciones y desaceleraciones o con rubato o con swing o... El ritmo también sigue proporciones armónicas como las frecuencias. También las intensidades de las notas pueden tomar cualquier valor o estar sujetas a una discretización como pasa con los instrumentos electrónicos. También podemos observar las bifurcaciones, cada vez que se toca una nueva nota, o que se añade a las que ya había, o que hay un cambio de ritmo. De hecho se podría decir que la música es una sucesión de bifurcaciones.

24

ANEXO I Porqué hay 12 notas en la escala cromática. a) Notas obtenidas a partir intervalos justos (relaciones sencillas con f1). En color los intervalos más consonantes: Nota

A4 1

A#4 2b

B4 2

C5 3m

C#5 3M

D5 4

D#5 5b

E5 5

F5 5#

F#5 6

X X

G5 7

G#5 maj7

A5 8

Relación con f1

1:1

17:16

9:8

6:5

5:4

4:3

7/5

3:2

8/5

5:3

7:4

9:5

15:8

2:1

Frecuencias (Hz)

440

467,5

495

528

550

586,67

616

660

704

733,33

770

792

825

880

b) Temperamentos iguales: Octavas divididas de manera igual en 2 intervalos, en 3, en 4, en 12, en 17,... Frecuencias calculadas a partir de dividir la octava logarítmicamente, utilizando los factores 21/n para pasar a la siguiente nota de la escala: 21/2, 21/3, 21/4, 21/5,...,21/12,... En color las notas parecidas a los intervalos más consonantes (menos de 6 Hz de diferencia)

12 440 466,2 493,9 523,3 554,4 587,3 622,3 659,3 698,5 740,0 784,0 830,6 880

2 440 622,3 880

3 440 554,4 698,5 880

4 440 523,3 622,3 740,0 880

5 440 505,4 580,6 666,9 766,1 880

6 440 493,9 554,4 622,3 698,5 784,0 880

7 440 485,8 536,4 592,2 653,8 721,9 797,0 880

8 440 479,8 523,3 570,6 622,3 678,6 740,0 807,0 880

9 440 475,2 513,3 554,4 598,7 646,7 698,5 754,4 814,8 880

10 440 471,6 505,4 541,7 580,6 622,3 666,9 714,8 766,1 821,1 880

11 440 468,6 499,1 531,6 566,1 603,0 642,2 683,9 728,4 775,8 826,3 880

13 440 464,1 489,5 516,3 544,6 574,4 605,9 639,1 674,1 711,0 749,9 791,0 834,3 880

14 440 462,3 485,8 510,5 536,4 563,6 592,2 622,3 653,8 687,0 721,9 758,5 797,0 837,5 880

15 440 460,8 482,6 505,4 529,3 554,4 580,6 608,0 636,8 666,9 698,5 731,5 766,1 802,3 840,3 880

16 440 459,5 479,8 501,1 523,3 546,4 570,6 595,9 622,3 649,8 678,6 708,6 740,0 772,8 807,0 842,7 880

17 440 458,3 477,4 497,3 517,9 539,5 562,0 585,3 609,7 635,1 661,5 689,0 717,7 747,6 778,7 811,1 844,8 880

18 440 457,3 475,2 493,9 513,3 533,4 554,4 576,1 598,7 622,3 646,7 672,1 698,5 725,9 754,4 784,0 814,8 846,8 880

19 440 456,3 473,3 490,9 509,1 528,0 547,7 568,0 589,1 611,0 633,7 657,3 681,7 707,0 733,3 760,5 788,8 818,1 848,5 880

20 440 455,5 471,6 488,2 505,4 523,3 541,7 560,8 580,6 601,1 622,3 644,2 666,9 690,4 714,8 740,0 766,1 793,1 821,1 850,0 880

21 440 454,8 470,0 485,8 502,1 519,0 536,4 554,4 573,0 592,2 612,1 632,6 653,8 675,8 698,5 721,9 746,1 771,2 797,0 823,8 851,4 880

22 440 454,1 468,6 483,6 499,1 515,1 531,6 548,6 566,1 584,3 603,0 622,3 642,2 662,7 683,9 705,8 728,4 751,7 775,8 800,6 826,3 852,7 880

23 440 453,5 467,3 481,6 496,4 511,6 527,2 543,3 560,0 577,1 594,8 612,9 631,7 651,0 670,9 691,5 712,6 734,4 756,9 780,1 803,9 828,5 853,9 880

24 440 452,9 466,2 479,8 493,9 508,4 523,3 538,6 554,4 570,6 587,3 604,5 622,3 640,5 659,3 678,6 698,5 718,9 740,0 761,7 784,0 807,0 830,6 854,9 880

25

ANEXO II · Ejemplo 1: Comparación de armónicos entre A4 (440Hz), E5 con temperamento justo (660Hz) y E5 con temperamento igual (659,26Hz). Sin inharmonicidades. Los armónicos coincidentes están en color. Entre A4 y E5 justo no hay batidas. En cambio entre A4 y E5 temperado hay batidas por sus armónicos respectivos, concretamente los amónicos 3 y el 2 respectivamente, porque es la relación que tienen las frecuencias de esas notas, 3:2. También son coincidentes los armónicos 6 y 4 lógicamente. Las batidas en este caso entre A4 y E5 (T.I.) son de 1,49Hz, que es la diferencia entre 1320Hz y 1318,5Hz. Son batidas bastante lentas.

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8

A4 440 880 1320 1760 2200 2640 3080 3520

E5 T.J. 660 1320 1980 2640 3300 3960 4620 5280

E5 T.I. 659,255114 1318,51023 1977,76534 2637,02046 3296,27557 3955,53068 4614,7858 5274,04091

· Ejemplo 2: Comparación de armónicos entre A4 (440Hz), F4 con temperamento justo (352Hz) y F4 con temperamento igual (349,23Hz). Sin inharmonicidades. Los armónicos coincidentes están en color. Entre A4 y F4 justo no hay batidas. En cambio entre A4 y F4 temperado hay batidas por sus armónicos respectivos, concretamente los amónicos 4 y el 5 respectivamente, porque es la relación que tienen las frecuencias de esas notas, relación 4:5. También habría batidas entre los armónicos 8 y 10 pero no aparece en la tabla. Las batidas en este caso entre A4 y F4 (T.I.) son de 13,86Hz, que es la diferencia entre 1760Hz y 1746,14Hz. Son batidas bastante rápidas. Entre A3 y F3 serían la mitad, 6,93Hz.

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8

A4 440 880 1320 1760 2200 2640 3080 3520

F4 T.J. 352 704 1056 1408 1760 2112 2464 2816

F4 T.I. 349,228231 698,456463 1047,68469 1396,91293 1746,14116 2095,36939 2444,59762 2793,82585

26

ANEXO III Frecuencias del Temperamento igual estirado (TE) calculadas a partir del Temperamento igual (TI). Quedan las octavas largas, las quintas menos cortas y las terceras más largas, que en el Temperamento igual respecto a los intervalos justos. Tabla de datos entre las notas A3 y A5.

Notas A3 A#3 B3 C4 C#4 D4 D#4 E4 F4 F#4 G4 G#4 A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5

TI (Hz) 220,00 233,08 246,94 261,63 277,18 293,66 311,13 329,63 349,23 369,99 392,00 415,30 440,00 466,16 493,88 523,25 554,37 587,33 622,25 659,26 698,46 739,99 783,99 830,61 880,00

TI (cents) 9337,63 9437,63 9537,63 9637,63 9737,63 9837,63 9937,63 10037,63 10137,63 10237,63 10337,63 10437,63 10537,63 10637,63 10737,63 10837,63 10937,63 11037,63 11137,63 11237,63 11337,63 11437,63 11537,63 11637,63 11737,63

cents extra -1,80 -1,65 -1,50 -1,35 -1,20 -1,05 -0,90 -0,75 -0,60 -0,45 -0,30 -0,15 0,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80

TE (cents) 9335,83 9435,98 9536,13 9636,28 9736,43 9836,58 9936,73 10036,88 10137,03 10237,18 10337,33 10437,48 10537,63 10637,78 10737,93 10838,08 10938,23 11038,38 11138,53 11238,68 11338,83 11438,98 11539,13 11639,28 11739,43

TE (Hz) 219,77 232,86 246,73 261,42 276,99 293,49 310,97 329,48 349,11 369,90 391,93 415,27 440,00 466,20 493,97 523,39 554,56 587,58 622,58 659,66 698,94 740,57 784,67 831,40 880,92

27

ANEXO IV Frecuencias del Temperamento igual estirado con quintas justas (TEQ) calculadas a partir de los cents extra respecto al Temperamento igual. Tiene más estiramiento que el Temperamento igual estirado. Tabla de datos entre A3 y A5.

Notas A3 A#3 B3 C4 C#4 D4 D#4 E4 F4 F#4 G4 G#4 A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5

cents extra -3,351 -3,072 -2,793 -2,514 -2,234 -1,955 -1,676 -1,396 -1,117 -0,838 -0,559 -0,279 0,000 0,279 0,559 0,838 1,117 1,396 1,676 1,955 2,234 2,514 2,793 3,072 3,351

TEQ (cents) 9334,28 9434,56 9534,84 9635,12 9735,40 9835,68 9935,96 10036,24 10136,51 10236,79 10337,07 10437,35 10537,63 10637,91 10738,19 10838,47 10938,75 11039,03 11139,31 11239,59 11339,87 11440,15 11540,42 11640,70 11740,98

TEQ (Hz) 219,57 232,67 246,54 261,25 276,83 293,33 310,83 329,36 349,00 369,82 391,87 415,24 440,00 466,24 494,04 523,50 554,72 587,80 622,86 660,00 699,36 741,06 785,26 832,08 881,71

28

ANEXO V Frecuencias del Temperamento igual estirado con terceras mayores justa (TE3M) calculadas a partir de los cents extra respecto al Temperamento igual. El estiramiento es negativo, realmente es un temperamento encogido. Tabla de datos entre A3 y A5.

Notas A3 A#3 B3 C4 C#4 D4 D#4 E4 F4 F#4 G4 G#4 A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5

cents extra 41,06 37,64 34,22 30,79 27,37 23,95 20,53 17,11 13,69 10,26 6,84 3,42 0,00 -3,42 -6,84 -10,26 -13,69 -17,11 -20,53 -23,95 -27,37 -30,79 -34,22 -37,64 -41,06

TE3M (cents)

TE3M (Hz)

9378,69 9475,27 9571,85 9668,43 9765,00 9861,58 9958,16 10054,74 10151,32 10247,90 10344,47 10441,05 10537,63 10634,21 10730,79 10827,37 10923,95 11020,52 11117,10 11213,68 11310,26 11406,84 11503,42 11599,99 11696,57

225,28 238,204598 251,870697 266,320837 281,6 297,755748 314,838371 332,901046 352 372,194685 393,547964 416,126308 440 465,243356 491,934955 520,157885 550 581,554195 614,918694 650,197356 687,5 726,942744 768,648367 812,746695 859,375

29

ANEXO VI Afinación estándar del temperamento con terceras mayores.

30

ANEXO VII Afinación con terceras mayores y formando acordes.

31

ANEXO VIII Batidas a partir del A3 a 220Hz.